Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales"

Transcription

1 Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin (chez) voila.fr 2. gilles.costantini (chez) bacamaths.net

2 Tableau récapitulatif des exercices indique que cette notion a été abordée dans l exercice F.I. : fonction définie par une intégrale ; I.P.P. : intégration par parties ; E.D. : équations différentielles N Lieu Année ROC F.I. I.P.P. Aires Vol. E.D. Trigo. exp ln Suites Session 2 Liban juin 2 2 Inde avril 2 Session 29 3 Amérique du Nord juin 29 4 Centres étrangers juin 29 5 France juin 29 6 France (sujet initial) juin 29 7 La Réunion juin 29 8 Liban juin 29 9 Polynésie juin 29 Inde avril 29 Nouvelle-Calédonie mars 29 Session 28 2 Antilles-Guyane sept 28 3 France / La Réunion sept 28 4 Polynésie sept 28 5 Centres étrangers juin 28 6 France juin 28 7 La Réunion juin 28 8 Liban juin 28 9 Polynésie juin 28 2 Amérique du Nord mai 28 2 Inde avril 28 Session Antilles-Guyane sept Polynésie sept Amérique du Nord juin Antilles-Guyane juin Asie juin France juin Liban juin Polynésie juin 27 Session 25 3 Asie juin 25 3 La Réunion juin Liban juin Inde avril 25 Session Amérique du Sud nov France sept Polynésie sept Antilles-Guyane juin Polynésie juin 24 F. Demoulin Page

3 N Lieu Année ROC F.I. I.P.P. Aires Vol. E.D. Trigo. exp ln Suites Session 2 39 Polynésie sept 2 4 Inde avril 2 Années 9 4 France juin Asie juin La Réunion 997 Années 8 44 Bordeaux-Caen Nancy-Metz 98 F. Demoulin Page 2

4 Exercice Liban, juin 2 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : e = ; pour tous réels x et y, e x e y = e x+y.. Démontrer que, pour tout réel x, e x = e x. 2. Démontrer que, pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ( e x) n = e nx. Partie B On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par :. a. Montrer que u + u =. b. Calculer u. En déduire u. u n = 2. Montrer que, pour tout entier naturel n,u n. e nx +e x dx 3. a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n+ + u n = e n. n b. En déduire, que pour tout entier naturel n non nul, u n e n. n 4. Déterminer la limite de la suite (u n ). F. Demoulin Page 3

5 Exercice 2 Inde, avril 2 (6 points) Partie A Restitution organisée de connaissances Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l intervalle [a ; b]. On suppose connus les résultats suivants : b [ ] b b f (t)+ g (t) dt = f (t) dt+ g (t) dt ; a si, pour tout t [a ; b], f (t), alors a a b a f (t) dt. Montrer que : si pour tout t [a ; b], f (t) g (t), alors b a Partie B f (t) dt b a g (t) dt. Soit n un entier naturel non nul. On appelle f n la fonction définie sur [ ; + [ par : et on pose I n = ln ( + x n) dx. f n (x)=ln ( + x n) On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthononnal ( O ; ı ; j ).. a. Déterminer la limite de f en+. b. Étudier les variations de f sur [ ; + [. c. À l aide d une intégration par parties, calculer I et interpréter graphiquement le résultat. (Pour le calcul de I on pourra utiliser le résultat suivant : x pour tout x [ ; ], x+ = x+ ) 2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a I n ln 2. b. Étudier les variations de la suite (I n ). c. En déduire que la suite (I n ) est convergente. 3. Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par : a. Étudier le sens de variation de g sur [ ; + [. g (x)=ln(+ x) x b. En déduire le signe de g sur [ ; + [. Montrer alors que, pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a : ln ( + x n) x n c. En déduire la limite de la suite (I n ). F. Demoulin Page 4

6 Exercice 3 Amérique du Nord, juin 29 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a< b. si u sur [a ; b], alors pour tous réels α et β, b a b a u(x) dx ; [αu(x)+βv(x)] dx = α b a u(x) dx+ β b a v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x) g (x) alors b a f (x) dx b a g (x) dx. Partie B On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par f (x)=e x2 et on définit la suite (u n ) par : u = f (x) dx = e x2 dx pour tout entier naturel n non nul, u n = x n f (x) dx= x n e x2 dx. a. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], e f (x). b. En déduire que e u. 2. Calculer u. 3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n. b. Étudier les variations de la suite (u n ). c. En déduire que la suite (u n ) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n n+. b. En déduire la limite de la suite (u n ). F. Demoulin Page 5

7 Exercice 4 Centres étrangers, juin 29 (6 points) Soit n un entier naturel. On note f n la fonction définie sur l ensemble R des nombres réels par : f n (x)= e nx +e x On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). Les courbes C, C, C 2 et C 3 sont représentées ci-dessous : C 2 C 3 y C C x Partie A Quelques propriétés des fonctions f n et des courbes C n. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les courbes C n ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées. 2. Étude de la fonction f a. Étudier le sens de variation de f. b. Préciser les limites de la fonction f en et+. Interpréter graphiquement ces limites. c. Dresser le tableau de variation de fonction f sur R. 3. Étude de la fonction f a. Démontrer que f (x)= f ( x) pour tout nombre réel x. b. En déduire les limites de la fonction f en et+, ainsi que son sens de variation. c. Donner une interprétation géométrique de 3.a. pour les courbes C et C. 4. Étude de la fonction f n pour n 2 a. Vérifier que, pour tout entier naturel n 2 et pour tout nombre réel x, on a : f n (x)= e nx + e (n )x b. Étudier les limites de la fonction f n en et en+. c. Calculer la dérivée f n (x) et dresser le tableau de variations de la fonction f n sur R. F. Demoulin Page 6

8 Partie B Étude d une suite liée aux fonctions f n On pose, pour tout entier naturel n, u n = f n (x) dx.. Calculer u puis montrer que u + u =. En déduire u. 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 3. Calculer l intégrale u n e nx dx e nx dx. En déduire que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite. F. Demoulin Page 7

9 Exercice 5 France, juin 29 (6 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)=ln ( + xe x) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée sur le graphique ci-dessous. Partie A. Justifier que lim x + f (x)=. 2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f (x) est celui de x. 3. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. Partie B Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose A (λ) = deux méthodes différentes.. Première méthode λ f (x) dx. On se propose de majorer A (λ) à l aide de a. Représenter, sur le graphique ci-dessous, la partie du plan dont l aire en unité d aire, est égale à A (λ). b. Justifier que pour tout nombre réel λ strictement positif, A (λ) λ f (). 2. Deuxième méthode a. Calculer à l aide d une intégration par parties λ xe x dx en fonction de λ. b. On admet que pour tout nombre réel positif u, ln( + u) u. Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ strictement positif, A (λ) λe λ e λ Application numérique Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de A (5), arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où λ=5? j C O ı λ F. Demoulin Page 8

