Table des matières. Avant propos

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Table des matières. Avant propos"

Transcription

1 Tble des mtières Avnt propos ii 1 Intégrle de Riemnn Intégrle des fonctions en esclier Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Propriétés générles de l intégrle de Riemnn Énoncés et solutions des exercices du chpitre Primitives et intégrles Intégrle indéfinie et primitive Chngement de vrible Intégrtion pr prties Clcul de primitives Limite uniforme dns les intégrles Clcul pproché d une intégrle Énoncés et solutions des exercices du chpitre Intégrles générlisées Notion d intégrle générlisée Propriétés des intégrles générlisées Intégrles générlisées des fonctions positives Clcul prtique des intégrles générlisées Intégrtion des reltions de comprison Intégrles semi-convergentes. Règle d Abel Intégrles générlisées et séries Cs des fonctions vectorielles i

2 ii INTÉGRATION 3.9 Énoncés et solutions des exercices du chpitre Intégrles dépendnt d un prmètre Intégrles définies dépendnt d un prmètre Intégrtion sur un intervlle quelconque Convergence monotone, convergence dominée Théorèmes de continuité et de dérivbilité Énoncés et solutions des exercices du chpitre Intégrles multiples, intégrles curvilignes Définition de l intégrle multiple de Riemnn Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini Théorème de chngement de vribles Intégrles curvilignes Énoncés et solutions des exercices du chpitre Problèmes de révision et de synthèse 369 A Rppels d nlyse fondmentle 477 A.1 Bornes supérieure et inférieure A.2 Continuité et limites de fonctions d une vrible A.3 Dérivbilité en une vrible A.4 Limite et continuité en plusieurs vribles A.5 Différentielle et dérivées prtielles Bibliogrphie 503 Index 505

3 Avnt-propos iii Avnt-propos S il est incontestble que l intégrle de Lebesgue constitue ujourd hui l un des outils les plus performnts pour de nombreuses questions théoriques en Anlyse, il est tout ussi indénible que l intégrle de Riemnn est l outil incontournble dès lors que se pose l question fondmentle du clcul effectif des intégrles ou de leur pproximtion. Le but de cet ouvrge est de présenter de mnière clire et détillée l construction de l intégrle de Riemnn insi que l essentiel des théorèmes permettnt son utilistion prtique. Nous vons essyé d éviter tout formlisme inutile, et l rédction de ce trvil d bord été guidée pr un souci pédgogique. Nous vons constmment recherché l équilibre nécessire entre les points de vue théorique et prtique, et vons veillé à ce que les concepts et les méthodes proposés soient illustrés de nombreux exemples. Chcun des cinq premiers chpitres offre un grnd choix d exercices judicieusement sélectionnés en vue d une bonne ssimiltion des concepts et d une réelle mîtrise des techniques. Le chpitre six est lui entièrement conscré à des problèmes de révision destinés u trvil d pprofondissement et de synthèse en vue des exmens et des concours. Enfin, pour l commodité du lecteur, une nnexe regroupe les rppels utiles pour un ccès rpide et efficce u contenu de cet ouvrge. Tous les exercices et problèmes proposés sont corrigés en détil et nous vons systémtiquement privilégié l solution méthodique et risonnble que peut découvrir l étudint lui-même, à une éventuelle solution mirculeuse. Pour cel, nous vons tenu le plus grnd compte des nombreuses remrques et suggestions formulées pr les étudints lors des sénces de trvux dirigés et de préprtion ux concours pendnt lesquelles un grnd nombre de ces exercices et problèmes ont été ssidûment et ctivement recherchés. Cet ouvrge bénéficie d une expérience de plusieurs nnées en théorie de l intégrtion à l Université d Angers et, à l instr de mes collègues universitires et professeurs en clsses préprtoires, je suis profondé-

4 iv INTÉGRATION ment convincu que l mîtrise à l fois conceptuelle et technique de l intégrle de Riemnn est un tout essentiel pour l ccès ux nombreux chmps d pplictions de l Anlyse mthémtique insi qu à l préprtion du terrin en vue d utres théories, notmment celle de Lebesgue. Le contenu de ce livre couvre le progrmme d intégrtion des clsses préprtoires ux grndes écoles scientifiques insi que celui correspondnt ux niveux L1 et L2 des Fcultés de Sciences. Pr l diversité des exercices et problèmes qu il propose, cet ouvrge ser églement utile ux cndidts u CAPES et à l grégtion interne. Enfin, ce livre est pourvu d un index détillé permettnt une pproche dptée ux besoins de chque lecteur. C est vec un grnd plisir que j dresse mes remerciements à monsieur Philippe Fuvernier des Édtions Hermnn pour s prfite disponibilité, insi qu u Professeur Ivn Lvllée pour ses précieux conseils. Je dédie ce trvil à Frédérique, Krim, Mourd et Nessim.

5 Chpitre 1 Intégrle de Riemnn Dns une lettre à Leibniz 1 dtée du 12 février 1695, Jen Bernoulli 2 écrit : J i été le premier à réfléchir à l inverse de votre clcul différentiel que j i désigné ussi du nom de clcul intégrl. Mis c est Riemnn 3 qui, dns s thèse de doctort soutenue en 1854, élbore l théorie rigoureuse de ce qu on ppelle ujourd hui l intégrle de Riemnn. Ses trvux générlisent de fçon décisive ceux de Cuchy 4, uteur dns les nnées 1820 d une première théorie essentiellement rigoureuse de l intégrtion des fonctions continues. Les deux grnds précurseurs de l théorie de l intégrtion u XVIIIe sont incontestblement Newton 5 1. LEIBNIZ Gottfried ( ). Mthémticien et philosophe llemnd. Disciple de Descrtes. Il invent le clcul différentiel en 1676, en même temps que Newton. 2. BERNOULLI Jen ( ). Mthémticien et physicien suisse. Contribu vec son frère Jcques u développement du clcul infinitésiml. Il découvrit le clcul exponentiel et eut ussi l gloire de former l illustre mthémticien et physicien suisse : Leonhrd Euler. 3. RIEMANN Bernhrd ( ). Mthémticien llemnd. Il jet les bses de l géométrie différentielle et ouvrit l voie ux géométries non-euclidiennes et à l théorie de l reltivité générle. On lui doit d importnts trvux sur les intégrles, poursuivnt ceux de Cuchy, qui ont donné entre utres ce qu on ppelle ujourd hui les intégrles de Riemnn. 4. CAUCHY Augustin ( ). Mthémticien frnçis. Il est à l origine de l nlyse moderne : on lui doit notmment l théorie des équtions différentielles et l théorie mécnique de l élsticité. 5. NEWTON Isc ( ). Physicien nglis. Un des plus grnds scientifiques des temps modernes. Apport des contributions mjeures ussi bien en physique qu en mthémtiques. Il entm l étude des fonctions dérivbles et de leurs dérivées 1

