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1 Notes du mont Royal 쐰 Cette œuvre est hébergée sur «Notes du mont Royal» dans le cadre d un exposé gratuit sur la littérature. SOURCE DES IMAGES Google Livres

2 (A 47);.,, - LUES NEVE H LiVREs UE3 ELBMENS Ïn svctxfin;.î RAÈVIT9 ; 8c commenté. M A un]. V Î.- Ëii Rhin demi-1045:0, tu imam]: clirejlim ROY defrm;(yï cnderrta t 4 Dediczâfa Mineur]. I Rama c mnigqpnl dbthew. j f A. z, A P A R 1 s. I j Chci Grill Ail»! ne AvYRAY, au haut de la tnë raina: Jean de Beauuais. au. Bellérophon couronné.. C jà C Va giflé; fiiiiilggë du fia]; à ô

3 n a. I l. l MI v- v 4 -. n..,. A I. o r xg N x A!. o un; O, [g j o,. c y....

4 ,tçireë ï- * A La Lefuordale accueil qu ilæplml - 1 l Il t W)? Mdiefiéfiireâmespremièw, x l. -- res au": Mathmdtiqm, m a: M q.,1" i 3H1; a. W: froutnmfimble de... A I,51»; pigment «ce»: labeur, 7g; l g v apportera par; dire quelquccldrtë. du; fiances;(ggqqelzue dgfir cd fifi" Noblej lîfaiy ce qu elfefioïdfiuaiisc fyfc r) Je V finfiùgemin Prince..,Et qéouucrnemeutçin pneuç e pas; [a tout: claque outrait de, Gauguin (cmpteçlgfiç çl: æinpldronàp gfl bien raflé»; am., la; : Certainexammpnicarion d:- qui; En; a profil; l adminiflrdâdn du (la; (un Rem qui; fiit; mnflre amateur dom, Madëathfigrfircmweàax izlxyæguqkcru-. Wfid mdtl VÉW "à. 4fl4iâî é apüèfl" i (comme riff-le Sage ) il a me tout; tbofês p.0- poids, «tabula-e (ytmefiorc. Et «ne: s il efi [la déifiai: de..) - l. v.l.aij

5 mefimr, comme il Âppartieêt le: chofugrœdçs, la fiimcegui www efims-neceflâire à aux que Dia; dgflœæau npremc lyré de grandeur. le le prit, o S I 11-12,» chaloir a plus en plu; dg? mât-(gouf- - famiir mofla (Imam, au]: «me and: cr de toute: fis Genedifiiom.,.4 P il I Sr à» fgotfi-iqs. l j. Dàî oflromaieste, Trcs-humElc; trcs-obeïœam, 8c tresf z Eddie (flaireur E R K5 R Il, - l.dabmflç-dm. J j c A r:-, Durant axé les fleurois]; 13min: que r4;dem-anmà;iàn-d w propofition demi! des 617w»: preàedmtesfij cuité un: qù il rif-à Wpofiiè El: les vaines redites à? icefles pragmatique: le 1 er gril? I 4mm de une; "page"; n emjchcbiçfi la lumen que le? Êdfiâé jappomr. à dans [è 115?:qu traitera qui in d) quêïqncbofi eflraih au dinfifins ùugiv p kûue; l qu ilfiuclze que cela 414m Æédemonflre (pronéph- familfià. aplanie liane de prendre cefle"b rîêfimê m1. anagrammons 4413i affilas mots (qfifômflm nelji hj efié connqititâfef,n "eâ.. fouges mana) à mammpwq clip a; briefich plmfigiifiçdnfv. ; I.4 l q r «A l a :Î î Î 1 ç.. g R3 V) c vffl-xn * x»-.n.

6 D E M ON sur RATIO. N73- - DES ELEMENS ï. I n uvcnnu. I I. LIVRE L f r ï. w DEFrINITioN PlflEÏMIEEEâj-l E peiné! «une qui n a. aucunes.1 -. parties-.s x 934? L3; ligue. en feulement NueZlonj. r.gueur,fans:largcnr..n ni -; -., ŒlÉÎLes extremitcu ides-ligues- [ont, 4; l T Ligmdmüte.eü i r polluas. celle qui en: gaiement. coure L 1:..pgifcemce fflvainôïsæi:. L. r., en r. y. Superficiemfiqui a longueurôtlargeut la!!! ftu- v 4 c. lamente-. Le; En: des ;.fuperficies l Il. Un (endigue. 1;: ou lignes; ; 7... îupftfisie plane et) qui flexueux; egalemcunentre csjgns-.v 8:...- Angleyl an en]: communie deux lignes qnî. 3*enttetouchent en vn point, sa lefquelles contig.3 nuées firmament: mfmç pointât-g;.i. 3. Angle reétil gne,ell::çeluy tirai et! fila: de deux a: ligneszdroiflesa v- à? :...1: i se. (manique-ligne drbiâe.ztombam. fut. vue ligne émiée, les angkszd vneïpæzà d amas; v O

7 x. egaux enfemble : l vn 8c l au ne des angles égaux (enclume droiôt : 6c laligne dœiâe tombant ("ë nomme perpendiculaire. fur la ligne fur laquelle elle tombe. i. V " *- e u.- Et l angle plus grandqu m drojâ,l enclume Obtust. - v. i u. Et l angle plus petit qu vn droiflr le nomme et u... «. 1;. ferme en: la En de quelque chofe.,.14. Figure cil, guipa contenuè determe ou termes. 1;. Cercle. ell me figure pleine contenue d vne lig ne qul renommecireonference: micelle y a vu feintât. duquel toutes les lignes dreié tes mcnées à «à a eirconferenc: (ont ales enfielles U 16. Et ce poinalâ,ls appe le centre decercle Diametre du ce:cle,efl: la ligniezdroiae pallie:. parle centre,fim e d une pares; d autre à la cit: confeteuce, laquelle.diuife leïçerçle. codeur N egalement.. l e, 18. Mouillé-de cercle tell. vue figutecomenuë du diametrè 8c de la. cimentèrent? comprifeïpar r «itelu ydiatpetre n g, :9. Semer: de cercle et! vue figure conteuuè d vne ligne droîâe, a: d une partiede la eirdoufetepce. 5 le. Le: figures plaintes-teétilignes lout- celles cané tenu ésdeligues droictes. i.. à". w Ï fi; Les une détruis collez (ont cellesmnœuuës durois- ignes dfoiâesëv s: v» j.. u. Les figures-dejquàtre eoftez f; [videlles compriol fade quatre li ne: dromes. i,1 ç :347 Les figures. plufieurs enflezvfontrçelles coma., prifesdepluede guetteiignesdmiâee. - 3 :4. Des figures e troiseoltezjeelle fe nomme

8 le le le 35. livu i 5.5 tu: itne. du la! une 15s rif ne O I triangle equilàterâl quiell: cputmuë de trois en: fiezeaux." h, (w 31;. Ifo ele,quielleoutcnii é de deuxlcoft ez egaux feulenieflt. x» * A. :6. Scal ene,qui eûcontenuê de mais abaca mède - :7. Encor des, figures de trois Jeune;, celle-(e; gom-, merdai: le teflangle,qui,av.ntan ledtoiéli, 18;" Amb igone. qui-ta vn angle o me; L7. U il :9.,Oxigone. qpi a troimngles aigus,. 39. Mais des figures de quatre collez, celle qqi a les collez egaux a: les jauglesjdtçias, le gomme quarté. V I r K Celle qui ales englesidreiëls muils les. mitez l iue gmx,fe nomme quarté 1993:, Celle qui a les collez e auxmmais ludu en.. glas droiâs, fe nomme,rhmn lpe. v V I 9. Mais celle qui a les collez op. ure:,8: les-hâté oppofez egaugmais n a pas colliez-e aux enfembl e ny les a les (kolas: le margine R embâcle; 34. Except (celle-cæles figures déquatre Colle; f): r nomment tablettes ou «agile». t u 3;. Ligny es droxôtes pataudes lenticellesflel qçèl; les effaras en vu mefme plat; Semences demie: a; d un ne concentrent [suint enfemble, " Î: 35. Parallelogrammet cit vue figure plane Côme.- nu é. de quatre lignes drainâtes, delquelleslep 99-, I, perces font pataudes enfielles».,.. 351w Vil-[VENT Les pfgmxflpësj l - i5mspofiüwtfimlvàïii, j. idsuanàîîs ïf SÎ-ÏÎÇ,,t f

9 Ü I p :D vn poiuâ à vh dut ue 96m mënçr iü? me Q. Ç h dwiâee.,.,,,.. I Càqtiuuet vue ligneidtoiâe finie tz nt qu il en i -3. D eferire ferebefoin. vu eercle à l entour d un A poinèt."&e,. M. * 4 frime telle qu onyoudta.. 4 7: c o M VME 5.: se NIE N C E.» 3 umïfl ç.. I 58 choies egales ânyne,font cgales eutr elles. g 1 x 71:: Et fiâ cholbs egà les fadiôullént ch ofes ega-g. à j q les, les taures feront egalcs dechufes e gàle s, (e leuent chofes egales, les tettes fereutegales,, f g i. 4L: Etfi à cho fes inegàles s gdiouflent chpfes egqle s ;.,leçtomes fetciutinegales.. L 5; Ët. (î des tliofeeine galesje lutait chofes egales; a les telles fetdntinegales. v i Î l v l f. Lesh chol es qui (but doubles à vu mefme, (ont çgales eutr èlies. il. v Ë V 7, Etlles chofes v ni ("ont mollifie d une mefme, fautegales entt j. ce. " u l. Â 8: th le: choies qui Ebnuieanent enfemble 8c entre elles, (dut égale"; ehtt elles. i I.. *.. 9. I.e.tout efl: plufèrap û que (a partie. I r 16.. Tous 3,113161! réifie (ont egaux cintre-un:. - r Il; Si demis deuf ligues dtoiôtes tombe vnelignc 7 drpiàej, qlççatàgl es dedâsdfivnemçftne putt, getïs quet e");.rôigsficelles émus ptélônî. gees infiniment?- u tenèbutretotït de la part en lai-3. quelle lesanglesf tpluspetie quedeux dmiétsp la; Deux lignes mêlas ne compteuuent pas la; Pipeau?- 1v.. z. a- u. q, -4. à 1 I.

10 .. v f: j f. 5 au a il: l V. v7 L fia-i V fi) n j:, fr -4 a" j r. y e g v. r " y, g, ev ln z.l. L q 3. PREMIER LI «j ne s;- me; e M E N s.f- N D ÎE ve nid E. luxeroit-1716nrutilement; Dey-w me ligue diçifle donne e finie defcrieelrn x p. triangle equilcteral., RE), O i il la li e dzoiétcfinie &don- i. - ridehb, du ointhâladillàn- z W.. t ce H B [oit de critvn cerclcqurla, A mfiënndemà 4 8: del âlitre point B- n, Q I âle ifiefine di ce fait defcfit vu t J a cuueeeiele; iceux au" en: egaux i a: fluent fixées les lignes r H C a: 8 CâleÆ eêiondes deux cercles C par la gr j ere damul- i SlogËautantqueI-I C e11 égaleàh B 6:3 Canut-1c eii-ib par la definitidu du cercleil s enfuiura du" la premier: commue V i l que H C a: C B feront égales, 8: que le tringle fera equüdnal: : ce qu ilfalloit dqgmonllrer. I I A q i g j un»: œgoposiiionn. [Mini «un! mener magne droite qui: a l i I-..- e. I ; :, p D sium: ligne droitedonnîe. L j ont e m oféegb,le donna-i, Emmène la; furicelle faillanfaleletriahgle «quilatml 38D, par "ü première pnygfitienâoit l golôgie DE vexé Cperhfmndcdeflanlgkfbit tle cercleduèëutteb àiadiflnnce B-G,pe il z DÉÇË EÔËFB?

11 v Etnnnu n Evczun, les. Apresfoitptolon de D H vers I, a: fait. p «tr.- le cercle du centre D fia diflance D C,les dent C liguer D C a: D I feront egêles : def ucllesg, fautolterd B,D H egaleszte mon: B, H I A e ales, perlamijie meemmuc [me Or GB c ï climat: eâ B C, icelle: GB a: HI feront donc cg es,pnlaprmiae renifliefmate. remontroit ilî,î Î: e De deux lignes dioiutiiinegalqdenn des) and: le plus V grande ne ligue droite egaleà le plus petite;. Oitla lus de,h B, Gala lus etite curoit ne l. Su fraânngldaifpoint H drill; vus ligne eg al e! C "5 comme HD,8e faitl cercle du centre H île di- "s v fiance HD: Il fera emdent que HL citant cgale L.âHDferaauflî egaleàc. q. I.. a -, inclination "un; ï * si de deuxnian le:, le: deux enfilade tu fin»; : deux enflez e l âme tu chacun «fin, a l angle de 1 73: toment: des Jeune]! e aigeflegalà l a le de me». Il: «ramie bafe egale a 4 bhfi, a le etiqng e [en cigales.. meugle, a les dulies angles aux alerte: aigles, 1m e «au - «me». aux qui la»: oppofi( aux follgngçüx-. DEsdeuxm an les BHC,& I 7 J. D F fuientl es deux collez " e I, HB,HCe uxauxîdeuxebûez- * " D L, D F 8e es au les qu ils comprennent egaux:fila afe B C en: plus * e grandeque labafe LP, foitde BC W.. 1 ; couppde B I e ahi L Ryrhmifiàndeœlimtaefiait tirée HL Maintenantfi esdeux coite: H113 Je H I font efiimez migdeux celiez D 1., D F a la bdeegale à hbafe i: il entai. en: queleugle B HI ne finplmegalùlangle L ont: uel EH! eflmomdre quel: pore: Il H C deh quautieé del auâe I H C3 - g,» e.

12 ce qui enrabfurde. Scmblablememfe dcmènilxera L F n eût: f Inn: Panneau - -6 point plus. grande que B C.- Si MJGMM mglu,&c. Phone une»., v;. En tout triangle lfiafitelejexangle: qui fin: en le belèfimt exclue enir eux: a ayautmene lee (igue; droit?" effigies angle: qui fimfôubs la 64jê,firem egeux entr eux. V triangle Ifofcçle EH C l aient-letchi: cette» H 3 a; H C pnolo ézen forte que H EH G (oient egaux,& ti- - slesili nés P, B G. D autant que! H, HCvfont egaux-auk ce" e; GH, HB,&quel angle H efieommunfiabafi F C.i eratëaleàlabafe GB parapuvàeul angte -F âl angleg: 51e]: Hâl an le. GB 11,8: l angle FCB âl an le GB C: ces eux collezde C H 8c GB H,refl:e ront H B le H C3 furlabafe egaux:&pu.13 que B F, F C [ont (leur y cultuelsaux aux deuxcofiez C G, G B, 8c ne Ian eltegalàl an gluïûfla biefetaegale la! i li, &lesautres anglesauxautres angles. Dont rs eufuiuraæmes anglesefdnbshbafe F B C a; l; GCBûrI tautiiegaun. C I i, 4 rnogofseron 11.5] t si deuxangler il?» tianlglefimegax emr eteat,allfiiles,l eefllkoppofekeux ding et egaux [6m eaux entr eux. *, I dutriangle H3 C les deux an les H BIC 8c CBYont eg-àûakgilfaudra e H à 8e C, foie: faufil.ï Aumtzfioi; BÏPluS gràndïque - Hg,.[oitçowpézk l :galel»hç. ÂW ne s HG a; CB fontegauxàbp,b 0,8: uclesan es. a qu ils comprennent foutregaux, 131,33 [H C p «à... --* flâhhd-e PB,&nletviengle«HBC autiia ngle F - j Ç, &Ilesyautres angles-aux autreungke, pu kwœe qui alliant, c eentl vn des j s. mtmïen rentre,8: par conf un: plus petit,.48: l an e -P C B ghdtetque l angle fit sskdnnrdnsmglsseîww,m,i. «I * * I 1

13 E 1. unaus n zve r. ria-e,, e Iquaonosuxon ou: V si duexmmitqde quelque ligne droifie devenues ligue: dromes cantonnent en n peiné): deux 48m5 ligne: droifles «de; à reflet-c3 l vne à l aumfieuoirzellespoflêdeng mefgæsleme; (relue mefme par:, ne [è pourront tirer [in 1m pieu à un: une poinfl.. t l SOient delaligne H 8,8: des aneurine i c r A. H, B lesdeux lignes u zéesau page C, ï - H C, 8C a: [oient encor en vu autreæoint P,tirêes li P se B? egales(s diefipo ble) [genou H P. àhc,& BP à]! C polkas 4. mefmes termes,dtautant-que-perla SJPNPGfiM les an es H C de H P C fontegaugcomme aulïi B P C 8: B C P, s enfui. que la partie (et: ale àaquel que choie-plus grande que le tout, comme l angle B 7P ( parue de H C P ) (étoit plus grandehon feulement que C P, H.( comme il aeflé pore) mais auifi que C P B,ce qui ne peut eûteuellemene ne Si.1qu.;. fi le point tombe dans]: trian e comme G. es deuxlignesb G, B P [ont filmées, e es, comme aufli G,.HP, il s enfuiura qùelesan les foubs baie (mon; egaux parle-419? noir PPG 8c LG, cequieflfaux: car H G, H P (ont auflî pofdesegales,& foules angles HG P 8: H P G egaux, telle, ment qu ilfandtoit que l angle H G P fait lus grand que FP G, mais il cil: egalfculementà H P G. Il cit Ï ne manifeflc que la propofition ci! veiitable, I. i. n gneicsxrïôïifii Il:.1:.,..;- si bien page Jeux eofleïegëupaux Jeux enflez in? bituma:. "a bejè gale au bjübm «fi gel I jâ l àqgle,[jaunir1::lecoûtée)! :derfiis iierrdeoiâesèegulegn me augmentfioieutdesdeuxtflm les l Hg» 1 a. H3 C :8: ayans lesldcuîeô l 1 t i,çgaux aux (leur «lichade baie egelç a la filiale, fait? ;H.iacgala lïaug le P: dallait fur,labafel.ço é v na uete mangiez au; L G &GF ega undeu xçoltçl B le ce ï." Q.

14 .H C,,8: hgle G i Legalal Luttheuxenî. e H, ils en fuiuxaquela A ligne - I. G: 7 V (en egaleà LP 8c FOL à;f L amnldfrecedeuçeficlcsautrc53nles e aux aux autres anng Ififld guet-56m?,,ce qui cil: aux, ne; V tlgangle G Ï. F que partie de P I. F. Tellement que Sidon! -A -l a p koto sinon Lux. l L câupper "aigle ufiiligne en deveegelememg p SOltl an e donné B H C, &foieflt H P 8: 1-!- H I. fai es egal es a: tirée P L,furlequelle t L r [oit faj&e le triangle equilnteral P LI, attirée.p.p.d autant ne les deux collez I. H, H F: n» omégalixaux «and! PH,HF;&lnbafeul.. I 1.1 e galeâlalgafe l îfilsenfniura [arienne P a dans: quel an le LHF,[etae alàl angle-phi:-. - parainfil an edonné BH.fetacouppéèendcux egalemontéï engoue-suroîts x4 ; l a coupliez endetta egalmee: lignefiqiéh V H w tlonne ctermine ee; f, 4 50k lali edtoiéte finie H B, fûflaquelle (oit fait e letlian eqüihteral HBC, &folteoluppdl anf Î. HC enjdetixegalementdelalignecd par x - maller-n. D autant que C H, C Dîièmegau: à.. a ÇxB,"C:D &les ce ulilscomprennent egauxjmrp 3. ce bai e DBz me bafe HD Tellement que Brefleonflâée en dèux vegalemeutj feta:.. ï. n,. L253J PROPOSITION".XI...,.. le Wïüè igetdreiëkvæ en emmanchera" ne une ligne tirai, e en angles draille. Il i in e tablée tilloit le inti.» λ r -. EÆIÙIC ËkgaiélesCP,ICL w! L fit P1. foi: dcferitlvetriâgle equilateralpfl; * g &menéelaligne FC.Dnutantquelesdeuxglp en, trianglufontcomgtis dengues egales,ilsfej x c t H.

15 " 1efuturs: naïvement; l Pci r. -. tout CM., mat perle q. que 8. in e en donc egal a angle F C P,&tous deuxferont angles drome, sel la ligue 1 C perpendiculaire far 1, A V * PROPOSITION xil. f v Sur ne ligne draille infinie dundee, a d 1m point demi! ï V qui fifi pas en mutinement Emdmfli-, perpendiculaire. a"..l f V Oit ln ; e ofee H B 8c le point don-. ne honhïellgtëîduqucl foi: tiré m cercle en foret qu il couppe la [ronfle, comme en G L, H (oient menées G G,C L egalee 8: «une l anis L V 1.. gle GCL en deux egalemcm par CI: d ami! queles deux afin: îles (ont equiangles,.l angle l picta aga! à CI G, a; iceut «on duoîts,& C 1 perpendiculaire pneuma. a - i ;, a PKOPÏOSITION xrlii. l esivne ligue droieleïtonibantefiir vhe «tulipe droiflefiàié! Jeux angh:,iceuxfnontdroifis,au egçugeàdeux damât. - - Soitlalignedmiâe LB tombantefunlaligne PC: : in..h r i. tu; fera Jeux angles druide ou egaux à deux i t 1 j drome. Qggs ilefenedmiàsnoiu aunasse qued e-.. v 1 fitjgnsu ils ne fout dmiâs,lfoirefleuée la perpendi- 1, t I. "a: culait: B H dupeuse-3. D antnntquelesttois an- : i ï.gles H B P,& H l VL 8L1; BAC flinguaient droiâs,jl s cnfnînrï nele extrapole P B L, &le fimyle L B C vaudront anal deux l ciel: : a: Percez niel vn eftla Marinade l autre. "a. w grammairien x1111. fi Î si en un point qui me. me ligne draille Jeux «tu; liguer druide! rétament duo]?! a, il "d un plan, l V Jeux les druidisme d une mfinejmficeflesdeuç il; l.. anales"! dataient «Mie: i «" Î i Ç "ï n I l

16 - - IIA mon.pneur t nie K i a V yointdonnêi île-la H B Il, (c en: concurrente! deux lignesvdroiâes à.. I kl C BIS: B faifausles déniait le; H B D a;, t L) H P C egaux alleu! une;, à udta qu icellçs n à. deuil es [oientvyofées flûtâem cnt tomme me (bringue. ébouloit raca: L 5 direçtcment auee B C 2 il s enfuiura,parla patelinerque H B C,& H B I. feront égaux L à deux droifis: and: ils (ont plus petits-de la quantité de l angle 1,13 D :12. propolition demeurera donc traitable. L - PËKÏOIP OS-II ION TXV. V ï - si Jeux lighaglroifiesfèeoupp ent l une l antre. eues feront le? a,5:qu oppofeçl vn contre fautenfimm: egeux. somme Jeux liât-ses dromes H3, C0 keoupans V :5- c..l zne.l auete,v amant; ne les angles H I. C 8: * l ont egallx â deux giflas par Le 1;. HIC 85 on; auflï ux à déni droié ts, le comme HLO citant oflé,re errant HIC et 0L8 egaux. Sem- blablememièdeuonitrem H L O du: e911 C LIS. et. brio sin-itou i à? t.» De tout triangle ant prqlô g e l m des topeçl angle exterieur [5re fluegmij- filin a Mue «(trimaient oppofiæ, -. Verdun a, me boucané BCjwlô- x A L. Dg! vers,ar-cou pé HC «du: cza- i Merlan P, «Baisée..vetsLF,mforteque ELFE faient eëalés, oienuifitirée abrient. gant ure-11w,l P rongea? aux deuxeofltez P. 8c «au? qui empruntant L. 4 * page au fommet V opuntia hmedanflîs. I deux tian les firent e manglestellerncnt je PC l l L dl angl e p 3:11pmgfonexairontcNÏ Ën fus 333:. PHB.Sc bhhkmentkdmoaflamramn H une» drequ xtefiçllrxh..cn.i. i6». - I. æ? -";1?ë or osrrrôumur,l v.. L. a:th les deux-anglesan myotique ce Î a, fd wfwrtwemwiswdwa.«

17 Ennui-æ s, pincent, r, V triangle B H citait prolôn é.b.ç vers - P. d autant que lesangles H CV. fiel-1c3,, font eëaitx à deux dtoié tsv,,8: que l angle exte«rieur,, gît plus rand que l an le H pujl anglel v. Bleî enfuiura que l an le BÇ &V l au le:. H GB enfimble nevaul ontpas deltx droiv V i. l non plus l angle CH B,auec l angle 1H CE. V 0 je a ont); ITION et"! Il I En tout triangle" le pine grand tollé finflt e rle plus graal-angle! son du triangle HBC leplnsïgrâd colla-1c; u L Sil V le H B C n eltleplusgrand du, Êrîalîôüit Couppée H I; cgalea H Fi man! 5 les fifille bâte feront aînmtfçauoir. Hi. BCæV ÉlBL: Mais HLB cil Bi grandque LCB vin-lb ameute; 9mm à» lus ferre raifort HBCV qui cit plus grand que L È fera aulfi plùs g und qu c blablëment r: douro,ll:reta l autre angle. on «qu outre 9e leflûepdt toflefiujlientlrn lepranlgle a: V V, l î, il: - f P tous un 1 O N au, w- En laubtfiçngle lepllwgnçnnl angle (enflent - I-, damer-5" l a 9 in v t oit du trianglç I-VI B LC leplus grandangle le 1;: La"; plus grand collé oeil C foi: vnv autre, comme H»B,il s en fuiura parrûi freeedente, eql le C fera le plus grandeontrèl hfi othelë, truble, épient le. 9 i a t demonfttera &l aütreeôltë B C., De reg maque.. kwangleell.fiùjienodüfimfetiteojfl.-;i. P L.. V. 1.5l fil: [il ;r;);r :.î. : une".. * :;. f. un U ï; PR QPQS ITIONLIXJ 3 - r: utrr an ru "b I ",1. un?,, il; de;denxchjhvritenqnelquefittegne I. et damner. urtitamfriflrt omegunglç mon! panage ledofldlnllv ere *- I u 7.P,en forte que HP fait egal a HCJtibldtslPC:» les au les HPC,&H,CP.feV t e rappelai e. Mais angle: PCB. ell pltls grain ucl ahxgle X CP, J85 par goiifequent presque l ang l Fællslenfitiu fa donc que laligrtel BPIïegble à; B H,

18 . grande ùe C B., comme» Lux: peut redutllir remuas. des prudentes. Semblablemcnr feâemqnlherla le furplus de la propofirion. r 9 PROPOSITION xlxx..si de; extra-niiez de hm des coffrait»: tringle on men: Jeuxllignes droitier dedam inlay ; elles feront (un; Ma ln. lites quem deux autres wilaya triangle : M4116 «(la un: tiendront tu plu: grand angle. - l Oienr dl! m en le HBC 8è des extremirez B,C, n tines 8P, CP ans le triangle H BC:& fait prolongée BP. en L : (laurant que 13H, HL font luis l grandes que El. par la pictaient:, fou adioufl c la commune LC. Ilfcra cuider): que HB,HL,LC fe-. rom: lus grandes ne BL,LC.SemblablcmérL- P, î. c LC ont plus guais que PC:foir adiouflé commune PB : lors CL,LP, PB feront plus râdes que 8P 8c PC.A lus forte raifort donc 8H, HC feront P us grandes que BP,PC. ourla féconde pamc,lï1ngle CPB efl: plus grand que PLC, 86 PLC Plusgrand que LHB. A plus forte raifon CPB CR plus grand que LH. g SPROI USITION xle e Infime w; triait le de trou lignes morfles egalu arroi; ligne: dromes donnas, (à defqu ellules deux prifes en quelqu: fine queue fifi: fluent plia par Ides que Faune.. o Sciatlemoisn hes-clrôite s C,B,H,, K 8c [oit fadât: F égale à H. au point l C fait tirée me ligne cgale à C, parla nie-même, 8c du poinr G (bi: delerfr vri cercle à egale diltànce de C cômme 9K2 K NI. : apres du 1min: F [oit menée L l vncligne drome egnlc à 13,8: dumefine point a: à egale dinance de B foiidcfcm vn autre cercle comme K P L, à (oient menées à linrètfeâiôn des deux cercles K,È,K, GK,egales à B 8c C, il fer: manifcfie que le triangle (et: fait de trois lignes cgales zut piquées; a l r ( - * r "PROPOSITIONJXXIII. immun tofiévn e li ne (170317: donnieà ïn point donne m infini! angle "flingue egalà 1m angle refh lignc donné.

19 v BLEMnnsn Evcfirnn, 0irla lierne donnée NB, &l an le propofé a PCH :Ëir fanât CL egale à C 8c ioimc l - PL.aprcs (oit N G faiâe egalq àcl,& fur N6. comme fur la hafc foie conflirue vn triangle Par. l le moyen de deuxli ne; cgalcsâ LI, PC par ln r * - purulente, 8c foiticcîuy triangle G P N..11 s enfuiura quelles dcùx triangles feront egaux 8c.. cquianglcspar les propofô: par confequent l angle au point donné N; egalâl anglc C propofe. l. l» PROPOSITION xxnr t. v si Jeux triangles on? la deux raflez égarai flux Jeux raflez, l Un à [havanais I anglcplwgrand qu; l unglefçnuoir un. Iuy compris de lignes dfoidl î- egales : aluniront «fil la balê P1144 grande que l1. bafi. V e Es deux triangles HB C, P L F les Pl dcux collez-hg, HB (oient agami aux dcux coflcz P F, 8c P L,I& (oit l angle CHB Plus grand que FPL,il faurquc.. labafc BC foin. plus grande que LEI Au- d c l g trenlcntfoit par la prenaient:, fairl anglc F -. GPL cgalà, CHB, se le cofle GP e alan collé FP 8C ioinâcs L G, F G. les deux angles P G F 8: F G feront égaux : l angle dorfc LF G fera plus grand quel apgle P G P38: par confequent quela parric,fçauoir Lszdontfenfuiüra parla 1.9.que LG (defl: à dire CB) fera plus grande que LE fabrendenrc l angle LGF. Ç 1; PROPOSITION xxv. v nsideuxtrimpgles ourle: democoflez egnux aux de" rafla hm à l autre, (a: la lm]: plwggande que la bafifils auront aujs il angle contenu d iccnxtoflez plut gnard que l angle; A SOi-cnt des deuxtrianglcs H B C, P L F, les l! e Il: deux collez HB,HCchaux aux deuxcqfiroz. P1, PF. &la balle BC plus orand que la ba- Â fc L F. Si l angle BHIC n cll3 lus grand que A. llanglc LP F, parons iceux e re egaux. 11L F Il C. e fenlhiura qucla bafc fera egalc à labafe par la 4. contré la flafla A non. Sll angle BHC cil Plus yçürqucelpif labelle BCfcra plus.

