Math en 3B : un dispositif sur la résolution de problèmes en CM2. Formulation des connaissances et institutionnalisation des savoirs?

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1 Math en 3B : un dispositif sur la résolution de problèmes en CM2. Formulation des connaissances et institutionnalisation des savoirs? Carine REYDY IUFM d Aquitaine, université Bordeaux 4 Carine.Reydy@iufm.u- bordeaux4.fr

2 Le point de départ Le projet inihal : adapter le protocole «Math en Jeans» en CM : en m inspirant des travaux de Pierre EYSSERIC (ARM), je mets en place le projet avec une, puis deux classes de CM : nous parhcipons au congrès nahonal «Math en Jeans» à Bordeaux. À l origine, une posture de formatrice qui tente de répondre à des a\entes de Professeur des Écoles. Des queshons de recherche qui ne se sont posées qu après (travail conjoint avec L. Coulange).

3 CONGRÈS. «Math en jeans» réunit sur le campus 850 élèves qui viennent y présenter les problèmes qu'ils ont résolus devant les grands. C'est public. DES MATHEUX SANS PROBLÈMES Les écoliers de Bruges ont également présenté un problème de solide avec trou. Costaud! (photo éric despujols ) Un article dans Sud- Ouest [ ] «Les maths, j'aimais pas. Mais on peut en faire de façon marrante», assure Oriane. Sa classe de CM2 de l'école Camille-Claudel de Bruges - les benjamins du congrès, assurément - a planché sur le nombre total de mains que sont supposés serrer vingt mathématiciens réunis en congrès. Ne cherchez pas! La réponse est 190. [ ]

4 : le projet s étend à la circonscription À parhr de 2009, 7 classes de CM2 de la circonscriphon Bordeaux- Bouscat sont impliquées. L IEN donne son accord pour que les PE parhcipant au projet bénéficient de 6 heures d animahon pédagogique à cet effet. Nous organisons un congrès local. «Math en Jeans pour le primaire» devient «Math en 3B» pour Bruges, Blanquefort et le Bouscat.

5 Le protocole en primaire : des adaptations nécessaires Un «chercheur en mathémahques» propose à la classe en#ère un sujet de recherche. Les élèves et le chercheur communiquent par courrier électronique. L année se termine par un congrès (une journée en mars ou avril) au cours duquel les classes parhcipantes exposent leurs résultats en conférence plénière (exposés, diaporama) et par l intermédiaire de stands (ateliers, posters).

6 Le «chercheur» un PIUFM en mathémahques : C. Bulf, L. Coulange, C. Reydy et P. Urruty, rejoints par S. ArdiH à parhr de Il rencontre les élèves une fois au début du processus pour faire connaissance et présenter le sujet. Il répond aux sollicitahons des élèves : pour leur apporter de l aide ; pour vérifier la validité de leurs résultats ; pour leur donner de nouvelles pistes de recherche. Il rend visite aux élèves peu avant le congrès pour donner son opinion sur le stand et l exposé.

7 Les élèves Ils font des recherches de novembre à avril. Ils disposent d un créneau hebdomadaire (?) pour effectuer leurs recherches. Ils communiquent leurs avancées au chercheur par mail. Ils préparent leur stand et leur exposé pour le congrès. L enseignant Il assure le bon déroulement des recherches. Il communique éventuellement avec le chercheur pour lui faire part de problèmes rencontrés.

8 Des nécessités dans le choix des sujets Des sujets dont le traitement perme\ra d aborder des noions mathémaiques des programmes. En effet, les ateliers de recherche Math en 3B ont lieu sur le temps de classe. En conséquence, les enseignants ne peuvent pas - ou ne veulent pas - consacrer une heure hebdomadaire à un sujet qui ne s intègre pas plus ou moins dans leurs progressions.

9 Des sujets consistants suffisamment pour résister à plusieurs mois de recherche. Des sujets «à Iroirs» que l on ouvrira ou pas selon l avancée des recherches de la classe. Trois critères qui nous perme\ent déjà de différencier les «bon sujets ME3B» des «moins bons sujets ME3B».

10 Les objectifs initiaux impliquer tous les élèves dans une recherche ; améliorer le regard porté sur les mathémahques ; développer un comportement de recherche ; des compétences méthodologiques que l on retrouve dans le deuxième palier du socle commun : formuler une hypothèse et la tester, argumenter ; me\re à l essai plusieurs pistes de soluhons ; exprimer les résultats d une recherche en uhlisant un vocabulaire scienhfique à l écrit et à l oral ; des objechfs spécifiques à une nohon en fonchon du sujet choisi.

