Table des matières. Avant propos

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1 Tble des mtières Avnt propos ii 1 Intégrle de Riemnn Intégrle des fonctions en esclier Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Propriétés générles de l intégrle de Riemnn Énoncés et solutions des exercices du chpitre Primitives et intégrles Intégrle indéfinie et primitive Chngement de vrible Intégrtion pr prties Clcul de primitives Limite uniforme dns les intégrles Clcul pproché d une intégrle Énoncés et solutions des exercices du chpitre Intégrles générlisées Notion d intégrle générlisée Propriétés des intégrles générlisées Intégrles générlisées des fonctions positives Clcul prtique des intégrles générlisées Intégrtion des reltions de comprison Intégrles semi-convergentes. Règle d Abel Intégrles générlisées et séries Cs des fonctions vectorielles i

2 ii INTÉGRATION 3.9 Énoncés et solutions des exercices du chpitre Intégrles dépendnt d un prmètre Intégrles définies dépendnt d un prmètre Intégrtion sur un intervlle quelconque Convergence monotone, convergence dominée Théorèmes de continuité et de dérivbilité Énoncés et solutions des exercices du chpitre Intégrles multiples, intégrles curvilignes Définition de l intégrle multiple de Riemnn Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini Théorème de chngement de vribles Intégrles curvilignes Énoncés et solutions des exercices du chpitre Problèmes de révision et de synthèse 369 A Rppels d nlyse fondmentle 477 A.1 Bornes supérieure et inférieure A.2 Continuité et limites de fonctions d une vrible A.3 Dérivbilité en une vrible A.4 Limite et continuité en plusieurs vribles A.5 Différentielle et dérivées prtielles Bibliogrphie 503 Index 505

3 Avnt-propos iii Avnt-propos S il est incontestble que l intégrle de Lebesgue constitue ujourd hui l un des outils les plus performnts pour de nombreuses questions théoriques en Anlyse, il est tout ussi indénible que l intégrle de Riemnn est l outil incontournble dès lors que se pose l question fondmentle du clcul effectif des intégrles ou de leur pproximtion. Le but de cet ouvrge est de présenter de mnière clire et détillée l construction de l intégrle de Riemnn insi que l essentiel des théorèmes permettnt son utilistion prtique. Nous vons essyé d éviter tout formlisme inutile, et l rédction de ce trvil d bord été guidée pr un souci pédgogique. Nous vons constmment recherché l équilibre nécessire entre les points de vue théorique et prtique, et vons veillé à ce que les concepts et les méthodes proposés soient illustrés de nombreux exemples. Chcun des cinq premiers chpitres offre un grnd choix d exercices judicieusement sélectionnés en vue d une bonne ssimiltion des concepts et d une réelle mîtrise des techniques. Le chpitre six est lui entièrement conscré à des problèmes de révision destinés u trvil d pprofondissement et de synthèse en vue des exmens et des concours. Enfin, pour l commodité du lecteur, une nnexe regroupe les rppels utiles pour un ccès rpide et efficce u contenu de cet ouvrge. Tous les exercices et problèmes proposés sont corrigés en détil et nous vons systémtiquement privilégié l solution méthodique et risonnble que peut découvrir l étudint lui-même, à une éventuelle solution mirculeuse. Pour cel, nous vons tenu le plus grnd compte des nombreuses remrques et suggestions formulées pr les étudints lors des sénces de trvux dirigés et de préprtion ux concours pendnt lesquelles un grnd nombre de ces exercices et problèmes ont été ssidûment et ctivement recherchés. Cet ouvrge bénéficie d une expérience de plusieurs nnées en théorie de l intégrtion à l Université d Angers et, à l instr de mes collègues universitires et professeurs en clsses préprtoires, je suis profondé-

