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1 Département de physique Etude de l impédance d un diapason à quartz résonant à 5 Hz ; application. Travail expérimental et rédaction du document : Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.) mail : Les diapasons à quartz sont des composants très utilisés pour réaliser des oscillateurs suffisamment stables pour l instrumentation électronique où les horloges de systèmes numériques. Le quartz est associé à des capacités, afin d obtenir une structure résonante. La stabilité en fréquence de l oscillateur résulte de la valeur très importante (qq 0000) du facteur de qualité de cette cellule résonante. Ce sont les caractéristiques de la structure du diapason à quartz qui permettent d atteindre ces facteurs de qualité. En effet, de tels facteurs de qualités sont inaccessibles pour des cellules résonantes réalisées à partir d inductances et de capacités ordinaires. Dans ce travail, nous utiliserons un diapason à quartz dont la fréquence de résonance est voisine de 5 Hz. Ce composant est notamment utilisé pour réaliser des oscillateurs, qui, lorsqu ils sont associés à un circuit réalisant une division de fréquence, permettent de battre la seconde dans les montres. I. Structure d un quartz, modélisation électrique. Le quartz est un cristal d oxyde de silicium. On constate notamment que si on applique une d.d.p. sur deux électrodes fixées au matériau, c'est-à-dire si on place ce dernier dans un champ électrique, il va se déformer. Inversement, s il est soumis à des efforts mécaniques, une différence de potentiel va apparaître à ses bornes. C est ce couplage électromécanique qui va donner au composant ces caractéristiques particulières. Techniquement, le composant se présente sous la forme d un cylindre métallique, renfermant un diapason dont les deux bras sont en quartz. Sur chaque bras est déposé une électrode permettant d appliquer une tension extérieure. L effet piézo-électrique permet de remplacer la sollicitation mécanique du diapason (percussion) par une sollicitation électrique (tension). Cette structure permet d obtenir une résonance mécanique pour une fréquence très précise. En effet, la rigidité du quartz, en confinant l énergie acoustique dans les bras du diapason, va permettre d atteindre de très forts facteurs de qualité. De plus le diapason est placé sous vide afin d éviter toute interaction visqueuse avec un gaz, ce qui permet d augmenter le facteur de qualité. Electriquement, le quartz est un dipôle qui peut être représenté par le schéma électrique équivalent suivant : C est la résonance mécanique qui va donner à l impédance du dipôle les propriétés qui correspondent au schéma précédent. La capacité C 0 représente physiquement une capacité, correspondant aux deux électrodes séparées par un isolant électrique. En revanche, les éléments r, L et C sont des éléments motionnels. Ils permettent de représenter le couplage électromécanique dans le matériau. Il s agit de l effet, sur l impédance électrique globale du composant, des déformations mécaniques résultant de la résonance mécanique du diapason. Exemples d ordres de grandeur : Exemple de quartz 3768 Hz : L = 400 H ;C = ff ; r = 8000 Ω ; C 0 =3 pf ; Q=50000 Exemple de quartz MHz : L = 4H ;C = 6 ff ; r = 40 Ω ; C 0 = 8 pf ; Q=0000 On peut constater que certains ordres de grandeurs ne sont pas ordinaires, notamment pour les inductances. Par la suite, nous allons essayer de mesurer ces paramètres sur un composant du commerce. II. Identification des paramètres du modèle. Nous allons étudier l évolution de l impédance du quartz en fonction de la fréquence. A partir des courbes obtenues, nous tenterons d identifier les paramètres du modèle que nous venons de présenter. Nous en

