Chapitre 7: Calculs approchés d intégrale

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1 Lycée Mssé Chpitre 7: Clculs pprochés d itégrle 1 Itroductio Les foctios usuelles qu o mipule possèdet souvet des primitives que l o peut exprimer à l ide des foctios usuelles. Cepedt, ce est ps le cs de l pluprt des foctios : il est pr exemple impossile d exprimer exp(x ) dx à l ide des foctios usuelles. Pour estimer ue itégrle de l forme 0 exp(x ) dx, il est doc écessire de recourir ux méthodes umériques. O v se poser ici l questio de l pproximtio des itégrles, et les idées développées ici ous serot utiles pour order l résolutio umérique d équtios différetielles. E effet, ue équtio différetielle de l forme x(t 0 ) = x 0 et x (t) = f(t, x(t)) peut églemet s écrire x(t) = x(t 0 ) + t t 0 f(u, x(u)) du. Idée géérle de l pproximtio d itégrles. Méthodes élémetires et composées. L idée géérle de l pproximtio d itégrles est l suivte. O se doe ue foctio f cotiue sur u itervlle [, ] dot o cherche à clculer ue pproximtio de. O peut prtitioer l itervlle [, ] e petits itervlles à l ide d ue sudivisio = x 0 < x 1 < < x =, o lors = xi+1 x i. Il e reste plus qu à estimer les x i+1 x i, pr ue méthode de qudrture élémetire : e géérl o pred l même méthode pour estimer toutes ces itégtles. L décompositio de e ces petites itégrles s ppelle ue méthode de qudrture composée. Méthode élémetire. Ue méthode élémetire de qudrture de se présete sous l forme ( ) N ω i f(ξ i ) où les ξ i sot des poits de l itervlle [, ] et ω i des réels, qu o ppelle les poids. Défiitio 1. Ue méthode d itégrtio est dite d ordre si elle est excte pour tout polyôme de degré iférieur ou égl à et iexcte pour u polyôme de degré + 1. Autremet dit, pr liérité pr rpport à f des deux qutités et ( ) N ω if(ξ i ), ue méthode élémetire est d ordre si et seulemet si xj dt = ( ) N ω iξ j i pour tout j, et ) N ω iξ +1 i x+1 dt ( Propositio (Méthode d ordre 0). Puisque 1 dt = ( ), l méthode est d ordre u mois zéro si et seulemet si N ω i = 1, ce qu o supposer pr l suite. 3 Méthodes des rectgles Elle repose sur u pricipe simple. Pour estimer ue itégrle de l forme, o choisit u poit ξ de l itervlle [, ], et o pproche l itégrle pr ( )f(ξ) Svrtz Pge 1/10 014/015

2 Lycée Mssé y y y f() f() f( + ) x x + x Méthode des rectgles élémetire : à guche, à droite et u poit milieu Il y priori trois choix sesés pour le poit ξ : le poit, le poit, ou le poit milieu +. Ces trois méthodes de qudrture élémetire doet des méthodes de qudrture composée : o découpe l itervlle [, ] e morceux égux, et o pplique l méthode des rectgles à guche/à droite/du poit milieu sur chcu d eux. Soit u etier strictemet positif, et soit h =, qu o ppelle le ps. O écrit doc = +(k+1)h. +kh Rectgles à guche, qudrture composée. Elle cosiste à fire l pproximtio +(k+1)h h f( + +kh kh). O doc h f( + kh). Écrivos u code Pytho clcult cette pproximtio : l foctio pred e etrée ue foctio, deux réels et, et u etier, et revoie cette somme. def it_rec_guche(f,,,): """O pproche l'itégrle de f sur [,] vec des sommes de Riem. O pred u ps de (-)/ """ h=(-)/ somme=0 x= for k i rge(): somme+=f(x) x+=h retur h*somme Rectgles à droite, qudrture composée. Il suffit juste de predre +(k+1)h f( + (k + 1)h) à l +kh plce de f( + kh) ds l formule précédete. Pour le code Pytho, o peut réutiliser le même, e commeçt vec x = + h u lieu de x =. def it_rec_droite(f,,,): """O pproche l'itégrle de f sur [,] vec des sommes de Riem. O pred u ps de (-)/ """ h=(-)/ somme=0 x=+h for k i rge(): somme+=f(x) x+=h retur h*somme Poit milieu, qudrture composée. De même, o pred ici +(k+1)h f( + kh + h/) +kh def it_rec_milieu(f,,,): """O pproche l'itégrle de f sur [,] vec des sommes de Riem. O pred u ps de (-)/ """ h=(-)/ somme=0 x=+h/ for k i rge(): somme+=f(x) x+=h retur h*somme Svrtz Pge /10 014/015