4 iv INTÉGRATION ment convincu que l mîtrise à l fois conceptuelle et technique de l intégrle de Riemnn est un tout essentiel pour l ccès ux nombreux chmps d pplictions de l Anlyse mthémtique insi qu à l préprtion du terrin en vue d utres théories, notmment celle de Lebesgue. Le contenu de ce livre couvre le progrmme d intégrtion des clsses préprtoires ux grndes écoles scientifiques insi que celui correspondnt ux niveux L1 et L2 des Fcultés de Sciences. Pr l diversité des exercices et problèmes qu il propose, cet ouvrge ser églement utile ux cndidts u CAPES et à l grégtion interne. Enfin, ce livre est pourvu d un index détillé permettnt une pproche dptée ux besoins de chque lecteur. C est vec un grnd plisir que j dresse mes remerciements à monsieur Philippe Fuvernier des Édtions Hermnn pour s prfite disponibilité, insi qu u Professeur Ivn Lvllée pour ses précieux conseils. Je dédie ce trvil à Frédérique, Krim, Mourd et Nessim.

5 Chpitre 1 Intégrle de Riemnn Dns une lettre à Leibniz 1 dtée du 12 février 1695, Jen Bernoulli 2 écrit : J i été le premier à réfléchir à l inverse de votre clcul différentiel que j i désigné ussi du nom de clcul intégrl. Mis c est Riemnn 3 qui, dns s thèse de doctort soutenue en 1854, élbore l théorie rigoureuse de ce qu on ppelle ujourd hui l intégrle de Riemnn. Ses trvux générlisent de fçon décisive ceux de Cuchy 4, uteur dns les nnées 1820 d une première théorie essentiellement rigoureuse de l intégrtion des fonctions continues. Les deux grnds précurseurs de l théorie de l intégrtion u XVIIIe sont incontestblement Newton 5 1. LEIBNIZ Gottfried ( ). Mthémticien et philosophe llemnd. Disciple de Descrtes. Il invent le clcul différentiel en 1676, en même temps que Newton. 2. BERNOULLI Jen ( ). Mthémticien et physicien suisse. Contribu vec son frère Jcques u développement du clcul infinitésiml. Il découvrit le clcul exponentiel et eut ussi l gloire de former l illustre mthémticien et physicien suisse : Leonhrd Euler. 3. RIEMANN Bernhrd ( ). Mthémticien llemnd. Il jet les bses de l géométrie différentielle et ouvrit l voie ux géométries non-euclidiennes et à l théorie de l reltivité générle. On lui doit d importnts trvux sur les intégrles, poursuivnt ceux de Cuchy, qui ont donné entre utres ce qu on ppelle ujourd hui les intégrles de Riemnn. 4. CAUCHY Augustin ( ). Mthémticien frnçis. Il est à l origine de l nlyse moderne : on lui doit notmment l théorie des équtions différentielles et l théorie mécnique de l élsticité. 5. NEWTON Isc ( ). Physicien nglis. Un des plus grnds scientifiques des temps modernes. Apport des contributions mjeures ussi bien en physique qu en mthémtiques. Il entm l étude des fonctions dérivbles et de leurs dérivées 1

