Fonctions réciproques

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1 Fonctions réciproques X =message coage y=f() Y y=message coé - = g(y)= f (y) écoage =message B. Aoubiza IUT Belfort-Montbéliar Département GTR 6 janvier 3

2 Table es matières.fonctionsréciproques Fonction réciproque Définition Fonctionréciproque Domaineetomaineimage Fonctionréciproque Déterminationelafonctionréciproque..... Fonctionréciproque Propriétéecontinuité Fonctionréciproque Graphe Fonctionréciproque Dérivée Fonctionréciproque unthéorème eistence... 7.Fonctionstrigonométriquesréciproques Fonction réciproque e sin Définition Fonction réciproque e sin Propriétés Fonction réciproque e sin Graphe..... Fonction réciproque e sin Dérivée Fonction réciproque e cos Définition Fonction réciproque e cos Propriétés Fonction réciproque e cos Graphe..... Fonction réciproque e cos Dérivée Relationfonamentale..... Fonction réciproque e tan Définition..... Fonction réciproque e tan Propriétés..... Fonction réciproque e tan Graphe Fonction réciproque e tan Dérivée..... Fonction réciproque e cot Définition Fonction réciproque e cot Propriétés Fonction réciproque e cot Graphe Fonction réciproque e cot Dérivée.....Fonctionstrigonométriquesréciproques Résumé....3 Fonctions eponentielles e base a Fonctions eponentielles e base a Propréités Fonctions eponentielles e base a Graphe Fonction eponentielle e base e Fonction eponentielle Définition Fonctioneponentielle Propriétésetlimitesusuelles Fonctioneponentielle Graphe Fonctioneponentielle Dérivée Fonctioneponentielle Dérivéeelacomposée....5Fonctionshyperboliques Fonctions hyperboliques Définitions Fonctions hyperboliques Fonction cosh Fonctions hyperboliques Fonction sinh Fonctionshyperboliques Relationfonamentale....6Fonctionshyperboliquesréciproques Fonction réciproque e cosh Définition Fonction réciproque e cosh Propriétés Fonction réciproque e cosh Graphe...

3 .6. Fonction réciproque e cosh Dérivée Fonction réciproque e sinh Définition Fonction réciproque e sinh Propriétés Fonction réciproque e sinh Graphe Fonction réciproque e sinh Dérivée....7 Fonction logarithme Fonction logarithme Définition Fonction logarithme Graphe Fonction logarithme Propriétés Fonction logarithme Dérivée Fonction logarithme Dérivée ln(v ()) Fonctions logarithme e base a (a > ) Fonctions logarithme e base a Définition Fonctions logarithme e base a Propriétés Fonctions logarithme e base a Changementebase Fonctions logarithme e base a Dérivation....9 Fonctions eponentielles e base a Fonctions eponentielles e base a Nouvelleformulation Fonctions eponentielles e base a Dérivation....Fonctionspuissances..... Fonctions puissances Définition.....Fonctionspuissances Dérivée Fonctionspuissances Graphes... 9.Comparaisonescroissances... 9

4 . Fonctions réciproques.. Fonction réciproque Définition Il arrive souvent que, pour une fonction onnée f, on a besoin (si c est possible) une autre fonction g telle que : f y g Dèfinition (Fonctions réciproque) Si f est une application e X ans Y et g est une application e Y ans X telles que f (g (y)) = y pour tout y Y g (f ()) = pour tout X on it que f est la fonction réciproque e g, etqueg est la fonction réciproque e f. Notation La fonction réciproque e f se note f. y=f() Y y X - = g() y = f () y Eemple Soient f et g les eu fonctions éfinies par f : [, + [ [, + [ 7 et g : [, + [ [, + [ y 7 y Ces eu fonctions vérifient les relations suivantes : - f (g (y)) = f( y)=( y) = y pour tout y [, + [ - g (f ()) = g( )= = pour tout [, + [ Donc f est la fonction réciproque e g, etg est la fonction réciproque e f. Dèfinition (Fonction Bijective) une fonction f est bijective sur un omaine (intervalle) si chaque fois que f ( )=f ( ),alors =. Remarque Rappelons que toute fonction bijective amet une fonction réciproque. Eemple Montrer que la fonction f () = 3 est bijective. Solution : Montrons que si f ( )=f ( ) alors =. Soient et eu réels quelconques tels que f ( )=f ( ).Ona 3 = 3 et onc 3 3 = or 3 3 =( )( + + )= Le prouit est nul si l un es facteurs est nul. On éuit onc que = car + + ne peut pas être nul ans R. (ire pourquoi?) Eemple 3 La fonction f () = éfinie pour tout réel, n est pas bijective car f () = f ( ) mais 6=. 3