10 Exercice 6 France (sujet initial), juin 29 (6 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)=+ xe x Sa courbe représentative C dans le repère orthonormal ( O ; ı ; j ) et la droite d équation y = sont tracées ci-dessous. C O Partie A. Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique. a. La droite est asymptote à la courbe C en+. b. La fonction f est décroissante sur l intervalle [ ; + [. 2. Soit t un nombre réel positif. On considère l intégrale a. Interpréter graphiquement cette intégrale. b. Montrer que t f (x) dx= t te e t +. t f (x) dx. F. Demoulin Page 9

11 Partie B On note I le point de coordonnées ( ; ) et J le point de coordonnées ( ; ). Pour tout nombre réel t de l intervalle [ ; ], M t désigne le point de la courbe C d abscisse t et N t le point de coordonnées (t ; ). On appelle D t, le domaine du plan délimité par la droite (I M t ), l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la courbe C. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit A (t) la mesure de son aire exprimée en unité d aire. M t J O N t I. Interpréter graphiquement A () et donner sa valeur exacte. 2. Interpréter graphiquement A () et donner sa valeur exacte. 3. Calculer l aire du triangle M t N t I. 4. En déduire que pour tout nombre réel t appartenant à l intervalle [ ; ] : A (t)= t ( t t ) Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Existe-t-il un unique nombre réel α de l intervalle [ ; ] tel que A (α)= A ()? 2 Justifier la réponse. e t F. Demoulin Page

12 Exercice 7 La Réunion, juin 29 (6 points) Soient f et g les fonctions définies sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)= xe x et g (x)= x 2 e x On note C f et C g les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan muni d un repère ( O ; ı ; j ). Partie A La courbe représentative C f de la fonction f dans un repère ( O ; ı ; j ) est donnée dans e graphique ci-dessous.. D après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa limite en+? 2. Valider ces conjectures à l aide d une démonstration. 3. Tracer sur le graphique ci-dessous la courbe C g représentative de la fonction g. 4. Quelle semble être la position relative de la courbe C f par rapport à la courbe C g? Valider cette conjecture à l aide d une démonstration. Partie B L objectif de cette partie est de calculer, en unités d aire, la mesure de l aire A de la partie du plan comprise entre les courbes C f et C g et les droites d équations x= et x=.. Hachurer sur le graphique cette partie du plan. 2. Soit I = f (x) dx. Démontrer que I = 2 e. 3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soit H la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : a. Calculer la dérivée H de la fonction H. H(x)= ( x 2 + 2x ) e x b. En déduire une primitive sur l intervalle [ ; + [ de la fonction g. 4. Déterminer la valeur exacte de l aire A. F. Demoulin Page

13 j C f O ı F. Demoulin Page 2

14 Exercice 8 Liban, juin 29 (8 points) On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ln ( +e x) + 3 x La courbe C représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal est donnée dans le graphique ci-dessous. Ce graphique sera complété. Partie A. a. Déterminer la limite de la fonction f en+. b. Montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à la courbe C. Tracer D. 3 c. Étudier la position relative de D et de C. d. Montrer que, pour tout réel x, f (x)=ln ( e x + ) 2 3 x. e. En déduire la limite de f en. 2. a. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout x réel, f (x)= ex 2 3(e x + ). b. En déduire les variations de la fonction f. Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle d n, l aire, en unités d aire, du domaine du plan délimité par la courbe C, la droite D d équation y = x et les droites d équations x= et x= n. 3. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, d n = 2. On admet que, pour tout réel x, ln ( +e x) e x. n ln ( +e x) dx. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, d n. La suite (d n ) n est-elle convergente? Partie C Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe C. On note T la tangente à la courbe C au point d abscisse.. Calculer le coefficient directeur de T puis construire T sur le graphique. 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soient M et N deux points de la courbe C d abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (M N ) est parallèle à la droite T. F. Demoulin Page 3

15 3 y 2 C x F. Demoulin Page 4

16 Annales Terminale S Exercice 9 Polynésie, juin 29 (6 points) Le plan est muni d un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). Partie A La courbe C, donnée ci-dessous, est la courbe représentative d une fonction f dérivable sur [ ; + [, de fonction dérivée f continue sur [ ; + [. ( ) La courbe C passe par les points O et A ; et, sur [ ; ], elle est au dessus du segment [O A]. 2e. Montrer que 2. Montrer que f (x) dx= 2e f (x) dx 4e Partie B On sait désormais que la fonction f considérée dans la partie A est définie sur [ ; + [ par : f (x)= xe x x 2 +. Déterminer la limite de f en +. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par : g (x)= x 3 + x 2 + x. Établir que l équation g (x)= admet une solution unique α dans l intervalle [ ; + [. 3. a. Montrer que pour tout x de [ ; + [, f (x) et g (x) sont de signes contraires. b. En déduire les variations de f sur [ ; + [. 4. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : 2n u n = f (x) dx n a. Montrer que pour tout x de [ ; + [, x x b. Montrer que pour tout entier naturel n, u n 2 c. En déduire la limite de u n quand n tend vers+. ( e n e 2n).,3,2 A, C O 2 F. Demoulin Page 5

17 Exercice Inde, avril 29 (7 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)= xe x2 On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) O du plan. Cette courbe est représentée ci-contre. ı 2 j Partie A. a. Déterminer la limite de la fonction f en+. (On pourra écrire, pour x différent de : f (x)= x x2 ). x2 e 2 b. Démontrer que f admet un maximum en et calculer ce maximum Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d aire et en fonction de a, l aire F (a) de la partie du plan limitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = et x = a. Quelle est la limite de F (a) quand a tend vers +? Partie B On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : On ne cherchera pas à expliciter u n. u n = n+ n f (x) dx. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de et de : b. Quel est le sens de variation de la suite (u n ) n 2? f (n+ ) u n f (n) c. Montrer que la suite (u n ) converge. Quelle est sa limite? n 2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F (n)= u k. b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On donne ci-dessous les valeurs de F (n) obtenues à l aide d un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7. Interpréter ces résultats. k= n F (n), , ,5,5,5 F. Demoulin Page 6

18 Exercice Nouvelle Calédonie, mars 29 (6 points) Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par : f (x)=(+ x)e x Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) d unité graphique cm.. a. Étudier le signe de f (x) sur R. b. Déterminer la limite de la fonction f en. Déterminer la limite de la fonction f en+. c. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R. Calculer, pour tout nombre réel x, f (x). En déduire les variations de la fonction f sur R. d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 2 ; 5]. 2. On note (I n ) la suite définie pour tout entier naturel n par : n I n = f (x) dx Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I n en fonction de n. a. Montrer que, pour tout n N : I n. b. Montrer que la suite (I n ) est croissante. 3. a. À l aide d une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b : b b. En déduire l expression de I n en fonction de n. a f (x) dx = ( 2 b)e b + (2+ a)e a c. Déterminer lim I n. n + d. Donner une interprétation graphique de cette limite. α 4. Déterminer α R tel que f (x) dx = e. Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d aire? F. Demoulin Page 7

