Notions de base sur les obligations
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- Lucille Delisle
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1 23-1 Notions de base sur les obligations
2 23-2 Topics Covered Real and Nominal Rates of Interest The Term Structure and YTM (Yield To Maturity = rendement à l échéance) How Interest Rate Changes Affect Bond Prices Explaining the Term Structure
3 Real and Nominal Rates of Interest 23-3 Classical Theory of Interest Rates (Economics) developed by Irving Fisher Nominal Interest Rate = The rate you actually pay when you borrow money Real Interest Rate = The theoretical rate you pay when you borrow money, as determined by supply and demand r Supply Real r Demand $ Qty
4 Real and Nominal Rates of Interest 23-4 Nominal r = Real r + expected inflation Real r is theoretically somewhat stable Inflation is a large variable Q: Why do we care? A: This theory allows us to understand the Term Structure of Interest Rates.
5 Le taux actuariel brut à l émission (TAB) 23-5 Taux actuariel brut (TAB) à l émission : c est le TRI de l investissement (= taux qui annule la VAN de l opération) pour le souscripteur qui achèterait toutes les obligations à l émission et les conserverait toutes jusqu à l échéance. (= coût actuariel du financement pour l émetteur, avant impôts et hors frais d émission) Soit F t, le flux de liquidités générés par l emprunt (l obligation) à chaque période t (on supposera ici que t : année) F 0 : flux initial = - V E (flux négatif pour le souscripteur) F 1 : premier coupon = R N V N F 1 = F 2 = F 3 = = F T-1 = F F T : dernier coupon et remboursement in fine de l obligation = (R N V N ) + V R ou F + V R 5
6 Le taux actuariel brut à l émission (TAB) 23-6 Le TAB à l émission est le taux qui égalise la somme des flux actualisés générés par l obligation à la valeur d émission de l obligation : V E = F 1 /(1+TAB) + F 2 /(1+TAB) 2 + F 3 /(1+TAB) F T /(1+TAB) T VAN 0 = -V E + F 1 /(1+TAB) + F 2 /(1+TAB) 2 + F 3 /(1+TAB) F T /(1+TAB) T = 0* *Point de vue du prêteur. Il faut inverser les signes si l on se place du point de vue de l emprunteur 6
7 Le taux actuariel brut à l émission (TAB) 23-7 V E F F F F VN TAB TAB TAB TAB T V 1 T N E F t T t 1 1 TAB VN V F 1 TAB 1 TAB 1 TAB E T T V TAB 7
8 Le taux actuariel brut à l émission (TAB) 23-8 Echéancier de flux (point de vue du prêteur) VN + coupon terminal Coupons : R N VN VE 8
9 Calcul du TAB 23-9 Exemple : une entreprise émet au pair des obligations remboursables in fine au terme de 10 ans. Le taux nominal est égal à 5%. La séquence de flux dont le TRI est le TAB s écrit alors : { , + 50/(1,05), + 50/(1,05) 2,,1050/(1,05) 10 } Ou encore : = 50/(1,05) + 50/(1,05) /(1,05) 10 Ou encore : VAN = /(1,05) + 50/(1,05) /(1,05) 10 = 0 Variante : Supposons que la valeur d émission soit de 950, la valeur nominale et la valeur de remboursement étant égales à (émission au-dessous du pair) La séquence de flux s écrit alors : {- 950, + 50/(1,0567), + 50/(1,0567) 2,,1050/(1,0567) 10 } Ou encore : 950 = 50/(1,0567) + 50/(1,0567) /(1,0567) 10 Ou encore : VAN = /(1,0567) + 50/(1,0567) /(1,0567) 10 = 0 Voir slide suivant pour le calcul du TAB NB : dans ce cas, le TAB est supérieur au taux nominal Que se passerait-il si l obligation était émise au-dessus du pair? 9
10 Calcul du TAB Le calcul sous EXCEL est très simple : entrez tous les flux, sans oublier F 0! Puis tapez la fonction «TRI=». Une parenthèse s ouvre : sélectionnez alors la colonne des flux, fermez la parenthèse et cliquez : le résultat apparaît. Ici : 5,67% A défaut d EXCEL ou d une fonction dédiée sur une calculatrice, on peut procéder par essais et erreurs successifs et obtenir une valeur approchée (qui nous suffira). Période Flux TRI 5,67% 10
11 Valeur de marché de l obligation Valeur de marché et taux d intérêt : la valeur de marché de l obligation à la date (t) est égale à la valeur actualisée de la séquence des flux (coupons et remboursement) calculée sur la base d un taux d actualisation égal au taux d intérêt en vigueur sur le marché à la date (t) pour les obligations de même risque et de même durée Il ne s agit donc plus du TAB à l émission (contractuel et invariable, sauf clause particulière), mais du taux actuariel de marché (non contractuel sauf clause particulière, et variable) 11
