Intégration. Calcul d intégrales. Calcul de primitives. [ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés Iégrio Clcul d iégrles Clcul de primiives Eercice [ 96 ] [correcio] Déermier les primiives suives : e b l c l Eercice [ 79 ] [correcio] Déermier les primiives suives : cos si b c cos 3 Eercice 7 [ 964 ] [correcio] Clculer les iégrles suives : b Eercice 8 [ 84 ] [correcio] Clculer les iégrles suives : π cos b / + c l c + Eercice 3 [ 8 ] [correcio] Déermier les primiives suives : b c + 4 Eercice 9 [ 963 ] [correcio] Pour m, N, clculer I m, = π cosm cos Eercice 4 [ 96 ] [correcio] Déermier les primiives suives : b e cos c si e i + Eercice 5 [ 96 ] [correcio] Soi λ C\R, = Reλ e b = Imλ. Eblir = l λ + i rc λ Eercice 6 [ 3774 ] [correcio] Clculer pour ou R l iégrle 3 + cos b + C e Eercice [ 547 ] [correcio] Démorer que, pour ou Q R [X], Eercice [ 58 ] [correcio] Soi λ u réel el que λ Eudier l ocio b Clculer Q = i λ = π Qe iθ e iθ dθ si λ cos + λ π λ d Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

2 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés Propriéés de l iégrle Eercice [ 965 ] [correcio] Soie : [, b] R ue ocio coiue pr morceu e c ], b[. Morer que b b m c c, Eercice 3 [ 966 ] [correcio] Soi : R R coiue e T >. O suppose que Morer que es périodique. +T = C e b c b c Eercice 4 [ 967 ] [correcio] Soi : [, b] R coiue. Morer b b = si, e seuleme si, ou Eercice 7 [ 968 ] [correcio] Soi : [, ] R coiue elle que Morer que dme u poi ie. Eercice 8 [ 969 ] [correcio] Soi : [, b] R ue ocio coiue. Morer : c ], b[, b = b Eercice 9 [ 97 ] [correcio] [Formule de l moyee] Soie, g : [, b] R coiues vec g. Morer qu il eise c [, b] el que b g = c = c b g Eercice 5 [ 767 ] [correcio] é coiue sur [, b] e à vleurs ds R, rouver ue codiio écessire e suise pour que b b d = d Eercice 6 [ 35 ] [correcio] Soie, b R vec < b e C [, b], C. A quelle codiio por sur --o b b =? Eercice [ 39 ] [correcio] [Secode ormule de l moyee] Soie, g : [, b] R deu ocios coiues vec décroisse e posiive. Pour N, o pose Morer que + b S = g vec = + = S + b g b O irodui G l primiive de g s ul e. Morer que mi G S m G [,b] [,b] Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

3 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 3 c E déduire qu il eise c [, b] vérii b g = c d Soie, g : [, b] R coiues vec moooe. Morer qu il eise c [, b] el que b g = c g g + b b c g Eercice [ 388 ] [correcio] Soi ue ocio réelle de clsse C posiive e décroisse sur I = [, b]. Soi g ue ocio coiue sur I. O déii G : I R pr l relio G = Morer qu il eise m, M R el que b Morer que b g G [, b] = [m, M] g = bgb c E déduire qu il eise c [, b] el que b Eercice [ 97 ] [correcio] Soi : [, π] R coiue. Morer que si g = π b c si = lors il eise ], π[ el que s ule e. b Morer que si π si = π lors s ule ois sur ], π[. idice : o pourr regrder π si. G g cos = Eercice 3 [ 97 ] [correcio] Soie, b R el que < b, : [, b] R coiue e N elle que {,,..., }, b = Morer que l ocio s ule u mois + ois sur [, b]. Eercice 4 [ 973 ] [correcio] Soi : [, ] R coiue. Morer que possède ue uique primiive F elle que F = Eercice 5 [ 974 ] [correcio] Soi : [, b] R. Morer que l ocio es lipschiziee. b si Eercice 6 [ 64 ] [correcio] Soi : [, b] R ue ocio e esclier. Morer qu il eise ue subdivisio σ du segme [, b] dpée à elle que oue ure subdivisio dpée à soi plus ie que σ. Eercice 7 [ 966 ] [correcio] Soie : [, ] R coiue elle que = m le miimum de e M so mimum. Prouver mm Eercice 8 [ 967 ] [correcio] Soie e g deu ocios croisses e coiues sur [, ]. Comprer g e g Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

4 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 4 Limie d iégrles + e b si c + ch Eercice 9 [ 978 ] [correcio] Déermier les limies suives ss pour u clculer les iégrles correspoes : lim si b lim + + l c lim + si Eercice 3 [ 86 ] [correcio] Déermier les limies suives ss pour u clculer les iégrles correspoes : e lim + e / b lim c lim + + cos/ Eercice 35 [ 98 ] [correcio] Clculer les iégrles suives : l + b e Eercice 36 [ 87 ] [correcio] Clculer les iégrles suives : rc b l vec N c / rcsi c e π rc sil Eercice 3 [ 976 ] [correcio] Soi : [, ] R coiue. Morer que Eercice 37 [ 98 ] [correcio] Soi : [, b] R de clsse C. Morer que b lim + si = Eercice 3 [ 977 ] [correcio] Soi : R + R coiue. Déermier Eercice 38 [ 389 ] [correcio] Soie, b R, µ R + e C [, b], R elles que lim + Iégrio pr pries Morer : [, b], µ e moooe b e iπ µπ Eercice 33 [ 979 ] [correcio] Déermier les primiives suives : l b rc Eercice 34 [ 63 ] [correcio] Déermier les primiives suives : si 3 Chgeme de vribles Eercice 39 [ 98 ] [correcio] Déermier les primiives suives e procé pr u chgeme de vrible déqu : + 3 b l + l c e e + Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