5 Test e la roite horizontale Une fonction f est bijective si et seulement si toute roite horizontale ne peut rencontrer C f qu au plus en un point. Même image pour valeurs ifférentes f( ) f( ) Fonction bijective Fonction non bijective.. Fonction réciproque Domaine et omaine image On éuit facilement les relations suivantes entre le omaine image et le omaine e éfinition : omaine e f = omaine image e f omaine image e f = omaine e f..3 Fonction réciproque Détermination e la fonction réciproque Pour éterminer la fonction réciproque e y = f() :. Résoure l équation y = f() où l inconnue est, on obtient alors = g(y).. Remplacer y par et par y ans l epression = g(y) pour obtenir y = g() =f () Eemple Soit f () = pour >. Déterminer sa fonction réciproque. Solution : On résout l équation y =, > où l inconnue est, onobtient = y, y > Maintenant on remplace y par et par y on obtient y =, > Ainsi, la fonction réciproque f () e f() =,pour>, est la fonction racine carrée : f () =. Point e vue graphique. Si on regare le graphe e y =,pourtout, on voit que cette fonction ne peut pas avoir e réciproque pour tout y = Noter que la roite horizontale y =coupe la courbe e y = en eu points. Ce qui signifie quelafonction n est pas bijective et onc elle n amet pas e fonction réciproque.

6 .. Fonction réciproque Propriété e continuité Théorème Si f aussi continue. est une fonction bijective continue sur un intervalle, alors sa fonction réciproque f est..5 Fonction réciproque Graphe Théorème Les courbes es fonctions f et e sa réciproque f sont symétriques par rapport à la roite y =. Preuve. Lapenteeroitepassantparlespointes(a, b) et (b, a) est onnée par a b b a = Ce qui signifie que cette roite est orthogonale à la roite y = e pente. En utilisant es arguments géométriques : ( OA, \ Oy) =(\ OB, O) est onc les triangles OAC et OBC sont "semblables", on éuit que AC = BC. y ( a,b) y= y=f ( ) O A C y=f B - ( ) ( b,a) Ce qui signifie queb est le symétrique e A par rapport à la première bissectrice y =. Eemple 5 Lesgraphesesfonctions,,et. y y= y= y= Courbes e,,et Eemple 6 Déterminer la fonction réciproque e y = + et tracer son graphe. Solution : Résolvons l équation y = + où l inconnue est : y = + Maintenant on remplace y par et par y on obtient =(y )/ = y y = Ainsi, f () =. Les courbes e f et e f sont symétriques par rapport à y =. 5

7 y y= + y= y= - Eemple 7 Déterminer la fonction réciproque e f () = pour < et tracer sa courbe. Solution : Résolvons l équation où l inconnue est y =, < on obtient = y y > Maintenant on remplace y par et par y on obtient y =, > Ainsi, f () == pour >. Les courbes e f et e f sont symétriques par rapport à y =. y= y y= y=..6 Fonction réciproque Dérivée Courbes e, et Notons que si f est bijective, alors elle amet une fonction réciproque f. Ces eu fonctions vérifient la relation suivante : f(f ()) = et f (f()) = Ainsi, en érivant es eu côtés, on obtient f(f ()) = et en utilisant la relation e la érivation es fonctions composées : u(v()) = u (v()).v () on éuit que f(f ()) = f (f ()).(f ) () = où (f ) () = f (f ()) 6

8 Eemple Déterminer la érivée e la fonction réciproque e f () = 3. Solution : La fonction réciproque est onnée par f () = /3. Sachant que f () =3 et que (f ) () = f (f ()), on éuit que f () = f (f ()) = 3(f ()) = 3( /3 ) = 3 /3..7 Fonction réciproque un théorème eistence Rappelons le théorème suivant qui est très utile pour établir l eistence e la réciproque e certaines fonctions. Théorème 3 Si f est une fonction - continue sur un intervalle I ; - strictement monotone sur un intervalle I. Alors f amet une fonction réciproque f continue. Remarque D après le théorème ci-essus,. si une fonction f est continue et strictement croissante sur I, alors elle amet une fonction réciproque f ;. si une fonction f est continue et strictement écroissante sur I, alors elle amet une fonction réciproque f ;. Fonctions trigonométriques réciproques Notons tout e suite que les fonctions trigonométriques ne sont pas injectives sur R. Afin e éterminer leurs fonctions réciproques, on part intervalles, les plus grans possibles, sur les quels elles sont strictement monotones... Fonction réciproque e sin Définition Un eamen rapie u graphe e sin montre que le plus gran intervalle sur lequel la fonction est bijective est e longueur π, et l un e ces intervalle est [ π, π ]. y -π -π - π/ π π y =sin En effet, sin est bijective sur un nombre infini e tels intervalles : 3π, π. Pourquoi sin est bijective sur π, π? La restriction e la fonction sin à π, π est continue et strictement croissante, onc elle est bijective. Par conséquent elle amet une fonction réciproque qu on appelle arcsinus et qu on note arcsin, ainsi: Cequipeutsetrauireelamanièresuivante π, π sin arcsin [, ] ½ y =arcsin [, ] ½ =siny y π, π 7