11 Un témoignage de l enseignante la première année Séance 1 : lecture du message envoyé, réachons, discussion, acceptahon du projet. Séance 2 : «Pour la recherche proposée par Carine, votre interlocutrice, c est elle. Moi je ne suis qu observatrice. C est à vous à vous organiser!» Les enfants sont déstabilisés pendant quelques secondes puis après un temps de recherche individuelle, ils me\ent en commun par groupe de table. Je préviens que je leur accorde 25 minutes. Sylvain, qui est le premier à avoir trouvé une soluhon, propose une mise en commun avec le groupe voisin. Du coup, beaucoup se lèvent pour aller vers d autres tables.

12 Certains vont au tableau (s approcherait- on d une mise en commun?) ; ils s y retrouvent à 10 élèves, se gênent, se disputent Ça part dans tous les sens! Des choses sont écrites partout sur le tableau, rien n est organisé! Je ne dis rien à part qu il reste 15 minutes. Il me tarde d arriver à l heure dite pour effacer le tableau. Si tout se passe comme je le pense, d ici là rien n aura été mis en commun ; il n y aura donc pas de traces! En espérant qu ils se rendent compte qu il sera nécessaire de s organiser autrement la prochaine fois. Ce qui est sûr, c est qu aucun élève n est inacif, tous parlent de math, plus ou moins, certains se contentant de tapoter sur leur calcule\e. Premiers pas d une coopérahon plutôt bruyante! 14 h 15 : comme prévu, j efface le tableau. S ensuit donc une discussion : que s est- il passé? Au bout de 25 minutes, il ne reste rien. Comment faire la prochaine fois? Il faudra s organiser différemment.

13 Séance 3 : avant de démarrer, on se redit les conclusions de la séance précédente. Une organisahon a été décidée : temps de recherche individuelle ; mise en commun par groupe de 4 et présentahon d une proposihon sur une affiche ; affichage de toutes les affiches et discussion (débat sur la validité des proposihons) ; décision commune à la classe d une soluhon et rédachon d une réponse à envoyer. Mise en place des décisions prises. Aucun élève n a pris l inihahve de prendre les choses en main pour distribuer la parole par exemple, ça cafouille donc encore un peu mais on arrive à la proposihon envoyée.

14 Des objectifs initiaux atteints Des compétences clairement travaillées : éme\re des hypothèses, les tester, s engager dans une recherche, argumenter, déba\re, travailler en groupe, s exprimer en public Tous les élèves sont en achvité. L enseignant est placé dans une posihon d observateur pur inhabituelle mais appréciable! Des points qui sont vérifiés à chaque fois depuis 5 ans.

15 Des objectifs secondaires : vers des savoirs numérico- algébriques Certains sujets proposés correspondent à des problèmes de généralisahon et de modélisahon de phénomènes numériques. Ils perme\ent de me\re en œuvre des procédés numériques ou algébriques : décontextualisahon, reformulahon, généralisahon, modélisahon (éventuellement par une formule). D autres critères qui perme\ront à nouveau de différencier les «bon sujets ME3B» des «moins bons sujets ME3B».

16 De nouveaux critères 1. Contenus correspondants aux savoirs à enseigner à l école (programmes 2008). 2. Possibilité de changer le contexte du problème. 3. Possibilité d idenhfier, de formuler et de généraliser un processus (du cas parhculier vers le cas général) à Cas parhculier : existence d une formule algébrique. 4. Possibilité de comprendre la jusificaion du phénomène (énoncé du processus puis compréhension, ou bien compréhension du fonchonnement du processus qui en permet son énoncé) 5. Ouverture du sujet : capacité du problème de départ à ouvrir sur plusieurs cheminements en fonchon des variables didachques.

17 Étude de trois sujets Trois sujets vont vous être distribués. Pour chacun d eux, essayez d envisager un ou plusieurs déroulements possibles pour la recherche en précisant : les procédures d élèves, correctes ou erronées, suscephbles d apparaître, les Hroirs que le chercheur ouvrira ou non, les changements de contextes possibles, etc.

18 Étude du premier sujet : les poignées de mains (expérience empruntée à P. Eysseric) Vingt professeurs de mathémahques se réunissent. Pour se dire bonjour, chacun salue son prochain par une poignée de mains. À combien de personnes chacun serre- t- il la main? Combien de poignées de mains sont données en tout?