5 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 5 Eercice 4 [ 9 ] [correcio] Déermier Eercice 45 [ 986 ] [correcio] Soi : [, b] R coiue elle que [, b], + b = Eercice 4 [ 983 ] [correcio] Clculer les iégrles suives vi u chgeme de vrible déqu : Morer que b d = + b b d e e + l b l + c e + Eercice 46 [ 88 ] [correcio] Soi C [, ], R. Eblir Eercice 4 [ 6 ] [correcio] Clculer les iégrles suives vi u chgeme de vrible déqu b Eercice 43 [ 984 ] [correcio] Observer b E déduire π/4 lcos = π/4 c π/4 l + π l cos 4 l π b E déduire l vleur de I = si = π π π si si si + cos d Eercice 47 [ 3337 ] [correcio] Eudier les vriios de l ocio 3 3. b Soi : [, ] R coiue. Morer 3/ / 3 3 d = 3 3 d Eercice 44 [ 985 ] [correcio] Morer que b E déduire π/ cos π/ cos + si = si cos + si = π 4 + Eercice 48 [ 393 ] [correcio] Pour e b des réels els que b >, o cosidère I, b = b d Clculer I b,, I/, /b e I /, e ocio I, b. b Pour, b >, clculer I, b vi chgeme de vribles v = + / puis v = /. c Morer que l relio isi obeue es vlble pour ou, b els que b >. Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

6 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 6 Focio do l vrible es bore d iégrio Eercice 49 [ 987 ] [correcio] Soi : R R ue ocio coiue. Jusiier que les ocios g : R R suives so de clsse C e eprimer leur dérivée : g = b g = Eercice 5 [ 988 ] [correcio] Soi ϕ : R R l ocio déiie pr : Soi : R R déiie pr : ϕ = sh = c g = pour e ϕ = ϕ Morer que es bie déiie e éudier l prié de. b Jusiier que es dérivble e clculer. c Dresser le bleu de vriio de. Eercice 5 [ 989 ] [correcio] Soi : [, ] R coiue. O déii F : [, ] R pr F = mi, Morer que F es de clsse C e clculer F. b E déduire F = Eercice 5 [ 99 ] [correcio] Soi g : R R ue ocio coiue. O pose, pour ou R, = u du si g + Morer que es dérivble e que = cos g b Morer que es soluio de l équio diéreielle y + y = g. c Achever l résoluio de cee équio diéreielle. Eercice 53 [ 99 ] [correcio] Soie : R R de clsse C e F : R R déiie pr, F = Morer que F peu êre prologée pr coiuié e. O eecue ce prologeme. b Morer que F es dérivble sur R e eprimer F à l ide d ue iégrle c Morer que F es dérivble e e observer F =. Eercice 54 [ 76 ] [correcio] Pour ], [, o pose ϕ = Morer que ϕ es bie déiie e que cee ocio se prologe pr coiuié e e e. b E déduire l vleur de l d Eercice 55 [ 88 ] [correcio] Soi coiue de R ds R elle que l, y R, y = Morer que es de clsse C e déermier. y+ +y Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

7 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 7 Eercice 56 [ 57 ] [correcio] Soi C [, ], R vec =. Morer que b Si =, méliorer l iéglié obeue e. Eercice 57 [ 383 ] [correcio] Déermier le domie déiiio = D de l ocio qui à réel ssocie : = b Déermier l limie puis u équivle simple de lorsque ed vers +. c Avec le logiciel de clcul ormel, déermier les développemes sympoiques e + jusqu u erme o 7/ de l ocio + puis de. Démorer l eisece de ce développeme sympoique de e s i du logiciel pour les clculs d iégrles écessires. d Eudier les vriios de sur. e Avec le logiciel de clcul ormel, doer ue vleur pprochée du mimum de sur e de so bscisse. Visuliser le rcé du grphe de. Eercice 58 [ 338 ] [correcio] Soi : [, ] R coiue vérii Morer qu il eise ], [ vérii = = Suie do le erme géérl es déii pr ue iégrle Eercice 59 [ 994 ] [correcio] Pour p e q eiers urels, o pose : I p,q = b p b q Former ue relio de récurrece li I p,q e I p+,q. b Doer ue epressio de I p,q à l ide de coriels. Eercice 6 [ 997 ] [correcio] [Iégrles de Wllis] Pour N, o pose I = π/ Morer que I = π/ cos e I > b Morer que pour ou N, o si I + = + + I c Doer ue epressio de I à l ide de coriels e disigu les cs = p e = p +. d Eblir que pour ou N, e Déermier u équivle de I. Eercice 6 [ 99 ] [correcio] O pose, pour N + I + I = π e I + I + I I = e d! Morer que l suie I ed vers. b Morer que I = +! + I + Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