9 .. Fonction réciproque e sin Propriétés On a onc les propriétés fonamentale e cette nouvelle fonction :. Leomaineeéfinition e arcsin est [, ] ;. Le omaine image e arcsin est π, π ; 3. sin(arcsin ) = pour tout [, ] ;. arcsin(sin ) = pour tout R (pourquoi?). Remarque 3 Cette nouvelle fonction est une fonction comme autre. Rappelez-vous la fonction racine carrée son omaine est [, + [ son omaine image est [, + [. µ µ 3π Eemple 9 Calculer arcsin sin. Solution : On est tenté e ire que la réponse est 3π ce qui est faut car 3π / [ π/,π/]. Ainsi, on a besoin e trouver un nombre ans [ π/,π/] tel que sin = sin(3π/). Comment trouver? (Méthoe ) Onnotequesin vérifielarelationesymétriegraphique ³ π θ ³ π θ sin + =sin ³ π par suite on a sin (3π/) = sin + π ³ π =sin π ³ π =sin et π/ est ans l intervalle [ π/,π/]. D où, µ µ 3π ³ ³ π arcsin sin =arcsin sin = π Comment trouver? (Méthoe ) Cette méthoe est similaire à la précéente, mais elle ne fait pas appelle à la symétrie géométrique. Plutôt, on utilise la formule (elle est facile à montrer) sin(π ) =sin et on si on pren = π on obtient sin(π π )=sin(3π )=sinπ. Et onc = π est la solution u problème. Eemple Soit f() =arcsin. Déterminer le omaine e éfinition et le omaine image e f. Solution : - Domaine :La fonction f est éfinie pour les réels vérifiant soit où D = n : o = h, -Domaine image : il est facile e vérifier que quan varie ans,, pren toutes les valeurs entre et, c est-à-ire le omaine e arcsin. Ainsi,leomaineimageearcsin h est le même que celui e arcsin, quiest π, π i...3 Fonction réciproque e sin Graphe La courbe e arcsin s obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice e la courbe e sin. i y =sin y =arcsin y =sin et y =arcsin Remarque La fonction arcsin () amet es tangentes verticales en = ±. Pourquoi?

10 .. Fonction réciproque e sin Dérivée Laérivéeelafonctionarcsin s obtient par application e la formule e la érivée e la fonction réciproque : arcsin () = sin (arcsin ) = cos(arcsin ) or cos ()+sin () =et onc cos(arcsin()) = p sin (arcsin ) comme sin (arcsin ) = (sin (arcsin )) = On éuit que arcsin = Eemple Calculer la érivée e la fonction : f() =arcsin Solution :Lafonctionf est la composée es fonctions arcsin() et e. Par application e la érivée e la fonction composée f (g ()) = f (g ()) g () (f () =arcsin() et g () = ) on a sin = q ( ) ( ) = Rappel, il n y a rien e nouveau, on ne fait qu appliquer la règle e érivation e la composée...5 Fonction réciproque e cos Définition La courbe e cos ci-essous montre qu il y a e nombreuse possibilité e omaine e restriction où la fonction cos est bijective. y = ½ y -π -π π/ π π - cos et la roite y = On choisit la restriction au omaine [,π]. Bien sûr il y a une infinité autres choi. Pourquoi cos est bijective sur [,π]? La restriction e la fonction cos à [,π] est continue et croissante onc elle est bijective et par conséquent ell amet une fonction réciproque qu on appelle arccosinus et qu on note arccos, ainsi : [,π] cos arccos [, ] Cequipeutsetrauirepar ½ y = arccos [, ] ½ =cosy y [,π]..6 Fonction réciproque e cos Propriétés. Leomaineeéfinition e arccos est [, ] ;. Le omaine image e arccos est [,π] ; 3. cos(arccos ) = pour tout [, ] ; 9

