PHYSIQUE. Partie préliminaire

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1 PHYSIQUE Les différenes paries de ce problème son dans une large mesure indépendanes Seules les argumenaions précises e concises seron prises en compe en réponse aux quesions qualiaives Parie préliminaire Un élémère es un disposiif (figure 1) permean de mesurer des disances élémère émeeur Il es consiué d un émeeur e d un récepeur supposés peis e rès proches l un de l aure L émeeur envoie à l insan 1 une impulsion qui, après propagaion à la célérié récepeur obsacle c e réflexion sur un obsacle, revien vers le Figure 1 élémère e es déecée par le récepeur à l insan 2 Déerminer la disance L enre le élémère e l obsacle, en foncion des données Sur l enregisremen de la figure 2 (où l unié de emps es la milliseconde), son visualisés le signal de commande de l émeeur (signal 1 ) e la réponse du récepeur (signal 2 ), synchronisés sur la même origine de emps On donne c = 345 m s 1 Déerminer la valeur numérique de L Figure 2 Dans ce problème, on se propose d éudier les caracérisi- Signal 1 ques d un élémère à Signal 2 ulrasons pour lequel l émeeur e le récepeur son des 1 2 lames de quarz possédan des (ms) propriéés piézo-élecriques Parie I - Mesure de la célérié d une onde ulrasonore Soumise à une différence de poeniel sinusoïdale de fréquence f 0 = 40, 00 khz, soi U() = U 0 cos( 2π f 0 ), une lame de quarz vibre e ransme son mouvemen Concours Cenrale-Supélec /11

2 aux couches d air environnanes ; la lame éme ainsi une onde ulrasonore sinusoïdale, de même fréquence f 0, que l on suppose plane e qui se propage suivan l axe Ox avec la célérié c La lame de quarz es placée à l abscisse x = 0 L air es supposé non visqueux, de masse volumique au repos ρ 0, de coefficien de 1 compressibilié isenropique χ s = V L influence de la pesaneur es V P S négligée À l insan, la viesse de la ranche d air d abscisse x s écri : x vx (, ) = v 0 cos2π f 0 -- c La pression P e la masse volumique ρ flucuen sinusoïdalemen auour de leurs valeurs moyennes respecives P 0 (pression de l air lorsqu il es au repos) e ρ 0, e se meen respecivemen sous la forme : P = P 0 + px (, ) e ρ = ρ 0 + µ ( x, ) IA - Définir l approximaion acousique IB - Exprimer : IB1) à parir de l équaion d Euler, la surpression acousique px (, ) en foncion de ρ 0, c e v( x, ) ; IB2) à parir de l équaion de conservaion de la masse, l expression de µ ( x, ) en foncion de ρ 0, c e v( x, ) ; IB3) une relaion enre χ s, ρ 0, µ ( x, ) e px (, ) On noera bien que les résulas demandés fon inervenir les foncions vx (, ), µ ( x, ), px (, ) e non leurs dérivées IC - En déduire l expression de la célérié c en foncion de χ s e ρ 0 ID - L air es assimilé à un gaz parfai de masse molaire M, à la empéraure T 0 Déerminer la valeur c GP de la célérié c en foncion de M, T 0, de la consane des gaz parfais R e du coefficien γ = p C Applicaion numérique : R = 8, 314 J K 1 mol 1, M = 29, 0 g, T 0 = 293 K, γ = 140, Calculer c GP e la longueur d onde λ de l onde ulrasonore C v Concours Cenrale-Supélec /11