3 Lycée Mssé Ordre de ces méthodes. O se covic rpidemet vec u dessi que l méthode des rectgles à guche ou à droite est ps excte sur les foctios ffies : ces deux méthodes sot doc d ordre zéro. E revche, l méthode du poit milieu est d ordre 1 : o vérifie isémet vec u dessi qu elle est excte sur les foctios ffies, et le lecteur suspicieux vérifier que t dt = ( ) ( ) + si et seulemet si =. O peut se demder si, lorsque ted vers l ifii, l méthode des rectgles permet de se rpprocher de l vleur excte de l itégrle. L répose est oui, vous coissez 1 le théorème suivt sous le om des «sommes de Riem». Théorème 3 (Sommes de Riem). Soit f ue foctio cotiue de [, ] R. Lorsque ted vers l ifii, l méthode des rectgles composée oteue e découpt l itégrle e morceux coverge vers l itégrle de f etre et. c est-à-dire f (ξ k, ) + vec ξ k, u poit quelcoque de l itervlle [ + k( ), + (k+1)( ) ]. Démostrtio. Évluos l différece etre l somme et l itégrle : f (ξ k, ) = +(k+1)( )/ +k( )/ [f (ξ k, ) f(t)] dt D près le théorème de Heie, ue foctio cotiue sur u segmet y est uiformémet cotiue. Fixos ε > 0. Alors, il existe η > 0, tel que pour tout couple (x, y) [, ], si x y < η, lors f(x) f(y) ε. Soit 0 ssez grd tel que 0 < η. Alors pour tout 0 : f (ξ k, ) f (ξ k, ) +(k+1)( )/ +k( )/ +(k+1)( )/ ( )ε +k( )/ Comme ε peut-être pris ritriremet proche de 0, l coclusio suit. f (ξ k, ) f(t) dt ε dt = ε 4 Itroductio ux méthodes de Newto-Cotes Les méthodes de Newto-Cotes ot pour pricipe de chercher ue formule de qudrture élémetire sur l itervlle [, ] de l forme ( ) ω i f(ξ i ) vec les ξ i formt u esemle de N poits régulièremet réprtis sur l itervlle [, ], c est-à-dire = ξ 0 < ξ 1 < < ξ =, et ξ i+1 ξ i = N pour tout i < N 1. Le prolème est de chercher quels poids (ω i) predre pour que l ordre de l méthode soit le plus élevé possile. Comme o N poits ξ i, il est turel d espérer qu vec les o poids ω i l méthode soit d ordre N 1 u mois : l exctitude sur les foctios polyomiles de degré iférieur ou égl à N 1 impose N cotrites liéires e les (ω i ), dot o peut risolemet espérer qu elles doet u système liéire yt ue uique solutio. Avt d écrire ce système liéire pour trouver ces ω i, simplifios u peu le prolème. Pr chgemet de vrile t = + + u, o se rmèe de l itervlle [, ] à l itervlle [, 1]. E effet, = ( + f 1. ou le verrez ietôt, vec des hypothèses plus fortes pour les PCSI.. Les PCSI peuvet igorer cette démostrtio, hors progrmme. + u ) du Svrtz Pge 3/10 014/015

