Calcul des primitives

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1 Université Joseph Fourier, Grenoble Mths en Ligne Clul des primitives Bernrd Yrt L objetif de e hpitre est purement tehnique : l théorie de l intégrtion est supposée onnue ou dmise. Le seul but est d eposer les priniples tehniques de lul des primitives et des intégrles. Tble des mtières Cours. Propriétés des intégrles Primitives et intégrles Tehniques de lul des primitives Primitives des frtions rtionnelles Applitions des frtions rtionnelles Entrînement. Vri ou fu Eeries QCM Devoir Corrigé du devoir Compléments L qudrture du erle Fontions spéiles Intégrles elliptiques mi

2 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Cours. Propriétés des intégrles Toutes les fontions onsidérées sont supposées ontinues, ou ontinues pr moreu, sur leur intervlle d intégrtion, et sont don intégrbles. Nous ommençons pr résumer les priniples propriétés des intégrles. Théorème.. Reltion de Chsles :. Linérité : 3. Monotonie : b b f() d + (λf() + µg()) d λ b f() d b f() d. b f() d + µ g() d. Si [, b], f() g() lors b f() d b g() d. L reltion de Chsles permet d étendre l définition de l intégrle u s où l fontion f n est ontinue que pr moreu sur l intervlle d intégrtion. On intègre séprément hun des moreu et on joute ensuite les intégrles obtenues. Considérons pr eemple l fontion f qui vut si [, ] et si ], ]. f() / Figure Eemple de fontion disontinue. Son intégrle sur l intervlle [, ] vut : f() d d + d +.

3 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble À propos de et eemple, il est onseillé de ne ps perdre de vue l interpréttion géométrique d une intégrle : l intégrle d une fontion onstnte positive est l surfe d un retngle, l intégrle d une fontion ffine positive ou nulle (du type α + β) est l surfe d un tringle si l fontion s nnule sur l une des deu bornes, l surfe d un trpèze dns le s générl. L reltion de Chsles reste vrie même si les bornes des intervlles d intégrtion ne sont ps dns le bon ordre, e qui peut rriver près un hngement de vrible. On onvient de hnger le signe de l intégrle qund on éhnge les bornes. Cette onvention est ohérente ve le fit que l intégrle sur un intervlle de longueur nulle vut néessirement. b f() d + f() d f() d. b L propriété du théorème (linérité), dit que l intégrle est une pplition linéire, de l espe vetoriel des fontions intégrbles, dns R. On l utiliser souvent, soit pour mettre en fteur une onstnte devnt l intégrle, soit pour séprer le lul en deu intégrles plus simples. Pr eemple : π 4 os () d π 4 + os() d π 4 d + π 4 os() d π On peut utiliser l monotonie pour vérifier ertins luls. Pr eemple si une fontion est positive sur l intervlle d intégrtion, son intégrle doit être positive. L intégrle d une fontion positive et non identiquement nulle est même stritement positive : on utilise souvent e résultt sous l forme suivnte. Proposition. Soit f une fontion ontinue sur [, b]. Si l intégrle de f sur [, b] est nulle, lors f est identiquement nulle. b f() d f(), [, b]. L intégrle peut être endrée à l ide du minimum et du mimum de f sur l intervlle [, b] : b (b ) inf f() [,b] f() d (b ) sup f(). [,b] Si on divise es inéglités pr l longueur de l intervlle, on obtient : inf f() b f() d sup f(). [,b] b [,b] b Il fut omprendre f() d omme l vleur moyenne de l fontion sur l intervlle. Le théorème de l moyenne dit que ette vleur moyenne est tteinte sur b l intervlle.

4 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Théorème. Si f est ontinue sur [, b], il eiste [, b] tel que : b f() d f(). b f() b Figure Illustrtion du théorème de l moyenne.. Primitives et intégrles Rppelons tout d bord l définition. Définition. On ppelle primitive d une fontion f, définie sur un intervlle ], b[, toute fontion dérivble sur ], b[, dont l dérivée oïnide ve f sur ], b[. Etnt données deu primitives de f, leur différene doit voir une dérivée nulle, et don être onstnte. Deu primitives de l même fontion diffèrent don pr une onstnte. Pour spéifier une primitive prtiulière, il suffit de fier s vleur en un point. En générl, on onsidère l primitive qui s nnule en un ertin point. Elle s érit omme une intégrle, grâe u théorème suivnt, que nous dmettrons. Théorème 3. Soit f une fontion ontinue sur [, b], et un point de l intervlle [, b]. On onsidère l fontion F (), qui à [, b] ssoie : F () f(t) dt. Alors F est l unique primitive de f qui s nnule u point. Observons l ériture f(t) dt, dns lquelle les deu lettres t et jouent des rôles totlement différents. L lettre désigne une borne de l intervlle d intégrtion. Si on l remple pr un réel, pr eemple, on obtiendr un résultt réel : l vleur de l fontion F u point. L vrible d intégrtion t est muette. On ne peut ps l rempler pr un réel. Pr ontre, n importe quelle utre lettre (suf et ) pourrit 3

5 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble jouer le même rôle. Dns l ériture des primitives, on éviter toujours de noter ve l même lettre l vrible d intégrtion et une des bornes de l intervlle. Observons que n importe quelle primitive peut être utilisée pour luler une intégrle : b f() d F (b) F (b) F (), pr l reltion de Chsles. L intégrle de f est don un roissement de primitive, qui ne dépend ps de l primitive hoisie. On note : b f() d F (b) F () [ ] b F (). Il est ommode, en prtiulier pour les hngements de vrible, de onserver des bornes d intégrtion, même qund on ne lule que des primitives. C est pourquoi nous ontinuerons de noter f(t) dt l primitive de f qui s nnule en, même s il est superflu de fier. De notre point de vue, il n y don uune différene entre les luls de primitives et les luls d intégrles. Il est ournt d eprimer les primitives des fontions usuelles «à une onstnte près». Pr eemple, les primitives de os() sont toutes les fontions de l forme sin() + C, où C est une onstnte réelle. Nous érirons : [ ] os(t) dt sin(t) sin() sin() sin() + C. Or qund prourt R, sin() ne prend que les vleurs omprises entre et, tndis que C désigne une onstnte réelle quelonque. En prtique, il suffit de trouver une primitive prtiulière : l vrible ne ser qu un rtifie d ériture. Nous supposerons toujours que et sont telles que l fontion soit définie et ontinue sur l intervlle [, ]. Pr eemple : [ ] t dt ln t ln + C, e qui suppose que l intervlle [, ] ne ontient ps. Dns ette ériture, C désigne en fit une fontion, qui est onstnte sur hque intervlle où l fontion à intégrer est définie et ontinue. L ensemble des primitives de l fontion / est l ensemble des fontions f telles que : f() où C et C sont deu réels quelonques. { ln() + C si > ln( ) + C si <, En prtique, pour luler une primitive d une fontion donnée, on l rmène à un tlogue de primitives usuelles. Ces primitives, que l on doit onnître, sont rssemblées dns le tbleu i-dessous. Attention : les intervlles de définition ne sont ps préisés. 4

