Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

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1 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème de Rolle est basé sur les deux théorèmes suivants, relatifs à des problèmes d extremum. Théorème 0. Si K est un compact de E et f une fonction continue K dans R, elle est alors bornée et atteint ses bornes, c est-à-dire qu il existe α et β dans K tels que : f (α) = inf x K f (x), f (β) = sup f (x). x K Théorème 0. Si O est un ouvert non vide de E et f une fonction de O dans R différentiable en un point α O et admettant un extremum local en α alors df (α) = 0. Théorème 0.3 (Rolle) Soient K un compact de E d intérieur non vide, f une fonction continue de K dans R différentiable sur l intérieur de K et constante sur la frontière de K, Fr (K) = K \ K. Il existe alors un élément c K tel que df (c) = 0. Démonstration. Si f est constante, alors sa différentielle est nulle. On suppose donc f non constante. La fonction f étant continue sur le compact K est bornée et atteint ses bornes, c est-à-dire qu il existe α, β dans K tels que f (α) = inf f (x) et f (β) = sup f (x). Si α, β sont dans Fr (K) x K x K on a alors f (α) f (x) f (β) = f (α) pour tout x K et f est constante contrairement à l hypothèse de départ, on a donc α K ou β K, ce qui entraîne df (α) = 0 ou df (β) = 0. La classique version réelle de ce théorème est la suivante. Théorème 0.4 (Rolle) Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, continue sur cet intervalle et dérivable sur l intervalle ouvert ]a, b[ avec f (a) = f (b), il existe alors un point c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Remarque 0. Il n y a pas, a priori, unicité du point c tel que f (c) = 0 (figure 0.). Remarque 0. La fonction x x sur [, ] nous donne un exemple de situation où f n est pas dérivable au bord (figure 0.). 45

2 46 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications Fig. 0. y = sin (x) Fig. 0. y = x Remarque 0.3 Le théorème n est plus vrai si f n est pas continue au bord comme le montre l exemple de la fonction f définie par f (x) = x sur ]0, ] et f (0) = (figure 0.3). Remarque 0.4 Le théorème n est plus vrai si f n est pas dérivable sur ]a, b[ tout entier comme le montre l exemple de la fonction f définie par f (x) = x sur [, ] (figure 0.4). Le théorème de Rolle pour les fonctions d une variable réelle est encore valable sur une demi-droite fermée. Précisément on a le résultat suivant. Théorème 0.5 Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé [a, + [, continue sur cet intervalle et dérivable sur l intervalle ouvert ]a, + [ avec f (x) = f (a), il existe alors un point c ]a, + [ tel que f (c) = 0. lim x + Démonstration. Le changement de variable t = e x nous ramène à un intervalle compact. On définit donc la fonction g sur [0, e a ] par : { f ( ln (t)) si t ]0, e g (t) = a ], f (a) si t = 0.

3 Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé 47 Fig. 0.3 Fig. 0.4 y = x Cette fonction est continue sur ]0, e a ] comme composée de fonctions continues et avec lim g (t) = t 0 lim f (x) = f (a), on déduit qu elle est continue en a. Elle est dérivable sur ]0, x + e a [ avec g (t) = f ( ln (t)). t Enfin avec g (0) = g (e a ) = f (a), on peut utiliser le théorème de Rolle pour dire qu il existe d ]0, e a [ tel que g (d) = 0 et c = ln (d) ]a, + [ [ est tel que f (c) = 0. On peut aussi utiliser la fonction g définie sur 0, π ] par : [ f (a + tan (t)) si t 0, π [, g (t) = f (a) si t = π. [ Cette fonction est continue sur 0, π [ comme composée de fonctions continues et avec lim g (t) = t π lim f (x) = f (a), on déduit qu elle est continue en π ]0, x +. Elle est dérivable sur π [ avec ( π ) g (t) = ( + tan (t)) f (a + tan (t)). Enfin avec g (0) = g = f (a), on peut utiliser le ] théorème de Rolle pour dire qu il existe d 0, π [ tel que g (d) = 0 et c = a+tan (d) ]a, + [ est tel que f (c) = 0. On a également le résultat suivant pour les fonctions définies sur R.