8 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 8 c E déduire que Eercice 6 [ 993 ] [correcio] Pour N, o pose e = lim I = = e Clculer I e I. b Eblir ue relio li I e I +. c E déduire que! l d N, < I < e + d Déermier l limie puis u équivle simple de I. e Soi u ue suie réelle déiie pr u = e N, u + = e + u O suppose que I, morer, e éudi D = u I, que u +. Eercice 63 [ 995 ] [correcio] Soie N e ], π[. Jusiier l eisece de I = π cos cos cos cos b Eprimer I. O pourr commecer pr clculer I + + I. Eercice 64 [ 996 ] [correcio] Pour N, o pose u = d + Clculer u, u, u. b Morer que u es ue suie sriceme croisse. c Morer que u. d Eblir N d, + = l l + d e Morer que e e déduire que lim Sommes de Riem u = l l + d = + o Eercice 65 [ 998 ] [correcio] Déermier les limies des suies déiies pr le erme géérl suiv : = + b = + c = + Eercice 66 [ 999 ] [correcio] E is pprîre ue somme de Riem, déermier u équivle simple de S = = Eercice 67 [ 744 ] [correcio] Déermier l limie de l suie de erme géérl!! Eercice 68 [ 785 ] [correcio] / Eudier les limies de + e de = Eercice 69 [ 786 ] [correcio] Clculer les limies de si si e lorsque +. = = = + /. si + Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

9 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés 9 Eercice 7 [ 787 ] [correcio] Si N e R, soi = = si. Soi le plus pei réel sriceme posii e lequel ei u mimum locl. Clculer lim. Eercice 7 [ 83 ] [correcio] Soie : R R covee,, b réels vec < b, g : [, b] R coiue. Morer que b b g Eercice 7 [ 93 ] [correcio] Soi : [, π] R de clsse C. Déermier l limie qud + de π b si Eercice 73 [ 398 ] [correcio] Déermier u équivle qud + de Eercice 74 [ 3768 ] [correcio] Eudier l suie suive u = = + 3 b g Formules de Tylor Eercice 75 [ ] [correcio] Soi g : [, ] R ue ocio coiue. Déermier les ocios : [, ] R, deu ois dérivbles, elles que = = e = g Eercice 76 [ ] [correcio] Morer que pour ou N e ou R e! + e +! E déduire = lim = Eercice 77 [ ] [correcio] E ppliqu l iéglié de Tylor-Lgrge à l ocio l + ere e, morer que :! l Eercice 78 [ 3 ] [correcio] Soie : R R de clsse C e R. Déermier + h + h lim h h u = r + r + + r vec r le rese de l divisio euclidiee de pr. Idice : éudier l suie suive v = r + r + + r Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

10 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios Correcios Eercice : [éocé] O recoî ue orme u e u e = e + C e b O recoî ue orme u u l = l + C e c O recoî ue orme u /u = l l + Ce l Eercice : [éocé] C es ue orme u u doc cos si = si + C e b C es ue orme u /u doc = l cos + C e c O se rmèe à ue orme u u vi cos = si cos 3 = cos cos si = si 3 si3 + C e Eercice 3 : [éocé] Ds chque cs o recoî ue orme u u + = 3 3 l C e sur ], [ ou ], + [. b = C e sur R. c + 4 = rc + C e sur R. Eercice 4 : [éocé] E isol prie réelle e imgiire i + = i i = i puis b O observe e doc c O observe + i + i + = rc i l + + C e e cos = Re e +i e +i = + i e+i + C e e cos = e cos + si + Ce si e = Im e pr iégrio pr pries e +i = doc Eercice 5 : [éocé] O peu écrire or e e +i + i e +i + C e si e = e si + cos + Ce λ = + ib + b = + b + i b + b + b = l + b + C e = l λ + C e puis l ormule proposée. b = rc + C e + b b Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

11 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios Eercice 6 : [éocé] L iégrle es bie déiie e déermie l primiive s ul e de l ocio coiue 3 + cos Noos F cee primiive. Pour clculer, l iégrle o es eé de procéder u chgeme de vrible u = mis celui-ci es possible que pour ] π/, π/[ e lors Pr coiuié F = du 4 + 3u = 3 3 rc F π/ = π 4 3 e F π/ = π 4 3 Puisque l ocio iégrée es π-périodique, o vec F + π F = C e C e = F π/ F π/ = π 3 O peu lors clculer F e commeç pr déermier Z el que puis e eploi vec + π ] π/, π/] F = F + π π 3 F + π = 3 3 rc Eercice 7 : [éocé] Ds chque cs l déermiio d ue primiive es ssez immédie [ = ] = b + = [rc ] = π 4 c Eercice 8 : [éocé] E liéris π / cos = = [rcsi ]/ = π 6 π + cos = [ ] π si + = π 4 b O coî ue primiive du logrihme ou l o iègre pr pries c O recoî ue orme u / u Eercice 9 : [éocé] Si m = = lors Si m = lors I, = Si m, e eploi o obie I m, = π π l = [ l ] = l [ ] = + = + I, = cos = π π = π + cos = π cosm cos = cosm + + cosm cosm + + π cosm = [sim + ]π [sim ]π + m + m = Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

12 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios Eercice : [éocé] Pr liérié de l iégrle, il sui de vériier l relio pour Q = X vec N. D ue pr [ ] Q = + + = + + e d ure pr π Si es impir lors Si es pir lors [ Qe iθ e iθ dθ = i + ei+θ Q = = i Q = + e π π ] π = ei+π i + Qe iθ e iθ dθ Qe iθ e iθ dθ = i + e l relio voulue es ecore vériiée. Ue lerive plus coure, mis mois élémeire cosiser à eploier que l orme diéreielle ω, y = Qz dz = Q + iy d + i dy es ece e que doc so iégrle curvilige le log d u pourour ermée es ulle. λ es du sige de λ cos λ + cos + cos = λ cos λ cos Cee epressio s ule e chge de sige pour cos = λ ou cos = /λ. Pour λ <, rccos λ π λ + λ Pour λ >, b Pour λ =, o rccos /λ π λ + λ /λ π d = π si d = Pour λ, o peu direceme clculer l iégrle e recoiss ue ormer u / u. O obie π λ d = [ π λ cos + λ ] + λ λ = λ λ Pour λ <, Pour λ >, π π λ d = λ d = λ Eercice : [éocé] O peu écrire λ cos + λ = λ cos + si e pr coséque λ cos + λ > pour ou R cr λ. L ocio λ es doc déiie sur R. Elle es de clsse C, π-périodique e impire. Nous limios so éude à l iervlle [, π]. Le cs λ = es immédi puisque = si. O suppose ds l suie λ. O λ = cos λ cos + λ λ si λ cos + λ 3/ Eercice : [éocé] Supposos O lors b = c + c b c Le cs c es semblble e o peu coclure. c c c b c b + b c c < b c c b c c = b c c Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