12 Valeur de marché de l obligation V 0,R0 = F 1 /(1+R 0 ) + F 2 /(1+R 0 ) 2 + +F T /(1+R 0 ) T V t = F t+1 /(1+R t ) + F t+2 /(1+R t ) 2 + +F T /(1+R t ) T Valeur de la séquence des flux actualisée en t au taux du marché R t V t =[(Coupon/R t ) (1 1/(1+R t ) T )]+[Valeur nominale/(1+r t ) T ] R t = taux de rentabilité à l échéance (TRE T ) («yield to maturity») pour un investisseur qui conserverait le titre jusqu à son échéance (NOTA BENE : en t = 0, TAB = TRE T ) 12
13 VN P ou V F 1 R 1 R 1 R t t T T t t t Hypothèses : flux F constants (coupons invariables), valeur de remboursement égale à la valeur nominale V N 13
14 Valeur de marché de l obligation La valeur d une obligation une fois émise varie ensuite pour deux raisons : 1) l effet du temps : avec le temps qui passe, l échéance se rapproche et la valeur actuelle des flux futurs restants change mécaniquement 2) la variation possible (probable) du taux d intérêt sur le marché : le taux de rendement à l échéance varie en fonction de l évolution des taux d intérêt sur le marché. 14
15 Valeur de marché de l obligation Effet du temps Exemple (fichier EXCEL): si la vente de l obligation sur le marché secondaire a lieu entre le versement de deux coupons, le calcul de la valeur de marché de l obligation est le suivant : Supposons que nous soyons la première année et que la vente ait lieu 127 jours avant le paiement du premier coupon (le 26 août), soit une fraction d année courue (d) égale à (N 127)/N, où N est le nombre exact de jours dans l année Supposons N = 365 : d = ( )/ 365 = 0,652. (En d autres termes, 0,652 fraction d année depuis le paiement du précédent coupon) Le jour de la vente de l obligation sur le marché, le taux de marché pour des obligations de même durée et de même risque est de 10%. La valeur du titre est alors égale à : V 0+d = (1,10) 0,652 [100/1, /1, /1,10 30 ]= 1064,
16 Valeur de marché de l obligation - Effet d une variation du taux de marché Exemple (voir fichier EXCEL) : une entreprise émet au pair une obligation dont le nominal est Le taux nominal est de 10% et la durée de 30 ans. Le coupon est annuel. En t = 0 (au moment de l émission), la valeur de marché de l obligation est égale à : V 0 = 100/1, /1, /1, /1,10 30 = Immédiatement après l émission de cet emprunt obligataire, le taux à pour des obligations de même échéance et de même risque tombe à 5%. Cette obligation vaut alors sur le marché : V 0+ = 100/1, /1, /1, /1,05 30 = 1 768,6 Si le taux diminue à 5%, la valeur de marché de l obligation augmente Si le taux augmente à 15%, la valeur de marché de l obligation diminue à : V 0+ = 100/1, /1, /1, /1,15 30 = 671, Les investisseurs sont disposés à payer plus de pour l obligation précédemment émise qui délivre un coupon de 100 quand pour ils ne peuvent désormais obtenir qu un coupon de 50 Les investisseurs ne sont pas disposés à payer pour une obligation délivrant un coupon de 100 quand pour ils peuvent obtenir un coupon de
17 Term Structure and Yield To Maturity PV r r r N N The Term Structure can be reflected in using various r terms for different time periods r 1 r 2 : taux d intérêt au comptant (spot rate) d un investissement à un an : taux d intérêt au comptant (spot rate) d un investissement à 2 ans
18 Term Structure and Yield To Maturity 23-18
19 Term Structure and Yield To Maturity Yield to Maturity / Le rendement à l échéance Plutôt que d actualiser chacun des cash flows à un taux d intérêt différent, on peut trouver un seul taux d actualisation qui produit la même valeur actuelle. On l appelle rendement à l échéance ou taux de rendement actuariel (TRA) : N 2 1 r 1 r 1 r 1 TRA 1 TRA 1 TRA 1 2 N N
20 Term Structure and Yield To Maturity Yield to Maturity / Le rendement à l échéance : Le rendement à l'échéance Question : ces deux obligations ont la même date d échéance, mais elles n ont pas le même taux de rendement actuariel. Est-ce normal? (= la cotation de ces obligations est-elle correcte?) Obligation Coupon- échéance Cours Taux de rendement (TRA) A 5 % N+5 85,21% 8,78% B 10 % N+5 105,43% 8,62%
21 Term Structure and Yield To Maturity Yield to Maturity / Le rendement à l échéance Oblig. Coupon - échéance FM0 FM 1 FM 2 FM 3 FM 4 FM5 Rendement à l échéance A 5 % N+5 852, ,78% B 10 % N , ,62%