4 48 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications Théorème 0.6 Si f : R R est dérivable avec dans R tel que f (c) = 0. lim f (x) = x lim f (x), alors il existe c x + Démonstration. Le changement de variable t = arctan (x) nous ramène à un intervalle compact. [ On définit la fonction g sur π, π ] par : Cette fonction est continue sur g (t) = ] π, π f (tan (t)) si t ] π, π [, l = lim f (x) si t = ±π x ±. [ comme composée de fonctions continues et avec lim g (t) = lim f (x) = l, on déduit qu elle est continue en ±π. Elle est dérivable sur t ± π x ± ] π, π [ avec g (t) = ( + tan (t)) f (tan (t)). Le théorème de Rolle nous dit alors qu il existe ] d π, π [ tel que g (d) = 0 et c = tan (d) est tel que f (c) = 0. La version itérée suivante du théorème de Rolle est souvent utile (voir l interpolation de Lagrange et les polynômes orthogonaux). Théorème 0.7 Si f est une fonction à valeurs réelles de classe C m sur un intervalle réel I, où m est un entier naturel, qui s annule en m + points de I distincts, alors il existe un point c dans I tel que f (m) (c) = 0. Démonstration. Si m = 0 le résultat est évident. On suppose donc que m est non nul. Si a, b sont deux racines distinctes de f, le théorème de Rolle nous dit alors qu entre ces deux racines il existe une racine de f. On en déduit que la fonction f admet m racines distinctes dans I. Une récurrence finie nous permet alors de montrer que la dérivée d ordre m, f (m) admet au moins une racine dans I. On peut donner une démonstration du théorème de Rolle basée sur un principe de dichotomie (voir [66]). 0. Applications du théorème de Rolle Le théorème de Rolle est important pour ses nombreuses applications. 0.. Quelques exercices classiques Exercice 0. Soient f, g deux fonctions à valeurs réelles non nulles, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[, avec f (a) g (b) = f (b) g (a). Montrer qu il existe un réel c ]a, b[ tel que f (c) f (c) = g (c) g (c). Solution 0. La fonction h définie sur [a, b] par g (x) = f (x) est continue sur [a, b], dérivable g (x) sur ]a, b[ avec : h (x) = g (x) f (x) f (x) g (x) g (x), h (a) = h (b).

5 Applications du théorème de Rolle 49 Le théorème de Rolle nous dit alors qu il existe un réel c ]a, b[ tel que g (c) = 0, ce qui équivaut à f (c) f (c) = g (c) g (c). Pour g constante égale à, on retrouve le théorème de Rolle. Exercice 0. Montrer que si f : [0, ] R est telle que fixe dans ]0, [. 0 f (t) dt =, alors f a un point Solution 0. La fonction g définie sur [0, ] par g (x) = f (t) dt x est continue sur 0 [0, ], dérivable sur ]0, [ avec g (0) = g () = 0. Le théorème de Rolle nous dit alors qu il existe c ]0, [ tel que g (c) = 0, ce qui signifie f (c) = c. 0.. Sur les racines de polynômes réels Théorème 0.8 Si P est un polynôme réel de degré n scindé sur R alors il en est de même de son polynôme dérivé. Précisément si λ < λ < < λ p sont les racines réelles distinctes de P avec p, la racine λ j étant de multiplicité m j ( p m j = n), alors le polynôme dérivé P admet les réels λ j j= pour racines de multiplicités respectives m j, pour j p (une multiplicité nulle signifie que λ j n est pas racine de P ) et des racines simples µ j ]λ j, λ j+ [ pour j p. Démonstration. Pour j {,, p} tel que m j, λ j est racine d ordre m j du p polynôme P. Ce qui donne (m j ) = n p racines réelles pour P. D autre part, le j= théorème de Rolle nous dit que pour tout j dans {,, p } il existe µ j ]λ j+, λ j [ tel que P (µ j ) = 0, ce qui donne p racines réelles supplémentaires et distinctes pour P. On a donc un total de n racines réelles pour P et les µ j sont nécessairement simples. On peut remarquer que toutes les racines de P sont dans l intervalle [λ, λ p ]. De manière plus générale, si P est un polynôme non constant à coefficients complexes, alors les racines du polynôme dérivé P sont dans l enveloppe convexe de l ensemble des racines de P (théorème de Lucas). Exercice 0.3 Soient n, a, b réels et P (x) = x n + ax + b. Montrer que si n est pair alors P a 0, ou racines réelles et si n est impair alors P a, ou 3 racines réelles. Solution 0.3 On utilise la conséquence suivante du théorème de Rolle : si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs réelles telle que f admette exactement p racines réelles distinctes avec p 0, alors f a au plus p + racines réelles distinctes. En effet, si f a p + racines réelles λ < λ < < λ p+, le théorème de Rolle nous assure l existence d au moins une racine réelle sur chaque intervalle ]λ k, λ k+ [ pour k compris entre et p +, ce qui donne au moins p + racines distinctes pour f. Supposons n pair. On a alors P (x) = n (n ) x n > 0 pour tout réel non nul x et P est strictement croissante sur R de degré impair, elle s annule donc une fois (théorème des valeurs intermédiaires) et une seule (P est injective). Avec le théorème de Rolle on déduit alors que P s annule au plus fois. Supposons n impair. Alors P est strictement décroissante sur ], 0[, strictement croissante sur ]0, + [, avec P (0) = a. Il résulte que P a racines réelles ρ et ρ > 0 si a < 0, 0 pour unique racine réelle si a = 0 et pas de racine réelle si a > 0. Avec la théorème de Rolle, on déduit alors que P a au plus 3 racines réelles. x