6 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Fontion ( R, ) e λ (λ ) os(ω) (ω ) sin(ω) (ω ) os () + tn () + osh(ω) (ω ) sinh(ω) (ω ) + Une primitive + + ln λ eλ ω sin(ω) ω os(ω) tn() rtn() ω sinh(ω) ω osh(ω) ln ( + + ) ln + rsin() Nous rppelons dns l setion suivnte les tehniques de bse pour le lul des primitives, lorsqu elles peuvent s eprimer à l ide des fontions lssiques..3 Tehniques de lul des primitives L première tehnique de lul onsiste à utiliser l linérité pour séprer l intégrle d une somme en une somme d intégrles. L eemple le plus simple est elui des polynômes. (t 3 + t + 4t + ) dt C. On peut ussi intégrer des polynômes en sin() et os(), ou bien sinh() et osh(). On utilise pour el les formules d Euler, et les propriétés de l eponentielle (réelle ou omplee). 5

7 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble sin() ei e i i sinh() e e os() ei + e i osh() e + e Le prinipe est le suivnt : tout polynôme en sin() et os() est une ombinison linéire de termes de l forme sin n () os m (), qu il s git de linériser, en les eprimnt eu-mêmes omme ombinisons linéires de termes en sin(k) et os(k), dont on onnît une primitive. Voii un eemple. sin 4 () os 6 () (ei e i ) 4 (e i + e i ) 6 4 (ei e i ) 4 (e i + e i ) 4 (e8i 4e 4i + 6 4e 4i + e 8i )(e i + + e i ) 4 (ei 4e 6i + 6e i 4e i + e 6i +e 8i 8e 4i + 8e 4i + e 8i +e 6i 4e i + 6e i 4e 6i + e i ) ( ) 6 + os() 8 os(4) 3 os(6) + os(8) + os(). 5 D où une primitive de sin 4 () os 6 () : sin() sin(4) sin(6) sin(8) 48 + sin() 5 Observons que les questions de prité permettent de prévoir priori que l linéristion ne ontiendr que des os(k). En effet, sin() est une fontion impire et os() une fontion pire. Don si on remple pr, sin n () os m () ser inhngé si n est pir, hngé en son opposé si n est impir. Dns le premier s, l linéristion ne ontiendr que des osinus, dns le seond s, elle ne ontiendr que des sinus. L même tehnique s utilise ussi pour les osinus et sinus hyperboliques. Comme utre pplition de l eponentielle omplee, signlons l possibilité d intégrer des epressions du type e λ os(ω) ou e λ sin(ω), en les eprimnt omme prties réelles ou imginires d eponentielles omplees, que l on peut intégrer formellement omme des eponentielles réelles. Voii un eemple. e 3 os() Re(ep((3 + i))). Or une primitive (formelle) de ep((3 + i)) est : 3 i ep((3 + i)) 3 + i 3 e3 (os() + i sin()). 6.

8 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble L prtie réelle de ette epression est : qui est don une primitive de e 3 os(). 3 e3 (3 os() + sin()), e 3t os(t) dt 3 e3 (3 os() + sin()) + C. L seonde tehnique de lul à onnître est l intégrtion pr prties : b u() v () d [ ] b b u() v() u () v() d. Il fut penser à une intégrtion pr prties qund l un des fteurs de l fontion à intégrer une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), ln() (dérivée /), rsin() (dérivée / ) ou rtn() (dérivée /( + )). Enore fut-il onnître une primitive de l utre fteur. Pr eemple, pour λ : t e λt dt [ t ] λ eλt λ eλt dt λ eλ λ eλ + C. u(t) t u (t) v (t) e λt v(t) λ eλt L tehnique de lul d intégrles (ou de primitives) l plus importnte est le hngement de vrible. Théorème 4. Soit f une fontion ontinue sur [, b] et φ une fontion dérivble, de dérivée ontinue sur ], b[. Alors : b f(t) dt φ(b) φ() f(φ (u)) (φ ) (u) du. Il est fortement déonseillé de retenir l formule pr œur. Un hngement de vrible doit se penser de l mnière suivnte.. Je souhite rempler t pr u φ(t).. J eprime t en fontion de u : t φ (u) (je m ssure que φ est bien une bijetion). 3. J eprime dt en fontion de u et du en dérivnt l epression de t fontion de u : dt (φ ) (u) du. 4. J juste les bornes de l intervlle d intégrtion : si t vrie de à b, lors u φ(t) vrie de φ() à φ(b). (Cet justement des bornes est l rison pour lquelle il est onseillé de luler une primitive omme une intégrle de à ). 7

9 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble 5. Je remple t et dt pr leurs vleurs en fontion de u et du. Comme eemple, nous llons triter trois primitives d un type fréquent, omportnt l rine rrée d un trinôme. Voii l première. t + t + 5 dt. Notons que l fontion à intégrer est définie sur R tout entier. L première étpe onsiste à mettre le trinôme sous forme nonique, de mnière à fire pprître l une des trois epressions u +, u ou u. Nous sommes ii dns le premier s. t + t + 5 dt Nous devons don poser : On obtient : u t + ( t+ ) + dt (t + ) + 4 dt soit t u et dt du. + + u + du ( t+ ) + dt. + + u + du [ ln(u + ] + u + ) + ln( + + ( + ) +) + C ln( ) + C ln( ) + C. Voii une sitution prohe, mis qui du fit des signes renontrés dns le trinôme, onduit à des résultts différents. t t 3 dt. L fontion à intégrer est définie sur ], [ ]3, + [. Nous devons don supposer que l intervlle [, ] est soit inlus dns ], [, soit dns ]3, + [. L mise du trinôme sous forme nonique donne : t t 3 dt (t ) 4 dt 8 ( t ) dt.

10 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Nous devons don poser : On obtient : u t soit t u + et dt du. ( t ) dt u du u du [ ln u + ] u ln + ( ) + C ln C ln C. Comme prévu, les primitives ne sont définies que pour < ou > 3. Remrquez que le signe de + 3 dépend de l intervlle sur lequel on se trouve : il est négtif sur ], [, positif sur ]3, + [. Voii le dernier s que l on peut renontrer selon le signe du trinôme. t + t + 3 dt. L fontion à intégrer n est définie que sur l intervlle ], 3[. Nous devons don supposer que l intervlle [, ] est inlus dns ], 3[. L mise du trinôme sous forme nonique donne : t + t + 3 dt (t ) + 4 dt Nous devons don poser : dt. ( t ) u t soit t u + et dt du. 9

11 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble On obtient : dt ( t ) du u u du [ ] rsin(u) ( ) rsin + C. Comme prévu, les primitives ne seront définies que pour ], 3[. Nous verrons plus loin d utres pplitions lssiques des hngements de vrible. Il n est ps toujours file de deviner le bon hngement de vrible. Pour el, il fut se lisser guider pr l epression de f : si elle ontient une fontion ψ(t) et s dérivée ψ (t), il pourr être judiieu de poser u ψ(t). Dns le s le plus fvorble, l fontion se met sous l forme f(t) g (ψ(t))ψ (t), qui est l dérivée de g(ψ(t)). Il suffir don de onnître une primitive de g. Cei ne relève ps diretement du théorème 4, et s pplique d illeurs même si ψ n est ps monotone. Voii un eemple, ve ψ(t) e t, et ψ (t) te t. t [ ] te t dt + e t e t + dt ln( + e t ) ln( + e ) + C..4 Primitives des frtions rtionnelles On ppelle frtion rtionnelle le quotient de deu polynômes. L pluprt des primitives que l on sit luler formellement se rmènent à des luls de primitives de frtions rtionnelles, pr des hngements de vrible simples. Nous ommençons pr reenser les frtions rtionnelles prtiulières dont on sit luler une primitive. On les ppelle les éléments simples. On note n un entier stritement positif, et, b,, α, β des réels quelonques.. n : primitive. 3. n + n+. ( + ) : primitive ln + pour n ou n α + β ( + b + ) n, ve b 4 <. pour n >. n + ( + ) n