4 Lycée Mssé Ue formule de qudrture élémetire sur l itervlle [, 1] vec les poits ξ régulièremet espcés est de l forme : g(v) dv ω i g(ξ i ) Utiliser cette méthode doe imméditemet ue formule vec poits régulièremet espcés sur l itervlle [, ], et elle est excte sur [, 1] pour les foctios polyomiles de degré u plus d si et seulemet si elle l est sur [, ] ; les foctios polyomiles de degré oré pr d étt stles pr chgemet de vriles ffie. O cherche doc ue formule de qudrture élémetire sur l itervlle [, 1]. 4.1 Méthode des trpèzes L méthode des trpèzes est l méthode de Newto-Cotes vec deux poits d iterpoltio, à svoir les ores de l itervlle. Sur [, 1], o doc : (ω 0 f() + ω 1 f(1)) Pour que l formule soit excte sur les foctios polyomiles ffies (de degré u plus 1), o doit doc voir : 1 dt = (ω 0 + ω 1 ) et t dt = ( ω 0 + ω 1 ) Puisque 1 dt = et t dt = 0, ce système est très simple à résoudre et doe ue uique solutio : ω 0 = ω 1 = 1. O compred posteriori le om de méthode des trpèzes vec le dessi suivt : y f() f() x Méthode des trpèzes À prtir de l méthode élémetire, o tire imméditemet ue méthode composée : soit u etier strictemet positif, o découpe l itégrle e morceux sur lesquels o pplique l méthode des trpèzes, o doc vec h = : +(k+1)h = Voici le code Pytho correspodt : h ( h +kh (f( + (k + 1)h) + f( + kh)) ) f() + f() + f( + kh) def it_trpezes(f,,,): """O pproche l'itégrle de f sur [,] pr des trpèzes""" h=(-)/ somme=(f()+f())/ x=+h k=1 Svrtz Pge 4/10 014/015

5 Lycée Mssé for k i rge(1,): somme+=f(x) x+=h retur h*somme Étudios mitet l ordre de l méthode : il est d u mois 1 puisque l méthode est excte sur les foctios ffies. U dessi permet de se covicre qu elle est iexcte sur les foctios polyomiles de degré, ou lors u simple clcul : [ ] t t 3 1 dt = = ( 1 lors que 3 3 () + 1 ) 1 = L méthode est d ordre Méthode de Simpso Détermitio des poids. O utilise ici trois poits d iterpoltio. c est-à-dire que sur l itervlle [, 1] : (ω 0 f() + ω 1 f(0) + ω f(1)) Pour que l méthode soit d ordre u mois deux, il fut que l églité soit vérifiée pour f = t t k vec 0 k. O e déduit le système suivt : ω 0 + ω 1 + ω = 1 ω 0 + ω = 0 ω 0 + ω = 1 3 dot l uique solutio est ω 0 = ω = 1 6 et ω 1 = 3. Ordre de l méthode. L méthode est doc u mois d ordre. E fit, elle est excte églemet pour l foctio t t 3, cr cette foctio impire vérifie t 3 dt = 0 = ( ω 0 () 3 + ω ω 1 3) O vérifie fcilemet qu elle est pr cotre iexcte pour l foctio t t 4 cr L méthode est doc d ordre exctemet 3. t 4 dt = 5 ( ω 0 () 4 + ω ω 1 4) = 3 Méthode composée. Comme d hitude, o fixe mitet u etier > 0, et o découpe l itervlle [, ] pour ppliquer l méthode de Simpso sur les petits itervlles [ + kh, + (k + 1)h], vec h =. O otiet l formule suivte : = h +(k+1)h h ( +kh ( 1 6 f( + kh) + 3 f( + kh + h/) f() + f() 6 ) f( + (k + 1)h) ) + 1 f( + kh) + f( + kh + h/) 3 3 k=1 Ue fois l formule étlie, il est fcile de l implémeter. Le code suivt repred l formule précé- Code Pytho. dete. Svrtz Pge 5/10 014/015