19 Une procédure élémentaire erronée : à comment vérifier ce résultat? en le simulant, qui\e à diminuer le nombre de personnes ; la simulahon donne une idée assez précise du processus sur un cas parhculier ; on abouht au calcul à réaliser : soit soit selon la façon dont on a organisé la simulahon.

20 Le plus souvent, le calcul est réalisé à la calculatrice. C est en demandant d étudier un autre cas parhculier avec un plus grand nombre (par exemple 250) qu on amène les élèves à chercher une méthode de calcul «générale». À ce moment là, la formule peut déjà apparaître. Par exemple, le premier calcul erroné a donné = 380. Après rechficahon, les élèves calculent = 190 et remarquent que 190 est la moihé de 380, donc = (20 19)/2. La formule suivante découle alors d un seul fait numérique constaté : n! (n "1) 2

21 Un autre scénario : les élèves sont à la recherche d une régularité sur plusieurs exemples trouvés avec la calculatrice pour calculer le nombre de poignées de main échangées entre les 146 élèves de l école. Pour 5 élèves : =10 Pour 8 élèves : = 28 Pour 28 élèves : = 378 Ils constatent que le nombre de termes de la somme est (n- 1), puis ils cherchent la relahon entre (n- 1) et le résultat de chaque addihon, et trouvent qu il s agit de mulhplier par n 2 n Ils abouhssent à : ( n 1) 2

22 Dans les deux cas, les élèves semblent convaincus qu il s agit de chercher une méthode générale de calcul, voire même de construire une formule (est- ce dû à la geshon de l enseignant, à celle du chercheur, à d autres raisons? ). Forts de ce\e convichon, ils construisent la formule sur la base de leur premier calcul erroné (20 19) et d un seul ou de plusieurs exemples, par repérage de divers indices numériques

23 Mais comment les amener à comprendre un processus de calcul général qui jushfierait ce\e formule? Pour n pair (20 profs) : On abouht à : " n $ # 2!1 % '( n + n & 2

24 Alors que dans le cas impair (21 profs) : on abouht à : " $ # n!1% '( n 2 & L équivalence entre les deux formules est inaccessible à ce niveau!!!

25 Quand construchon de formule il y a, la dishnchon cas pair/impair est omise ou passée sous silence : «De son côté, Julie\e a remarqué que quand on addihonnait les extrémités cela donnait tout le temps les mêmes résultats. Sur un exemple : On commence donc par = 11, puis = 11, = 11, = 11 et = 11. Ça nous fait 5 paires de 11. Donc pour terminer on fait 11 5 = 55. Mais pour les grand nombres, le problème est qu on ne sait pas compter les paires, donc on a amélioré la méthode et on a trouvé qu il fallait addihonner les extrémités en faisant M + 1 et en mulhpliant par le nombre de paires (M : 2). nous avons pensé donc qu on arriverait peut- être à un résultat et voilà où on en est venu : (M : 2) (1+M)»

26 Dans un autre contexte : les escaliers Il faut une brique pour faire un escalier d une marche : Il en faut 3 pour un escalier de 2 marches : Il en faut 6 pour un escalier de 3 marches : Combien en faut- il pour un escalier de 10, 30, 200 marches?

27 Pas de procédure erronée systémahque comme dans le sujet précédent, mais des pièges qui subsistent lorsqu on passe de 10 à 100 marches par exemple Deux types de cheminements possibles : un raisonnement numérique en essayant de réaliser des calculs du type à cf. sujet précédent ; des méthodes «parhculières» pour les mulhples de 10 ; un raisonnement géométrique par «téléporta#on» de morceaux d escaliers.

28 La méthode de Manon pour 10 marches 10 cubes en «longueur» 10 cubes en «largeur»

29 10 cubes en «longueur» 4 cubes en «largeur» 6 cubes en «largeur»

30 6 cubes en «largeur» 10 cubes en «longueur»

31 6 cubes en «largeur» 10 cubes en «longueur»

32 5 cubes en «largeur» 10 cubes en «longueur»

33 5 cubes en «largeur» 10 cubes en «longueur»

34 5 11 = cubes La formule serait : 11 cubes en «longueur» n 2 ( n + 1) 5 cubes en «largeur»

35 La méthode de Manon pour un escalier 9 marches 5 9 = cubes La formule serait : 9 cubes en «longueur» n + 1 n 2 5 cubes en «largeur»

36 La méthode avec le «bon rectangle» qui donne une jushficahon de la formule, mais qui est toujours induite par le chercheur, par l enseignant ou par papa ou maman!

