Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications. Lefeuvre thomas & Ginguené franck 30 mars 2012

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1 Théorème de Cauchy-Lipschiz e applicaions Lefeuvre homas & Ginguené franck 30 mars 01 1

2 Table des maières 1 Théorème du poin fixe Énoncé Démonsraion Théorème de Cauchy-Lipschiz 4.1 Énoncé Démonsraion Corollaire 1 : Corollaire (Équaion différenielle auonome) : Exemples Exemple 1 : équaion différenielle auonome Exemple : équaion différenielle non-auonome Exemple 3 :

3 1 Théorème du poin fixe 1.1 Énoncé Théorème 1 (Poin fixe (Picard)). Soi (E, d) un espace mérique comple (non vide) e T : E E une applicaion conracane (i.e. : k < 1 el que : x, y R, d(t (x), T (y)) < d(x, y)). Alors il exise un unique poin fixe a E, el que T (a) = a. De plus, oue suie d élémens de E définie par. xp+1 := T (x p ) (x p ) p N := (1) x 0 E converge vers a. 1. Démonsraion On monre d abord l unicié du poin fixe puis son exisence : unicié : Supposons qu il exise a, b R els que : T (a) = a e T (b) = b alors on a rivialemen : d(t (a), T (b)) = d(a, b) Ce qui conredi la définiion de T. d(t (a), T (b)) d(a, b) = 1 > k exisence : Soi x 0 un poin iniial quelconque e (x p ) p N la suie des iérés associée. On a alors : On monre par récurrence sur p que : d(x p, x p+1 ) = d(t (x p 1 ), T (x p )) kd(x p 1, x p ) d(x p, x p+1 ) k p d(x 0, x 1 ) () Iniialisaion : Trivial pour p=0. Récurrence : On suppose la propriéé () vérifiée pour un p fixé. Alors Ce qui prouve la récurrence. d(x p+1, x p+ ) = d(t (x p ), T (x p+1 )) kd(x p, x p+1 ) k.k p d(x 0, x 1 ) k p+1 d(x 0, x 1 ) On a alors q > p : q 1 q 1 d(x p, x q ) d(x l, x l 1 ) l=p l=p k l d(x 0, x 1 ) 3

4 De plus, pour ou p > q, D où : q 1 k l l=p d(x p, x q ) + l=p k l = kp 1 k kp 1 k d(x 0, x 1 ) On peu monrer, à parir de cee inégalié que (x p ) p N es une suie de Cauchy. Comme de plus (E, d) es comple, (x p ) p N converge vers un poin a E De plus, comme T es coninue e T (x p ) = x p+1 : T (a) = lim T (x p) = lim x p+1 = a. p + p + Donc par unicié de la limie, on a T (a) = a. Théorème de Cauchy-Lipschiz.1 Énoncé Théorème de Cauchy-Lipschiz. (version globale) : Soi f une foncion de deux variables réelles à valeurs réelles : f : [a, b] R n R n (, y) f(, y) Considérons le problème de Cauchy suivan : y () = f(, y) y( 0 ) = y 0 ; 0 [a, b] (E) Si la foncion f es coninue e k Lipschizienne en y, i.e. si f vérifie la condiion de Lipschiz : k > 0 / R n, (x, y) [a, b], f(x, ) f(y, ) k x y alors il exise une e une seule soluion y() de l équaion différenielle définie pour ou [a, b], vérifian la condiion iniiale donnée.. Démonsraion Soi f : [a, b] R n R n une foncion coninue, lipschizienne par rappor a y. Soi le sysème : y () = f(, y) (E) y( 0 ) = y 0 ; 0 [a, b] C es-à-dire : L > 0 el que (, x), (, y) [a, b] R n, on a : 4

5 f(, x) f(, y) L x y Le sysème (E) es équivalen à la forme inégrale (par Taylor) : y() = y( 0 ) + y (s) ds, [a, b] on défini l opéraeur : y() = y 0 + f(s, y(s)) ds y soluion de (E) y() = T y () [a, b] On a : T y () = y 0 + f(s, y(s)) ds Soi X = C([a, b], R n muni de la norme. elle que : f = supe α 0 f() α > 0 x 0 es coninue, e donc T :X X s f(s, y(s)) f(s, y(s)) ds es C 1 e donc coninue. On va monrer qu avec un choix judicieux de α, T es une conracion. Soien x, y, z X (T y T z )() = T y () T z () L L L On peu donc majorer l inégrale ainsi f(s, y(s)) f(s, z(s)) ds y(s) z(s) ds e α 0 +α s 0 e α 0 y(s) z(s) ds e α s ds y z α 5

6 e α 0 ds e α s ds R e α s ds R 0 α e αs ds Ceci implique que T y T z α L α y z α On choisi α el que L α < 1 T : (X,. α ) es une conracion T y = y adme une seule soluion!.3 Corollaire 1 : Soi I un inervalle bornée ou non. Soi f : I R m R n une foncion coninue e vérifian la condiion de Lipschiz sur ou J R m avec J = [a, b] I. Alors l edo : y = f(, y) y( 0 ) = y 0 (3) adme une unique soluion y : I R n..4 Corollaire (Équaion différenielle auonome) : Si f : R m R n es lipschizienne alors l EDO auonome ( f ne dépend pas de ) : y = f(y()) y( 0 ) = y 0 (4) adme une unique soluion globale y : R R n de classe C 1 3 Exemples 3.1 Exemple 1 : équaion différenielle auonome On considère le problème de Cauchy suivan : y (x) = f(y(x)) avec f(y) = sin y y(0) = y 0 R (5) 6