12 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Le dernier type est le plus diffiile à intégrer. L tehnique onseillée est l suivnte. On ommene pr fire pprître u numérteur l dérivée + b du trinôme. α + β ( + b + ) n α ( + b) + β α b ( + b + ) n α + b ( + b + ) + (β α n b) ( + b + ). n Cette dernière epression est ombinison linéire de deu termes. Le premier est de l forme f () f() n. Une primitive est don : γ [ t + b (t + bt + ) dt n n + (t + bt + ) n si n >, ou bien : si n. γ [ t + b t + bt + dt ln t + bt + Reste à intégrer le seond terme, γ (t + bt + ) dt. n ] ] γ γ n + ( + b + ) + C, n ln + b + + C, Il fut ommener pr mettre le trinôme sous forme nonique : ( t + bt + (t + b ) ) b 4. 4 On effetue lors un hngement de vrible ffine : t + b v b 4, 4 qui rmène le lul à elui d une primitive du type : I n (u) u γ (v + ) n dv. Si n, on obtient rtn(u)+c. Pour n >, une stue permet d effetuer un lul itértif en fisnt bisser le degré du dénominteur. ( u v + I n (u) γ (v + ) v ) dv n (v + ) n u u γ (v + ) dv v( v) n γ (v + ) dv. n

13 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Le premier terme est I n (u). Le seond terme s intègre pr prties, en dérivnt v. [ ]u u I n (u) I n (u) n + (v + ). n v γ n + (v + ). n dv. On rmène don insi le lul de I n (u) à elui de I n (u). En itérnt, on rrive à I (u) rtn(u) + C. On peut se demnder pourquoi le type 3 été restreint u dénominteurs tels que b 4 <. L rison est que dns le s, le type 3 se rmène u type. En effet, si, le trinôme s érit : γ + + b + ( + b ). Si >, le trinôme deu rines réelles. Il s érit : où ρ et ρ désignent les deu rines. Or : Une primitive de ( ρ )( ρ ) γ + b + ( ρ )( ρ ), ( ρ )( ρ ) ρ ρ ρ + ρ. ρ ρ est don : (t ρ )(t ρ ) dt ρ ρ (log( ρ log( ρ ) + C. Nous ommençons pr générliser ei à des frtions rtionnelles dont le dénominteur deu rines réelles distintes. Proposition. Soient n et m deu entiers, ρ et ρ deu réels distints. Il eiste des réels α,..., α n et β,..., β m tels que : ( ρ ) n ( ρ ) m α ( ρ ) + α ( ρ ) + + α n ( ρ ) n + β ( ρ ) + β ( ρ ) + + β m ( ρ ) m. Démonstrtion : L démonstrtion s effetue pr réurrene sur n + m, en utilisnt le s n m que nous vons déjà eminé. Notons H n,m l propriété énonée dns le théorème. Nous vons déjà montré que H, est vrie. Pour tout n, m, H n, et H,m sont évidemment vries. Pour n et m, on peut érire : ( ρ ) n ( ρ ) m ρ ρ ρ + ρ ρ ρ ( ρ ) n ( ρ ) m ( ) ρ ρ ( ρ ) n ( ρ ) m ( ρ ) n ( ρ ) m.

14 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Si H n,m et H n,m sont vries, on en déduit que H n,m est vrie. Don H n,m est vrie pour tout n, m. L déomposition que nous venons d effetuer, d une frtion rtionnelle prtiulière en une ombinison linéire d éléments simples, se générlise à des frtions rtionnelles quelonques. Nous ne donnerons ps l démonstrtion du théorème suivnt, semblble à elle de l proposition préédente, mis beuoup plus fstidieuse. Théorème 5. Considérons une frtion rtionnelle du type P ()/Q(), où P et Q sont deu polynômes à oeffiients réels, supposés premiers entre eu (frtion irrédutible). Considérons une ftoristion du dénominteur Q() sous l forme : Q() ( ρ ) n ( ρ k ) n k ( + b + ) m ( h + b h + h ) m h, où ρ,..., ρ k sont les rines réelles de Q, de multipliités n,..., n k, et les trinômes j + b j + j sont ses fteurs de degré, de disriminnt stritement négtif, orrespondnt u rines omplees de Q. L frtion rtionnelle P/Q s érit omme ombinison linéire des éléments simples suivnts.. l, où l,..., deg(p ) deg(q).. ( ρ i ), où i,..., k et l,..., n i. l 3. α + β ( j + b j + j ), où j,..., h et l,..., m j. l Pour omprendre ette déomposition, le mieu est d eminer s forme sur un s prtiulier, rssemblnt les différentes situtions. 3 ( ) 3 ( ) ( 3)( + ) ( + + ) A + B + + C ( ) + D ( ) + E ( ) 3 F ( ) + G ( ) + H ( 3) + I + J ( + ) + K + L ( + ) + M + N ( + + ), où les lettres A, B,..., M désignent des réels à déterminer. L théorie ssure que es réels eistent et sont uniques. Il suffirit don de réduire tous les éléments simples u 3

15 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble même dénominteur, et d identifier les numérteurs pour obtenir utnt d équtions que d inonnues (4 dns notre s). Ce n est ps insi qu on proède en prtique. On utilise plusieurs tehniques de mnière à déterminer le plus de oeffiients possibles pr des équtions simples. Voii es tehniques. Pour l prtie polynomile. Celle-i est non nulle seulement dns le s où le degré du numérteur est supérieur ou égl u degré du dénominteur. Dns e s le polynôme herhé, que l on ppelle l prtie entière, est le quotient Ent() de l division eulidienne de P () pr Q() : P () Ent()Q() + R(), où le reste R() est de degré stritement inférieur u degré de Q(). Dns notre eemple, Ent() + 9. Il fut s ssurer uprvnt que l frtion est bien irrédutible, et l simplifier éventuellement si elle ne l étit ps. Pour les termes en ( ρ i ) n i. Si on multiplie les deu membres de l déomposition pr ( ρ i ) n i, l rine ρ i disprît. On peut don rempler pr ρ i, e qui nnule tous les termes de l déomposition suf un. Il reste à guhe une ertine vleur, que l on lule en générl filement. Dns notre eemple, si on multiplie les deu membres pr ( ) 3, et qu on remple pr, on trouve : 3 ( ) ( 3)( + ) ( + + ) E, soit E. 4 Pour les termes en ( j + b j + j ) m j. On proède de même, en remplçnt pr une des rines omplees du trinôme. Dns notre s, on multiplie les deu membres pr ( + ), et on remple pr i. On trouve : i 3 (i ) 3 (i ) (i 3)(i + i + ) Ki + L. On identifie lors l prtie réelle et l prtie imginire : K et L 5. Pour les utres termes. Il fut herher les équtions les plus simples possibles, en prennt des vleurs prtiulières pour, qui ne soient ps des rines du dénominteur (, ±, et.). On peut ussi penser à fire tendre vers l infini. On n reours à une rédution u même dénominteur ve identifition des oeffiients qu en dernier ressort. Grâe à l déomposition en éléments simples, nous sommes mintennt en mesure d intégrer n importe quelle frtion rtionnelle, puisque nous svons intégrer hun des éléments simples. Nous llons détiller l eemple suivnt. P () Q() 6 + ( )( + + ). 4