6 2 INTÉGRATION qui développ sous le nom de fluxion une pproche systémtique de l réciproque de l dérivtion, et Leibniz pour son pproche géométrique fondée sur le clcul d ire. Nottions : Dns tout ce chpitre, on se plcer sur un intervlle compct (c est-à-dire fermé et borné) [, b] de R, non vide ni réduit à un point ( < < b < + ). Pour l clrté de l exposé, nous considèrerons essentiellement les fonctions à numérique, c est-à-dire les fonctions à vleurs réelles. Nous expliquerons l démrche à suivre pour les fonctions à vleurs complexes, et plus générlement pour les fonctions à vleurs dns un espce vectoriel normé complet quelconque. 1.1 Intégrle des fonctions en esclier Espce vectoriel des fonctions en esclier Définition On ppelle subdivision de l intervlle compct [, b] toute suite finie et strictement croissnte de points de [, b], dont le premier terme est, et le dernier b. Une subdivision de [, b] ser notée σ := ( 0 =, 1,, n = b). À chque subdivision σ de [, b] nous ssocierons l ensemble S constitué pr les points de l suite σ. Si σ et σ sont deux subdivisions de [, b], on dit que σ est plus fine que σ si les ensembles S, S respectivement ssociés à σ, σ, vérifient l inclusion S S. En d utres termes, l subdivision σ est plus fine que σ si tous les éléments de σ pprtiennent à σ. On note σ σ l subdivision σ dont l ensemble ssocié est l réunion des ensembles ssociés à σ et σ. Définition Une fonction f : [, b] R est dite en esclier s il existe une subdivision ( 0,..., n ) de [, b] et des éléments λ 1,..., λ n et rédige un compte rendu sur les fondements du clcul infinitésiml. Newton fondé l nlyse moderne. En géométrie, il clssifi les cubiques et en donn des trcés corrects vec symptotes, inflexions et points de rebroussement. En physique, ses contributions sont immenses, notmment en optique et en mécnique, vec l mise en plce de s théorie de l ttrction universelle.

7 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 3 de R tels que (1.1) i {1,..., n}, x ] i 1, i [, f(x) = λ i. On dit lors que l subdivision σ est dptée à f. Exemple L fonction x E(x) où E(x) désigne l prtie entière de x, est en esclier sur tout intervlle compct de R. Remrque Une fonction en esclier n est en fit ps spécifiée ux points i de l subdivision σ considérée, et l intégrle I(f, σ) ne dépend donc ps de f en ces points Construction de l intégrle d une fonction en esclier On note E([, b], R) l ensemble des fonctions en esclier sur [, b] à vleurs dns R. Théorème et définition Soient f E([, b], R) et ( i ) 0 i n une subdivision dptée à f. On note λ i l vleur de f sur l intervlle ] i 1, i [ (1 i n). Alors le nombre réel n i=1 λ i ( i i 1 ) ne dépend ps de l subdivision dptée à f considérée. On l ppelle l intégrle de f sur [, b], et on le note f(x) dx. Démonstrtion : Notons σ l subdivision ( i ) 0 i n et posons I(f, σ) := n λ i ( i i 1 ). i=1 Soit σ l subdivision de [, b] obtenue en joutnt un seul élément c à σ, distinct des éléments de σ. Il existe un entier j {1,..., n} tel que c ] j 1, j [. L fonction f est constnte et égle à λ j sur ] j 1, j [ donc sur ] j 1, c[ et sur ]c, j [. L subdivision σ est donc dptée à f et on λ j ( j j 1 ) = λ j (c j 1 ) + λ j ( j c). On en déduit que I(f, σ) = I(f, σ ). Il en résulte pr récurrence sur le nombre fini d éléments de [, b] à djoindre à σ, que I(f, σ) = I(f, σ ) si σ est plus fine que σ.

8 4 INTÉGRATION Enfin, si σ et σ sont deux subdivisions quelconques dptées à l fonction f, les deux nombres réels I(f, σ) et I(f, σ ) sont l un et l utre égux à I(f, σ σ ). Remrques ) Une conséquence immédite de l définition est que si f est une fonction nulle en dehors d un nombre fini de points de [, b], lors f est en esclier sur [, b] et f(x) dx = 0. b) Si f et g sont deux fonctions en esclier égles sur [, b] suf peutêtre en un nombre fini de points, lors f(x) dx = g(x) dx. c) Enfin, il découle clirement de l définition que l intégrle d une fonction en esclier réelle positive est positive. Lemme Muni des lois usuelles, l ensemble E([, b], R) est un R- sous-espce vectoriel de l espce des fonctions de [, b] dns R, et l ppliction f f(x) dx de E([, b], R) dns R est linéire. Démonstrtion : Soient α, β deux sclires et f, g deux éléments de E([, b], R). Soient σ et σ deux subdivisions de [, b] dptées respectivement à f et à g. Alors, l subdivision σ σ est dptée à l fois à f et à g, et αf + βg est constnte sur chque intervlle ouvert de σ σ, donc αf + βg est en esclier sur [, b]. En clculnt l intégrle de αf + βg u moyen de σ σ, on obtient ussitôt (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. D où le lemme. On munit E([, b], R) de l norme uniforme définie pr f := sup f(x) x [,b] où le sup est nécessirement fini cr f ne prend qu un nombre fini de vleurs.