20 .. eixvnz Pksurnn-L, m nielle quelabafe LE up" nmdem ( se qui cil aulli cantre la Pofirion ) dont s enfuir que l an A BHÇ n ellanr point egal à, LPP ny plus petir,il fera parnece né plus grand. V a P101; OISITION x"xvrj deùx triangle: on; Jeux Angles qui aux deux angles; à"; chacun au fieu, (9- l: raflé :34! a]! enflé, ou bien relu) av long duquel [lamies angles gamma; celuy yuifiauflienrl vu des angles gaur : il: auront aufii le: une: aviez tgaux aux autre: raflez w: chleu): «fieu, a l autre angle ëgal *, àl autreanglt. a. - r. A.r g I Seigneaesac ux triangles me, PLI les. deux angles HBC 55LHCB cgaqx aux a a æ p: deuxangles BLÉ a; l vn àlaurre,8c l,.. le cofié BC egalau collé LF. Si Premicrc-,. r j ment 8H cllglus graudlqiue LP,foatdïcc-L luy couppe e En cgalé,â LP, 8e fait tirée a I», ;.., CC. D aumneque GB,I.BC.fonr egales âk P1, LE 5cm fin: a c 1 a! (acutangles egauxfil (enfuiura par la 4,. quela bafc fera ega ca bail-,84 les autres angles cgaux aux autres angles, défi a fçaumr V BCG à LPP(1: efl:a dire BCH) 8: par confequenrla partie e a- le au tour,cc qui cil abfurdc 8: faux.semblablemenr le ferala ce monllrarionslesaunreç cpltez sangles. ",.. PllçpposirroN XXYÏIË ( SiÀVne fignejroq ÉÏe truandant, deux ligner dfoïfifl.,fiiâllrr angles alternes egaux Un à F4Mre,iceller lignes droiâesjej ramperaflelcslemre elles;. 7 - l l x35 MW n ou [aligne-droite ;I.F «manuelles deux - h ligues HL, CP, &faifinr les anglesalrer- Il g L nes HEP, 8è LFiP-è aux: Silo; deuxlignes I Î G, nefontparalleles,e aùçbmontioindre,c"-if,p (ou: fipofhhsqueqefiziten G pomfaircllev.- Srizngle LFG. [Mais l angle attellent HLF «1&pr gland que Ilnverieutomfé LFG parla 16 com relapofirion : icelles dcmi iguane referment and? gaminen- 7 Ü

21 EtnMINsln Evcnnz, mentfe demonftrera ne fe pouuoit r encontrer de l autre: Tellement quelles feront donc Paralltles, A» PnorpsI-rlon :exvna. si Vue Iignedroifle trauerfànr deux lignes droifletfàifl ran- 31e exterieur egal à l angle interieur oppofe d vne mefme... part: ou bien les anglet, interieure d une mefme par: escient. à deux droits: icelles deux lignes droit?" firent parulieler a. 1 annelles. SOit LF laligne droiâe trauerl ant les deux li-. L gnes droié tes H P, C N, 8e (oient les angles LGP 8e GIN egaux.hgi fera egal à LGP par a la 1;. c ell à dire, à GIN. Tellement que par le "endente HP, 8e CN feront patellel esj ourle c I recondfoientpgl a: GIN agauxâ deux droits: a F le ligne 17 G tombante fur ÈP fait deux angles egaux à deux droits HGI,8e PGI:file commun DG! efioflé,refleronr H61, GIN (alternes) egaux. Les lignes donc HP, CN feront paral- leles par la prudente. I PROPOSITION prix, si deux lignes droit?" panade: Il)»: neuerfees d un ligne drome, inde fera le: angles alternes eguux entre eux, (a. terrerieurà l interieuroppoje d vne mefine puma (pin. "rieurs d me mefmepure que: à deux droits. l. - Q l SOient les deux lignes droiéles HP, CN une un uerfées parla droiâe LFgfiles angles alternes a l G r HGLGIN ne [ont egaux,foit GIN plus petitt laligne F G fur H P fait deux angles egaux ac ü deux droits :tcllement que PGI 8e GIN font I, moindres que deux droits:dont s enfuiurapar la Il u. (mon firman gueles deux HP, 8e CN [e joindront du mefme COIN oilles deux angles font moindres que delx droits: de ne feron parafieles(contre la fuppofition ) ce qui eflabfurde. Par femblable demonfiration le nomma H61 n eût: plus pçtit

22 que.* GIN, Lrvnn dont s enfuiura qurils feront hennirai: e aux, En aptes d antan: n que LGP cil: egalâ HGI, ilfera aullî cg à GIN par la prunier: mufemmre. Finalement, d autant ne GIN a ollé muré egal à HGI, arque HG], a: PGI font egaux âdeux droits, il slenfuiura (le commun HG! citant ollé) que PGI, 8c GIN feront egaux à deux droits. PROPOSITION xxx. Les lignes qui finit paradera ne mefine fiurparufleles I entre eflet.ou [rafler direfiernenr. SOiemles lignes HP,& CN parahelesaâ LF,8e H hon limées dueâement. D autant que [angle H01, euegal à en: 8c ceuuyà IKN interieur L appofé 8e d une mefine par: par le premier.", il c s enfuiuraque HG I, 8c 1K N alternes feront egaux parie t. commune femme. tellement queles lignes HP, CN I feront aralleles.pourle feeond,pofons les deuxli nes CK, KN intaillera à LF de non l vne à l autre, il faudra qu tcellcs deux li- gnes (e rencontrengeomme pour exemple au point K. D autant queles angles KIF, IKN vallent deux droits par le preeedente, comme aullî KIL, XKC, 8: que les angles alternes LIK, IKN font egaux, il s enfuiura Pu; IKN se IKC vaudrongaullî deux droits,& que CR, IÇN eronr pofées directement par la quator- 746.: Marjîtüir. i. l, I.l i PROPOSITIQN xxxt. punirait)! dormi mener ne (igue droic fimrullele, à ne ligne druide donne e. SOitlaligne donnée PC &le ppimhors icelle Il, n H, «gel fait tirée vne ligne (1:0ch [in PC, i comme N, a: foiraufli au point H, 8e furla l mellite NH filtrage LHN,eîalàl-largle N v C HNAC "1111;. D autant quelesang es altc i es.. LHN k HNC font egaux, les lignes LH, PC feront parallelee lm la :7.M0fiu ul:.

23 gramens DOEycr xnt, PROPOSITION.XXXII, De tout triangle ayant prolonge l vn des collez. l angle de l dehors e]! egal aux deux angles de dedam qui luy [ont op-. pofiz. et [estran anglesinteiieurs. du triangle [ont egaux En - SOit deux du triangle HPC droits. prolongé le collé PC H I et i A en L,&au point C faiâe CN parallelc,a H17,. i D autât que HC tombe lut deux paralleles,elle fera les angles alternes PHC, HCN cgaux par comme aulli PC tombante [ut les me!z x ùl mes,fër a,l angle exterieur NCL eual à l intericut oppofé HPC. D onrell cordent que l exterieur Ë C L.ell cgal, aux deux interreurs oppofez du triangle H P C. Et pouree que H C L, se H C P (ont egauxà deux droits perla 1,. Il s enfuiura queles trois angles du triangle feront egaux à deux droits. l V PROPOSITION xxixnr. LËs lignes droifies qui icignent deux lign et draiflesparaüelee - egalet,[6nt aufii egales (9- perafle len Oîentles deux lignes droifles aralleles egales 1! et HP, CN, conjoimïtes parles (leur: lignes droi- &es,fçauoir HC de mefme part,& PN de loutre, S 8e foi: tirée la droiâe PC,laquellc tombera furles N- c deux paralleles, de ferales angles alternes HPC, 8: " p PCN egauxpurla :9. tellement queles deux triangles HPC, 86 PCN auront deufiollez cgaux aux deux collez, 8c les anglezf compris dliceux collez. egaux, 8C par confequent la baie CH a la baie PN, 8c les autres angles aux autresanglesjçauoir -NPC à l angle PCH alterneraient, Dont s enfuiuraaulfi (plane? HC, PN ferontparalleles. -. l - L. f r P1090 s triton xxxurt. I, v De tous effiaeetparuaelogramme: le: raflez 01e: angles oppofêz [dm igame entr eux, me le diamant le: gonfle tu deux gaiement.

24 SOit au parafielo -,Lrv-xr tamme NPHC. Parterre... tirée laligne un Il n.. droiâe P C gui faitlcs angles alternes cgaux; i HPC à PCN, 8c CPN à PCH. il au euident V * gueltourl angle HC N tell: egal au tout HP N. c Apres, pour ce ne les deux triangles ont deux an- J gles egaux aux mangles, 8e le çollcé PC commun, les autres angles feront egauxllvnâl autre, 8e les collez aux collez par La 2.6.D6t s enfuiura quelaligne HP feraegale a CN,HCâ PN: 8: l angle PHC à l angle PNC, 8c quelcs deux trian les allants egaux pariçmefme la diagonale PC couppera le paral logïamme i en deux Cegalement. I i * PROPOSITION xxxv. a Letpuradelogrumme; eflansfier ne mefm Infime? entre a mefmc: panades finit «aux qu eux. VR la bai e PCVfoient les deux patallelo- 1 L. F grammes HPCN,& LPCF. Puis que les li? - unes HP a: NC fonte ales,commeauffi LP, ÎC,& fembnb1cmenerîn,pc,& pc, L17, par la preeedme, les deux triangles HPL, a: NCF P c feront equiangles 8c egaux, dchuels foir ollé le triangle com- " man N I. G, relieront les trapefcs egaux H N G P 8: FLGC. Aufquels fion adioulle le triangle commun PGC, il fera euidentque le paranelogmmme PF fera egal illlautrc HC, eflans les deux conflitucz fur vne incline baie PC. PROPOSITION XXXVI ; Lesparuüelogrammes eflunt fur bafi: egulet entre mefme: parulie!" finit egaux curieux. Oient deuxparalleles HLPG, &deux and! N L Li lelogrammesn HC,LG inhales ales oient esleslignes droifles DL, Cl ni cran paralle es prix 3;. &(fcront le parfile-ogramtne.1 P -.- cgal au parallclogrammo H Ç [au prudente, P Ç. F :6? 8c diantre 1 F: Dont cil euideht que le paralchogramme H C cil egal au parallelogrammç LGA partagent ne tomgunefmimee.

25 EçEMFNS divertira," Pitonosrrlo N xxxvrr. g, Le: triangles eflanr fur i ne mefme bafe a entre mefines penaudes,fiant egaux entr eux. Vu labafe P C (bien: deux triangles H P C, t, sa N F4 8c N P C entre deux paralleles, fçauoir P C G v 8c LE. Soitdu point P tirée laligne droié tç PL V M - patafiole à C H Se CF pataflele a P N. Il ell: cuident par,14 3;. que le parallelogramme L C C en: cgalau parallelogramme F P mais le triangle H P C cilla moitié del vn,comme N P C lamoitié de l autre. Il s enfuiura donc que les deux triangles feront egaux par la 7. C. S. Faction-rioit xxxvrtr. l Le; triangles d un: [in bafêr (gales 0 entre "refluer v I peralleles,[orit (gaur envieux I z Oient les deuxtrian les GPC, ILF futbafes G H N 1. egales de entre mellites parallçles,fçauoit fur P5, G1, 8c foir fa1&elaligne CH par-allele à PC, comme aufli LN à E I. D autant que les paralà lelogrammes HP 8e NE fontegaux perla go. P cr. R les triangles quifont mdîtiez feront egaux. *, PROPOSIIION xxxrx. Lettriangfet agamie confiitueîfier une ineptie bafe a dîne, inefmepart, fiant entre mefmer panades, SI les deux triangles fur la bure PC(fçauoir HPC H n a: BPC), egaux,&*quelaligne droiâe H8.. ne foi: para à PC. pofons vue patafiole HI, i 8c foi: riree I C. Les deux triangles HPC, I P C feront egaux par le 37. 8e slenfuiura que la r. A V partie fera egale autour (fanoit IPC à BPC ) ce» (filtrent erre,ayant P C Isellé pelé egal à"

26 Lutin l amiral; x, Lertriangler. estrone -P?.09051"rrON qui [ont fur baies rg de: (a; d vne au... "reflue. i I pendant entre mejniesparalleles. Oient deux ulapgles RPC se NCL egaux,con- n x. i ituez fur bafes cgales P C, C L. si H N niell.parallele à P D, foi:,l-l E patafiole alamefine, 8e ti- ; fixée la ligne Il, F. Lors, les deux triangles HPC se I l V PCL feront aux parla i8, dont s enfuiura que la p c t. partie F C Le ra egale au tout N C L, et: qui ne i peut efite,ayant NÇL poië;galà HPC. PROPOSITION sur; si en Parudelogramme a un triangle munie inerme halé a fini entre mefirterpçralleles, le parulielogramme [me des. 4 [de au triangle. V. 50k le parallelogramme H P CN de le triage H N L, LPC fur me mainte baie PC, 8e entre mefmes aralleles PC, HL, a: (oit tirée le (limonent H C, es deux triangles HPC 8e LElC feront e aux par la filmais licitriangle HPC efflarnoitié uparal- P c - lelo ranime H CNzle triangle LP C fera donc, I la moitié du parafiehgratnme. " PROPOSITION Jeux; A Paire in: paradelogrumrne quid 1m triangle douai. a ayant 7): angle egal à vu angle "enligne donné. l SOitile trian le donné H P C, a: l an le dation,. ce né N,au ne angle &au point donn C foit fait (on eg PCG :8: [bit couppée la l le P C en deux ega ement au point L, duque fait tîé Il, rée-le paralleleâ C 6,8L du point H [oit ti- P L, c ne: HG parallele à P C.Dlautant que les deux i trian les H P L, H I. C font egaux parla 38. 8: quel: " glel H L A cilla moitié du parallelogramnte G L perle m5215] fenfuiura que c5 menue parallçlogtamme feta egal aux deux triangles, (cella dire ) au tout propofé HP C. I il

27 E L tu; ms DlE Lena) r; Pro vos www x1411. in tout pdrmelogmmine les flpplémems des pardâelpgmm-v me: qui En: [in I: damne [5m egaux entr éux. I son le parandograâame H p c N, fa diagd- à 1 * n nalc ou (limaient H C qui usurpe le panl-. U lclogrammc 5m deux egalcment, (rameur del- E laquelle diagqnalc forent les autres paraüelo- A I rames LI; Gf,&1çsfupplemems,PK,KN V: c I âautanr que [a triangle l L K.efi egal auujan-, le HIK, commeauflî K66 à KFC, fi d vn c0flé onvoücïcs eux trîan les HLK,KGC,;c&era le (upçlémcnt LG. Et fi de r l autre, co é ion cite H I K 8c K F C, reflua k fupplémfim IF. quifem-çggl ébatte LG pria;.qmmpmfintence. - r u PROPOSITION xlliii.. Sur 7m ligne drome danuefedefcrire 1m pagüelogmptma (gal à Mu fi me teflilzgne demie, 04m 3m Mgr (gal à; înangle r; v iligne danne, V " I s Ou: la figure refiiligne donnée C.. V I V L anolç propofé N,la ligne donn c elip, b fait pro augée 1P verg L, &fur icelle au oint P [on fait vn angle cgal à N ( comme IPC) dans lequcljmrla 42..foit confiitué vu parallélogramme cgalà C c0 m. me LFGP: 6c fait achcué le pataude. * Il 1.: à. -. gramme PGHI,& tiréela diagonale H? vers N,& foipprolongée FL pourfcjoindrç çn N: fait aufli menée H10, a: GPM, 8c NMG:iccllçsligxrcs FLN, au; faogtpatafidcs parla 4o.èommc suif: HGF, IPL 8c WOMN. Tellemen; (pie HFNO (en mparallclo rammc, comme aufii 1G, 8: ML:lçs fupplémcnts donc OP,» G feront: au; par l4 prmdem. Mai; LG aeüé fait: au C. Il s enfuiurarfonc que P0 argilebgrâo mc fufla ligne cané; I P fera cgal àlafigurc rcâifigne (15114,85; gu cflzlc man lç C, a: antal an c dôné, cflantl angle IPC egal gl anglc 0M c cc gy cgzlâ N, parla confinâtwng PIROÇPOSITION va.

28 l Ï - IEIViÈE vpremiè-rçi- l H, pçefifire a»: pauüeloggàmme ne figure reflilignedap; P pue, ayant vn angle egal à vu «mugie recîiligqedonne. l soi: H figure refüligue donnée. il l. G Ç: H P C N maman? triangles H P N, N PC (comme toutes jaunesfiguresrcâiligncs de plufieurs collez canent clin: recluites. Soit l angle Sonne L; &lalxgne propofeer * I n,. K P, furla uelle &au oint K foi: fai& vnan eegalâ L, 8er!!! la mefine 3m apoliqueppula prenaient: m ar logramme e al au triangle H P N comme K F G r, &ofemslablem enefoit [ne G (egale a K F ) aplicqué vu autre pamüelogramme egal au mangle P C N, comme l G 0 M. Dlautant que K P cil: pataude f: egale à I G, 8: celle-q à M0, Il s enfuyura que K M 8c F0 fera:,cgalcs 56 P : P4! la 53. a: que la figure entiere F M (et: y n paraüelogramme ayant l in le donné a: la Il?!e cgar la à la, figure rectiligne propo ce H P C N. v PROF OSITION XL.VIL Un: ligne droifle donnée defi rire un: quarts. I V173 la ligne donnée HP fait elleuée laperpendi-l L culaire du point H comme H L,par la u. 8c foie. faiâe HN egale à HP. Aprcsfoir du point N tirée N F NF patafiole à H P, 8c dupoint P foi: tirée P F pataude à H N. Il dt cuidcm que la figure elle tende &Fnrallelogtamme, &que l angle H.c eî al H P à lloppo é F Mais les deux au les H 8K valent deux droits parl Il s enfuit donc ne cil choit, comme auflî longé tellement que H P F :0; m quarré. Pl-OYO SITIONLXL IVIL Mx qianglegreâangles le quarre qui eflfàiltïdu «Il! uî fini-, [lient [angle droit: a]! :34! aux qperrek qui [ont du de! I cpflçæqui comprennent l angle droit.. l " Oh le triangle rcflan le HPC ayant Tapgle H «boiteroient, auffi les nous quarrez efczits fut l es, collez PCLN, HÏKC: 8c 1:!GZP. Pour ménlfrcrque le quarré (IN (oppofé âl angle dieu H) efl cgal aux deux aunesgoi: tirée fur N!- laperpendi- V

29 neume vivez. x ne," Lune 21131:1): me H0 1 qui fetîqpamlleleâ PNparla 3.8.Soit anlli tirée H. a: th que G P O en vnrïarallelo marne, le triangle HPN,qme fur me ebafi: PN &entre a. neûnes pataudes PN, HO ferai: moitié 1: c d iceluy.mei.ntenantletnange ZPC ales 1 deux collez ZP, PC egaux aux deux ce. fiez H P, P N ( comme ilne [e peut faire autrement par la conflruâîon) &rl an le 3M o L ZPC cit comparé de l angle droit ZlgI-l 8c de l angle H PC :eomme en femblablel angle NPH cil: com- gel! de l angle droit NPC,& du mefme HPC,qui efl commun.. l fenfuit dalle üe l angle ZPC cil egal à l angle NPH, a: par eonfeqnentlab e ZC egale ailabafe HN, a: les autres angles v aux autres angles : s: le mangle e al au triangle par Mais le quarré HGZP 8c le ttiangle ZPâfontfur mefine bafe ZP a: en mefines Paralleles ZP, GC. Il fenfult donc que le triangle ZPC elflaxàontié du quarré HGZP pu la 44.6: que ee 11mm! cit egal auparallelo me P0 par la 6.:mmunefeut. Sem lablementfc monfireralautxe Quarté K H ellre egal au reë tapgle C0. rnoroslr nonxwux.» si le quarré qui a]? lofait de l vn des «MJ?» triangle e]? gal un: 7100,"qu 4mm com du triangle; L anglr contenu : enflez du triangle [en droifl, l 0 r T le m3351; H PC du uel le collé PC fait K vn quarrée aux quarrez e HC a: HP.Soit l en aptes fur la lgne CH au poin& H elleuée vne Il çrpendiculaire H N egaleâ H P, 8c fait tirée. l C. D autant ne les nitrez de NH,HC, «en: I à dire de H P, C). nt egaux au quarré de CN éèlaptêlednm. lls enfuiura que le quarré de C N fer: egal en quarté de C P, 8: par confequentlalignç N C egale à la li e CF, &le triangle N H C e &equiangleauuian le C H,0: patienlietement l angle C P egalâl angle N H,c ell: amlfijçç qu a falloit demonlher. v l V. e En! DE nuna- au", l l

30 . v p à LE SECONDLIVRECDES- ELEMENTS D EVCLIDB. COUP mm. kpu 1ng ds le a! en IPC nié Darnmrzon rumeur; O v r parallelogramme reétangle cil dit ellre contenu de deux" lignes droiâes qui comprennent l angle droxâ. a. En tout, efpace patellelogramme, vu chacun d ieeux parallelogrammes qui (ont fur le dia, mette ayant vu angle commun,auec les deux fupplemeurs le nomme gnomon. a 4 PROPOSITION I.- 3!in a Jeux lignes droitier. dont me [ou eouppe e en autan: de partie: qu on voudra, le reflangle contenu de: deux li-. ne: droitier e]? egal aux "(langes contenu: de la non-. «zapping d une chacune pieu de la couppe e. S Oient les deux lignes droiâes H 8e G I, delïl quelles G! fait couppée en K,O,foit au point H G efleuéelnperpendiculaire GB &faifle egaleâ.l N L a H. Soit en a res urée B C. pataude à IG,&L CI à BG, icelles eront egales aux appelées, Je feront vnre âan, le B I : (bien: aulfitirées K N a: i0 I. G K 0 IF pataudes a B G, a: p1: «affluent egales : Ilell: cuidene que les trois pataudogramme: 8K, 0, LI ferontreûangles parla». le compris de laligne non eouppée B G ( deflâdire H) 8: de chacune piece de la cou pie GIS, K O, 0 1:8: pouree quille côæpofçntletout-æ I,ils lny (en: donc egnux... 4 PROPOSITION Il. I 8l rne ligne droifle efl entende comme on voudra. les refilera; glu comme de tamia ligne, a. En: elzacunepieqe, [ont eguux au quant de route la ligne,

31 II E EBMENS nîvctlx nz, son laliane droiâe INVL couppée en F,& tourné 3 a le quarrgnhbl &vtiréc en angles droitsrla ligne V *.- Vdroiâe PC pour, élire çgule paralléleâ IN H, &i l faire les deuxred àngles; HF, CL,.qui comparant., le tout H L; 8c (ont compris de la toute N H oun F L PC,& «le-chacune des pattics comme N F, Phil cl? cuidait qu iceux reâangles [ont egaux à leur tout; f iuoeioflsyxnon un. Situe ligie draille en rappel: comme on voudra Je regonfle contenu de la toute g- de Pmdes pieee: que al au «au». J gle minou de! piétera? au quarre de ladi e (une... l,,, son la 11ch droiâe (il; coüppée en N, C. un? foi: la ligne droiâici F H perpendiculaire a: - * égale à NL, 8c fait faitle reflangle HL,& elle-p née laligne" NC pour çlltç parallele Je cgale à b j F H. Il cil cuidentqne C L fera vu quarré,& F L HNwrulreâangle longfait delali: ne HF.(o ell: a V; K. 3l: deux foutonrenuder piner.. t N, adira NL l vrie des pieces)8ç de 1 autre piece FNÆopource que ces Jeux figures compofent le to u; HL,qu luy (ont eggles, p l maroufleroit un si magne draille ejl confiée comme on routin Je dela routée)? egalmr eux quarrezkderpieœrmgr confianson lafignedroiâe NI. eouppëecn mais; n, e. ni i r.finricelle NI. filtlcqnané NHBL: &foir efle- v 4 «demandes droits. PC poucieflreparallele 8cx l 2.1.: ogàleâûni-l Soit.a.ufli airée la;diagooale BN,& v. * a ariiaieéüon Cible menëi: 1K rparallele 8c e e e L la; r. a NL. Ilcfteuidont quelle quarré furlapa nier Elle; a; 71 ; (c ell: âfçauoir I F &l auçeaquaxré liarda e FL( c eft alicauoir C K) aucc le reâangle Jeux fois derfiîf L, (c en: à dire," KG, 8c GLfionEtoutle quarré HL, 8e par eonfequent mon x

32 " vin!!! Saumur..Î à, lancinas-inox Y? une ligne drome diuzfèe en Jeux picte: egalesl (men, deux inegalefile refiangle contenudes pieu: inegaleade i la tome, aux le quarré de la fifiion entre, mmnneujlegal au quarré de la moitié." l, l Sort [aligne coluppëc cigale-v a. N mon! en C, &inegalement en N.Îoitfait «limitai: le des pxçceainegaies H N, N Bz. 1,,w. ù (Bell: àârè,lcre&angle HI.) Soitaullifait 7g!.- î lleqîilarrédelamoitié C B,(.*c ell:âdire,lequar-x. q te,.1: re CF )J& [oient tirées NIG, se :LIM D au- 1 A tant que DM cil egaleâ NI, 8c MF cgalc. à C;N (o efiâ LI ou IG)ilf enfuit ne LG cil vu quarré,leguel joint au refilanglc i H mm emballa e.egaux au quarré C F,parce ne le rectanle N F.elt eëal au remugle H L,elfant compris clignes ego,- I spath con minon V v SITÏÔN Vif nm ligne drome efl couppëe en deux picte: agrafes: a on luy adioufle direfiement quelque ligne timide: le reflangle iconienu de la toute anet l adioufle e; (7 delfadioufle e, que: le quarré de la moitié efl egal au quarré guiefl filin? de la moiriez? de lodioujlïeromme d une. " I I. N Ï Oie la ligne drome ïh B couppe e en deux-h il" B.- iegnlement on (3,52111 utilefoitappoféedi; v O nëtemêt BN. En: Soitfait far; rufiangle z l de luron-ni» L. te 8c de l appofée, c elt âfçauoir H N,.êc de, rappelée B N (c eflvâlidire N M.) Et [oit ce t l CL (il re& le KM : puisfoitdc C N faitle nul - i l ré YC, &foiotiréob G patafiole-8c e eâ N EiD autant parlacvnflruflion CE où e ale à M (colt adire à O Clan L I ): il s enfuit que LG e lv1! quarré, harpie! auec le reftan gle H M lofieëal 311qu CF,parce que lexeâangle G M eflegal au reâang e C (c eràdîre CK) milurumgn: l v. r

33 ËLuuNs n zvcnvfil. PROPOSITION vu. sine ligne llroiél e elirouppé commeon poudra, le quarre Je la toute, (a- le quarre de l une de: pièce:, iceux deux quail Wnfirnblefonr egaux. au «(bugle contenu deuxfo u de la tout: a de ladu iepiece, (9- au quarre de," l autre picte. Oit lalignedroiâe 8H cou poe comme on 3 t. u Svoudra en C : a: fur B H oit fait le quartet, BHOszoitla ligne DE. faiâe egaleà BC, 8e G faittirée CN arallelesregaleai BL,&7FI à BH. Soit encoffaitle quarré,n S de la ligne B C ou; 1. N. D autant qucles deux rectangles PH,,8: FZ rail, T., quilont compris de latoute BH(ou F S) 8e de la lgieee BC (ou BF,ou P G) enfemble le quarré IN fait defaiutre «me C H, com ofent et le quarré de la toute ( c elt afçauoir IlHL)& lequarré Seladiâç piece B C (c efl à fçauoir N S) il cit certain qulils (catogan: auldits quarrez HL a: N S, «5mm: tantales parties au routa I I a - - Pnoposnion viri. sivne ligne droifle e]? couppe e comme on voudraje reflangle. contenu quatre foi; de la toute, (-7 dîne des plongent! le v îuarre de l autre piecmfl egal au quarre de lanugo. de I adifie pitre.. a f Oitlaligne droifto SE couppée en 6,8: [oit a: a]. a a». appofée laligne BT egalea 5G. Sont furia I cémpoféc si T fait le quarré sroc, si :i-r l à - n rez CR, BZ paralleks 8c egalesà S C. soient l auflî TL, DP egalesâ ET ( c elt adire SG) &M ë-qi-q f rirees L F, P M patafioles 8c égalesà S T.Il ell: "R a cuident que les uatre rectangles SK,IB P, D N, a: RFfont Faits elatoute SB 8: de la piece 86,8: ne le quarté 1K O N cit fait de llautre piece G 13,8: compofdtîe narré fait l delatonteôedel appofée B T,laquelle B T ellegaleal vne des ieces fçauoir 8.6. Il efl donc euidenr que le quarré S D fait Parlacompofée S T.efl: egal aliceux quatre reflmgles, à: au quarré I faitdçl auuclpiece GB..., I » R o p o,

34 Liv" mon; i, as» PROPOSITÏO N. ne. Si in. ligne droifie efiicouppe e en deux pkeeiegale:, a en deux piecesinegale: :le: quarreædespieeeeine ale! de la Jante feront: double: aux gamma: la mon a? de la [iman entre- moyenne. O. I SÔii laligne droiéle H3 «une: en deux à i egalement au point Cl, 8: inegalemenr ad point N.foit efleue e en angles droiâsla ligne droiâe C 8,8: faifle egale a C H,,Sz bien; me. q c n -* nées H3 18C BS.D auranr ue les deux triangles HCS 8e BCS [ont dolce es, ils ont les angles, l liula bafe egaux. Or. H C S efldroi&,comrne mm B C S,done par la 32. du r. l angle C faut vil derby. fa, comme aùllï H5 C, SEC, 8e BSC. Celuy-q jointâ HSC era vu angle droit HSB. Soit aulli ellcuée en angles droits NF, le du point 1 foie tirée F G pataud; 8c eglîll e à; N (2., Il cil: cuidait ne N P de egalëâ N B (faufile F [B eflantdroit,& NE É emy droit tomme aùfli NF )par,146..duprernier. Semblablement F G e egaleâ G S., Soittire e H F, D autant que parla prunier, les quarrez de H N 8c N B(ou N F) fontegauxaù quarré H F, a: queceltuy-cy cil: egalaux quarrez de F 8j 8:,83, 8c ne le gnard de S H cl]: double au quarré de H C, &le quarré e 8 F u oubleau quarré de G F (ou CN:) il s enfuit que les quarrez des deux pieces iriegaleg H N 8c N B (ont, doubles aux quarrez de la moitié H C, a: dela ligne entre les deux lè&ions C N; en0posü-foiv si tine ligne drome effeouppe e en deux pietà! égales g a on Iuy adioufie direfieotenr quelque ligne droifle : le quarré de la toute au: Fadiullie a le que"; de radioufle efine double! auquarrez de la maïa Jeune efl fluide de la dm. l

