LPHY 1113 B & D, Physique générale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eric Deleersnijder, L4.1. Leçon 4: Frottement

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1 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L Intoduction (Benson 6.1) Leçon 4: Fottement On pose su une table hoizontale un objet de masse m. Si l'objet est au epos, il est soumis à deux foces, son poids ( m g ) et la éaction de la table N = mg. Ensuite, on tente de le déplace en appliquant la foce hoizontale F : une foce de fottement statique ( f ) tend à s'y oppose. N m g f N m g F Si l'objet est en mouvement, une foce de fottement cinétique existe; elle est diigée dans le sens opposé à la vitesse.

2 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.2 Le fottement gêne le mouvement des objets, cause de l'usue et convetit de l'énegie cinétique en chaleu. Mais, le fottement a aussi des avantages: il pemet la mache, la ciculation feoviaie/automobile, etc. Il existe du fottement solide-solide (exemple ci-dessus), solide-fluide (mouvement d'un objet dans un fluide), ainsi que des cas intemédiaies (lubification). La natue des pocessus physiques généant une foce de fottement est souvent complexe (voi le Sujet connexe à la fin du Chp. 6 de Benson). Heueusement, il existe des paamétisations simples, qui sont généalement considéées comme satisfaisantes dans nombe de modèles de mécanique macoscopique. 2. Fottement solide-solide (Benson 6.1) On sait qu'il faut une foce minimale pou commence à faie glisse un objet. Ensuite, pou le mainteni en mouvement à une vitesse constante, il

3 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.3 faut une foce moins gande. C'est pouquoi Eule (1748) fit la distinction ente fottement statique et fottement cinétique. La foce de fottement cinétique obéit assez bien aux tois lois d'amontons. Cette foce est - popotionnelle à la chage (c-à-d la foce nomale à la suface de contact); - indépendante de l'aie (appaente) de contact (!); - indépendante de la nome de la vitesse. On considèe un objet au epos en contact avec un aute. La suface de contact subit une foce nomale N. On applique au cops une foce F qui gandit pogessivement. Tant que la foce appliquée n'atteint pas μ s N, la foce de fottement f s s'adapte pou mainteni l'équilibe statique: f s μ s N [ μ s ]= [ f s ] MLT 2 = (1) [ N ] MLT 2 = 1

4 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.4 où μ s est le coefficient de fottement statique, qui est adimensionnel. Dès que le cops est en mouvement, la foce de fottement vaut f c = μ c N u v [ μ c ]= [ f c ] MLT 2 = (2) où μ c est le coefficient de fottement cinétique, qui est adimensionnel; le vecteu unitaie u v est paallèle à la vitesse: v u v = (3) v La foce de fottement est diigée dans le sens opposé à la vitesse v (d'où le signe - dans (2)), mais sa nome est indépendante de la vitesse, ca le vecteu u v est unitaie ( u =1). En généal, on a μ c < μ s (4) La valeu des coefficients de fottement statique et cinétique dépend fotement des matéiaux en contact (voi Tableau 6.1 de Benson). [ N ] MLT 2 = 1

5 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.5 Application: équilibe su un plan incliné. Un cops de masse m est au epos su un plan incliné d'un angle avec l'hoizontale. Détemine le coefficient de fottement statique. N x y i j plan incliné coeff. de fottement: s, c m g // mg = mgcos j mg // = mgsin i m g f s m g

6 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.6 Le cops est soumis à deux foces, sont poids m g et la éaction du plan incliné R. Le cops étant au epos, ces deux foces doivent ête en équilibe (leu somme doit ête nulle): mg + R = 0 (5) On décompose le poids en une patie nomale au plan incliné ( m g ) et une patie paallèle au plan incliné ( m g // ): mg = mg // + mg = mgsin i 14 2 mg 43 + (mgcos) j (6) 1 42 // mg 4 3 On décompose aussi la éaction du plan incliné en une patie nomale ( N ) et une patie tangentielle ( f s ), qui est due au fottement. On a R = f s + N = { f s i + N { j (7) On substitue (6)-(7) dans (5), ce qui conduit à (mgsin f s ) i + (mgcos N) j = 0 (8) =0 f s =0 N