19 Exercice 2 Antilles Guyane, septembre 28 (7 points) Soit f la fonction définie sur R par : f (x)= x+ 2 4ex e x + 3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) d unité graphique 2 cm.. a. Déterminer la limite de f en. b. Démontrer que la droite D d équation y = x+ 2 est asymptote à la courbe C. c. Étudier la position de C par rapport à D. 2. a. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f (x) et montrer que, pour tout réel x, on a : ( e f x 3 (x)= e x + 3 b. Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f. 3. a. Que peut-on dire de la tangente D 2 à la courbe C au point I d abscisse ln 3? b. En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe C par rapport à D a. Montrer que la tangente D 3 à la courbe C au point d abscisse a pour équation : y = x+. 4 b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D 3 sur l intervalle ] ; ln 3]. On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f définie pour tout x de R par : ) 2 f "(x)= 2ex (e x 3) (e x + 3) 3 5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C. Tracer la courbe C, les tangentes D 3, D 3 et les asymptotes à la courbe C. On rappelle que l unité graphique choisie est 2 cm. 6. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par : g (x)= ex e x + 3. b. Soit λ un réel strictement négatif. On note A (λ) l aire, en unités d aire, du domaine limité par D, C et les droites d équations x = λ et x =. Montrer que A (λ)=4ln 4 4ln ( ) e λ + 3. c. Calculer lim λ A (λ). F. Demoulin Page 8

20 Exercice 3 France / La Réunion, septembre 28 (4 points) On considère la suite numérique (J n ) définie, pour tout entier naturel n non nul, par :. Démontrer que la suite (J n ) est croissante. J n = n e t + t dt 2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. On définit la suite (I n ), pour tout entier naturel n non nul, par : a. Justifier que, pour tout t, on a t+ t+. b. En déduire que J n I n. n I n = (t+ )e t dt c. Calculer I n en fonction de n. En déduire que la suite (J n ) est majorée par un nombre réel (indépendant de n). d. Que peut-on en conclure pour la suite (J n )? F. Demoulin Page 9

21 Exercice 4 Polynésie, septembre 28 (6 points) On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ln ( e x + 2e x) La courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Partie A Étude de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= x+ ln ( +2e 2x). On admet que, pour tout réel x, f (x)= x+ ln ( 2+e 2x). 2. Calculer lim f (x) et montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à C. x + Étudier la position relative de C et de D. 3. Calculer lim x f (x) et montrer que la droite D d équation y = x+ ln 2 est asymptote à C. 4. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3 ln Tracer les droites D et D sur le graphique ci-dessous. Partie B Encadrement d une intégrale On pose I = 3 2 [f (x) x] dx.. Donner une interprétation géométrique de I. 2. Montrer que, pour tout X [ ; + [, ln(+ X ) X. 3. En déduire que I 3 2 2e 2x dx et donner un encadrement de I d amplitude, j ı F. Demoulin Page 2

22 Exercice 5 Centres étrangers, juin 28 (7 points) Prérequis : on rappelle que : lim x + x =+. ln x. Démontrer que lim x + x =. Partie A Restitution organisée des connaissances 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x + e x ln x x n =. Partie B Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : f (x)= x ln x x 2 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) (unité graphique 2 cm).. Soit u la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par u(x)=x 3 +2ln x. a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l intervalle ] ; + [. b. Calculer u() et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l intervalle ] ; + [. 2. Étude de la fonction f a. Déterminer les limites de f en et en+. b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variations de la fonction f. 3. Éléments graphiques et tracés. a. Démontrer que la droite d équation y = x est asymptote oblique à la courbe C. b. Déterminer la position de C par rapport à. c. Tracer la courbe C et la droite. Partie C Calcules d aires On note α un nombre réel strictement positif et on désigne par A (α) l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, la droite et les droites d équation x = et x = α.. On suppose dans cette question que α>. a. À l aide d une intégration par parties, démontrer que : A (α)= lnα α α. b. Déterminer la limite l de A (α) lorsque α tend vers Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse. sera prise en compte dans l évaluation. ( ) Démontrer que l=a. e F. Demoulin Page 2

23 Exercice 6 France, juin 28 (5 points) Les courbes C f et C g données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ), les fonctions f et g définies sur l intervalle ] ; + [ par : f (x)=ln x et g (x)=(ln x) 2 C g C f j ı e. On cherche à déterminer l aire A (en unités d aire) de la partie du plan hachurée. On note I = e ln x dx et J = e (ln x) 2 dx. a. Vérifier que la fonction F définie sur l intervalle ] ; + [ par F (x)=x ln x x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I. b. Démontrer à l aide d une intégration par parties que J = e 2I. c. En déduire J. d. Donner la valeur de A. 2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. Pour x appartenant à l intervalle [ ; e], on note M le point de la courbe C f d abscisse x et N le point de la courbe C g de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance M N est maximale? Calculer la valeur maximale de M N. F. Demoulin Page 22

24 Exercice 7 La Réunion, juin 28 (5 points) Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ] ; + [ par : f (x)= ln(x) x 2 Sa courbe représentative C, construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous.. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l ensemble de définition ainsi que l extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés. 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Existe-t-il des tangentes à la courbe C qui contiennent le point O origine du repère? Si oui, donner leur équation. Partie B Soit g la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : x ln t g (x)= t 2 dt. a. Que représente f pour la fonction g? b. En déduire le sens de variations de g sur ] ; + [. ( ) 2. Interpréter géométriquement les réels g (3) et g. 2 ln x+ 3. a. À l aide d une intégration par parties, montrer que g (x)=. x b. Déterminer la limite de g en +.,5,,5 C -2 - O ,5 -, -,5-2, F. Demoulin Page 23

25 x e 2 + 2e f (x) F. Demoulin Page 24

26 Exercice 8 Liban, juin 28 (5 points) On considère une fonction f dérivable sur l intervalle ] ; + [. On donne le tableau de ses variations : x 2 + f (x) + + +e 2 f (x) x Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g (x)= f (t) dt. Partie A. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe C susceptible de représenter f dans le plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : cm sur l axe des abscisses, 2 cm sur l axe des ordonnées). 2. a. Interpréter graphiquement g (2). b. Montrer que g (2) 2,5. 3. a. Soit x un réel supérieur à 2. Montrer que x 2 f (t) dt x 2. En déduire que g (x) x 2. b. Déterminer la limite de la fonction g en+. 4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle ] ; + [. Partie B On admet que, pour tout réel t, f (t)=(t )e t +.. À l aide d une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l intégrale 2. En déduire que, pour tout réel x, g (x)= x ( e x). 3. Déterminer la limite de la fonction g en. x (t )e t dt. F. Demoulin Page 25