2 profiterons pour commenter la validité du protocole employé, ainsi que la validité du modèle dont nous sommes partis. Pour obtenir l impédance, nous avons réalisé le circuit suivant : Le module de l impédance est donné par la relation Z = R m.u e u s La tension d entrée est la tension aux bornes du quartz et la tension de sortie est une image du courant dans ce dernier, au signe près. Pour éviter de risquer de détruire le quartz, nous veillerons à ce que u s reste inférieure à V environ. Au voisinage de la fréquence de résonance et pour les fréquences élevées, il faudra penser diminuer le niveau de tension d entrée. Par ailleurs, dans la zone d anti-résonance ou pour les basses fréquences, c'est-à-dire lorsque l impédance du composant est la plus forte, on travaillera avec une tension d entrée assez élevée, afin de conserver un niveau de tension de sortie raisonnable devant le niveau de bruit. Remarque : les impédances que l on est amené à mesurer sont parfois très élevées. Les dispositifs de mesure utilisés peuvent alors fortement perturber le comportement du système par les impédances qu ils ramènent dans le circuit. C est pourquoi le circuit choisi dans cette expérience nous a paru le mieux adapté. L emploi de systèmes permettant d isoler la mesure de tension aux bornes du quartz est notamment à proscrire, car les impédances ramenées faussent l observation. II.. Relevé de l impédance sans prêter attention à la zone de résonance. Si on ne cherche pas à observer finement ce qui se passe au voisinage de 5 Hz, on obtient une impédance dont l allure en fonction de la fréquence présente la forme suivante impédance (Ω) impédance déphasage tension/courant déphasage tension/courant ( ) 0 5 fréquence (Hz) En principe pour les fréquences très faibles devant 5 Hz, le composant est assimilable à une capacité C o +C. Pour les fréquences très supérieures, il ne reste plus que la capacité C o. En pratique, sachant que C << C o, on peut supposer que l on a C o dans les deux cas. Nous avons également représenté le déphasage tension/courant. On constate qu excepté au voisinage de la résonance et de l anti-résonance, il ne s écarte pas notablement de -90, ce qui est bien conforme au comportement capacitif attendu. La phase est un excellent indicateur de la présence d une impédance parasite ramenée par un appareil ou un composant. Pour rechercher la valeur de la capacité C o, nous avons réalisé un ajustement, en ne travaillant qu avec les points pris pour des fréquences inférieures à 30 khz. On trouve C o = 3.3 ± 0, pf

3 II.. Etude de la zone de résonance Pour cette expérience, il faut impérativement un générateur dont on peut régler la fréquence très finement (au moins au dixième de Hz). C est pourquoi on a pris un générateur Agilent 330. On va commencer par déterminer la plage de fréquence dans laquelle les termes motionnels vont provoquer des changements de comportement par rapport à une pure capacité. Cette plage est approximativement centrée autour de 3768 Hz. Elle ne s étend que sur quelques Hz. En pratique, on s est contenté de travailler entre 3750 Hz et 3790 Hz. Dans un premier temps, on va chercher à calculer la valeur des éléments du schéma équivalent à partir de points particuliers des courbes obtenues. On vérifiera ensuite si les valeurs obtenues permettent de retrouver l allure de la courbe d impédance expérimentale. Les courbes d impédance et de phase obtenues présentent l allure suivante impédance (Ω) impédance déphasage tension/courant déphasage tension/courant ( ) x0 3 fréquence (Hz) On note bien que la phase est négative pour la plupart des fréquences, excepté entre 3766 Hz et 3776 Hz environ. Dans le premier cas, le composant est plutôt capacitif et dans le second, sur la plage très étroite, il sera plutôt inductif. On note deux fréquences particulières. L une correspond à un minimum d impédance, il s agit de la fréquence de résonance f r. L autre correspond à un maximum d impédance, il s agit de la fréquence d antirésonance f a. Ces deux fréquences correspondent par ailleurs à un déphasage nul entre la tension et le courant. Expérimentalement, on trouve f r = ± 0.0 Hz et f a = ± 0.05 Hz A la résonance, l impédance du quartz est pratiquement égale à r. Compte tenu des mesures faites, on en déduit que r = 800 ± 50 Ω Nous allons maintenant négliger le rôle de r pour déterminer une relation approchée entre la fréquence de résonance et d antirésonance et les éléments du schéma équivalent. La fréquence de résonance est liée à L et C par la relation f r =. π. L.C La fréquence d anti-résonance est liée à L, C et C O, par la relation C.C O f a = avec C eq =. π. L.C C + C eq Soit f a C = C o. f r On en déduit C =,07 ± 0,08 ff Puis L = 398 ± 40 H En calculant l impédance en fonction de la fréquence à partir de ces valeurs, on constate que la courbe obtenue est bien superposée avec les points expérimentaux. Pour améliorer la correspondance, il faut ajuster L manuellement au dixième de H. O 3