7 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.7 L'équilibe du poids et de la éaction du plan incliné impose donc f s = mgsin (9) N = mgcos (10) On substitue (9)-(10) dans la fomule (1) et on obtient f s N = mgsin mgcos = tan μ s (11) Si l'on augmente l'inclinaison (c-à-d augmente ), l'équilibe este possible aussi longtemps que tan μ s. Si tan > μ s, alos l'équilibe n'est plus possible, et le cops doit glisse. Il existe donc une valeu citique de l'inclinaison, cit, telle que tan cit = μ s (12) Ainsi, il vient cit = actanμ s équilibe possible > cit = actanμ s équilibe impossible glissement

8 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.8 Détemination expéimentale du coefficient de fottement statique. On pose un cops su un plan hoizontal et on l'incline tès lentement jusqu'au moment où le cops se met à glisse. L'angle coespondant est l'angle citique, cit. On utilise alos (12) pou détemine le coefficient de fottement statique, c-à-d μ s = tan cit. L'angle citique ne dépend pas de la masse du cops. Application: glissement avec fottement su un plan incliné. Un cops de masse m descend un plan incliné d'un angle avec l'hoizontale, avec > cit. Si X(t) est la coodonnée du cops mesuée dans le sens de la descente, la vitesse du cops est v (t) = d dt X(t) 12 3 =v x (t) i (13) Puisque le cops descend le plan incliné, le vecteu unitaie pointant dans le sens de la vitesse est u v = i.

9 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.9 Comme dans le cas où le cops est au epos, il est soumis à deux foces, son poids m g et la éaction du plan incliné R = f c + N = { f c i + N { j (14) f c N La composante tangentielle de la éaction, f c, est la foce de fottement cinétique et non plus la foce de fottement statique. La elation (2) conduit à f c = μ c N (15) Le cops estant en contact avec le plan incliné, la ésultante des foces nomales au plan doit ête nulle; la elation (10) este donc valable. En combinant (10) et (15), il vient f c = μ c mgcos (16) On applique maintenant la seconde loi de Newton m d dt v x(t) = 1 mgsin (μ cmg 42 cos) 443 = mg(tan { μ c )cos = const. (17) mg // i foce de fiction >μ s

10 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.10 La foce étant constante, le cops subit un mouvement unifomément accéléé: v x (t) = v x,0 + [g(tan μ c )cos]t (18) X(t) = X 0 + v x,0 t + [g(tan μ c )cos] a x =const. t 2 2 (19) Dans des systèmes mécaniques, pou éduie le fottement ente deux solides (et lutte conte ses conséquences pafois tès néfastes comme le gippage), on fait en sote qu'une mince couche de liquide lubifiant se maintienne ente les deux cops. Dans ce cas, il n'y a plus de contact diect ente les deux solides et la foce de fottement est gandement diminuée. 3. Fottement solide-fluide (Benson 6.4) Un solide qui se meut dans un fluide subit une foce aéodynamique (due à l'écoulement du fluide autou du cops), que l'on décompose en

11 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.11 taînée ( f D ), qui s'oppose au mouvement, et potance ( f L ), qui est nomale à la vitesse du cops ( v ). Ici, on suppose que la masse volumique du solide est nettement plus gande que celle du fluide: on peut néglige la poussée d'achimède. La natue des foces aéodynamiques est complexe. Heueusement, on peut souvent les paamétise de façon simple: f D = 1 2 C D A v 2 u v (20) f L = 1 2 C L A v 2 u (21) où: u est un vecteu unitaie ( u =1) qui est nomal à la vitesse ( u v = 0) dont l'oientation dépend de la fome de l'objet et de son oientation pa appot à l'écoulement; A est la suface (fontale) de l'objet (que l'on définit selon les conventions en vigueu dans le domaine concené);