16 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Le numérteur et le dénominteur sont premiers entre eu, l frtion est bien irrédutible. S déomposition en éléments simples l forme suivnte. 6 + ( )( + + ) A + B + C ( ) + D + E ( + + ) + F + G ( + + ). L division eulidienne du numérteur pr le dénominteur donne : ) 6 + ( ) (( )( + + ) + 3. Don A, B, et : 6 + ( )( + + ) ( )( + + ). On peut désormis ne trviller que sur l prtie restnte, à svoir : 3 ( )( + + ) C ( ) + D + E ( + + ) + F + G ( + + ). On multiplie les deu membres pr ( ), et on remple pr. On trouve C. 9 On multiplie ensuite les deu membres pr ( + + ), et on remple pr j +i 3. On trouve F j+g i 3. En identifint les prties réelles et imginires, 3 on trouve F + G et 3 F 3. L solution de e système de deu équtions 3 à deu inonnues est F et G On peut ensuite rempler pr i, et identifier prtie réelle et prtie imginire. On trouve D et E Il est bon de vérifier les luls, pr une ou plusieurs vleurs prtiulières. Pour : C + E + G. Pour : A B + C + D+E F +G +. Après voir enlevé l prtie entière, si on multiplie les deu membres pr et qu on fit tendre vers + : C + D. Aynt l déomposition en éléments simples, nous sommes mintennt en mesure de luler une primitive. I() t 6 + (t )(t + t + ) dt +t+ (t ) + t (t + t + ) + t (t + t + ) dt. On lule séprément 4 primitives. I 3 () I () 9 ( + t) dt, I () 9 t dt, t (t + t + ) dt, I 4() t (t + t + ) dt. 5

17 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Les deu premières sont files. I () I () ( + t) dt + + C. [ ] 9 t dt 9 ln t 9 ln + C. Les deu suivntes sont plus diffiiles. I 3 () t + 5 dt + 9 t + t + 9 t + t + dt 9 ln( + + ) + C Clulons séprément l primitive suivnte. I 5 () Effetuons le hngement de vrible : t + t + dt t + t + dt. (t + ) + 3 dt. 4 (t + 3 ) u, soit t u 3 3 et dt du. I 5 () 3 (+ ) 3 En regroupnt les luls : (+ 3 ) u + du rtn( ( )) + C 5. I 3 () 9 ln( + + ) rtn( 3 ( + )) + C 3. Pssons mintennt à I 4 () : I 4 () 3 t + (t + t + ) dt (t + t + ) dt C 4 Clulons séprément l primitive suivnte. I 6 () Effetuons le hngement de vrible : (t + t + ) dt (t + t + ) dt. ((t + ) + 3 dt. ) 4 (t + 3 ) u, soit t u 3 3 et dt du. 6

18 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble I 6 () (+ ) 3 (+ 3 ) (u + ) du (+ ) + u 3 (+ 3 ) (u + ) du (+ ) u 3 (+ 3 ) (u + ) du rtn( ( + 3 )) + C I 7(). Clulons enfin I 7 () pr prties : I 7 () 3 (+ ) u u (+ 3 ) [ (u + ) du u + ( u) ] 3 (+ ) + (+ 3 ) 3 (+ ) 3 (+ ) u + du 3 ( + ) 4 ( + 3 ) + + rtn( ( + 3 )) + C 7. En regroupnt l ensemble des résultts, on trouve : I() ln 9 ln( + + ) + rtn( ( )) C..5 Applitions des frtions rtionnelles De nombreu luls d intégrles se rmènent, près un ou plusieurs hngements de vrible, à un lul de primitive de frtion rtionnelle. Nous llons distinguer 4 types prinipu, et donner pour hun un eemple. L fontion à intégrer est notée f. Nous supposons omme d hbitude que f est définie et ontinue sur l intervlle d intégrtion, et que les hngements de vrible proposés peuvent effetivement être ppliqués. Type : f est une frtion rtionnelle en e t, osh(t), sinh(t) : Chngement de vrible u e t. Eemple : Posons : I sinh(t) dt dt. e t e t u e t soit t ln(u) et dt u du. 7

19 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble I e e u u u du e e u du e e u [ ] e u + du ln u ln u + e ln e e + ln e e + ln (e + ) e +. Type : f est une frtion rtionnelle en os(t), sin(t), tn(t) : Chngement de vrible u tn(t/). En effet, si u tn(t/), lors : Eemple : os(t) u u u, sin(t), tn(t) + u + u u, dt + u du. I π + os(t) dt + u + u du 3 + u du. +u Pour intégrer ette frtion rtionnelle, il fut effetuer un nouveu hngement de vrible : v u 3 soit u 3v et du 3dv. I v dv 3 3 rtn π 6 π 3 3. Le hngement de vrible u tn(t/) présente l inonvénient de onduire à des frtions prfois ssez ompliquées. On peut fire plus simple dns ertins s. Si f est un polynôme en os(t) et sin(t) : linériser. Si f(t) dt reste inhngé qund on remple t pr t : poser u os(t). Si f(t) dt reste inhngé qund on remple t pr π t : poser u sin(t). Si f(t) dt reste inhngé qund on remple t pr π + t : poser u tn(t). À titre d eemple, eminons l effet de 4 hngements de vrible possibles pour luler : I() tn(t) dt ln os() + C. 8

20 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble u tn t I() tn(/) u os(t) I() u sin(t) I() u tn(t) I() tn(/) os() os() sin() sin() tn() tn() 4u u 4 du u du u u du u + u du. Evidemment, les 4 hngements de vrible onduisent u même résultt finl, mis ertins sont plus simples... Type 3 : f est une frtion rtionnelle en t et ( t+b) m : t+d Chngement de vrible u ( t+b) m. t+d Eemple : I Effetuons le hngement de vrible : + t t dt. u 6 + t soit t u 6 et dt 6u 5 du. I 6 + 6u u 3 + u du + 6u u + du u 6 u + + u + du [ u 3 ] u + u ln u Type 4 : f est une frtion rtionnelle en t et t + bt + : Chngement de vrible u 4 (t + b ). b 4 Il est déonseillé de retenir pr œur e hngement de vrible. L idée est de mettre d bord le trinôme sous forme nonique, puis d effetuer le hngement de vrible déqut pour se rmener à l une des trois formes u +, u ou u. Nous vons déjà vu un eemple pour hun des 3 s. Une fois e hngement de vrible ffine effetué, il reste une frtion rtionnelle en u et u + ou bien u ou bien u. Il fut effetuer lors un nouveu hngement de vrible pour se rmener à une intégrle du type ou.. frtion rtionnelle en u et u + : hngement de vrible u sinh(v). 9

21 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble. frtion rtionnelle en u et u : hngement de vrible u osh(v). 3. frtion rtionnelle en u et u : hngement de vrible u sin(v). Eemple : I t ( t + 3t + ) 3 dt Effetuons le hngement de vrible : t ( ) 3 dt. (t + 3 ) 4 u t + 3 soit t (u 3) et dt du. I 5 3 (u 3) 4 ( 3 ( ) u ) 3 5 du 3 (u 3) ( u ) 3 du. Nous devons lors rempler u pr osh(v) (don du pr sinh(v) dv). I ln(5+ 4) ln(3+ 8) (osh(v) 3) ln(5+ 4) (osh(v) 3) sinh(v) dv (sinh(v)) 3 ln(3+ dv. 8) (sinh(v)) On eprime lors osh(v) et sinh(v) en fontion de e v : I ln(5+ 4) ln(3+ 8) ( ev +e v 3) ln(5+ 4) (e v 6e v + ) dv ( ev e v ) ln(3+ dv. 8) (e v ) C est une intégrle du type : le hngement de vrible w e v nous rmène à une frtion rtionnelle. I (w 6w + ) (w ) w dw w + 4 (w ) 6 (w + ) dw [ ln w 4 w + 6 ] 5+ 4 w

