La résolution de problèmes. mathématiques. Au Cycle 3. Atelier pour les suppléants Valence 26/01/11 DDEC 07 / 26

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1 La résolution de problèmes mathématiques Au Cycle 3 Atelier pour les suppléants Valence 26/0/ DDEC 07 / 26

2 Objectifs de l atelier Relire les programmes 2008 et le palier 2 du socle commun pour la résolution des problèmes mathématiques Définir la résolution de problèmes Connaître les différents types de problèmes Favoriser une démarche de résolution

3 La résolution de problèmes mathématiques Socle commun Programmes 2008

4 Socle commun PALIER 2 Les compétences attendues en fin de cycle 3: Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois, figures géométriques, schémas Savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d un résultat Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques.

5 Programmes 2008 : Mathématiques «La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision. Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d apprendre à résoudre des problèmes»

6 Programmes 2008 : Mathématiques Nombres et Calcul «La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.»

7 Progressions 2008 : Mathématiques Nombres et Calcul Problèmes CE2 Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Problèmes CM Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes CM2 Problèmes Résoudre des problèmes de plus en plus complexes

8 Programmes Nombres 2008 et : Mathématiques Calcul Nombres Les mots et clés Calcul Résolution de problèmes liés à la vie courante Objectifs : approfondir la connaissance des nombres étudiés renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations développer la rigueur et le goût du raisonnement CE2 quatre opérations CM démarche à une ou plusieurs étapes CM2 problèmes complexes

9 Programmes 2008 : Mathématiques Programmes 2008 Géométrie «Les problèmes de reproduction et de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l occasion d utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.»

10 Progressions Progressions 2008 : Mathématiques 2008 Géométrie CE Problèmes de reproduction et construction Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle Construire un carré ou un rectangle de dimensions données CM Problèmes de reproduction et construction Compléter une figure par symétrie axiale Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes CM2 Problèmes de reproduction et construction Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions)

11 Programmes Nombres 2008 et : Mathématiques Calcul Les Géométrie mots clés Reproduction et construction de configurations géométriques Objectifs : mobiliser la connaissance des figures usuelles utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique utiliser à bon escient les démarches de mesurage et de tracé. CE2 CM CM2 Reproduire Construire Compléter Tracer Tracer Dessiner à main levée Figures Carré Figures Figure Rectangles Figures simples Papier uni, quadrillé ou pointé Modèle Dimensions données Symétrie axiale Programme de construction Consignes Papier uni, quadrillé ou pointé Programme de construction Indications Propriétés Dimensions

12 Programmes 2008 : Mathématiques Programmes 2008 Grandeurs et mesures «La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner sens. A cette occasion, des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées»

13 Progressions Progressions 2008 : Mathématiques 2008 Grandeurs Géométrie et Mesures CE Problèmes Problèmes CM Problèmes CM2 Résoudre des problèmes dont la résolution implique des grandeurs de : Longueur (km, m, mm, cm) Masse (kg, g) Capacité (cl, l) Monnaie (, cts) Temps (h, min, s / mois, année) Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure.

14 Programmes Nombres 2008 et : Mathématiques Calcul Problèmes concrets CE2 Longueur (km, m, mm, cm) Masse (kg, g) Capacité (cl, l) Monnaie (, cts) Temps (h, min, s / mois, année) Grandeurs Les mots et Mesures clés Estimations de mesure fournies puis validées Objectifs : consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure leur donner sens. CM éventuellement conversions conversions CM2 simultanément des unités différentes de mesure.

15 Programmes 2008 : Mathématiques Organisation et gestion de données «Les capacités d organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante ou tirés d autres enseignements. Il s agit d apprendre progressivement à trier des données, à les classer, à lire ou à produire des tableaux, des graphiques et à les analyser. La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les notions de pourcentage, d échelle, de conversion, d agrandissement ou de réduction de figures. Pour cela, plusieurs procédures (en particulier celle dite de la règle de trois ) sont utilisées.»

16 Progressions Progressions 2008 : Mathématiques 2008 Organisation et gestion des données CE CM CM2 Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement des données. Construire un tableau ou un graphique. Interpréter un tableau ou un graphique. Lire les coordonnées d un point. Placer un point dont on connaît les coordonnées. Utiliser un tableau ou la règle de trois dans des situations très simples de proportionnalité. Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalitéet notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de trois ).