11 . arccos(cos ) = pour tout R (pourquoi?). Eemple Déterminer le omaine e éfinition et le omaine image e la fonction f () = arccos ( ). Solution : Notons que la fonction f est éfinie pour tout tel que, c est-à-ire, quan est ans le omaine e arccos. En résolvant cette inéquation on éuit que. D où D f =[, ] Par ailleurs, quan varie ans l intervalle [, ], pren toute les valeurs e [, ]. Ainsi, Im f =[,π] ³ ³ Eemple 3 Calculer arccos cos π.onesttentéeirequelaréponseest π ce qui est faut car π / [,π]. Ainsi,onabesoinetrouverunnombre ans [,π] tel que cos =sin( π/). Commecos est une ³ fonction paire on a cos π ³ π =cos.ainsi, ³ ³ arccos cos π ³ ³ π = arccos cos = π..7 Fonction réciproque e cos Graphe La courbe e arccos s obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice e la courbe e cos : y =cos y = arccos y =cos et y =arccos Remarque 5 La fonction arccos () amet es tangentes verticales en = ±. Pourquoi?.. Fonction réciproque e cos Dérivée Laérivéeelafonctionarccos s obtient par application e la formule e la érivée e la fonction réciproque : arccos () = cos (arccos ) = sin(arccos ) or cos ()+sin () =et onc sin(arccos()) = p cos (arccos ) =.D où Remarque 6 Noter qu on a la relation suivante : arccos = arcsin + arccos = + = autrement arcsin = arccos Eemple On consière la fonction f() = arccos (e ). Calculer f. Solution :Lafonctionf est la composée es fonctions arccos() et e e. Par application e la érivée e la fonction composée f (g ()) = f (g ()) g () (f () = arccos () et g () =e ) on a (arccos (e )) = p (e ) (e )= e e Rappel : il n y a rien e nouveau, on ne fait qu appliquer la règle e érivation e la composée. -

12 ..9 Relation fonamentale Eercice Etablir la relation fonamentale suivante arcsin +arccos = π [, ] Démonstration en TD (inication : si la érivée est nulle sur un intervalle, alors la fonction est une constante)... Fonction réciproque e tan Définition Rappelons le graphe e tan. y 5 π π -5 π/ π π - y =tan Comme i vous pouvez le constater, l ensemble image e tan est R et cette fonction tan est bijective sur l intervalle π, π h i (car continue et croissante). La restriction e la fonction tan à π, π h amet une fonction réciproque qu on appelle arctangente et qu on note arctan, ainsi : i π, π h tan arctan R Ce qu on peut trauire par ½ y =arctan R ( =tany i y π, π h.. Fonction réciproque e tan Propriétés. Leomaineeéfinition e arctan est R ; i. Le omaine image e arctan est π, π h ; 3. tan(arctan ) = pour tout R ;. arctan(tan ) = pour tout i π, π h.

13 Asymptotes.. Fonction réciproque e tan Graphe La courbe e arctan s obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice e la courbe e tan. y y Asymptotes π/ π/ - - π/ π/ arctan et les asymptotes y = ± π y =tan µ µ 5π Eemple 5 Calculer arctan tan. µ µ 5π Solution : arctan tan n est pas égale à 5π car 5π i / π, π h. Sachant que tan est périoique e µ 5π ³ π périoe π, ona,tan =tan,etonc µ µ 5π ³ ³ π arctan tan =arctan tan = π..3 Fonction réciproque e tan Dérivée Laérivéeelafonctionarctan s obtient par application e la formule e la érivée e la fonction réciproque : où arctan () = tan (arctan ) = +tan (arctan ) arctan = + Eemple 6 Calculer la érivée e f() = arctan (sin ). Solution : La fonction f est la composée e arctan () et sin, par application e la érivation e la composée on a (arctan (sin )) = +sin sin = cos +sin

14 .. Fonction réciproque e cot Définition Rappelons ci-essous le graphe e y =cot. y 5 -π π -π -5 π/ ππ π - y =cot Noter que la fonction cot n est pa bijective sur son omaine e éfinition, mais que sa restriction à l intervalle ],π[ l est (continue et strictement croissante). Ainsi, la restriction e la fonction cot à ],π[ amet une fonction réciproque qu on appelle arccotangente et qu on note arccot. Onaonc: cot ],π[ R arccot Ce qui est équivalent à ½ y =arccot R..5 Fonction réciproque e cot Propriétés ½ =coty y ],π[. Leomaineeéfinition e arccot est R ;. Le omaine image e arccot est ],π[ ; 3. cot(arccot ) = pour tout R ;. arccot(cot ) = pour tout ],π[. µ Eemple 7 Calculer arccot cot( π ). Solution : Comme précéemment, on oit trouver un angle θ ans l ensemble image e arccot tel que cot θ = cot( π ). Comme cot est périoique e périoe π, onacot3π =cot π. Par conséquent, µ arccot cot π µ = arccot cot 3π = 3π 3