22 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Entrînement. Vri ou fu Vri-Fu. Prmi les ffirmtions suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. Toute fontion intégrble sur [, b] est ontinue.. Si une fontion est ontinue sur [, b], suf en un point, lors f dmet une primitive. 3. Toute fontion ontinue sur [, b] dmet une primitive qui s nnule en b. 4. Toute primitive d une fontion ontinue sur [, b] s nnule en un point de [, b]. 5. Toute primitive d une fontion ontinue sur [, b] est dérivble sur ], b[. 6. Toute primitive d une fontion ontinue sur ], b[ est dérivble à droite en. Vri-Fu. Toutes les fontions onsidérées sont supposées ontinues. Prmi les ffirmtions suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. L intégrle sur [, ] d une fontion négtive ou nulle est négtive ou nulle.. L intégrle sur [, ] d une fontion minorée pr est inférieure ou égle à. 3. L intégrle sur [, ] d une fontion mjorée pr est inférieure ou égle à. 4. L intégrle sur [, ] d une fontion mjorée pr est inférieure ou égle à L intégrle d une fontion impire sur [, ] est nulle. 6. Si une fontion f est telle que pour tout [, ], f() < 3, lors son intégrle sur [, ] est stritement négtive. 7. Si l intégrle d une fontion f ontinue sur [, ] vut y, lors il eiste [, ] tel que f() y. 8. Si l intégrle d une fontion f sur [, ] vut y, lors il eiste [, ] tel que f() y. Vri-Fu 3. Prmi les ffirmtions suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. Toute primitive d une fontion négtive ou nulle est déroissnte.. Toute primitive d une fontion positive ou nulle est positive ou nulle. 3. Toute fontion ontinue est l primitive d une fontion ontinue. 4. Si f est une fontion ontinue, lors os(f()) est une primitive de sin(f()). 5. Si f est une fontion ontinûment dérivble et ne s nnulnt ps, ln(f()) est une primitive de f () f(). 6. Si f est une fontion ontinûment dérivble, rtn(f()) est une primitive de f () +f ().

23 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Vri-Fu 4. Prmi les ffirmtions suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. Il eiste des primitives de ( ) / définies sur l intervlle [, ].. Il eiste des primitives de ( /) / définies sur l intervlle [, ]. 3. Il eiste des primitives de / définies sur l intervlle [, ]. 4. Il eiste des primitives de / définies sur l intervlle [, ]. 5. Toute primitive de sin 8 () est une fontion impire. 6. Toute primitive de sin 9 () est une fontion pire. 7. Une primitive de e t os(t) est e t sin(t). 8. Une primitive de e t os(t) est e t (os(t) + sin(t)). 9. Une primitive de e t os(t) est e t (sin(t) os(t)).. Une primitive de e t os(t) est e t sin(t π 4 ). Vri-Fu 5. Prmi les églités suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi? π π. sin() d os() d π π π π π π π π π sin() d π sin() d π os() d. π sin() d π. sin() d π. os() d. sin() d os() d. sin () d os() d. [ ] π π sin() os() d. π sin () d π. os () d. Vri-Fu 6. Prmi les églités suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. π sin(t) dt π sin(u) du.

24 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble π π π 8 π π 4 π sin(t) dt sin(t) dt sin(t) dt sin(t) dt sin(t) dt. Eeries π 4 π π π e π sin(u) du. sin(u) du. u u du. sin( ) u du. u sin(ln(u)) u du. Eerie. Érire sns lul les primitives suivntes. ln(t) t dt ; te t dt ; e t t dt ; sin(t)e os(t) dt ; e t+et dt ; + e dt ; t sin(t) + os(t) dt ; sin(t) + os(t) dt ; tn(t) os(t) dt ; e tn 3 (t) + tn 5 (t) dt ; sin(t) t + 3 (t + 3t + 5) dt ; sin(t) os(t) dt ; t + t dt ; rsin (t) dt ; t sin(t) tn(t) dt ; + tn 6 (t) dt ; t + t + t + 5 dt ; tn( t) + tn 3 ( t) t dt ; os(t) sin (t) dt ; os (t)(3 + tn(t)) dt ; e t (sin(e t ) sin 3 (e t )) ( + + os 3 (e t ) ) + os 3 (e t ) dt. t + t + t + 3 dt ; sin(e t )e t+ os(e t ) os(e t ) Eerie. Cluler les primitives suivntes, en utilisnt les propriétés de l eponentielle. os 3 (t) dt ; os (t) sin (t) dt ; os 3 (t) sin (t) dt ; sin 3 (t) dt ; os 4 (t) dt ; os(t) sin 3 (t) dt ; os (t) sin 3 (t) dt ; 3 sin 4 (t) dt ; os 3 (t) sin(t) dt ; os(t) sin 4 (t) dt ; dt ;

25 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble osh 3 (t) dt ; osh (t) sinh (t) dt ; osh 3 (t) sinh (t) dt ; e t os(t) dt ; sinh 3 (t) dt ; e t sin(t) dt ; osh 4 (t) dt ; osh(t) sinh 3 (t) dt ; osh (t) sinh 3 (t) dt ; e t os(t) dt ; sinh 4 (t) dt ; osh 3 (t) sinh(t) dt ; osh(t) sinh 4 (t) dt ; e t os(t π 4 ) dt ; e t os(t + π 4 ) dt ; e t os(t π 3 ) dt ; e t os(t + π 3 ) dt ; e t sin(t) dt ; Eerie 3. Cluler les primitives suivntes, en utilisnt l intégrtion pr prties. te t dt ; t ln(t) dt ; t sin(t) dt ; t os(t) dt ; rsin(t) dt ; (t + ) rtn(t) dt ; t e t dt ; t ln(t) dt ; t sin(t) dt ; t os(t) dt ; t rsin(t) dt ; (t + t)e 3t dt ; t 3 e t dt ; t 3 ln(t) dt ; t 3 sin(t) dt ; t 3 os(t) dt ; rtn(t) dt ; (t + ) rsin(t) dt. Eerie 4. Cluler les primitives de frtions rtionnelles suivntes. t(t ) dt ; t t + 4 dt ; t + 4 dt ; t (t ) dt ; (t ) dt ; t + 3 (t )(t + 5) dt ; (t + )(t + t + 5) dt ; t dt ; t 3 t + 4 dt ; 3t + t + 4 dt ; t(t ) dt ; t + (t + ) dt ; t(t ) dt ; t 5 t + 3 dt ; 3t + (t + 4)(t ) dt; t (t ) dt ; t(t + ) dt ; t (t )(t + )(t + 3) dt ; 6 t (t + ) dt ; 3 t 4 t dt ; t 4 + t(t ) 3 dt. 4