7 1. Vérificaion des hypohèses : La foncion f vérifie la condiion de Lipschiz, à savoir que f es lipschizienne par rappor à y. Pour s en convaincre, voila une démonsraion possible : preuve : Soi la foncion f suivane : f : R R f() = sin() f es coninue e dérivable sur n impore quel inervalle ]x, y[, x, y R. On peu donc appliquer le Théorème des Accroissemens Finis sur ce même inervalle. Ce qui nous donne : c R el que : comme : c R, cos c 1 alors : f(y) f(x) f (c) y x f(y) f(x) cos c y x f(y) f(x) y x On a donc monré que f es 1-lipschizienne, ce qui conclu la démonsraion. Comme f vérifie les condiions de Cauchy-Lipschiz, le héorème du même nom nous di qu il exise une unique soluion maximale sur l inervalle [T, T + ] avec (T, T + ) R R +. Voyons si l on peu rouver cee soluion :. Résoluion héorique : On remarque que x kπ, k Z son des soluions saionnaires au problème (En pariculier x 0; pi son soluion). On monre alors facilemen que pour y 0 kπ, k Z, on a sin y 0. On monre mainenan en se limian au cas où y 0 ]0, π[ que l unique soluion y vi dans ]0, π[. En effe, si la soluion "déborde" de ce inervalle, par coninuié on a qu il exise c [T, T + ] el que y(c) = 0 ou y(c) = π or dans ce cas, y vérifie le même problème de Cauchy que les soluions saionnaires. En pariculier, y 0 = 0 ou y 0 = π ce qui es absurde. On monre que la soluion maximale es définie sur R. Supposons, sans pere de généralié, que T + < + alors, on a lim y = +. Or on a vu juse avan que y éai x T + x<t + borné sur son inervalle de définiion. 7

8 Résolvons mainenan le problème de Cauchy pour y 0 kπ, k Z. On considère l équaion différenielle suivane : C es un équaion à variables séparées que l on peu exprimer : On inègre de chaque coé : Par un jeu d écriure on obien : y = sin y (6) y sin y = 1 1 sin y dy = 1 dx 1 sin y cos y dy = 1dx 1 1 cos y dy = sin y cos y 1dx Ou encore : D où finalemen : an y an y dy = 1dx ln (an y ) = x + c, c R. De plus, on a la condiion y(0) = y 0 exprimer y : d où l on ire : c = ln (an y0 ). Il nous rese à y(x) = arcan (an ( y0 )ex ) 3. Représenaion des soluions : On a racé quelques soluions pour y 0 [0, π] : 8

9 Remarque sur les soluions : On voi neemen que les soluions son monoones e viven enre les soluions saionnaires éablies plus hau. 3. Exemple : équaion différenielle non-auonome On considère cee fois-ci le problème de Cauchy suivan : y (x) = f(, y(x)) avec f(, y) = cos 1 + e y y(0) = y 0 R (7) 1. Vérificaion des hypohèses : f es Lipschizienne au sens où elle vérifie la condiion suffisane suivane : Voici une proposiion de preuve : sup (,y) R f (, y) < + y preuve : On calcule la dérivée parielle de f par rappor à y : D où, comme cos x 1, x R : f y (, y) = ey cos 1 + e y f y (, y) = ey cos 1 + e y ey 1 + e y 9

10 E comme e y 1+e y < 1 : Ce qui conclu la démonsraion. f (, y) 1 < + y Comme f vérifie les condiions de Cauchy-Lipschiz, le héorème du même nom nous di qu il exise une unique soluion maximale sur l inervalle [T, T + ] avec (T, T + ) R R +. On résou mainenan le problème :. Résoluion héorique : Muais muandis, on peu uiliser la même méhode que dans l exemple 1 pour monrer que la soluion maximale es définie sur R ou enier. (Uilisaion du crière d explosion) On peu résoudre mainenan le problème de Cauchy pour y 0 R : On considère l équaion différenielle suivane : y = cos 1 + e y (8) C es un équaion à variables séparées que l on peu exprimer comme : y (1 + e y ) = cos On inègre de chaque coé : (1 + e y )dy = cos d D où : y() + e y() = sin + c, c R. De plus, on a la condiion y(0) = y 0 d où l on ire : c = y 0 + e y0. Malheureusemen, on ne peu pas conrairemen à l exemple précéden rouver une expression explicie de y(). Cependan, on peu réécrire l équaion de façon plus agréable : On pose la foncion F définie par : F : R R F () = + e Alors on a F () = 1 + e F () 0 ; R F croissane sur R 10

11 F es une bijecion sur R (puisque F es coninue) On peu donc écrire la soluion y sous cee forme : y(x) = F 1 (sin x + e y0 + y 0 ) 3. Représenaion des soluions : On a racé quelques soluions pour y 0 [0, 3] : 3.3 Exemple 3 : Soi le sysème : y = e cos( y) y(0) = 0 (9) Monrer que ce sysème adme une unique soluion globale. Soi f : R R R (, y) e cos( y) Soi a < b, alors f es lipschizienne par rappor à y sur [a, b] R f (, y) = sin( y )e cos( y) f (, y) e max(a, b )e D après le corollaire 1 du Théorème de Cauchy-Lipschiz, le sysème adme une unique soluion globale. 11

12 Références [1] Hmidi Taoufik, Cours sur les équaions différenielles, Rennes1, 01. [] S. Lang, Analyse réelle, InerEdiion, Paris, [3] Minazzo Clémence & Rider Kelsey, Théorèmes du Poin Fixe e Applicaions aux Équaions Différenielles, Universié de Nice-Sophia Anipolis, Mémoire de Maser 1 de Mahémaiques,

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