6 2 INTÉGRATION qui développ sous le nom de fluxion une pproche systémtique de l réciproque de l dérivtion, et Leibniz pour son pproche géométrique fondée sur le clcul d ire. Nottions : Dns tout ce chpitre, on se plcer sur un intervlle compct (c est-à-dire fermé et borné) [, b] de R, non vide ni réduit à un point ( < < b < + ). Pour l clrté de l exposé, nous considèrerons essentiellement les fonctions à numérique, c est-à-dire les fonctions à vleurs réelles. Nous expliquerons l démrche à suivre pour les fonctions à vleurs complexes, et plus générlement pour les fonctions à vleurs dns un espce vectoriel normé complet quelconque. 1.1 Intégrle des fonctions en esclier Espce vectoriel des fonctions en esclier Définition On ppelle subdivision de l intervlle compct [, b] toute suite finie et strictement croissnte de points de [, b], dont le premier terme est, et le dernier b. Une subdivision de [, b] ser notée σ := ( 0 =, 1,, n = b). À chque subdivision σ de [, b] nous ssocierons l ensemble S constitué pr les points de l suite σ. Si σ et σ sont deux subdivisions de [, b], on dit que σ est plus fine que σ si les ensembles S, S respectivement ssociés à σ, σ, vérifient l inclusion S S. En d utres termes, l subdivision σ est plus fine que σ si tous les éléments de σ pprtiennent à σ. On note σ σ l subdivision σ dont l ensemble ssocié est l réunion des ensembles ssociés à σ et σ. Définition Une fonction f : [, b] R est dite en esclier s il existe une subdivision ( 0,..., n ) de [, b] et des éléments λ 1,..., λ n et rédige un compte rendu sur les fondements du clcul infinitésiml. Newton fondé l nlyse moderne. En géométrie, il clssifi les cubiques et en donn des trcés corrects vec symptotes, inflexions et points de rebroussement. En physique, ses contributions sont immenses, notmment en optique et en mécnique, vec l mise en plce de s théorie de l ttrction universelle.

7 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 3 de R tels que (1.1) i {1,..., n}, x ] i 1, i [, f(x) = λ i. On dit lors que l subdivision σ est dptée à f. Exemple L fonction x E(x) où E(x) désigne l prtie entière de x, est en esclier sur tout intervlle compct de R. Remrque Une fonction en esclier n est en fit ps spécifiée ux points i de l subdivision σ considérée, et l intégrle I(f, σ) ne dépend donc ps de f en ces points Construction de l intégrle d une fonction en esclier On note E([, b], R) l ensemble des fonctions en esclier sur [, b] à vleurs dns R. Théorème et définition Soient f E([, b], R) et ( i ) 0 i n une subdivision dptée à f. On note λ i l vleur de f sur l intervlle ] i 1, i [ (1 i n). Alors le nombre réel n i=1 λ i ( i i 1 ) ne dépend ps de l subdivision dptée à f considérée. On l ppelle l intégrle de f sur [, b], et on le note f(x) dx. Démonstrtion : Notons σ l subdivision ( i ) 0 i n et posons I(f, σ) := n λ i ( i i 1 ). i=1 Soit σ l subdivision de [, b] obtenue en joutnt un seul élément c à σ, distinct des éléments de σ. Il existe un entier j {1,..., n} tel que c ] j 1, j [. L fonction f est constnte et égle à λ j sur ] j 1, j [ donc sur ] j 1, c[ et sur ]c, j [. L subdivision σ est donc dptée à f et on λ j ( j j 1 ) = λ j (c j 1 ) + λ j ( j c). On en déduit que I(f, σ) = I(f, σ ). Il en résulte pr récurrence sur le nombre fini d éléments de [, b] à djoindre à σ, que I(f, σ) = I(f, σ ) si σ est plus fine que σ.

8 4 INTÉGRATION Enfin, si σ et σ sont deux subdivisions quelconques dptées à l fonction f, les deux nombres réels I(f, σ) et I(f, σ ) sont l un et l utre égux à I(f, σ σ ). Remrques ) Une conséquence immédite de l définition est que si f est une fonction nulle en dehors d un nombre fini de points de [, b], lors f est en esclier sur [, b] et f(x) dx = 0. b) Si f et g sont deux fonctions en esclier égles sur [, b] suf peutêtre en un nombre fini de points, lors f(x) dx = g(x) dx. c) Enfin, il découle clirement de l définition que l intégrle d une fonction en esclier réelle positive est positive. Lemme Muni des lois usuelles, l ensemble E([, b], R) est un R- sous-espce vectoriel de l espce des fonctions de [, b] dns R, et l ppliction f f(x) dx de E([, b], R) dns R est linéire. Démonstrtion : Soient α, β deux sclires et f, g deux éléments de E([, b], R). Soient σ et σ deux subdivisions de [, b] dptées respectivement à f et à g. Alors, l subdivision σ σ est dptée à l fois à f et à g, et αf + βg est constnte sur chque intervlle ouvert de σ σ, donc αf + βg est en esclier sur [, b]. En clculnt l intégrle de αf + βg u moyen de σ σ, on obtient ussitôt (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. D où le lemme. On munit E([, b], R) de l norme uniforme définie pr f := sup f(x) x [,b] où le sup est nécessirement fini cr f ne prend qu un nombre fini de vleurs.