12 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.12 est la masse volumique du fluide dans lequel se meut le cops; C D et C L sont les coefficients de taînée et de potance; ils sont adimensionnels. [ f D, f L ] [ C D,C L ]= v (ML 3 )L 2 (LT 1 ) 2 = MLT2 =1 (22) MLT2 [ ] A [ ][ ] 2 = MLT 2 Les coefficients de potance et de taînée ne dépendent pas de la masse de l'objet (ca la masse de l'objet n'influence pas l'écoulement du fluide autou de lui), mais dépendent de la vitesse de l'objet, de sa fome et de son oientation. A haute vitesse, le coefficient de taînée tend à ête constant, tandis qu'à basse vitesse il tend à ête invesément popotionnel à la vitesse. Donc, à basse vitesse, on peut expime la taînée comme suit: f D = v u v = v f D ] (23) voi (3) : v u v = v v v = v [] = [ [ v ] = MLT 2 LT 1 = MT 1

13 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.13 où le coefficient ne dépend ni de la vitesse, ni de la masse de l'objet étudié. Pa conte, il dépend de sa fome et de son oientation, et de la masse volumique du fluide dans lequel l'objet de déplace. Application: les voitues de compétition sont légèes (moinde inetie) et pofilées (moinde taînée). Inconvénient de la légèeté: foce nomale appliquée su la piste faible, donc foce de fottement faible, donc peu de moticité et de tenue de oute (possibilité de patinage ou déapage). Solution: fome qui induit une potance diigée ves le bas, le poids aéodynamique. Celui-ci se combine au poids éel, mais n'implique pas une augmentation de l'inetie. En d'autes temes, la voitue a une masse ou une inetie faible, mais un gand poids (appaent) à gande vitesse. Enzo Feai, fondateu de la fime éponyme, auait déclaé: L'aéodynamique, c'est pou ceux qui ne savent pas constuie un moteu. On appéciea la petinence de cette affimation...

14 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L Chute dans un milieu ésistant (Benson 6.4) On étudie le mouvement à basse vitesse en milieu ésistant d'une paticule de masse m. Elle est soumise à deux foces: le poids (=const.) et la taînée ( v ). On peut monte que la tajectoie s'inscit dans un plan vetical. f D = v v (t) k (t) mg = mgk i tajectoie Sans pete de généalité, on peut suppose que le plan du mouvement est celui des vecteus othonomés ( i, k ). Le poblème difféentiel à ésoude est le suivant:

15 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.15 On pose m d2 dt 2 (t) = m d v (t) = mgk v (t) (24) dt (0) = 0, v (0) = v 0 (25) = (26) m = T 1 Ainsi 1 est un temps caactéistique associé à la fiction. La solution de (24)-(25) est (t) = 0 + v (t) = e t v et v 0 1 et g (27) 1 t et 2 [] = [] MT 1 = [m] M g (28) On se pesuade que cette solution est coecte en véifiant que (27) est la déivée de (28), et que (27)-(28) satisfont (24)-(25).

16 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.16 Les expessions (27)-(28) semblent tès difféentes de celles que l'on obtient en supposant que la taînée est nulle ( = 0) (voi Sections L3.3 et L3.4): v (t) = v 0 + t (t) = 0 + tv 0 + t 2 2 g (29) g (30) Poutant, dans les pemies instants, les tajectoies se essemblent (voi figue ci-dessous). v 0 = 0 (taînée nulle) k 0 i 0 < 1 < 2 Tajectoies obtenues pou des positions et vitesses = 2 initiales identiques, et difféentes valeus de. = 1

17 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.17 Le développement de Taylo de e t est: e t = n=0 (1) n (t) n n! = 1 t + (t)2 2 (t) (31) Pou t << 1, c-à-d t <<1, on peut tonque (31) en ne consevant que les pemies temes, ce qui conduit aux appoximations illustées ci-dessous. 1 t + (t)2 2 Les appoximations polynomiales sont d'autant meilleues que t <<1 1 t e t 1 t + (t)2 2 (t)3 6