15 Asymptotes..6 Fonction réciproque e cot Graphe La courbe e arccot s obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice e la courbe e cot tan. y y - π/ π Asymptotes π π/ - y =arccot..7 Fonction réciproque e cot Dérivée Laérivéeelafonctionarccot s obtient par application e la formule e la érivée e la fonction réciproque : où arctan () = cot (arccot ) = cot (arccot ) = +cot (arccot ) arctan = + Eemple Déterminer la érivée e f() = arccot ( +). Solution : Par application e la formule e érivation e la composée, on a (arccot ( +)) = +( +) = + + ( +)= +( +) =.. Fonctions trigonométriques réciproques Résumé Fonction Domaine Image Dérivée h arcsin [, ] π, π i pour < arccos [, ] [,π] pour < i arctan ], [ π, π h pour tout + arccot ], [ ],π[ pour tout + + +

16 Formule e la érivée e la composée Fonction [arcsin(g ())] = g () p g () pour g () < [arccos(g ())] = g () p g () pour g () < [arctan(g ())] = g () +g () pour tout [arccot(g ())] = g () +g () pour tout.3 Fonctions eponentielles e base a.3. Fonctions eponentielles e base a Propréités La fonction eponentielle e base a, réel positif (a > ), a les propriétés algébriques suivantes : a =, a +z = a a z, a z = a a z, (a ) z = a z, a b =(ab), b> ³ a a, b = b> b Eemples 6 = +6 = = 3 /3 6 =3 6 =3 =9 ( ) 3 = 6 =6 ( ) = =/56 = + = =6 3 = =/ =/ Eercice Simplifier (a) 3 6, (b) 5 6, (c) Fonctions eponentielles e base a Graphe On étermine l image un certain nombre e réels puis on les joint (Ce n est pas une méthoe conseillée). Eemple 9 Graphe e y = y = 5

17 Pour tout a>, les graphes e y = a ont le même comportement que celui e y = µ Eemple Graphe e y =.Noterque µ =( ) = µ Ainsilegrapheey = est la symétrie par rapport à Oy u graphe e y = µ Pour tout <a<, les graphes e y = a ontlemêmecomportementqueceluiey = µ Fonction eponentielle e base e.. Fonction eponentielle Définition Rappelons qu après et, le nombre le plus important en calcul ifférentiel et e.eneffet e est plus important que π. Voicilenombree avec i chiffres après la virgule :.7. EtVoicie avec 5 chiffres après la 6

18 virgule : e Ce nombre e est utilisé pour éfinir la fonction eponentielle. Dèfinition 3 La fonction eponentielle est éfinie par : f : R R 7 e Son omaine est R et son omaine image est [, + [. Onlanoteaussiep(). Remarque 7 Noter que quan on it fonction eponentielle cela veut ire Fonctions eponentielles e base e... Fonction eponentielle Propriétés et limites usuelles La fonction eponentielle a les propriétés suivantes : e = e +z = e e z e z = e /e z (e ) z = e z lim e = lim + e =+ e lim + =+ Il est très important e retenir ces propriétés...3 Fonction eponentielle Graphe Il est important e connaître l allure e la courbe e cette fonction. On étermine l image un certain nombre e réels puis on les joint e y = e Eemple Tracer le graphe e y = e. Solution : En utilisant les propriétés e l eponentiel on a : e =(e ) =(/e ).Ainsi,onpeuttracerle graphe e cette fonction en calculant abor /e puis on évalue (/e ) pour chaque y = e 7

19 .. Fonction eponentielle Dérivée Par éfinition, la érivée une fonction f est onnée par : Ainsi, pour f() =e sa érivée est onnée par : (f()) = f f( + h) f() () = lim h h e +h e (e ) = lim h h = lim e h µ e h h = e lim h e h h car e+h e h = e e h e h µ e = e h h La étermination e cette érivée nécessite le calcul e la limite e (e h )/h quan h ten. En utilisant la calculette, il est facile obtenir les résultats suivants : e h h h Il apparaît que : e h lim = h h Ce qui est vraie! où (e )=e C est une propriété remarquable e la fonction y = e. La érivée e la fonction est la fonction elle même!..5 Fonction eponentielle Dérivée e la composée La fonction f() =e v() = u(v()) est la composée e la fonction eponentielle u() =e et e la fonction v. En appliquant la règle e érivation e la fonction composée [u(v())] = u (v()).v () et en tenant compte u fait que u () =(e ) = e on éuit ev () = e v() v ()