9 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 5 Proposition ) L forme linéire ( ) E([, b], R), R est continue. f 2) Si f, g E([, b], R), lors : f g 3) Si f E([, b], R), lors f E([, b], R + ) et f(x) dx f(x) dx. Démonstrtion : f(x) dx f(x) dx 1) Pour tout f E([, b], R), on f(x) dx (b ) f g(x) dx. ce qui montre que l forme linéire considérée est continue en 0, donc continue en tout point de E([, b], R). 2) Pr linérité, il suffit de montrer que (g(x) f(x)) dx 0, ce qui découle imméditement du point c) des remrques ) Soit σ = ( i ) 0 i n une subdivision de [, b] dptée à l fonction f telle que f soit constnte et égle à λ i sur chque intervlle ] i 1, i [ (1 i n). Alors σ est églement dptée à f et on n n λ i ( i i 1 ) λ i i i 1, i=1 d où le résultt nnoncé. Proposition Soient f : [, b] R une fonction en esclier et c un élément de ], b[. Alors l restriction de f à [, c] (resp. [c, b]) est une fonction en esclier sur [, c] (resp. [c, b]) et on f(x) dx = c i=1 f(x) dx + c f(x) dx. Démonstrtion : Il suffit, pour obtenir le résultt, de considérer une subdivision dptée à f contennt le point c.

10 6 INTÉGRATION 1.2 Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Nous llons étendre l notion d intégrle à une clsse beucoup plus générle que celle des fonctions en esclier ; et cette extension ser guidée pr le souci de conserver, pour ces nouvelles fonctions, les propriétés cquises u prgrphe précédent pour l intégrle des fonctions en esclier. Définition Une fonction f : [, b] R est dite intégrble u sens de Riemnn (ou Riemnn-intégrble) sur [, b] si, quel que soit le nombre réel ε > 0, il existe une couple (g, h) de fonctions en esclier sur [, b] vérifint : g f h sur [, b] et [h(x) g(x)] dx ε. Remrques ) De cette définition il résulte que toute fonction intégrble u sens de Riemnn sur [, b] est nécessiremnt bornée sur ce segment puisque les fonctions en esclier sont elles-mêmes bornées. 2) Il est fcile de voir que f : [, b] R est intégrble si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions en esclier ϕ et µ sur [, b] telles que x [, b], f(x) ϕ(x) µ(x) et µ(x) dx ε. En effet, donnons-nous ε > 0. S il existe g et h en esclier sur [, b] vérifint g f h et [h(x) g(x)] dx ε, lors il suffit de prendre ϕ = (g + h)/2 et µ = (h g)/2. Réciproquement, si ϕ et µ sont en esclier sur [, b] et vérifient f ϕ µ et µ(x) dx ε, il suffit de prendre g = (ϕ µ)/2 et h = ϕ + µ)/2. N.B. Comme il ne ser question dns ce chpitre d ucune utre intégrle que celle de Riemnn, nous dirons intégrble u lieu de intégrble u sens de Riemnn. À chque fonction f définie sur [, b], ssocions les deux ensembles suivnts : E (f) := { g E([, b], R) ; g f sur [, b] }

11 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 7 et Posons et E + (f) := { h E([, b], R) ; f h sur [, b] }. A (f) := A + (f) := { { } g(x) dx ; g E (f) } h(x) dx ; h E + (f). Quels que soient u A (f) et v A + (f), on évidemment u v. D utre prt, les ensembles E (f) et E + (f) sont tous deux non vides si et seulement si l fonction f est bornée. Dns ce cs, l ensemble A (f) est mjoré pr tout élément de A + (f) et possède donc une borne supérieure finie, que nous notons I (f) ; de même l ensemble A + (f) est minoré pr tout élément de A (f) et possède donc une borne inférieure finie, que nous notons I + (f). On lors u I (f) I + (f) v pour tout u A (f) et tout v A + (f). Soit lors ε > 0 rbitrirement donné. Si f est intégrble, il existe des éléments u := g(x) dx A (f) et v := h(x) dx A + (f) vérifint v u < ε ; on donc l églité I (f) = I + (f). Réciproquement, si on I (f) = I + (f), les propriétés des bornes supérieure et inférieure entrînent l existence d un élément u A (f) et d un élément v A + (f) vérifint u > I (f) ε 2 et v < I + (f) + ε 2, d où v u < ε, ce qui prouve que f est intégrble. On donc étbli le résultt suivnt. Théorème À chque fonction numérique f définie et bornée sur un intervlle compct [, b] de R, ssocions l ensemble E + (f) (resp.

12 8 INTÉGRATION E (f)) constitué pr les fonctions numériques en esclier mjornt (resp. minornt) f sur [, b] ; et posons I (f) := sup g E (f) g(x) dx et I + (f) := inf h E + (f) h(x) dx. Alors, pour que f soit intégrble sur [, b] il fut et il suffit que l on it I (f) = I + (f). Remrque Si f est en esclier, les ensembles E + (f) et E (f) ont en commun l élément f. On lors I (f) = I + (f) = f(x) dx. L fonction f est donc intégrble, et son intégrle est égle u nombre I (f) = I + (f). À chque fonction intégrble f : [, b] R, ssocions le nombre I (f) = I + (f). D près l remrque précédente, l fonction insi définie constitue un prolongement de l fonction I : f f(x) dx définie sur l ensemble des fonctions en esclier sur [, b]. On peut donc poser l définition suivnte. Définition L intégrle d une fonction intégrble f sur [, b] est le nombre réel I (f) = I + (f). On le note f(x) dx. À prtir de l définition, nous llons déduire très fcilement une première propriété fondmentle de l intégrle. Proposition Si f est une fonction positive et intégrble sur l intervlle [, b], son intégrle est positive (éventuellement nulle). Démonstrtion : Puisque f est positive sur [, b], l fonction nulle pprtient à l ensemble E (f), donc 0 A (f), et on I (f) := sup A (f) 0, d où le résultt nnoncé.