26 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Eerie 5. Cluler les primitives suivntes. + e dt ; t e t + e t + dt ; + osh(t) dt ; Eerie 6. Cluler les primitives suivntes. sin(t) dt ; e t e dt ; t e 3t e t e t + dt ; sinh(t) osh(t) dt ; os(t) dt ; e t e t dt ; e t + e t + e t + dt ; osh(t) sinh(t) + osh(t) dt. sin(t) os(t) dt ; + sin(t) dt ; os(t) tn(t) + sin(t) dt ; + 3 sin(t) os(t) dt ; 5 4 sin(t) tn(t) + tn(t) dt ; sin(t)( + os (t)) dt ; sin(t) + sin(t) dt ; + os(t) dt ; + os (t) dt ; os(t) os(t) dt ; + sin(t) dt ; os(t) sin (t) + tn (t) dt ; os(t) sin(t) os(3t) dt. Eerie 7. Cluler les primitives suivntes. + t t t + t dt ; t dt t t + dt. t dt ; t + t + t dt ; Eerie 8. Cluler les primitives suivntes. 4t t + + t dt ; t + t dt ; t + t(4 t) dt ; t + t(t ) dt ; t t dt ; t t + t dt ; t (t )(3 t) dt ; t t + t dt ; t + t + dt ; 5t 3 t + 8t + dt ; t t + t dt ; t t + t + dt ; t t t dt. 5

27 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble.3 QCM Donnez-vous une heure pour répondre à e questionnire. Les questions sont indépendntes. Pour hque question 5 ffirmtions sont proposées, prmi lesquelles sont vries et 3 sont fusses. Pour hque question, ohez les ffirmtions que vous pensez vries. Chque question pour lquelle les ffirmtions vries sont ohées rpporte points. Question. A Il eiste des primitives de sin( ) définies sur l intervlle [, ]. B Il eiste des primitives de sin( ) définies sur l intervlle [, ]. C Il eiste des primitives de définies sur l intervlle [, ]. sin() D L intégrle de sin () sur [ π, π] est nulle. E L intégrle de sin() sur [ π, π] est nulle. Question. On note f l fontion f qui à t R ssoie f(t) t. Pour tout R, on pose g() f(t) dt. A L fontion g est deu fois dérivble sur R. B g() f(t) dt. C g() tend vers + lorsque tend vers +. D L fontion g est deu fois dérivble sur R. E Si F est une primitive de f, lors g() F (). Question 3. A Pour tout R, sin 6 () est une ombinison linéire de, os(), os(4) et os(6). B Pour tout R, os 6 () est une ombinison linéire de os(), os(4) et os(6). C Pour tout R, sin 4 () os 4 () est une ombinison linéire de os(), os(4) et os(6). D Pour tout R, sin 5 () est une ombinison linéire de sin(), sin(3) et sin(5). E Pour tout R, sin 3 () os () est une ombinison linéire de sin() et sin(3). Question 4. Soit n un entier supérieur ou égl à. On pose : I n A I n B I n n n + tn ( t) n+ dt. n n + tn+ ( t) n dt. 6 ( t( t) ) n dt.

28 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble C I n D I n E I n n n + tn+ ( t) n dt. n( t) ( t( t) ) n dt. n(t )t n ( t) n dt. Question 5. On note f l fontion qui à t [, ], ssoie f(t) pose : I f(t)dt. (t )( t). On A Le hngement de vrible t u (t )( t) est bijetif sur [, ]. B I sup{f(), [, ]}. C Le hngement de vrible t u 3 t donne tf(t) dt 3I tf(t) dt. D Le hngement de vrible t v t 3 donne I v dv. E f dmet une primitive définie sur R. Question 6. On note f l fontion qui à t R, ssoie f(t) A B C D f(t) dt f(t) dt > + u du. t dt. f(t) dt ln(5). Soit g une fontion définie et ontinue sur [, ] telle que Alors pour tout t [, ], g(t). n k E n + k tend vers f(t) dt qund n tend vers l infini. k Question 7. On note f l fontion qui à t R, ssoie f(t) I f(t) dt. A f possède une primitive définie sur R. B I ( [ ] ) 8 t + 4 dt + t. t + 4 C I >. 4 D I ( + u ) du. e E I dv. e v + 4e v t t +. g(t) f(t) dt.. On pose (t + 4) 7

29 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble t + Question 8. On note f l fontion qui à t R, ssoie f(t) (t + 3)(t 4). A f une primitive définie sur R. B L déomposition en éléments simples de f l forme suivnte : f(t) A t B t + + C t. C Une primitive de f(t) est ln( (t + 3)(t + ) 5 ( t) ). + e 3u + e u D f(t) dt (e u + 3)(4 e u ) du. π ( + os (u)) sin(u) E f(t) dt (3 + os(u))(os (u) 4) du. Question 9. On note f l fontion qui à t R, ssoie f(t) e t + e. t A f une primitive définie sur R. B L fontion qui à ssoie ln(e + e ) est une primitive de f. C Si F est une primitive de u + /u, lors F (e ) est une primitive de f. D L fontion qui à ssoie π/4 rtn(e ) est une primitive de f. E L primitive de f qui s nnule en est π/4 rtn(e ). Question. Soient et b deu réels. On note f l fontion qui à t ssoie t + b. A Si et b sont stritement positifs, il eiste une onstnte C telle que rsin( /b) soit une primitive de f. BSi et b sont stritement positifs, il eiste une onstnte C telle que + b soit une primitive de t tf(t). C Si est stritement négtif et b stritement positif, il eiste une onstnte C telle que C rsin( /b) soit une primitive de f. D Si est stritement positif et b stritement négtif, il eiste une onstnte C telle que C rsin( /b) soit une primitive de f. E f dmet une primitive définie sur R si et seulement si et b sont de même signe. Réponses : BD BC 3 AD 4 BE 5 BC 6 DE 7 AB 8 BC 9 AD BC.4 Devoir Essyez de bien rédiger vos réponses, sns vous reporter ni u ours, ni u orrigé. Si vous souhitez vous évluer, donnez-vous deu heures ; puis omprez vos réponses ve le orrigé et omptez un point pour hque question à lquelle vous urez orretement répondu. 8

30 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Questions de ours : Soient f une fontion définie et ontinue sur R.. Qu ppelle-t-on primitive de f sur R?. Soit un réel. Soit F une primitive de f. Eprimer F () à l ide de F () et f(t) dt. 3. On supose qu il eiste > tel que F () F (). Montrer que f s nnule u moins une fois sur l intervlle [, ]. 4. En utilisnt une intégrtion pr prties, eprimer 5. Eprimer e t f(e t ) dt à l ide de F. tf(t) dt à l ide de F. Eerie : On rppelle les définitions suivntes du osinus et du sinus hyperboliques.. Vérifier que : R, osh() e + e et osh(t) dt sinh(). Démontrer l formule suivnte. n N, osh n+ () n 3. Démontrer l formule suivnte. 4. Cluler 5. Cluler n N, sinh n+ () n sinh() e e et. sinh(t) dt osh(). ( ) n n + osh((n + j)). j j ( ) n n + ( ) j sinh((n + j)). j j osh 5 (t) dt en fontion de sinh(5), sinh(3) et sinh(). sinh 5 (t) dt en fontion de osh(5), osh(3) et osh(). Eerie : Soit n N un entier. On note I n l intégrle suivnte. I n. Démontrer que pour tout n, ( t) n e t dt < n! ( t)n e t dt. ( t) n e t dt. En déduire que l suite I n est stritement déroissnte. 9