35 v Ennemis u Ev c une, son la lignejdroié ce S B couppée en deux r egalement au point C, à laquelle foi: dire- ç p &emeut appelée BN. Soit du point C elleue e B en an les toits CP qui foi: egaleâ C3. Soit c N aulli aitle reâanglc C P F N, (bien: menées S P, P B. Ilcll: cuident que l angle SP B fera. I - a droit (cliant compofc de deux demy droitslcomme en la procedente. Soit prolongée F N vers 6,8: PB vers G. Le trian le BNG efireâangle 8c ifofcele, d autant que l an le PBC ellâ -, my droitpar la conflruflion, 8c egal âl an le du Émmet N B G,. commepar confequentliangle N G B e aulfi demy droit (l arile B N G citant egal à. BNF, 8C par confequent droit lparla x3. premier. Dont appert qu! F G c coalezi F P. Soit finalement menée S G. D autant queparla 4.7. apennin, le quarré de S G cil egal aux quarrez de S N 8e N G, ( ou N B) 6c que cemefme guarré SG efi: egalaux quarrez de S P, 8: PG r 8c quele narré e 8P dt doublega quarré de la moitié S C,& le quarré e PG double au quarré de P F (clellzi dire C N, qui cilla moitié anee l appofée) il s enfuit que le quarré de la tout: 8: de l appofe e SN, auec le quarré de l appofée B N (ou N G) cit double aux quarrez de la moitié SC,& de l autre moitié aucc l appofée C N.. PROPOSITION. V f x1.. L Coupper une ligne drome donne e, tellement que le reflangle contenu de la route a de l vne des pictes,joit egal v au quarré fiait de l autre picte. * SOi t la ligne droié ce propofée H By fur la- n u quelle (oit defcrit vu quarré H B N C, foira. couppé en deux egalement HG en L. foitme-» T K née L B,8cprolonge e CH vers F,en forte ue r, X 3 IF fait egaleâ I. B. surlaligne HF foitde ciitn K 1. c le quarré H FG I, 8c foi: menez G I KaD autant que le reâanole compris de la toute 8c del appofée comme d vne ligne ( c e à fçauoir CF) 8c de l appofée F H, ou F G ( c en: à dire le reâangle FIC) aue-c le quarre delamoitié H L, ellze l au quarré de L P parla 6. deceliure,c ellà dire de Il B Ion e e, arque le quarré de LB eflegalaux narrez de HB, H : il s enfuit (le commun H L citant 0&2 ) que le quarré de H I

36 ell: égal au reâangle j F K 1.1ka, 8e defquels SECOND. finalement, li le reâangle i 26 commun HK cil: ollé, le refilangle» I N demeurera c alan quarré Plie-ligne HB cit donc couppée,fuiuâtla propo irien. paorosuiorx x11. Aux triangles ambligonet,le quarré qui ejl fait du cofie qui» [àujlient l angle obtus, éfl plut grand que les quarrez qui pntfàits des rafle? qui contiennent l angle obtus ; de la quantité du œâangle contenu deux fou de l un des raflez, qui. [ont à l entour de l angle obtue.,defl ua lequel eflant me- -, ne,toml2e la perpendiculaire, (9- de la ligne prifi: dehors entre la perpendiculaire, a l angle clama. Oit le triangle ambligone BCS, ayant l angle S obtus. (oit prolongélecollé C8 vers 0, 8C faille la perpendiculaire B O. D autant quelequarré de BC cil egal aux quarrez BM c 5 l r M 8c O L, 8c le quarré de B5 egalaux quarrez?! v B M 8: S I, parla 47.dupremier: Il cit cuident t que le quarré de BC n excedele quarré de 33,1- A (c ell à dire les quarrez B M 8c S I) ny le quarré de C5, ( qui en: S H) que des deux reflangles 1K, 8c K H; Or foitfait 1d Quarré CON L, 8c tiréçla perpendiculaire S K, 8c faits les quarrez S H 8c si. Il efimanifelie que.i N cil: egale à C S,&c H L (à S O. Tellement que le reâangle I K cil compris de lignes I égales à C S, S O, commeaullil autre reéhngle HK. Donc au: triangles ahilrlgonesgrr.. PROPOSITION x-ixn. n q. Aux triangles oxigonesje quarré du raflé qui fitujîient l au le v pointu, eflplua petit que les quarrez, qui fifimt de: collez qui contiennent l angletpointu de la quatm tel du relian-. gle contenu deux foie de hm des enflez, qui [ontà l en- h i tout de l angle pointu,auquel tombe la perpendiculairemr de la ligne ptife dedans entre la perpendiculaire (ylang! pointu, I i i" -,

37 ELEMINS D Evctrnt, Oitle triangle oxygone S B C, S B fubten- S dent l an le aigu C. Soit tirée la perpendicu - luire S O ut le collé au ion de l angle aigu.- B C. Soit faitle quarré B CLFg. Soir prolongée a 80 vers G,&faitle quarré O I. Ilell: cuident - parla 47.du r.que leq rréde SB ne vaut que a les arrez de 80,8; O. Orle quarré de.bc (c e àdire BL)ell:p1us rand queloquarré de B O (c ell O duvgnomon C GI. Et equarré de S C oit plus rand que le quarré de 80, du quarré de 0C (c ell 3. dite FNlâI. que nous polons clhe defcrit fur l F egalc a OC.) Mais le reâangle 0L en: compris de CL (ou BC ) de de C0, qui cil entre l angle aigu C 8e lapetpendiculaire. Etl autre reâangle HG ell de melme,eilant GF egaleà B0, 8: EN à FI: 8: FI à 0 C parla en»fim8ion.tellement que G N cil egaleâ B Ç, 6e HN à 0C1 Le quarrédonc de S B cil plus petit que les quarrez de B C de de.sc,des deuxreâangles 0L 8c CH.. p. PROPOSITION XIIIÎ. I 1 Faire 1m quarre egala tu refliligne donnl. SIO 1 1 la figure refliligne donnée S, allal quelle foi: ait dans vn angle droit donné n. vn parallelogramme reflangle egal par la 45. n du premier, 8c foie iceluy reâangle B l N CF.3 Soit prolongée B1 vers L, en forte que IL N c s. fait egale à IN. (oit couppée B L endeux egalement,côme en (5,8: fait du centre G le demy cercle BHL, 8: prolo de NI lufquesâlacirconference, comme en H, a: menée G.D autantque B L cil couppée en deux ega ment. en G, 8c inegalement en I, le reflangle comptis foubs, I L auecle quarr de G I cil: egal au quarré de G L (ou de G H fou egale) par la 5.deee liure. Mais le quarré de GH ellegal aux. quarrez de 61,8: I H ( l angle G I H citant droit d un colle de. la perpendiculaire H I, parla au in. in fenfuitvdonc que le re&angle de 31,11. (c ell; adire BN) anecle narré de GI l cil: egalaux quarrez de H l, et I G Mais le uarr commun de 1C citant 036,1: rcâangle B N gel: quart de 1H flemme; q tout egaux., * s

38 v «A ««LE TROISL IESME LIVRE DES ELEMENS D EVCLIDB. I Damnation neuraux.» v E s cercles egaux l ont ceux delquels les dia-. mettes font egaux: ou defquels les lignes menées du centre (ont egales. l A a. Vue ligne droiéle cil diâetouclier vu cercle,laquelle touchant le cercle, fi elle cil prolongée, v ne coupe pain: le cercle. 3. Lester-clos font dits le toucher enfembleîqnand le touchansl vn l autre ils noie coupent point calemblo. 4. Les lignes droiâes en vn cercle (ont diâes offre egalement dillantes du centre, uand les perpendicuo laites tirées du centre fur icelle slont egales. Mais celle le dit plus dinante fur laquelle tombela plus grande perpendiculaire.. - L t. Seaion de cercle cl! vue figure comprife d une ligne druiâe 86 de lacirconference du cercle.. e 6. Mais l angle dola rection cil celuy qui eltcômpris d vneligne droiâe 85 de la circonference du cercle. 7. Mais vit-angle le dit sûre en la (talon, celuy comris de deux lignes droiâes menées des extremitez de a ligne droiâe coupante, 8c lefquelles concourront en, vnvpoinâtqui cil en la circotifercnce. l i l,8. Mais quand les lignes droiéles comprenant l angle, prennentqüelque circonference,en icolle en: la grandeur de l angle, qui le dit citron puyé fur icelle..9. Seélrcur de cercle cil me gure contenuë de deux - i x - C i9

39 ELBMENS D Evcnpr, demy diametres failans angle au centre, 86 d vne partie decirconfcrenee prife pariceux., v 10. Scmblables [collons de cercle (ont celles qui reçoiuent les angles egaux,.ou bien clqucllos les angles lbntegaux entr eux. 7 PROPOSITION 1.. Trouuer le centre d un cercle donné. O r r dans lecerclo CHIB tirée vne ligne contingente HB laquelle (oit diuilée en deux egalement en O, diiquelpoint fait tirée la perpendiculaire de collé 8c d autre iufques alla Circonference comme CI, 8: icelle foith diuifée en deux egalçment comme en F. Si i le point F n ell: le centre du cercle,foit fuppofé vn autre point G,& foientmenéos CH, GB, GO.Lors GB feracgalcd CH, de l angle H fera egal àl angle B,8c les deux triangles compris de lignes egales feront ogaux 8c equiangles.l. angle donc GOB foi ra egal à l angle G O H, 8c par confe tient tous deux droits: il faudradonc que l angle droit G 0B oit moindre que l angle droit BOB, &l anglo droit GOH plus grâd quelc droit FOH. contrelaioxotnmune fintenee:ce qui cil: abfurde. Parquoy le centro ne fera point horsla ligne C I. que fi en icelle on fuppofo vu. autre point, les lignes tirées d iceluy à C 8e Il fieront ingalcs contrela 15.definitioii.. a. q v I, pactosrrion 1.1.; si en la circonfirente d vn cercle,l on prend dental: points qu on voudra, la ligne droitiünenée de point -. à autre,tornbera dedatu le cercle. a a SOicnt en vue eirconference de cercle deux, points commolh B, 8c [oit menée la ligne H B, &.icelle couppe e endeux egalement en l, 8c meno ola perpendiculaire I 0 & foit: le point, O le centre o. du cercle par lapree te.soiene aufii menées H O, 0 B qui feront egales. D autant

40 u uclhngle 016 efl: droit, Lux! il s énfuic Tnorsusuz. qu il cfl: plus grand que I 28 B l,» ou I 0 B, &que par confisquent la ligne O B cfl: plus grande que O I. Dont eflmauifcfte que lalignc H B cit (lamie en]: : car fi elle cfloit hors Lecluy, O I (croit plus grand que O B, 8c fi e11 oit en la mefme circonfcrence, le mcfme O B- fctoit egal à l plu la definition du cercle. u I u v PROPOSITION.IIL si au caïd: quelquelzlgne droiflepafiîam par le statufiait": quelque ligne droiâe ne paflàm [un parle centre, en ligua: a alunent: ellç la couppem aufii à drain angles 5 a fi elle incante à droits angles telle [a couppeu aujît en deux t egalement. - A V cercle CHOB foit lalignuc COCficnduë par le centre I çouppant en deux cgalcmcnt H B, qui ne paire point parle centre, foient menées I H, I B.D autam: que lçs deux triangles [ont equian les, il s enfuiura que les angles I F8, 84 0P B I F H crout cgaux, & par conféqucnt droiâs. f I Pourle feeond, foi: H B couppëe par C O en angle: droiâs. D autant uc les angles furla bafe H 8c B (ont cgaux, 8c I F B, l F H au 1 egaux par ijpoflnfe,& les collez HI, IB egaux,l aune anglc fera e alà l autre anglç, 8,9165 autres contez aux autres cofiçzpurla 16.. upmnier.dont sfcnfuit que F en çgalâ F B. j PROPOSITION un. situ :6er1: deux lignes duoiffei fa cbujzpent çnfemble n ejlans. V Pu; menez: parle çenm :elles ne [acoupperompoint - v Ï O Oenfimble en deux parties egales. - Dieu: deux lignes HC,B O au cercle H GO, SI: cou 15m.: çn 138c fait du centre F tirée F I. êil ellçs (E çouppènt en deux cgalcment lianglè T 10 En droit par lnprucdente,& Par con!èquent ègalà F 1 B; 8E s enfuiuroit aufiî que l angl; droit a PIB feroit aga] à l angle droit F1H.Ce qm ne PCcuç U

41 Elena)" nivelant; e eûre,n efhm P114 que mie de F I B. Et quand mefim: me de ces lignes feroit cou" e en deux cgalementjl (e demonflrçla par mcfines tairons l aune etheçpuppee inçgàlement. Tellement dopc,fi a renie, ou. l.. raoroslrlon si Jeux eireonfireueetfi nappent enfimblegflee l aune [me 1m mejme centre. Soient deux drconferençes fe couppant en t - Ç &B. Si I en: le centre desdeux,foient menées I C, I P a: I G : il renfuiura pur la definieieub eerele,que les trois hgnes l G, l F, x I C feront egales (c eûâ fçauoirla lus gram- n de àla Plus petite.) ce [une peut: e contre. à. la permet: commune-femme. Si dmfmu,ae. l PROPOSITION v1. si deux circonfèrence; [ê touchent dedans, elles n aura» I pu me mefme centre. O SOiem deux cil-confiances H B C, O I C fe H. x touchaux au point C, fi F cû le centre des deux,foiemmenées,fc, F I, a: F B. Il s enfuir un que les trois lignes F.C, F I a: F B feront cgales,c eftàfî;auoulaçarde F I au tout F B: ce lqui ne Peu: cille. Sidonie»: eireonfeenaees,0e. e PROPOSITION VIL.A, si au dime": de tacle]? prend quelque peine qui ineifih pas! le centre du cercle, a d ieeluy point tombentque que: lignesdroifle; en la eirconfirenee: la pluegmudelëm «ne en aquefle efhe centre,l (g- lu plus petite celle a; relie : M413 de: «me toufiours luplm prochaine de e e qui e)! meule in le ceinte e]:l plu: grande que la plu: bing. Je: Jeux lègues druide) gales unefeulemne tombeau d iteluypoiæy au cadmies dundees de (que faire. k

42 - Lux; Txoxsusuz. z, ü son le (listeau H O, le centre 1,8: quelque 4 C point au diametre qui ne fait pelade «une, du and;i cumin: F. auqueîlpoint f [oient ti- x ;ées lu eurs ones à circo etedcç, comme e v v. f DE C, F G, Î? 0. Soienten aptes tirezles dçmy diametres IB 1C, 1G. d autant que les deux a cofierb I 8c IF omplus gaude que FB parla La: que HF leur cl! egale,h F fera donc u: grenue que v B F, 8c [emblablemenzplus grande ne C F, G, 8c 0 F, 8.: à toutes âmes lignes ui pourront eau: tirées de F, car elle fer: gonfleurs egale aux eux contez du triangleæt d autant que B I, l F fonte auxà CI, IF, 8e que l angle B I P en plus grand que Jeux le C, Il]: bafe B f (en plus grande que labafe C F. Sem- Vblab ement des autres. Et pouce que le coflé G I efl: moindre quelesdeuxeoflzez GF, F I, se que a! eû e cal G I,icelle Q I fera donc moindre queles deux CF, F I; a commune F I citant oflée,s çnfuiura F 0 dire plus petite que gueleonque auâ çre hgne tirée de F à la circonferenee. La hgne donc ui paire I parle centre cf! la plus grande,fçauoir F H, 8c l autre tâtée plus petitefçauoir F 0.Des autres,celles qui fomplus proehes du cétere fontplus grindes que les plus efloignées. Poule demter,foit [ne]: ligne FI fait vn anng en I egala G! 17,8: foie F I N,foit, menée F N qui [en egale a F G. Il efl: cuident qu on ne pou tirer du point F me autre ligne il: circonference de celle me - me part qui ne s approche du centre, a; ni ne foie par confèquêt plus grande,ou qui ne s en efloignç, 8; oit plus petite que F N parladqeufinb nle Jardlepnpofitiou. ruonosxn os un, si dehors le merde [ê prend quelque palma d iceluypoin! en la eireonfereneefemenem quelques lignes deoifiegdefquel. les l vne p4 e pur j le centre. a le; une: ou 1 on voudra: des lignes me!" mene es en le circonferem une, la plu guide e]! celle ui paye par le «une: Et de: me toufiotm 14::pr pre:, e une qui par le centre, e]! plasmide que Le (du: loin. Mai; des igue: droit?" tombant en lu cireonferençe connexe, une eflld plutpeeiee qui efi interpopofe e entre le peine a le dime": : a de; une; cefle qui z

43 . ELEMENS n Evcnne, 4 cf! plut pre: de tu plus petite,ell toufiours plus petite que celle qui en efl plus loin.et deux lignes drome: egales un! feulement tombenedu inefinepoinr à iceluy cercle des deux paies deila plu: petite. -»» Oit le point 0 donné hors le cercle,duquel g (oit tirée.vne ligne par le centre iulques à la circonfexençc cane D G M Z, (bien: aulfi lnfieurs autrcsli nes tirées du mefme point à a mefine circonlërencc cauc,comme 01,017, 0 Ç, &autreslignes tirées du incline point à z la circonfercnce connexe, comme O H, O L,.0 K, O G. Soient menées M I, M F, M C, a: MH, M L, M K. D autant ne O Z cil egaklè aux deux 0 M, M I, elle P en donc plus grande que 0 I par la Dauantaqejoutcc 2.0. dupfemier. que 0 M, MI [ont egales à 0 AM, M F, 8c que l an eo M I cil plus grand que l angle O M F, il s enfuiura que bal-e 0 I fera plus grande quel: bafe O F, ainfi des autres, la plus pioche du centre feta plus grande qucla plus" efloignée. Au furplus, d autant que O K, K - M v, (ont. plus grandes que Ç M,foient allées les egales 4M K, Mi G, il s enfuiuta que la paitie extetieute de la li ne qui palle par le centre ( (çauoit. GO) fera plus courte que K. - semblablement elle fe demonllzteta moindre que 0 L, O H. l Et pouce qu au tnangle O L M deux lignes droiâçs pictaiennent des extremitez de l vn des collez.,0,m, 8c le joi nent en vn point dans le triangle, icelles feront moindres que lis autres par le andinpremier. QIMK cil egalea M L. l Laligne donc 0 K fera moindre que 0.1. : oeil à fç. noir,toufiours la plus proche de.0 G feta plus courte que la p us efloignée. Pour le. erniet,foit fur OMÇS: aupoint M fait,vn angle egàl a. OMK: eteflâfçauoit 0 M B, fait jointe 0 B. Les deux collez O M ME (ont egaux aux deuxcollez 0 M, M K, 8c l angle e la l angle, la bali: donc 0 B fera egaleà 0K de chapun c0 de Z 0: 8c ne (e outra donner aucune autre egalc: car la plus cfloi née feta p us grande, 8: la plus proche plus ce urte,comme il ne édemonlhé. i.l 4 n

44 o Lava: l notsusnr. i 3. PROPOSITION 1x. * si on prend quelque point au cercle, c7 d iceluy point en la circonfi renee tombent plus de deux lignes droiéîes egu4 lesjepoint prie ejl le centre d ieeluy cercle. SOit pris vn point 0 danslc cercle N K L G. j n - duquel trois lignes O H, O B, O C,tirées D à la circonference foient egalcs. Soit menée a B C, 86 ccuppée en F en deux egalement, 8: a a a (oit aullî menée F O N.D:autant que les deux l triangles 0 F B, se O F C (ont aquiangles l a: rcâmglesfla ligne N F en: en angles droits N [in B C : en icelle N F fera doncle centre du cercle par 143. der; liure. Scmblablement B H couppéc en deux egalcmcm en I, a: tirée I 0 G, le demonllrçrafen cellé-cy eflre le centre du cercle, puis donc qucla feâion O en: commune à F N, 8c I G, il s enfuium que O ferale centre du cercle.. l - y l Je v, ( u PRQl OSITION «x. amie circonfieence ne c éuppe point une aune circonferençe e x I le» plus-de deux point, s n SI deux citeonferences fe couppent en trois H; n I points,comme en H,B,G,l oientmcnees les r K lignes drotâes H13, B G, &icelles couppées endeux egalement en K 8c L:foientde K 8c o à. L minées en anales droits deux lignes droites i à; K C, L M. Ilel Ëeuidenr que lacommune fe- c Clio O fera le centre Bes deux circonferences: ce qui "9ow dire annela y. propofieion de ce liure; Si donc une circonférence, ou. PRQI OSÎTION in: tideux circonferenceife touchent l une leur; Jeanno- l on i prend lapent"; d ieeiles : ayant mene ligne dfoifle à aux «me; a prduinnüe pnflem par retranchement. des eirebnfirences. f.

45 En urus n îvenu," Dieu: deux circonferences le rouchans me. 1 rieurement au point Z; fait le centre de la plus grande F, 8c menée Z F. Si le centre dela plus crise ellhors ZF, pofons dite en G, 8c foi: menée FGOH, lors G O, 8c G Z feront egales: Z G a: G P feront donc egales à O G se G F. Mais 2G, G F (ont plus grands que Z fila z ligne 0 F fera donc plus plus grande que F Z. Ce qui cil fauxa n citant F0 que partie de F, laquelle P H elïegale à F Z procedant d un mefine centre ne: tombant fur vne mcfine cirsouffleuse Z H B,par la confinais». Si donc Jeux drunfireuees,ove. Paoeosrrrou,xn. si Jeux cire-enfermes]? touche»; 1 m ravaudâmes. en menant une ligue droiffe depuie les centres d ieeux. l de puflîu par icelui; attouchement. SOient deux circonfierences a: rouchanr extencurement en H ; fi la ligne droiâe qui conjomt leurs centres ne palle par H, (on icelle - FCOG, &menées F H, de CH: ces deux (ont plus grandes que FG. Mais F 8c" G (ourles centres, F H a: F C feront donc egales, comme nulli G H, GO. Il s enfiziura donc que P C 8: G O feront plus grande que latoure I G. Ce qui cit noroirement faux( icelles efhnt moindres du se, A (du C0.) Sidoûdeuxcimnfermees,oe. v Paoeosrrlou x1u. * z U,SOient deux circonferen- Vue circonf erenee neroucbelpoine ïue circonfeeence en plut de point: Qu un, qu eüe a touche dehors ou dedans, I ces [e touchau; au dehors en deux points C, B ( s il en: V ollible)fi leurs centres [ont,0, la li méditera: piaffera par atrouchcmcm-c,

46 elle piaffera 1 aull i Lux: par B, perlapmedem: agonissais. tellement que I. C p O ne,1 fera qu vne ligne droié te egale à I. 0 contre la ac. du x. 8c par ainfi de poins iourte fut vn plan feroient menées deux ligne: droi&es (ce ni ne jêpeu contre quarriefme aigu-irien, Quatre la defiriptiomzidblgnedniae qui e]! la plus courte, eire e de peina à «a ne. l Siles deux eirconferenees le touchent par dedans en deux points K,I. Icelles n auront point vn incline cenrrepar la évoquée]:. soude tellure. Soient donc lescenrres G, H, a: menée G H, laquelle prolongée tombera aupoint de farouchement K par le a mie ce 1mn. Sou: aulli tirée G I, laquelle fera egale à G K,& H I feta egale âh K, procedant d vn mcfine centre. Or G H, I-I K font egales à G H, H I. Il s enfuiura donc que celles-q feront agates à G l, cannela 2.9. propajîn on du putier. Meneur dans qu une circonfmnee unuebepoine une simufermee, (ne. PRO!OSITION mm; ln me tireonfirenee les lignes druides egales fiant «aleviner v " diffames du centre, (g- une: quijôm egnlement diffames du centre [âne egales entr elles.. Oient en la circonferenee BI-ICIO deux li- F C S lignes egalcs H B, C 0,y 8c le centre de ladr-, conference I, auquel l aient tiréesles erpenadulaires I G Il? fur chacune :icelles H, C0 retour couppëes en deux egalernent, comme du ejle MfirÂSoient auflîmenées IH,I Cqui fera: ega». QI o i les. Or du premier les quarrez de 1C, 1H font e ux magna zde HEP! se de C G, G L Les deux u: ïg, a: F ns citez re «on: les quarrez de I G, Greg (gens:n à: par con uenr aurontleurs collez! F, I G aux. Ils enfui: donc par la 4.. niuontiueliun, que H B, C O ne egalemens esducentre. l, y PROPOSITION xv.. Autant: le plut. grande ligne ejl le damne mais des-aunes I mfiours la plu: pre: du centre, eflphugrande quelle plus fiat-gnpfi - v- v -- se. - il:

47 A ELEMENS D EchIDË, son le diametre du cercle H O, 8c le centre I, 4 duquel la ligne B C fait lus proche que F G.» Soient tirées les Perpen dic aires IN, IK.Et d autant que laligne I K cil plus grande que I N par la 4.definition de ce liure. Soit de celle-là ollée me line egale a celle-cy comme I L,& au point I. foi: l êaiâe la perpendiculaire MIP, (oient conjointes 1M,II,IP,IG. D autant que IN, IL [ont egales, MP, 85 BC fe- ront cfales par laprmdmtnlt pource que les deux collez M1,! P (ont p us grands que M P,ll s enfuiura que le diamctre H0 (egal aux deux collez ) fera plus grand que quelcôque autre ligne donnée dans le cercle. Et veu que les triangles MlP 8c FIG ont, deux collez M1,] P cgaux aux deux collez F I, I G, 8e l angle MI? plus grand que F 10,13 baie MF lem plus grande que 15C. Or M P excité moulinée cgale à B C: Icelle donc BC plus proche du centre fera plus grande que la pluskefloignéc F G. - PROPOSITION XVI. La ligne droifle menée à droit: angles à l extremite du diametre de quelque tacle, ra mécru dehors iceluy cerrle, (se au lieu - contenu entre icefle ligne droiâe,v a la circonference ne tombera pas me autre ligne droifle, a l angle du demy cercle eflplusgrand que routangle refliligne aigu, et celuy qui refle plus petit. Oit le demy diametre du cercle OH, & du point H fait efleuée en angles drorrs NHF. v fila ligne F H tombe dans le cgrcle comsl me laligne droiâe CH.Soir du centre O me- 3 née laligne droié ce 0C,leîriangle C O H fera ifolèele, 8e aura les angles fur la baie e aux. Mais l anglqoi-if en: pofe droi&,ils cnë1iuta doncque angle HÇO [en amiamunla I7. dupremier. PH ne to L ra donc point dans le cercle. Pour le fécond, li entre la ligne, H 8c la circonfcrence pouuoit tomber vue ligne droié cc comme GH,foit furicelle du centre O tirée vne perpendicuhùc OI,l angle 01H (etadroiél 8c parconfequenrlaligne OH plus grande que 0 I,parla 19. du premier. Mais O I encrtcla cir-,conference; 8c 0 H latouchc feulement: 0 I ctazelonc plus

48 grande que Lrvxs 0H. Or elle a elle Tnorsusnu. dicte plus grande. ( ce qui ne 3,, peut ellre.) Ilne tombera doncaucune ligne drome entre F H 8c la circonference. Delà s enfuiura que l an gle ( fi ainlî (e doirappel- Ier ) compris par la circonference, se. par le diametre fera plus grand ou plus ouuert qulaucun angle rcéhligne aigu: de que l autre entrela circonference 8: la ligne de l attouchement F H tu; moindre. On peut de cccy recueillir que laligne droiélze FHN touchele cercle en vn (cul point. a PROPOSITION vai; Du poini donne mener "cligne droifle,qui touche le cercle donné. I son); point donné H,le cercle donné 130C, a du Centre I l oir tirée 1H cduppant la cireonfcrence en OÇl oit delcrit v cercle du centre 1,8t del interualle 1H comihe HGF : 8c du. point O foit menée en an les droits OP inf- Èucs à la circonferencc, 8e oit-jointe I F, B H. autantque les deux collez H I, I B (ont e- aux aux eux collez FI, 10,8: l angle I commun,labafe HB era egaleà la bafc F0 parla 4. de premier,& les autres angles aux autres angles,âîuoir I O F à I B H.Mais I 0 F cil droit, 8: la ligne OP fou il: cercle donné au point O parce qui refultedelc purulente. Dont s enfuit que l angle H B I fera droit,8c laligne I droiélc HB touchera le cercle donné fuiuantlapropofition. PROPOSITION xvur. Vue ligne droifie touche un cercle, (g- du centre à [strombement cf! mente ne ligne draille,14 meule [en perpendiculaire à l aient-liante. v SOit la ligne dtoiëte NO touchantle cercle H au point C duçcëtre F [oit tirée FC,fi FCN n efl: angle droit,fon tirée me autre li ne en angles toits fur N O comme F G. D autant r que F G C cl! droit, il s enfuiura que la ligne C fubtendente fera plus grandeque F G par! le 1. de premier, mais elle cil pluspesits du [Cf 9 I