20 Eemple Déterminer la érivée e f() =e. Solution : cette fonction est e la forme f() =e v(). D où sa érivée est : (e )=e () =e Eemple 3 Soient k et C eu nombres réels fies et t une variable. Vérifier que la fonction f() =Ce kt est solution e l équation ifférentielles : ky y =. Solution : Si f() =Ce kt, alors sa érivée est f = Cke kt et ky = kce kt. Ainsi,.5 Fonctions hyperboliques kf f = Cke kt kce kt =.5. Fonctions hyperboliques Définitions Dèfinition La fonction cosinus hyperbolique (cosh) estlafonctionéfinie par : cosh() = e + e Dèfinition 5 La fonction sinus hyperbolique (sinh) est la fonction éfinie par : sinh() = e e Dèfinition 6 La fonction tangente hyperbolique (tanh) estlafonctionéfinie par : tanh() = sinh cosh.5. Fonctions hyperboliques Fonction cosh Parité :Lafonctioncosh est paire car : cosh( ) = e + e = e + e =cosh() Dérivée : cosh () =( e + e ) = ((e ) +(e ) )= (e e )= e e et onc cosh () =sinh() Ainsi cosh est croissante sur [, + [ et écroissante sur ], ]. Graphe : On peut écomposer la fonction cosh comme suit cosh() = e + ϕ() avec ϕ() =e Notons que lim ϕ() = lim + + e =, onc la courbe équation y = e estasymptoteàlacourbe e cosh. D où on éuit le graphe e cosh Graphe e cosh et e 9

21 .5.3 Fonctions hyperboliques Fonction sinh Parité :Lafonctionsinh est impaire car : sinh( ) = e e = e e = sinh() Dérivée : sinh () =( e e ) = ((e ) (e ) )= (e + e )= e + e et onc sinh () =cosh() Ainsi sinh est strictement croissante sur R, carcosh est toujours positive. Graphe : On peut écomposer la fonction sinh comme suit sinh() = e + ϕ() avec ϕ() = e e lim ϕ() =onc la courbe équation y = + est asymptote à la courbe e sinh Graphe e sinh et e.5. Fonctions hyperboliques Relation fonamentale Il est facile établir la relation fonamentale suivante : A faire en eercice. cosh sinh =.6 Fonctions hyperboliques réciproques.6. Fonction réciproque e cosh Définition Rappelons le graphe e cosh Graphe e cosh On peut facilement constater que l ensemble image e cosh est [, + [ et que cette fonction n est pas bijective. Par contre sa restriction sur l intervalle [, + [ est bijective (car continue et croissante). Sur cette intervalle, cosh amet une fonction réciproque qu on appelle argument cosinus hyperbolique et qu on note arg cosh, ainsi : y =argcosh =coshy [, + [ y [, + [

22 .6. Fonction réciproque e cosh Propriétés. Leomaineeéfinition e arg cosh est [, + [ ;. Le omaine image e arg cosh est [, + [ ; 3. cosh(arg cosh ) = pour tout [, + [ ;. arg cosh(cosh ) = pour tout [, + [..6.3 Fonction réciproque e cosh Graphe La courbe e arg cosh s obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice e celle e la restriction e cosh à [, + [ Restriction e cosh [, + [ Fonction y =argcosh Eemple Calculer arg cosh (cos ( )). Solution : arg cosh (cos ( )) n est pas égale à, car / [, + [, on oit trouver un réel a ans l ensemble image e arg cosh tel que cosh a =cot( ). Comme cosh est paire, on a cosh( ) = cosh(), ona arg cosh (cos ( )) = arg cosh (cos ()) =.6. Fonction réciproque e cosh Dérivée La érivée e la fonction arg cosh s obtient par application e la formule e la érivée e la fonction réciproque : arg cosh () = cosh (arg cosh ) = sinh(arg cosh ) or après la relation fonamentale on a : sinh y =cosh y onc sinh (arg cosh ) =cosh (arg cosh ) = et onc sinh(arg cosh ) =. D où arg cosh = Eemple 5 Calculer la érivée e f() = arg cosh +. Solution : f est la composée e arg cosh () et +, par application e la érivation e la composée on a arg cosh + = p ( +) ( +)= p ( +).6.5 Fonction réciproque e sinh Définition Rappelons le graphe e sinh y =sinh