6 Lycée Mssé def it_simpso(f,,,): h=(-)/ x= y=+h/ s1=0 s=f(y) for i i rge(-1): x+=h y+=h s1+=f(x) s+=f(y) retur h*((f()+f())/6+s1/3+*s/3) 4.3 Méthodes d ordre supérieur O v géérliser les méthodes précédetes rpidemet, ss doer de code Pytho, prce que c est u peu répétitif et exploite toujours le même pricipe. O cherche doc ue formule pour l pproximtio ω i f(ξ i ) vec ξ i = + i 1. vec les ω i choisis de sorte que l méthode soit excte pour les foctios polyomiles de degré u plus N 1. O se rmèe doc u système liéire à équtios et icoues suivt : 0 k N 1, 1 1 t k dt = ω i ξi k vec ξ i = + i 1. Mtriciellemet, o doc à résoudre MX = Y, vec : M = ξ 0 ξ 1 ξ ξ ξ0 ξ1 ξ ξ.... ξ0 ξ1 ξ ξ X = ω 0 ω 1 ω. ω et Y = 1 dt t dt t dt. t dt L mtrice M est l mtrice de V der Mode ssociée ux ξ i : ce gere de mtrice se retrouve souvet e mthémtiques, et si vous e l vez ps ecore croisée, ç viedr. U résultt clssique est que c est ue mtrice iversile (cr les ξ i sot disticts) : le système possède doc ue uique solutio. Propositio 4. L méthode de Newto-Cotes à N poits est d ordre u mois N 1, et u mois N si N est impir. Démostrtio. Le premier poit est clir : le système ue solutio doc l méthode est d ordre u mois N 1. Esuite, motros que l uique solutio X = (ω i ) du système précédet est symétrique : o ω i = ω i pour tout i [0, N 1]. E effet, les ξ i vérifiet eux-même ξ i = ξ i pour tout i [0, N 1]. Pr suite, si o cosidère le vecteur X = (ω i ) oteu pr reversemet des coordoées de X, o remrque que l multiplictio d ue lige de M d idice pir k pr X doe le même résultt que l multiplictio pr X, cr ξi k multiplictio d ue lige de M d idice impir k + 1 pr X doe : ξ k+1 i ω i = ( ξ i ) k+1 ω N i = ξ k+1 i ω i = ξ k N i. De plus, l O otiet doc 1 1 tk+1 dt, or cette itégrle est ulle. Aisi, X est églemet solutio du système. Or cette solutio est uique, doc X = X et les coefficiets ω i sot ie symétriques. Reveos à l ordre de l méthode pour N impir : puisque les coefficiets de X sot symétriques, o ξn i ω i = N (ξi N + ξ i N )ω i + ξ N N ω N. Or cette somme est ulle cr ξ i = ξ i et N impir, et de plus ξ N = 0. Cette somme ulle correspod à tn dt, doc l méthode est ie d ordre u mois N. Svrtz Pge 6/10 014/015

7 Lycée Mssé E fit, o peut motrer qu il y églité, ce que l o dmettr. Théorème 5. L méthode de Newto-Cotes à N poits est d ordre N 1 pour N pir et N pour N impir. Démostrtio. dmis. E prtique, l méthode est doc plutôt utilisée vec u omre impir de poits (à prt l méthode des trpèzes). Pssos ux résultts de l résolutio du système liéire préseté plus hut 3 N =. O retrouve ω 0 = ω 1 = 1 C est l méthode des trpèzes. N = 3. O retrouve ω 0 = ω = 1 6 et ω 1 = 3 C est l méthode de Simpso. N = 5. O trouve ω 0 = ω 4 = 7 90, ω 1 = ω 3 = Cette méthode est ppelée méthode de Boole-Villrceu. N = 7. O trouve ω 0 = ω 6 = , ω 1 = ω 5 = 9 35, ω = ω 4 = 9 80 Cette méthode est ppelée méthode de Weddle-Hrdy. N = 9. O trouve et ω = 15 et ω 3 = ω 0 = ω 8 = , ω 1 = ω 7 = , ω = ω 4 = , ω 3 = ω 5 = , et ω 4 = Remrquez l présece de poids égtifs qui commecet à pprître pour N = 9. O v voir que d u poit de vue de stilité, ces poids égtifs sot muvis. E prtique, les méthodes de Newto-Cotes sot doc utilisées pour N Peut-o fire mieux? O peut se poser l questio de l pertiece des (ξ i ) régulièremet réprtis sur l itervlle [, ]. E fit, utt pour des questios d ordre que de stilité umérique, ce choix est ps le meilleur : il vut mieux utiliser d utres poits ξ i. O e dir ps plus! 4.5 Ifluece des erreurs d rrodi Supposos qu à l plce de f(x), o clcule f(x), vec f(x) f(x) ε. Quel écrt -t-o lors de l pplictio d ue méthode de qudrture élémetire? Notos S f = ω if(ξ i ). O lors S f S f = ω i f(ξ i ) ω i f(ξi ) = ω i (f(ξ i ) f(ξ i )) S f S f ε ω i Si les ω i sot tous positifs, o ω i = 1. Mis si il existe des chgemets de siges, l erreur peut-être diltée. Voil pourquoi il fut privilégier les méthodes à poids positifs! Ceci s éted turellemet à des méthodes composées. 3. À vérifier e TP! Svrtz Pge 7/10 014/015