49 v 4 Ethnies o Bvcrxnt, l, lido B G (elbntfculement cgale à F B) il ne (e pourra donc tirer du centre aucune autre ligne en angies droits fut N O que. î Ç, furlepoint del attouehement C. PROPOSITION sur. li ne ligne droie ie touche un male, a on "une de l amuclament me ligne droifle à droits onglesfin la touchante; le centre du eerclejèra en la menée. SOI: la ligne droiéïe O I, touchant le cet cle en C, a: du point C fait efleuée en angles droits C H. Si le centre du cercle [tell i en la ligne C H, (oit 5 11 ellpoffible en F, St foie tirée P C, celle-cy fera en an les droits fil: 0 I parlopmedenie: FCI fera âne droit..5; s! Mais ilelt moindre que l anglah CI qui a cité fait droit (ce quiell: impoflible) le centre du cercle ne fera donc point hors langue" H C.- x PROPOSITION xx. un cercle l angle du centre efl double à l angle qui e)? en la ci!"- conference. pour ne" angles onepour iule une mefme tirs» s enfermer. I SOit furia bafe circulaire B C l angle au cen- H tre B I C,&l angle en la circôferenee BHC, a: foittncnée H F : le triangle HI B feraifofcele,8c l angle exterieut B I. F cil egalaux an- N.gles H B l a: B H I,p4rla;z.duprauïer:l an- le B I F fera do nc double à B H I. Sembla- r lement fe demonllrrera de l angle ri C. Mais 1 c [ile censeeefihors des li es, comme pour mm le de l anglo B O C, fait tirée O I N. angle exterieur N I Ç Je aux In- (crieurs I 0 C,& ICO,& pâmonfequentdoubleà I C.Commeaullî NIB cflegalâ OR 8c IBO,& par confequent doublai I O B. Si doncle double N I B cit ollé du double: N I C, &le (impie I O B dufimple I 0 C,letelhns B IC (cri double aurelhnt B 0 Ç., De sa) muquefi x les angle; e

50 .. a laies d aux de la eiqeonference.. r ". 4, LIVRE TROISIESME. 3; le! agencera-elle la moitié de la cirronfireme, elle je pourra diuifer en plufieurs pines pour faire plufieursangles au centre qui je demonjêrerom de» PROPO S ltion xin. Au cèrcle les angle: qui fiant en une mefmejêflion, [ont egaux entr eux.. I Oit la feflion du cercle B C O fermée de lali- r gne droiéle B 0, 8: les angles fut icelle B H O 6c B I O. Soitle centre du cercle 17,8: menée FB, F O. D autanrque par la preee dente l angle B H 0 cil lamoitié de l angle B F O,commeaulli B I O cillamoit ie du mcfme B E 0,il s enfuiura parla - 7. rommrnefilntenoeflu î ccux angles BHO 8c BIC l c félon: egaux..»,5 il) Il corso s ITION -xxu. Le: angle: appofiïziles figures de quatre roflëîde firiies, aux cercles, [qu egaux à deux droits. t SOit au cercle le quadrilarere H B C 0, 8e v ineiie eslesligltcs HC, OB les angles HBO 8c HCO font egaux, 8C OBC 85 OHC eltans fur malin-es feâions parla peeeedenreztout l an le donc H B. C fera egal aux deux au les n C O 8c 0 CH. Tcllctpéntïqut tout lanl glc H 0 0,8: (angle H B C en emblc l eronït I egaux à deux droits par la si. du I. Semblablemcntl c denionûreerontles angles B l-l O 8: B C. O, cgau x à deux droits.. ;PROo O s IIriÏON.xxu r., p Solit lalîgnc d roiâemunitionnoient - A a pollîble (oient d une InefmeÀ part menées A A deux [canions de cercles fembiablcs 84 inegales tomme H C B a: HUE; Soif tirée la ligne, oz. u droiéle HC iniques d» O Sçil c s ligneshdrqiâesl si r 07-. Dlfl w une mefme ligne droifle, deux fichons de regeler-feins labiles" a inegalesne mon": pas d vne mefme peut; a c, 3,0. D*aut3ntqitëles feïtionëloiiifeux; n,. e

51 Q ELEMENS D EvcnnnL fi - blablcs 8.: inegalcs,1 qngle H C B fera egalâi angle H0 B par la Io. definition de ce liure (c cfl à dire l cxtericur âl imcrieur contra la [6. du fumier )ficr 1m: mefme ligne,dçgc,0c.. PROPQISIT ION XXIIII.. Lesfimbfcblesfiffiom de cercleszdeflia lignes droitier. fngcs,[à"ê «de: emfellm A. Ohm-fur (En lignes droi- x F 8&5 cgaks H8, OC deux I (lamons de cercles cgalcs,. l [gluoit HIE-8c OFC,lcs an- v.glcshibëcoec cgaux parla 1.1.1: «liure. Et (oit, fi faire feront (c peut;vnç autre a (êâion o c fur O C comme O L C famblablgmais me alcà B 1 H. Soir menée C L au point L où-la circohfcrcncc cë coup de pal-1c ligne droiâe 0 F. D autant qucles feâions (051: fcm lablcs,l ano île O L C fera egalâl anglc H I B, &par confequcntà O F C on cgal,c cfl: à dire l extericnr à rimaient oppofé contraint 16. la: fumer. Lesfiâiom dandin lignes egalapï. Û PROPOSITION xxv. Ayant donné 14 [eïîion du cercle, defirin le cercle I duquel elle efilafec lion. I ; Oit la fcâion dcïccrcle donnée B C N, -, C en la malle fuient menées Côme on x*ou; du eux lignes droiâes non parâllelçs * comme BC,C N,lchucllcs (oient cou péc53 v l en deux cgaleméntcommc en O,F,& oient Ç, tirées les p: Çndiculajres 0 I,F,I, il S cnfuiura ( comme on ycuè recueillir de premicre de ce liure ) que le ccntraîdu cercle fera J 165 deumrpcndiculairés,c cflà fça oit au Point Commun I.Tcllament donc ne du centre I, el intcrualle.i N on Pour" parfaite le ccrc e [duquel B C N cit la fafiionidonnéc. I.PRdPo SIÎION.xxvr. A «merdes egaux, le: angles egaux s appuyentdëflw le: du. I., confirencesîegalesfiig Qu il; Is appuyem dînas conflituq " aux cawas, ou aux qirconfmncei. A. * ï r (

52 ne. Lynx; Tnoxsusui. G I Ciel! deux cades cgaux BEC, ** 01 D, & les angles dlècentrc - B.G C, IN D egnux, comme auflî. ceux de la citconfcrence B H CJ I OD,les lignes B G, G C (ont c-. gales auxligncs ILN,N D gui cbm- y prennentanglcs egaulehlijne droi-.14., I fic donc B C fera aga]: à in ligne dtoiâc I Bien: à dire; la bafe à la bafcvpaila 441» r. 01j d alun! que les angles H 8c GO font égaux cïbns moiriez des anoîcs du cçntre G,N,p4rla 1.0. de a li- C in. les (défions dcsrccrclcs atout femblables [un la x0. definition Je ré liur:,èc& Cfçauoir BHC, & D O,I.Mais les raflions B H C, à: D O I,fur es lignes droiths agalcs B C, I D, feront egalcs de ce tiaré. Les (cfiions donc raflées comme suffi les citéonfcrëntcs B K C, 8c P L In ferom égalés" " D l [horion-non xxvn.. Aux cercle: (gaur, Ifs angle: qu; s appuyant dcflm Ifs magnfirences rgnlesjon! égaux cnn eux,fim qu lls suppuyem eflans conjtzme ïaux cqnirts, ou au) : circonfermces.. 4 Oit aux deux cercles. «un: H B C, F O N S: fur du"? circonfcrcnccs agalcs BC, NE les angles. de la circonfcrcn cc H, ç; Ç). Premicrcme mfi l angle I" «n cfl cqnlà l angle B G C,qu il fou a K u d? I efiimë mpmdrefl furlalignc B G,& au point G (En dcfcm vn angle cgalàï,commc.b G K par la z. La drconferencc flanc B K fera cgale àla circonfcrencc NE "p4? lapmedeme. Mais parl hypothcfc B C citaufli cgalè à N F. Lapluécourtè cloud BIC (en cgalcâlaplus grande B C: cailuiefl: abfurde 8c fifi: Les angles donc du centre B G C, N I F ne (ont point incgaux) Irpartanç les an les H, 8c 0 qùifonc mofliez b5 anglcs çlu ccnfrc fendu: au legaux p41 la 7. tomniunçfmtence. PRO ? XXVII IÀ. Q Aux cercles agamie: lignes dictât: «du, firmans: lek cîr- «femme: «4123,14 plus graciai la pliugrandeay [4G plu: petite à qulwpzrige. on

53 . N D l, - l o 016m en cercles egaux dcux l1-. Q 1215sz D EVCLIDE, s. k ç o.n.v s - gnes dr01flcs agalcs IF, B C; s - oientles centres d 1ceux L, K 8c (menées I-L,LF.BK, KC : lesdcux trùngles llf, BIÇC feront egaux 8c cqnizïnglcs par la 8. du 1. L angle ë B x G - L fard donc egal à langlc K, 8c. confillcronticcux en circonfcrcnces egalcs parla œdipe liure, tollé fçauoit en IOF, 8c B HG plus grandes apan- ainfi les rgfles, c cfià fçauoir IN F, 84 B G C plus pentes feront egales parla 5. communefenrence,eflans les deux cercles cgaux parl hypothefe. I PROPOSITION xxix. Aux caïd :, les ciicanferenccs [ont prijes de lignes droiflehgalcs. V 01cm on cercles anaux 8: en Scirconfercnccs egafcs deux li- H. fi. Igncs droiâcs filbrëduës, com- - me BC, IF. Soient les centres des cercles K 8c L, 8: menées B ID, C KC, IL, LF. D autant quelcs cir- n o l o cohfcrcnccs BHC g FNI (ont Pofécs cgglcs,lcs rafles c860, 8c FOI feront auffi e alcs:lcs an les K 8c L feront donc cgaux parlaz7.de ce 1mn. t par la 4j. premier,la bafe [en avale la bafc(c c& à fçauoix la ligne droia (le B C âlnlignc droiâc I F.) C k a.- PROPOSITION xxx. -. Coupper 1m: circçnfirence en Jeux egalemcntl Oitla circonfercncc donnée H Q B. 8c (bit mc- l o l l née la (abscndcntc HB,furlaquellc oflam; coup- I péta en deux cgalemcnt au Point C,& ruile mefmc m 150m: C fait allouée C 0 en angles droits 8c join- a c B tes lçsligfies droiâcs HO, 0B..D nutant que les z collez HC, C0 font egaux aux deux çoflez BC, C0, sa comprennent angles cgaux,la bali: H0 fera cgaleâla haro BO, lof? quelles harts comprendrontcirconfcrenccs egalcs, clefl: à Qauoit l arc 110,8: l axe DE le Plus petit au plus peut par la finie ce 1mn.

54 ,..Ü a. L1vnz TROIsusME. H PROPQSITION vin. La. cercle, l angle qui dl au dengy cercle e]? droit: (7 celuy qui e]? en la plm gm ride [èâion eflplmpnit qu vn droit: man celuy quia]! en la plus petite [câlina, efl plu; grand qu un droit. Et (humage l angle de la plmgunde [Milan, a? bien plus grand guipa droit : mai; I angled e la pila petite fiffion e]! plupart? qu vn dr oit. sa. u V Cercle HOBC duquel le centre I fait l angle CHB darfs le demy cercle. Soit o z. mené le diametre B I C. 8c en la plus, grande -. feâion foitl angle HCB,& en la moindre fait a c i l angle HOBaL angle mixte de la plus grande feéîion foi: compris de la ligne drome EH 8c de l arc H C,8C l angle mixte de la moindre (oit compris de la mefmc EH 84 del arc 1H0. Soit prolongée lali- I e droiâe C H en Z 8: menée.i H. D autant queles angles C H, I H C font cgaux, commeaufli I B H, B H I, toutl an-, gle B H Ç fera egalaux angles H B1, HCI : 8c à ces deux-cy cil egal l angle exiericun Z H B parla p. du 1. Il stenfuiura clone. En les angles Z H B,& B H C feront egaux,& par confequen: toits par la to. definitiop du r. a par la r3.pnpofition. L angle donc qui eft au demy cercle cit droit. - O Pour le fccondl angle de la plus grande feâionfçaugir H C B A à elle moindre uîvn droit:mais aux figures quadrilateres dei? crites en vn cetc c, les angles oppofez font egaux à deux droits parla a1. duelliste" L angle B O H fera donc plus grand qu vn droit; Po urle dernier,l angle mixte B H C comprenant l angle l droit feu plus grand qugle droit: 8: l angle mixte de laplus petite feâion BHO moindre que Z H B qui a eümonflré droit. maronnent xxxn, si quelque ligne druide touche le cercle, (7 defattouclnme : on "teint quelque ligne droifie couppant le cerclait: angle: 1 qu efle [Mû la, machine, finit egaux à ceux qui co nfijtenl auxfidions alternes du cercle. V D m a d

55 , 1. Q st D EVCLIDE; SOit la ligne droiâe IF! touchant le cercle au.- point B,duquccl pour foit tirée la ligne droiâe o O couppnntle cercle. Soit aufii efleuée en an- gles droits B H 8: menée H O. D autant qua l angle HOB cil droit eflant au deniy cercleles e. angles O H B 8c.0 B H fêtent egaux à vn droiti. F (elcüàdircâ FBH:),foit olle locommun OBH, il seul-unira que.ohb ( qui cil en la plus grande l a-(fion) 8c OBF feront egaux. Maintenant foient menées 0 C, C B." Diamant qu aux quadrilateres infcripts au cercle les angles appelez font egaux à deux droitspnrla u. de relzure,les angles OHB,& OCB. ppofez, &quiconfillent c s feâions alternes feront egaux aux angles O B I, 8c 0 B F qui valent deux droits. Mais O B F a elfe mortifié egalà O HB. Il s enfuiura donc que O C B qui. cflcnlaplus petite [calcifiera egal à O B I. v PROPOSITION xxxru. Deflîa ne ligne droifle donne? drfi-rire Iafiâlqn d un cercle,9 panant lm angle :3512: Marty; rcéîjligne dormi; i y S Oitla ligne dioié te donnée B H,& l angle donnel C. sur B H an pomeh fait defcrit vnan le cgalâ Ç comme O H B. Soitprolongec OH ver s I. Du pg nt H foitmenée en angles droits furyoi la ligne droiâe HGL. Soit H B couppee en deux egalement en F.. Du point F (oit menée en angles droits l6, se figée G B. Diantant que les deux triangles HFG,& BPG onc d eu; collez egaux aux deux cofiez,& l angle à liangle,la hale H G [en egale à la bafe GB. Soit maintenant furlc centre G, alla aillant; 6B dcfcrit le cetch HBL criée BL. Il fera aident que HL fera le diametre, lequel an: en angles droits fur O I, la ligne O I touchera feulement le cercle au point H. OQarla precedent e l angle O H B cil egalàl angle H L B : la plus grande feâion donc HLB comprendral angle L egalâl angle donné C. uefil angle elloit obtus comme B H I, li feroit demonfiré egal a l angle del auic feâion H K B. S il eftoit droit,faudroiç feulement defcrite vn demy cercle furla ligne donnée H B. Lequel bôme pendroit l angle droit, comme il: en! moralité.. - *; o

56 Links Incisnsnz. l 35 PRoposuION xxxunl Coupperlafiâiou du cercle,,don.ne,pren4ut un angle Û. (gal à 1m angle refhligne donné. V S Oit le.cercle donné HBC, 8c llangle donné 0,8clalignetouchanthgercle l F au point B par la l7. de ce hure. furla ligne I B au point l B (oit defcrit l angle HBI coalà Oziceluy-mcf- a me rem e al à» l angle de la Ëélion plus grande HCB, ceâ à fçauoxr à banale. x refliligne C par r r n. 143ml: reliure.de mefme fil angle donné ell: egal a C B I le de- mouliner?) l angle de lafeâion C B luy dire egal. PRO POSl IION akxxlv. i si ancreroit Jeux lignes dromes [è nappent 5313N!!!". lé "Jungle contenu desëieux piecesdej vne, r]! egal a» - recîanglecontenu des deux pictes dallant-16. SOient deux lignes droiéïes en vn y. i - cercle HG, OB le couppantpen I. S dt du centre F tirées les perpendiculaires F G,FN,& menéesles lignes droiâes FB,FC,PI.D autant que les. lignes FG,& F N couppent les lignes a H C 8c O B egalement parla 3,. de «liure, 84 F I les couppent inegîlementde reôangle compris de H I, I C auec le quarré de I G fera egal au narré de G C. Or poutce que par la 47. duffemin, les quarrez e C G 84: G F [ont egaux au quarré clef C, il s enfuiura que le re&a.ngle foubs H I, l C Enfemble les quarrei de G l G F (c cflyire le quitté de F I ) femme aux au quarré a de PC. Ainfi le emonflrera quel: reftangle lâubs 01, [B auec le ré de F I fera egal au quarré de F B; Si donc le commun F 1 il! ollé", il s enfuiura le re&angle des pieces de l vne efire egal au Ecâangle des lignes de l autre.8econdement fi l vnç des pieces feulement efl: couppée inegalement en angles droits, icelle fera le diametre du cercle. Et comme ou peut "cueillir parla dernier: dlfe:ond,le teétangle compris des pieces inegalcs (en; al au r quarre de la moitié de l autre quiellvco lippée cbalâment. 5: file un

57 -- ELBMINS D EYCLIDE, diametrc 5c l autreligne le couppent inegalcment comme H B, C0 au point 1,1: reââgle de H 1,1 B auec le quarré de IL (et: egal au quarré de L B oul O. Et le reâangle e C I, I O auec le quarré de I G fera egal au quarré de.g O. Mais les quarrez d! L G, G l font egaux au quarré de L I. Ils enfuiura donc que le reâangle de C I, I O aucclc quarré de L fera egal aux quarrez de G O, G L, c cflâ dire auquarré de la ligne L O egale à L B. Si donc le quarré commun de L I cil elle, les deux reâanglcs de H I, I B, et de C I, I O demeureront egaux. o Pnoposinorx xxxvi. si deborrle cercle l on fient quelque point, (y d iceluy au cer-. cl: tombemdeux lignes droifler, l vne defiluelles couppe le cercle, (y l autre le touche : Le "(bugle comenu de toute l4 coupante de fi partie dehors pnfi entre le pointa la circonfirence connexe, efl eggl au quarré qui cf! defin t de la touchante.. Oit pris hors le cercle vn point comme Oduqucl procedcnt deux lignes droiâes,l vne qui muche le cercle 0 B,& l autre qui le couppe premieremêr l! parle centre comme OLC. D autant que par la 6. du 1.. le mél-angle compris dcla route auec l appo- fée,fçauoin OC 8c del appofée.0 I, auecle quarré de la moitié I I (ou LB fon egale) elt egal au «c quarré de la moitié 8c del app ofée Côme d vnç, liguoit L O, 8c que les quarrez de O B 8c de B L (ont egaux au qtrarrëde la piefme O L:il slenfuiura le commun B L. ou LI ellant ollé quelçiuarré de B O fera egal au reâangle de C O, 0 I. Pourle fécond, 1 la ligne ne couppe le cercle par le centre cô-, me O Ç H, à laquelle (on du cerise tirée fie perpendiculaire L Z.Il efi enidentquph G fera couppée egalement,& foit menée LÎG. D autant qué parfila 6.11» me reflangle foust-i*,*g auec leïquarré de G Z cil egalau quarré de 0 Z, lëur fait ad- oufie vu quarré commun Z L. Lors le contenu foulas. H0,0G aucc les quarrez de G Z, Z L ( au à dire le quarré de G I.) (en egal aux quarrez de DZ 8; de ZL ( c efl à dire au quarré de 0 L.) Marsles nattez de OB & de DL [ont egaux au luefine quarré de O ls enfuiura donc queles quarrez de DE, 8C 4 o

58 . B - L feront Luxe egaux au rectangle Tadrsrssnz. de H O, O G 8c au quarré 37 de G L, ou B L. Le commun donc efiant ollé miteront lcqnarré de O B, &lereâangle de HIC, O G egaux striois xxxer Si dehorsle cercle l on prend quilla point, (7 dïceluy-pointl tombe : deux lignes droite r a ercle,de[q uelles l vne coup- 1p: le cercle, (91T autre [ê filao]?! : a. [bit le reflungle conte- I me. de toute la couppame, a de la pieu prifi entre le point (7 la circonf erence connexe e341 au quarré defirit de celle quifê repofi,ceüe qui [è repofe touchera le cercle. S Oit G le point hors le cercle, duquel point procedent deux lignes droiéles, dontl vne lecou -,,» pe comme O G H, 8c l autre tombe feulement us iceluy comme O B. Soit ris le centre Z, arme-n nées lein ne s droiâes Z, Z 0, 8c dupoint D fait men elaligne diorite O L qui roue efeule menthe cercle par la. du ce liure, 8c [oit menée la H. droiâe Z L. D aut n: que par l hypotlnfi le re&angle compris foulas H O, 0 G cil egal nu quarré de O B, 8c que parla pucedmeele incline reâangle cil egal au quarré de 0 L, icelles 0 B, 0 L feront (égales. Et pour ce que les deux collez 0 B, B Z (ont egaux aux eux collez O L, L Z 8: que lalaafe cil commune,. l angle O B Z fera egal aq angle droic t.0 L Z parla 8. du r. li. ce le ra par confequent droit,& gouttfitt la ligneîdroiâe, O B tombera en angles droiéts fur l extremité du diamctre, 8: touchera feulement le cercle comme ou peut recueillir par la 16. de ce lion. fin in Txorsnasnu LIVRE.. Ü. O 0

59 LE QVAT.IIES ME LIVRE, DES ELEMENS D EVCLIDE. permutant,bemltre. Ne figure reétiligne le dit eflreinfcrlpte en vnc figure reâiligne, quand vu chacun des angles de la figure infcripte tour - ch: yn chacun collé de la figure en la-. quelle clleell in feripte. a. Semblablement aulïi la figuré le dit cure circonr (câpre àla figure, quand vu chacun collé de la circonfcripte touche vn chacun angle de l infcriptc. a. La figure rectiligne le dit eftre id cdpte au cercle, quand vn chacun angle de la figure infcripte touche la circonfcrence du cercle.. r 4. Mais la figure reâiligne le dit eflrc circonl cripte au cercle, quand vn çhacun des collez de la figure circonfcripte touche la circonfgence du cetcle. 5. Scmblablement aufli le cercle le dit ente jnl çripç en vue figure reétiligne, quand la circonference du cercle touche vn chacun collé de la figure en laquelle il ell: infcript. o. I 6. M aîsle cercle le dit ellrc circonfcript à vue figure, quand la circonference du cetele touche vn chacun des anglcsde la figure à l entour de laquelle Il cll; defcripr. 7. Vue ligne droiéte (c dit offre accommodée ou enfermée au cercle, quand les extremitez d icelle [ont en la circdnfcrence du cercle. o Ü

60 f Lux: QyATÂRIFSMI: - 33 proro.sxtion I. Au ulule «fautif, arammodqrvvne ligne droiëîe qui: à tu: figue droiâe donqéquuiniefqir p9; plu: grande que le «la: "in" du ("de. Oitle cercle donné CHEF 8c langue-jedtoiâc donnée O moindre que le diamctte du qctcle C B.dc lalignc CB foi: Jfléc yneli ne égale à,0 parla 3. du I. liturgçcfifit L. du (Centre C à la diflancç C L fait dïcfcript m perde qui. cou pua le cercle donné çôme au point H : oit ruchée la ligne droifle.c H.d autam que celle-gy en; cg». lei C IL, ac.c L egàlc àla mefmc O parl bypothefill sfufuiur; que O fch cgalc à C H,laquelle C H efi par ce moyen accornmodéc a ctclc donné. ne fila ligne donnée cit cgalc au dia.- Amette du cercle donné, nous allan ç: qui c requis. Ü PROPO SIITION n. t Dan; Ennemi? damé; defirin m: triangle eguiangl: pu triangle donné. I Soit le and; donné N B C 8c l: triangle G 11 Il. donné OUF. (bitumée laligne droiâc, G N H, enferre qu elle touche feulement le - carde,commè au oint N:duqyel&furlalignc Ç-N fait de cri: vu angle c alà L, comme NB.Soitaufli fanfan le N.C cgàlâ Fana F, 8c fait menée dircâ n., - 3. culent B C. d autant que [estrans. mgîcs En triangle (ont Égauxâ deux droits, l an le B N C fera; a! âl anglc 0-. matsl anglc C cnlaplus ad: fc&ion,efl: clg arangle G N1? p4; la p.41! ;. liure: il sâîlafuiura donc-que langlc B.fctacgala HN C (mû à dirai 1? [on cgal T amfi (19ml: triangle N B C dans le cercle donné, en cqmanglc au manglç donné. I. d PROPOSITIQN 111." - 4 (engourdît) cercle donné defcrire in trianglelcquîangh un triangle douai, t à

61 x ELEMENS D Ev cuve,, son le triangle donné O G F, pour en o t - defènre vu equiangle à l entour du cer- a fi 5 K de donné, duquelle centre fait K: auquel Il K,foit fait vn angle comme N K B, egal à. l angle exterieur L G O, a: l angle B K C e al à llautre angle lexterieur du triangle. F O.Soientaux trois extremitez N,B,C, u B P tirées trois lignes touchantes feulement le cercle M I, I.P, P M. (fautant que le quadrilatere M N K B peut eflre infcnpt en vn cercle ayant deux angles N 8c B,droits (comme on au: "cueilli: de la du ;. liure) les angles oppofez feront egaux a deux drommais N K Il a elle fait egalâ. L G O : il s enfuit donc ou! llangle M eft egal illangle F G 0 eflamlcefluy auccl exterieur egal a deux droits, par la :5415 r. liure. Par femblable argument nous dc- 7 momifierons les autres angles egaux aux autres angles : tellement quelcttriangle I P M cil equiangle O G F, 84 cfl.c:tconfcrfç au cercle donné. l Pno posrrrorr un; Dan: 1m triangle doum dafirire 1m cercle.. Oit le triangle donné H B C duquel les u deux angles B 8c C font couppez enideux egalementpandeux lignes qui a: r encontrerontcomme en 0,duquelpoint 0 foient dures les perpendiculaires fur chacun collé comme OF,OG,OL, icelles feront.egales par C la 4. du. liure, ellantles bafes.des quatre trian-n gles egaux 8c equiangles.si donc du centre O à la diffame 0 F A on tire vn cercle, il touchera feulement les trois collez du triant. glc, comme on peut recueil" de le 16. :103. liure. "ruol rosrrron v. - A 1 entour d vn triangle donné defcrire 1m cercle. son premietemem le triangle oxygone donné v n H B C, duquel les deux collez (qui ne com-.- prennent point l angle plus aigu) [oient «nippez en ( deux egalement comme en O, L : 8c dliceux points [oient tirées les Pet endiculairee O F, L F & me- Ac nées F B, F C. ile cuidentque les deux trianglesb O

62 l reflangles HLF;CLF Lux! (ont cgaux Qafixxtsmt. 8c couiangles par la 4,814,5 punuer hure. La ligne H F fera donc egale a F C,mal9H F cit aufli commune au triangle H O F, 8c ç tria le ell: egal 8: equiangle au triangle B O F. il fenfuit donc que" aligne B F ell: e031; à P H, 8c par confequentà F C. fi donc du centre F, à la [flance F H on defcrit vn cercle,la circôference pallera par les points H B C âl entour du triangle. Par femblables argumentsfe dev monflreront les cercles pouuoir dire circonfctirsàl entourdes triangles,foit teâangles, ambligones ou oxygongs. C Puqrosnron v1. par): 1m cercle donné defèrire 1m quanti. Oient tirez les deux diametres du cercle prox pofe HC, B0 le couppans en angles droits au centre L, 8c (oient menées les lignes droiâcsn H B, B C, C O, OH. les quatre triangles (ont reflangles ifofccles egauch equiangles, 8e ont leurs bafes egales par la 4.. du r. liure. la figure dôc H B, C O fera equilatere. mais chacün angle fur la baie vaut vn demy droit comme B C L par la canflruflion,comme aulli 0 C L: il fenfuiura donc ne toutl angle B C O fera droit. Semblable demonfiration (e Pailles autres angles:dont feiifuiura que H B e 0 (en vu quarré infcrit au cercle donné. PROPOSITION VIL A l entour il»: cercle dorme defmre l I. 1m V quarre.., il * S Oient du cercle dôné les deux diametres H C G n a r B D fe couppans en angles droits au centre L, du point B fait menée en angles droits fur O B,. l lali e G B N( cella dire Parallele à C H) fait n au l dupoint Omeneel autre pararelle F O K: e 8c des oints H 3c Cles autres GHF 8c NCK Il 8 parue es a BO. d autât que les angles qui (ont en L (ont droits, comme aulli ceux qui font en H, B, C, O, il s enfuiura que les quatre angles G, N, K, F, ferontaullî droits par la ;4. du 1. Or cil: e la figure equilatere ayant vn chacun collé egal au diametre, elle fera donc quarrée delcrite à l entour du cercle.