17 Programmes Nombres 2008 et : Mathématiques Calcul Organisation Les et mots gestion clés de données Problèmes de la vie courante ou tirés d autres enseignements Proportionnalité : pourcentage, échelle, conversion, agrandissement ou réduction de figures. Objectifs : apprendre progressivement à trier des données, à les classer, à lire ou à produire des tableaux, des graphiques et à les analyser. Organiser les données Traiter des données Résoudre Tableau Graphique CE2 Construire Interpréter Utiliser Lire Placer CM Tableau Graphique Coordonnées d un point Règles de 3 Proportionnalité Résoudre Proportionnalité Pourcentages Echelles Vitesses moyennes Conversions d unité Procédures Règle de trois CM2

18 La résolution de problèmes mathématiques Mise en situation

19 Pierre a 75 œufs à mettre dans des boîtes de 6 œufs. Combien de boîtes peut-il remplir? Du côté de la résolution Niveau : Utilisation de la manipulation, des doigts, du dessin. Niveau 2 : Utilisation des nombres, d additions successives, de soustractions, de multiplications... Niveau 3 : Utilisation d une opération, procédure experte et plus abstraite Procédures personnelles Procédures expertes

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22 La résolution de problèmes mathématiques Définitions Typologie des problèmes

23 DEFINITION Un problème, c est une situation initiale avec un but à atteindre demandant à un sujet d élaborer une suite d actions ou d opérations pour atteindre ce but La situation proposée est problème si : La solution n est pas disponible d emblée La solution est à construire

24 Les différents types de problèmes Type de problèmes 00 Problèmes de 000 Apprendre à chercher (objectif méthodologique) recherche «ouvert» Problèmes «complexes» Situation problème Utiliser conjointe de plusieurs connaissances Construire une nouvelle connaissance Fonction Quand? Indépendant des apprentissages notionnels Après un travail sur plusieurs connaissances Pour un premier travail sur une nouvelle connaissance Problème d applicationd Problème de réinvestissement S entraîner à la maîtrise du sens de la connaissance nouvelle Utiliser d une connaissance dans un contexte différent de celui où elle a été abordée Après une phase de construction d une nouvelle connaissance Pour enrichir le sens d une connaissance (champ d application) ou l utiliser conjointement à d autres connaissances

25 La résolution de problèmes mathématiques Démarche de résolution de problèmes

26 La démarche de résolution de problèmes Mise en situation 2- Prise en compte des savoirs et représentations des élèves Formulation des procédures à tester 3- Mise en commun des procédures 4- Synthèse

27 èreè étape : La mise en situation Mise en situation à partir : - d objets concrets : jeu de cartes, pions, - d un énoncé (oral ou écrit) - d une situation de la vie de classe ou de la vie courante - d un défi Formulation d un problème à résoudre

28 èmeè étape : Prise en compte des savoirs et des représentations des élèves Temps de recherche Temps de recherche individuelle Les élèves s appuient sur leurs connaissances préalables pour trouver des solutions Temps de recherche en groupe Confrontation entre les élèves Mise en forme d une affiche pour communiquer les solutions Formulation des procédures à tester Selon la nature du problème, les élèves peuvent faire appel à des procédures : Procédures personnelles Utiliser des manipulations concrètes, dessins, schématisation de la situation, dénombrement, essai/erreur, Procédures expertes Utiliser des opérations mathématiques et pouvoir les expliciter

29 èmeè étape : Mise en commun des procédures Présentation des différentes procédures trouvées dans les groupes. Du côté des élèves Confronter Comparer Echanger Argumenter Du côté du ma Du côt du maître Questionner Interpeller Inciter à argumenter Valider et invalider les propositions

30 èmeè étape : Synthèse Organiser et structurer : les connaissances les procédures intéressantes

31 La résolution de problèmes mathématiques Problème ouvert Problème complexe Situation problème

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33 Problèmes «Ouvert» Le terme de «problème ouvert» introduit par une équipe de chercheurs de l IREM de Lyon : désigne une activité scolaire au cours de laquelle les élèves sont confrontés à un problème inédit, nouveau, dont la solution ne peut être obtenue par l utilisation directe, immédiate de connaissances apprises antérieurement. Il s agit de véritables problèmes qui nécessitent de chercher réellement, d essayer des solutions, de les tester, d argumenter à propos de leur validité. Il n y a pas de solution toute prête, il faut en construire une, originale.

34 Problèmes «Ouvert» Un problème sera dit «ouvert» s il possède les propriétés suivantes : -L énoncé est court ne pose pas de problèmes de compréhension. l application immédiate des dernières notions acquises en cours. -L énoncé n induit ni la méthode, ni la solution Pas de questions intermédiaires). La solution ne doit pas être l utilisation ou -Ne relève pas d application de connaissances directes - Ne débouche pas directement sur un apprentissage nouveau

35 Problèmes «Ouvert» Chercher une 000 solution 0 originale, personnelle Mettre l accent sur des objectifs spécifiques d ordre méthodologiques : essayer, organiser sa démarche, argumenter sa solution, Prendre en compte et valoriser les différences entre les élèves : échange, confrontation, débat autour des stratégies Permettre à l enseignant de faire connaître aux élèves ses attentes en matière de résolution de problèmes : le but est de chercher

36 Problèmes «Ouvert» La 00 difficulté ne 000 doit 0 pas résider dans la compréhension de la situation : Commencer la recherche que lorsque les termes et l enjeu du problème sont appropriés par tous les élèves La phase de recherche doit appartenir aux élèves : l aide et les réponses de l enseignant ne peuvent porter que sur la compréhnesion de l énoncé La mise en commun est avant tout une phase d échanges et de débat autour des solutions proposées par les élèves: affichages La même situation peut être proposée à nouveau aux élèves : permettre aux élèves d essayer des solutions qu ils n ont pas élaborées eux-mêmes.