4 Pour ajuster, on utilise la formule de l impédance correspondant au modèle du quartz donné en début de document : Z = r + Co. ω r L. ω C. ω + (L. ω ) C. ω r + (L. ω ) C. ω Il faut noter qu un ajustement automatique divergera systématiquement si on ne donne pas des valeurs assez proches des paramètres comme point de départ du calcul. Le modèle est un peu trop compliqué pour conduire facilement à des résultats corrects par ajustement. 0 8 impédance (Ω) impédance x0 3 fréquence (Hz) Le modèle dont nous avons identifié les paramètres s ajuste correctement sur les points expérimentaux relevés. III. Application : réalisation d un oscillateur. Présentation : A partir du composant précédent, on peut réaliser un oscillateur qui fait partie de la famille des oscillateurs à boucle de réaction. Ce type d oscillateur doit comporter une cellule résonante (filtre passe bande). Cette dernière comportant forcément des éléments dissipatifs, il va falloir apporter de l'énergie pour maintenir le système en oscillation. Le signal en sortie du quadripôle va donc être amplifié avant d'être à nouveau injecté dans le quadripôle résonant. Ce sont donc les sources de polarisation de l'amplificateur qui apportent l'énergie nécessaire pour obtenir une oscillation de sortie. En théorie, un système de ce type peut rester en équilibre instable. Cependant, en pratique, la moindre perturbation électrique (bruit) va pousser le système hors de son état d'équilibre et les oscillations vont démarrer. III.. Présentation de l oscillateur. Structure réalisée : L oscillateur comprend une non linéarité réalisée à partir d un inverseur logique (porte NAND à deux entrées reliées entre elles) et un filtre de retour passe-bas résonant très sélectif comportant un quartz et deux capacités. Le schéma complet est le suivant : 4

5 Expérimentalement, on a pris C = pf, C = 33 pf, = 0 MΩ et R s = 00 kω. La porte NAND utilisée est de type 74HC00. La porte inverseuse réalisée présente alors une caractéristique statique dont l allure idéalisée est la suivante : L impédance d entrée de cette porte est considérée comme infinie. De plus, en régime continu, l impédance du circuit de retour l est aussi. Grâce à la résistance, la porte se retrouve donc polarisée au milieu de sa zone de basculement (là ou le gain dynamique vaut A). En effet, le courant qui traverse cette résistance est alors nul en statique ce qui garantit la relation <V f > = <V NL >. En revanche, ça ne sera plus le cas en régime dynamique. rq : il faut noter qu en régime dynamique, les commutations se font avec oscillations, ce qui rend la caractéristique entrée/sortie de l élément non linéaire très différente de ce qui est observé en statique. Les signaux sont alors différents de ce qu on obtiendrait avec une commutation idéale. Par ailleurs, même en statique, la commutation est d allure plus complexe que ce qu indique la figure précédente. Il est donc simpliste de représenter le comportement de la porte autour de son point de fonctionnement par un gain scalaire. Modélisation simplifiée au démarrage des oscillations. Condition de démarrage des oscillations. Au démarrage, le gain de la porte inverseuse vaut A. On suppose donc que le système fonctionne dans sa bande passante et que les oscillations sont d amplitude assez faible pour qu il n y ait pas d effet non-linéaire. Le filtre constitué des capacités, du quartz, de R s. On suppose, pour l instant, que l incidence de sur la stabilité du système est négligeable. Le circuit va osciller pour une fréquence comprise entre la fréquence de résonance et d antirésonance du quartz. Nous allons négliger la résistance motionnelle du quartz. On supposera donc que son impédance, en régime sinusoïdal, s écrit Z = j.x( ω) Nous allons chercher la fonction de transfert, en régime sinusoïdal, du circuit suivant : V V out in ( j. ω ) = ( X( ω).c. ω) + j.r. ( C + C ). La fonction de transfert en boucle ouverte vaut alors F BO ( j. ω ) = A.B( j. ω) = A. s ( ω X( ω).c.c. ω ) ( X( ω).c. ω) + j.r. ( C + C ). s = B( j. ω) ( ω X( ω).c.c. ω ) Compte tenu du comportement du quartz, cette fonction de transfert correspond à un filtre passe-bande dont nous supposerons que le diagramme polaire présente approximativement la forme suivante : 5