6 40 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications On sait qu un polynôme réel de degré n a au plus n racines réelles sur un intervalle I. Plus généralement, on a le résultat suivant. Exercice 0.4 Montrer que pour tout entier naturel n et toutes suites de réels (a k ) 0 k n et (λ k ) 0 k n, les a k étant non tous nuls et les λ k deux à deux distincts, la fonction f n définie par : f n (x) = n a k x λ k a au plus n racines réelles distinctes dans R +,. On dit que la famille de fonctions ( ) x λ k un système de Tchebychev (ou système de Haar ou encore système unisolvent) dans C (R +, ). k=0 0 k n est Solution 0.4 On procède par récurrence sur n 0. Pour n = 0, f 0 (x) = a 0 x λ 0 n a pas de racine dans R +, puisque a 0 est non nul. Supposons le résultat acquis au rang n 0. Si la fonction f n+ = n+ a k x λ k a plus de n + racines distinctes dans R +,, il en est alors de même de la fonction : n+ g n+ (x) = x λ j f n+ (x) = a k x λ k λ j où j compris entre 0 et n + est choisi tel que a j 0. Le théorème de Rolle nous dit alors que la fonction dérivée : n+ n+ g n+ (x) = (λ k λ j ) a k x λ k λ j = (λ k λ j ) a k x λ k λ j k=0 a plus de n racines distinctes dans R +, et en conséquence tous les (λ k λ j ) a k pour k j sont nuls (hypothèse de récurrence), ce qui entraîne f n+ (x) = a j x λ j, mais cette fonction ne s annule jamais sur R +,. On aboutit donc à une impossibilité. Exercice 0.5 En utilisant les théorèmes de Rolle, montrer que pour tout entier n, on a : x R, arctan (n+) (x) = k=0 k=0 k j P n (x) ( + x ) n+, où P n est un polynôme de degré n avec n racines réelles distinctes. Solution 0.5 Pour n = 0, on a arctan (x) = P 0 (x) + x avec P 0 (x) = sans racine réelle. P n (x) En supposant le résultat acquis au rang n, la fonction f n définie par f n (x) = ( + x n+ est ) nulle en ± et en n points distincts, on déduit alors des théorèmes de Rolle (classique sur un compact et généralisé sur un intervalle fermé de longueur infinie) que sa dérivée s annule P n+ (x) en n + points distincts, cette dérivée s écrivant ( + x ) n+, où P n+ (x) = ( + x ) P n (x) (n + ) xp n (x) est un polynôme de degré égal à n + (il a n + racines, ou alors on peut calculer son coefficient dominant). D où le résultat. En fait, en utilisant une décomposition ( en ) éléments simples dans C (X), on peut montrer que kπ ces racines sont les x k = cotan avec k compris entre et n. n + k=0