37 Les poignées de main et les drôles d escaliers Deux sujets qui mathémahquement ne font qu un, et pourtant Le contexte géométrique autorise : soit des procédures qui n apparaissent pas dans le premier contexte mais avec le même genre d écueil (deux formules pour les cas pair et impair), soit une procédure qui offre une possibilité de comprendre «la formule générale» (mais avec un fort guidage de l enseignant ou du chercheur ). Les élèves n ont pas forcément conscience du fait que le processus numérique en jeu dans les deux sujets est le même.

38 Un exemple dans une classe qui a commencé sa recherche sur le problème des poignées de mains. Lors d une visite à la classe, les élèves sont très fiers de me montrer qu ils ont trouvé «la formule» : pour un nombre n de profs de maths, on obhent n! (n "1) 2 poignées de mains. Nous décidons avec l enseignant de proposer un autre problème pour voir si les élèves seront capables de réuhliser la formule dans un contexte différent : Pour faire une pyramide à 4 étages, je pose d abord 4 briques en bas, puis 3 par dessus, 2 par dessus et 1 tout en haut. En tout, j uflise 10 briques. Combien me faut- il de briques pour construire une pyramide à 12 étages?

39 Bonjour Carine, Nous avons un problème!!! Notre formule ne marche pas tout le temps!! Elle ne marche que pour les poignées de mains. En effet, nous avons cherché combien de briques il fallait pour construire une pyramide de 12 étages. Certains ont fait le schéma de la pyramide et ont trouvé 78 briques. D autres ont uhlisé et ont aussi trouvé 78. Nous savons donc que c est le bon résultat. Mais certains élèves ont voulu uhliser la formule des poignées de mains et ont trouvé 66 briques. Nous avons donc trouvé une autre formule : (n +1)! n 2

40 La formule est associée au contexte du problème et non au calcul à réaliser. En effet, pour les élèves, le passage du cas parhculier au cas général ne concerne pas le processus numérique en jeu. Il est induit par les exemples parhculiers de calcul et dépend de l histoire qu on leur raconte!!! Dans ce\e recherche, les élèves sont très fiers de trouver la formule (magique?), mais on peut s interroger sur la perhnence de la démarche.

41 Les poignées de main et les drôles d escaliers au regard des 5 critères 1. Contenus correspondants aux savoirs à enseigner à l école : OUI et NON (problème avec la formule et les cas pair et impair) 2. Possibilité de changer le contexte du problème : OUI 3. Possibilité d idenhfier, de formuler et de généraliser un processus (du cas parhculier vers le cas général) à existence d une formule algébrique : OUI 4. Possibilité de comprendre la jusificaion : OUI et NON Ici, de l énoncé du processus vers sa compréhension 5. Ouverture du sujet : OUI

42 Étude d un autre sujet : Monsieur Pick Le problème de M. Pick Trouver l aire d un polygone à parhr du nombre de clous en contact avec l élashque et du nombre de clous à l intérieur du polygone.!

43 Les élèves procèdent par essais sur différents cas parhculiers avec pour consigne inihale : «Commencez avec des polygones qui n ont pas de clou à l intérieur». Ils abouhssent à une première formule : A = c 2!1 où A est l aire du polygone et c le nombre de clous au bord.

44 Un exemple : à l issue de la première recherche, deux groupes d élèves d une même classe obhennent deux formules «différentes» : A = c 2!1 A = c! 2 2 où A est l aire du polygone et c le nombre de clous au bord. Une réflexion sur le sens des écritures frachonnaires leur permet de prouver l égalité des deux formules.

45 Seconde recherche avec des polygones comportant des clous à l intérieur. Les élèves abouhssent à une seconde formule : A = c 2!1+ i où A est l aire du polygone, c le nombre de clous au bord et i le nombre de clous à l intérieur du polygone. PrésentaHon et recherches biographiques sur le mathémahcien Georg Alexander Pick.