18 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.18 On pend e t ~ 1 t + (t)2 (t)3, t 0 (32) 2 6 On substitue (32) dans (27)-(28) et en se limitant au pemie ode en t, on aboutit aux expessions asymptotiques suivantes v (t) ~ ( v 0 + t g ) fiction nulle (=0) v 0 + t g (t) coection due à la fiction, t 0 (33) (t) ~ 0 + tv 0 + t 2 g fiction nulle (=0) t v 0 + t 2 g (t) coection due à la fiction, t 0 (34)

19 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.19 A l'exception d'un mouvement de développant dans le vide, la taînée est toujous pésente. On pouait donc pense qu'ignoe cette foce de fiction n'est jamais acceptable. Les elations asymptotiques (33) et (34) montent que cela n'est pas le cas: Il est légitime de néglige la taînée pou autant que l'on se bone à étudie les pemies instants du mouvement, c-à-d 0 t << 1. En d'autes temes, la solution obtenue en négligeant la fiction (c-à-d en posant = 0) est une bonne appoximation de la solution exacte aussi longtemps que 0 t << 1, d'où l'impotance du temps caactéistique 1 A mesue que t augmente, le mouvement tend ves un mouvement ectiligne unifome diigé ves le bas: v = lim v (t) = lim e t 1 et g v 0 + g = t t = m g = mg k (35)

20 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.20 Ainsi, quelles que soient la position initiale et la vitesse initiale, la fiction va pogessivement annule la vitesse hoizontale et le cops tenda à chute à la vitesse veticale constante v, que l'on appelle vitesse limite. Ce compotement est tès difféent de celui obtenu en négligeant complètement la fiction: dans cette hypothèse, la vitesse hoizontale este constante et la vitesse de chute augmente indéfiniment. Donc, on aboutit à la conclusion suivante: Dès que t est du même ode de gandeu que 1, la solution obtenue en négligeant la fiction devient iéaliste. Pou les gandes valeus du temps, c-à-d t >> 1, la vitesse est appoximativement constante (et égale à la vitesse limite). L'accéléation est donc négligeable. La ésultante des foces agissant su le cops (poids + taînée) est donc à peu pès nulle. D'apès (24), on a 0~mg k v v ~ mg k = v (36)

21 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.21 La taînée et le poids sont alos appoximativement en équilibe. Cops Paachutiste en chute libe position veticale position du saut de l ange v L ( m s ) Paachutiste 6,5 Balle de tennis de table 7 Balle de base-ball 40 Balle de golf 30 Balle en fe (2 cm de ayon) 80 Piee (1 cm de ayon) 30 Goutte de pluie 10 La plupat des mouvements que l'on obseve dans l'ai sont caactéisés pa une haute vitesse. La taînée est alos une fonction quadatique de la vitesse plutôt qu'une fonction linéaie. Toutefois, le concept de vitesse limite este petinent. Ci-conte, quelques valeus typiques de la vitesse limite dans l'ai. Tous les mouvements (à basse vitesse ou à haute vitesse ) de chute en milieu ésistant tendent ves une chute veticale à la vitesse limite. C'est pouquoi ce pocessus fait l'objet de nombeuses études.

22 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.22 «Violent» «Mixte» «Natuel» Avant le XVIème siècle, on pensait que la foce du canon influençait le pojectile pendant la pemièe patie du tajet, avant que le mouvement natuel l'empote pogessivement, entaînant alos le pojectile ves le bas. Si cette desciption/explication est fausse, l'allue généale de la tajectoie est compatible avec la pésence de fiction.

23 LPHY 1113 B & D, Physique généale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eic Deleesnijde, L4.23 Points essentiels 1. La foce de fottement tend à s'oppose au mouvement elatif de deux cops. 2. Pou le fottement solide-solide, on distingue le fottement statique et le fottement cinétique. La nome de la foce de fottement cinétique est indépendante de la vitesse et est popotionnelle à la foce de contact nomale. 3. Pou le fottement solide-fluide, la foce de fiction que subit le solide (la taînée) dépend de la vitesse, de la fome et de l'oientation du cops. 4. La chute d'un cops en milieu ésistant tend toujous ves une situation où la taînée et le poids sont en équilibe. La vitesse coespondante (vitesse limite) est veticale et de nome constante.