3 IE - À l abscisse x, on place un U e U récepeur qui délivre une ension élecrique U r () proporionnelle à la viesse U U r r vx (, ) de l onde ulrasonore en x : on peu donc poser U r () = Gv( x, ) On O relève sur un oscilloscope les ensions U() e U r () IE1) En déplaçan le récepeur, on consae que les ensions U() e U r () Figure 3 son en phase pour différenes valeurs de x (figure 3) On repère ainsi une coïncidence de phase des signaux U() e U r () pour une ceraine abscisse x 0 (coïncidence n 0) ; puis on relève les abscisses des poins où surviennen les nouvelles coïncidences : on noe ainsi que la coïncidence n 3 a lieu à l abscisse x 3 = ( 26, ± 01, ) cm andis que la coïncidence n 103 se produi à l abscisse x 103 = ( 88, 9 ± 01, ) cm Calculer la longueur d onde λ de l onde ulrasonore en jusifian le nombre de chiffres significaifs qui sera reenu En déduire la valeur de la célérié c de l onde En paran de cee valeur e en uilisan le modèle du gaz parfai de la quesion ID, déerminer la empéraure T à laquelle l expérience a éé menée Cier quelques causes d erreur qui peuven enraîner une différence enre cee empéraure T e la empéraure T 0 mesurée par un bon hermomère IE2) On consae que l ampliude de la ension U r diminue lorsque x augmene Jusifier cee observaion expérimenale (si plusieurs explicaions son apporées, essayer de les classer par ordre d imporance) Parie II - Effe piézo-élecrique On considère une lame de quarz, cylindrique, de secion S consane, d axe Ox (de veceur uniaire u x ), Figure 4 U don les deux faces A e B en regard son méallisées Face B Face A (figure 4) F La face B es fixée à l abscisse x = 0 Au repos, l épaisseur q q de la lame vau e, e ses faces ne son pas x chargées En présence de solliciaions exérieures O e + ξ (soi une différence de poeniel U = U A U B appliquée enre les faces, soi une force F = Fu x appliquée sur la face A, soi les deux simulanémen) : Concours Cenrale-Supélec /11

4 l épaisseur de la lame subi une peie variaion ξ avec ξ «e e prend la valeur e + ξ les faces A e B acquièren respecivemen les charges q e q, réparies uniformémen sur leur surface (il s agi de charges réelles, libres, disinces des charges dues à la polarisaion du quarz) L éa de la lame es alors caracérisé par le couple de variables ( q, ξ) On suppose de plus que les veceurs champ élecrique E, déplacemen élecrique D e polarisaion P son uniformes (colinéaires à l axe Ox ), dans la lame, e nuls à l exérieur de la lame IIA - Polarisaion élecrique On impose dans cee quesion ξ = 0 (faces A e B fixées) D un poin de vue élecrique, le quarz se compore comme un diélecrique parfai de permiivié relaive ε r e l ensemble {lame + faces méallisées} consiue un condensaeur de capacié C On applique aux bornes de la lame une différence de poeniel consane U 1 = U A U B, il apparaî respecivemen des charges q e q sur les faces A e B, e un champ élecrique E 1 dans la lame IIA1) Donner les expressions des veceurs déplacemen élecrique D 1 e polarisaion P 1 dans la lame en foncion de ε r, de la permiivié diélecrique du vide ε 0 e de E 1 IIA2) Éablir une seconde expression de D 1 en foncion de q, S e u x IIA3) Donner l expression de E 1 en foncion de U 1, e e u x IIA4) En déduire la valeur de la capacié C en foncion de S, e, ε r e ε 0 IIA5) Applicaion numérique : on donne ε r = 45, ; ε 0 = 884, F m 1 ; S = 20 mm 2 ; e = 1, 0 mm Calculer C IIB - Polarisaion mécanique En fai, le quarz, comme cerains aures crisaux es piézo-élecrique : une conraine mécanique faisan varier l épaisseur de la lame produi égalemen une polarisaion élecrique dans le crisal On impose dans cee quesion q = 0 (faces A e B isolées) Une force F = Fu x appliquée sur la face A, fai varier l épaisseur de la lame de e à ( e+ ξ) e fai apparaîre la polarisaion P 2 = P 2 u x dans la lame On adme la relaion linéaire P 2 = hξ ( h désigne une consane posiive caracérisique de la lame de quarz) IIB1) Quelle es la valeur du veceur déplacemen élecrique D 2 dans la lame? En déduire la relaion lian P 2 e le champ élecrique E 2 dans la lame IIB2) Déerminer la différence de poeniel U 2 qui es apparue enre les faces A e B de la lame e la mere sous la forme U 2 = αξ Exprimer α en foncion de h, e e ε 0 Dans le cas général ( q 0, ξ 0), les champs e poeniels des Concours Cenrale-Supélec /11