22 Term Structure and Yield To Maturity Yield to Maturity / Le rendement à l échéance A B C 1 Cash Flows Obligation A Obligation B 2 CF0-852, ,29 3 CF CF CF CF CF =TRI(B2:B7) =TRI(C2:C7) 8 TRI ou TRA 8,78% 8,62%
23 Term Structure and Yield To Maturity Yield to Maturity / Le rendement à l échéance Tableau 24.1 : Déterminer la valeur actuelle de deux obligations lorsque les taux d intérêt à long terme sont plus élevés que les taux d intérêt à court terme Le TRA plus élevé de l obligation à 5% s explique par le fait que les taux à long terme sont plus élevés que les taux à court terme Calculs de valeur actuelle 5 % N+5 10 % N+5 Période Taux d intérêt Flux VA au taux rt Flux VA au taux rt T =1 r1 = 0, , ,24 T =2 r2 = 0, , ,00 T =3 r3 = 0, , ,63 T =4 r4 = 0, , ,50 T =5 r5 = 0, , ,92 Totaux 852, ,29
24 23-24 Pourquoi le titre à 5% a-t-il un meilleur rendement à l échéance? Parce que pour chaque investi dans ce titre, on reçoit un cash-flow relativement plus faible (que le l obligation à 10%) pendant les 4 premières années et un rendement relativement plus élevé la dernière année. En ce sens, le titre à 5% représente un investissement à plus long terme que celui à 10%. Son plus fort rendement à l échéance reflète le fait que le taux à long terme est plus élevé (ici) qu à court terme
25 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices Taux d'intérêt Obligation à 1 an coupon 5% Obligation à 10 ans coupon 5% Obligation à 30 ans coupon 5% , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
26 Cours des obligations, en % de la valeur nominale How Interest Rates Changes Affect Bond Prices Evolution du prix des obligations en fonction du taux d'intérêt Taux d'intérêt (en %) Obligation à 1 an coupon 5% Obligation à 10 ans coupon 5% Obligation à 30 ans coupon 5% Les obligations à long terme sont plus sensibles aux variations de taux d intérêt
27 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices La duration d une obligation Duration : durée de vie moyenne pondérée d une obligation (délai moyen de versements des cash flows) Duration 1 VA CF 2 VA CF 3 VA CF V V V... V : valeur (actuelle) du titre VA(CF t ) : valeur actuelle des flux monétaires (cash flows) de la période t
28 23-28 Une obligation zéro-coupon ne donne lieu qu à un seul versement à la date T. Une obligation couponnée délivre des revenus tous les ans jusqu à la date T. Ont-elle la même durée? D une point de vue financier NON!
29 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices La duration d une obligation Obligation A Année Flux t VA (FMt) à 4,9% Proportion de la valeur totale [VA(FMt) / Vt] Proportion de la valeur totale multipliée par le temps 1 68,75 65,54 0,060 0, ,75 62,48 0,058 0, ,75 59,56 0,055 0, ,75 56,78 0,052 0, ,75 841,39 0,775 3,875 Somme = 1 V = 1085,74 Duration = 4,424 années
30 23-30 Le délai moyen de versement (duration) est de 4,424 années alors que l échéance est à 5 ans. Supposez une obligation à 4,625% arrivant à échéance (maturité) également dans 5 ans. Dans la mesure où les coupons des 4 prochaines années représentent une proportion plus faible dans la valeur totale de l obligation comparés à ceux de l obligation à 6,875%, EN CE SENS, l obligation à 4,625% est plus longue que l obligation à 6,875%
31 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices La duration d une obligation Obligation B Année Flux t VA (FMt) à 4,9% Proportion de la valeur totale [VA(FMt) / Vt] Proportion de la valeur totale multipliée par le temps 1 46,25 44,09 0,045 0, ,25 42,03 0,043 0, ,25 40,07 0,041 0, ,25 38,20 0,039 0, ,25 823,68 0,834 4,168 Somme = 1 V = 988,06 Duration = 4,574 années
32 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices Bond volatility / La sensibilité d une obligation Comment évolue la VA de chacune de ces deux obligations lorsque les taux changent? Obligation A Obligation B 6,875 % N+5 4,625 % N+5 Nouveau cours Variation Nouveau cours Variation Le rendement baisse de 0,5 % 1 108,96 2,14% 1 009,91 2,21% Le rendement augmente de 0,5 % 1 063,16-2,08% 966,81-2,15% Différence (sensibilité) 4,22% 4,36%
33 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices Bond volatility / La sensibilité d une obligation Sensibilité = Duration 1 + Taux de rendement actuariel La sensibilité est exprimée en % Ainsi la sensibilité de l obligation A calculée de cette manière est égale à : 4, 424/(1,049) = 4,22% le résultat obtenu par différence dans le slide précédent!