6 Pour déterminer la condition de démarrage des oscillations, on va appliquer le critère du revers. Cette fonction de transfert est réelle si C + C ( C + C ). ω X( ω).c.c. ω = 0 soit si X( ω) =. = C.C ω C. ω On notera ω o la pulsation correspondant à cette situation. La fonction de transfert en boucle ouverte vaut alors A FBO ( ω o ) = C C Quand cette fonction de transfert est réelle, il faut que son module soit supérieur à pour que la courbe laisse le point - sur la droite et donc pour que le système soit instable. En tenant compte de la relation précédente et en reportant l égalité obtenue dans l expression de la fonction de transfert en boucle ouverte, on trouve que le système sera instable si C A. C > soit A > C C Cette condition sera toujours remplie en prenant C voisin de C car une porte inverseuse a toujours un gain A >>. En effet, avec ce type de composant, on commute de quelques volts en sortie sur quelques dizaines de mv en entrée. rq : en annexe, nous avons fait une modélisation plus poussée du système et il apparaît que le comportement est beaucoup plus complexe que ce qui vient d être proposé. C est ce qui explique notamment que le choix de R s et n est pas sans conséquences sur l apparition d oscillations. Par ailleurs, il est également nécessaire de prendre des valeurs de capacités C et C de l ordre du pf, car respecter un rapport correspondant à la condition précédente ne suffit pas pour observer des oscillations quand les valeurs de capacités sont trop fortes. Régime permanent. Le comportement non linéaire de la porte inverseuse va permettre d atteindre le régime permanent, en limitant l amplitude des oscillations en sortie. Ces dernières ne sont pas sinusoïdales alors qu elles le sont pratiquement en entrée, en raison du caractère très sélectif du filtre. En première approximation, on peut modéliser la non linéarité par un gain équivalent correspondant à sa réponse au premier harmonique. Si on suppose que la non linéarité n introduit pas de déphasage, on peut dire que le gain équivalent au premier harmonique sera réel et négatif. On le notera N. Le déphasage introduit par cet élément ne varie donc pas avec la fréquence. L équation qui caractérise le régime permanent est alors la suivante : + N.B( jω) = 0 Cette équation impose notamment que B(jω) soit réelle et donc que C + C X( ω) =. = C.C ω C. ω La fréquence d oscillation est donnée par l intersection de X(ω) représentée précédemment avec la courbe d équation /(C eq.ω). La solution se trouve dans la zone où X > 0, là où le quartz se comporte de façon inductive. Elle est donc comprise entre f r et f a, qui sont deux fréquences très proches. Remarques. La résistance motionnelle r m (modélisant les pertes dans le quartz) a peu d incidence sur la fréquence d oscillation. On pourra donc légitimement la négliger pour prédéterminer le comportement de l oscillateur. La température a en revanche une incidence notable sur la caractéristique X(ω) de l oscillateur (et donc sur f r et f a ). Elle peut donc faire fluctuer la fréquence d oscillation du système. A plus long terme, le vieillissement va, lui aussi, faire dériver lentement la fréquence de l oscillateur (une ppm par an environ). eq eq 6

7 IV. Obtention d une oscillation à Hz par division de fréquence. Pour réaliser la division de fréquence, il suffit de réaliser une opération de comptage binaire. Les compteurs que nous allons utiliser fonctionnent de la façon suivante : - leurs sorties permettent de composer un nombre binaire N. Si on note a i le niveau binaire (0 ou ) de la voie i de sortie du compteur, alors le nombre N est donné par n N = a i= 0 - ils présentent une entrée, appelée entrée d horloge, à laquelle on applique un signal en créneau évoluant entre 0 et une tension positive qui permet d incrémenter N de à chaque front montant. Si on se place dans le cas particulier d un compteur à 3 bits de sortie (n=), alors i. i N a o a a Si à chaque front montant de l horloge de fréquence f h, N donne N+, chaque signal a i est un créneau dont la fréquence vaut f h / i+. Il suffit donc d avoir un compteur 5 bits pour pouvoir ramener une fréquence de 5 Hz à Hz. En pratique, on peut utiliser deux compteurs 4040 en cascade pour réaliser cette opération. Le câblage est alors réalisé de la façon suivante : On récupère le créneau à Hz sur la patte a du second compteur. 7