63 BLzMzNQ n Eircx. un;,rito rosirron vn I. Dans Mi qmrrëcbrne défciire in: cercle.. Slileiquàrr-é donnés. les quatre collez comptiez M., 1, f Itergalementflwc menéesles deux lignes droifles. L, F S, elles le coupperont en.g en auglc s. K 5. droits 8c égalementzcar 1H ellparallele 8; e ale Ë - - si 10,0u-MB &FS pataude 86 ngilcil,ou BO parla 34. à: Llw re,les angles reftiligne s déc d H. 9 I qui (ont en L,F,H,S, [ont droits: tellement que fi on defcntfur le centre G vu cercleàl intetualle G L, iltouchera feulement les" natte colin; du quarré és points L,F,H, S. comme un ne»: "gendre. parla burgainfi fera le cercle infcript au quarré donné! 4 in 0 Posiffrdu 1 x; V A trameur ohm gammée»! défirîrç néflier. I S Oient du cercle topofé rirelzlles Jeux diamé- - à (res ou diagonn es HC 0E, d autant que les deux triangles 0 H E,-& 0 C E fonrif ofcelesy p. p egaux 8c equiangles par la t;liurq,chacun desh i C angles rectilignes qui [ont fur les balles avaudra un demy droit 8: les angles du centre feront n droits parla 31.. t.liore,6tles lignes L O, L H, Ï L E, L C egales.si donc ducentre I. àl interualle L O on clefcrit vn cercle, ilpaflera Parles "points 0,.H, E, C, 8c fera timon; fait aulquarré donné. PROPOSITION x., i raire vu triangle ilofiele, ayant 1m chacun de: angle: qui [6m en la bdjè double à l autre. Oit propofée vne ligne droite BH, laq nel- A le parla indu 2.. liure (oit tellement coup» p6: en C,que le reâîgle fait de la toute H B, a: de l vne des parties B C fait egal au quarré de l autre piece H C. 8: du centre H, à l intcruale H B (oit defcrit vn cercle B O L,auquel Il: 1:11:55 être fait enlignée vue ligne

64 c Lux: ŒA TRIE SKII. 4p dtoiâe cloale à C H,comme B 0,8: [oit menées C 0,2140. du triangle H C O [oit defctit le cercle H C 0 L par la ç thulium Puis flue dupoint B par: le cercle,la ligne droiâe BH lecoupp: 8c B 0 tombesfuriçeluy,& que le rectangle de H B,B C,eftl egal au quarré de CH- (ou B O [on egale) il. fenfuiura que la li-. ne droiâe B O touchera feulementle cercle PIC O Le par la 7. du 5. nursing: donc C O B fut laligne touchante le cetelg fera e alâl angle OH C,qui cil enlafeâiô alterne parla 32.. du y.- 1mn, oit maintenant adioullé le cômun C O H: les deux BOC a; C O H feront egaux aux deux C H 0,864 COHzmais l angle exterieur O C B en: egalauxinterieum C H O. 8c C O Hparlo 32.. du r. liure, il feu donc aullî egaliau tout B. OH,- & par con: feqnenta l angle H B 0 qui luy cit egalefünt le triangle HBO ifofcele, 8: les lignes C O, O B feront c ales cérame [ubten- dentes angles egaux, mais B O aellzépof e ale à C H : C 0 fera donc aulli egale à la-mefine,8c leitrian le C O fera ifofc ele : tellement que l ange fur la hale, fçauou B O H fera double allangle B H 0, comme aklli fera l autre angle O B H; - PROPOSITIÔN xr. Dans virera-le alarmé. définît in pentagone» aguilateral a aquiangle. Oit infcrit au cercle donné vn triangle. R Î ifofcele N C O,comme il a elle defcrit F en la ptecedéte,8ç [oient les an es egaux B n de la hale couppez en deux e ement par i lignes finillans en la circqn crence com- me C L,0 B,&n1euées N B,.B C, C O, a C o O L, L N, il cmuiclcnt que les anglesf a, OCL, I. CN, N0 B, B o c,» CN o olhnsegauxconfifi-e. tout fur feâions de circonferenees egales, comme on peut mm,, tendelet u. que 1.6. du 5. bug. Or ces cin angles fontfurfeâions qui com rennenttoutela mconferenee, e pentagone doriez!) [C O L en equilateral 8c equiangle. - l imposition x11. s A hmm d 7" cercle donn! defcrin [in pentagone.cqrrilmral (a! quimiglrg 1 t

65 p ELEMENS D Evctrnt,. Client au cercle donné pris cinq points de- 0 fignans les angles du pentagone infant au cercle par la purulente, 8c du centre! l oient tirez les demy diametres à chacun - ointscomme F N, P B; P C, F40, F L. n. oient à chaun d iceux points,tirées en angles droits, 8c touchans le cercle fur les demy X 1: Y diametres les lignes droiâes comme H B K, K C I, 1 o M; MLG, GNH, &mcndcsaulli FK, PI. D autantquelecoü fié F B cil: egal au collé PC, 8c ucl angle, F BK efl: egal à P C K ( c eflà diredrmt par la confiruâion) le quarré de F K dl: c- gal au quarré de. F B 8: B K,l comme auffi aux narrez de F C, CK: parleur [HL Orl angle BFC cil ega a CF,O (caril comprend circonférence egale parla confiruëhon ) le,quadrilaé tcre onc B F C K fera equianglc Scegal au quadrilatere CECI, 8c la moitié à la moitié, a: les lignes au lignes. ltenfitiura que K C «fera egaleà. C I 8c C I a I O, 5c ainfi fembiablement des autre? p tellemefit que-le pantagonc ainfi circonfcrit fera equilateral equiangle. PRO POSITION x1111 I -- - Q Dans rupenugone equilnreral a eguia rigle donné.. dejèrire 3m cercle. SOit le pentagone donné N B C O L der; Y crie comme en lavuæ efme de ce liarde (oient diuifez les angles deux egalement ar li-b À ) n ncs quife rencontrerom au centre F, (lilqud l 4 t fioient tirées les perapcndiculaircs fur chacun a I collé qui feront eg es commeil aeflé mon!,.. fixé. Il fera cuiden? que le cercle dcfcrit fur ce i. o v centre,âladiflance de F G pafl era parles extr emirez des perendiculaires, 8: touchera feulemmr les collez du pentagone. onné,mume on peu recueillirde la 16. du 5.15a": p propos un)»: xun. C... *. Alentourd vn pentagone equilateral a eqùiangle donné, defcrire 1m cercle, a, j V Soit

66 .. a I LIYk! garni-asile." - 4,, I SOitdonnëlepentagone HB CD L eqnila- un r Il." tere 8c equianalé, duquclfoit trouuë le cana tre camme a clin? dit en la precedente, a; d icç-b luy tirées les lignes drailles fur chacun amie qui feront egales,c5neil «fié mouflaient la La. e a 4. hure. (car tous pentagones equüateres 8c Çanâe r "en-r ni: les [ont femblables &equianglc entr eux ) a: fait du centre V lintctualle de l Vne.des lignes quiïcquppcnt leurrées, tiré vn - cercle z il en: cuident qu ilpallera parles extremitez d içelles lia igues, 8c par confequent parl extremité des anglesdupe nnigene, l &aiufi il feta maculait à iceluy pentagone.. l a,. p I PROPOSITION, XV. par: Nm cercle dormi, defcrire in: langui r. i eqnilatemle (y- eguiangle. SÔlt le cercle donne B O D I. H7, duquel 8 o le centre Œit G. foi: mené lediametre H G D. du point D âl ingerualle D G fait l delcrit vn cercle ( qui fera egal a l autre citanth fur mefine interualle)foicnt menées les li. gnes dromes O G iuf uesàla circonferen- F ce F, 8c LG îufques a lacirconference B,, 8: menées aufli les lignes droiélcs H B, B O, O D, D L, L F, P H. Or "r14 r.dupnmierliim les deuxtriangles G O D, GDL font e aux, equiangles 8: equilateraux, 8: tous les fix triangles font i ofceles, ayans leurs collez egaux enfemble parla definitim il» cercle, 8c les trois angles de chacun triangle (ont egaux à deux droits. Mais la ligne L G tombe furlaligne F O, 8c fait les ana les L G O,.1? G L. egauxâdeux droits, 8c l a le L G O vaut fis deux angles du triangle L G D. il s enfuiura onc que 17 G L fera egal au troifiefme. Et le triai! le F G I. ayantles deux cofiez egaux aux deux collez, l an le compris d iceux egal à. l angle de l autre, aura labafe egale ala bafe parla 4.4» 1.. liure. Semblablement le demonflreront les autres collez ellre egaux enfemble. p a Ç PROPOS ITION XVI. nous w cercleldonné defcrire 1m quindeugonè v - egm lateral v equixngle.

67 ..Ettntn,s n Evcz 19:,ersz wintuusï, vsoitau cercle donné inferit vn pentagone. H H B L F G parla u. due lucre-,8: vn trianng requilateral H C Q par la 1.. du mefme liure. 1" z Avans tous deux leur.an le en vn incliner i (un: H. D autant que laligne droxâe H C lubten d la troifiefme partie de toute la circô- 1 fetence ( c ell à dire les cinq Qinziefmes) 8c 4 les deux collez H B, B L du pentagone en. fubtendent faquinzieùiesdl cit cuident ne l arc C Lg entre i l angle du triangle 8c l an gle du fpentagone eta vile des quinzielï mes arde; de toute la circon erence. Soit donc tirée la ligne droi e C L, 8: adaptées parla t. deceliure, au cercle autres que» ton: lignes (halâtes, dont chacune foi: egale à C L: puis que les lignes, titanites egales (ubtendcnt circonferences egales par in 2.8 dru. bien. Ilfenfuiura quelafigure du quinzangle equilames: equiangle feta infcnte au cercle donné. Cm "En: in fieraient: BIYRB.

68 A! K., a V y 4 *, 4:. ILE (CINcLViE SME. LIVRE,- pas ELEMENrsflofEVÇune. nui-immolai rlnnnzen z. il a Artie à vue grandeur moindre qui cit j pille à la plus grande. I. U a: Multiplice eilvne grandeur plus q V grande que lamoindre quand elle en: a I mefurécide lapins petite.. a * q. I 3; Raifon cil vue hqb çude de deux i lgrâd euts de incline gérel vne àl autre lclon la quâtité. 4. Les (grandeurs font diètes ailoit raifonl v ne à l autre quan multipliées elles (Ê peuuent exccder l vne l autre. i " i v j y. Les grandeurs (ont diâçsel cre en maline raifort quand lame-mitre dia feconde en: comme la tr oiliclêi me à la quatriefme, a: quand les, equemultiplices de la temiere 8:*troifiefme entendent, (ont egaux, ou defl aill eut aux equer nultiplices: de. la (econde "8: quatriefme en quelque multiplication que ce [on prifel vne aprcs l autre.. v i l q A 1 à. Proportion cil: vue fimilitude de tairons. k. * 7. Les grandeurs quiontmefme raifonfont PÏOPÉf tiennelles. " I * l,- 4 I - 8. (arianddesequemuldplices,celuy du premier ex- "cede c uydu recoud, a: que le multiplie: du rrnifief me î( quel ne multiplicgon que puiflë eût-e) n excède le i *multip ice anciens l me), «si; premier au faconcl en; dit aubir plus grande quele tiers a? quart:

69 ELEMENS D Evci rnt,,5, 9. Prgaortion dt conflituée en trois quantitez pour le to. (ligand moins. trois grandeurs Y font pro a ortionnelles, la femicre cil dite auoir à la troifiefme,a raifon doublée decelle de la feeonde. Quand il y enaquu re, la premiereàla natriel nie ellgdue nuoit la raifort triplée de cellede la econde. Et tonfiours d vn mcfme ordre vue plus iniques à ce que le nombre-des chpf es proportionnées (oit acheué. I u. Les grâdcurs de remblalïraifon (ont dites quid (les antecedens (ont aux antece eus, comme les con (equems aux confequents. " n; Raïfon changée cil: l acception del antecedent. à?. Û l antecedent, commedu con (taquent auconfcquent., 13. Raiforl connerrie cil l acception du confeqbent, Côme de l antecedent à l antecedcnt, Côme confequent. ; 1.4; Ration compofëe cill acception-deil anteccdent auec le confequent, comme me incline choie au melrne confirment., e - «I I; bdiuilion de raifon cllvl acception de Pexcez du: que! l antecedent exeede lc confequent) au Intime ce. qfequent. g.. inconuer fionde raifort cil l acception del antecedët..âl exc cz duquel l antgcedent excede le confequent. l r7. i Raifon egale, ell plulïeurs grandeurs eflans d vn collé 8: autant de l autre en multitude, prii çs de deux V en.deux amena: raifon,yquant aux premieres grandents la premiere grandeur eüà la dernierc,comme aux facondes grandeurs la. t (emierewgrandeur cil à la dernière (on autrement êellpl accltption; des, ente-me; O par fnbtràçïiondesmoyennes,; À H. l o. 18.! Proportion ordonnée ou mon or,dre,ell;quand l an.ë F d fifsïl Émilienne; d vn minimums la.», r 4 K I a

70 lere Cxfifiîlsplt. A V 4; recedént en au confcquem de l autre,1 arque-lm des, conl eqnentseq à quelque autre choie,comme l" antre conicquent à quelque autre choie. r, n Proportion menée ou fans ordre cil: quandttoisi l grandeursfont d vn collé,8: autant clamses grandeurs en nombre,- cle l antre, a: qu aux" premieresl antecedent: cil: au cdnffiuent, Comme aux (econdes l an t ecedent ellau confequent : 8c qu aux premietes, le confcqucnt, cit à quelque autre chofe, ainfi aux facondes une 4 autre chef: foit dandine à l antecedê nt. i Danton: queles douze propofitions fuyantes fiant tafia cogneües d elles-mefines, (a; qu elle: finit pluflojleprincipes la communes finances que theoremes, Puy penjëfic ra de les in-. terpreter [a non demonflrer, craignantque tre long défions nautioiufi ëî l obfimé mm de 4.l îiill i si a Ï.u.3p;ROPoiS-I.T:IÔ-N me, f s in a un: dgygndeurs gluon voudra qui [bientequeïnulçi-v pine: d autant de grandeur; w chacune); figue chacune, commel ruefirulmultiplice de rime, ainfilgsroutes feront. z multipli fthuounf.. i w - l 4 ï A1,? a 1 l 4., ;.;... :. i,c* ; ;Tflî 3st Oieht La grandeurs proppfiies B, C, O; d: 0,: : & ne premiere contienne enclie trpisfiois la, i; u ofie me, 8c la faconde contienne.trois foislaquatriefme. Les deux1 premiqrçfliolçtes contiendgopt autant de fois les troiliefine 8: quartieftne jointes, çfetonmmme troisâvnq i, a. Ç.. l 2 a.. 9 i f è"s.i,ïi,idn c h. I IÏ xî... il Ï". 5j la p rerltiè it efl eqümu ltiplice z de la féconde comme l4 h D- noifiq me de la quarriefiue,0. que la cihqniafme fin? de p enfin: eguemultiplice de 14 [monde tout!" la fixitfimde

71 Ett nænsl-nfîvcnnt; V. la quutriefine, la compqle e dola premier: a tinqulefme, fera aquemultiplice de la feeoudmommè la troéfiefite ont: la fixiefme de la quatriefme. :1: Oit laptemiere B C contenant la l econdc G au-, tant-de Fois comme la troiliefnre H-K- contient de. fois la quatriefmeiz. Et uela dnquiel me. C O. (une - tienne autantlde fois la econde G commelallixielân.. j me K T contient de fois la quatriefine Z. La com:,. pofé B O de la première &cinquiel me contiendra autant de lblsïl a fetonde G, gommela compofe e H T: l de la troifiefine 8C fixiefino contiendra de fois laïque aldine Z..,. I «Pilotes-Inox un C T. ES v «a si lepremîer efi éguemultiplicedu i [emmi and; le triliflx ejme du quarriefine, a [oient prix des epuerhulxiplicer du pre- 1 fait? (7 du iroiflejme :üeæeuxalà dinfi prix, l vnrfera que. multiplia àl outre, flafla [Quoirl ïn au, [grand a? l entre au qumriefnie.. j V * V A 4 gn..pve SI la premiereigiandeur G contient aurantde a - foislafecondeïb, quelatroifiefine O contient" T4 de foislaqmttiefme H:I& que CZ:contienne i l - autant de ois la premiete G comme PT con- - ; À A tient de l oislatroifiefmeqo, CZ contiendra auiï- I k [l,fiautantdle fois laffèconde B, comme PTI conmnd a dî fois helminthe H;» PR orosirioïn un. c a a i rua Q ;i le prunierà mafflue mifim au fécond que lelgrofi efine au. A qualrîefme,lesequemulriplicespdu premùgw itoifiefiue aux aquelmullifilices du fi and a qutriefme ( quelque multipliçutionque purgée I e), «tout 1m: mqîuçeza lfim. finaliste-net p.4 p.1 m 7 ÏÏ la i O

72 - Î Oeil egal eâ B, O aumlmefine raifônâ C,corn-l, me B alla mefine CJBtaulBC Minime-raifort»; g ào qu ait. q * I in); o c a Lulu Cmunsne; l du SIlapremieregrand eut C ell- â lafeconde B, commelag. G â la 4. O, 8c que H contienne autant de ïo;is* C, comme T cannent de-, fois G, 8c que P contienne autant de fois B comme Z Contient de foin O z H fera à.p I oomrnetàz. P T G o z.q; e.,.uca 2R,OPOSIT.ION v, Sl vï negrlèmdeur equemultiplice un»; outre grandeur com-h z guzla retranchée de la retranchée, la reliée [en eguemulti. t plice à la reliée; comme la tout: à la tout, i I C B contienfantant de fois GO, comme l ofté e 5*, C, H contient i v de» fois l ollzée V vg - Z:. L a-refleeh î c -Bi c6; tiendra autant de foisl àutte tellect- Z 0,.eomme toui- u.. v te contenoit w la to ure, "." " i «p " 1.!, paorosr rion] in. y je t quelques. retranchées equernuluplicet idesmefmes: les reflet Si deuxgrundeursfom eguemultipçxes de dçuxgmndeursmgt s aufii oufeflur egales aux "repues, enferrant egueriuluplieen dumping A A,V i» - - CB contient autantële fois H comme G O con;e Û tient de fors Z," 8c l office C T consigna autant de fois. H comme l autre allée G P contient de fois Z: a - Lesvreftes TB 8,:,P»,0,ou feront egales à H 8: Z, ou T P» les contiendront purgeurs fois egalenteut. - l [ L. v - a i-r o par)? os trios-1h. grandeur: opales ont une mefme-raifimà vue urgence à.» v îne næfine rqifiznà deux agile; grandeurs.

73 la LE nans- D Eve titan;.21» PRO F08 Ixion jv-rim *. Dl (leur: grandeur: inegnleglü plus grandet: guindé); fini à 7M: mefme que la plus peut: :59- lmë mgr," à PIN et grumier wifi»: à la plus [minque laplægmpde. * I. -» H DE deux grandeurs inegales de; «G, (oit 7C la plus i grande,& foie vne tierce comme Ô. iga ùra plus de raifon à O que G alamel meo. C eltàdite, que Ç fera plus grande auregard de O que G au regard dola mëf- meo.,l I V est) x PROPOSITION. six, l ï» un. letvgrundeuu qui ont ne mefme «maudire: mtfnre grau-l,. flqurr,fimr egales enfielles : (9- lesïgundeurs-aufqueües; 1»): mejnî àmefmejaifiu,, èm tgales. i v i. SI: 0 eflâc comme B àlamei me C,0 a: B feront [ cgales. Etfi C eflà,0 commelamefiqe CÆllçà B,icel-, les O 8:. B feront cigalesa * [ l A q Paor ositriouxlîj i ce, 3 m sgtandeursguiom raifort à vnemfmtgtondhmelle que plia grande wifi» efl la plmgrandg. la: la grandeur l alaqueüqla "reflue au f4 [diagonale rgifim fera laplu; petite. Silo enfinsêrandeau regard de C B au regard A de lame me, 0 fera plus grande que. B. Et fi la mefme C cil plus grandeur regard de B qu au regard de O, Bièrapluspetité que O. l I A 0. -, V p o c a, B DE I1? I Ô N3 3:17 - Les affins gaminerie. mfme à Muffin dams», trifides; a---4-*k * Si laraifon de H à B ellcomme celle-de" Cri Z &fi cellede sa O eficommela mfmetle C à Zfiâles tairons de Hvâ 3,8: de sa Oferomde m6 Ç. t I N. K ino 5 I. l

74 Lira! tuteureriez; (4;- v, moyennois LX I I. j si tant de grandeurs qu on voudra ont impartie", comme l iv- *, ne de: antetedentetfera à l une des confiquenm, ainfiftrô t I x toutes les antecedentrst t toutes les coqufequtntæ. l [la raifon deb à F titanisme de C à G,8: 0 a H, les trois antecedentes conjoinéternent fi I. k B C O feront aux confequentee Conjoinâement commebàf...ç.l.- z - n.... szl aôposrnonxrn. sentoit, si-ia [mulâtre-à inféconde a mefmt wifi» que la troifiefme 2:14. C.g uatrtîefnle, (a la troifiefnie a plus grande raffinai la guaj même que lai cfiinguiefmeàla fixiefine è la prem iere au in: and plut granderdifim à lafçtonde que la cinquiefme à a fixiefine. ï z l SlÜît Gprcmiere allafe côde B camelat rdifiefiney - a C à la quaæiefme D36: que la radon de C à D foit lus grande que celle de la cinquiefine H à la fixie E F.D auràt (Îles tairons de 68,8: CD fan L t Î! de mefme,& que laxatif-on de C à D cit plus lande que celle de H à -P5,iis cnfiiiura que laraifon e G de a c n a! B fera and": plus gradequelamefine à F parla u. de ce liure. skonogùôn x1111, la profilera empaumai; [monde que la troifiefined A lukquatriefme, a. que laptemt tre [t ait p tu grand: que la. i traifiefme,l4fieonde «fil fini plmgr a nde que la punitif me : a fi : 3 (a- fi plut RÇlÎllæhu petite. 593 :6 à B comme C ild.sig oilplusgrandc ne z t-, C,B feraplusgtandeque D: Catpuisque G qui us. grande que C elle aura donc plus grande raifort à B quelamcline C faillit. Janine. Mais comme G à I B:,Iainli C à C aura donc plus grande raifon à DL quia B. Dont hafnium que B "fers plus grande que; B c 1,

75 : D Evcnpz; D, farta z.pmicdela Io. denture. Etfilayremiereeûpluspetï tc,la quattiefine fera aùflî plus petite,& fi agate, cgalc panes mai? mçs PR0 POSIT1 tairons. ON xv. u, 1è: graduât qui fint mefmes panic: des leurs equemuhîplices, gangue mefmeraifon palu miam ellesjê 14150:)de i mutueüuhem. l v :1 particdeko a; au ça un c que. x.. O K contienne aumçtde fois K L,comm: C B con- I o fient de fois B H. D autant quïlfe peut dire amfi,- com-. nie L, 1 an des antcccdentes cftà BI-î l vne des con- H l faquentcsæinfi font tomes tes anteccd ètcs,fgâuoir O K. g, âtqutcsles confcqucmcs C B,pnrla male Ctfluy Il s enflüuraquccommq OKà C Bàainfi LK à H3... Q PROPOSITION va t; H sîquqmgrandeuu fiant propofitiènpelles, allai: [mm - : 7 -. aufiirentr elle: hue que: l antre! V, Oit: 0 à B comme G à C. D au tmquepnrla u., 14è ce linon toutes les autocedentes rem à toutes les 4 confequemcs comme l vnq des antecedcntes à l vnc des [ v confequenteszfoit changé, Lordrc en ccfic forte: comme 0 premicrc cftâ B ;.amfi G z. eflâ C 4 Lors O 8c G, feront antecedcn tqs, & flic nunûquentchœs antécadentes cnfemblc 0 G feront aux confequentes enfcmblc B C domine O eflrâ B ou G à C. O fèradoncà G comme B à C. Et par: confequcnt (mon: (par raifon changée ) proportionndlcs. en enfle forte, comme t0 CR à B, ainfi G à. C,& c6mmc. (1d! â GàiùfiBâQ. r nords ITrON mu; Si- les grandet)" coinfife çsfim propaiüohneleb, Mât: f vdipæ fiqs [mm kmfii proportionnqlles. 50km les grandeurs pôpofecs (Quoi: H3, vcbmppfce deghk; K 13, 8c.C-O compofcc de,c Z, Z O,;&Ioit cqmmt la tout: H B 4:33an hammam ÇQ afa 2331:9, ! 1M S c

76 , - Lux-:- CINQYIESMB: l 3c. HK en: à KB comme Ç Z à 20. Carfilah gnero l l n en: coupéelau oint Z et) mefi-ne Propçrtion que HB, foit en vil autre, il cil poifibleïom me en G:lors les deux - antecedentcs conjointementf c cfl à dire H B) aurone 2 telle. faifon. aux confequentes con inâemcntl( C O). comme B K à O G. Mgislaio L1te H efipôfecâ 3K l cqmme la toute ÎC 0.àPOZ 1:..84 parllaëtecedente, com- H c me H B- à I Ô C,ainfi BK à 02: dont s enfuiura que. 0-2 "fera e aleà 0G (cefl à dire la panic auront) ce qui et! abfurde. Si in: ; miam campofm, et. - *., Pn*»op.051îio.1si 1&an H * " si lefgdndeundinà eeefim proportionnefimiceflu e. b campé ces [nopt èufii proportio rgnelles. SOicntflqnehules grandeurs dxuifées 8: proportionnel- Ë r - les comme H B,8c C 0 dlllifees en R, K:& foigcom- à A me H P à P,B,ainfi (3th ây-kq. le dyqu icellcs co - t - Pofees fontecommc H3 à HPgaiflfiC O à [C K. El? 5 n eûaîhfigflait stüefifioflîble H B à HP Comme C O à.. une lus grande que CK,c efiàfçauoif C G; D autant l que es grandeurs cgmpofees H3 à HP (une comme.5-, C O à C Ç :icellesvparld paraient: efiant diuifees H B 9.N à "P fermas comme ce arde. Maiétctomnjen B à H1»; t ain 113 efléafuppofee C 0 àck : il s enfuiurbit d oncque comme C O âüic K ainfi CIQàA C G, et quela partie CKlferoitcgale au tout C G : ce quxefi abifurde.silonc?ozc;;.xv n t "h v *,JPRoPos ITI IQg in, v t. si fa tout e]! au tout comme le refluncbg du retranché le 4 refic- fem 4141!; «fifi: comme le tong-mi tout. y à) S Bien-1; deux grandeurs, H BaCO. Green-11h; H B 9&5 4H c f; C 0,3infi fait la retrancha H Pt âvla retranche;.c K. O le dy que la reflée P B efi: â La reflée K O comme,h B? à C 0. hantant que les quatre lighes H B,ÏC 0g H P, J. C K,fon,t pro 1 orineqes ilferacpmme Hem à H P, 1 ainfi C 4 à C par la 1,6.AÏéxeliure. Parla17.:de ce méf- ï fine ces,efines grandeurs aixflî compofees a; propor- n o tionnelles,fçrontde mefiùeëflantdiuifees. Comme le, tout B efiau tout C 9,ainfi donc feral qflécâfofiée, 6:11 refléta]; refuse;. I c v». -

77 Etzmzûs n Evounz, tamponnes: que. j. ; S il); amande grandeurs qu on. voudra. a "taquiniez" en mefmc nombrejes Jeux (nife: en mefme mifim: a qu en f mifim rgale aux prenait: la premierejàlt plutgrande que I4 denim: aux made: grandeurs, aufii laprcmiere fins: plmgrande que a demie" a fi è ale, egqle 5 a main: du,. moindn., e.,, n v. C &que parieraifçn emmerde comme. C e à A.. SOient trois grandeurs HB C, 8: autres trois grandeurs G 0 F ayàns taifon l aie àêfautte de. - deux en deux,fçauoir comme H efiib,"amfi G à ï? v - 0, 8c comme B. à C ainfi O à. F(D auta;st que pas la 8.de ce Mure H a lglus ramie raifonà 8., ne C.. v»- â mefine B (H e an uppofcepluggran e aucun: Go En 15;,ainfi H0,& coinnge,b à H, çuilà. Çà G :ils enfile incague G (en plus gfqnde uq F. Etfi H cit egaleà Ç, G feta cg eà F, &fiyluspetite,p usçetiçe. 4L, l t Ï,, i k î. Ignore sxrona x W f - fixatroùggandgwr, à. 41mm d une: FlÏISdC. daigne de»); ennefine rayât;. a. que Igurflepovdo» fait fait? - du,0 qu en m7613 (gale lhflchüre fiitplu; grfinflëquë la troifiefine, la quatrieîme aufiz fim plw grande fuie Il fixiefine : mfi égale. égalegfi méindk, Moindre. o V «x x V A.4....»1-, Oieht trois tandems 1480,; aunions-trois. J -: v gçandeurs, 1,8; (on commeïh ânbfiinfi P. I. 1,.Ü à Z,8ècommeïlê â Gà ainfio C à, F ptifes de deux I," f,., en deux.silà flemîe rc "H efizglis gràndequc la [ " v I trpjficfme G,la,quàtrïefine C, garum plus gran-, ï. de Que lnfixiefme Z-KID autatit queg efiplvusv c t, «te que H-,elleauracmbihâre raïfonàjquucg a x l. la mefine B..O-tpâera mifon co huertîgjeomme G à figuian E5 C. Laraifon donc-de 3P à Ç fem tpogddre que de E :12 ( efflux". celle-cy de mefme à la raifon de.h â B: fion; stenfumiraque 13,4. C fera plus grandeque la 6. Z. Par me ès mirons on demônfirb ra fi la premier: en: egale ou Plus gcdte,leautre dite de mefinc»

78 Luna (imaginante; 4 PuoposxrroN xxuf. S ily 4 un: de grandeur: qu on voudra, a datant d ami; [au]?! de deux en deux tu mejme raifim, a que la propor-. tian d inde: fait [élan ordre. icelles en raifort egale feront pfoponionnclles,. a - t, d 03:11; quelques grandeurs H B G; amurant A (faunes grandeurs O F Z.Proportionnelles c :. de deux en deux,comme H à B,aiufi O à F; b -. comme]! à G aiufi-eàz.sih n eûà G com; 1. me O.à Z : fait aux amecedentes adjouflc e vue [ quatriefme 1,8: fait comme H à B,ainfi G à [me G I F1 r, lors les quatre ferom.propon onnelles, Semaine en raifoa changée parla 16.decel;«re.H fera-donc à G comme B à I. Soit maintenant aux confcqçcntes adjoultee L, 8c fait comme O î. 1:,an Z à L parlamefmc,16.-o ferai Z "comme F à Inc: les quatre antecedentes (ont en meûpe ordte 8c proyortion que les coufequentcs par l hypodlefc: H feta donc à G comme O à 2... L. 1 l " Paonosxndon nm. sïija "où grandeur: a «un: d une: giandeunprifn de deux en deux en mefnie mafia, a que la propartion d i- -,ceflcsfim [81m ordre,îcelles en raifim :341: feront proportionnelles... * - t Ï Ï - à SOierÏ trois gandeurs OPE 8: trois autres.» lgrau cuis B, a: foirleurpropoxtion par, - tu de ou me ée,fçauoir,comme O à P «H à B,&comme P à F,a.infi K à H.Si K n eü à; Bi cpmme O à P, foitpofee la grandeur.c,)8c [ foiçcénime P à F,aânfiïB.â C.,K- feradonc à u H comme B à.c,8: ces queue (mon: papou-1p? K3 d c dgmdkarscpatconfequmt commesk à«b,ainfi-.h à C par Or H» cit à C comme 0 à F peut! 58.!. K fera donc) BÀcommg O à F:

79 . l. - ECIMENS nlevctrn r;. 15, se: T 1 ON xx 1 11,13 sikpremieùufieond amefme wifi»: que le tiaifiefme au qu» V triefme, (9* quel: cinqwiefme au nicf me raffine au finaud, que lefixiefme au quatriefme, «fit le prenant a. claqua]: meenfemble auront mefme wifi»: auficond, que le trozfiefi: me a fixiefine enïembie au guerriefine; ". SOit la premîcre grandeur C 0. àlà faconde 1, B,c0mmélatrol1efme EN àla quatriefme - 8,8: la cinquiefme O F à lameflneb, comme 0 * N lafixiefme N P àla quatriefme S : le dy que la I compofée dela. La: 5.fçauoir CF eftà la 2,. - c0mme la fçauoir L P S. Cc C1111 fe cognoiflra en adjoufiant auxautecedcntes la C 1 3 K v grandeur G egaleà OP, &auxconfequentes H egal à N P. Carcomme C0 à B, ainfi LN à 8,88comme B à G ( ar l conuerfion deraifon) aigfi S à H. Maintenant C 0 à G en comme L N à H pala 1.11 de alune. Maisparla 18.eflans compofées elles ferontcomme F C. à C O,ainfi P L à L N. Soie erechefadjoufize e I (egaleà C O ) entre la premicte 8c [econde,& entrela 5. 8C4. K cgale à L N. Lots comme F. C à I», ainfi PI. à K, &comme 1 13,31"an KvàÏSÆ t parla compofee PC fera à B- commelacompofee DL à S. - u. PRpPOSITIONtxpre. si qçatregmndeurs fiant proportionnelles, la plu:.gmnderaj lapine petite [ômpluegmndes gades deuxfilltrti. SOient quatre grandeurs proportionnelles comme a HB à G D ainflp à Z. Soit H B. la lus grande, I" delaquelleiloît ofiée HT egale à P, à; e- G D foie C ollé G I egàle à Z. Ilfera comme H B à H T,4alnfi QDtàG I: 8: parla x9.decelùmlatellée T B à I D * I x. lande mefmefiz IÇB fera doncw plusgfa nde que ID. 7 Il * 8.0i: de T. B muppêe T C.egàle à ID. Maineeé - * nànt HC contient. P; 8c,l D : les? mideure donc 1 En H C a: Zlbnt egalesà D &GG DIÈç fi (LB-e11: adjoulféeg? hyakncleutnl-ieli 8c Z ferontpluà grandes que G D 85119: a A P13: av mugis-su:.li VIug a,

80 q;le SIX I.ESMIE LIVRE en: DES ELEMENS Q l-zvoclideæ c- DEFINIT-ION PREMIERE. Esefiguœs rcâilignes femblables (ont celles -*. g qui ont les angles egaux aux angles vn chue on cun au lien, 8; les collez au long des angles egaux proportionnant; " z. Les figures teciptoquesfont celles quand en l vne a: en l auuçles-antecedents 8: confequeuts [ont en cetaine raifoa. l l, a c l l.. 3. Vncligneldroiâe cil diuifee entre les deux extre- - mes;c efl: àdirefipar laimoyenuc 8: extreme raifouquâd o latoute cit au plus grand fegment,comme le plus grand l fegment A La hauteur dlvne au chacune moindre. figure, ell: la perpeudîl.. cataire procedant du femme: de la figure fut la hale La raifon des tairons le dit clic, quand les quantitez des tairons multipliées entre es produilent quelque raifon. v. e. Vn paralleiogramme en: dit deffaîllit se man ne: d efpece à vn parallelôgramme femblable dôné quand il en: applique àquelque ligne droiéte qu il ne la peut occuper entieremem.& s y trouue de defau; vn pat-allelogtamme femblable à vn parallelogtamme donné: Et excedet dlefpecc cil: quand il ucede la ligne d vn parall elogtàmme femblable àceluydonné. l l Î M e IPROPOSITCIÇN.1... a Fer-triangles apareflelogummes quifon; ne mafme, v,afiateurjàn; (en "une CQmMleufi bafn. Ç

81 factums n Evet me;. t Oienr premierement les triangles C G g a: 8 G 5D (3H furlesbafes C D,DH &en me me - hauteur D G.Iedy quel yn des trianoles HGD ellàl aurre con commelabafe Hi) a labafe C D : Car foientles deux bafes couppées coale-, meut ean I, 8c tirées G K, G I. comme liliale D1 eflàla baie D H(fçauoir.la moitié au tout) c X D 1 K. aïoli DK cil à DC,parlæ 18.5.Or comme D I à IH SC DK à KC,aiufile triangle IGD à-ïgh,& KGD à KG C par le s8. r. 8: côpofez,comme le triangle HGD au triangle I GD,ainfile trian le CGD au triangle KGD parla 18. ç.qu efha mefme raifon de baie HD àlabafe DI, ou CD à DK. tellement donc que parla n. 8c comme]: premier triangle ou tandem H G D à l autre triangle ou grandeur C G D, ainfi11e triangle l G D à K G D, qu elllamefme raifon des Bures HD À CD,côme il a elle monllrézil en de mefme des parallelogtâmes LGDH, sa BGDC doubles aux triangles. ramingues triangh a paroflelogrammcsfior lmfix e341" fin: 1 on à l autre comme leur buteur..proposition Il. Si en 1m triangle on fiai: me ligne droifle pentacle à l un: des l rafla: elle-coupperd les rafieîdu triangle proportionneiiement. Et fi le: coflqd vn triangle [ont couppezproprtipueflemenhla ligne droiâ e menée par les [édifions [en panadeàl at fe e45 du Magie. l Sourate triangle HGF tirée laligne BD parallcle à Il G F, a: (oient jointes D G, B F: les deux triangles B D G 8c D B F (émulsifient efiaus fur mefiue bali:.. B D,& entre mefmes par eles parla 57 du r.comme a L n clonale trima e H D B au rrian le D F B,aînfi la ba- " le HD,âla de DE V( car ils ont en mcfme hnu- G li l teur. ) &commeletriangle HBD aurfinngle BG D, ainfi H8 à B G perlaprmdçnçe. Il sienfuium douanier zains. que H D. feraâd l-icommehbàbg. "il.. v t Pourlalëconde patriefoiefit flip ofcz lescollez H F, H G. couppez en B 8c D proportionnel ement.d autanr que le trimigle H BD a mefme raifon au triai) le, B D G qu au triangle D B F (laquellcclt comme H B à B,ou H D a D F)il s enfuiura pataud» ç. rancies-triangles. BDG ôt D B F forain egauiæt pource utile ("enclin vue merlu: bafèjls (bégum entre melîrnes 1m11: es perla 3941» l. BD fera donc Parallele à G. 4 I P R : 15

82 -Lnnz Surinam; p49 PROPOSITION III.. si l angle d un triangle eficoupplen deux e 11eme)" parmi: ligue drozfle, laqucüe couppe enflé le halls: les figurent: de I la lmfi aurontraifilm l on à l autre rumine les deux «me: i cofieædu triangle : (9* file; piner de la bcfiont telle raifort l vne dragueront!" lesïrofleîja ligne draille qui tombe: du [bm nreràlafeflian de la bof: rouflel dngle en de»; SOLtle agilement, triangle HB G duquell angle p. A H fait. couppé, I i t. l p.. en deuxegalemonr parla 9. dut-t. parla ligne droic te K «v H D,laquelle couppe la baie en. D..Ic dy que -B D a! telle raifon à. ID G quele collé, B H au collas H G... v, Soit menée du, oint G laligne G" F parallele à; D H, I; &joiute HaFr autant quels: liguedroifle B F tombe B Il) 0l. fur deux paralleles, elle fera l an le B H egalà l angle!.b F Gt Comme aulll laligne H G rom anr fur les rnefmes feules au: les alternes H G F, se D H G egau x parla 2.9.dnpremier. Les eux donc H F G 8c F G H feront egauxaux deux B H D 8c DH-G, l&cparconfequenrl vnâl autre (car B D 8c D H G fiant egnux parl hypothcl e) le triangle H F Gllferaldonc ifofcele par le 6.d» r. dont s enfuiuta parla precedente ( d autant u au triangle F B G laligne H D efl paralleleâ PC ) comme erala ligne B H à 1-1-1? ( ou HG (on egale ); aiufi ferala. partie de la hale B Dnàl autrc partie D G; ,, Pdur la feconde partie de celle ropofition:si B D cil à D G amine BH àhgjolcdt difpo ces B17 8c F G,commeilaell56 dit.d autautr1ue comme BD à D,G,ninfi BH à HI: par-infirmdcnre,8c BH à.hg par l hypothejèæl fenfuiuraque H F 8c H G ferontiegales parla 7.11» 5. 8c une les angles H F C58: H G F fec tout egaux palis. du x. liere.mais par la 1941:4 r. les angles B HD 8c.D [ont egauqrauxdeux,h F G, H GIF A en chacun au ficn, ceux l5 donc feront egauxvenfemble : 3: par ainlî l angle H, du triplngle B fera couppé deux egalement. l. iflproposit-lozn un. r., ne: triangles quiengles le: coflqquifimr au long de: angles egqux [ont proportionnant, (y ceux qui fônrfit brendlq aux bugle; exaucer en "reflue raifort: a

83 Fumeur D Evctnn, Dieu: les triangles eqmangles H B G.8: D G F V z ayanéles angles egaux,fçauoir HBG à D.GF,BHG à GDF, 8c HGB à DFG. Iedyqueleurscoûez x [ont proportionnaux, fçauoir comme H B à D G D ainfi B G à G F,8t comme H G à D F,quifontfubtendus aux angles egaux.soit du triangle D F G (ou F a a d vn femblablement defcrit) mis le collé F G direâement au bout dehligne B G. D autant que lesangles D G F, HBG fout egaux,les lignes D G, H B feront paraüeles parla 2.8. de 1.comme aufli feront F D, GH (drains les angles DFG, HGB egaux.) Soirparfait le paraflelogramme H G D Z,les lignes F D, DZ feront jointes direâement pie 14 3o. du r. comme feront aulli -B H, HZ. Ord autantquïau triangle F Z B laligne G en: parallele à Z B : il fenfuiura perla 2.. derelim, que comme F D à D Z(du à G H foncgale) ainfi F G à G B.Semblablement pource que GH cf! parallele à F Z: B G fera à G F comme BH à HZ (ou D G (on egale)&comrne BG à GF,ainË 2D (ou HG foncgale) à DF.. PROPOSITION V. Si deux tringler ont les enflez proportionnait: il: feront equianglesxg- auront les angles eg4uxlbue lefipuelr les co- 1 fiez de mime Mill»: feront fiducndw. 50km: deux triangles H B G, D F Z ayans les I collez proporrionnduxjçauoir comme H B, à h BG,a.iufiDI- à r z, &côme.hg à ce, une x H D DZ a z F,&c6me HB à HG,ainfi or à DZ. F z a ex S ils ne (ont equiangles (oit fur la ligne Z F au point F defcrit vu angle cipal à B, & au point Z F, efcrit yn angle egal à G : cil cuident que le trioifiefine angle I fera egal à H,comuonpeurecueiüirde la 32.41» 1. Les trianglesdonc H B G 8c I F Z (ont equianglesp parla pendante les contez au long des angles egaux H 8c I feront proportionnaux H B à HG,comrne lfâiz,8c HB à BG,comme IF à FZ,& HG il GB,comme IZ à ZF.Maisles collez du triangle DFZ (ont po: fez de mefine: DF fera doncegaleâ F I parla 9a!» s. 8e DZ à ZIÆts enfuiura parla 3.11m r. que les deuxtrîangles D F Z 8: Il Z feront cgaux 85 equiangles, 8c par confe uent D F Z e- quiangle :1.an parla r. c 8.. Sidonedm triages, un.

84 Lux: Sxxusmy je PROPOSITION VIE I. si Jeux triangle: ont 1m angle e541 M angle, a le: rafla long de: angles aga): proportionna, item: triangles feront eguiangles,(7 auront les angles egauxjom lefqpels le: collai: mafia: uifimfant (àbtendm. * SOiènt deuxtriangles H B G,D F Z ayansles angles H 8c D c aux,& les collez HB à. HG comme DE à Z.Ied que l angle B en: egal à 17,8: G à Z. Catfoit urlaligne F Z au pointé: defctitvn an le e alà 3,8: du point Z v au? egalà G,il c eui t que l autre angle I [lent galâ 14,011!!!»me recueillir de la 2. plu r. - a: que le triangle E Z I fera equianglc au triangle H B G, 8c sui tout les qoltez proportionnaux par 4.4: reliure. comme H B à. B G,ainfi IF à FZ,&côme HG à GB,àinfi Il à 2;.Mais le tian le DFZ ales Jeux coite: p ofizz de mefine,fcauou comme D à D Z,ainfi HB à HG(01Î FI à lz)ils enfuiuradôc » saine D F, Z feront egalesà IF 8: 1.2: &labafe. Z elhnt comune,les triangles feront equiangles pan l. PROPOSITION VIL si Jeux triangles on: in angle :341 à l angle 5 0 le: com si long des une: angles proforlionmx : (a? hui: ce: u- ne: angles moîndre ou non maintint qu vn droit: iceux nii- Iufiron:.541! les,ey-mntlcuuglac aux «la» 5&qu legoflc âfaom pgoportionmux. g, - g sa a 4.; engin Oient deuxtriangles HBG a: DFZ apuran- D gle H e alâl angle D,&les coïtez ptbportion- a; aux m ont au long des autres angles B a: F, c eflzâ moi: HB à BG,eonme D F a F2.Et des - O autres angles G 8: Z fait l vnornl zutre premiere. ment moindre qu vn droi&.3i les deux trian la ne.q fi: 2T.î- Il... [ont equiangles sentent les angles (aulonô 95 c P Z B C fiez toportionnaux ) egaux, fait m" 0"" B l, furhîigne H B (au cas gène 1V?" fi PP f Plus îm d que F) m angle cgalà P tomme -51!D.flmlîl, la"5 ÈHÜCR 831 à

85 A ÉLIMINS nlevcnnz; l angle D,&l?angle HBI à F,il s enfuiura quele troificfme HIE fera egal à Z,ramme coupeur man lür data p.411: 1. comme donc DE à Fz,alnfi [en H3 à. Bi par la ce lucre. Mais comme DT à I Z, ainfi aeflé H B à BG: &aprcscomme H B à B I,ainlia eflé H B à B G, Les lignes donc B I, B G (ont egales parla 9. du 5. &auront les angles fur la baie egaux parla 5. du l. 8c moindresque deux droiâs par la I7.du x. 8c B I G citant moindre gym droi&,llautrc angle HI B fera plus grand qu vn droiéï par l. Mais ila ellë monflré aga! à Z pofé moindre qu vn drax&,ce qui nefe peut faire: H B G ne fera donc ny plus grand a, plus catit que D F 2,8: feront par conlequent egaux. Secondemét oit pofél vn oul autre de C St Z nlcflre moindre qu vn, droi&,fil angle B G n cfiegalà F (oit fuppofé B plusgrand, -& comme dcuantfoit H B I egalâ P. L autre angle B H (en cgal à, Z.Erfinalementles an les B I G 8c B GI feron çgaux: mais B GBI n ell: point moiti te qulvn droict parla fuppofition: Les, deux angles donc du triangle ne feront moindres que deux Idroiâs,contre ce qui a ellë inonllré en la 17. du l. ce qui cil abifurdc. En quelque façon que ce (oit donc les angles B 8c F (au "long defquels (ont les collez proportionnaux Mont egaux: 8: ln: cohfequcntles triangles equiangles. PROPOSINTION VIII.. s i zig-1 cingle ciroit? d vn triangle refiaâgle on tire me pupe»: djculairefiçr la bûfi, les triangles au long (le-l a perfendimfi lairefbn r fimljlablesgu tout, ventr eux..1 V i Oit le triangle reé tanglc H B Glayam l angle H H droiâ, duquel foir tirée la perpendiculai-.. A A re H D fui-l1 bali; B GD autant que du trianle HBD,lès dcuxangles HBD 80 HDBB D G ont egaux aux deux angles H B 618c EHlG du gi ad triangle propofé,ils eafuiura queleitroifiefme an le BHD,fira cqlïialggle 8c faniblablcau tout EH G. ASemb ablement. fe demonlhcralcmcfme dcl autre triangle H D G. Sidon: à tringlepr. I I v l - I fi. l il; - Pabuosï rïon-ix. D me Izgnr rimât" P vrnfee napper ne m2 mm: partie OÏdDth.. g V "ô I

86 L1 v Il à Suzanne: Oitlaligiic drome propofée H B,delaquelle - H il tout coupper vne certaine partie, comme pour exëple vne troifiefme partie, fait mime Yne autre ligne droiâe au point.h Côme HG, n fur laquelle (oient marquees autant de parties 4» qu on délire, (canoit trois z llvne defquelles par- G.8 ticsfoit H D,au point D foitmenée DZ parallele â. G B.icelle D Z couppera les collez proportionnellement par 14 L. de ce liure. tellementque comme G D à D H, ninfi B Z à 2H, 8: compofées comme CH à HD,ainfi BpH à H Z parla i8.rlu 5. ilfenfuiura donc que HZ fera la troifiefine partie de la ligne HB. PROPOSITION. x. Couppev [embleblement me ligne (initie mon couppe e CothW ligne droifle cauppe e (amplifie. SOitla ligne droiâe non couppë e H B, 8: 131i: H "L gne ceuppée propofée L C. 8c (oit H D cg,1, 5,13 premiere piece, D F àlafeconde, F G à a F p i troifiefine.8oienttirées G B,&. F I, D Z paralle- les à G B. fait encor menée DK paraüeleà H B A qui fermerales parallelogrammeâ D I, T B. 0:5 K B côme G F à F D,ainfi KT à T D parla a. Je reliure (c ell adire B I à l Z leurs egales parla ) Etpuis que D Z, efiparallele à G B comme ellg D à D H,ainfi BZ à. Z H.parainfilà ligne H B eltcouppée en radine talion. quel-16,, ou I. C propofée. * PROPOSLTION x1. A deux lignes droiéîes donnée:- "auner lumifirfme v- I l proponionnefle. a SOient les Jeux lignes dromes données H B, H G. n difpoféelenl angle H. foi: tirée G B, 8: prolongée 4 H B en l),cn forte que BD fait egale à HG.Au oint 5 D foi: menée D 1 paralleleâ B G,8: faiâe la ligne H G F. Il cil cuident parla liure que comme H B à B D,ainfi H G à. Gal-IMais H G a: B D [ont ego-p. les: il fera" donc comme H3 à H G,ainfi H61 G F 3- l âne proportionnelle, -. me; D

87 l mais. n Evcnni; vnorosxnon x11. il mit ligne! 41035:: donne ermouiier la guanîefm proportionnât..soknr les trois lignesdroiëtes données HGB. n Soient deuxlignes droiftes D 1, 8c D Z fai-,- fans vn angle en D, 8c (oit la ligne droiâe D T egaleaih,tz e aleâ 13,8: Dl egaleâgæoir r ï tuée T I 85men elapmllele Z F parla 2.. Je". lian.,comme D T ( cieil âdirc H) à T Z (c eût 1H6 àdire B ainll Dl (ou G fonegale)â IF,laquelle en par ce moyen la quarriefineligne proportionnelle. PROPOSITION Kilt.- A Jeux lignes droitier donnés tramail: moyenne r. proportionnene. I Dieu: les deux lignes dromes ropofëes HB, B G mires direâement, a: urla toute H G fonderait vnvdemy cerclç H D G, 8: au point B fait faiâela perpendiculaire B D 8: ioin&eshd,dg. Letrian le HDG. en)! L..8 a reâanglc par la ;:.db 3. Et ms quedc l angle droiâ D tombe fur la baie 122p édiculairc B,icelle fait deux triangles equiangles perla 8. ce lim. Et par confequ cnt proportionnaux parla 4. du inuline. Tellement donc que comme H B à B D, ainli la andine BD(qui en: cômune aux deux triangles)à B G.donr fen- 1 (aima que DB feramoyenne proportionnelle entre H8 a: DG. PROPO sinon xnrr. D es parafielogmmms égaux qui ont 1m angle e Il) l angle: Le: collez au long des angles egauxfinu «vip «et. Ides parafielogrammes qui ont vu angle (gal à l angle, a le: ce: flekau long de: angles 2341m recipoguesfim «pi egaux. SOicnt les patellelogrammes c aux H F, B G ayans l angle egal à l angle, fçauoir D B Z 1 B P : ie dy que le cbûé D L, l p

88 encollé B P cil: reciproqùemenr [un comme Sunna"; I B à B2. D w, 3,, Soitmis I B dircâemëtauec B Z:l autre D B fera aulli dircflement auec B F ( car les angles font au r B fommet.) foi: fait le parafielogramme Z F comme leparallelogramme H B au pzarallelo ranime Z F, a ne ainli»l autre B G au incline F par 7d» 5.M.ais I v Côme HIB à Z F,ainii indigne droiâe D B à B Enfin 1d! a. Et côme B G,â Z.Fperla mafias: carils (ont l vn àl au treeomme leur: bafes.done parla n. du 5. commeles collez D B à B F, ainfi reeiproqnemêt I B à B Z : tellement que [lainant la 2.. dînisi» de 6. les pardlelogrammes fantrecipro ues, 8c leurs ce ez. Semblablemcnt fe demonllcrerala («on e partie, oeil à leauoir,filles collez D B l F fbnrreci roquementcomme 1B à B Z,les parallalogr H B, B G eront egaur. D autant que (parl hy othefe) oeil vnunefine raifon D B à B F,que B I à B Z,elle era de mefine des arallelograrnmes HB à Z F, que a B Gaumefine ", 6. Iceuxdone H B de B G feront gaur-pala , 4 v okorosrrron xv.. ne: triangle: qui: 434m 1m angle egalà l angle; les cofiek au long des enfles goût [ont "époques. Br les triangles cyans in au; e aga à l engage les rehaut bayles. une si" ego»: mipngusfm api agas. SOlent deux triangles eganx H B G 8: H D I a n ayansles angles B H G a; D H F egalxaufom- l met H. le dy que leurs collez au long des angles egaux (ont reciproques comme G H a H D, wifi e F H à H B; Puis que leurrât: (ont dilpofez au. fommer. B H, HI feront fiaient enfemble, comme auflï G H D : les triangles donc G B H,& D B H eflms en vnemef l me hauteurferont lm àfautre commeleurs baies G H à H D. I Semblablement les triangles F D H, de le incline D BH diane. en incline hauteur feront l vn à l autre comme leurs balès PH a": H B fabule 6QMaisparl byposbejà HGB a: HFD fonte aux, 8c ont vne incline raifon à u mon B D H par la 7. du 5. es lignes droiâes donc G H1 à H 13,18: F H à H B ayans vne mel: " me raifon au: les trianglesguront avili hunefme girofles. par la

89 . ELzMENsD Ev-ennr; in. du. 5. Alternement donc les ligues feront proportionnelles G H à H D,comme v Ï H à H B parla Lilgfimtlorlfle alune. i Pour la feeondc partie [oient les triangles prcdits. ayans Tan le egal àlïfiglefl les collez rcciproqucs,ie dy iceux triangles dîne (graux. D autant que c elt vnc mefmc milan CH à H D que PH à 143,8: comme OH à H D,ainfilctri.1nole H B G au triangle H B 0,3: comme PH a H B, ainfircmïînbicmem le.uiangle HDI au mcfmctrianglc H D B, ce fera memcfm e seillon-du triangle.h B G au triangle H D B,L ucidu mefme H D F au.mcfme H D B. tesltrpianglels. doncainli propofez ferontçgauwçxrlq 9-4» si; z :. h t, I I v. tu? P 05S ï f I on X Vin v Ï;.. si que!" lignesjbm proportionnelleëe rcüdngle compris de: deux (Délit-moi c]? aga! à celuy camp"; des moyennes. Etfi le reflengle compris de; dans (a "me; [fi (sa! à «la; compris des moyennenle: que": Iigncrfcrom proportionnelles. SOient quatp; lignes proportionnelles H à G,commc. B à D. ledy quele reflangle compris fous les plus E grandes pluspetitcs qui [oncles extrcmes B 8c G,efl G r cgalau reflangle comprisdesmoyegnes H 8c D. Soit 3 * fait de B 8c G fvn rcâangle,& de 8c D vn autre re- (bogie. D annant que de ces deuxtparallelogrammesclcs a collez [ont reciproques; fçauoir le plus grand del vn au plus grand de llautre, de le plus petit delivn au plus petit de l autre, a comme H à Gainfi B? à.d.iceux font egaua parla r4..du 6. Pour la lecondcpattie, files parallclogtamtnes font egaux ils. aulx-enflés collez rcciproqucs, &feronr comme H à C, ainfirb à Drfnqpllx mefine 14. dab. liera a A 4 in on) s uïo N ravir; Si "où ligncsjbniproponiarineller,le reflangle «ont; (les-ex? sternum égal au quarre fiit: de la moyenne. la: [î le refilant-.. glecompm des mame: dlegalau quarré de la moyenne, icelles trois ligner feront proportionnelles. n 80 l! NI trois 1igues proportionnelles repolîtes H, B, D; p fçauou comme à BlainfivBLàk D:Bc cul-l 8c D l oit fait

90 LIVRE SIXIESME. 51 Vu mélange, 86 dç B vn quarré. le dy que le raffina B fla efl cgal auàquarrc.car puis que C cfl" egal à, 8,1l en; commoh à B, ainfi C à D: les quatre (mon Ve D dodc Progortionnelles H,B,C,D : mais le refiangle dcsoexitremes dl aga! au reéïangle des moyennes,pdr n la pretedq.n!e,qui cil le quarré de B moyenna,. l Et fi le îefiarlglc H D cllcgal au quarré de la moyenne B, les lignçs H,B,»C,D,lfcront proportionnelles par la prudente. Mais d autant que B 8c C font cgalcs,h fcmâ B comme à B à D. " "PROP os-i-tjon 1;):an 5min: ligne biffe donnie dcfcrire un? de reâih gnefimf bldblementpofi e à vnc que figuré "611!ng donnée. SOit la ligne droié ce donnée H B, fur laquelle Hg B faut fcmblablemcht-dcfcrirç vnc figure reflili- gne famblablcment defcrirel ppféc à la donnée C - Î É LF..Soicntærc mîèrcmcht fubîendus tous les G -v-. Il anales par quelques hgnes droiâesl, fçauoir en ré- c,, folîlamla figure en triangles,cpmme C D. L,C L F. Auipoint H (il: la ligne H B fait fait un angle egal p v, il) C L, comme B H I par la » x. &aupoim B vu an le, cgaïà D comme B. Le trojfiefmc HIE feraè alautroific c C L D,;C,ommc on peut recueillir de la 3min 1. c triangle donc H B I fera cguianglc au triangle Ç D L,&fcn1blablemët defcrit: 8: comme C L à H I,ainfi, C D à H B parla Maintenantfug la ligne-droitier î H I [oit femblablcmcht defcrit le trianglc H G Iflequiangllclâ-C F Ltd autant quelcsîdeux an les BHI a: I HG fonte auxauxdcuxanflu D.CL 8c I C, le tout fera cgal au toutêauoir B H G à angle D C F : femblablement l angle B I G à D LE,éommeaulfil anch G âl anglç F,laligme - droxâq donc CL feraàla ligne droiâe HI comme D L à B I: mais CL à HI cficommé D C â BH.D C à BH (madone tomme DL à B laulong des angles egaux. Scmblablcmcntfc. demonfireront les autres collez cflrc de mefinc l vn âl autre. Par amfi tout: la figure rcàiligne H B I G fera fcmblablc à C D 4.1- P,8c,fe,mblablcmcnt derme fur la ligna: donnée PROPOSITION x,le. I l l En triangle; [emblablesfimt hm à l autre en mifim double w. L 7 siam; raflezdereæwte

91 . immuns n Evcnnz; Soient les Jeux triangles equiangles H B G ï. B l x plus grand, 8c D F Z plus petit,a ans les coïtez ropox tionnaux par la gauoir comme à B à D P,ainfi B G à F2. [on auflî comme BG à F Z,ainfi F2 à B Iparlur.du6.pa.r, ainfi ces trois lignes feront lflîoportionnellesflk lati 6 relmieie B G âla troifie e B I aurala milan n 1 double de F Z rafla Io.dçfiui:ion du 5. Laraifon donc de H B à D F Rude mefine redproqucmcnt parla z. definition du 6. liure. Parquoy les triangles HB I a: D F Z feront egauxoarlafmnde panic de la 3412::. n) les angles F &B ayans du poer egaux. Mais B G elëâlabafc B1, commele (tian e H B G. autriangle H B I parle Labafe donc B G era a B I comme le irien e H B G autriangle D FZ( nieflegal à HBI) mais B G a B l âla raifon doublée du coll: B G au collé F 2.11 s enfuiura donc que le triangle H B G aura au triangle D F Z la taifon double du coite B G à B l, ou des autres Collez de remua: ble miton. Les trianglesdauxye. 0, PROPOSITION XX. 1e: polygones fimblablesfi palment diuijër en ( :-» blablas, egaux en nombre, (g- yropom onnauxà leur tout. I Mai: Iepolygane a du polygone la wifi»: double du coflt de [cubique wifis au raflé de remuable wifi)». SOient les polygones femblables Z LK T 1, 8c 1 H F D G B: d autant que-par l hy othefe l an-d l gle B à! F et: egalàl anglehl Z L, a: esrcoflez au L1. on es an es e aux pro omonnaux, auoir c6: mch H à la Laënfi I z à, z L. Soient ramées les? A. lignes dromes B F, I L, les triangles. H]? B, 8c m Z L I feront e uianglespnr la 6.deceüure,& l angle 1, a l H BIF fera ega à l angle Z I L. Mais parla con- 4 firuâion tout l angle H B G,efl egalâ toutl angle Z I Tmfiant donc H B F a: 1L, Faune angle reliant F B G fera e. al à Yann-e L I T perle Ioinâes maintenant 1 G 8: T: 17 B feraà H B comme LI à. Z I aulongdesan les egaax. En comme HB â B G,ainfi Z I à 1T en raxfon cg e parle une!!! 5.ilfera comme F B à B G,âinfi L I a I T. Mais d autant que l l angle FB G acflé mouflas! egalà.l I TIIestriangles I B la l