23 On remarque que l ensemble image e sinh est ], + [ et que cette fonction est bijective (car continue et croissante). La fonction sinh amet une fonction réciproque qu on appelle argument sinus hyperbolique et qu on note arg sin, ainsi : y =argsinh ], + [.6.6 Fonction réciproque e sinh Propriétés. Leomaineeéfinition e arg sinh est ], + [ ;. Le omaine image e arg sinh est ], + [ ; 3. sinh(arg sinh ) = pour tout ], + [ ;. arg sinh(sinh ) = pour tout ], + [..6.7 Fonction réciproque e sinh Graphe =sinhy y ], + [ La courbe e arg sinh s obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice e celle sinh y =sinh y =argsinh Eemple 6 Calculer arg sinh (sinh ( )). Solution : arg sinh (sinh ( )) = car arg sinh(sinh ) = pour tout ], + [..6. Fonction réciproque e sinh Dérivée Par application e la formule e la érivée e la fonction réciproque : arg sinh () = sinh (arg sinh ) = cosh(arg sinh ) or après la relation fonamentale on a : cosh y =sinh y +onc cosh (arg sinh ) =sinh (arg sinh )+= +et onc cosh(arg sinh ) = +.D où arg sinh = + Eemple 7 Calculer la érivée e f() =argsinh. Solution : f est la composée e arg sin () et, par application e la érivation e la composée on a arg sinh = p ( ) + ( ) = p ( ) +

24 .7 Fonction logarithme.7. Fonction logarithme Définition Consiérons le graphe e la fonction eponentielle y = e Cette fonction est continue et strictement croissante, elle amet onc une fonction réciproque : c est la fonction logarithme et qu on note y =ln Dèfinition 7 La fonction y =ln est la réciproque e la fonction eponentielle. Rappelons que le omaine e la fonction ln est le omaine image e ep. Ainsi.7. Fonction logarithme Graphe Domaine e ln est ], + [ Comme la fonction ln est la réciproque e la fonction ep. Leurs graphes sont symétrique par rapport à y =. 3 ( b,a) y= y=e y= ln ( a,b).7.3 Fonction logarithme Propriétés Si (a, b) est un point u graphe e y = e, alors le point (b, a) est un point e la courbe e y =ln. Ona onc b = e a et a =lnb où on éuit que b = e ln b pour tout b> (on remplace a par ln b) et a =lne a pour tout a (on remplace b par e a ) En terme e, ona 3

25 e ln = pour tout > ; ln e = pour tout. Remarque Notons qu avec ces eu propriétés, il est possible e résoure beaucoup équations en logarithme et eponentiel. et où D après la euième propriété, on ln e = soit ln = ln e = soit ln e = ln = ; ln e =. Eemple Résoure l équation e +3 =. Solution : Par application e la fonction ln es eu côtés on obtient Et en tenant compte u faite que ln e y = y, ona ln e +3 =ln +3=ln où = (ln 3) Eemple 9 Résoure l équation ln ( ) = 9. Solution : Par application e la fonction ep es eu côtés on obtient Et en tenant compte u faite que e ln y = y, ona e ln( ) = e 9 =e 9 soit = (e9 +) A partir es propriétés e la fonction eponentielle, on éuit les propriétés e la fonction ln suivantes : ln z =ln +lnz, si > et z> ln =ln ln z, si > et z> z ln = ln z, si z> z ln z = z ln, si > et z réel quelconque. On peut facilement montrer ces relations. Voici la preuve : Preuveeln z =ln +lnz, si > et z>. En posant = e s et z = e t,ona ln(z) =ln(e s e t )=lne s+t = s + t et comme ln =lne s = s et ln z =lne t = t, ona ln z =ln +lnz

26 Preuveeln =ln ln z, si > et z>. z En posant = e s et z = e t comme ci-essus. On a ln z =lnes e t =lnes t = s t comme ln = s etln z = t, onobtient ln =ln ln z z Preuveeln = ln z, si z>. z En prenant =ans la relation précéente, on a ln(/z) =ln ln z = ln z. Preuveeln z = z ln si > et z réel quelconque. Posons = e s.alors ln z =ln(e s ) z =lne zs = zs En tenant compte u fait que ln = s, ona ln z = z ln Eemple 3 Simplifier les epressions suivantes : a. ln 3, b. ln 3, c. ln ln,. ln 6 + ln 6. Solution : a. ln 3 =3ln. (car ln z = z ln ) b. ln 3 =ln ln 3. (ln z =ln ln z). Comme =,alorsln = ln. où,ln 3 =ln ln 3. c. ln ln = ln =ln.(carln ln z =ln z ) et comme ln = ln, alorsln ln = ln.. ln 6 + ln 6 =ln6 =ln=. (car ln +lnz =ln(z)) 6.7. Fonction logarithme Dérivée D après la première propriété ci-essus, on a e ln = en érivant es eu côtés et tenant compte u fait que (e ) = e, on obtient (érivée e la composée) où la érivée e ln est onnée par (eln )=e ln (ln ) = (ln ) =, > Eemple 3 Soit y =ln, éterminer y. Solution : Notons que y =ln =ln, ainsi, y =(ln) =.7.5 Fonction logarithme Dérivée ln(v ()) µ = La fonction y =ln(v ()) estlacomposéeelafonctionln( ) et e la fonction v(). Par application e la règle e érivation e la fonction composée on obtient u(v()) = u (v()).v () 5