5 quesions précédenes se superposen De plus, une éude mécanique monrerai une relaion enre F, q e ξ de la même forme On adme donc pour la suie du problème les relaions linéaires : q U = αξ C F = βq+ kξ ( β e k désignan deux consanes posiives caracérisiques de la lame de quarz) IIC - Aspec énergéique IIC1) Un opéraeur applique la force F = Fu x sur la face A, e un généraeur applique la différence de poeniel U enre les faces de la lame Exprimer, pour des variaions élémenaires respecives dq e dξ de q e ξ, la variaion de L de l énergie de la lame de quarz en foncion du ravail δw op fourni par l opéraeur e du ravail δw G fourni par le généraeur Exprimer ensuie de L en foncion de F, U, dq e dξ IIC2) La lame es iniialemen au repos ( q = 0, ξ = 0), on pose E L = 0 dans ce éa Les faces A e B éan isolées, l opéraeur appuie lenemen sur la face A pour faire passer l épaisseur de la lame de e à ( e + ξ) Calculer l énergie E L1 de la lame à la fin de cee déformaion élasique supposée réversible, en foncion de k e ξ IIC3) Tou en mainenan l épaisseur de la lame à la valeur ( e + ξ) précédene, on ajuse la différence de poeniel aux bornes de la lame de elle sore que la charge de la face A aeigne la valeur q Calculer l énergie E L de la lame à la fin de cee seconde ransformaion en foncion de E L1, q, C, α e ξ, puis en foncion de k, q, C, α e ξ IIC4) L énergie E L ( q, ξ) es une foncion d éa des variables q e ξ, on adme que l expression rouvée en IIC3) es valable quelle que soi la ransformaion considérée En déduire une nouvelle expression de de L e en déduire que α = β IID - Applicaion numérique : on donne k = 17, 10 9 N m 1, α = 42, 10 9 V m 1 IID1) Évaluer le produi α 2 Ck 1 Quelle es sa dimension? IID2) Déerminer les valeurs de ξ e q obenues lorsqu on applique une différence de poeniel U = 15 V enre les faces A e B de la lame en l absence de conraine mécanique ( F = 0) Concours Cenrale-Supélec /11

6 Parie III - Comporemen dynamique des ransduceurs (émeeur e récepeur) IIIA - L émeeur Lorsque la lame de quarz es soumise à une différence de poeniel variable U(), sans conraine mécanique exérieure aure que le conac de l air, on adme, dans oue la suie, que U(), q () e ξ () son liées par le sysème d équaions : U q = αξ C m d2 ξ d 2 + δ dξ kξ + αq = 0 d Dans cee dernière équaion, le coefficien m es proporionnel à la masse de la lame andis que δ es un coefficien posiif ( δ> 0) IIIA1) Donner brièvemen la significaion du erme δ dξ d dξ() IIIA2) Déerminer l équaion différenielle relian la viesse v () = à la d différence de poeniel U() appliquée aux bornes du quarz en inroduisan les quaniés : k α 2 C k mω ω 0 = , Q 0 αc = (avec Q» 1 ), H m m δ 0 = mω 0 IIIA3) On suppose que U() es un échelon de ension d ampliude E, le crisal de quarz éan iniialemen au repos Monrer que la soluion v () de cee équaion peu se mere sous la forme : - τ v () = Ae sin( ω 0 ) e donner les expressions de τ e ω 0 en foncion de Q e ω 0 On ne cherchera pas à déerminer la consane A Dans oue la suie, on pourra supposer ω 0 ω 0 IIIA4) On défini le emps de réponse τ E de l émeeur comme le emps au bou duquel le signal es inférieur à 5% de sa valeur iniiale Exprimer τ E IIIA5) Quelle foncion de ransfer complexe H( ω) = v U peu-on associer à l équaion différenielle de la quesion IIIA2, en régime sinusoïdal forcé de pulsaion ω? On exprimera H en foncion de H 0, Q, ω 0 e ω Quelle es la naure du filre de fréquences correspondan? Concours Cenrale-Supélec /11