27 Exercice 9 Polynésie, juin 28 (7 points) Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a< b. si u sur [a ; b], alors pour tous réels α et β, b a b a u(x) dx ; [ ] b αu(x)+βv(x) dx = α u(x) dx+ β a b a v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x) g (x), alors b a f (x) dx b a g (x) dx. Partie B On considère la fonction f définie sur [;+ [ par : f (x)= x+ ln ( +e x) Sa courbe représentative C ainsi que la droite D d équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d unité graphique 2 cm.. Montrer que f est croissante et positive sur [;+ [. 2. a. Montrer que la courbe C admet pour asymptote la droite D. b. Étudier la position de C par rapport à D. 3. Soit I l intégrale définie par : I = On ne cherchera pas à calculer I. ln ( +e x) dx = a. Donner une interprétation géométrique de I. [f (x) x] dx. b. Montrer que pour tout réel t, on a ln (+ t) t (on pourra étudier les variations de la fonction g t définie sur [; + [ par g (t) = ln( + t) t). On admettra que pour tout réel t, on a ln(+ t). t+ c. En déduire que pour tout x de [;+ [, on a : ( d. Montrer que ln 2 e x e x + ln( +e x) e x ) I e. +e e. En déduire un encadrement de I d amplitude,4 par deux nombres décimaux. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à C et D. On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance M N est inférieure à, 5 mm. Déterminer l ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables. F. Demoulin Page 26

28 C D F. Demoulin Page 27

29 Exercice 2 Amérique du Nord, mai 28 (4 points) On considère les suites (x n ) et ( y n ) définies pour tout entier naturel n non nul par : x n = t n cos t dt et y n = t n sin t dt. a. Montrer que la suite (x n ) est à termes positifs. b. Étudier les variations de la suite (x n ). c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (x n )? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x n n+. b. En déduire la limite de la suite (x n ). 3. a. À l aide d une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : x n+ = (n+ )y n + sin() b. En déduire que lim n + y n =. 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, y n+ = (n+ )x n cos(). Déterminer lim nx n et lim ny n. n + n + F. Demoulin Page 28

30 Exercice 2 Inde, avril 28 (4 points). Soit f et H les fonctions définies sur [ ; + [ respectivement par : f (x)= x e x x et H(x) = f (t) dt a. Justifier que f et H sont bien définies sur [ ; + [. b. Quelle relation existe-t-il entre H et f? c. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) du plan. Interpréter en termes d aire le nombre H(3). 2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3). x e x a. Montrer que, pour tout réel x >, e x = x e x. 3 b. En déduire que f (x) dx= 3ln ( e ) ( 3 ln ) e c. Montrer que si x 3, alors ln d. En déduire un encadrement de 3 ( ) ln ( e x) ln e 3 ln ( e x) dx puis de ln ( e x) dx. ( e 3 ). 3 f (x) dx. F. Demoulin Page 29

31 Exercice 22 Antilles Guyane, septembre 27 (5 points) Question de cours Soit I un intervalle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient continues sur I. Rappeler et démontrer la formule d intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I. Partie A Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; ]. On note f la fonction dérivée de f. On suppose que f est continue sur l intervalle [ ; ].. Utiliser la question de cours pour montrer que : 2. En déduire que f (x)dx= f () [ ] f (x) f () dx = x f (x)dx. x f (x)dx Partie B On désigne par ln la fonction logarithme nepérien. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 2 ; 2[ par : ( ) 2+ x f (x)=ln 2 x Soit C la courbe représentative de f sur l intervalle ] 2 ; 2[ dans un repère orthonormé d unité graphique 2 cm.. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 2. a. Montrer que, pour tout réel x de l intervalle ] 2 ; 2[, on a f (x)= 4 4 x 2. b. En déduire les variations de f sur l intervalle ] 2 ; 2[. Partie C La courbe C est tracée sur le graphique ci-dessous. Hachurer sur ce graphique la partie P du plan constituée des points M(x ; y) tels que : En utilisant la partie A, calculer en cm 2 l aire de P. x et f (x) y ln3 F. Demoulin Page 3

32 4 3 2 j -2 - ı F. Demoulin Page 3

33 Exercice 23 Polynésie, septembre 27 (7 points) On désigne par (E) l ensemble des fonctions f continues sur l intervalle [ ; ] et vérifiant les conditions (P ), (P 2 ) et (P 3 ) suivantes : (P ) : f est strictement croissante sur l intervalle [ ; ] ; (P 2 ) : f ()= et f ()= ; (P 3 ) : pour tout réel x de l intervalle [ ; ], f (x) x. Dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) du plan, on note C f la courbe représentative d une fonction f de l ensemble (E) et D la droite d équation y = x. À toute fonction f de (E), on associe le nombre réel I f = [x f (x)] dx.. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l élimination des deux autres. O O O Courbe n Courbe n 2 b. Montrer que, pour toute fonction f de (E), I f. Courbe n 3 2. Soit h la fonction définie sur l intervalle [ ; ] par h(x)=2 x (on rappelle que, pour tout x réel, 2 x = e x ln 2 ). a. Montrer que la fonction h vérifie les conditions (P ) et (P 2 ). b. Soit ϕ la fonction définie sur l intervalle [ ; ] par ϕ(x)=2 x x. Montrer que, pour tout x de [ ; ], ϕ(x) (on pourra étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur [ ; ]). En déduire que la fonction h appartient à l ensemble (E). c. Montrer que le réel I h associé à la fonction h est égal à 3 2 ln Soit P une fonction définie sur l intervalle [ ; ] par P(x) = ax 2 + bx+ c où a, b et c sont trois nombres réels tels que <a <. On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la fonction P appartienne à l ensemble (E) et que I p = I h. a. Montrer que la fonction P vérifie la propriété (P 2 ) si et seulement si, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], P(x)= ax 2 + ( a)x. Montrer que toute fonction P définie sur [ ; ] par P(x)= ax 2 +( a)x avec < a< appartient à (E). b. Exprimer en fonction de a le réel I P associé à la fonction P. c. Montrer qu il existe une valeur du réel a pour laquelle I P = I h. Quelle est cette valeur? F. Demoulin Page 32

34 Exercice 24 Amérique du Nord, juin 27 (7 points). Restitution organisée de connaissances. L objet de cette question est de démontrer que On supposera connus les résultats suivants : lim x + e x x =+. la fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée ; e = ; pour tout réel x, on a e x > x ; soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l intervalle [A ; + [ où A est un réel positif. Si pour tout x de [A ; + [, ψ(x) ϕ(x) et si lim x + ψ(x)=+, alors lim ϕ(x)=+. x + a. On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par g (x)=e x x2 2. Montrer que pour tout x de [ ; + [, g (x). e x b. En déduire que lim x + x =+ 2. On appelle f la fonction définie sur [ ; + [ par f (x)= 4 xe x 2. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). La courbe C est représentée ci-dessous. a. Montrer que f est positive sur [ ; + [. b. Déterminer la limite de f en+. En déduire une conséquence graphique pour C. c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [ ; + [. 3. On considère la fonction F définie sur [ ; + [ par F (x)= t f (t) dt. a. Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [ ; + [. b. Montrer que F (x)= e x 2 x 2 e x 2. c. Calculer la limite de F en+ et dresser le tableau de variations de F sur [ ; + [. d. Justifier l existence d un unique réel positif α tel que F (α) =, 5. À l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 2 près par excès. 4. Soit n un entier naturel non nul. On note A n l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre l axe des abscisses, la courbe de f et les droites d équations x = et x = n. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que A n,5. F. Demoulin Page 33