9 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 5 Proposition ) L forme linéire ( ) E([, b], R), R est continue. f 2) Si f, g E([, b], R), lors : f g 3) Si f E([, b], R), lors f E([, b], R + ) et f(x) dx f(x) dx. Démonstrtion : f(x) dx f(x) dx 1) Pour tout f E([, b], R), on f(x) dx (b ) f g(x) dx. ce qui montre que l forme linéire considérée est continue en 0, donc continue en tout point de E([, b], R). 2) Pr linérité, il suffit de montrer que (g(x) f(x)) dx 0, ce qui découle imméditement du point c) des remrques ) Soit σ = ( i ) 0 i n une subdivision de [, b] dptée à l fonction f telle que f soit constnte et égle à λ i sur chque intervlle ] i 1, i [ (1 i n). Alors σ est églement dptée à f et on n n λ i ( i i 1 ) λ i i i 1, i=1 d où le résultt nnoncé. Proposition Soient f : [, b] R une fonction en esclier et c un élément de ], b[. Alors l restriction de f à [, c] (resp. [c, b]) est une fonction en esclier sur [, c] (resp. [c, b]) et on f(x) dx = c i=1 f(x) dx + c f(x) dx. Démonstrtion : Il suffit, pour obtenir le résultt, de considérer une subdivision dptée à f contennt le point c.

10 6 INTÉGRATION 1.2 Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Nous llons étendre l notion d intégrle à une clsse beucoup plus générle que celle des fonctions en esclier ; et cette extension ser guidée pr le souci de conserver, pour ces nouvelles fonctions, les propriétés cquises u prgrphe précédent pour l intégrle des fonctions en esclier. Définition Une fonction f : [, b] R est dite intégrble u sens de Riemnn (ou Riemnn-intégrble) sur [, b] si, quel que soit le nombre réel ε > 0, il existe une couple (g, h) de fonctions en esclier sur [, b] vérifint : g f h sur [, b] et [h(x) g(x)] dx ε. Remrques ) De cette définition il résulte que toute fonction intégrble u sens de Riemnn sur [, b] est nécessiremnt bornée sur ce segment puisque les fonctions en esclier sont elles-mêmes bornées. 2) Il est fcile de voir que f : [, b] R est intégrble si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions en esclier ϕ et µ sur [, b] telles que x [, b], f(x) ϕ(x) µ(x) et µ(x) dx ε. En effet, donnons-nous ε > 0. S il existe g et h en esclier sur [, b] vérifint g f h et [h(x) g(x)] dx ε, lors il suffit de prendre ϕ = (g + h)/2 et µ = (h g)/2. Réciproquement, si ϕ et µ sont en esclier sur [, b] et vérifient f ϕ µ et µ(x) dx ε, il suffit de prendre g = (ϕ µ)/2 et h = ϕ + µ)/2. N.B. Comme il ne ser question dns ce chpitre d ucune utre intégrle que celle de Riemnn, nous dirons intégrble u lieu de intégrble u sens de Riemnn. À chque fonction f définie sur [, b], ssocions les deux ensembles suivnts : E (f) := { g E([, b], R) ; g f sur [, b] }