7 Applications du théorème de Rolle Racines des polynômes de Legendre, de Laguerre et d Hermite Pour tout n N, on note π n (x) = (x ) n et L n = π (n) n. Les polynômes L n sont les polynômes de Legendre sur [, ]. Pour n = 0, on a L 0 =. Pour n le polynôme : n π n (x) = ( ) n k Cnx k k est de degré n et sa dérivée d ordre n : L n (x) = k=0 est un polynôme de degré n, de la parité de n. ( ) n k C k (k)! n n (k n)! xk n k n Théorème 0.9 Pour n, le polynôme L n admet n racines réelles distinctes dans l intervalle ], [. Démonstration. Pour n =, L (x) = x s annule en 0. Pour n, on vérifie par récurrence sur k {0,, n }, que le polynôme π (k) n s annule en, et en k points distincts de ], [. Le polynôme π n admettant et comme racines d ordre n, le résultat est vrai pour k = 0. Supposons le acquis pour k {0,, n } (n ). La fonction π (k ) n est nulle en < t < < t k < et avec le théorème de Rolle on déduit que sa dérivée π (k) n s annule en k points distincts de ], [. D autre part, et étant racines d ordre n de π n, elles sont aussi racines d ordre n k > 0 de π (k) n. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction π (n ) n qui est nulle en n+ points distincts < t < < t n <, on déduit que L n = π (n) n s annule en n points distincts de ], [. Soit α >. Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme L α,n par (x n+α e x ) (n) = L α,n (x) x α e x. Les polynômes L α,n sont les polynômes de Laguerre sur ]0, + [. Il est facile de vérifier que L α,n est un polynôme de degré n. En effet, on a L α,0 (x) =, L α, (x) = + α x. Supposons, pour n, que L α,n est polynomiale de degré n pour tout réel α >. Avec : ( x n++α e x) (n+) = (n + + α) ( x n+α e x) (n) ( x n+(+α) e x) (n) = (n + + α) L α,n (x) x α e x L α+,n (x) x α+ e x = ((n + + α) L α,n (x) xl α+,n (x)) x α e x, on déduit que L α,n+ (x) = (n + + α) L α,n (x) xl α+,n (x) est polynomiale de degré n +. Théorème 0.0 Pour tout réel α > et tout entier n, le polynôme L α,n admet n racines réelles distinctes dans ]0, + [. Démonstration. Pour α > et n =, on a L α, (x) = +α x de degré nul en +α > 0. En supposant le résultat acquis au rang n pour tout α >, la fonction f n définie sur [0, + [ par f n (x) = (x n+α+ e x ) (n) = L α+,n (x) x α+ e x est nulle en 0, + et en n points distincts de ]0, + [, on déduit alors des théorèmes de Rolle (classique sur un compact et généralisé sur [0, + [) que sa dérivée f n (x) = L α,n+ (x) x α e x s annule en n + points distincts de ]0, + [. D où le résultat au rang n +.

8 4 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications ( ) (n) Pour tout n N, on définit le polynôme H n par e x = Hn (x) e x. Les polynômes H n sont les polynômes d Hermite sur R. Il est facile de vérifier que H n est un polynôme de degré n. Théorème 0. Pour n, le polynôme H n admet n racines réelles distinctes. Démonstration. Pour n =, on a H (x) = x de degré nul en 0. En supposant le résultat acquis au rang n, la fonction f n définie par f n (x) = H n (x) e x est nulle en ± et en n points distincts, on déduit alors des théorèmes de Rolle (classique sur un compact et généralisé sur un intervalle fermé de longueur infinie) que sa dérivée f n (x) = H n+ (x) e x s annule en n + points distincts. D où le résultat au rang n +. En fait ces résultat sont vrais pour toute famille de polynômes orthogonaux et on peut les démontrer en utilisant uniquement les propriétés d orthogonalité et le théorème des valeurs intermédiaires (voir [67]) Majoration de l erreur dans l interpolation de Lagrange Soient I = [a, b] un intervalle réel fermé borné avec a < b, n un entier naturel non nul et (x i ) 0 i n une suite de réels deux à deux distincts dans I. À toute fonction f définie sur I et à valeurs réelles on associe le polynôme d interpolation de Lagrange L n (f) défini par : { Ln (f) R n [x], L n (f) (x i ) = f (x i ) (0 i n). Un tel polynôme est uniquement déterminé par f. On peut l écrire sous la forme : avec : L n,i (x) = L n (f) = n j=0, j i n f (x i ) L n,i, i=0 x x j x i x j (0 i n). Dans le cas où la fonction f est de classe C n+ sur I, on peut donner une expression de l erreur d interpolation f L n (f) en tout point de l intervalle I. Précisément on a le résultat suivant où, pour n, π n+ est la fonction polynomiale définie par : π n+ (x) = n (x x i ). i=0 Théorème 0. Soit f une fonction de classe C n+ sur l intervalle I. Pour tout x dans I il existe un point c x appartenant à I tel que : f (x) L n (f) (x) = (n + )! π n+ (x) f (n+) (c x ). Démonstration. Si x est l un des points x i, on a alors f (x) L n (f) (x) = π n+ (x) = 0 et tout point c x I convient.