92 Lune SIxIrsuzÇ 3; I. I T ferontfimblables 8c e uian les parla 6.4l: ce lien. Etpource ne toutl angle B G D e, pof egalâl angle I T K,parfemo bla les argumcns fe demonflreral angle F G D eflre egalâ l anle L T K,8: les autres angles aux autres angles: 8c par ainfi par â 6.4": liarde triangle F G D fe trouuera equiangle au Men le L T K.Voila donc les polygones diuifez en trianglesfemblab es, 6c e aux en nombre. Outre plus, d autant que chaque triangle cit Ëmblable à fun triangle, 8c ontvne mefine raifon l vn âl auo tre,& que les panies font egales fileur tout, le fol une H B G D F au polygone ZITISI. fera en raifon ou ede H B à Z I parla Prudent... - p R0 P o SITION fxx1. Les figurer fmblnbtr à ne figureirefîiligncfint remuable: enlr ellu. SOient les fi ures reflilignes 171.8: B femblables à C. aurant qu elles ont leur: angles egaux ux angles de C par la I.defiuitiomlu 5. Ils auron (Il leurs angles egaux entrelu par la r. commune [entente, &auront les collez de mefineâ A raifon roportionlaux au long des triangles l e aux: ont fenfuiuraqueh a: B feront femblables a: equxanj ges. PROPOSITION xxxi. si une ligna droiélesjôm proportionnefles, lesfigum refît? igue: [011514qu. vfimblablmm defcrim [et me: [ê-. romproponionnellesa I tfi les [èmblabln afimblablmem defin m [tu que!" lignes droitier [6m proportionmües, me: lignesjêront.proponionncfles. Ôient lglume li es droiâes pro ordon-.. T nelles BâG côme fzâl.soient A failles les figures HL, 6K femblables, 8er r l: (Emblablement defcrltesfoient aufii les deux D K) nu autres P Z M 8c I T N femblables &fembla-l blement defctitcs. Soit aufii auxlignes H B a: G D trouuée la troifiefine proportionnelle X n "de ":11! 638c aux. lignes Z Br ALT lattoifiefine proporn p

93 Rumen: nleeczrnz; fionnelle O. Commela ligne H B cita X, ainfi efila figure HI. à la figure G K (c ell: à dire en raifon double) 8c comme F Z à 7 0, ainfilafigure P Z M à I T N parla Maiscommc H8 à GD,ainfi F2 à IT,&comme GD à X,ainfilT à O. lime perla au!» 5. enraifon egale, commcla li ne H B à laligne X,ainfi F2 à O. Parainfi commelafigure L effila i figure G K, ainfi F Z M à I T N, perla ruina j. 8L (ont proportionnelles.pour la feeôde artie foie: les mefmes figures proportionnelles femblables 8c emblablement defcrires. le dy que les quatre lignes furlefquelles elles font defcrites fiant proportionnelles: car comme on peut recueillir de 14Î9. (9 10 de ce [une, la raifon del vneàl autre fera comme celle de leurs collez doublée. La raifort donc de leurs coïtez fera vnc mefme parla 7. tammune je»- tmce,[çauoir comme H3 à D G,ainfi F Z à I T: iceux colliez,. feront donc proportionnaux. PROPOSITION xxni. en paraeelpgmmm: aquiangles ont wifi» hm à fait!!! I compofee de leur: cofieæ L Atss sur à part les diuerfes A ---»r--- opiniôs de plufieurs (lugent l glofé fur celte propofirion, 8:. F G aulli que la raifort compofée ne c T le peuticy entendre comme elle cl! diflînie en la I ç. le diray. r H feulement que la raifort des a rallclogrammes equiangles el vn âl autre depend de la raifon des collez d iceux: Mais voicy ce qui le peut plus facilement.demonlh er, qui me (emblc plus approcher de l intention de YAutheur. Soient les Jeux. paràllelogrammes 1 * Il,. A B C D a; C GH E lequian es,fi le plusllong collé de l vn C G efl; au plus rand co- "fléidclautrc ÇD,,corn nie B C au lus petitc E, es parallelogrammes feront lo gàux. par la 15.5": hure.1 Mais fi C G a plus anderaifonàid C que BC à C E dclaquantité de F G. Au 1 le parallelogramme C H excedera l autre A C en inerme proportion quela railbn du collé GIC à D C, excede la raifort de B C à C E: c eflàfçauoir du paraüelo gfamme F H, lequel f H amefme raifon au parafielçgramme EF, comme la li ne s CF à la ligne P cyan! page. Voiladonccommenr la:. au. i r

94 . Lune erusru. 35 des parallelogrammes equiangles de l vn âl autre depend de la raifon de leurs câlin. - PROPOSITION xxiiii. ne tout paradibgmmmc les. parallclogmmmer qui [ont au Ion dædumrtreayens 1m angle commun avec le mefme,. [6m [emblables au rom, (y l vn a l autre.. SOit le paralldogramme HBGD 8c (on diametre a IF B H G, au long uquel faientles parallelogrammes w. F X,T I ayans chacun vn angle commun auecle tout ne fçauoir H et G. D autant que X Z T cit parallele à HB,& F Z I à H D,& que laligne H G les trauerfe, au point cômun Z,i1 s enfuiura queles angles F HZ, n I a. H Z X,8c T Z G Z GI feront ega ux, comme aulli q. X H Z, H Z F, IZ G, Z G T feront egaux parla » I. a: que, les quatre triangles ferqnt equfingles, 8t-par confequent aurone leurs collez proportionnaux par la comme donc fera H F à FZ,ainfi ZTràT G,&comnæ.HX à XZ,ainfi Z à G, ainlî les parallelogrammes propofez (ont equiangles, femblablco 8: femblablement defcrits cntr eux 8c au tout. PROPOSITION xxv. A Defèrire vnefigure refliligne fembiabie à vnc figure rambine donnée a gale à ne «me «(Miser propofêe. On lafigurereé tili e Io ofée- W K. SHB I, à laquelle Il Câuiepnnzfaire T vnc femblable figure 8c egale à D. K Sur la ligne droifle B I fait fait un re- &angle par la 45.du r. qui fait egal a? n H I B comme BF.foitprolongée BIv1 r. ver: 2,8: rafla ligne IF à l angle 21 F.. FJOÎUefcrit vnlreâzangle Z F egalà D.Et foit P" h -1.Jece un; (tonnéch moyenne r OPORÎOnnCllC entre B I 8: I Z, regagne fait 1T. Sulccllc fait lcmuwr..-.lnr dermite vnc figure fem-.blableâ H18 parlas comme I T K- Maintenant comme 31 à lt,ainfi 1T à IZ,&commelalÏigure HIB ànfigm 1 T K,ainfilaligne RI à I Z en raifon crible par 1:19.01,0. érafleromais comme langue E I a 1 Z.,unfilc reaangle a E

95 g ELEMENS n EchIor, * -. (ou H IB (on egal) au rectangle IM parle Lolgceb untunh fin: en mefme hauteur. Il s enfuiura donc que la figure I T K1 fera egale au reâangle I M parle I4. du 5. I, PROPOSITION xxvr. si d 3»: paraflelogmmme on alla 1m patellelogmmhe [èm5144 A hl: au tout et [emblablement pofe, ayant tu angle commun «et le tout :1: [oubfirait [me avec le tomfur 1m in: 414mm. Or T d vn pataude ramme HDGB ollé le x  paralldogramme H Z F femblable au tout a: V femblablement pofé,ayantl angle commun H. le 1: Gy que le diamettre HZ G de vu a; de l autre, eftc me mefine ligne droiéte. Carfoir diuifé le collé DG cndeuxe alement en P,e bmmeauflî H8 a I X Û en C a; tirée êp, celte ligne fera pataude à HZ G (car le triangle IC P B ales collez pmportionnaux auréoliez du trianoële HGB, 6C par cataloguent dit equiangle par la: 5. de afin] ) ont s enfitiura uel an e C P8 citant egal âl angle H GB 8: CB à ZHF, ligne HZ G ne feraqu vne parallele à C P parla 2.8. a o. du. dont cil: cuident quele patafielogramme Toufhait cil: urvn meûne diamettre auec le tout. PROPOSITÎO NIXXVII. Derme panada 14mm; n en en: truck nô droiéîe.defiiidm de la igue jaffât le quefin tite du [ 54- a raüelogmmmer finblabler à aisy defiri: fur le moitié a. fifilablemê tpojêz, [eplmgund eficeluy qui diepp liqul [in la moitié de le ligne, agui e]! fimblableàctluypar lequelilejl dwcmt. * V A a. Nue droifle H B i.. w 825:: de?! egalement, au :535! r f Ï. f cri: vu paralleloâtamine G L duquellc dime. D I rient foi: D a: aatantque le parallelogram-g r l mais qualité 449w m autre amido- l. gamme affluiaé 6731:3:un HL Q G Ü z

96 LIVRE SIxusIu. 55 fem blable 8c femblablement poféà GL ui efl: fait de la moio. sie, le mefine parallelogramme [En furie dictaient par la m- Me,& auront l anole B commun. Parquoy afin que l app iqué fur la ligne HB «l effaihe d icell rvn parallelo ramme fem- I blableti G L :il faudra qutil fait crit du point iufques au. dirnetienr. Soit donc appli né H I del faiflant de lahgne, dela quantité de I B l emblable a 6L. le dy que de tous lesparallelogrammes ainfi appli uez fur HB entre H 8: le dimetient,le plus rand en: celuy qui e appliqué fur la moitié de lali e, coll: à auoir HD ou G L fou egal. Premierement HI à; demanllrémoindredautant que les fupplements G I 8c I L (ont egaux parla I.commeaulfi F D 8c D C par1436.du 1.8: que FD cit plus grand que I L (on I G fan egal) delaquantité D I, le commun F G citant adjoufié, H D (ou GL [on egal) fera plus, v grand que H I de la quantité du paraflelogramme D LQLc file arallclogramme cit mis comme H M furpall ant D, il firadefgrillant de la quantité 0 N femblable à GL. Or les fuppléments D N,D 0 font egaux, commeaullî P D 8c D N:8c P S, cil: moindre que D N de la quantité de vm D : fi donc on adjoufle le commun H S,le tout H D (ou G L fou egal) fera plus grand que H M de la quantité de M D. De tous paraanmes donc, et. Cet) un: dire q en un triangle ne lift» infirire au» panadagramme flagrant! q (dey qui «une les "trimardeur: gaiement, a qui a 1 angle commun un le PROPOSITION xxvnr. sur w: ligne (Initie donnte appliguer in: pavanelogmnme - defàillant en efface de la quantite du paraüelegrammefemblabla donnt,(ge qu iceluy app né [bit egelà ne figure refliligne donne notifia-grau e que le paraüelogremme a qu T x. appliquéficr la moitie de la ligne [êmblable àceluy duquel il doit afin dtfaiüant. x son la ligne drdfle donnée fi B furla "elle T il fautappliquer vu paralldogramme cg à. F * Ë a: defaillant d vn paraüelogramme femblable v mâ- D.Soit donc fin: la moitié La defcrit vn fembla- f 7. blea t D parla 18. de «au: comme L Z, 8c fait achalé T8 ameubli eib.si F cnegaic "à? r. àhllouâ 12(9)): egîlnous auoinslachofc la a... l

97 A V, ELBMENS D Ev ctrnt;. defire e : fi elle en moindre, pofons que ce fait de certain efpace que nous reduifons en (emblable figure comme D par la endeufluy.lequele(pace fuit O N, uifera tuile dimetient par le 264k 6.D autant qu en la preeed il a cité motilité que HP en: moindre que HI du pamllçlzgamme N 0,86 que F en moindre que H I parla pofifion du mefme N O z il s enfuiura que H P fera egal à F parla » 6. 8e fera defaillant de laligne H B, de l efpace S R femblableà LZ ou à D. PROPOSITION xx1x. Sur 1m: ligne droic ie donnée comparer un parallalogràrpme e311 àvnefigure rcâiligne donnée. (7 excédant en riper; d 1»: parallalogmmmefimbleble à)": autre propofë. " Oitlaligne droiâe donnée H B couppe e en L [a P en deux coalcment,la figure rcâilignc il 1. T u laquelle (clorai; comparaifon foit G,& le pa- l G rallelogramme lemblable à l exces foi: D.Maintenant Toit fait P L femblable à D,8c dans l an- x m B C file Z foi: defcrit vu parallelogramme egal al l L 852i G,&femlilableâ PL(ou:i D)parla N R » 6.liure,& fait NM.il ell cuident que le commun P L cflant ofiéle gnomon L OP fera egal à G. Si doncle parauelogramme N H eir fait del autre moitié H P,le parallclogramme H 0 fera egal au gnomon L 0 P, 8: par Conlèquentà G, 8c excedera kir e H8 du-parallelogramme R C qui cil: femblable à PL nua D. Si dandin endigue (imanat.., PROPOSITION xxx. Coupper vnc ligne droiâe terminée donnée entrelu deux entamer. i Oitla ligne droirî tei-ib cou pée. en C B 5.du 2.. ereâangle compris gus H B, BC fe-. ra ego! auquarré de H C. Voie donc trois li- c. gués proportionnelles par la I7. u 6. commevla toute HB àla plus grandepartie H C,ainfi cellc-. un. cy alaplus petite C B. dont s enfuit que H Bi clicouppée» en C macles deux extremes parla 3..defimtion du: 1mn. k Priam: x

98 V Lune SIXIBGMZ. V 37 PROPOSITION xxxr. i L «Aux triangles teflonglesla ligure de quelconque efflanque ce fait qui efidefin te furlecofle qui joufflu): l angle wifi, c]! agale aux figureslde mefme effet: qui [ont [Emblables mfimblablemem defêrim fier les rafla qui comprennent 1 unglc droit. son le triangle reflangle H B G duquel l anl gle droiâ fait H. le dy que toutes figures r femblables 8c femblabltment defcrites des co- [lez qui comprennentl angle droiél Côme F H B 8c ZHG (ont egales àla figure femblable 8c femblablement defcrite fur B G,c ellàl çauoir B G C. D auta que ces polygones (ont femblables 8c equiangles, ils auront vn à l autre la raifon double de leurs collez, comme auront aulli les quarrez defcrits fur les mefmes collez, par la I9. (a de ce lion. Il s enfuiura donc que comme les deux quarrez (ont egaux au. troifiefme parla 4.7. du r. ainliles deux polygones feront egaux k au troifiefine,puis qu ils ont vnc mefine raifort entr eux. PROPOSITION xxitii. " si ont" Jeux triangule enflé de l vn (7 le cofie de l autre compoftnnm angle, a" que ces deux coflqfôicnt reciproquesà deux aunes; a parulie!" des autres deux cojlek d iceux triangles feront en vnejêule ligne droit le. SOient les deux triangles ioints en forte que les a collez H G 8: D G facentvnan le entre les deux trian les, c ell à fèauoir HG. 8C l aient iceux par des a: reciproques aux deux autres collez,comme HG a D F, 8c D G à HB. D autant que HB a: D G fontparalleles,& que H G a tombe furicelles,l angle B H G fera egal àl an le H GD: a; uifque HG a: D F fontparalleles,8t que G tombe (in Icelles,l angle H G D liera egalà G D F parla : I. Les anglesdonc H 8c D feront egaux &les triangles equiangl espor (g 6. de rafla], 8c l angle H G F egalaux deux H &GB pur la

99 En urus n Evcnrnz;,z.du1. Et par ainfi les deuxangles H G F, 8c H G B regarni, deux droiâs. Puis donc qu à la ligne H G deux autres lignes concourent, fçauoir B G 8: F G, 8: qu elles font deux angles egaux à deux droits,iccllcs [ont Pofees drrcâemcntpar la r4. u r! PROPOSITION xxxur. Aux cercles egauxle; angles ontmefme raifon que le; circonferences finlefijuellenlslonrjôir queles angles [biem en la circonfèrence, ou au mure : (7 le: jeûnas ont aufii me]: me mifim..----*c A Il. aefté monfiré par la que 1 y, aux cercles cgaux les angles qui font N fur circonfcrcnces egalcs [ont agami: maintenant li en cercles cgaux les angles inegaux n ont vnc mefme raifon P que leurs circonfercnces fur lefqucllcs (- ils (ont defcrirs comme fur leurs bafes: Soient propofez demangles inegaux C H B ylus grand 8c G D F plus peut, 8: que l anle G D F fait vn demy droiâ, 8c que l arc C B ait plus de rai-?on àparc G F ue l angle CH B âl anglc G D F. Parmeûnc taifon ou fappo irien l arc plus grand I B aura plus de raifon à B C plus peut quel anglc 1H B a B H C: 8c conjoinflement les (leur arcs ( c efl adire lamoitié de la circonference) auront plus de raifon à l arc G F que les deux angles l H B c & B H C («tu dire deux droiâs )àl anglc G D F. Maintenant foi: faiü l angle KDF aga! à GDF, 8c KDN 8c NDLde mefinc: ilefi: cuident par a que les arcs PK, K N,8c N L feront cgaux a: les quatre angles vaudront deux droiâs : dont slenfuiura que la moitié de la circonference I BC aura plus de raifonâ la moitié de la circonfcrence L N K F G que deux angles droits à deux angles droits, ce qui dl: faux 8: contre la pofition qui me: les cercles egaux. Semblablement (e monflreral arc C B n auoit moindre raifon à l arc G F quel angle C H B à l angle G D F. Tellement donc que aux cercles regagnera. Pourlc regard des angles en la circonference qui font moitié de ceux qui font au centre, puis que c ell vnc mclme raifon des moities aux moities que du tout au tout, il n y aura aucune difficulté. En quant aux feé tcurs s ils [ont cgaux, ils auront les angles du

100 Living Stxnzsur. sa centre egaux 8c leur bafe droiâc eâale à la bafe drome par la 4. du r. Et parla 2.8. du g. les lignes ouïtes egales lcuent circonferences egales,les feâeurs egaux auront donc mefine raifon l vn âl autre que l arc à l arc. (fige s ils font inegaux,pofons sril cil: poifible, ( uele plus grand eâeur C H B a moindre raifon au plus petit D F quel arc C B à l arc G F.Ils enfuiura de celte pofition que le lecteur I H B aura moins de raifon au plus petit fe&eur C H B du mcfme cercle, que l arc l B àl arc C B, 8: ar confequcnt que tous les deux fcfleurs ( c en: à dire la moiti du cercle ) auront moins de raifon au feâeur G D F ne l arc I B C âl arc G F. Orles quatrelangles qui fouteur D ont egaux, 8c leurs arcs e aux par l hypothcfe : les deux feâeuxs donc I H B 8c B H C c elhe demy cercle ) auront moins de raifon aux quatre feâeurs de l autre cercle D (qu efl le demy cercle) que la moitié de la circonference a la moitié de la.circonference des mcfmes cercles : ce qui cit faux,efl:ans les cercles pofez egaux. Semblablement fe pourra demonflzrer que le plus grand feâeur n aura pas plus grande raifon au plus petit quel arcàl arc z dont s enfuiura qu ils auront mefme raifon l vn a l antre que l arc à. l arc. PROPOSITION xxxurr. Defirire deux figures refiilégnes qui ayant hm: à 1 une la raifôn donnée, 0 quifôient egales,[êmblables (r finaud: bleutent defirites à vnc autre figure refb hgne donne e. SO it la figure reâili ne donnée H B N a: laraifon donnée oit G C â C D. Soit P H B couppée en mefiné raifon en L parla a: fait vn demy cercle fur H B, sa. a b efleuëe la perpendiculaire L F iufques âla t circonfercnce,&foient menées H F 8: F B q ui comprendront vn angle droiôt par la gr. 1:3. La ligne L F fera moyenne propor.. r ticnnelle entre H L 8c L B ( ; 6. a: lesydeux triangles HF L 8C F B L font equiangles 8: femblables l vn alautre 8.: autout HF B par la 8.dc(.Ainfidonc comme H F cita F3, ainfi H L à L F, 8c F L à L B. Orles figures femblablemcnf dcfcritcsfur H P a: r B. font [me à l autre I- * ï. à

101 ELBMENS n Evcrrnr; LB, un adire en raifon double par la 20. du a. Il slenfuiura donc, icelles figures eflans femblablement defcrites comme H B N, alite l vneâl autre felon la raifon de H L à L B, crelt à dire G C â C D. Mais par 143i. du 6. liure. les deux figures I HK F, F l B (ont egales à H N B : il s enfuit donc qu elles font ruinant la propofition,cefl à f auoir egalcs 8c femblablès à la propofée,& ayans l vne âl autre I raifon donnée. PROPOSITION xxxv. sida": ligne: drome: [è eouppent en angle ohm;, (y de: ex: tramiez, d ic elles on tire [tu 17m chacune ne perpendicu- [cingles ligner entre le: extremitek (7 lesperpendiculaim [à couppen: l vne l autre reeiproquement. Oient deux lignes HB, G D (e cou pans D en angles obtus en F, &foicnt tir es les perpendiculaires H D, G B. d autant que lesangles D 84 B fontdroiâs, 8e D F H,B FG egaux par du r. Il sicnfuiura que l anglen G D H F fera egal à B G F, commun peutreeueilllr dola 32.. du pre- "Il", 8c par confequent les triangles H D F 8c G B F equian; files qui auront leurs coïtez proportionnaux par la 4.. de 6. la gne H 1- fera donc à F D comme G F ï F B,fuiuantlapropofition. l PROPOSITION XXXVI. si deux ligne: droifl e: comprennent 1m angle 41214,00 de: extremire : d iceues on Iirefin icelles.- mefines des perpendiculaire: qnifi nappent, iceüe: deux I igues feront reciproguemmpropomonnelles comme les [egmems quifom au long l, de l angle., l SOient deux lignes H8 8c GB faillans l angle aigu B, 8c forent tirées les perpendiculaires H C, G F. D autant que l angle H C B cit droifi, 8: egalàlrangle G F B,& que l angle B efl: commun,les deux angles H 8c G feront egaux par du I. Et les triangles HC B 8c G F B le-

102 Lux: Statuant. A î tout equiangles, 8: par confequent proportionnaux. H B (En donc à B C comme G B à B F, 8c de incline fuitte comme HB à B G,ainfi FB àibc parla 1641» f. PROPOSITION xxxvn. si Jeux lignes droiéïesjê couppent I vne l autre en 1m cettle,letjè&ionx de l vneuuxfeflion: de 1 autre firent yetiproquernent proportionnelles. SOÎent H B 8c GD deux lignes droi&es au cercle le couppansl vnel autre en F. D autant que pur la 35. du 3. le refiangle compris de H F, P B cil; egalaureëtangle de G F, F D, se quelcs collez des parallelogrammes [ont proportionnaux, fgauoir ceux au long des angles cgaux par la r4.du 6.!15 enfuiura que comme H F à F D,ainfi G F à P3 reciproquerncnt par le z.defimtion du 6.1ture. PROPOSITION xxxvur. si d vnpoinâdonnel bot: le cercle deux lignes droifîes tout. bent dans la circonférence cette, icelles feront reciptoque. mentproponionnellcs à leur: parties qui [ont bort le un! r: (9* entrelu toute (71e figurent hon du cercle,14 moyenne proportionneüe efl au: qui dlmene e du mefine peinât (7, touchefiulement le cercle., Oit le poinct donné hors le cercle G, du-g a quel foient menées deux lignes droiâesà la circonference cane G B, G D, & du mefmc C fait menée CH qui touche feulementle cercle a en H.D autât que le refiangle compris de G B, G P en: egalaurec tangle de G D, G C comme on D peut mutinir delta 36. du t. Il s eniuiura que les collez d iceuxre- &angles feront proportionnaux par la 14. du 6. il fera donc G B à GD reciproquement comme leurs parties hors du cercle G C à G F. Dauantage,d autant que par la mefim 36. le quarté de G H en: cgal au tcâanglc de G B,G F, ou ée D,G C, "l

103 Enurns n Ev CLIDE,LrvRE SIXIESME; 1 s enfuiura par 14 fientait puttiedelu 17 du 6.que la ligne G H (e? ra moyenne proportionnelle entre G B 8c G F,ou entre G D 86 G C. PROPOSITION uxxxrx. L53 deux li ne: droiflesfànt touppëet pur deux peuhle: droifie:, e Infant couppe e: des mefme: en mfme: tu ifimt. Oientles deux lignes droiâes H B,C D coup- n a pées par deux paralleles H C, F G. (oit menée C B couppant en 1 la lignef G. Or par G des. comme HI à F B,ainfi C I à I B,& comme CI à IB,ai.nfi C G à GD. Voila donc comme HF eflâfb,ainficgàgdpce B P [g u. 5.15m. I l p En! tu âxxrrsns une; tv... 1-

104 LE SEPTIESME LIVRE DES ELEMENS D EVCLIDE. DEFFINITIONS. Vnité en lelon laquelle vnc chacunedes chofes qui fontfe nomme vnc. z. Mais le nombre cil la multitude r compofee de plufieurs vnitez. 3. Partie en: vu nombre moindre qu vn plus grand, quand il mel urele plus grand. I 4. Et parties (Ont vn nombre moindre qu vn plus grand, quand il ne mefure pas le plus grand. ç. Mais le multiplîce cil vn nombre plus grand-que, le plus peut, quand celuy-cy mefure l autre.. 6. Nombre pair cil: celuy qui le peut diuifer en deux parties egales. - r v 7. Mais impair en: celuy qui ne (e peut diuifer en deux parties cgalesrou bien celuy qui cil: diffèrent du nombre pair de I vniré. - - V 8. Nombre pairement pair, eflceluy qui elle meiuré d vn nombre pair feulement. - «- p 9. Nombre pairement impair cil: Celuy qui cil: mefuré d vn nombre pair par vn nombre impair. 10. Mais nombre pairement pairôt impair elt celuy qui el t mefuté d vn nombre pair &ïd vn nombre img air.. - a * a P n. Et Nombre impairement pair cil celuy qui et! mellite de l vnitè feulement.. ra. Nombre premier cit celuy quicft mefuré de l y-1 nué feulement. l a G

105 Instants D Ev cr. me; n. nombres premiers entrecux font ceux qui fout mefurez par l vnité feulement, pour mefure commune. I4. Nombre compofé cil celuy qui cil mefuré de quelque 1g. Nombres compofcz nombre. entre eux font ceux. qui font mefurez de quelque nombre pour mcfure commune. 16. Vu nombre fe (liât multiplier vn autre,quand autantd vnitez qu il y aco lu y, autant de fois fe compofc le multiplié à: en naifi: vn autre. I7. Nombre plan cit celuy qui el t roduiét de deux nombres le mulnplians l vn l autre,& es caliez d iceluy font les nombres fe mulriplians l en l autre. 18. Nombre folide cit celuy qui cil produiét de trois nombres le multiplians en femble l vn l autre:et les trois collez d iceluy font les nôbres fc multiplians enfemblc: 19. Nombre quarré cil qui en egalemcnt egal, ou bien celuy qui cil contenu de deux nombres egaux. au. Nombre cube cil qui cil egalement egal egale- ment :ou bien celuy qui cit contenu de trois nombres. egaux. ai. Nombres proportionnant: a I font ceux defquelslc I premier eli l egalmu riplice, oubicn la mefmc partie ou v parties du fecond, comme cil: le tronfieme du quatrieme. a z..nombres plans ou fuperficiels femblablcs, 86 nombres folides femblables font ceux qui ont les collez porportionnaux. p 2.3. Le Nombre qui donne nom âla partie cil: celuy I par lequel la partie reperce conflitüe 8c me le tout Nombre parfaiét cil: celuy qui cil; egal à toutcsôt chacones fes parties. Definition du nombre milieu proportionnel. A I Nombre milieu proportionnel entre deux nombres--

106 y r V Lux! SEPTXESMI: si elleeluy auquel le plus grand a mefme raifon comme luy mefme au plus petit. l COMMVNES SENTENCES. r. Si vu Nombre mefute Vue partie. il mefurcra suffi le tout. tu Si vu nombre mcfurc le tout 8c le foullraié tjl me: fureta aulii le relie. PROPOSITION premibre. D eux nombrerinegaux eflunr propofek, [î en [tuant toufioun alternementle plus petit du plus rgrand, le "fluctue mefitreiumuu le preeedent iufiluesà ce qu il refit l ent te ; les nôbrespropoffîdn eô mencenient feront premiers entr tux. V S oient doncpropofcz deux nôbres, fçauorr A F-F-r--r--1-i--1-T;--IB Z A B plus rands: G D. I I. &deab oitleuégd G i-l-pr-éd palan: Z B. Et de G D oit cité Z B reliant l m 1 du I D, D. 86 ainfi de ronfleurs Z iufques B à ce qu il auifi relie feulement fait l v- F "né T B- le dis qu il n yaaucû nombre quimefure A B 8e G D. Q1: fi quelque nombre les mellite, foi: iceluy E : Et [parce que E mefure le tout A -B 8c le (bulla-aie! GD,il mefurera aulfi le refic z B parla a. attifent. deee liure; Sëblablemêt pource que le mefmc E mefure le tout GD 8e le fouflraië t Z B,il mefurera aulfi le relise I D parlamej me. Et finalement mefurant le tout Z B 8e le fou.. firaiâ I D, il mefurera aullile relie, c efl: à (panoit l vnité T B. Ce qui cil; abfurde, eliant le nombre E plus grand que l unité..5 donc Jeux nombre: inexacte: (7e. - PROPOSITION Il.. in deux nombres non premiers entre eux trgtruer la phlegma- de commune mefitre d iceux. G v

107 ELBMINS n Evcrrnr, SOiët propofez deux E nombres nonprcv r. x i. r l....3 miers entre eux A B, c D, def uels foit G mzefin toufiours o é le plus peut du plus grand infquesâ reliant mefure le ce precedent que ; ce que le necell airement nôbre adulendra:. autrement ne reliant que l vnité, ils feroient premiers par la precedente, qui feroit contrel hypothefe. i le dy donc que leuant G D de A B reliera E B, celluycy [eue de G D reliera le nombre Z D, St ue nul autre nombre plus grand ne mefurera point les propolez. Si quelque plus grand comme H les peut mefurer, d autant qu il mefure le tout A B a: le foullrrifl G D, il mefurera auliilcrelie EB: a: ource aulli qu ilmefure le tout G D 8e le fouliraiéi E B, il me urera aulli le relie Z D ur la 2.. com. fent. dece liure: Le nombre H plus grand mefurera onc le plus petit Z D. Ce qui ne fe peut faire.dont cil: cuident qu vn plus grand nombre que Z D ne mefurera point les nombres propofez. Refitlte que]; un nombre mej uredeux «une: neuf lares,ilmefurer44»fii leur commune plus grande nitrure. PROPOSITION III. DE trou nombrer non premiers entreeux, trouuer lnplutgrunde commune mefure d iteux. l l B B t l l I Oient les trois nom- A Sbres non premiers entre eux propofez A, B,G, r-t-r-fi-w-fi Soit des deux A 8c B, trouuee la plus grande G I--l--l---.--! mefure (feula purulente) laquelle oit D,quimefu- D fi-w rera le relie G,ou ne la mefurera pas. ne li elle le mefure, elle fera la plus grande mefure des trois, St aurons ce qui eft requis. Si elle ne le mefure point,il faudra que G à D foienr premiers entre eux, contre ce qui refulrc de la precedente,& par confequent aufli G 8: B premiers: Ce qui cil: contre l hypothefche nombre D fera donc la plus grande commune Inclure des propofez. renfloit: que fi on nombre mefure plufieurt autres nombre:, ilnæfurerg,