46 Monsieur Pick au regard des 5 critères 1. Contenus correspondants aux savoirs à enseigner à l école : OUI Le sujet offre l opportunité d un travail intéressant sur : les aires ; les figures planes (intérieur, fronhère, périmètre ) ; les écritures frachonnaires. 2. Possibilité de changer le contexte du problème : NON

47 3. Possibilité d idenhfier, de formuler et de généraliser un processus (du cas parhculier vers le cas général) à existence d une formule algébrique : OUI 4. Possibilité de comprendre la jusificaion : NON La démonstrahon mathémahque repose sur un procédé de triangulahon et une récurrence. Elle n est pas accessible au niveau CM2. 5. Ouverture du sujet : ASSEZ PEU

48 Étude d un troisième sujet : la calculatrice cassée J ai à la maison une vieille calculatrice qui ne fonchonne plus très bien. Les seules choses que je peux encore lui faire faire sont +, -, 5 et 12. Quand je l allume, l écran indique Pouvez- vous m aider à faire en sorte qu il indique 2008? Si oui, comment?

49 Les élèves procèdent par essais- erreurs sur le premier cas parhculier. à une ou plusieurs soluhons sont exhibées : Par exemple : et à uhlisahon de l écriture mulhplicahve : Par exemple : (3 12)- (7 5) et (5 5)- (2 12) Le chercheur modifie le nombre affiché au départ sur l écran pour faire formuler aux élèves un énoncé décontextualisé. Par exemple : le problème que nous cherchons à résoudre est Comment faire +1 en uhlisant 5, 12, + et -

50 Le chercheur propose aux élèves d étudier d autres cas parhculiers : remplacer 5 et 12 par 2 et 4, 3 et 8, 4 et 11, 6 et 8, 12 et 15, 9 et 16 et ainsi de suite. Des ébauches de règles apparaissent. Par exemple : nous avons trouvé comme résultats avec : 6 et 8 on ne peut pas faire + 1 parce que ce sont des nombres pairs. 9 et 16 : (4 x 16) - (7 x 9) 2 et 4 : on ne peut pas faire + 1 parce que ce sont deux nombres pairs. 4 et 11 : (3 x 4) et 8 : (3 x 3) et 12 : nous sommes encore en train de chercher

51 Le chercheur relance la recherche : «Si, dans certains cas, vous ne savez pas faire +1, quel est le plus peft nombre que vous réussissez à obtenir?» L étude de plusieurs cas parhculiers permet d abouhr à une formulahon générale du phénomène numérique et éventuellement d ébaucher une jushficahon de ce phénomène. Par exemple : Avec 6 et 8 ou avec 2 et 4, on ne sait pas faire +1 mais +2. C est sûrement parce que ce sont deux nombres pairs. On est dans la table de 2. Avec 12 et 15, on sait faire 3, et 12 et 15 sont dans la table de 3. Avec 3 et 9, on reste dans la table de 3 donc on ne fera pas mieux que 3.

52 Avec 5 et 10, on ne pourra jamais faire +1 car dans la table de 5 et dans celle de 10, le chiffre des unités est toujours 0 ou 5. On sait faire 5 car 10-5=5, on ne pourra pas faire mieux. à ébauche de compréhension du phénomène. Quand les deux nombres sont dans la table de 1 et seulement dans la table de 1, on sait faire +1. On cherche si les deux nombres sont dans la même table. Par exemple, 24 et 40 sont dans la table de 2, de 4 et de 8. On regarde la plus grande table : ici, c est 8. Avec 24 et 40, on sait faire 8. à formulahon d un énoncé qui généralise le phénomène. PrésentaHon du théorème de Bézout, recherches biographiques sur le mathémahcien.

53 La calculatrice cassée au regard des 5 critères 1. Contenus correspondants aux savoirs à enseigner à l école : OUI uhlisahon de +, -, tables de mulhplicahon nohon de mulhple 2. Possibilité de changer le contexte du problème : OUI «J ai un jeu de l oie avec une règle un peu spéciale : on ne peut faire que des sauts de 5 cases ou de 12 cases, en avançant ou en reculant. Je suis sur la case Comment faire pour me rendre sur la case 2008?».

54 3. Possibilité d idenhfier, de formuler et de généraliser un processus : OUI à Existence d une formule algébrique : NON 4. Possibilité de comprendre la jusificaion : OUI, au moins une ébauche. Ici, c est l étude de plusieurs cas parhculiers qui permet de comprendre le fonchonnement du phénomène numérique puis de l énoncer. 5. Ouverture du sujet : OUI et NON. Pour les élèves : peu de procédures possibles. En revanche, le chercheur peut choisir d «ouvrir ou pas certains Hroirs». Seulement à moihé ouvert : c est probablement une des raisons qui expliquent sa robustesse.