35 C O F. Demoulin Page 34

36 Exercice 25 Antilles Guyane, juin 27 (6 points) Question de cours Prérequis : positivité et linéarité de l intégrale. Soient a et b deux réels d un intervalle I de R tels que a b. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l intervalle I, f (x) g (x), alors b a f (x) dx b a g (x) dx. Partie A. Soit x un réel supérieur ou égal à. Calculer en fonction de x l intégrale x (2 t) dt. 2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l intervalle [ ; + [, on a : 2 t t. 3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à, on a : 2 x2 + 2x 3 2 ln x Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x)= 2 x2 + 2x 3 2. Sur le graphique ci-dessous, le plan est muni d un repère orthogonal ( O ; ı ; j ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l intervalle [ ; 4]. On a a tracé également la droite d équation x= 4.. a. Démontrer que 4 h(x)dx =. b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l intervalle [ ; 4]. En utilisant une intégration par parties, calculer l aire de D en unités d aire. F. Demoulin Page 35

37 y,5,,5 j O i x -,5 -, -,5 F. Demoulin Page 36

38 Exercice 26 Asie, juin 27 (4 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par : f (x)=sin 2 x, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel x, f (x)=sin 2x. 2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; ], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si f ( )= f (), alors : t f (t) dt = f (t) dt. 3. Soit f une fonction définie et continue sur l intervalle [ ; 3]. Si 3 f (t) dt 3 g (t) dt, alors pour tout nombre réel x appartenant à [ ; 3] : f (x) g (x). 4. Si f est solution de l équation différentielle y = 2y + 2 et si f n est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n admet aucune tangente parallèle à l axe des abscisses. F. Demoulin Page 37

39 Exercice 27 France, juin 27 (3 points). Restitution organisée de connaissances Démontrer la formule d intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b]. 2. Soient les deux intégrales définies par : a. Démontrer que I = J et que I = J+ e π +. b. En déduire les valeurs exactes de I et de J. π π I = e x sin x dx et J = e x cos x dx F. Demoulin Page 38

40 Exercice 28 Liban, juin 27 (6 points) Soient f et g les fonctions définies sur l intervalle ] ; + [ par : f (x)=ln x et g (x)=(ln x) 2 On note C f et C g les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C f et C g sont données dans le graphique ci-dessous.. a. Étudier le signe de (ln x)( ln x) sur ] ; + [. b. En déduire la position relative des deux courbes C f et C g sur ] ; + [. 2. Pour x appartenant à ] ; + [, M est le point de C f d abscisse x et N est le point de C g de même abscisse. a. Soit h la fonction définie sur ] ; + [ par h(x)= f (x) g (x). Étudier les variations de la fonction h sur ] ; + [. b. En déduire que sur l intervalle [ ; e], la valeur maximale de la distance M N est obtenue pour x= e. c. Résoudre dans ] ; + [ l équation (ln x) 2 ln x=. d. En déduire que, sur ] ; [ ]e ; + [, il existe deux réels a et b (a< b) pour lesquels la distance M N est égale à. 3. a. À l aide d une intégration par parties, calculer e ln x dx. b. Vérifier que la fonction G définie sur ] ; + [ par G(x)= x [ (ln x) 2 2ln x+ 2 ] est une primitive de la fonction g sur ] ; + [. c. On considère la partie du plan délimitée par les courbes C f, C g et les droites d équations x = et x= e. Déterminer l aire A en unités d aire de cette partie du plan. C g C f j O i F. Demoulin Page 39

41 Exercice 29 Polynésie, juin 27 (6 points) On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par : f (x)=+ x ln x On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d aire. Partie A Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l aire A du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C f et les deux droites d équations x = et x = 2. On note M et N les points de C f d abscisses respectives et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l axe des abscisses. La figure est donnée ci-dessous.. a. Montrer que f est positive sur [ ; 2]. b. Montrer que le coefficient directeur de la droite (M N ) est 2ln 2. c. Soit E le point d abscisse 4 e. Montrer que, sur l intervalle [ ; 2], le point E est l unique point de C f en lequel la tangente à C f est parallèle à (M N ). d. On appelle T la tangente à C f au point E. Montrer qu une équation de T est y = (2ln 2)x 4 e Soit g la fonction définie sur [ ; 2] par g (x)= f (x) [(2ln 2)x 4e ] +. ( x a. Montrer que, pour tout x de [ ; 2], g (x)=+ln. 4) b. Étudier les variations de g sur [ ; 2] et en déduire la position relative de C f et de la tangente T sur cet intervalle. 3. Soient M et N les points d abscisses respectives et 2 de la droite T. On admet que la courbe C f reste sous la droite (M N ) sur l intervalle [ ; 2] et que les points M et N ont des ordonnées strictement positives. a. Calculer les aires des trapèzes M NQP et M N QP. b. En déduire, à l aide de la calculatrice, un encadrement de A d amplitude. Partie B Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de A.. À l aide d une intégration par parties, calculer 2. En déduire la valeur exacte de A. 2 x ln x dx. F. Demoulin Page 4

42 3 Annales Terminale S y N N E M M C f T P Q 2 2 x F. Demoulin Page 4

43 Exercice 3 Asie, juin 25 (7 points) On s intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e 2. On définit, pour tout entier naturel n, l intégrale :. Calculer I. 2 I n = n! (2 x)n e x dx 2. Établir que pour tout entier naturel n, I n 2n ( e 2 ). n! 3. À l aide d une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n : 4. Démontrer par récurrence que e 2 = + 2! On pose, pour tout entier naturel n, u n = 2n n!. I n+ = I n 2n+ (n+ )! 2! n n! + I n. a. Calculer u n+ u n et prouver que pour tout entier naturel n 3, u n+ 2 u n. b. En déduire que pour tout entier naturel n 3, u n u 3 ( 2) n En déduire la limite de la suite (u n ) puis celle de la suite (I n ). 7. Justifier enfin que : e 2 = lim n + ( + 2! ! ) 2n n! F. Demoulin Page 42

44 Exercice 3 La Réunion, juin 25 (3 points) On considère les fonctions f et g définies, sur l intervalle [;+ [, par : f (x)=ln(x+ ) et g (x)=e x On désigne par C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ). Ces courbes sont tracées sur le graphique ci-dessous (le candidat en disposera comme il le jugera utile ; il sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat).. Vérifier que les courbes C f et C g ont une tangente commune au point O(; ). Préciser la position de la courbe C f par rapport à cette tangente. 2. Démontrer que les courbes C f et C g sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre I (a)= a ln(x+ )dx. a. En utilisant des considérations d aires, démontrer que : b. En déduire la valeur de I (a). I (a)=a ln(a+ ) ln(a+) ( e x ) dx c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties F. Demoulin Page 43