11 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 7 et Posons et E + (f) := { h E([, b], R) ; f h sur [, b] }. A (f) := A + (f) := { { } g(x) dx ; g E (f) } h(x) dx ; h E + (f). Quels que soient u A (f) et v A + (f), on évidemment u v. D utre prt, les ensembles E (f) et E + (f) sont tous deux non vides si et seulement si l fonction f est bornée. Dns ce cs, l ensemble A (f) est mjoré pr tout élément de A + (f) et possède donc une borne supérieure finie, que nous notons I (f) ; de même l ensemble A + (f) est minoré pr tout élément de A (f) et possède donc une borne inférieure finie, que nous notons I + (f). On lors u I (f) I + (f) v pour tout u A (f) et tout v A + (f). Soit lors ε > 0 rbitrirement donné. Si f est intégrble, il existe des éléments u := g(x) dx A (f) et v := h(x) dx A + (f) vérifint v u < ε ; on donc l églité I (f) = I + (f). Réciproquement, si on I (f) = I + (f), les propriétés des bornes supérieure et inférieure entrînent l existence d un élément u A (f) et d un élément v A + (f) vérifint u > I (f) ε 2 et v < I + (f) + ε 2, d où v u < ε, ce qui prouve que f est intégrble. On donc étbli le résultt suivnt. Théorème À chque fonction numérique f définie et bornée sur un intervlle compct [, b] de R, ssocions l ensemble E + (f) (resp.

12 8 INTÉGRATION E (f)) constitué pr les fonctions numériques en esclier mjornt (resp. minornt) f sur [, b] ; et posons I (f) := sup g E (f) g(x) dx et I + (f) := inf h E + (f) h(x) dx. Alors, pour que f soit intégrble sur [, b] il fut et il suffit que l on it I (f) = I + (f). Remrque Si f est en esclier, les ensembles E + (f) et E (f) ont en commun l élément f. On lors I (f) = I + (f) = f(x) dx. L fonction f est donc intégrble, et son intégrle est égle u nombre I (f) = I + (f). À chque fonction intégrble f : [, b] R, ssocions le nombre I (f) = I + (f). D près l remrque précédente, l fonction insi définie constitue un prolongement de l fonction I : f f(x) dx définie sur l ensemble des fonctions en esclier sur [, b]. On peut donc poser l définition suivnte. Définition L intégrle d une fonction intégrble f sur [, b] est le nombre réel I (f) = I + (f). On le note f(x) dx. À prtir de l définition, nous llons déduire très fcilement une première propriété fondmentle de l intégrle. Proposition Si f est une fonction positive et intégrble sur l intervlle [, b], son intégrle est positive (éventuellement nulle). Démonstrtion : Puisque f est positive sur [, b], l fonction nulle pprtient à l ensemble E (f), donc 0 A (f), et on I (f) := sup A (f) 0, d où le résultt nnoncé.

13 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn Principux exemples de fonctions intégrbles Proposition Toute fonction f numérique monotone sur un intervlle compct [, b] est intégrble. Démonstrtion : Pour fixer les idées, supposons f croissnte et considérons une subdivision de [, b] de l forme (, + h, + 2h,..., + nh), l entier n N étnt quelconque, et le nombre réel h défini pr + nh = b, c est-à-dire h = (b )/n. Nous définissons deux fonctions g, h en esclier sur [, b] en posnt, pour tout x pprtennt à [ + kh, + (k + 1)h[ (k = 0, 1,..., n 1) : g(x) = f( + kh), h(x) = f( + (k + 1)h) et g(b) = h(b) = f(b). On lors et g(x) f(x) h(x) pour tout x [, b], n 1 g(x) dx = h f( + kh) ; k=0 h(x) dx = h n f( + kh), k=1 d où [h(x) g(x)] dx = h[f( + nh) f()] = b n [f(b) f()]; et pour chque ε > 0 donné, on peut choisir n ssez grnd de mnière à voir b [f(b) f()] < ε; n d où le résultt désiré. Proposition Toute fonction f continue sur un intervlle compct [, b] est intégrble.