55 Quelques conclusions La vieille calculatrice : un «bon sujet ME3B» : des énoncés généralisés qui correspondent à des savoirs des programmes ; une ébauche de compréhension du phénomène numérique sans nécessité de guidage fort ; vers des processus de généralisahon de phénomène numérique et de formulahon de ce\e généralisahon ; un sujet à Hroirs ; et surtout un sujet robuste : il résiste au temps, aux élèves et à l enseignant.

56 De plus ou moins bons sujets ME3B Une formule «chère» aux élèves et aux enseignants de Math en 3 B. En effet, la formule est un abouhssement dans l esprit des élèves et des enseignants qui correspond de surcroît à des objechfs du collège. Dès qu il y a formule, on pense naïvement «premiers pas vers l algèbre», et pourtant

57 La recherche d une formule générale peut faire obstacle à des prahques de généralisahon de phénomènes numériques qui en perme\raient une construchon significahve. Ce\e construchon est d ailleurs parfois inaccessible (Monsieur Pick).

58 Avec la calculatrice cassée : il n y a pas de formule algébrique à trouver : elle ne fait donc pas obstacle ; il y a en revanche un paramètre, le pgcd des deux nombres, qui condihonne le problème : sa valeur affecte le fonchonnement du phénomène. L étude des condiions de phénomènes numériques semble plus propice à une ébauche de compréhension de prahques algébriques que l élaborahon de formules algébriques.

59 À la recherche de nouveaux sujets Math en 3B : des formules plus accessibles inspirées des travaux récents sur l early algebra : des problèmes dans lesquels il s agit d étudier les condihons de phénomènes numériques à généraliser.

60 Un nouveau sujet testé cette année (encore emprunté à P. Eysseric ) Le ruban des nombres J ai un ruban sur lequel sont écrits dans l ordre tous les nombres de 1 à 100. Si je regarde les trois cases consécuhves 34, 35 et 36, alors = 105. Puis- je trouver d autres cases (2 cases, 3 cases, 4 cases, ) qui se suivent et dont la somme fait aussi 105?

61 Quelques références sur l early algebra : A task aimed at leading teachers to promohng a construchve early algebra approach, Nicolina A. Malara Giancarlo Navarra. Proceedings of the Fi h Congress of the European Society for Research in MathemaHcs EducaHon (CERME 5) Larnaca, Cyprus February 2007 Problem solving without numbers An early approach to algebra, Sandra Gerhard. Proceedings of CERME 6, January 28th- February 1st 2009, Lyon France CommunicaHng a sense of elementary algebra to preservice primary, Franziska Siebel, Astrid Fischer. Proceedings of CERME 6 ConcepHon of variance and invariance as a possible passage from early school mathemahcs to algebra, Ilya Sinitsky, Bat- Sheva Ilany. Proceedings of CERME 6 Growing pa\erns as examples for developing a new view onto algebra and arithmehc, Claudia BöZnger, Elke Söbbeke. Proceedings of CERME 6

62 Les sujets déjà posés Des sujets numériques

63 La vieille calculatrice J ai à la maison une vieille calculatrice qui ne fonchonne plus très bien. Les seules choses que je peux encore lui faire faire sont «+», «-», «5» et «12». Quand je l allume, l écran indique «2009». Pouvez- vous m aider à faire en sorte qu il indique «2010»? Si oui, comment? Reprise avec d'autres données numériques (5 et 9, 6 et ).

64 La réunion Vingt professeurs de mathémahques se réunissent. Pour se dire bonjour, chacun salue son prochain par une poignée de mains. À combien de personnes chacun serre- t- il la main? Combien de poignées de mains sont données en tout? Reprise avec d autres données numériques. Peut- être cela donnera- t- il une idée pour résoudre le même problème pour une réunion de 250 personnes

65 Les lapins de Léonard Un couple de lapin, né le 1 er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque mois dès qu il a a\eint l âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduchon. Combien y aura- t- il de lapins le 1 er janvier de l année suivante, en supposant qu aucun couple n ait disparu entre temps?