31 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble. Démontrer que pour tout n N, 3. Cluler I. 4. Cluler I. < I n < e (n + )!. 5. En utilisnt une intégrtion pr prties, démontrer que pour tout n : 6. En déduire que pour tout n N : I n I n n!. I n e n k k!. 7. Déduire des questions préédentes l endrement suivnt pour e. Eerie 3 : On pose I. Montrer que I. Montrer que I π/3 π/ 3 n k n k! < e < k! + e (n + )!. k + t(4 t) dt. sin(u) + sin(u) du. 4v ( + v) ( + v ) dv. 3. En déduire que I π Corrigé du devoir Questions de ours :. On ppelle primitive de f sur R toute fontion dérivble sur R telle que : R, F () f().. F () F () + f(t) dt. 3

32 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble 3. Démontrons l ontrposée : si f ne s nnule ps, lors F () F (). Puisque f est ontinue, d près le théorème des vleurs intermédiires, si f ne s nnule ps sur ], [, lors son signe reste le même : t ], [, f(t) > ou bien t ], [, f(t) <. Quitte à rempler f pr f nous pouvons supposer que f reste stritement positive sur ], [. Or l intégrle sur un intervlle d une fontion ontinue stritement positive est stritement positive. Don 4. tf(t) dt F () F () + 5. e t f(e t ) dt Eerie :. f(t) dt > F (). [ ] tf (t) F (t) dt F () F () F (t) dt. e osh(t) dt e f(u) du F (e ) F (e ). e t dt + [ ] e t + [ ] e t e t dt (et ) (e t ) sinh(). sinh(t) dt e t dt [ ] e t [ ] e t e t dt (et ) + (e t ) osh(). 3

33 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble. En utilisnt l formule du binôme de Newton : ( ) osh n+ n+ n + () e (n+ j) e j n+ j n+ n+ n+ n+ n+ n+ n j n+ j ( ) n + j e (n+ j) ( ) ( ) n n + n+ e (n+ j) n + + e (n+ j) j j jn+ j ( ) ( ) n n n n + e (n j) + e (n+ (n+ j )) j j n + j j ( ) n n + e (n+ j) + j j ( ) n n (e (n+ j) + e (j n )) j j ( ) n n + osh((n + j)) j j ( ) n n + osh((n + j)). j j 3. De même (les étpes intermédiires sont nlogues) : sinh n+ () n+ n+ n n+ j ( ) n e (j n ) n j ( ) n + e (n+ j) ( ) j e j j ( ) n n ( ) j( e (n+ j) e (j n )) j j ( ) n n + ( ) j sinh((n + j)). j j 4. En ppliqunt le résultt de l question pour n : osh 5 () 6 osh(5) osh(3) + 6 osh().

34 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Don : osh 5 (t) dt 6 osh(5t) dt sinh(5) sinh(3) sinh(), en utilisnt le résultt de l question. 5. En ppliqunt le résultt de l question 3 pour n : Don : sinh 5 (t) dt 6 sinh 5 () 6 sinh(5) 5 6 sinh(5t) dt 5 6 osh(3t) dt + osh(t) dt 6 sinh(3) + 6 sinh(). sinh(3t) dt + sinh(t) dt 6 8 (osh(5) ) 5 48 (osh(3) ) + 5 (osh() ), 8 en utilisnt le résultt de l question. Eerie :. Pour tout n, et pour tout t ], [, < ( t) < ( t) n < ( t) n ( t) n e t < ( t) n e t. L fontion t ( t) n e t ( t) n e t est ontinue et stritement positive sur ], [. Son intégrle est don stritement positive. ( t) n e t ( t) n e t dt > ( t) n e t dt < ( t) n e t dt. Comme n! > (n )!, /(n!) < /(n )!. Don I n < I n.. Pour tout n, et pour tout t ], [, < ( t) n e t. L fontion à intégrer est ontinue et stritement positive, don I n est stritement positive. L fontion t e t est mjorée pr e sur [, ]. De plus l fontion t e e t est ontinue et stritement positive sur [, [. Le même risonnement que préédemment donne l mjortion u sens strit suivnte. n! ( t)n e t dt < n! ( t)n e dt. 33

35 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble 3. Or : ( t) n dt Don : I n < n + I [ ] ( t)n+ n + n +. e t dt 4. Effetuons une intégrtion pr prties : e n! e (n + )!. [ e t ] e. I ( t)e t dt [ ] ( t)e t + e t dt + I e. 5. I n [ ] n! ( t)n e t + n n! ( t)n e t dt n! + I n. 6. Effetuons une démonstrtion pr réurrene. L formule est vrie pour I. Supposons-l vrie pour I n. En utilisnt le résultt de l question préédente : I n+ I n e e (n + )! n k n+ k k! (n + )! k!. L formule est vrie pour n +, elle est don vrie pour tout n N. 7. Nous vons démontré que < I n < e/(n + )!. Don : < e n k k! < e n (n + )! 34 k k! < e < n k k! + e (n + )!.

36 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble Eerie 3 :. Erivons t(4 t) 4 (t ). Effetuons le hngement de vrible t os(u), soit dt sin(u) du. Lorsque t vrie de à, os(u) vrie de / à, don u vrie de ros( /) π/3 à ros() π/. Sur et intervlle, t(4 t) 4 4 os (u) sin(u), r sin(u) est positif pour u [π/, π/3]. Don : I π/ π/3 π/3 + sin(u) ( sin(u)) du sin(u) π/ + sin(u) du.. L fontion à intégrer est une frtion rtionnelle en sin(u) qui n ps d invrine prtiulière. Effetuons le hngement de vrible u tn(v/), soit : du v dv et sin(u) + v + v. Lorsque u vrie de π/ à π/3, v vrie de tn(π/4) à tn(π/3), don de à 3. On obtient : I 3 v +v + v +v + v dv 3 3. L déomposition en éléments simples est l suivnte. On en déduit : [ I + v ] 3 4v ( + v) ( + v ) dv. 4v ( + v) ( + v ) ( + v) + + v. [ ] 3 + rtn(v) π 3 π π

37 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble 3 Compléments 3. L qudrture du erle Étnt donné un erle, dessiné sur une feuille de ppier, onstruire en utilisnt uniquement une règle et un omps, un rré dont l surfe est égle à elle du erle. Tel est l énoné du problème dit de «l qudrture du erle», qui oupé les mthémtiiens mteurs et professionnels pendnt tnt de sièles, qu il est devenu dns le lngge ournt un rhétype de problème insoluble. Effetivement, l qudrture du erle est impossible, et l démonstrtion définitive été donnée en 88 pr Crl von Lindemnn (85-939). Cei n empêhe ps de nombreu mteurs peu u fit des mthémtiques d essyer enore et enore, et de proposer leurs solutions (fusses bien sûr). Au point que l Adémie des Sienes dû délrer que désormis elle refuserit d eminer tout mémoire portnt sur l qudrture du erle. On peut onstruire à l règle et u omps toutes sortes de droites, de erles et de points. On peut onstruire des perpendiulires et des prllèles, des médines, des méditries, des bissetries... Qu est-e qui distingue e qui peut être onstruit à l règle et u omps de e qui ne peut ps? L réponse fut donnée en 837 pr Pierre-Lurent Wntzel (84-848) (il vit 3 ns). On ppelle nombre onstrutible toute oordonnée d un point que l on peut onstruire à l règle et u omps, à prtir d un repère orthonormé donné du pln. Théorème 6. Tout nombre onstrutible est rine d un polynôme à oeffiients entiers, et le plus petit degré d un polynôme à oeffiients entiers dont e nombre est rine est une puissne de. Wntzel mettit insi un point finl à deu utres problèmes élèbres hérités des Gres : l duplition du ube (onstruire un ube de volume double de elui d un ube donné), et l trissetion de l ngle (onstruire un ngle égl u tiers d un ngle donné). Mis il ne résolvit ps tout à fit l qudrture du erle. Le ôté d un rré dont l surfe est égle à π est π. D près le théorème de Wntzel, si π est onstrutible lors π l est ussi. Comment prouver que π n est ps onstrutible? Il se trouve que π est trnsendnt, est à dire qu il n est rine d uun polynôme à oeffiients entiers. Que π est irrtionnel vit déjà été soupçonné pr les Gres (en prtiulier Arhimède) et onjeturé près eu pr les mthémtiiens rbes, notmment Al Biruni (973-49) (dont L Fontine injustement fit «Aliboron»). Il fllut ttendre Jen-Henri Lmbert en 766 pour l première démonstrtion, à bse de frtions ontinues. Du fit de l enjeu (l qudrture du erle), l trnsendne de π fit l objet d une belle ompétition entre mthémtiiens, tout u long du i e sièle. Lindemnn remport l plme en 88, en utilisnt l trnsendne de e, démontrée vnt lui pr Chrles Hermite. 36