34 How Interest Rates Changes Affect Bond Prices Bond volatility / La sensibilité d une obligation Taux d'intérêt Cours d'une obligation à 30 ans coupon 5% exprimé en % du nominal Duration Sensibilité , , , , ,00 16,14 15, , , , , ,87
35 Cours de l'obligation, en % de la valeur nominale How Interest Rates Changes Affect Bond Prices Cours d'une obligation à 30 ans coupon 5% exprimé en % du nominal Bond volatility / La sensibilité d une obligation A A Taux d'intérêt Cours d'une obligation à 30 ans coupon 5% exprimé en % du nominal La sensibilité mesure l effet probable d une variation du taux d intérêt sur la valeur de l obligation. C est la pente de la courbe représentative de l évolution du cours de l obligation en fonction du taux d intérêt. Par exemple, une obligation à 30 ans au taux fixe de 5% présente une sensibilité de 15,4% lorsque le taux d intérêt est de 5%. En ce point (A), la variation du prix (cours) représente 15,4 fois la variation du taux d intérêt. La sensibilité augmente à mesure que le taux diminue et diminue à mesure que le taux augmente
36 Explaining the Term Structure What Determines the Shape of the TS? 1 - Unbiased Expectations Theory 2 - Liquidity Premium Theory 3 - Market Segmentation Hypothesis Term Structure & Capital Budgeting CF should be discounted using Term Structure info Since the spot rate incorporates all forward rates, then you should use the spot rate that equals the term of your project.
37 Explaining the Term Structure YTM (r) Spot Rate - The actual interest rate today (t=0) & Normal 1976 Year Forward Rate - The interest rate, fixed today, on a loan made in the future at a fixed time. Future Rate - The spot rate that is expected in the future Yield To Maturity (YTM) - The IRR on an interest bearing instrument
38 Explaining the Term Structure r1 : taux d intérêt au comptant (spot) des emprunts d Etat français à 1 an r2 : taux d intérêt au comptant (spot) des emprunts d Etat français à 2 ans rn : taux d intérêt au comptant (spot) des emprunts d Etat français à N ans Exemple : Supposons que les taux spot actuels soient : r1 = 2,7% r2 = 2,8% 1 euro investi pour 1 an au taux r1 devient 1,027 au bout d un an 1 euro investi pour 2 ans au taux r2 devient (1,028) 2 au bout de 2 ans = 1,0568 La différence (1,0568 1,027) correspond à une augmentation de 2,9%. C est ce qu on obtient en supplément pour investir pour 2 ans au lieu d un. On l appelle taux d intérêt à terme (forward). C est le taux à un an dans un an. On le note f2
39 Explaining the Term Structure Il est donc équivalent d un point de vue financier de placer aujourd hui à deux ans au taux r2 ou de placer à un an au taux r1 et de réinvestir dans un an pour une année supplémentaire au taux f2. On doit donc avoir : 2 1 r 1 r 1 f r2 d'où : f2 1 1 r1 f 2 1 0, , ,029 ou 2,9%
40 Explaining the Term Structure The Expectations Theory / La théorie des anticipations On peut investir à 2 ans de deux manières : (a) investir directement dans un titre à 2 ans ou (b) investir dans 2 titres successifs à 1 an. Selon la théorie des anticipations, à l équilibre des marchés de capitaux les revenus anticipés des deux stratégies doivent être égaux. En d autres termes, le taux d intérêt à terme (f2) doit être égal au taux d intérêt au comptant anticipé (1r2) 1r 2 : taux d intérêt anticipé dans un an pour une dette arrivant à échéance dans 2 ans (c est-à-dire le taux au comptant à un an dans un an tel qu on l anticipe aujourd hui).
41 Explaining the Term Structure The Liquidity Preference Theory Si des investisseurs supportent un risque supplémentaire lorsqu ils détiennent des obligations à long terme (rappel : les oblig. à long terme et à duration élevée sont plus volatiles que les titres à court terme), ils demanderont une compensation sous la forme d un taux plus élevé. Le taux à terme devrait donc être plus élevé que le taux au comptant anticipé. La différence s appelle prime de liquidité.