13 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn Principux exemples de fonctions intégrbles Proposition Toute fonction f numérique monotone sur un intervlle compct [, b] est intégrble. Démonstrtion : Pour fixer les idées, supposons f croissnte et considérons une subdivision de [, b] de l forme (, + h, + 2h,..., + nh), l entier n N étnt quelconque, et le nombre réel h défini pr + nh = b, c est-à-dire h = (b )/n. Nous définissons deux fonctions g, h en esclier sur [, b] en posnt, pour tout x pprtennt à [ + kh, + (k + 1)h[ (k = 0, 1,..., n 1) : g(x) = f( + kh), h(x) = f( + (k + 1)h) et g(b) = h(b) = f(b). On lors et g(x) f(x) h(x) pour tout x [, b], n 1 g(x) dx = h f( + kh) ; k=0 h(x) dx = h n f( + kh), k=1 d où [h(x) g(x)] dx = h[f( + nh) f()] = b n [f(b) f()]; et pour chque ε > 0 donné, on peut choisir n ssez grnd de mnière à voir b [f(b) f()] < ε; n d où le résultt désiré. Proposition Toute fonction f continue sur un intervlle compct [, b] est intégrble.

14 10 INTÉGRATION Démonstrtion : L intervlle [, b] étnt compct, on sit, d près le théorème de Heine 6 (voir théorème A.2.8 de l nnexe) que l fonction f est uniformément continue sur cet intervlle. Quel que soit le nombre ε > 0, il existe donc un nombre η > 0 tel que, pour tous x, y [, b] vérifint y x < η, on it f(y) f(x) < ε. Considérons lors une subdivision ( = 0, 1,..., n = b) de [, b], de ps inférieur à η, c est-à-dire telle que le plus grnd des nombres i i 1 (i = 1, 2,..., n) soit u plus égl à η. On obtient deux fonctions g, h, en esclier sur [, b] en posnt g( i ) = h( i ) = f( i ) i = 0, 1,..., n et g(x) = f( i ) ε, h(x) = f( i ) + ε pour tout x ] i 1, i [ (i = 1, 2,..., n). Or l subdivision ( i ) 0 i n été choisie de mnière que l on it f(x) f( i < ε pour tout x élément de [ i 1, i ]. On donc, pour tout x [, b] : et [h(x) g(x)] dx = g(x) f(x) h(x) 2 ε dx = 2 ε (b ). Le nombre ε > 0 étnt rbitrire, on conclut que l fonction f est intégrble sur [, b]. On remrque que dns cette démonstrtion nous vons seulement utilisé le fit que l fonction f pouvit être pprochée, à moins de ε près, pr des fonctions en esclier. Cette remrque conduit à une générlistion importnte : celle de fonction réglée. Définition Une fonction f : [, b] R est dite réglée si, quel que soit le nombre ε > 0, il existe une fonction en esclier ϕ sur [, b] vérifint : x [, b], f(x) ϕ(x) ε. 6. HEINE Edourd ( ). Mthémticien llemnd. Célèbre pr ses trvux sur les fonctions spéciles et l nlyse réelle.

15 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 11 En donnnt à ε une suite de vleurs tendnt vers zéro, on voit imméditement que cette définition équivut à l suivnte. Définition Une fonction f : [, b] R est dite réglée s il existe une suite de fonctions en esclier de [, b] dns R, convergent uniformément vers f sur [, b]. Remrque On dispose d une crctéristion très utile des fonctions réglées (voir [1] p. 424) : pour qu une fonction f : [, b] R soit réglée, il fut et il suffit que f dmette une limite à droite en tout point de [, b[ et une limite à guche en tout point de ], b]. Théorème Toute fonction réglée sur un intervlle compct [, b] est intégrble. Démonstrtion : f est limite uniforme sur [, b] d une suite (f n ) de fonctions en esclier. Soient ε > 0 et n 0 N tels que sup f n0 (x) f(x) x [,b] ε 2 (b ). ε Notons u le fonction égle à 2 (b ) sur [, b], et posons h = f n 0 + u et g = f n0 u. Les fonctions g et h sont en esclier sur [, b] et vérifient g f h et On en conclut que f est intégrble sur [, b]. [h(x) g(x)] dx = ε. Définition Une fonction f : [, b] R est dite continue pr morceux sur [, b] s il existe une subdivision ( 0, 1,..., n ) de [, b] telle que, pour tout i {0,..., n 1}, f est continue sur ] i, i+1 [ et dmet une limite finie à droite u point i et une limite finie à guche u point i+1. On vérifie sns difficulté (voir [1]) que toute fonction pr morceux est réglée. On en déduit ussitôt le résultt importnt suivnt.

16 12 INTÉGRATION Corollire Toute fonction continue pr morceux sur un intervlle compct [, b] est intégrble. Définition Soient I un intervlle non vide de R et f une fonction réelle définie sur cet intervlle. On dit que f est loclement intégrble sur I si f est intégrble sur tout segment inclus dns I. Exemple Toute fonction continue sur I est loclement intégrble ; toute fonction monotone sur I est loclement intégrble. Le résultt qui suit est d une grnde utilité en prtique. Proposition Soit f : [, b] R une fonction loclement intégrble sur ], b[ et bornée sur [, b]. Alors f est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : Soit M > 0 tel que f(x) M pour tout x [, b]. Soit ε > 0 un réel suffismment petit pour que ε < (b )/2. On sit que f est intégrble sur [ + ε, b ε], donc il existe deux fonctions en esclier ϕ et µ sur [ + ε, b ε] telles que x [ + ε, b ε], f(x) ϕ(x) µ(x) Considérons lors les fonctions définies sur [, b] pr et ε +ε µ(x) dx ε. ψ(x) := { 0 si x [, + ε] ]b ε, b] ϕ(x) si x [ + ε, b ε] et η(x) := { M si x [, + ε] ]b ε, b] µ(x) si x [ + ε, b ε]. Les fonctions ψ et η sont en esclier et vérifient f ψ η sur [, b]. De plus, +ε ε η(x) dx = M dx + µ(x) dx + M dx +ε b ε M ε + ε + M ε = (2M + 1) ε. Ceci prouve que f est intégrble sur [, b].