8 Lycée Mssé 5 Quelques estimtios d erreurs O présete ici quelques estimtios d erreurs pour les méthodes des rectgles, lorsque f est de clsse C 1 ou C. De telles estimtios peuvet être explicitées pour toutes les méthodes ci-dessus, mis sortet très lrgemet du progrmme et de ce que vous devez svoir! O v voir que l méthode du poit milieu vec u découpge de [, ] e petits itervlles permet d voir ue erreur e O ( ) 1, cotriremet à l méthode des rectgles à guche qui est qu e O ( 1 ). Nottio. Ds ce qui suit, pour g ue foctio cotiue sur l itervlle [, ], o oter g l orme ifiie de g, c est à dire g = sup t [,] g(t). Cette ore supérieure est ie défiie et est e fit u mximum, puisqu ue foctio cotiue sur u segmet est orée et y tteit ses ores. Lemme 6. Soit f de clsse C 1 sur [, ]. O lors ( )f() ( ) f Démostrtio. O pplique l formule de Tylor reste itégrl 4 à l foctio x qui est de clsse C. O e déduit : Pr suite, F () = F () + ( )F () + ( )f() ( t) f (t) dt ( ) f. ( t)f (t) dt Le lemme 6 doe ue estimtio de l erreur commise ds l méthode élémetire des rectgles à guche pour f de clsse C 1. O e déduit imméditemet le résultt suivt : Propositio 7. Soit f de clsse C 1 sur [, ]. E ppliqut l méthode des rectgles à guche sur l itervlle [, ] découpé e morceux, o commet ue erreur orée pr : ( ) h f( + kh) f vec h =. Démostrtio. Il suffit d ppliquer le lemme précédet à +(k+1)h hf( + kh) +kh h f = ( ) f et de sommer les termes près ue iéglité trigulire. Remrque 8. Ceci est ue ouvelle démostrtio de l covergece des sommes de Riem, ds le cs C 1. Lemme 9. Soit f de clsse C sur [, ]. O lors ( + ( )f ) ( )3 f 4 Démostrtio. O v ussi ppliquer l églité de Tylor reste itégrl, mis à ue primitive F de l foctio x f(x) ϕ(x), où ϕ : x f ( ) [ ( + + x + )] ( ) ( f + est l équtio de l tgete à f u poit milieu + ). Remrquos que F ( ) ( ) + = F + = 0. O lors, e ott c = + : F (x) = F (c) + (x c)f (x x c) (c) + F (x t) F (t) (c) + dt c x (x t) F (t) = F (c) + dt 4. Les MPSI pourrot utiliser Tylor-Lgrge. c Svrtz Pge 8/10 014/015