42 Explaining the Term Structure Explication par la segmentation des marchés
43 23-43 L idée fondamentale est qu il existe une relation entre les taux (une structure) telle que les niveaux et les variations de taux (et de prix des obligations) sont étroitement liés les uns aux autres.
44 Explaining the Term Structure Relations entre obligations Tableau 23.3 : Hypothèses pour chacun des trois titres d État. On remarque que les fluctuations les plus importantes correspondent au titre à la plus forte duration. Nous ne savons pas ce que vaut le titre à moyen terme ; nous devrons l établir à partir de ses variations de prix suite à une augmentation ou une diminution des taux d intérêt. Solution par la construction d un portefeuille obligataire qui reproduit la variation de valeur de l obligation à moyen terme Variation de prix Prix de départ Si le taux d intérêt augmente Si le taux d intérêt diminue Valeur finale Bon du Trésor (court terme) Obligation à moyen terme? 6,5 + 10? Obligation à long terme ou 123
45 L hypothèse est que le taux à court terme est SANS RISQUE et CERTAIN et est de +2%. 2. Le rendement des deux obligations dépendra de l évolution des taux d intérêt. 3. On envisage deux possibilités : une forte hausse ou une forte baisse des taux (moyen/long). 4. On part de 100 (hypothèse). 5. En plaçant la moitié sur le titre à court terme et l autre moitié sur le titre à long terme quelle est la variation de la valeur du portefeuille? 6. Rep.1 : 0,5 2 + (0,5 (-15)) = - 6,5 (on reproduit ainsi la variation de la valeur de l obligation à moyen terme en cas d augmentation des taux) 7. Rep.2 : 0,5 2 + (0,5 (+18)) = +10 (on reproduit ainsi la variation de la valeur de l obligation à moyen terme en cas de baisse des taux). 8. Puisque ce portefeuille a exactement les mêmes résultats que l obligation à moyen terme, ces deux actifs doivent avoir le même prix! 9. Quel prix aujourd hui? 0, (0,5 (105)) = 101,5 10. Quel prix demain? 101,5 6,5 = 95 si les taux augmentent et 101,5 + 10= 111,5 si les taux diminuent
46 Explaining the Term Structure Réponse : Relations entre obligations On observe que les variations de valeur du portefeuille sont les mêmes que celles d une obligation à moyen terme. Dès lors le portefeuille et l obligation à moyen terme doivent avoir la même valeur Valeur finale Débours initial Si le taux d intérêt augmente Si le taux d intérêt diminue Portefeuille équivalent de bon du Trésor et de titre à long terme (0,5 x 98) + (0,5 x 105) = 101,5 (0,5 x 100) + (0,5 x 90) = 95 (0,5 x 100) + (0,5 x 123) = 111,5 Obligation à moyen terme 101,5 101,5 6,5 = ,5 +10 =111,5
47 23-47 Quelques exercises OBLIG
48 23-48 CH 2 (23) _ Exercice 1
49 23-49 CH 2 (23)_ Exercice 1 SOL
50 23-50 CH 2 (23) _ Exercice 2 (si vous le pouvez)
51 23-51 CH 2 (23) _ Exercice 2 SOL
52 23-52 CH 2 (23) _ Exercice 3
53 23-53 CH 2 (23) _ Exercice 3 SOL
54 23-54 CH 2 (23) _ Exercice 5
55 23-55 CH 2 (23) _ Exercice 5 SOL
56 23-56 CH 2 (23) _ Exercice 7 Le taux d'intérêt au comptant pour un an est r1 = 6 %, et le taux à terme d'un prêt à un an remboursable dans deux ans est f2 = 6,4 %. De même, f3 = 7,1 %, f4 = 7,3 % et f5 = 8,2% Quels sont les taux au comptant r2, r3, r4 et r5? Si la théorie des anticipations est respectée, que pouvez-vous dire des taux d'intérêt futurs anticipés?
57 23-57 CH 2 (23) _ Exercice 7 SOL
58 23-58 CH 2 (23) _ Exercice 10
59 23-59 CH 2 (23) _ Exercice 10
60 23-60 CH 2 (23) _ Exercice 10 SOL
61 23-61 CH 2 (23) _ Exercice 10 SOL
62 23-62 CH 2 (23) _ Exercice 10 SOL
63 23-63 CH 2 (23) _ Exercice 10 SOL
64 23-64 CH 2 (23) _ Exercice 10 SOL
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