17 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 13 Corollire Si f : [, b] R est une fonction bornée sur [, b] et continue sur l intervlle ouvert ], b[, lors f est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : Quels que soient α, β vérifint < α < β < b, l fonction f est continue sur l intervlle compct [α, β], donc intégrble sur cet intervlle. Les deux résultts précédents vont nous permettre d obtenir un exemple de fonction intégrble qui n est ps réglée. Exemple (Fonction intégrble non réglée) Soit f l fonction définie sur [ 1, 1] pr { sin(1/x) si x 0 f(x) = 0 si x = 0. Cette fonction est intégrble cr elle est mnifestement bornée et dmet l origine comme seule discontinuité. Cependnt, cette fonction n est ps réglée puisque les limites à droite et à guche de zéro n existent ps. En effet, l suite ( n ) n N de terme générl n = 1 π 2 + nπ est à vleurs dns ]0, 1[ et converge vers 0. Comme f( n ) = ( 1) n pour tout n, l suite (f( n )) n N diverge, donc f n dmet ps de limite à droite en 0. Donc f n est ps réglée sur [0, 1]. Exemple (Fonction non intégrble). Soit f l fonction définie sur [, b] pr { 0 si x / Q f(x) = 1 si x Q. Désignons pr (g, h) un couple quelconque de fonctions en esclier sur [, b], vérifint g(x) f(x) h(x) pour tout x [, b] ; et soit σ une subdivision de [, b] dptée à l fois à g et à h. Chque intervlle de σ contient à son intérieur des vleurs rtionnelles et des vleurs irrtionnelles. À l intérieur de tout intervlle de σ on donc g(x) 0 et h(x) 1, d où [h(x) g(x)] dx b.

18 14 INTÉGRATION L fonction f n est donc ps intégrble. Le résultt qui suit permet de rmener l démonstrtion de propriétés des fonctions intégrbles quelconques à celles de propriétés de fonctions en esclier ou de fonctions continues. Théorème Soit f une fonction intégrble sur [, b]. Quel que soit le nombre ε > 0, il existe une fonction continue g : [, b] R telle que f(x) g(x) dx ε. Démonstrtion : Pour chque nombre ε > 0 fixé, il existe une fonction en esclier ϕ : [, b] R vérifint f(x) ϕ(x) dx ε. Or, si ϕ n est ps continue, on peut construire une fonction continue g : [, b] R vérifint g(x) ϕ(x) dx ε. En effet, désignons pr 1 < 2 <... < p les points de discontinuité de ϕ et pr M un mjornt de ϕ(x) sur [, b]. En modifint u besoin l vleur de ϕ ux seuls points et b, on peut supposer ϕ continue en ces points ; et on peut lors choisir un nombre h > 0, inférieur u plus petit des qutre nombres : ε 2pM, inf ( i i 1 ), 1, b p. 2 i p Les intervlles J i = [ i h/2, i + h/2] sont disjoints et contenus dns [, b] ; et on obtient l fonction continue g cherchée en remplçnt ϕ sur chcun des intervlles J i pr l fonction ffine prennt les mêmes vleurs que ϕ ux extrémités de J i : en effet g est ffine pr morceux, elle vérifie g(x) ϕ(x) 2 M sur l réunion J des p intervlles J i, et g(x) = ϕ(x) sur [, b] \ J ; d où g(x) ϕ(x) dx 2pMh ε,

19 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn 15 ce qui chève l démonstrtion du théorème Interpréttion géométrique de l intégrle L théorie de l intégrtion est issue de l nécessité prtique de clculer l ire d une surfce. Archimède 7 svit déjà évluer l ire d une surfce délimitée pr une prbole et une droite. Ses clculs furent repris et développés u neuvième siècle pr les svnts rbes. Près de neuf siècles plus trd, Newton clcul l ire d une courbe y = f(x) en inversnt les opértions de dérivtion (ujourd hui on dirit : en utilisnt l notion de primitive). À l inverse, Leibniz interprét les ires comme des sommes de rectngles infinitésimux. Si f est une fonction positive en esclier sur [, b], l ensemble pln D f défini pr D f := {(x, y) R 2 ; x b, 0 y f(x)} est une réunion de rectngles ; et l intégrle de f sur [, b] est égle à l somme des ires de ces rectngles. On peut donc convenir de dire que l intégrle f(x) dx est égle à l ire de l ensemble D f. Lorsque nous urons précisé l notion intuitive d ire u moyen d intégrles doubles (voir chpitre 5), nous verrons que cette églité reste vrie lorsque f est une fonction positive intégrble quelconque sur [, b]. Nous dmettrons provisoirement ce résultt, ce qui revient à poser l définition suivnte. Définition Soit D un domine pln défini pr des inéglités de l forme : x b, 0 y f(x) où f est une fonction positive intégrble sur l intervlle [, b]. On ppelle l ire de D, le nombre f(x) dx. 7. ARCHIMÈDE de Syrcuse. Né vers 287 vnt J.-C. et mort en 212 vnt J.-C. Mthémticien, physicien et ingénieur grec, il est considéré comme l un des principux scientifiques de l Antiquité. Ses contributions furent nombreuses, vriées et profondes. Il notmment clculé l ire sous un rc de prbole à l ide de l somme d une série et donné un encdrement de π d une remrquble précision. Il églement obtenu des formules pour les volumes des surfces de révolution insi qu un système ingénieux pour l expression de très grnd nombres.