45 Exercice 32 Liban, juin 25 (8 points) Partie A On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = ( t) n e t dt. Montrer que la fonction f : t (2 t)e t est une primitive de g : t ( t)e t sur [; ]. En déduire la valeur de u. 2. Montrer à l aide d une intégration par parties que, pour tout n non nul : u n+ = (n+ )u n (R) Partie B On regarde d abord ce qu affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (u n ) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus. Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices : Valeur Valeur de u n affichée par Valeur de u n affichée par de n la première calculatrice la deuxième calculatrice 7, E 7, E 2 4, E 4, E 3 3, E 3, E 4 2, E 2, E 5, E, E 6, E, E 7, E, E 8, E, E 9, E, E 9, E 2 9, 95648E 9, 2348E 2 9, 27228E 2 2 8, E 2 8, E 2 3 7, E 2 8, E 2 4 7, 89939E 2, E 5 6, E 2, E+ 6 5, E 2 2, E+ 7 7, 23862E 3 3, E+2 8 8, E 6, E+3 9, E+, E+5 2 3, E+2 2, E+6 2 7, E+3 4, E+7 22, E+5, E , E+6 2, E+ 24 8, E+7 5, E+ 25 2, E+9, E+3 F. Demoulin Page 44

46 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (u n ) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice? Et les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice? Partie C Dans cette partie on se propose d étudier la suite (u n ) à partir de la relation de définition : pour tout entier naturel n non nul, u n = ( t) n e t dt.. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u n. 2. a. Montrer que pour tout réel t de l intervalle [; ] et pour tout entier naturel non nul n : b. En déduire que pour tout n non nul, u n e n+. 3. Déterminer la limite de la suite (u n ). ( t) n e t e ( t) n Partie D Dans cette partie, on se propose d exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (u n ) : u n+ = (n+ )u n Étant donné un réel a, on considère la suite (v n ) définie par : v = a et pour tout entier naturel non nul n, v n+ = (n+ )v n On s intéresse à l influence du terme initial a de cette suite sur son comportement à l infini.. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, v n = u n + (n!)(a+ 2 e) où n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls. 2. Étudier le comportement de la suite (v n ) à l infini suivant les valeurs de a. (On rappelle que lim n!=+ ) n + 3. En déduire une raison susceptible d expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices. F. Demoulin Page 45

47 Exercice 33 Inde, avril 25 On considère la fonction f, définie sur [;+ [ par f (t)= et t.. a. Justifier la continuité de f sur [; + [. b. Montrer que f est croissante sur [;+ [. 2. Restitution organisée de connaissances On pourra raisonner en s appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x de [;+ [, on note A (x ) l aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x = x. On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [;+ [ est une primitive de f. a. Que vaut A ()? b. Soit x un réel quelconque de [;+ [ et h un réel strictement positif. Justifier l encadrement suivant : f (x ) A (x + h) A (x ) f (x + h) h c. Lorsque x >, quel encadrement peut-on obtenir pour h< et tel que x + h? d. En déduire la dérivabilité en x de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x de la fonction A. e. Conclure e 2 x + h 2 x F. Demoulin Page 46

48 Exercice 34 Amérique du Sud, novembre 24 A 2 B 2 3 On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ), la courbe représentative de la fonction f dérivable sur R, solution de l équation différentielle (E) : y + y = et telle que y()=e. Déterminer f (x) pour tout x réel. 2. Soit t un réel donné de l intervalle [; e]. Résoudre dans R l équation e x = t d inconnue x. 3. Soit A le point d abscisse et B le point d abscisse de la courbe. On considère le solide obtenu par rotation autour de l axe des ordonnées de l arc de courbe AB comme représenté ci-dessous. On note V son volume et on admet que V = π Calculer V à l aide de deux intégrations par parties successives. e ( ln t) 2 dt F. Demoulin Page 47

49 Exercice 35 France, septembre 24. Soit g la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par : g (x)= x ( x 2 ). a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l on ait, pour tout x > : g (x)= a x + b x+ + c x. b. Trouver une primitive G de g sur l intervalle ]; + [. 2. Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par : f (x)= 2x ( x 2 ) 2. Trouver une primitive F de f sur l intervalle ];+ [. 3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : 3 2x I = ( 2 x 2 ) ln x dx. 2 On donnera le résultat exact sous la forme p ln2 + q ln 3, avec p et q rationnels. F. Demoulin Page 48

50 Exercice 36 Polynésie, septembre 24 La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ];+ [ par : j O - -2 f (x)= ln x x + x. α ı 2 3 C a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f (x) est du signe de : N (x)= [ 2 ( x x ) + ln x ]. b. Calculer N () et déterminer le signe de N (x) en distinguant les cas < x < et x >. c. En déduire le sens de variation de f sur ];+ [ et les coordonnées du point de C d ordonnée maximale. 2. On note A (α) l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où α désigne un réel de ]; [. a. Exprimer A (α) en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par parties). b. Calculer la limite de A (α) lorsque α tend vers. Donner une interprétation graphique de cette limite. 3. On définit une suite (u n ) n N par son premier terme u élément de [; 2] et : pour tout entier naturel n, u n+ = lnu n un +. a. Démontrer, pour tout réel x élément de [; 2], la double inégalité ln x x. b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n appartient à [; 2]. 4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, u n+ = f (u n )+u n, déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 5. a. Montrer que la suite (u n ) n N est convergente. On note l sa limite. b. Déterminer la valeur exacte de l. F. Demoulin Page 49

51 Exercice 37 Antilles-Guyane, juin 24 But de l exercice : approcher ln(+ a) par un polynôme de degré 5 lorsque a appartient à l intervalle [;+ [. a dt a Soit a [;+ [. On note I (a)= + t et pour k (t a) k N, on pose I k (a)= dt. (+ t) k+. Calculer I (a) en fonction de a. 2. À l aide d une intégration par parties, exprimer I (a) en fonction de a. 3. À l aide d une intégration par parties, démontrer que : I k+ (a)= ( )k+ a k+ + I k (a) pour tout k N. k+ 4. Soit P le polynôme défini sur R par P(x)= 5 x5 4 x4 + 3 x3 2 x2 + x. Démontrer en calculant I 2 (a), I 3 (a) et I 4 (a), que I 5 (a)= ln(+ a) P(a). 5. Soit J(a) = a (t a) 5 dt. Calculer J(a). (t a)5 6. a. Démontrer que pour tout t [; a], (+ t) 6 (t a)5. b. Démontrer que pour tout a [;+ [, J(a) I 5 (a). 7. En déduire que pour tout a [;+ [, ln(+ a) P(a) a Déterminer, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P(a) est une valeur approchée de ln( + a) à 3 près. F. Demoulin Page 5

52 Exercice 38 Polynésie, juin 24 On considère la suite (I n ) n N définie par : I n =. a. Déterminer le sens de variation de cette suite. b. Montrer que (I n ) n N est une suite positive. e t 2 e t 2 + t+ n dt. c. Montrer que pour tout t [; ] on a + t+ n +n et en déduire que I n n+. Que peut-on en conclure quant à la convergence de (I n ) n N? 2. On considère f et g deux fonctions définies sur [; ] par : a. Étudier le sens de variation et le signe de f. f (x)=e x + x et g (x)= x+ x2 b. En déduire le sens de variation de g sur [; ]. c. Établir, pour tout x appartenant à [; ], l encadrement : x e x x+ x2 2. d. En déduire un encadrement de e t 2 pour tout t appartenant à [; ]. e. Établir l encadrement : f. Donner une valeur de p telle que I p (n+ 2) I 23 n 3(n+ ). 2 e x. F. Demoulin Page 5