9 Applications du théorème de Rolle 43 On se donne donc un point x dans I \ {x 0,, x n }. On désigne par P x le polynôme d interpolation de Lagrange associé à la fonction f et aux points x 0,, x n, x. Ce polynôme est défini par : P x R n+ [t], P x (x i ) = f (x i ) (0 i n), P x (x) = f (x). On vérifie facilement que : P x = L n (f) + f (x) L n (f) (x) π n+. π n+ (x) La fonction g x = f P x est alors de classe C n+ sur l intervalle I, nulle en n + points distincts (x et les x i ), le théorème de Rolle itéré nous dit alors qu il existe un point c x I tel que g x (n+) (c x ) = 0, ce qui compte tenu de : s écrit : ou encore : P (n+) x = f (x) L n (f) (x) π n+ (x) f (n+) (c x ) f (x) L n (f) (x) π n+ (x) f (x) L n (f) (x) = (n + )! (n + )! = 0 (n + )! π n+ (x) f (n+) (c x ). Une démonstration analogue nous permet d obtenir une majoration de l erreur dans l interpolation d Hermite (voir [67]) Convexité Le théorème de Rolle peut être utilisé pour montrer le critère de convexité suivant. Théorème 0.3 Soit I un intervalle réel non réduit à un point. Si f : I R est une fonction deux fois dérivable telle que f (x) 0 pour tout x I, alors f est convexe. Démonstration. Pour x < y fixés dans I et λ [0, ] on pose : ϕ (λ) = f (λx + ( λ) y) λf (x) ( λ) f (y). Cette fonction est deux fois dérivable sur [0, ] avec : { ϕ (λ) = (x y) f (λx + ( λ) y) + f (y) f (x), ϕ (λ) = (x y) f (λx + ( λ) y) 0. La fonction ϕ est donc croissante sur [0, ]. D autre part, on a ϕ (0) = ϕ () = 0, le théorème de Rolle nous dit alors qu il existe c ]0, [ tel que ϕ (c) = 0. Avec la croissance de ϕ on a alors ϕ (λ) ϕ (c) = 0 pour tout λ [0, c] et ϕ (λ) ϕ (c) = 0 pour tout λ [c, ], c est-à-dire que ϕ est décroissante sur [0, c] et croissante sur [c, ], il en résulte que ϕ (λ) 0 pour tout λ [0, ], c est-à-dire que f est convexe. Plus classiquement, on a le résultat suivant (voir [66]). Théorème 0.4 Soit f une fonction dérivable sur I. Les propriétés suivantes sont équivalentes :. f est convexe sur I ;. la fonction dérivée f est croissante sur I ; 3. la courbe représentative de f est située au dessus de sa tangente en tout point de I.

10 44 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0..6 Le théorème de Darboux On peut donner une démonstration du théorème de Darboux qui utilise le théorème de Rolle et le résultat suivant sur les fonction continues. Théorème 0.5 Soient I un intervalle réel et f une fonction continue de I dans R. Cette fonction f est injective si, et seulement si, elle est strictement monotone. Théorème 0.6 (Darboux) Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalle I, alors sa fonction dérivée f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Démonstration. Soient a < b dans I. Si f (a) = f (b) il n y a alors rien à montrer. On suppose donc que f (a) < f (b) et on se donne λ ]f (a), f (b)[. On définit la fonction ϕ : [a, b] R par : x [a, b], ϕ (x) = f (x) λx. Cette fonction est dérivable sur [a, b] avec ϕ (a) < 0 < ϕ (b) et en conséquence elle ne peut être monotone sur I (une fonction monotone dérivable sur un intervalle a une dérivée de signe constant). Le théorème précédent nous dit alors que ϕ n est pas injective, c est-à-dire qu il existe x < y dans I tels que ϕ (x) = ϕ (y) et le théorème de Rolle nous dit qu il existe c ]x, y[ tel que ϕ (c) = 0, ce qui équivaut à f (c) = λ. Une démonstration classique du théorème de Darboux utilise seulement le fait qu une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. On peut aussi démontrer ce théorème en utilisant le théorème des accroissements finis et le théorème des valeurs intermédiaires. 0.3 Le théorème des accroissements finis Exercice 0.6 Soient f, g, h trois fonctions à valeurs réelles, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ et ϕ la fonction définie sur [a, b] par : f (x) g (x) h (x) ϕ (x) = det f (a) g (a) h (a). f (b) g (b) h (b) Montrer qu il existe un réel c ]a, b[ tel que ϕ (c) = 0. Quels résultats obtient-on pour h (x) =? Solution 0.6 La fonction ϕ est continue sur [a, b] dérivable sur ]a, b[ et avec le caractère 3-linéaire alterné du déterminant, on a : f (x) g (x) h (x) ϕ (x) = det f (a) g (a) h (a) f (b) g (b) h (b) ϕ (a) = ϕ (b) = 0. Le théorème de Rolle nous dit alors qu il existe un réel c ]a, b[ tel que ϕ (c) = 0. Pour h =, on obtient : f (c) g (c) 0 ϕ (c) = det f (a) g (a) = f (c) (g (a) g (b)) g (c) (f (a) f (b)) = 0, f (b) g (b) soit (f (b) f (a)) g (c) = (g (b) g (a)) f (c). C est le théorème généralisé des accroissements finis. Prenant g (x) = x, on a le théorème classique des accroissements finis.