7 IIIB - Récepeur Réciproquemen, lorsque la lame de quarz es soumise à une onde ulrasonore qui impose à l une de ses faces de vibrer à la viesse v (), on recueille une différence de poeniel U () elle que, en régime sinusoïdal éabli, on puisse écrire, en noaion complexe : K ( ω) = U' v, où la foncion de ransfer K ( ω) a une expression analogue à celle de la foncion H de la quesion IIIA5) dans laquelle on a simplemen remplacé H 0 par le coefficien réel e consan K 0, les valeurs de Q e de ω 0 éan les mêmes que pour l émeeur IIIB1) Donner l équaion différenielle relian U () e v () IIIB2) On considère un récepeur recevan l onde émise par un émeeur sollicié par un échelon de ension, de la forme : - τ v () = Be sin( ω 0 ) Que devien l équaion différenielle précédene? IIIB3) On suppose que, dans cee quesion, Q es infini (pour l émeeur e le récepeur) Vérifier que l équaion ci-dessus s écri : d 2 U d 2 ω 0U = K 0 ω 0B cos( ω0 ) Déerminer la consane U 0 elle que U () = U 0 ω 0 sin( ω 0 ) soi soluion de cee équaion IIIB4) La soluion générale de l équaion obenue en IIIB2) es assez compliquée On admera que, pour Q suffisammen grand mais fini, cee soluion peu praiquemen se mere sous la forme : - τ U () U 0 e ω 0 sin( ω 0 ) avec les valeurs de τ, V' U' U 0 e ω 0 rouvées Débu du signal précédemmen Déerminer la valeur 0 de correspondan au maximum de l ampliude de l enveloppe de 0 ce signal IIIB5) Applicaion numérique : on a relevé figure 5 un el signal U (), l unié de emps éan la microseconde Figure 5 (µs) Concours Cenrale-Supélec /11

8 a) Évaluer l ordre de grandeur de la fréquence f 0 = ω 0 ( 2π) e du faceur Q b) On défini le emps de réponse τ R comme le emps au bou duquel le signal U () devien inférieur à 5% de sa valeur maximale Évaluer τ R en foncion de τ (une réponse à un seul chiffre significaif suffira) Comparer τ R e τ E (défini à la quesion IIIA4) c) En admean qu avec une élecronique simple, l insan 2 coïncidan avec le débu du reour de l écho es déerminé à τ près e qu il n y a pas d aure source d erreur, donner l inceriude absolue sur la mesure d une disance L = 22, m On prendra c = 345 m s 1 Commener brièvemen la précision obenue Parie IV - Applicaion à la élémérie IVA - Le choix de la ension d alimenaion U() Figure 6 T 1 T 2 E 0 E T 3 En praique, l ampliude du signal reçu par le récepeur diminue lorsque la disance élémère-obsacle augmene (cf quesion IE2)Pour pouvoir mesurer de grandes disances, il fau augmener la puissance ransmise à l émeeur Pour y arriver, on l excie périodiquemen par des salves d impulsions La figure 6 représene une ension d exciaion comporan 3 salves de 4 impulsions (les échelles de emps ne son pas respecées) On noe T 3 la période des impulsions, T 2 la durée d une salve e T 1 la période des salves IVA1) Déerminaion de T 3 : a) On considère la foncion de ransfer complexe H( ω) = v U de l émeeur éablie à la quesion IIIA5 en régime sinusoïdal forcé Déerminer le module H = H en foncion de H 0, Q, ω 0 e ω Pour quelle valeur de ω la foncion H( ω) es-elle maximale? Quelle es la valeur H max de ce maximum? Enre quelles valeurs ω 1 e ω 2 ( ω 1 < ω 2 ) de la pulsaion, H( ω) es-elle supérieure à H max 2? Calculer ω = ω 2 ω 1 en foncion de Q e de ω 0 b) Tracer l allure de H en foncion de la pulsaion ω pour Q = 25 Concours Cenrale-Supélec /11