38 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble L démonstrtion de Lindemnn est beuoup trop diffiile pour être eposée ii. En utilisnt uniquement les outils à votre disposition, et en prtiulier les luls d intégrles, nous llons prouver plus modestement l irrtionlité de π, pr une démonstrtion différente de elle de Lmbert. Théorème 7. Le nombre π est irrtionnel. Démonstrtion : C est une démonstrtion pr l bsurde. On suppose que π est rtionnel, don qu il s érit π p/q, où p et q sont deu entiers. Pour tout n N, posons : π ( ) n I n (p q) sin() d. Observez que (p q) s nnule pour et pour π, pr hypothèse. Entre les deu, (p q) et sin() sont stritement positifs ; don l intégrle I n est stritement positive pour tout n. L démonstrtion omporte deu étpes. On montre d bord que I n est un entier divisible pr n!, ensuite que I n /n! tend vers qund n tend vers l infini. Mis une suite d entiers qui tend vers est nulle à prtir d un ertin rng. Or I n est stritement positive pour tout n. D où l ontrdition. Étpe : I n est un multiple entier de n!. C est une démontrtion pr réurrene, pour lquelle il nous fut une formule du même métl. On l obtient grâe à deu intégrtions pr prties suessives. I n [ ((p ) n( ] π q) os()) + π [ π n(p q) ( (p q) ) n os() d n(p q) ( (p q) ) n os() d n(p q) ( (p q) ) ] n π sin() π ( nq ( (p q) ) n ( + n(n )(p q) (p q) ) n ) sin() d π nq ( (p q) ) n π sin() d n(n )p ( (p q) ) n sin() d π + 4n(n )q(p q) ( (p q) ) n sin() d nq I n n(n )p I n + 4n(n )q I n nq( + (n )) I n n(n )p I n. Pour initiliser l réurrene, lulons I et I. I π [ sin() d ] π os(). 37

39 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble On lule I, à nouveu pr prties. I π (p q) sin() d [ ] π π (p q)( os()) + (p q) os() d [ ] π π (p q) sin() + q sin() d 4q. Don I et I sont entiers (multiples de!! ). L epression de I n en fontion de I n et I n montre que si I n est multiple entier de (n )! et I n est multiple entier de (n )!, lors I n est multiple entier de n!. D où le résultt, pr réurrene. Étpe : L suite (I n /n!) onverge vers. Le mimum de l fontion (p q) est tteint pour p/(q) et vut p /(4q). Don : ( ) p n ( ) π p n I n sin() d. 4q 4q Or pour tout R, l suite ( n /n!) onverge vers, d où le résultt. Au pssge, e n est que depuis le vii e sièle que le rpport de l ironférene d un erle à son dimètre se note π (du terme gre περίµετ ρoς (périmètre), qu Arhimède utilisit pour désigner l ironférene). Il semble que e soit Willim Oughtred (574-66) qui it le premier utilisé l nottion π, omme les signes ± et. Il ussi onstruit une des premières éhelles logrithmiques, ouvrnt insi l voie à l règle à lul. L lettre π est devenue une nottion stndrd près les trvu d Euler en Fontions spéiles Toute fontion ontinue sur un intervlle dmet une infinité de primitives sur et intervlle. L question du lul d une primitive reouvre en fit deu problèmes très différents. Le premier est elui du lul numérique d une ou plusieurs de ses vleurs, qui pr nture ser une pproimtion (l ordinteur ne peut donner que des résultts déimu). L utre problème est elui du lul formel, qui onsiste à trouver une epression d une primitive à l ide de fontions onnues. Considérons pr eemple les fontions suivntes. Ont-elles une primitive que l on peut luler?. f(). g() ln(). L réponse est oui pour f, dont une primitive est ln, dns l mesure où on onsidère que ln est une fontion onnue. C est non pour g suf si on définit l fontion 38

40 Mths en Ligne Clul des primitives UJF Grenoble logrithme intégrl que l on note Li : Li() dt ln(t). Cette fontion pprît nturellement dns des problèmes prtiques, tout omme le logrithme ordinire. De l même fçon, on est mené à définir le sinus intégrl, le osinus intégrl, l eponentielle intégrle. Si() sin(t) t + os(t) e t dt ; Ci() dt ; Ei() t t dt. Enore étudint, J.W.L. Glisher (848-98) publi un rtile sur les fontions sinus intégrl, osinus intégrl et eponentielle intégrle, ontennt des tbles de vleurs inédites. Il deviendr un spéiliste reonnu du lul de tbles numériques. Au ours du temps, de nombreuses fontions sont insi pprues, et sont désormis intégrées u logiiels de lul. Une des plus onnues est l fontion erf (pour «error funtion»), très utilisée en sttistique, qui est définie omme suit. erf() e t dt. π Toutes es fontions «spéiles», ont etement le même sttut mthémtique que les fontions usuelles : on peut les dériver, les intégrer, les ssoier à d utres fontions dns des formules, et. Au moment de luler numériquement une vleur prtiulière, un logiiel de lul utiliser toujours un lgorithme d pproimtion ; mis est ussi le s pour les fontions usuelles... Alors pourquoi distinguer les fontions spéiles des utres fontions? Peut-être pre que les fontions usuelles vous posent déjà suffismment de problèmes, sns en rjouter! 3.3 Intégrles elliptiques Il y plus de deu millénires, Arhimède svit déjà luler l ire délimitée pr un r de prbole. Pourtnt, jusqu u vii e sièle, luler l longueur d un r de ourbe fut onsidéré omme impossible. L idée qu un r de ourbe puisse être mesuré u même titre qu un segment de droite semblit même bsurde à beuoup de mthémtiiens. Le progrès vint de l idée que l longueur d un r de ourbe puisse être pprohée pr elle d une hîne de segments ynt leurs etrémités sur l ourbe. Pierre de Fermt (6-665) fut le premier à réliser que le lul d un r de ourbe se rmenit u lul de l ire insrite sous une utre ourbe, soit en termes modernes, une intégrle. Pourtnt, même près que l méthode de lul fut omprise, les tenttives pour luler l longueur d un r d ellipse éhouèrent. Voii une des fçons d érire le problème. Les équtions prmétriques d une ellipse prllèle u es sont : { (t) os(t) y(t) b sin(t). 39

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