53 Exercice 39 Polynésie, septembre 2 Pour tout naturel n on pose : I n = 2 n+ n!. À l aide d une intégration par parties, calculer I. 2. Démontrer que pour tout naturel n on a : ( t) n e t 2 dt. I n+ = I n 2 n+ (n+ )!. 3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n on a : e=+ 2! n n! + I n. 4. Montrer que l on peut trouver une constante A telle que : On pourra déterminer A en majorant la fonction : I n 2 n n! A. t ( t) n e t 2 sur l intervalle [; ]. En déduire la limite quand n tend vers plus l infini de : u n = + 2! n n!. F. Demoulin Page 52

54 Exercice 4 Inde, avril 2. On pose, pour tout entier naturel n non nul : I n = n! a. À l aide d une intégration par parties, calculer I. b. Prouver que, pour tout entier naturel n non nul : I n n! ( x) n e x dx. e x dx. En déduire lim I n. n + c. Montrer, en utilisant une intégration par parties, que, pour tout entier naturel n non nul, on a : I n+ = (n+ )! I n. 2. On considère la suite réelle (a n ), définie sur N par a = et, pour tout entier naturel n non nul : a n+ = a n + ( )n+ (n+ )!. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : b. En déduire lim n + a n. a n = e + ( )n I n. F. Demoulin Page 53

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale E Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 16 mai 2012 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 MATHÉMATIQUES Série : ES DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures. COEFFICIENT : 5 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5. Du papier millimétré est mis à la disposition des

Plus en détail

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques SÉRIE ES ANNALES D EXERCICES REGROUPÉS PAR THÈME

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques SÉRIE ES ANNALES D EXERCICES REGROUPÉS PAR THÈME mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques

Plus en détail

Inde, avril 2014, exercice 1

Inde, avril 2014, exercice 1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. 4.1 Activité. Sommaire

Chapitre 4. Fonction exponentielle. 4.1 Activité. Sommaire Chapitre 4 Fonction exponentielle Sommaire 4.1 Activité............................................. 37 4. Fonctions exponentielles de base q (q > 0)........................ 39 4..1 Définition.........................................

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

Exercice 1 Partie A Soit f la fonction définie, sur R, par :

Exercice 1 Partie A Soit f la fonction définie, sur R, par : Exercice Partie A Soit f la fonction définie, sur R, par : f (x)= ex e x +. On ( appelle (C ) sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal O, ı, ) j ( unité graphique : cm).. a. Déterminer

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année 213-214 Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Baccalauréat ES La Réunion 19 juin 2009

Baccalauréat ES La Réunion 19 juin 2009 Baccalauréat ES La Réunion 9 juin 9 EXERCICE points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. Aucune

Plus en détail

Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord

Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points Commun à tous les candidats On sait que la courbe C passe par les points A( 2; 0,5), B(0; 2), C(2; 4,5), D(4,5;

Plus en détail

Bac ES La Réunion juin 2009

Bac ES La Réunion juin 2009 Bac ES La Réunion juin 2009 Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule de ces

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai 2016. André Breton

BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai 2016. André Breton BTS MCI Lycée Vauban, Brest 4 mai 06 André Breton Table des matières I Compléments pour les bac pro 8 ÉquationsFactorisationsInéquations 9. Identités remarquables................................ 9. Le

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR A. P. M. E. P. SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011 Métropole 2001..........................................

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des organisations Comptabilité et gestion des organisations Lycée Cassini Exercice 1 11 points A. Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle [1 ; 14] par x+ 1 ln x f (x)=. x 1. a. Démontrer que. pour

Plus en détail

TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009

TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Exercice 3 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014 Corrigé du baccalauréat ES Asie 9 juin 4 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Proposition : fausse f (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C ; cette droite passe

Plus en détail

Amérique du Sud, novembre 2006

Amérique du Sud, novembre 2006 Exercice 1 ( 5 points) Commun à tous les candidats Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s intéresse aux prises de sang effectuées dans

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A Épreuve de Mathématiques - sujet A Exercice Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsqu un client loue une voiture, un jour donné, dans

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Chapitres 5 : la fonction exponentielle 10 décembre 2012 Contrôle de mathématiques Lundi 10 décembre 2012 Exercice 1 ROC On suppose connu le résultat suivant : pour tout réel x, on a e x > x 1) Soitϕla

Plus en détail

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Soit u une fonction définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Contrôle commun : 4 heures

Contrôle commun : 4 heures Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier

Plus en détail

(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.

(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. Eercice / 5 points Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 0 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d emballage identique.

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2010 MATHÉMATIQUES Série : ES DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures. COEFFICIENT : 5 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7 dont une page en annexe à rendre avec la copie. L

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 2009

Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 2009 Baccalauréat ES Antilles uyane juin 2009 EXERCICE PARTIE A : aucune justification n est demandée 4 points Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 011 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,

Plus en détail

Baccalauréat ES 2009. L intégrale de mars à décembre 2009

Baccalauréat ES 2009. L intégrale de mars à décembre 2009 Baccalauréat ES 2009 L intégrale de mars à décembre 2009 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus Pondichéry 16 avril 2009................................. 3 Amérique du Nord mai 2009.............................

Plus en détail

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PRIMITIVES, INTEGRALES & CALCUL D AIRES

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PRIMITIVES, INTEGRALES & CALCUL D AIRES «L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PRIMITIVES, INTEGRALES & CALCUL D AIRES LIBAN 2015 Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières

Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières I Exercices I-1 1................................................

Plus en détail

Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014

Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Centres étrangers juin 04 A. P. M. E. P. Dans l ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse,

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES/spé TL Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Chapitre 5 Le logarithme néperien

Chapitre 5 Le logarithme néperien A) La fonction ln(x) Chapitre 5 Le logarithme néperien ) Définition Nous avons vu que nous ne savions pas exprimer la primitive de la fonction inverse avec des fonctions connues. Alors inventons cette

Plus en détail

Expérimentation 2007

Expérimentation 2007 Mathématiques série S Épreuve pratique au baccalauréat Expérimentation 2007 - Banque de sujets - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des activités de l'enseignement scolaire, de la formation

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière PRO 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO Sommaire

Plus en détail

Baccalauréat blanc nº1 - ES - décembre 2011

Baccalauréat blanc nº1 - ES - décembre 2011 Sujet obligatoire - durée : 3 heures - calculatrice autorisée - coefficient 5 - le sujet comporte 5 pages. Baccalauréat blanc nº - ES - décembre 0 EXERCICE 4points On considère une fonction f définie et

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie juin 2008

Baccalauréat ES Polynésie juin 2008 Baccalauréat ES Polynésie juin 2008 Exercice 1 4 points Le plan est muni d un repère orthonormal. Soient f une fonction définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels et C sa courbe tracée ci-contre.