14 10 INTÉGRATION Démonstrtion : L intervlle [, b] étnt compct, on sit, d près le théorème de Heine 6 (voir théorème A.2.8 de l nnexe) que l fonction f est uniformément continue sur cet intervlle. Quel que soit le nombre ε > 0, il existe donc un nombre η > 0 tel que, pour tous x, y [, b] vérifint y x < η, on it f(y) f(x) < ε. Considérons lors une subdivision ( = 0, 1,..., n = b) de [, b], de ps inférieur à η, c est-à-dire telle que le plus grnd des nombres i i 1 (i = 1, 2,..., n) soit u plus égl à η. On obtient deux fonctions g, h, en esclier sur [, b] en posnt g( i ) = h( i ) = f( i ) i = 0, 1,..., n et g(x) = f( i ) ε, h(x) = f( i ) + ε pour tout x ] i 1, i [ (i = 1, 2,..., n). Or l subdivision ( i ) 0 i n été choisie de mnière que l on it f(x) f( i < ε pour tout x élément de [ i 1, i ]. On donc, pour tout x [, b] : et [h(x) g(x)] dx = g(x) f(x) h(x) 2 ε dx = 2 ε (b ). Le nombre ε > 0 étnt rbitrire, on conclut que l fonction f est intégrble sur [, b]. On remrque que dns cette démonstrtion nous vons seulement utilisé le fit que l fonction f pouvit être pprochée, à moins de ε près, pr des fonctions en esclier. Cette remrque conduit à une générlistion importnte : celle de fonction réglée. Définition Une fonction f : [, b] R est dite réglée si, quel que soit le nombre ε > 0, il existe une fonction en esclier ϕ sur [, b] vérifint : x [, b], f(x) ϕ(x) ε. 6. HEINE Edourd ( ). Mthémticien llemnd. Célèbre pr ses trvux sur les fonctions spéciles et l nlyse réelle.

15 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 11 En donnnt à ε une suite de vleurs tendnt vers zéro, on voit imméditement que cette définition équivut à l suivnte. Définition Une fonction f : [, b] R est dite réglée s il existe une suite de fonctions en esclier de [, b] dns R, convergent uniformément vers f sur [, b]. Remrque On dispose d une crctéristion très utile des fonctions réglées (voir [1] p. 424) : pour qu une fonction f : [, b] R soit réglée, il fut et il suffit que f dmette une limite à droite en tout point de [, b[ et une limite à guche en tout point de ], b]. Théorème Toute fonction réglée sur un intervlle compct [, b] est intégrble. Démonstrtion : f est limite uniforme sur [, b] d une suite (f n ) de fonctions en esclier. Soient ε > 0 et n 0 N tels que sup f n0 (x) f(x) x [,b] ε 2 (b ). ε Notons u le fonction égle à 2 (b ) sur [, b], et posons h = f n 0 + u et g = f n0 u. Les fonctions g et h sont en esclier sur [, b] et vérifient g f h et On en conclut que f est intégrble sur [, b]. [h(x) g(x)] dx = ε. Définition Une fonction f : [, b] R est dite continue pr morceux sur [, b] s il existe une subdivision ( 0, 1,..., n ) de [, b] telle que, pour tout i {0,..., n 1}, f est continue sur ] i, i+1 [ et dmet une limite finie à droite u point i et une limite finie à guche u point i+1. On vérifie sns difficulté (voir [1]) que toute fonction pr morceux est réglée. On en déduit ussitôt le résultt importnt suivnt.

