Exercice 1: Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes, et le cas échéant calculer leur valeur :

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1 Eercice : Eercices : Iégrales gééralisées Déermier si les iégrales suivaes so covergees, e le cas échéa calculer leur valeur :.. d (+ ) d e d d d e d Eercice : Déermier si les iégrales suivaes so covergees : d +4+4 d + d e u du + +4 d d d l (+ ) d Eercice 3: Soi f la focio défiie sur ; par f() =. Quelle es la aure de l iégrale f()d? (l()). Déermier le ableau de variaios de f. 3. E déduire la aure de la série l () 4. Gééraliser ce résula e déermia la aure de la série l β, où β >. () Eercice 4: O oe f la focio défiie pour ou réel > par f() = e/. O pose pour ou eier, I = f()d. Morer que l iégrale I es covergee e eprimer I e focio de.. Morer que I. 3. Morer que la série f() es covergee. Eercice 5: Soi f la focio défiie par f() = + d. Déermier l esemble de défiiio de f.. Quel es le ses de variaio de f? 3. O adme que f es ue focio coiue sur so esemble de défiiio. Déermier f()+f(+) pour >. E déduire la limie de f e e e. Aalyse : Chapire 6 Eercices Page Iégrales gééralisées

2 Eercice : Correcio. (i) La focio es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e. (ii) O pose ; :. (i) La focio. (ii) O pose ; : d = ] = + d = lim + = d es covergee e d =. es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e (+ ) (+ ) (+ ) d = (+ ) ] d = lim (+ ) + 4 = 4. d es covergee e (+ ) = (+ ) + 4 (+ ) d = (i) La focio e es coiue sur ] ;] doc le problème se pose uiqueme e. (ii) O pose A ] ;] : e d = ] = A e A + e A A A e d = lim A + = e A e d es covergee e e d =. 4. (i) La focio es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e. (ii) O pose ; : 5. (EML 4) d = ] = d = lim = d es divergee. (i) La focio es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e. 3 (ii) O pose ; : 3 d = e l3 d = ] l3 e l3 = l l3 3 = lim l l3 = 9l3 d es covergee e 3 3 d = 9l3. Aalyse : Chapire 6 Eercices Page Iégrales gééralisées

3 6. (ECRICOME 7) (i) La focio e es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e. (ii) O pose A ;, par iégraio par paries o a : Eercice : e d = e ] A + e d = Ae A + e ] A = Ae A e A + A e d = lim A Ae A e A + = e d es covergee e e d =. +3. (i) La focio es coiue sur ;docleproblèmese poseuiqueme e. +3 (ii) Au voisiage de, = Oadoc (iii) Or o sai que d es divergee doc, d après les crières de covergece sur les 5 +3 focios posiives, d es divergee (iv) E coclusio, d es covergee (car es coiue sur ;]) e d es divergee. Doc d es divergee (i) La focio es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e (ii) Au voisiage de, (iii) Or o sai que posiives, +4+4 =. desdivergeedoc,d aprèslescrièresdecovergecesurlesfocios d es divergee (iv) E coclusio, +4+4 e d es divergee. Doc (i) La focio + d es covergee (car es coiue sur ;]) +4+4 d es divergee es coiue sur ];. Nous avos doc ici deu problèmes, e e e. Nous allos doc éudier la covergece de (ii) E : Aeio l() es pas posiive sur ];]. + O a + =. + d e de + d. Aalyse : Chapire 6 Eercices Page 3 Iégrales gééralisées

4 Or d es covergee (cf. cours, o sai même la calculer) doc, d après les crières de covergece sur les focios posiives, + d es covergee e par coséque d es covergee. + (iii) E : O a +. Or o sai que, au voisiage de, l() = o( ) doc l() = ( ) ( ) o = o. O sai que 3/ d es covergee, car c es ue iégrale de Riema e 3 3/ > doc, d après les crières de covergece sur les focios posiives, par coséque, (iv) E coclusio, l iégrale d es covergee. + + d es covergee. l() d es covergee e 4. (i) La focio u e u es coiue sur ; doc le problème se pose uiqueme e. ( ) (ii) Oroa,auvoisiagede,e u = o car lim u u u e u = card aprèslecours = o(e ) e. (iii) Or o sai que du es covergee (iégrale de Riema avec > ) doc, d après les u crières de covergece sur les focios posiives, (iv) E coclusio es covergee. Doc 5. (i) La focio + +4 e u du es covergee. e u du es covergee (car u e u es coiue sur ;]) e e u du es covergee. e u du es coiue sur ];. Nous avos doc ici deu problèmes, e e e. Nous allos doc éudier la covergece de (ii) E : O a = d e de + +4 d. Or l d es covergee (cf. cours) doc, d après les crières de covergece sur les focios posiives, + +4 d es covergee e par coséque + d es covergee. +4 (iii) E : O a + +4 Or d =. () ] A = (la). Aalyse : Chapire 6 Eercices Page 4 Iégrales gééralisées