13 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 3 Eercice 3 : [éocé] O irodui F ue primiive de l ocio coiue. L ocio F + T F es cose, elle es doc de dérivée ulle e pr suie + T =. Eercice 4 : [éocé] o Si b lors b = b doe b =. Or l ocio es coiue e posiive doc elle es ulle. Le cs b < es semblble. Eercice 5 : [éocé] Moros que l églié proposée lieu si, e seuleme si, l ocio es de sige cos Si es posiive lors = e doc l églié lieu. Si es égive lors = e à ouveu l églié lieu. Iverseme, supposos b b = Si b lors o obie e doc b b = b d = L ocio es coiue, posiive e d iégrle ulle, c es doc l ocio ulle. Pr suie = e doc es posiive. Si b, l éude e logue e observ Eercice 6 : [éocé] Supposos b b =. b O peu écrire b = reiθ vec r = + d = b e θ R. Cosidéros lors g : e iθ. O b g = b R doc b g = b Reg. Or g = e l hypohèse de dépr doe b g = b Reg puis b g Reg =. Puisque l ocio réelle g Reg es coiue, posiive e d iégrle ulle, c es l ocio ulle. Pr suie Reg = g e doc l ocio g es réelle posiive. Fileme, l ocio es de l orme ge iθ vec g ocio réelle posiive. L réciproque es immédie. Eercice 7 : [éocé] L ocio ϕ : es déiie, coiue sur [, ] e doc ϕ s ule. Eercice 8 : [éocé] Posos ϕ = µ = b = b L ocio ϕ : µ es déiie, coiue sur [, b] e doc ϕ s ule. b ϕ = b µb = Eercice 9 : [éocé] Si b g = lors g = cr o si g coiue e posiive e le problème es immédieme résolu. Sio, puisque es coiue sur le segme [, b], elle dme u miimum e mimum e des pois c e d. Posos m = c e M = d. Pr posiivié de l ocio g, o mg g Mg Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

14 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 4 doc b m g b g M Il sui lors d ppliquer le héorème des vleurs iermédiires ere c e d pour coclure. Eercice : [éocé] E eploi l relio de Chsles, o peu écrire S b g = = + g Soi ε >. Puisque es coiue sur le segme [, b], elle y es uiorméme coiue e doc il eise α > el que s, [, ], s α s ε Pour ssez grd, o b / α e lors pour ou [, + ] o α doc ε. O e dédui b S g + ε g εmb vec M = sup g [,b] Pr suie = S + b g b E eprim l iégrle à l ide de l primiive G S = G + G = E sépr l somme e deu, puis e procé à u déclge d idice sur l première S = G G = puis e recombi les deu sommes = S = G + G G = Or G = G = e puisque l ocio es décroisse e posiive S M + M vec M = m G [,b] Ei pr élescopge = De ço symérique, o ussi S M = M S m vec m = mi [,b] G c E pss à l limie ce qui précède, o obie m b g M Si =, le problème es immédieme résolu, sio, ce qui précède irme que b g es vleur iermédiire à deu vleurs prises pr G e le héorème des vleurs iermédiires perme de coclure. d Quie à cosidérer, ce qui e chge rie u problème posé, o peu supposer que l ocio es croisse. E ppliqu le résul précéde à l ocio b décroisse e posiive, o peu irmer qu il eise c [, b] el que b b g = b c g e il sui de réorgiser les membres de cee ideié pour ormer celle voulue. Eercice : [éocé] L ocio G es coiue doc l imge d u segme es u segme. b Il sui de procéder à ue iégrio pr pries. c Puisque l ocio es posiive, o m b b G M b Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

15 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 5 e doc puis m + [Gb m] b m b b g M + [Gb M] b g M Aisi, que soi ul ou o, il eise c [, b] el que b g = Gc Eercice : [éocé] π si = e si es coiue doc il eise ], π[ el que si = i.e. =. b Pr l bsurde si e s ule qu ue seule ois lors le bleu de sige de es de l ue des qure ormes suives π + +, π π + ou π + Les deu premiers cs so à eclure cr π si es l iégrle ulle d ue ocio o ulle de sige cos. Les deu ures cs so à eclure cr π si = cos π si si π es l iégrle ulle d ue ocio o ulle de sige cos. Absurde. cos Eercice 3 : [éocé] Noos que l hypohèse iiile doe pr liérié que pour oue ocio polyomile P de degré b P = Pr l bsurde supposos que l ocio e s ule ps plus de ois e oos <... < p vec p les pois où s ule ou e chge de sige. O peu dresser le bleu de sige de l ocio coiue e irmer que l ocio... p es de sige cos. Or cee ocio es coiue e d iégrle ulle, c es doc l ocio ulle. Il e découle que l ocio es ulle sur [, b] \ {,..., p } puis ulle sur [, b] pr rgume de coiuié. Eercice 4 : [éocé] Uicié : soie F e G deu primiives soluios. Il eise C R el que F = G + C. F = = doe lors C = puis F = G. Eisece : Posos F =. L ocio résou le problème. Eercice 5 : [éocé] Posos g = b si. g gy = F : F b Puisque l ocio sius es lipschiziee doc Aisi g es lipschiziee. G Fu du si siy si siy y g gy y b Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