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38 Problème complexe Ce sont des problèmes dont : la résolution d ensemble nécessite la résolution de sous-problèmes dont le modèle est préalablement connu par les élèves, la difficulté essentielle restant la planification des différentes étapes qui ne sont pas toujours précisées par des questions intermédiaires.

39 Problème complexe Chacune des situations peut donner lieu à un travail spécifique sur : tri des données, la recherche des informations, les questions, planification des résolutions intermédiaires ou de la résolution générale Selon les situations, les informations sont fournies sous des formes diverses : texte écrit de type varié (récit, dialogue, article de presse, BD, ), une partie de l information est donnée sous forme organisée (tableau, diagramme, ), énoncé associant texte et image (photo, dessin, BD, ), énoncé associant texte et document réel (publicité, extrait de tarif, Le plus souvent, les problèmes sont situés dans un contexte de «vie courante» : activités familières aux élèves (exemples de la vie de la classe, de l école), activités de la vie quotidienne des adultes (achats, voyages, vacances, ), situations relevant de l univers multimédia (émissions TV, jeux vidéos, )

40 Problème complexe Pour permettre un travail diversifié, selon les situations, les données sont : - nécessaires et suffisantes - insuffisantes -surabondantes Selon les situations, les questions sont : - non fournies - fournies dans des fiches d aide, selon les besoins des élèves Un problème complexe fait intervenir une ou plusieurs notions mathématiques avec, le plus souvent, une dominante : - types de nombres - opérations utilisées - mesures - objets géométriques

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42 Situation-problème La situation-problème est une situation d'apprentissage C'est un moyen d'apprentissage et non le résultat. C'est une stratégie d'enseignement qui favorise l'engagement des élèves. Elle permet la construction des nouveaux savoirs. La situation-problème permet à l enfant de se confronter à un obstacle franchissable (décalage optimal)

43 Situation-problème 00. Elle 000 contient 00 0 des 000 données initiales qui précisent le contexte de la situation et qui sont utiles pour résoudre le problème. 2. Il y a un but à atteindre (différent de l'objectif d'enseignement) qui donne un sens à la mobilisation et à l'organisation des connaissances. 3. Il y a des contraintes ou des obstacles à surmonter qui exigent une réorganisation des connaissances antérieures et qui amènent l'élève à trouver d'autres moyens, donc à faire des apprentissages. 4. La démarche et la solution ne sont pas évidentes; la personne doit faire une recherche cognitive active pour savoir comment procéder

44 La résolution de problèmes mathématiques Vivre un défi math

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49 La résolution de problèmes mathématiques Des exemples

50 Problème ouvert? Problème complexe? Situation-problème? Problème de réinvestissement? Problème d application? Un exemple «J ai 250 œufs. Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger?»

51 Un problème «ouvert»? «J ai 250 œufs. Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger?» EN CE : Les enfants ne connaissent pas la division (ce n est pas au programme et cela ne sera pas enseigné). Ils sont devant un défi intellectuel à relever. Ils vont utiliser différentes procédures : dessins, calculs partiels, 00 Une 000 situation 00 0 problème? EN CM : Les enfants ne connaissent pas encore la division mais c est la notion que je souhaite introduire par ce problème. L analyse portera sur les procédures utilisées et leurs limites : partages successifs, groupements, Un problème d application? Un exemple EN CM2 ou 6ème6 : La division a été étudiée. Les enfants doivent reconnaître un problème de division et utiliser la technique opératoire pour le résoudre.

52 Autres exemples «On dispose de pièces de 50 cts, de 20 cts et de 5cts. Peut on constituer une somme de 5 5 avec exactement 20 pièces?» Ce problème n a n a pas de solution A partir de ce constat : on peut relancer la recherche en se demandant quelles sont les sommes possibles et les sommes impossibles à réaliser avec les mêmes conditions. C est un problème «ouvert», un problème pour chercher

53 Autres exemples «J ai 32 pièces et billets dans ma tirelire. Je n ai n que des pièces de 2 et 5.. Avec ces 32 pièces et billets, j ai j 97.. Combien y a-t-a il de pièces de 2 et de billets de 5?» (Ermel CM2) Ermel CM2) Ce problème est un problème pour chercher «Trouve plusieurs manière de faire 7 avec des pièces de et 2 et des billets de 5,, 0,, 20 et 50» (Ermel CM2) Ce problème est un problème de réinvestissement sur les décompositions d des nombres

54 Autres exemples «Mathématiques pour le plaisir»,, CRDP Poitiers

55 Autres exemples

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