16 12 INTÉGRATION Corollire Toute fonction continue pr morceux sur un intervlle compct [, b] est intégrble. Définition Soient I un intervlle non vide de R et f une fonction réelle définie sur cet intervlle. On dit que f est loclement intégrble sur I si f est intégrble sur tout segment inclus dns I. Exemple Toute fonction continue sur I est loclement intégrble ; toute fonction monotone sur I est loclement intégrble. Le résultt qui suit est d une grnde utilité en prtique. Proposition Soit f : [, b] R une fonction loclement intégrble sur ], b[ et bornée sur [, b]. Alors f est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : Soit M > 0 tel que f(x) M pour tout x [, b]. Soit ε > 0 un réel suffismment petit pour que ε < (b )/2. On sit que f est intégrble sur [ + ε, b ε], donc il existe deux fonctions en esclier ϕ et µ sur [ + ε, b ε] telles que x [ + ε, b ε], f(x) ϕ(x) µ(x) Considérons lors les fonctions définies sur [, b] pr et ε +ε µ(x) dx ε. ψ(x) := { 0 si x [, + ε] ]b ε, b] ϕ(x) si x [ + ε, b ε] et η(x) := { M si x [, + ε] ]b ε, b] µ(x) si x [ + ε, b ε]. Les fonctions ψ et η sont en esclier et vérifient f ψ η sur [, b]. De plus, +ε ε η(x) dx = M dx + µ(x) dx + M dx +ε b ε M ε + ε + M ε = (2M + 1) ε. Ceci prouve que f est intégrble sur [, b].

17 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 13 Corollire Si f : [, b] R est une fonction bornée sur [, b] et continue sur l intervlle ouvert ], b[, lors f est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : Quels que soient α, β vérifint < α < β < b, l fonction f est continue sur l intervlle compct [α, β], donc intégrble sur cet intervlle. Les deux résultts précédents vont nous permettre d obtenir un exemple de fonction intégrble qui n est ps réglée. Exemple (Fonction intégrble non réglée) Soit f l fonction définie sur [ 1, 1] pr { sin(1/x) si x 0 f(x) = 0 si x = 0. Cette fonction est intégrble cr elle est mnifestement bornée et dmet l origine comme seule discontinuité. Cependnt, cette fonction n est ps réglée puisque les limites à droite et à guche de zéro n existent ps. En effet, l suite ( n ) n N de terme générl n = 1 π 2 + nπ est à vleurs dns ]0, 1[ et converge vers 0. Comme f( n ) = ( 1) n pour tout n, l suite (f( n )) n N diverge, donc f n dmet ps de limite à droite en 0. Donc f n est ps réglée sur [0, 1]. Exemple (Fonction non intégrble). Soit f l fonction définie sur [, b] pr { 0 si x / Q f(x) = 1 si x Q. Désignons pr (g, h) un couple quelconque de fonctions en esclier sur [, b], vérifint g(x) f(x) h(x) pour tout x [, b] ; et soit σ une subdivision de [, b] dptée à l fois à g et à h. Chque intervlle de σ contient à son intérieur des vleurs rtionnelles et des vleurs irrtionnelles. À l intérieur de tout intervlle de σ on donc g(x) 0 et h(x) 1, d où [h(x) g(x)] dx b.

18 14 INTÉGRATION L fonction f n est donc ps intégrble. Le résultt qui suit permet de rmener l démonstrtion de propriétés des fonctions intégrbles quelconques à celles de propriétés de fonctions en esclier ou de fonctions continues. Théorème Soit f une fonction intégrble sur [, b]. Quel que soit le nombre ε > 0, il existe une fonction continue g : [, b] R telle que f(x) g(x) dx ε. Démonstrtion : Pour chque nombre ε > 0 fixé, il existe une fonction en esclier ϕ : [, b] R vérifint f(x) ϕ(x) dx ε. Or, si ϕ n est ps continue, on peut construire une fonction continue g : [, b] R vérifint g(x) ϕ(x) dx ε. En effet, désignons pr 1 < 2 <... < p les points de discontinuité de ϕ et pr M un mjornt de ϕ(x) sur [, b]. En modifint u besoin l vleur de ϕ ux seuls points et b, on peut supposer ϕ continue en ces points ; et on peut lors choisir un nombre h > 0, inférieur u plus petit des qutre nombres : ε 2pM, inf ( i i 1 ), 1, b p. 2 i p Les intervlles J i = [ i h/2, i + h/2] sont disjoints et contenus dns [, b] ; et on obtient l fonction continue g cherchée en remplçnt ϕ sur chcun des intervlles J i pr l fonction ffine prennt les mêmes vleurs que ϕ ux extrémités de J i : en effet g est ffine pr morceux, elle vérifie g(x) ϕ(x) 2 M sur l réunion J des p intervlles J i, et g(x) = ϕ(x) sur [, b] \ J ; d où g(x) ϕ(x) dx 2pMh ε,