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé)

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015

Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015 Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015 Exercice 1 Commun à tous les candidats 5 points Partie A On appelle B l événement «la batterie est défectueuse» ; l événement «le disque dur est défectueux».

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Exercices de rentrée MPSI-PCSI

Exercices de rentrée MPSI-PCSI Exercices de rentrée MPSI-PCSI Lycée Saint-Louis 015-016 Introduction Cette feuille d exercices s adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint- Louis Il s agit d exercices qui sont entièrement

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative................................... 2.2

Plus en détail

Les exercices donnés ici constituent des exemples, leur publication interdit que l un quelconque d entre eux fasse partie d un sujet 2004.

Les exercices donnés ici constituent des exemples, leur publication interdit que l un quelconque d entre eux fasse partie d un sujet 2004. Mathématiques, série ES Exemples d exercices, série ES Les exercices donnés ici constituent des exemples, leur publication interdit que l un quelconque d entre eux fasse partie d un sujet 2004. 20 novembre

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

MATHEMATIQUES BTS1 2013-2014 Corrigés des devoirs

MATHEMATIQUES BTS1 2013-2014 Corrigés des devoirs MATHEMATIQUES BTS1 2013-201 Corrigés des devoirs CC 23 /09/2013 page2 CC 18/10/2013 page DV 25/11/2013 page 6 BTS Blanc 13/12/2013 page 8 CC 07/01/201 page 12 CC 0/02/201 page 1 BTS Blanc 27/02/201 page

Plus en détail

Sujet n 1. Sujet n 2

Sujet n 1. Sujet n 2 Exercices d oraux Consignes : L oral comporte deux questions dont une de spécialité pour le candidats concernés. L épreuve est constituée d une préparation d une vingtaine de minutes suivie d un entretien

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé

Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Florent Girod Année scolaire 205 / 206. Eternat Notre Dame - Grenoble Table des matières I Savoir-Faire 2 ) Suites numériques.................................

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Corrigé Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 2 novembre 2 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats 5 points. Diminuer le budget de 6 % sur un an revient à multiplier par 6 =,94. Diminuer le budget

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Série ST2S

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Série ST2S BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ST2S Durée de l épreuve : 2 heures Coefficient : 3 Une feuille de papier millimétré est fournie au candidat Les calculatrices électroniques de

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Auteur : Alain Ladureau DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir la notion de développement limité. Utiliser des développements limités dans l étude locale des fonctions. Les appliquer

Plus en détail

Chapitre 1. Rappels sur les fonctions Continuité. 1.1 Rappels sur les fonctions. Sommaire. 1.1.1 Fonctions de référence. 1.1.

Chapitre 1. Rappels sur les fonctions Continuité. 1.1 Rappels sur les fonctions. Sommaire. 1.1.1 Fonctions de référence. 1.1. Chapitre 1 Rappels sur les fonctions Continuité Sommaire 1.1 Rappels sur les fonctions.... 1 1.1.1 Fonctions de référence.... 1 1.1. Fonction trinôme....... 1 1. Continuité............. 4 1..1 Activités............

Plus en détail

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI F.Gaudon 5 juillet 010 Table des matières 1 Construction de la fonction logarithme népérien Propriétés analytiques.1 Étude de la fonction.......................................

Plus en détail

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ 19 novembre 2015

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ 19 novembre 2015 Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ 19 novembre 015 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 7 points Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction Baccalauréat STL Biotechnologies juin 014 Polynésie Correction EXERCICE 1 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire,

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 21 avril 2010

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 21 avril 2010 Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 21 avril 2010 La calculatrice (conforme à la circulaire N 99-186 du 16-11-99) est autorisée. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 2013

Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 2013 Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 03 EXERCICE 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions,

Plus en détail

Bac Blanc de Mathématiques Correction Durée : 3 heures

Bac Blanc de Mathématiques Correction Durée : 3 heures Terminale STG Mercatique Jeudi 1 avril 2010 Bac Blanc de Mathématiques Correction Durée : 3 heures L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 6 pages. EXERCICE 1 3 points Cet eercice est

Plus en détail

Techniques fondamentales de calcul

Techniques fondamentales de calcul Chapitre Techniques fondamentales de calcul. Inégalités dans R On rappelle que (R, +,, ) est un corps totalement ordonné, d où : x, y R, x y ou y x, x, y, z R, x y = x + z y + z, x, y R, x 0ety 0 = xy

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Session 2015 Jeudi 18 juin 2015 MATHÉMATIQUES Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE Spécialité : BIOTECHNOLOGIES Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 4 Calculatrice

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 004 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Section : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L'usage des calculatrices de poche est autorisé (conformément au directives

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2009

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2009 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 009 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres.

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Exercice 1 11 points Une entreprise fabrique un certain type d articles. Sa capacité maximale de production

Plus en détail

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2007

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2007 accalauréat S Nouvelle-alédonie novembre 007 XRI points ommun à tous les candidats Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; [, strictement croissante sur l intervalle ]0 ; ] et strictement

Plus en détail

Session 2011. Enseignement de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 7. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.

Session 2011. Enseignement de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 7. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. BACCALAURÉAT GENÉRAL Session 2011 MATHÉMATIQUES Série ES Enseignement de Spécialité Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. L utilisation d une calculatrice

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables ECE Lcée Carnot 5 janvier Aspect graphique Définition. Une fonction à deux variables est une application f : D R, où D est une sous-ensemble du plan R appelé domaine de définition

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Informatique de gestion de 2001 à 2011

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Informatique de gestion de 2001 à 2011 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR A. P. M. E. P. SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES Informatique de gestion de 2001 à 2011 Nouvelle-Calédonie 2000................................ 4 2001..........................................

Plus en détail

2 nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 2013. Lectures graphiques (9 points) Les 2 parties sont indépendantes Partie A

2 nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 2013. Lectures graphiques (9 points) Les 2 parties sont indépendantes Partie A nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 013 Lectures graphiques (9 points) Les parties sont indépendantes Partie A Tous les clients d un petit restaurant ont opté pour la formule

Plus en détail

CONCOURS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'emploi de la calculette est interdit.

CONCOURS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'emploi de la calculette est interdit. 99 MATH. I - PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE

Plus en détail

I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS

I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS Les propriétés mises en évidence au thème précédent vont permettre d étudier les fonctions trigonométriques { { R R R R cos : et sin : x cosx) x sinx). On fixe un repère

Plus en détail

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016 Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 0 A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A Une boite contient 00 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Devoir Commun : 3 heures -27.01.10- Terminales ES - Lycée Newton - Y. Angeli et L. Arab

Devoir Commun : 3 heures -27.01.10- Terminales ES - Lycée Newton - Y. Angeli et L. Arab Exercice Devoir Commun : 3 heures -7..- Terminales ES - Lycée Newton - Y. Angeli et L. Arab Soient f : R { } R, x x3 + x + x + (x + ), et C la courbe de f dans un repère orthonormé d unité, 5cm.. Limites.

Plus en détail