8 Annexe : incidence de R s,, C et C sur la stabilité du circuit. Modélisation du système lors du démarrage des oscillations. Au repos, ou tant que les oscillations sont d amplitude assez faible, on va modéliser la porte inverseuse polarisée comme une source amplificatrice de tension de gain A. Le quartz est associé à deux capacités C et C, ce qui constitue un filtre de retour très sélectif. On va intégrer R s et à la réponse du système et étudier le gain du filtre suivant : En régime sinusoïdal, pour représenter le filtre de retour, si on suppose que l impédance du quartz va s écrire Z r + j.z i, avec le schéma équivalent du diapason à quartz donné en début de document, on trouve que R R. L. ω. L. ω + C ω ω ω ω ω o. ω Co. C. Co. C. Co. Z = Z + r + j.z i = j. R + + ω L. ω R L. Co. ω C. ω Co. ω C. ω En appelant V in la tension appliquée en entrée de la résistance R s, on trouve que Vout A n + j.b n ( A n.a d + Bn.B d ) + j. ( Bn.A d A n.b d ) = = A Vin d + j.b d A d + Bd avec A = R + R + Z R.C.Z. ω B A B n n s = Z + R.C.Z. ω i s p r r s i d = R s + + Z r R s.c.z i. ω.c.z i. ω R s..c.c.z r..( C + C ). ω + R.C.Z. ω + R.C.Z. ω R.R.C.C.Z ω d = Zi + R s. s r p r s p i. On définit alors Vout B(j. ω ) = = G x ( ω) + j.g Vin La fonction de transfert en boucle ouverte s écrit alors (j. ω ) = A.B( j. ω) F BO Un traitement analytique de ces formules est assez fastidieux. Par la suite, afin d observer l incidence des paramètres sur le comportement du circuit, on a réalisé les calculs de la partie réelle et imaginaire du quartz que l on a injecté dans les formules qui conduisent à la fonction de transfert globale du filtre. On a choisi les fréquences de calcul afin de rendre compte des évolutions rapides des caractéristiques du quartz dans la zone très étroite de résonance et d anti-résonance. Le diagramme polaire de F BO présente alors l allure suivante sachant que les flèches indiquent le sens des fréquences croissantes : ω y ( ω) 8

9 Le circuit réalisé a été conçu avec C = pf, C = 33 pf, = 0 MΩ et R s = 00 kω. Expérimentalement, le relevé du diagramme polaire de la réponse du filtre intégrant tous ces éléments confirme le comportement décrit sur la figure précédente diagramme polaire du filtre utilisé dans le circuit étudié = 0 MΩ ; R s = 00 kω ; C = pf ; C =33 pf et si on observe plus en détail au voisinage de l origine : Compte tenu des données expérimentales, pour que l oscillateur fonctionne avec un tel filtre, il faut que le gain négatif de la porte soit compris, en valeur absolue, entre environ,5 et 50 pour que le point «-» du plan complexe soit laissé sur la droite et donc que le système soit susceptible d osciller. La condition d oscillation est donc plus complexe que ce que laissait entrevoir le calcul simplifié effectué présenté dans la partie principale de 9

10 ce document. On supposera par la suite que A = Il ne s agit pas d une mesure mais d une hypothèse pour les calculs. Par la suite, on a fait en sorte de garder tous les paramètres inchangés sauf un dont on cherche l incidence sur l allure de la courbe et éventuellement sur la stabilité. L objectif est alors d étudier la position des points A et B par rapport au point «-». Dans la plupart des cas, A est très à gauche de «-». Dans ce cas, si B est à gauche de «-», le système reste stable. Sinon, les oscillations apparaissent. Sur les figures suivantes, c est la position de B qui est en général observée. Rôle de R s. Rs = 50 kω Rs = 00 kω Gain de la porte = -50 = 0 MΩ C = pf C = 33 pf Pour des valeurs trop faibles de R s, la courbe coupe l axe réel à gauche de «-». Le système est alors stable et il n y aura pas d oscillations. Pour que des oscillations apparaissent, il faudra donc choisir une valeur de R s assez importante. En pratique, 00kΩ conviennent, mais on n observe pas d oscillations pour 50kΩ. Rôle de. Dans l étude simplifiée, la résistance n avait pas d importance. En Pratique, on constate que le circuit n oscille plus si n est pas suffisamment forte Gain de la porte = -50 R s = 00 kω C = pf C = 33 pf = 0 MΩ = 0 MΩ = 5 MΩ = MΩ Sur cette figure, on constate bien qu il est nécessaire d avoir une valeur assez forte de pour que les oscillations démarrent. En pratique, une valeur de 0 MΩ permet d obtenir des oscillations satisfaisantes. 0

11 Rôle de C et C. En prenant des valeurs de C et C plus importantes (de l ordre du nf), la figure va rétrécir pour se rapprocher de l origine pour la portion correspondant à des valeurs réelles négatives. Dans ce cas, le point «-» finira par rester systématiquement sur la gauche et il n y aura pas d oscillations. On aura donc intérêt à conserver des valeurs voisines de qq 0 pf. Cette condition n apparaissait pas dans l étude présentée dans le document principal, puisque seul le rapport des valeurs des capacités semblait pouvoir jouer un rôle. En pratique, on vérifie que le circuit n oscille plus pour des valeurs trop importantes de C et C. Bibliographie : «Transmission de signaux», C. More, Tec & Doc pour les oscillateurs à quartz «Introduction au diapason à quartz», J.M. Friedt et E. Carry, UDP, vol. 99 décembre 005 pour les caractéristiques du diapason à quartz. Version du mai 007

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