20 16 INTÉGRATION Le chpitre 5 ser conscré ux intégrles de Riemnn multiples et nous pourrons en prticulier y justifier l définition ci-dessus et l étendre à des domines plus générux. 1.3 Propriétés générles de l intégrle de Riemnn Proposition (Reltion de Chsles 8 ) Si f est une fonction intégrble sur [, b] et si c est un point dns ], b[, lors f est intégrble sur [, c] et sur [c, b], et on f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Démonstrtion : Nous vons besoin ici d intégrer sur des intervlles différents, nous llons donc commencer pr préciser quelques nottions. Pour tout intervlle compct [α, β] de R, notons { β } I (f, [α, β]) := sup g(x) dx ; g E([α, β], R), g f sur [α, β] et { β I + (f, [α, β]) := inf Posons églement : f 1 = f [,c] et f 2 = f [c,b]. α α } h(x) dx ; h E([α, β], R), h f sur [α, β]. Soient ϕ, ψ E([, b], R) telles que ϕ f ψ sur [, b] ; et soient ϕ 1 := ϕ [,c], ψ 1 := ψ [,c], ϕ 2 := ϕ [c,b] et ψ 2 := ψ [c,b]. D près l proposition , on De plus, ϕ(x) dx = c ϕ 1 (x) dx + c ϕ 2 (x) dx. ϕ(x) dx I (f 1, [, c]) + I (f 2, [c, b]). 8. CHASLES Michel ( ). Mthémticien frnçis. On lui doit l notion de birpport insi que de nombreux trvux sur les homogrphies et l géométrie projective.

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008 Clcul intégrl. 15 décembre 2008 2 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 7 1.1 Motivtions................................ 7 1.1.1 Cs des fonctions

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

EPUUniversité de Tours

EPUUniversité de Tours DI 3ème nnée EPUUniversité de Tours Déprtement Informtique 007-008 ANALYSE NUMERIQUE Chpitre 3 Intégrtion numérique résumé du cours 1 Introduction Il s git d une mniére générle de déterminer, le mieux

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

mémento de mathématiques pour les ECE1

mémento de mathématiques pour les ECE1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rppels ensemblistes............................. 5 1.1.1 Opértions ensemblistes....................... 5 1.1.2 Bijections............................... 7 1.2

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque MP

Intégration sur un intervalle quelconque MP ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION UNIVERSITE PRIS PNTHEON SORBONNE UFR DE GESTION MTHEMTIQUES PPLIQUEES L ECONOMIE ET L GESTION LICENCE nnée Cours de Thierry LFY TRVUX DIRIGES semestre 7-8 Thème n : Rppels Eercice Déterminez l ensemble

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Les règles de Descartes et de Budan Fourier

Les règles de Descartes et de Budan Fourier Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad Cours de Mthémtiques L1 Résumé des chpitres Hssn Emmird Université de Poitiers Version 29/21 TABLE DES MATIÈRES 3 Tble des mtières 1 Nombres complexes 5 1.1 Le corps C.....................................

Plus en détail

DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours

DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 1 DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Toutes les fiches de cours distribuées ux étudints pendnt l nnée

Plus en détail

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe Continuité - Limites Asymptotes à une cre Continuité - Théorème des vleurs intermédiires Notion de continuité Grphiquement, on peut reconnître une fonction continue sur un intervlle I pr le fit que le

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mthémtiques TS Lycée Henri IV Tble des mtières I Les nombres complexes 7 Rcines n ième d un nombre complexe non nul 7. Définition.................................................... 7.2 Représenttion

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte.

Plus en détail

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant.

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant. Annexe A MESSAGE TYPE 8. COMMENTAIRES DES DEFINITIONS DE L ANNEXE NOTIONS ET METHODES DE MESURE 1. TERRAIN DE RÉFÉRENCE 1.1 Terrin de référence Le terrin de référence équivut u terrin nturel. S il ne peut

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution .8 Aperçu de l intégrle.8 APERÇU DE L INTÉGRALE Estimtion de l ire d une région curviligne Erreur d pproimtion Aire ecte d une région curviligne 4 Intégrle définie 5 Intégrle définie négtive 6 Propriétés

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

COURS DE MATHÉMATIQUES

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES Terminle S Vlère BONNET vlere.bonnet@gmil.com) 9 mi Lycée PONTUS DE TYARD rue des Gillrdons 7 CHALON SUR SAÔNE Tél. : ) 85 46 85 4 Fx : ) 85 46 85 59 FRANCE ii LYCÉE PONTUS DE TYARD

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Progrmmes des clsses préprtoires ux Grndes Ecoles Filière : scientifique Voie : Mthémtiques et physique (MP) Discipline : Mthémtiques Seconde nnée Clsse préprtoire MP Progrmme de mthémtiques Tble des mtières

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures!

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures! SESSION 2013 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " INFORMATIQUE Durée : 3 heures " N.B. : Le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt

Plus en détail

Savoir-faire expérimentaux.

Savoir-faire expérimentaux. LYCEE LOUIS DE CORMONTAIGNE. 12 Plce Cormontigne BP 70624. 57010 METZ Cedex 1 Tél.: 03 87 31 85 31 Fx : 03 87 31 85 36 Sciences Appliquées. Svoir-fire expérimentux.. Référentiel.. :. S5 Sciences. Appliquées......

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

MATHEMATIQUES GENERALES partim A

MATHEMATIQUES GENERALES partim A Fculté des Sciences MATHEMATIQUES GENERALES prtim A Première nnée de bchelier en Biologie, Chimie, Géogrphie, Géologie, Physique et Informtique, Philosophie Année cdémique 04-05 Frnçoise BASTIN Introduction

Plus en détail

Calcul de la rugosité surfacique

Calcul de la rugosité surfacique VI èmes Journées d Etudes Techniques 200 The Interntionl congress for pplied mechnics L mécnique et les mtériux, moteurs du développement durble du 05 u 07 mi 200, Mrrkech Mroc Clcul de l rugosité surfcique

Plus en détail

Exercices Mathématiques Discrètes : Relations

Exercices Mathématiques Discrètes : Relations Exeries Mthémtiques Disrètes : Reltions Reltions inires R1 Soient A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {0, 1, 2, 3} deux ensemles. Erire expliitement les ouples (, ) R où (, ) R si et seulement si : =, + = 4,