66 Les lapins de Léonard jouent aux dominos Les lapins de Léonard ont : des dominos tous idenhques, des boîtes dont la largeur coïncide avec la longueur d un domino, qui font juste l épaisseur d un domino et de plein de longueurs différentes. Ils choisissent toujours la plus pehte boîte possible pour ranger leurs dominos. Pour ranger deux dominos, il y a deux façons de s y prendre :

67 ü Pour trois dominos, il y a trois façons de s y prendre : ü Sauriez- vous trouver combien il y a de façons de s y prendre pour ranger 4 dominos? 5 dominos? 20 dominos?

68 Les lapins de Léonard montent les escaliers Pour monter un escalier, les lapins peuvent sauter une marche dès qu ils le souhaitent, mais pas plus d une marche à la fois. Pour monter un escalier d une marche, il n y a bien sûr qu une façon de faire :

69 Pour monter un escalier de deux marches, il y a deux façons de faire : Pour monter un escalier de trois marches, il y a trois façons de faire : Sauriez- vous trouver combien il y a de façons de faire pour un escalier de 4 marches? 5 marches? 20 marches?

70 Toujours les drôles d escaliers Il faut une brique pour faire un escalier d une marche : Il faut 3 briques pour faire un escalier de 2 marches : Il faut 6 briques pour faire un escalier de 3 marches :

71 Combien faudra- t- il de briques pour un escalier à 4, 6,10, 30, 200 marches? À parhr de ce grand carré de briques, peut- on construire un escalier de : 12 marches, de 24 marches? Quel est le plus grand escalier que l on puisse construire à votre avis?

72 Un jeu de Nim : le jeu des bâtonnets de Fort Boyard Règle : on rehre à tour de rôle un ou deux bâtonnets. Celui qui enlève le dernier bâtonnet a perdu. Problème : existe- t- il une stratégie pour gagner à tous les coups? Découverte du jeu à parhr d'un extrait vidéo trouvé sur Youtube : «le jeu des bâtonnets dans la salle du conseil de Fort Boyard» Prolongements possibles : modificahon du pas, jeu de Marienbad

73 Des sujets géométriques

74 Les solides Avec les Polydrons, essayez de fabriquer plusieurs solides différents les uns des autres et de compter, pour chacun d eux, le nombre de faces, d arêtes et de sommets. Vous allez vite remarquer que s il est assez facile de compter les faces, pour les arêtes ou les sommets, c'est beaucoup plus compliqué Est- il possible de trouver un moyen de calculer le nombre d'arêtes ou de sommets sans les compter? Autre piste : comment compter les faces, les arêtes et les sommets d un solide sur un patron de ce solide?

75 Le problème de M. Pick Trouver l aire d un polygone à parhr du nombre de clous en contact avec l élashque et du nombre de clous à l intérieur du polygone.!

76 L œuf Tangram Voici un modèle réduit de l œuf Tangram. On voudrait le construire de façon à ce que le segment repassé en rouge sur le modèle mesure 5,5 cm en vraie grandeur. Puis découpez les pièces de votre Tangram et construisez les drôles d oiseaux ci- dessous :

77 Combien de diagonales pour un polygone? L hexagone : Savez- vous construire un hexagone régulier à parhr d un cercle? Combien de diagonales a un hexagone régulier? À votre avis, le résultat obtenu est- il valable pour un hexagone quelconque?

78 Le dodécagone : Combien de diagonales a- t- il? Inspirez- vous de la méthode de construchon de l hexagone régulier pour construire un dodécagone régulier. Et pour n importe quel polygone? Sans les construire, pourriez- vous dire combien de diagonales ont un pentagone, un décagone, un polygone à 14 côtés, à 20 côtés?

79 Vers les fractales Problème : peut- on tracer sur une pehte feuille un chemin aussi long qu'on veut? Étape 1 : tracer un chemin qui mesure plus d'un mètre. Étape 2 : tracer un chemin encore plus long. Étape 3 : uhliser un algorithme conduisant à un fractal. ( «le flocon de neige» à parhr d'un triangle équilatéral par exemple). Les élèves appliquent la technique qui conduit à différentes générahons successives de figures (on doit pouvoir construire au moins trois générahons). On calcule le périmètre des différentes figures sur les premières générahons.

80 Étape 4 : analyse de l'évoluhon des générahons successives de flocons. On pourra organiser les différentes données numériques dans un tableau, puis éventuellement réaliser des graphiques et chercher à les interpréter (deux situahons de proporfonnalité, une situahon de non proporfonnalité). Étape 5 : d'autres fractales? Leur origine, leur uhlité, leur uhlisahon par les arhstes...

81 Théorie des graphes

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