11 Applications du théorème des accroissements finis 45 Exercice 0.7 Soient (f k ) k n et (g k ) k n deux familles de fonctions à valeurs réelles, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ et telles que g k (a) g k (b) pour tout k compris entre et n. Monter qu il existe un réel c dans ]a, b[ tel que : n f k (c) = k= n k= g k (c) f k (b) f k (a) g k (b) g k (a). Solution 0.7 On considère la fonction ϕ définie sur [a, b] par : ϕ (x) = n (f k (x) f k (a) λ k (g k (x) g k (a))) k= où les constantes λ k sont choisies telles que ϕ (a) = ϕ (b). On peut prendre : λ k = f k (b) f k (a) g k (b) g k (a) ( k n). Cette fonction est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ avec ϕ (a) = ϕ (b). Le théorème de Rolle nous dit alors qu il existe un réel c dans ]a, b[ tel que ϕ (c), ce qui donne le résultat annoncé. 0.4 Applications du théorème des accroissements finis On peut donner une démonstration du théorème de Darboux qui utilise le théorème des accroissements finis et le théorème des valeurs intermédiaires. Théorème 0.7 (Darboux) Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalle I, alors sa fonction dérivée f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Démonstration. Soient a < b dans I. Si f (a) = f (b) il n y a alors rien à montrer. On suppose donc que f (a) < f (b) et on se donne λ ]f (a), f (b)[. On définit les fonctions τ a et τ b sur [a, b] par : et : x [a, b], τ a (x) = f (a) si x = a f (x) f (a) x a si x a f (b) si x = b x [a, b], τ b (x) = f (b) f (x) si x b b x Ces fonctions sont continues sur [a, b] puisque f est dérivable sur I et on a : τ a (a) = f (a) < λ < f (b) = τ b (b) On a alors deux possibilités : soit τ a (a) = f (a) < λ τ a (b) et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu il existe un réel c dans ]a, b] tel que avec d entre a et c ; λ = τ a (c) = f (c) f (a) c a = f (d)

12 46 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications soit τ a (b) < λ τ a (b) < f (b) = τ b (b) et en remarquant que : τ a (b) = f (b) f (a) b a = τ b (a) on a τ b (a) < λ < τ b (b) et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu il existe un réel c dans ]a, b[ tel que λ = τ b (c) = f (b) f (c) b c = f (d) On peut donner une démonstration du théorème de Darboux qui utilise le fait que l image d un connexe de R par une application continue à valeurs réelles est un connexe de R, donc un intervalle (caractérisation des connexes de R), et le théorème des accroissements finis. Théorème 0.8 (Darboux) Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalle I, alors sa fonction dérivée f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Démonstration. Il s agit de montrer que f (I) est connexe dans R, ce qui revient à dire que c est un intervalle. L ensemble : { } f (x) f (y) C = (x, y) I, x < y x y est un connexe de R comme image du connexe de R, E = {(x, y) I, x < y} (cet ensemble est convexe donc connexe), par l application continue ϕ définie sur I par f (x) f (y) si y x ϕ (x, y) = x y f (x) si y = x Le théorème des accroissements finis nous dit que tout z C s écrit z = f (t) avec t I et en écrivant que f f (t + h) f (t) (t) = lim, on déduit que z est aussi dans C. On a donc h 0 + h C f (I) C avec C connexe, ce qui entraîne que f (I) est connexe. On trouvera d autres démonstrations dans Bartle et Sherbert : Introduction to real analysis, John Wiley, 99 (lemme 6.. et théorème 6..) ou dans Boas (p. ), Hardy (5., sec. 9) ou Rudin, ou...

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