19 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 15 ce qui chève l démonstrtion du théorème Interpréttion géométrique de l intégrle L théorie de l intégrtion est issue de l nécessité prtique de clculer l ire d une surfce. Archimède 7 svit déjà évluer l ire d une surfce délimitée pr une prbole et une droite. Ses clculs furent repris et développés u neuvième siècle pr les svnts rbes. Près de neuf siècles plus trd, Newton clcul l ire d une courbe y = f(x) en inversnt les opértions de dérivtion (ujourd hui on dirit : en utilisnt l notion de primitive). À l inverse, Leibniz interprét les ires comme des sommes de rectngles infinitésimux. Si f est une fonction positive en esclier sur [, b], l ensemble pln D f défini pr D f := {(x, y) R 2 ; x b, 0 y f(x)} est une réunion de rectngles ; et l intégrle de f sur [, b] est égle à l somme des ires de ces rectngles. On peut donc convenir de dire que l intégrle f(x) dx est égle à l ire de l ensemble D f. Lorsque nous urons précisé l notion intuitive d ire u moyen d intégrles doubles (voir chpitre 5), nous verrons que cette églité reste vrie lorsque f est une fonction positive intégrble quelconque sur [, b]. Nous dmettrons provisoirement ce résultt, ce qui revient à poser l définition suivnte. Définition Soit D un domine pln défini pr des inéglités de l forme : x b, 0 y f(x) où f est une fonction positive intégrble sur l intervlle [, b]. On ppelle l ire de D, le nombre f(x) dx. 7. ARCHIMÈDE de Syrcuse. Né vers 287 vnt J.-C. et mort en 212 vnt J.-C. Mthémticien, physicien et ingénieur grec, il est considéré comme l un des principux scientifiques de l Antiquité. Ses contributions furent nombreuses, vriées et profondes. Il notmment clculé l ire sous un rc de prbole à l ide de l somme d une série et donné un encdrement de π d une remrquble précision. Il églement obtenu des formules pour les volumes des surfces de révolution insi qu un système ingénieux pour l expression de très grnd nombres.

20 16 INTÉGRATION Le chpitre 5 ser conscré ux intégrles de Riemnn multiples et nous pourrons en prticulier y justifier l définition ci-dessus et l étendre à des domines plus générux. 1.3 Propriétés générles de l intégrle de Riemnn Proposition (Reltion de Chsles 8 ) Si f est une fonction intégrble sur [, b] et si c est un point dns ], b[, lors f est intégrble sur [, c] et sur [c, b], et on f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Démonstrtion : Nous vons besoin ici d intégrer sur des intervlles différents, nous llons donc commencer pr préciser quelques nottions. Pour tout intervlle compct [α, β] de R, notons { β } I (f, [α, β]) := sup g(x) dx ; g E([α, β], R), g f sur [α, β] et { β I + (f, [α, β]) := inf Posons églement : f 1 = f [,c] et f 2 = f [c,b]. α α } h(x) dx ; h E([α, β], R), h f sur [α, β]. Soient ϕ, ψ E([, b], R) telles que ϕ f ψ sur [, b] ; et soient ϕ 1 := ϕ [,c], ψ 1 := ψ [,c], ϕ 2 := ϕ [c,b] et ψ 2 := ψ [c,b]. D près l proposition , on De plus, ϕ(x) dx = c ϕ 1 (x) dx + c ϕ 2 (x) dx. ϕ(x) dx I (f 1, [, c]) + I (f 2, [c, b]). 8. CHASLES Michel ( ). Mthémticien frnçis. On lui doit l notion de birpport insi que de nombreux trvux sur les homogrphies et l géométrie projective.

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