16 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 6 Eercice 6 : [éocé] Soi A l esemble des N el qu il eise ue subdivisio σ =,..., dpée à. A es ue prie o vide de N, elle possède doc u plus pei éléme p. Il eise ue subdivisio σ =,..., p dpée à. Moros que oue subdivisio σ = b, b,..., b dpée à es plus ie que σ. Pr l bsurde : supposos i {,,..., p } el que i / {b, b,..., b }. O peu lors irmer qu il eise j {,,..., } el que i ]b j, b j [. Comme σ e σ so dpées à o peu irmer que es cose sur ] i, i [, ] i, i+ [ e ]b j, b j [ puis que es cose sur ] i, i+ [. Pr suie l subdivisio σ =,..., i, i+,..., p es dpée à or cel coredi l déiiio de p. Eercice 7 : [éocé] L ocio M m es posiive doc M m E développ e pr liérié, o obie mm sch =. O e dédui l iéglié demdée. Eercice 8 : [éocé] Nous llos éblir l iéglié g g O peu commecer pr observer que si cee iéglié es vrie pour e g, elle l es ecore pour + λ e g + µ vec λ, µ R. O peu doc, ss pere de géérliés, supposer = g = e il s gi lors d éblir g. Il eise lors [, ] el que pour [, ] e pour [, ]. Il eise ussi b [, ] el que g pour [, b] e g pour [b, ]. Quie à échger e g, o peu supposer b. g = g + b g + b g g cr, g sur [, ]. b g b b g cr b e doc g bg puisque g. b g b g cr b e doc g bg puisque b g. O e dédui g b g e o peu coclure. Noos que l compriso g g e peu êre méliorée cr c es ue églié qud e g so des ocios coses. Eercice 9 : [éocé] Qud +, si si. = doc si. b Qud +, doc puis c Pr iégrio pr pries Or qud +, [ cos ] si e l l l l = l + [ cos ] cos cos [ = ] Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

17 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 7 doc si Eercice 3 : [éocé] Qud +, pr croissce de l ocio epoeielle doc puis pr ecdreme e e l e e e e l e l b Qud +, pr décroissce de l ocio e / doc puis pr ecdreme e / e / e / e / e / l e / l e / l c Qud +, pour ssez grd, l ocio cos/ es croisse sur [, ] doc puis cos/ cos e pr ecdreme cos/ cos/ cos/ l cos l cos/ l Eercice 3 : [éocé] es coiue sur u segme, elle y es doc borée pr u ceri M e lors M = M + Eercice 3 : [éocé] O Pr l coiuié de e, Pour ou ε >, il eise α > vérii e doc O peu doc coclure que R +, α ε lim + ε = O peu ussi rès eicceme obeir le résul e iroduis ue primiive de e e eploi = F F F = Eercice 33 : [éocé] Pr iégrio pr pries l = l = l 4 + C e bpr iégrio pr pries rc = rc puis e écriv + = + + Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

18 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 8 o obie rc = c E écriv si = cos si 3 = D ue pr + rc + C e si si cos si = si cos + C e D ure pr, pr iégrio pr pries si cos = 3 cos3 + 3 vec Fileme cos 3 = cos cos 3 cos si = si 3 si3 si 3 = 3 si cos + 3 cos3 + 9 si3 + C e Eercice 34 : [éocé] Pr iégrio pr pries + e = + + e + C e. b si = si + cos + C e. c + ch = + sh ch + C e. Eercice 35 : [éocé] Pr iégrio pr pries E écriv o obie l + = [ l + ] + = + + l + = l [ rc ] = l + π b Pr iégrio pr pries e [ l = + + l c Pr deu iégrios pr pries e π doc e π sil = [ sil ] eπ e π Eercice 36 : [éocé] Pr iégrio pr pries b / c sil = rc = [ rc ] ] e + e = e+ + + e π cosl = [ cosl ] eπ [ cosl ]eπ = eπ + sil + = π 4 [ l + ] = π 4 l / rcsi = [ rcsi ] / = π [ ] / + = π 3 + rc = Eercice 37 : [éocé] Pr iégrio pr pries Or e b [ rc ] + = π 8 [ rc ] = π 4 si = b [ ] b cos + b cos b cosb, cos b cos Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

19 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 9 doc Eercice 38 : [éocé] Ecrivos b b lim + e iπ = si = b eiπ Pr iégrio pr pries b [ ] e iπ b eiπ = iπ + b iπ eiπ Quie à cosidérer, supposos b b eiπ = b e doc b eiπ [ π b + + ] b Selo le sige cos de, le erme e b ou le erme e se simpliie e o obie b eiπ µπ Eercice 4 : [éocé] Pr le chgeme de vrible u = = du u + = rc + C e Eercice 4 : [éocé] e b c e = + l u=l du + u = π 4 l + = du = [ u + ] = u=l u + e e + = du e u=e uu + = u u + du = [l u lu + ]e = l le++ Eercice 4 : [éocé] b = =si u π/ cos udu = π 4 Eercice 39 : [éocé] b c + 3 = u= l = + l u=l e e + = u=e udu u + = udu u + u 3 = ue u du e u + e u u = du + u = rc u + Ce = rc + C e udu + u = l + u + C e = l + l +C e u + du = u l + u + Ce = e l + e + C e c = =si u l = u= π/ si u cos udu = 4 Eercice 43 : [éocé] Pr le chgeme de vrible u = π/4 π/4 π/ si udu = π 6 l u du = 4 [u l u u] = l π l cos l cos π/4 4 u du = π/4 π l cos 4 Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