27 Soit [ln(v())] = ln (v()).v () [ln(v())] = v () v() si v() > et érivable En utilisant cette règle on obtient la formule générale importante : (ln ) = si 6= Notons que =( ) /,etonc [ln ] = [ln( ) / ] car =( ) / = µ ln car ln z = z ln D où la preuve e la formule. = (ln ) = ( ) = = car (a.u()) = a. (u()) car [ln(v())] = v().v () Eemple 3 Calculer ln. Solution : En utilisant la règle e érivation ci-essus, et en tenant compte e =il est facile e trouver que ln = Attention on a bien ln = (ce n est pas une erreur). Eemple 33 Déterminer ln +. Solution : En prenant u() = + et onc u () = ++/( +),ona [ln( +)] = = + ( +) + = + ( +) µ ++ + Autrement : En éveloppant ln( +),onobtient [ln( +)] = [ln +ln( +)/ ] = ln + ln( +) = + + = + ( +) NOTE : Dans la majorité es problèmes il est préférable utiliser la euième méthoe. 6

28 . Fonctions logarithme e base a (a > ).. Fonctions logarithme e base a Définition Ci-essus on a éfini la fonction ln comme étant la réciproque e la fonction e.delamêmemanière on éfinit la fonction logarithme e base a (a > ) comme étant la fonction réciproque e la fonction eponentielle a.onnote y =log a Par eemple, la réciproque e y = est communément connue sous le nom e logarithme e base. Elle se note log. y y = y = y = - - log - - y = log et y =.. Fonctions logarithme e base a Propriétés Lespropriétésbasiquesecettefonction sont ientiques à celles e ln. a log a = pour > ; log a (a )= pour tout ; log a =; log a a =; log a (z) =log a +log a z >,z > ; log a z =log a log a z >,z > ; log a z = log a z z > ; log a ( z )=z log a >, z réel quelconque. Remarque 9 Si a =, log a =log =log c est la notation communément utilisée et, si a = e, ona log e =ln...3 Fonctions logarithme e base a Changement e base Notons que l écriture signifie que En appliquant la fonction ln es eu côtés, on obtient log a = s = a s ln =lna s = s ln a Soit s =(ln)/(ln a) D où la nouvelle formulation e la fonction logarithme e base a log a = ln ln a 7

29 .. Fonctions logarithme e base a Dérivation Il est facile e éterminer la érivée e y =log a en utilisant la relation log a = ln ln a Ainsi (log a ) = µ ln a ln = ln a =. ln a Et par conséquent, si u() > et érivable, on a [log a u()] = u () u(). ln a Eemple 3 Calculer log. Solution Par application e la formule e érivation e la fonction composée, avec u() =, (log )= ln = ln = ln.9 Fonctions eponentielles e base a.9. Fonctions eponentielles e base a Nouvelle formulation En tenant compte e ce qui précèe, on a a =(e ln a ) car a = e ln a et comme (e ln a ) = e ln a on obtient une nouvelle formulation e la fonction eponentielle e base a> y = a = e ln a Remarque La fonction 7 a est onc la composée es fonctions 7. ln a et 7 e.9. Fonctions eponentielles e base a Dérivation Sachant que y = a = e ln a = e u(),onathus,. Fonctions puissances (a )= (e ln a )=(lna)e ln a =(lna)a.. Fonctions puissances Définition Dèfinition Soit α R. La fonction puissance est la fonction éfinie par 7 α = e α ln Son omaine e éfinition est onc le omaine e la fonction ln qui est ], + [.

30 .. Fonctions puissances Dérivée En tenant compte e la éfinition on obtient facilement la érivée. Si α> lim + α =+ et lim α =;. Si α< lim + α =et lim α =+. f () =α α = α ln eα Remarque Notons au passage que, et sont es formes inéterminées...3 Fonctions puissances Graphes Distinguer les cas : α<, <α<,α=,α> y = y = y = y = 3. Comparaison es croissances Pour les fonctions ci-essus, on a les propriétés suivantes : lim + lim + lim + ln (α>) (la puissance l emporte sur le logarithme) α a + (α >,a>) (l eponentiel l emporte sur la puissance) α a + (a >) (l eponentiel l emporte sur le logarithme) ln 9

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