9 1 c) Pour oue la suie du problème on choisi T 3 = ---- Expliquer pourquoi la f 0 réponse en viesse v () de la face A de la lame de quarz au signal U() de la 4 figure 6 es praiquemen la même (à un faceur -- près) que si les salves de π durée T 2 éaien consiuées de porions de sinusoïdes d expression E sinω 0 (pour celle qui débue en = 0 ) IVA2) Déerminaion de T 2 On adme que le régime ransioire correspondan à la salve du signal U() débuan à = 0, es de la forme : v () 4H max E ---- τ = e π sin( ω 0 ) Dans cee expression, τ es la consane de emps de la lame définie à la quesion IIIA3 Dessiner l allure de l enveloppe de ce régime ransioire dans le cas où f 0 = 40, 00 khz, Q = 25 e T 2 = 2τ (valeur qui sera conservée par la suie) Pourquoi es-il peu inéressan de prendre T 2 > 2 τ? IVA3) Déerminaion de T 1 Déerminer la valeur minimale de T 1 permean de mesurer oues les disances dans l inervalle [ 0, L max ] sans ambiguïé Calculer la valeur numérique de T 1 pour L max = 10 m e c = 345 m s 1 IVB - Le circui d alimenaion Les amplificaeurs opéraionnels uilisés son considérés comme idéaux Ils foncionnen en régime de sauraion Les ensions de sauraion en sorie son noés +E e E( E > 0) IVB1) Oscillaeur commandé : on considère le monage M de la figure 7 Figure 7 E R R R + e M s e () u + () C 2R u - () R s () a) Déerminer la ension u + () en foncion de e (), s () e E Concours Cenrale-Supélec /11

10 b) Foncionnemen en mode bloqué : on suppose e () = E Monrer, qu en régime éabli indépendan du emps, la ension de sorie s () conserve oujours la même valeur que l on déerminera c) Foncionnemen en mode mulivibraeur : on suppose e () = +E i)monrer que la ension de sorie s () ne peu garder une valeur consane ( E ou E) en régime éabli ii)déerminer l équaion différenielle lian u () à s () On posera 2 τ a = --RC 3 iii)on choisi l origine des emps elle que u ( 0) = --- E e s( 0) = +E 3 E Résoudre l équaion différenielle e donner l expression de u () pour u () < --- E 3 Que se passe--il à l insan où u ( 0 ) = ---? Que se passe--il après? 3 iv)tracer soigneusemen, pour une période du signal de sorie, les graphes de u () e s () v)en déduire la période T de s() en foncion de τ a IVB2) Généraeur d impulsions : on considère le monage M de la figure 8 C 2R + E e () u () R s () Figure 8 e M s a) On suppose que la ension e () es consane Monrer le monage possède, en régime éabli (indépendan du emps), un seul éa sable, e donner la valeur de s () correspondane b) Déerminer, en régime variable, l équaion différenielle lian u () à e () On posera τ m = 3RC c) On suppose qu à l insan = 0, e( 0 ) = E e que le régime éabli es aein À l insan = 0, l enrée bascule e e () prend la valeur e( 0 + ) = +E Déerminer la valeur de la disconinuié ( u( 0 + ) u( 0 )) de la ension u () à l insan = 0 d) Déerminer l évoluion de u () à parir de ce insan Concours Cenrale-Supélec /11

11 e) La ension d enrée e () es un signal recangulaire symérique prenan les valeurs +E e E, de période T Tracer soigneusemen sur le même graphe, pour T = 10 τ m e pendan une période de e (), les ensions e (), u () e s () f) Donner la largeur T 2 des impulsions de sorie correspondanes en foncion de τ m IVB3) Associaion des circuis précédens a) Monrer commen, en combinan en série un circui M 1 de ype M, un circui M' e un second circui M 2 de ype M, on peu réaliser les salves décries sur la figure 6 b) Applicaion numérique : on prend R = 10, kω pour ous les circuis Avec les noaions de la figure 6 on prend T 1 = 60 ms, T 2 = 0, 40 ms e T 3 = 25 ms Déerminer les valeurs numériques qu il fau donner aux différenes capaciés ( C 1 pour M 1, C' pour M' e C 2 pour M 2 ) FIN Concours Cenrale-Supélec /11

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