20 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios b O or doc π/4 π/4 l + = l + = π/4 lcos + si l cos cos + si = π cos 4 π/4 Eercice 44 : [éocé] Pr le chgeme de vrible = π o Or doc π/ π/ l π + l cos 4 l cos = π l 8 cos π/ cos + si = si cos + si cos π/ cos + si + si π/ cos + si = = π π/ cos π/ cos + si = si cos + si = π 4 b Vi le chgeme de vrible = si vec [, π/] π/ + = cos cos + si d = π 4 Eercice 45 : [éocé] Pr le chgeme de vrible = + b doc b b d = b d = + b + b b d Eercice 46 : [éocé] Pr le chgeme de vrible u = π, o obie e doc I = π I = π si + si = π π π usi u du π usi u du = π π si u du puis l ideié proposée. b E observ cos = si, o peu ppliquer l relio précédee I = π E coup l iégrle e π/ [ π/ I = π π si si + cos d si π si + cos d + π/ ] si si + cos d E procé u chgeme de vrible y = π ds l secode iégrle I = π π/ si si + cos d Ei, e procé u chgeme de vrible y = π/, o observe π/ cos I = π si + cos d e o e dédui [ π/ I = π Fileme si π/ si + cos d + I = π 4 ] cos si + cos d = π Eercice 47 : [éocé] L éude des vriios de ϕ : 3 3 es cile e l o obie / 3/ ϕ Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

21 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios b O remrque ϕ + si = + si 3 cr il es cou que si 3 = 3 si 4 si 3. O lors π/6 3 3 d = = +si π/6 + si 3 cos e 3/ 3 3 d = / = +si Pr le chgeme de vrible u = 3, e 3/ 3 3 d = 3 / 3 3 d = 3 π/ π/ π/ π/ 3π/ 3π/ + si 3 cos + si u cos u 3 du + si u cos u 3 du E découp cee derière iégrle e rois e e procé u chgemes de vribles ies v = π u, v = u e v = π u, o obie 3/ 3 3 d = π/ / 3 π/ + si v cos v + π + cos v cos v π dv 3 Ei, e développ 3/ / 3 3 d = 3 puis l relio demdée. π/ Eercice 48 : [éocé] Pr prié de l ocio iégrée, o π/ I b, = I, b Pr le chgeme de vrible u = /, o obie I/, /b = b si v cos v 3 dv = I, b E priculier lors que pr échge des bores O e dédui I/, = I, / I/, = I, / I/, = b E procé u chgemes de vrible proposés e doc I, b = b+/b +/ dv b/b + v v = / + I, b = [rcsi ] b/b + / + c Le chgeme de vrible v = + / es ps bijeci qud prcour ], + [ mis ds les clculs précédes, il éi possible de l eploier ss eprimer e ocio de v. L hypohèse, b > doc ps éé uilisée ds l éude qui précède e doc le résul proposé se géérlise immédieme. Eercice 49 : [éocé] O irodui F primiive de sur R. g = F F es C pr opérios e g =. b g = F F es C pr opérios e g = +. c g = u=+ g =. u du = F F es C pr opérios e Eercice 5 : [éocé] ϕ es coiue sur R doc eise. R, R e = sh = u= shu du = u Aisi es impire. b ϕ es coiue doc possède ue primiive F. Comme = F F es dérivble e sh sh = Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

22 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios pour R e =. c Pour ou, o sh sh doc. Aisi es croisse sur R +. Puisque sh = sh l o + qud +. O complèe le bleu de vriio pr prié. doc + = g. c C es ue équio diéreielle liéire d ordre à coeicies coss. Soluio homogèe y = λ cos + µ si. Soluio priculière y =. Soluio géérle y = λ cos + µ si + si g Eercice 5 : [éocé] E découp l iégrle e deu F = O e dédui que F es dérivble e F = + + = Fileme F es de clsse C e F = b F = doc Puisque F =, o Eercice 5 : [éocé] E développ = F u = F = u = F udu = si cos cos si g = si es doc dérivble e = cos b es dérivble e = si cos g + si cos g+cos u u du si g = cos g cos si g+g = cos g si g si g +g Eercice 53 : [éocé] Soi ue primiive de. F = = + O prologe F pr coiuié e e pos F =. b F es dérivble pr opérios e F + = Pr iégrio pr pries e o peu doc simpliier c Sch o peu écrire E pos o lors = [] F = = F = M = sup [,] F M = M = Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

23 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 3 Or es coiue e, doc M puis F E veru du héorème du prologeme C, o peu irmer que F es dérivble e e F =. Eercice 54 : [éocé] Soi ], [, [, ] ], [ e ϕ = l eise. Pour [, ], doc Qud +, ϕ. O ussi doc or l l l l l ϕ = es déiie e coiue sur ], [ doc ϕ l l l ϕ l l = [ll ] = l Qud, ϕ l. Fileme ϕ peu êre prologée pr coiuié e e e. b Soi F ue primiive de l sur ], [. O ϕ = F F ce qui perme de dériver ϕ e d obeir ϕ = l L iégrle l d es déiie cr o vériie iséme que l ocio iégrée peu êre prologée pr coiuié e e e e o l d = [ϕ] = l Eercice 55 : [éocé] Puisque coiue, l ocio dme ue primiive F sur R e Pour y R ié, o obie, y R, y = F y + F + y : y + F y + F + y Puisque l ocio F es de clsse C, o obie que es de clsse C e = y + + y E dériv cee relio e l vrible y, o obie e doc = y + + y y + = + y Puisque pour ou s, R, il eise, y R vérii { + y = s + y = o peu irmer que l ocio es cose. O e dédui que l ocio es ie. Pr le clcul, o vériie que, prmi les ocios ies, seule l ocio ulle vériie l relio proposée. Eercice 56 : [éocé] Puisque =, o Pr l iéglié de Cuchy-Schwrz e doc = / / Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