5 Comme lim A d =, covergece sur les focios posiives, l iégrale (iv) E coclusio, l iégrale + +4 d es divergee e aisi, d après les crières de d es divergee d es divergee. 6. (i) La focio es coiue sur ];] doc le seul problème se pose e. (ii) Au voisiage de, = ( ). (iii) Or pour ou < <, l iégrale d = l( ), doc lim d =. Aisi d es divergee e doc, d après les crières de covergece sur les focios posiives, (iv) E coclusio l iégrale 7. (i) La focio (ii) Or au voisiage de, d es divergee d es divergee. es coiue sur ];] doc le seul problème se siue e. / car (iii) De plus comme < o sai d après le cours que d es covergee. Doc, d après les / crières de covergece sur les focios posiives, d es covergee (iv) E coclusio d es covergee (i) La focio l (+ ) es coiue sur ; doc le seul problème se siue e. (ii) O sai que l(+x) X e comme lim =, o a l (+ ) X. (iii) Or comme >, d après le cours, d es covergee e doc, d après les crières de covergece sur les focios posiives, l (+ ) d es covergee. (iv) E coclusio l (+ ) d es covergee. Eercice 3:. La focio f es coiue sur ;. Le problème se pose doc uiqueme e. u O remarque que f es de la forme u doc o va ici uiliser la méhode du calcul pour rouver la aure de l iégrale. Soi A > : f()d = ] A = l la + l. O a doc lim A f()d = l e doc l iégrale f() d es covergee. Aalyse : Chapire 6 Eercices Page 5 Iégrales gééralisées

6 . f es dérivable sur ; e f() = (l) l = l(l+) = (l+). (l) 4 (l) 4 (l) 3 O voi doc que f es décroissae sur ; e o a lim f() =. f () f() f() 3. O a doc grâce au quesios précédees que f es ue focio coiue, décroissae e posiive sur ;. Aisi d après le héorème de comparaiso séries-iégrales, la série l es de () même aure que l iégrale 4. Il suffi de refaire les mêmes quesios avec g() = Eercice 4: f() d, c es-à-dire que la série es covergee. (l) β. O remarque ici que f es de la forme u e u doc ous allos ici uiliser le calcul pour rouver la aure de l iégrale. Soi N fié. La focio f es coiue sur ; doc le seul problème se siue e. Soi A > : O a doc lim A f()d = e /] A = e/a +e / f()d = e / e doc l iégrale I es covergee e I = e /.. O sai que e e comme lim = o a e/ 3. Nous allos ici uiliser le héorème de comparaiso série-iégrale. ce qui sigifie que I f es bie ue focio coiue e posiive sur ;. De plus comme la focio es décroissae sur ; e que la focio epoeielle es croissae, o a e / qui es décroissae sur ;. O a aussi qui es décroissae sur ; doc f es décroissae sur ;. O a moré que f()d es covergee doc d après le héorème de comparaiso sérieiégrale, la série f() es covergee. Eercice 5:. Déermier l esemble de défiiio de f sigifie qu il fau rouver les valeurs de pour lesquelles l iégrale d es covergee. + Quelle que soi la valeur de, la focio es coiue sur ; doc le seul problème + se siue e. Or e, + = +. Aalyse : Chapire 6 Eercices Page 6 Iégrales gééralisées

7 O voi doc que d e doc + d es de même aure que l iégrale de Riema + d après le cours cee iégrale es covergee si e seuleme si + > c es-à-dire >. f es doc défiie sur ];.. Soie e y deu réels sriceme posiifis e (o a doc l() ) : y y l() yl() e l() e yl() y + y + O peu doc e déduire que pour ou A >, o a + d y d e doc e passa à + la limie quad A ed vers o obie f() f(y). O a doc moré que si y alors f() f(y), c es-à-dire que f es décroissae O a f()+f(+) = d = d = ] =. O sai que f es u focio décroissae e miorée par doc elle adme e u limie fiie l. E passa à la limie lorsque ed vers das l égalié précédee o obie : l + l = doc lim f() =. O a lim (f()+f(+)) = lim f()+f() De plus d après l égalié du débu de la quesio lim f()+f(+) = doc lim f() =. Aalyse : Chapire 6 Eercices Page 7 Iégrales gééralisées