Plus en détail

Option informatique :

Option informatique : Option formtique : l deuxième nnée Lurent Chéno été 1996 Lycée Louis-le-Grnd, Pris Tle des mtières I Arres 13 1 Arres ires 15 1.1 Défitions et nottions... 15 1.1.1 Défition formelle d un rre ire... 15

Plus en détail

6 apprentissages supplémentaires

6 apprentissages supplémentaires 6 pprentissges supplémentires pour être polybâtisseur étnchéité couverture construction de fçdes Construction d échfudges systèmes de protection solire Ferblntier T crrière! Polybâtisseur des métiers vec

Plus en détail

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels Etb=MK2, Timbre=G430, TimbreDnsAdresse=Vri, Version=W2000/Chrte7, VersionTrvil=W2000/Chrte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Déprtement des Comptes Ntionux Division des Comptes Trimestriels

Plus en détail

École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Local B-2500 514-396-8938 Site internet : http://www.etsmtl.ca/ MAT145.

École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Local B-2500 514-396-8938 Site internet : http://www.etsmtl.ca/ MAT145. École de technologie supérieure Service des enseignements généru Locl B-500 54-96-898 Site internet : http://www.etsmtl.c/ MAT45 CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL NOTES DE COURS e PARTIE PAR GENEVIÈVE SAVARD,

Plus en détail

Automates temporisés. Amal El Fallah Seghrouchni Amal.Elfallah@lip6.fr

Automates temporisés. Amal El Fallah Seghrouchni Amal.Elfallah@lip6.fr Automtes temporisés Aml El Fllh Seghrouchni Aml.Elfllh@lip6.fr Pln Introduction Définition d un utomte temporisé Composition d utomtes temporisés Automtes hybrides Conclusion Le problème à résoudre monde

Plus en détail

Menu outils de navigation mennavi.htm

Menu outils de navigation mennavi.htm Pge de lncement index.htm Voici l représenttion schémtique de l structure du site Wllonie, toutes les crtes en mins... Pge d ccueil win.htm nevs générl menwin.htm À propos de l structure des données :

Plus en détail

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE 1GEN ciences et Techniques Industrielles Pge 1 sur 7 Automtique et Informtiques Appliquées Génie Énergétique Première 1 - LA VARIABLE BINAIRE L électrotechnique, l électronique et l mécnique étudient et

Plus en détail

Site web de réservations de voyages mettant en relation des clients voyageurs, des prestataires de services leur gestionnaire de

Site web de réservations de voyages mettant en relation des clients voyageurs, des prestataires de services leur gestionnaire de Usger Gérer session utilisteur Client Système comptble Client fidélisé Gérer Suivi Rés Administrteur site de réservtion Gestionnire fidélité Gérer Fidélité Gestionnire Hotels Gérer Hotels Site web de réservtions

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques Années 2004-2005-2006 LM 363 THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Cours de P. MAZET Edition 2004-2005-2006 Table des matières Table des matières

Plus en détail

Strasbourg, 12 novembre 2013 (projet) T-CY (2013) 26. Comité de la Convention Cybercriminalité (T-CY)

Strasbourg, 12 novembre 2013 (projet) T-CY (2013) 26. Comité de la Convention Cybercriminalité (T-CY) www.coe.int/tcy Strsourg, 12 novemre 2013 (projet) T-CY (2013) 26 Comité de l Convention Cyercriminlité (T-CY) Note d orienttion n 8 du T-CY Otention, dns le cdre d une enquête pénle, de données reltives

Plus en détail

2.1 L'automate minimal

2.1 L'automate minimal CH.2 Minimistion 2.1 L'utomte miniml 2.2 L'lgorithme de minimistion Automtes ch2 1 2.1 L'utomte miniml Le lngge L définit sur Σ* l reltion d'équivlence R L : x R L y ssi ( z, xz L yz L). L'AFD M définit

Plus en détail

Systèmes logiques combinatoires

Systèmes logiques combinatoires «'enseignement devrit être insi : celui qui le reçoit le recueille comme un don inestimle mis jmis comme une contrinte pénile.» Alert Einstein Systèmes logiques comintoires Définitions. es vriles inires

Plus en détail

Le Plancher Rayonnant Surfacique à faible inertie

Le Plancher Rayonnant Surfacique à faible inertie Le Plncher Ryonnnt Surfcique à file inertie Vue en coupe mm *4 mm 0 5 4 * Selon le type d isolnt et selon le niveu d isoltion du plncher G r n t 0 i e ns Avis technique CSTB 4/-55 Grntie 0 ns GAN M34-0-058/059

Plus en détail

Systèmes de détection Exemples académiques & commerciaux

Systèmes de détection Exemples académiques & commerciaux Systèmes de détection Exemples cdémiques & commerciux Système de détection: Propgtion de logiciels mlveillnts Exemple I: MIT, ICSI & Consentry Jen-Mrc Robert, ETS Protection contre les mences - Détection

Plus en détail

AMETRA TRAVAIL SUR ECRAN DE VISUALISATION. Santé au travail. Guide destiné aux personnels exposés

AMETRA TRAVAIL SUR ECRAN DE VISUALISATION. Santé au travail. Guide destiné aux personnels exposés AMETRA Snté u trvil TRAVAIL SUR ECRAN DE VISUALISATION Guide destiné ux personnels exposés IMPLANTATION GÉNÉRALE Norme NF X 35-109 Les limites cceptbles du port mnuel de chrges pr une personne : Le slrié,

Plus en détail

edatenq est une application qui permet aux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclarations statistiques par internet.

edatenq est une application qui permet aux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclarations statistiques par internet. Sttistique mensuelle tourisme et hôtellerie Introduction edatenq est une ppliction qui permet ux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclrtions sttistiques pr internet. Il s'git d'une ppliction