24 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 4 puis d d = b E repre ce qui précède / / / d d = 8 Sch =, o ussi de ço symérique / d 8 / e e somm ces deu mjorios, o obie d 8 / Eercice 57 : [éocé] L eisece de l ocio iégrée eige >. Pr covergece de l iégrle pour =, o obie = [, + [. b O = doc O + doc O e dédui / c L commde seriesi/sqr, =..+, =iiiy; doe u développeme sympoique à u ordre supérieur à celui demdé. series/sqrˆ3+, =iiiy; doe 3 + = + o 7/ 7/ doc = / + qud + o qud + 7/ Or o obie cileme e e reve u ε que + + o = o qud + 7/ 7/ Comme précédemme, o doc + 7/ 7/ = / / 8 5/ 64 + o 7/ 7/ Noos qu u clcul direc pr Mple es guère ve. seriesi/sqrˆ3+, =..+, =iiiy; d Soi F ue primiive sur ], + [ de l ocio coiue 3 + O = F + F. O e dédui que es dérivble sur ], + [ e du sige de = g = Si [, ] es égi, cee quié es ssuréme posiive. Si [, + [, g es du sige de h = epd+ˆ*ˆ3+-ˆ*+ˆ3+; doe h = Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

25 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 5 do l dérivée es h = Sur [, + [ cee dérivée es sriceme décroisse e s ule doc ue uique ois e u α [, + [. O e dédui les vriios puis le sige de h sur [, + [ α β + h + h hα Avec Mple, o peu déermier ue vleur pprochée de β solve+ˆ*ˆ3+-ˆ*+ˆ3+; E eclu l soluio égive, o obie β =, 88 à près. Fileme es croisse sur [, β] e décroisse sur [β, + [. e Le mimum de es β. S vleur es :=->i/sqrˆ3+, =..+; ; ce qui ouri, Pour obeir u rcé sisis de l ocio, commeços pr redéiir celle-ci à l ide d ue orme iere :=->i/sqrˆ3+, =..+; puis procédos u rcé plo, =-.., y=-..; L ocio éudiée Eercice 58 : [éocé] Iroduisos F : Pr iégrio pr pries G = F Cs F es ps de sige cos Il eise lors, b ], [ el que e G : F = [F F ] F = mi F < e F b = m F > [,] [,] Pr iégrio d ue ocio coiue, o ulle e de sige cos sur u iervlle o sigulier, o G < e Gb > e le héorème des vleurs iermédiires ssure que G s ule. Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

26 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 6 Cs F es de sige cos Quie à cosidérer, supposos F posiive. Si F es ulle, il e es de même de e l propriéé es immédie, sio, o peu iroduire b ], [ el que O lors F b = m [,] F > Gb > e G = F < cr F es ul. A ouveu, le héorème des vleurs iermédiires perme de coclure. Eercice 59 : [éocé] Pr iégrio pr pries, o obie b O e dédui or doc I p,q = I p,q = I p,q = q p + I p+,q qq... p + p +... p + q I p+q, I p+q, = b p+q+ p + q + p!q! b p+q+ p + q +! Eercice 6 : [éocé] E ppliqu le chgeme de vrible u = π/ o obie I = π/ cos u du si es coiue, posiive ss êre l ocio ulle e < π/ doc I > b Pr iégrio pr pries I + = π/ si si + = [ cos si + ] π/ + + π/ cos si doc puis c I + = + sch I = π/. π/ si si = + I + I + + I + = + I I p = p p I p = p p 3 p p I = p! π p p! sch I =. d Posos u = + I + I. O I p+ = p p p + p 3 I = p p! p +! u + = + I + I + = + I I + = u e u = I I = π/ doc pour ou N Pour ou [, π/], doc e O + I + I = π/ si + si + si I + I + I + + I I + I doc I + /I. Aisi I + I. Pr suie π = + I +I I e doc sch I >. I π Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

27 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 7 Eercice 6 : [éocé] O e I! d = e! doc pr ecdreme I. b Pr iégrio pr pries ] I = e + d = [ e! +! + c Pour, doc vec Aisi =! = I I + e d = +!! = + I I = + I I I = = Eercice 6 : [éocé] I = e. I = e l d = [ l ]e =. b Pr iégrio pr pries I + = e = e d = e! = e I e + +! +I + l + d = [ l +] e e + l d = e + I c Pr iégrio d ue ocio coiue, posiive e o ulle, o I >. Puisque I + >, o ussi I < e +. d Pr ecdreme I. Puisque I + = e + I o + I e puis I e + e e O D + = + D doc D =!D. Si I lors D + puis u D I +. Eercice 63 : [éocé] : cos cos cos cos es déiie e coiue sur [, π] \ {}. Sch cos p cos q = si p q si p + q o obie si si + = si si + si si O peu doc prologer pr coiuié e ce qui ssure l eisece de I. b O : I + + I = π I + +I = ei π cos + + cos cos + + cos cos cos I + + I = π cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos + cos cos cos I + + I = π π cos + cos.i = cos.i I es ue suie récurree liéire double d équio crcérisique r cos r + = de rcies e i e e i. Doc il eise λ, µ R el que I = e I = π doc λ = e µ = Eercice 64 : [éocé] u = /, u = l e u = π/4. b O or l ocio N, I = λ cos + µ si u + u = π si d où I = π si si d cos cos cos cos Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