9 Lycée Mssé ( t) F (t) c dt et F () F (c) = ( t) F (t) c dt, doc F () F () = c dt. Or F () F () = ( )f ( ) +, et : Aisi, F () F (c) = c ( t) F (t) c ( t) F (t) dt [ ( t)3 6 ] f c ( )3 6 8 f = et de même pour ( t) F (t) c dt. Pr somme, le résultt suit. ( )3 4 f ( t) F (t) dt Propositio 10. Soit f de clsse C sur [, ]. E ppliqut l méthode du poit milieu sur l itervlle [, ] découpé e morceux, o commet ue erreur orée pr : vec h =. h ( ) f( + kh) + f( + (k + 1)h) ( )3 4 f Démostrtio. Il suffit d ppliquer le lemme précédet, e découpt e petits itervlles de logueur h =. E ppliqut des méthodes similires, o peut motrer les mjortios suivtes pour l méthode des trpèzes et l méthode de Simpso (qui fot prfois l ojet d u log exercice de mthémtiques). Les résultts qui suivet e sot ps à reteir et sot doés à titre culturel. Propositio 11. Soit f de clsse C sur [, ]. E ppliqut l méthode des trpèzes sur l itervlle [, ] découpé e morceux, o commet ue erreur orée pr : ( f() + f() ( )3 h + f( + kh)) 1 f k=1 vec h =. Propositio 1. Soit f de clsse C 4 sur [, ]. E ppliqut l méthode de Simpso sur l itervlle [, ] découpé e morceux, o commet ue erreur orée pr : ( f() + f() h + 1 f( + kh) + ( )5 f (4) f( + kh + h/)) k=1 vec h = et f (4) l dérivée qutrième de f. O remrque que l méthode des trpèzes est légèremet mois précise que celle du poit milieu. Elle est cepedt plus fcile à mettre e oeuvre si les vleurs de f e sot ps clculées mis mesurées. L méthode de Simpso est très précise : diviser le ps h d u fcteur (c est à dire douler ) fit gger u fcteur 16 ( 4 ). Si l foctio est suffismmet régulière, o peut oteir des mjortios similires pour toutes les méthodes de Newto-Cotes : l puissce de u déomiteur est égle à l ordre de l méthode, plus 1. 6 Et les méthodes itégrées e Pytho? L doc se trouve ici 5 Pour itégrer e Pytho, o utilise géérlemet l méthode qud du module scipy.itegrte. O e prime ue estimtio de l erreur commise. >>> it_rec_guche(lmd x: x*x,0,1,0) >>> it_rec_milieu(lmd x: x*x,0,1,0) >>> it_trpezes(lmd x: x*x,0,1,0) >>> it_simpso(lmd x: x*x,0,1,0) >>> import scipy.itegrte s sci ; sci.qud(lmd x: x*x,0,1) ( , e-15) 5. Svrtz Pge 9/10 014/015

10 Lycée Mssé L méthode utilisée est ssez ésotérique (c est l ide Pytho qui le dit!) et utilise ps ml de méthodes différetes suivt ce qu o lui doe e prmètre, ie plus complexes que celles présetées ici. Remrquez que otre méthode de Simpso est ie excte sur l foctio x x. Étt doé deux tleux de poits X et Y, vec Y le tleu des vleurs prises pr ue foctio f e les poits de X, o peut explicitemet utiliser l méthode des trpèzes ou l méthode de Simpso : >>> X=[1,3,4] ; Y=[x*x for x i X] >>> sci.trpz(x=x,y=y).5 >>> sci.simps(x=x,y=y) 1.0 >>> it_simpso(lmd x:x*x,1,4,1) 1.0 O retrouve d illeurs ie l exctitude de l méthode de Simpso sur les foctios polyomiles de degré. Remrquez que Pytho se dérouille même si les poits e sot ps régulièremet espcés : e fit il pred les poits pr groupe de trois et clcule (l uique) prole psst pr ces poits et e déduit ue méthode d itégrtio. Plus géérlemet, il peut fire preil vec les méthodes de Newto-Cotes (il y ue méthode ewto_cotes ds le module scipy.optimize). Svrtz Pge 10/10 014/015

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