Plus en détail

Calibration absolue par la mesure du faisceau direct

Calibration absolue par la mesure du faisceau direct DNPA Clibrtion 16-01-04 1 Clibrtion bsolue pr l mesure du fisceu direct 1- Introduction Les différentes méthodes permettnt de fire des mesures bsolues en diffusion de neutrons ux petits ngles (DNPA) sont

Plus en détail

Mathématiques discrètes Chapitre 4 : relations binaires

Mathématiques discrètes Chapitre 4 : relations binaires U.P.S. I.U.T. A, Déprtement Informtique Année 2009-2010 Mthémtiques isrètes Chpitre 4 : reltions inires 1. Générlités Définition Soient E 1, E 2,...E n es ensemles. Une reltion n-ire est l onnée un sous-ensemle

Plus en détail

P hotographies aériennes. Photographies aériennes actuelles. La BD ORTHO de l IGN. Les photographies «satellitales»

P hotographies aériennes. Photographies aériennes actuelles. La BD ORTHO de l IGN. Les photographies «satellitales» P hotogrphies ériennes Pr rpport ux crtes, les photogrphies ériennes pportent deux vntges mjeurs : leur mise à jour est eucoup plus fréquente ; leur possiilité d nlyse est ien supérieure : on distingue

Plus en détail

Devoir de physique-chimie n 4bis (2H)

Devoir de physique-chimie n 4bis (2H) TS jn 2014 Devoir de physique-chimie n 4bis (2H) Nom:...... LES EXERIES SNT INDEPENDANTS ALULATRIE AUTRISEE PHYSIQUE : ETILE BINAIRE /20 1. Le télescope 8 Les 3 prties sont indépendntes. Document 1 : L

Plus en détail

Analyse statique et domaines abstraits symboliques

Analyse statique et domaines abstraits symboliques Anlyse sttique et domines strits symoliques Mémoire d hilittion à diriger des recherches Lurent Muorgne Hilittion soutenue le 12 février 2007 à l Université Pris-Duphine Jury : Ptrick Cousot (rpporteur)

Plus en détail

Ludovic LOPES. Lycée Léonard de Vinci - 62228 Calais Cedex

Ludovic LOPES. Lycée Léonard de Vinci - 62228 Calais Cedex U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1 Méthode de l réction prépondérnte : proposition d une pproche quntittive systémtisée pr Lycée Léonrd de Vinci - 62228 Clis

Plus en détail

Chapitre 2 Les automates finis

Chapitre 2 Les automates finis Chpitre 2 Les utomtes finis 28 2.1 Introduction Automtes finis : première modélistion de l notion de procédure effective.(ont ussi d utres pplictions). Dérivtion de l notion d utomte fini de celle de progrmme

Plus en détail

TOUT SUR LE TRIANGLE

TOUT SUR LE TRIANGLE PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

La notion d intégrale dans l enseignement des mathématiques au lycée : une étude comparative entre la France et le Vietnam

La notion d intégrale dans l enseignement des mathématiques au lycée : une étude comparative entre la France et le Vietnam L notion d intégrle dns l enseignement des mthémtiques u lycée : une étude comprtive entre l Frnce et le Vietnm Cong Khnh Trn Luong To cite this version: Cong Khnh Trn Luong. L notion d intégrle dns l

Plus en détail

Table des matières. Cristallographie. S.Boukaddid Cristallographie MP2

Table des matières. Cristallographie. S.Boukaddid Cristallographie MP2 S.Boukddid Cristllogrphie MP Cristllogrphie Tble des mtières 1 Bses de l cristllogrphie 1.1 Définitions....................................... 1. Crctéristiques des réseux cristllins......................

Plus en détail

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3)

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3) Automtes d rbres vec visibilité : rpport de stge de licence (L3) Nicols Perrin ENS de Lyon Mître de stge : Hubert Comon-Lundh - LSV, ENS Cchn Autre encdrnt : Florent Jcquemrd - LSV, ENS Cchn Résumé Mon

Plus en détail

Numara Asset Management Platform

Numara Asset Management Platform Numr Asset Mngement Pltform L Puissnce Tout-en-un L plteforme de gestion de prc informtique Numr Asset Mngement Pltform (NAMP) permet ux services informtiques d ccroître les niveux de service, d méliorer

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

Portes coupe feu EI 2 30 pour tout type de construction

Portes coupe feu EI 2 30 pour tout type de construction L nouvelle génértion de portes coupe feu élégntes Portes coupe feu EI 30 pour tout type de construction L nouvelle génértion de portes métlliques NovoPort Premio devient l référence dns l protection incendie

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV /HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x

Plus en détail

devant l Université de Rennes 1

devant l Université de Rennes 1 N o d ordre: 3708 THÈSE Présentée devnt devnt l Université de Rennes 1 pour otenir le grde de : Docteur de l Université de Rennes 1 Mention Informtique pr Thoms Gzgnire Équipe d ccueil : DistriCom - IRISA

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

CH.1 Automates finis

CH.1 Automates finis CH.1 Automtes finis 1.1 Les utomtes finis déterministes 1.2 Les utomtes finis non déterministes 1. Les utomtes vec -trnsitions 1.4 Les expressions régulières 1.5 L'équivlence des modèles Automtes ch1 1

Plus en détail

Créer des jeux avec GLUP

Créer des jeux avec GLUP Créer des jeux vec GLUP GLUP (générteur ludopédgogique) est un service en ligne du CRDP de l cdémie de Versilles. Il permet de trnsformer des exercices à se de texte en mini-jeux téléchrgeles. Les jeux

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - c E Etude du signe d une eression - igne de + b ( 0) On détermine l vleur de qui nnule + b, uis on lique l règle : "signe de rès le 0". +b b/ + signe de ( ) signe de - igne de + b + c (

Plus en détail

Logiciel Anti-Spyware Enterprise Module

Logiciel Anti-Spyware Enterprise Module Logiciel Anti-Spywre Enterprise Module version 8.0 Guide Qu est-ce qu Anti-Spywre Enterprise Module? McAfee Anti-Spywre Enterprise Module est un module d extension qui permet d étendre les cpcités de détection

Plus en détail