28 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 8 es coiue, posiive ss êre l ocio ulle e < doc u + u >. c O d u = + d = + doc u. d Pr iégrio pr pries I = e O [ ] + d = l + l + d cr il es cou que l + pour >. O lors l + d doc = u = Eercice 65 : [éocé] + = b c = = + = + = = Eercice 66 : [éocé] O peu écrire = = l + d = l d = + l d = + + o + / + + = π 4 / + / + + d = l d = [ + ] + / + + = 3 S = = e = = = vec : déiie e coiue sur [, ]. Pr somme de Riem = l + d = doc S 3 3/ [ ] 3 3/ = 3 Eercice 67 : [éocé] O! l = l + l =! = = l + L ocio l + é coiue sur [, ], o obie! l l + d = l! + O e dédui Eercice 68 : [éocé] doc l = + / = =! 4! e = l + + / 4 e Pour {,..., }, doc + / = + l + = l Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

29 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 9 puis + / = Eercice 69 : [éocé] Pour, 6 3 si doc si M 3 vec M = /6. O lors si M. 3 6 M 3 doc Or doc si si = = = si = si si si si si cos M Pour, 6 3 si doe ussi si M 4 vec M = /3. Aisi si + + M + M Or doc = = = + = = = = + / d + = l si + l doc Pr suie = = = si π + π + = + = si π + + Or l ocio siπ/ peu êre prologée e ue ocio coiue sur [, ] doc pr somme de Riem siπ Eercice 7 : [éocé] Il es bo de svoir qu ue ocio : R R covee es obligoireme coiue bie que ce résul es ps eplicieme u progrmme. Pr les sommes de Riem, b doc pr coiuié b b Pr l iéglié de Jese = b g = g lim + = lim + g + b = = g + b = g + b g + b E pss cee relio à l limie, o peu lors coclure grâce à l coiuié de. Eercice 7 : [éocé] O = cos = cos = + si si Eercice 7 : [éocé] Pr le chgeme de vrible u = π si = π u/ si u du Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

30 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 3 E découp l iégrle pr l relio de Chsles π si = puis pr rslio de l vrible π e o peu lors écrire π si = D ue pr si = π = π = [ +π = π π = u + π u/ si u du u + π π si u du = si u du ] π si u du+ = se recoî comme é ue somme de Riem e doc π = π si u du π = π π π π D ure pr, l ocio é de clsse C sur le segme [, π] elle y es M-lipschiziee vec M = sup [,π] e o lors π [ u + π = O e dédui π ] π si u du si π π = π = M u si u du = M Noos que le résul peu ussi êre ébli d ue ço semblble pour seuleme coiue e eploi l uiorme coiuié de sur le segme [, π]. π Eercice 73 : [éocé] O peu écrire vec π O e dédui si u du u = 3 = S = Pr les sommes de Riem, o S + + / 3 = S = + 3 = + / 3 u 9 Eercice 74 : [éocé] L divisio euclidiee de pr s écri e doc puis = [/] + r r = [/] v = [ 4 + ce qui i peser à ue somme de Riem ssociée à l ocio : [/] déiie e coiue pr morceu sur ], ]. Bie qu elle soi prologeble pr coiuié e, ce prologeme es ps coiue pr morceu sur [, ] il eise ps de subdivisio iie du segme [, ] qui soi dpée e l o e peu doc ps employer direceme le héorème du cours reli u sommes de u si uriem du : cel v ous obliger à u pei découpge... Soi N N. O peu écrire D ue pr v = [/N] = [/N] = = [ ] + [ ] [/N] = [ ] =[/N]+ [/N] ] [ ] N = 9 Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

31 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 3 e d ure pr, pr les sommes de Riem [/N] =[/N]+ Pr le chgeme de vrible u = / puis /N e l o remrque que /N [/] = [/] = N [ ] [/] + /N [u] N u 3 du = = + u 3 du N = = N+ π N + = E choisiss N ssez grd pour que /N ε e v π ε + [/N] [/N] Puis pour ssez grd v π ε + [/N] + ce qui doe v π Fileme v π / puis u π / N =[/N+] =N+ + =N+ + ε ε + ε + επ N+ = ε, o [ ] π + [/N] π Eercice 75 : [éocé] Si es soluio lors es de clsse C e pr l ormule de Tylor rese-iégrle : [, ], = + + = + + [/N] π g Or = doc = g puis = g + Iverseme, cosidéros déiie pr : = O = =. De plus = doc es dérivble e = es doc deu ois dérivble e g + g + g + = g g g g g g + g g Eercice 76 : [éocé] E ppliqu l ormule de Tylor rese iégrle à l ocio e ere e o obie : e =! + e! doc e =! = = Si lors e! = e! Si lors e! = e! e!!! e = + e +! = + e +! = + +! + e +! Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

32 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Correcios 3 O uri ussi pu ppliquer direceme l iéglié de Tylor-Lgrge à l resricio de sur [, ]. Qud +, + e +! doc lim =! = e Eercice 77 : [éocé] L ocio : l + es déiie e de clsse C sur R + vec =! + =, =! pour > e +! = M sur R +. Pr l iéglié de Tylor Lgrge : M+! +! = Pour =, o obie : l + doc = = = l Eercice 78 : [éocé] E veru du héorème de Tylor-Youg : + h = + h + h + oh doc puis + h + h = h + oh + h + h lim h h = Diusio uorisée à ire eièreme grui uiqueme - dd

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Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

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