108 Luna Sarrasin; r a; hie-[filerie plu: grande commune mefure. PROPOSITION un. Tout nombre moindre eflpmie ou parties de tout nombre plu: grand. Oit le lus rand ex ofé SA. Si leroiëdre B mpefu- A W 1c A il fera la partie precife d iccluy par defim eion de W reliure. s il ne le mature pas, 11 en 1cm les parties parla 4. definirion de ce liure. l ADVVERTISSBMENT. Toute un»: d vne partie au nombre, efihee en la mefme raifizn que limiteur: nombrant la roifim desparties on nombre cfcbetjonfiour: e : mefines «in»: que du nombre au nombre, maie non de l vnitëau nombre. Entre tous nombres donc ne tombe pas la arroyo (a. [impie raifon des nombres ( à]? à dire des quantitek dijcretes, ) mais feulement entre aux defèuels le moindre e]! les parties du plu; grand :par ainfide 4. 4 u. l4 raifàn ne fera [me [implement de: nombres, d amont qu elle e]! reduifle à la mifon de 1 mité à 3, a e]! de mefme : mai; la mfim de 4. à x4. (71e: autres des parties au tout d un: feulement entre les nombres. I PROPOSITION VÂ 5E 1m nombre efipmie d vn nombre, (r 1m Autre nombre e]! la mefme partie d ïn autre nombre, «fi toue deux enfim. (de feront la mefmepanie de tout Jeux enlèrnble, qu efil vn de 1 e. v v CEflemcfine chefè en: dedaree en la 1. propofition du 5. le quantith continues, comme elle cit en celle cy és quantitcz.» Odifcretes (c efl; à dire é: nombres. ) Et pourtant, commci ay (lift là,ic ny aponcray (non plus qu en quelques fuiuamcs) aucune

109 ELEMENS DOEVCLIDE; demonûmîon, ains feulement interpreeation, craignant d oie; feux-ci: ce qui cit airez clair parle texte z Car ces propofinons Ion: pluflofl principes 8e communes fientences que thcorcmcs. î A.9 4 FFT-î-T-l-l-I-I-ï si donc.a efflamefme n farde de B comme G efl: de B W D ; A 8e G enfemble feront lamefinepartiede BD en- G, C (amble. dd dddl O d D I-r-r-I-B-I-I-r-r-I, raorosx non v1. si vn nombre eiî partie: du»: nombre, a 1m une nombre efl les mefmes parties d vn autre : aufii rom deux enfimble [erom les mefmes parties de rom deux enfemble, comme tu d: tv". SI le nombre A dues mefmes 6 k» parties de B comme G efl: de APm-F V-î D des deux enfemble A 8: G 3 3 feront les mcfines parties de B 3 se D enfcmblc,comme en; A de G r-r-v-i Boque D.. ).-Fr4.-h PROPOSITION vil. si in: Nombre off la mefme partie 41 ij nombre, comme eiï le jàujlraiéf dufôuflraic l-s 4km le refle [En la mefme partie du refit; comme efi [noue du tout. E 50k Ienombre ABla me? Apr-p" 3 comme me partie le fouflraiâ du nombre B E du D G, D W., a" fouflraié eg Z,le refit! A E (en O Z suffi la mefine partie du raflé D z, comme citoit le mon! B 3. toutd G. Guy jerepporeeëlo sœur. du 5. * * I -

110 Lune Sureau"; g; PROPOSITION yiii. St w: nombre e]! le: mefrner p4 m es d on nombre; comme e]! le fianflmifl du [ouflnifls «fit le rafle [en du refle les "ICI-Z mes pantes comme le tout du tout. Oit]: nombre A B les mefines à E parties de G D comme le fou- Ara-ppm) Raid: A E efl: dufoufimifl; G Z 5 n D le refle E B fera auflî les mefinesg W finies du fouftraift Z D. a: PROPOSITION 1x. si vu nombre e]? partie d vn nombre, a 1m autre cf! la mefme partie de autre. «fit ahanement, «He partie, ou reflex parties comme efl le premier du troifiefme, aufii Ieficondfir4 la mefine partie ou ruefmes parties du quatrieme., D Autant que toutes fortes de raifons des nantirez difcrctes peuuent efcheoir entre uclques tairons es nantirez continues ( comme nous nous a ucrty cy niellant) ce e proyofition a: la fumante fera facile a entendre par la I6. du 5. Soi: le nôbre A lameûne Par. API-e-n de du nombreb G, comme D n. G de de E.relle partie ou parties W qu eûle premier A au troifieme D G D,aufii telle partie ou parties fera E le feeond B au quatrieme E. PROPOSITION X. si me nombre efl le: parties d en nombre. a w: autre e]? le: mefmet parties d y» autre; «api alternement celles parties, ou pâme comme efl le premier du troifiefme, le fécond [en des enclore: partie: ou partie du quatrieme. pelte Propofition [e peut facilement comptenfïtc P3! la P";

111 cedente v lunule 8c parla 16. du 5. Et fibranne,- faut natter qu il cil entendu tant des parties furabondantes le tout Côme de celles au dello uz du tout. PROPOSITION x1. - l si comme le tout e]! au tout, oinfi ejl le fimflmifl aujoujlraic l, 4313i le "fléau relié fera comme le tout au tout, CEfle propofiiion fe peut entendropar la I9.du 5.Mais Euclide cxpofe icy 8c és trois topofitions fuiuantes que la raifon des nombres l vn à l autre na dc la fimilitude des parties. Soit donc tout le nom. bre A B âtout le nombre E. :8 C D commele fouflraifl: A HTr-I-r-r-r-y-r-y-r-r-m I E Bal! foufiraiô: FDgaullî c F D lerelle A E fera de mer- W me au foufiraié c C F. PROPOSITION KIL 5 in a MM de nombres qu on Voudrnproportionndux, comme l on des amendent cf! à hm des fientant, tout ainfi tous les entendent [ont à toue lesfieirmns. CElle cy la fumante [ont demonlhecs en la 16. du 5. Soit donc A à B comme C à A D 8c comme E à F, auliî A,C,E B antecedês feront de.mefine aux C confequens 8c fuiuans B, D, F, D comme A à B. ou-c à D. ou E PROPOSITION qu. si quatre nombre: [ont proportionna»):, aujsï dternement il: firont proportionnant. n. A Oit le nombre A 9 T à BCOmme C à B D.aufiiAferaâC Comme B àd, C.8 t--* ;.. 6 v

112 Lune Surnom. q; PROPOSITlON x11ii. 5 in a tant de nô bres qu on voudra d vnepart,0 autât d autre: de l autre, a qui [e prennent deux à deux en mefme raifim, aufii en egalle raifimtls feront proportionnaux. Oient les nombres B G n. 8 d vne par:, 8c autant d au- A D tres D L Z dellautre, nifoiët 9 6 deux enfemble de me me rai- B --- L --- (on àdeux enlemble; Clell; à fçauoir comme A à B ainfi D G --- Z ---- â L, 8c comme B à G ainlî Là Z. Aullilollam les moyens B 8c L) iceux feront en raifon egàle proportionnaux: c cfl: à dire comme Afcraà G, ainfid a Z. Celle propofition le peut demonflrer, Premiercmene quant illegalitè ouinegalité arlazo. 8c 1.x. du 5. Secondement quant à laraifon despropomonsœar la a: 2,3. du mefine liure. PROPOSITION KV. si l vnite mcfiere quelque nombre, (9 1m autre nombre en me- (ure pareillement quelque autre;au[s i alternement l vnite me- [tarera le troifieine nombre egalement, comme le fécond mefiere le quatrieme. e Oit donc l vnité A mefurant A le nombre B, Côme le nom- H bre C mefute le nombre D.Ie B r-i-r-i-1 dy ne l vnité A mefurera le croi 1eme nombre C, comme le C I) nm W feeond B mefurera le nombre quatricfme D.Car parla le. dactyles antecedens A & C feront roforuonnaux comme les con equents B D. Ainfi donc A e au: vnité 8c camphre quatre fois en B,ainfi C fera comme llvnité 8c compare quatre fois en D: Et comme l vnité A cl! comprife trois foie en C, ainfi le nombre B [en ( comme l unité ) compris trois fox: en D. "

113 Lumens D Evc une; PROPOSITION thî si deux nombres f: multiplians l un l autre, en font quelques autres. les engendrez d iceux fiant egaux l un à l autre. CEcy le peut bien entendre par la premier:. deifinition du z: Carfile nombre A 4. mul- 3l n c n tiplicle nombre B ; 8c il en preuient C 11.5 Il Prouicndralc encline nombre en multipliant B l--a.- par Azôc ce d autant que A repetant par fcs vni- l 4. rez le nombre B faiâ autant que le nqmbrc B repetant Par les vnitez le nombre A. PROPOSI PION XYII. si un nombre multipliant deux nombres en faiflquelquet autres, les engendreïd iceux auront la mefme raifion qu ont let multiplia. V S Oit le nombre A B multipliant A le" nombre B D 8c le nombre 1 F - I z n C B,& le prouenu du premicrfoit - e En, 8c le prouenu de l autre fait i. l l 4 FI;.Iedyquclcproduir En. a c B 1, mefme raifon à F Isque le nombre B D 4 au nombre C B 5: Car comme on peut recueillir de la i cd» 5.1cs grandeurs qui [ont mefmcs parties de leurs egalmultiphces ( cecy s entend aulii des nô- v bres ) ont vnc mefme raifort comme elles le rcfpondent mutuellement: Or B D cit multiplié par A B 3 ; B D fera doncla troilieme partie du produiéi: E:Et B C en: multiplié parle mcfme A B: B C fera donc aulli la troifieme partie du produict P; Et ferala rai-v fon douât; comme de 4.. à 5. PROPOSITION XVIII. sideux mémères multipliant quelque nombre. en font quelque: autres; les en endreî d iceux auront la mefme raifim qu ont les multip sont. CEllrecyeiHa connerie de la prccedente, car E en vnc mefk. me chofe que B D multiplie A B,comrne A B multiplie B D

114 se en viendra vn mefmc LIVRE produiét. Semblablement Saturnin. fi C B multiplie le mefme A B cil: vnc mefme chofe comme li AB multiplioit a; C B 8c en fouira vn mefine produift. l Cecy le peut facilement entendre tant par la precedente que par la 16. de ce liure. uguh PROPOSITION XIX. si quatre nombres fiant proportionnaux, le nombre qui cf? fait? du premier (7 du quatrleme fera egal à celuy qui [ira I fiifl du fécond (y du troifieme. Et [i le nombre fait? du premier (7 du quatrieme efl egal à celuy du fécond a du tro refont 5 iceux quatre nombres feront proportionnau te. Soient quatre nombres pro- - n. C a ortionnaux D. Le produiô: A du à premier B comme 9 I A A par le uatrieme D fait E. L. B , produit ufecond B arle 3. C l 8. oit Z, le dy E 8: Z e re egaux. C Sort déc multi lié C par A dont I 6 fait le produià I. Et pour jce il D *- ne lemefine A multipliant D I je.. a faiâ E; Il fera par la I7.de E cefluy comme C à D ainli I à E: 7:. I par l hypothefe 3 A à B fera déc a 96 comme Cômc l à E. Derechef Z A ayât -I----i--- l multiplié C a ont I z mais B multipliant le mefme C,a.produift Z : Ilstenfuiura or la I8. de afin ). uelaà B fera commeiâz. Mais A à. Bac commelâ E.Ain donc comme I àz,ainfilcra I à E. Iccux donc E a: Z qui [ourles produiâs du premier par le quarriemc,8cdu fccond parle troilierne feront egaux parla 9. du 5. à Pourla feeonde partie. Suppolons E 8e Z egaux. le dy que les quarre nombres A B C D (ont proportionnaux : [gauloit crime A a B arnli Cà D: D autant quc A mulâpliant C 8c D farci Il a; 5:11 fiflglfld I7. due liure comme C à ainli 1 à E. Et pource: que Z se font pofez egaux; Ilferaparla 7. du 5. comme C à D arnli I à Z : Mais A 8e B ayans multiplié C ont faiâ I 8c Z i liftera parla 18.dece liure comme Aà Bainfi I à Z z mais C31D a cité cominq I à Z: Ils enl uiura donccomtnc A). B aiiécâ D, se

115 l ÉLIMINS n lîvctrnt;., feront les quatre nombres proportionnaux. Si donc quarrer me... lares [ont proportionnaient, 0T. PROPOSITION XX. si traie nombre: [âne proportionnant:.ee qui efl me! des ex. trente:,efl aga! a ce qu: eflproduic l du milieu. Ecfi le nombre qui cflfaiël des extrerner e]? egal à celuy qui efl fiaiü du milieu, iceux trou nombre: feront propomonnaux. S Oient trois nombres proportionnant Aà B comme B à A C, 8e foitfaiâ D egolâ B. il cit 6 cuident par la precedenee que le B produiët de A par C,lera cgal au 6 produiâ deb par D delta dire D au produiâ de B par foymcfmc, 4: d autant queb 8c D font pofez C egaux. - Pour la feeonde I panifia. I Ùmefme demonltration f: fera qu en Il lafcconde partie de procedcnte. PROPOSITION xxr.. le: nombrer plus; petits de tout ceux qui ont la mefme raifort auec iceux, mefurent egalcment les nombrer qui ont la me]: me raijàn. «Il à fçauoir [amendent l antecedent et le 1 con equentleconfequent. Oient les nombres plus criteqcdseezenlaraifon Once I des nombres A àb. le dy que C C--".... D D Inclure le nombre A ega cm6: T comme Elle nombre B.D au- B ,--,--; z à: que par l hypothefe ces nom- A ----S lires font proportionnant, (ça- B «noircdàl-z Z comme AâB,& -5 entre euxaiilii comme C D du!, ainii E Z à B. Iecux C D 6c. E Z plus petits, (ont in amie ou partie: des plus grands A 8c B parla 4.. du" liure: mais ils ontla melmc particpar la 2.1. qui»... deceflrg, B: non ica mcfmes parties : car fi C D si E Z cfloicnt couppez en Idixmparties, e elliàfçauoix en en C1,!D,.Se I; z en min.

116 l leurs. vane.sti TIt!sIn-:. parties derechef C I a: E T auroientl vn 3 l autrelamefme a; taifon que C D à E Z.parla 15. du. Et ar ainfi ne feroient pas les minimes, delta dire plus petits c ce e raifon C D à E Z. Pat ainfidonc C D 8c E Z (ont partie d iceux A 8c B parla 4. de ce liure: Et par confcqucnt parla t-rmfieme definit. de ce mofette ils mefurcront les nombres A 8c B: Et egalement C D antecedent mefurera le mefme antecedent, comme E-Z confequent mefurera B c fequem parla 2.1. dqînitiontle cefluy, c lt à dire le plus petit des eux premieremenr propofez mefurera le plus en: des deux autres se I e plus grand d iceux deux premiers, me ruera le plus grand des derniers. Faut notrer que ce theoreme ne le peut demonflrer parnom. lues en raifon multiplrce, d autant qu elle produit rouliours l vnité auec un nombre en fes minimes parties: Ainfi donc a. 8:6 combien qu ils foientprmnimes de I 8c I; de mcfine raifon Ils ne les mefureront pas pourtant : parquoy ne faut point eflimer qu en la raifon multiplice les minimes (oient pris pour nombresz mais tant feullement en raifon de nombres, icelle n eltanr pas limplement des nombres d Arithmetique: mais elle efchet entres les quantirez continues 8: difcretes, comme aulli (a connerie. i i Cecy [oit anili noté chia fumante a: en quelques autres qui V. trameront de telles raifons., P ROPOSITIOM XXII. s iljônttroit nombres, à autant d autres, les deux prit en mefine raijôn: a". que leur proportion [bit perturbee, ou meflee: aufii en raifim egade il: feront proportionnaux. h 5. A Oient trois nombres VIL-B A l c autres trois DE Z,les deux B risg en mefine raifort mais d vn T 3 ordre niellé, (çauoir comme A à C tbainfib a2, &comme Bcon- - u. V fequcnt à quelque autre choie C D ainfl fait Irelquê autre choie D à l 9 n E ante t. le dv qu en raifort E t-- egaleaeltàccommedàzg I v6 Cecyfe rappporte. A à Z laa3.du cinqriiemc, se partant ie n en le; j 3:7 autre demonlhation. 1. n à. I

117 a.» traumas nlevc1 un, PROPQSITION xxn I. Le: nombres premiers en": eux fiant les pimpants de tous aux qui ont la mejme milan anet iceux. Oient les nombres prc-. «5 lcrs A 8C B. le qu ils A -h font minimes en leur raifon. 5 Q1; s ils ne (ont, (bien: (s il B cil: pomme) donnez des plus E. ----à--. Petits en mefme raifon (ça- C --g--- noir C D. Dlautant que C a: D l D (on: minimes iceux mefureron: A 8c B qui ont egalement vnc mefme raifon -, c eftâ (canot C antecedent mefurera A, 8: D confcquent mefurera B par le MJ: ce liure. Dont s enfuyura que C mefurera A par autant d vnitez que D mefurera B. Soient icelles vriitez E g Puis que C 8c D mefurera: A 8c B par les vnitez Bi Le mefme E mefurera iceux A a; B parles vnitez d iceux C 8:: Dp4r1416.de reliure. Car E par C produiâ autant que C par E.-.Iceux donc A 8c B ne feront pas premiers puis qu ils fontmefurez du nombre E cannel bypothefe ce ui ne le peut faire: A iceux donc A 8c B premiers entre eux ne e peuuen: donner nombrc plus petits ayans lamefme raifon aucc iceux. PROPOSITION xxnn. "! Le: nombre: plus petits de tu: aux qui ont la mefme wifi» un iceux, fiant premier: entre aux. SOicnt les nombres plus petits de la :.v. i 8 f raifon donne: A 8c BSIc dy iceux A la cllre premiers en cuszc sil ne le font,. d 5 v r fait donné le nombre C quilcs mefure, B s ileü omble. Autant de fois donc que p z C me urcraafoiét efiimees autant d v- v C mitez en D, 8c autant de fois que. le mell. D me C mefurerab autant foieneeflimees E,,., d vnitcz r en E z donc ues C multipliant Dieu A; V8: mulu tiplianc E fera B. Si onc-c multipliant D faié c A &B; A à BferacommeD à E par la r7.dejce liure, lefquels lône moindres que A 8c B (veu qu ils font multipliez). 8c calanche rai: x n

118 fan ( contre l hypothefe) Livre Ce quine SEPTXZSME. peut efl re. Parquoy il ne fe 67 l! pourra donneraucun nombre qui inclure iceux A 8e B, 8c pourtant ils feront premiers entre eux. l PROPOSITION XXV. l si Jeux nombresfimt premier: entre eux,celuy nomb: qui me- [ùre hm ou l autre d ieeux, [En premier «ne; 1 autre laifie. SOient les deux nombres pre-. 7 miers entre eux A &B àefquels A l vn fçauoir B (oit mefuré de C. le 6 dy que le mefme C au relié Açera B premier t (Lus s ils ne [ont pre- 3. i miers entre eux foretvn autre nôbre D ui les mefure. D autant C D que par hypothefe D mefure C,.8c C mefure B, Il s enfuiura par la premiere commune fineence de reliure que D mefurera B:Ople mefme D mefure aulli le nombre A, le nomlxe D le nombre D mefurera donc l vn se l autre (çauoir A se B: A 81 B ne le trouueront donc pas eflre premiers comme il a elle pofé ; ce qui ne fe peut faire. Par ainli le nombre C mefurant l vn des deux A ou B fera. premierâl autrc laillé. A PROPOSITION XXVÏ. Sideux nombres [6m premiers à quelque autre nombre,celuy guifêm engendre d iceuxfem aufii premier au mefme. I Oient deux [nombres a. 8 A 8e B vn chacun pre- B miersà quelque autre nô-. l bre G, 8c de la multiplication del vn par l autre fait et: a» produié cd : Iedy que le Z mefme D fera premierau mefme G. Que li cela n elt, fait quel-.-, que nombre Equi mefure. s ilell poflible, iceux D 8c G. Parce aulli que E inclure G livn des premiers A 3e G, iceluy E fera premier au demeurant A parla pendante. Et [oient autant (limitez; en Z ne E mefure de Fois D, paraiufi E multipliant Z proximal l le me me D :mais parla conflruâion A 8c B font D. Si donc ce a? efl: faufil du premier A 8: du quatrieme B efi egal à ce qui elk et du recoud. 8: troifieme E a: Z 5 Ilfcraparla I9.Jecefiuj A à P.

119 F. lieues: n Evcrîrn r, k tommezà B. Plus veu que E 8: A ont elle demonfirez eût: premiersdls feront aulli les plus petits nombres de la raifon don- * ncclparla 2.3. de reliure. Le nombre A mefurera donc Z ainfi que E me tirera B arla 1.1. dereliure. Mais le incline E mellite le mefme G qui a cil pofé premietà B : Il s enfuiuroit donc que E mefureroitles deux G 8c B qui ont elle pofé premiers,ce qui ne le peut faire. Il n y a donc point de nombre qui mefure G 8c D, parque! ils (ont PROPOSITION premiers. xxvn, l si deux nombresfom premier: enrreu;, celuy qui efl engendre de l en d un: fera premierà autre. Oient deux nombres premiers 3 i 4 l vnâ l autre A & B, llvn d iceux A B (çauoir de A fait faiâ.g : le dy que 9 G ell premiers à l autre B. Soit pelé G D egal à A. D autant que A en: pre- 3 - micr à B femblablemene D (egalâa) D fera premier au mefme B.Deux nombres donc fçauoir A&D(quî font premiers à quelque autre D)font G.Doncparla 2.641: ce un. l engédré d iceux fait G,fera premier au mefme B:Car G efi fai& de la multiplication de A par D egaux,qui en: le mefine produi& Fue celuy qui cil faiâ de l vn d iceux, [gainoit de A multiplié par oymeûne. SI de»: Jeux nombres, (9re. r PROPOSITION xxvur. r si Jeux nombres a Jeux nombres [bnrpremiers toue deux en- " fimble à hm a à l autre :aufii les engendreîd iceuxferont premiers entre eux. -, 5 Qientles deux nombres A si B A ---- àg&d,fçauoira&bâg,8t 5 A8: Bà D premiers entrenx: le B dy E 86 Z dire premiers entr eux. r5» D autant que les deux A Je B (ont E premiers a quelque autre G, celuy a, puifera engendréd ceux,fçauoir E G -- era premier au mefme G parla de a [Me. Semblablernent pource D 11e A a: B [ont premiers à D, aulli 8. - fera premierà D par lamfmpn- z l

120 Lune Sunna". 68 fofieion. Les deux donc G 8c D eflans premiersà quelque autre E font vu côpofé d iceux,c eft à fçauoir Z qui en premierau mefinc E I M lamefme 2.6. de ce liure. S dans Jeux nombres a deux nombres m. PROPOSITION xxrx. si deuxnombres fiant premier: entre eux. (7 multipliant un chacun foymefme en engendre quelqu vn, aux qui fieront pedums d iceux [iront premiers entre eux. «la; fi les nainbre: prbpoer au rommencement multipliai): ceuy qui [âne produiéls en font d autre:, iceux aufii feront premiers entre aux. Et touffeur: enuiron les extremes cduiendm la mefl me Oient deux chfi nombres A. 8c v B 3 - premiers lefquels le multi- plians l vn l autre facent G 8c D: multiplians derechef les prq- G -,----. duiâs facent E 84 Z. le dy G 8c D ellre premiers, comme aulfi.e 802. D autant que le nombre G cil faié c de l vn des pre. v miers A &B,iceluy fera premier 16 âlhutrc B parla 2.7 de ce liure. Et D femblablement arec que le nombred efifai deb iceluy Z o--- fera premier à Apr le mefme prop. Les deux donc A G feront remiers aux deux B 8c D fçauoir l vn 8: l autre à l vn 8e l autre. Le nombre donc qui eflfaiâ des remiers A C leauoir E,l era premier à Z qui cil: faiândes carniers, par la e- 1*1- * «mm a. un.. qedeure. Ettoufioursli A & B mulnplians iceux E &Z modulât quelques nombres,iceux roduiéts feront trouuez premiers filme bdemmjiration de la puce te. Sidouc (leur: nombres ce. ruorosël rion xxx. i si deux nombres fini: premiers ruineux, aufii tous deuxen fimblemem feront premiers nuer 1m chacun d iceux. Et fi tondeuse enfemlolemema quelqu rn d iceux [6m premier: "me eux. «Il? les nombre: qui [ont polek au commencement. [En premiers en": eux. l A E B

121 ELtMrNs D EvCLinr;, Oient A B 8c BG premiers 5 J, s entre eux.ie dy que le tout A G el t premier a l vn des B deux, comme à A B. (hl-r: s il ne l elï: Soit quelque au «D tre nombre D qui les mefure: D autanr que D mefure le tout A G 8c le fohl craié r A B il mefurera aullî le telle B G par la 2.. cornmune fintence.tellement que A B 8c B G ne feront premiers(contre l hypothefe) ce quine (a peut faire; Pour le fecond pelons le.toura G ef cre remier à A B : le dy A B à B G efire premiers, s ils nele font, oitd quilcs mefure; Si donc D mefure les deux A B se B G, mefurera aulli le tout A G : mais ilmefure aulli A B; Donc A B 8c A G ne [ont premiers( contre ce qui cil pelé) car D les mefure 5 ce qui cit abfurde. Parquoy il ny aura aucun nom. lare qui inclure A, G 84 A B, ilferout donc premiers. PROPO SITION XXXI. Tout nô bre premier efl premier à tout nô bre qu il ne mefiirepu. SI le nombre A cil: premier 8e ne mefure e 7 B, le dy que A à Bfom premiers. s ils A ne le font quelque nôbre G les mefurera. 12. Prerllierement donc G mefurera A; ce qui B ne le eut faire,pur la 12.. dejïnition decefiuy. G Car 1 G en: egalà A, ilnemefurera pas B que A ne mefure pas par Fbypaehefe : llny aura clone aucun nombre qui les inclure, Et par ainfi A à B feront premiers. PR OI OSITIONV XXX II. S ideux nombresfi multipliant l un l autre, enfant un «ne ne quelquenombre premier mefiire le produit? d iceux, iceluy mefurera aufii l vn ou l autre d iceux qui mit efle pojêï au, commencement. a. l.. Oient deux nombres A &B de la mul- a. tiplication defquels foie produiâ: G le- B quel fait mefuré par vn nombre premier u. D. le dy que D mefurera l vn d iceux A ou G B. S il ne inclure A, D 8e A fer0nt pre. 3 miers ar la Preeedente. Autant de fois que D ---- D me urera G, autant [oient d vnitez en E: 5 Doncques D multipliante faiâ G,comme Em-

122 A multipliant B faié c le LIVRE mefme G par l hyporbejê Stprrrsmr. r Les nombres 69 donc (ont proportiônaux fçauoir A à D comme E a B par in i9. dece liure: Ca r ce qui cil: faiâ du premier A 8: quatrieme B en: egalà celuy qui cit faié t du recoud D 3C troifiefme E : mais veu que A 8: ont elle monflrez premiers, iceux feront minimes de. leur raifonparla 2. de cefluy. Et partant mefureropt iceux B E ega. lement parla 1.1. ecefluy, cella fçauoxt l antecedent A mefurera l antecedent E; 8: le confequent D mefurera le confequentbflg; quel B efl l vn des deux A 8c B qui en: mefuré par D. PROPOSITION XXXIII. Tout nombre compofe fim mefure de quelque nô bre premirei SI le nombre A ell: com pofé, ilfera 2.7 mefuré de quelque nombre par la i4. A definirion, Et foie de B, lequelne fait pre- 9 L mier, il cil certain que quelque autre B nombre ( comme G) mefurera B: Iceluy. 5 G fera dôc premier ou quelqu vn le me- G filrera,le uclfinalement fera mefure feulement par l vnité, 8: celiny cy era premier: caries nombres entant que nombres ne fe diuilent pas infiniement. Doncpurla premiere commune [entente de reliure, ce nombre premier mefurera A! Tout nombre compo]? dans. PROPOSITION h l A q XXXIIII.. Tout nombre ou ejl premier, ou quelque nombre premier le mefiere.. Autant que tout nombre ou efl: premier ou cil compolë: Dmais le comparé elt mellite par quelquenombre par la p24 cedente. Tout nombre donc ou cil premier ou quelque nombre premier le mefure.. PROPOSITIOIN xirxv. Efiuns donne îauram de nô bres qu on rendra nouuer lesplus peut: nombres de tous ceux qui auront la mefme raifon une: J iceux. l H v

123 Examens n Evcunz," Oient propofez trois nombres 6 A B G dchuels il fauterouuet A q les minmes en leurs mefincs rai- 8 e (ans. S ils [ont premiers, nous B --- nuons ce qui cil: requisparla 2.x. de. n. cillera. S ils ne (911: premierrfoit G Ieurplus grâde mefure D:En aptes amant de fois que D mefurera E --- iceux A B G,autant (bien: d vnitez aux nombres E,Z,I, l ordre citant Z ardé. D autant que D raclure 6 vn chacun A, B, G, par les vnitez. î d vn chacun E, Z, I, il s enfuiura T parla 18. de ce liure que les engeu- K drez A,B,G, auront la mefme tai- - L,...M- fou que les multiplians E Z I : le dy ourse plus que ceux cy font les minimes de laraifon des nombres A B G. Q1; fi on pouuoit donner des nombres plus petits de mefmc raifort, [oient iceux T K L,lchuels par ce mbyen mefurcront egallementiccux ABG parla 11. du: liure. Qyjls les mefurent donc par les vn itez de M; sommairement aufli M mefurera iceux A B G par les mitez, de, T K L : œil»). Mais veu que T multipliant M Faiâ A,& fembla lement E multipliant D fadât le maline A, il slenfuiurapu la ! que ce qui en: faift du premier E a quatricme D (en egalâ ce qui en faiâ du feeond T 8c troifieme M : E: pour. tant iceux nombres feront roportionnaux, fçauoit E à T com-.xnc M à D : Mais E e11 pofrplus grand ue T, le nombre M fera donc plufgrand que D z Et pourtant *M cula commune Indus: siliceux A B G laquelle efl: plus grande que D qui auoic cité palé plus gtmd,ce qui ellabfurde. Il ne le peut donc point trouuer de nombres plus petitsque E 21 en la raifon des propofez A BG: lefqucls E2 Il pour celle caufe feront minimes de la mefine raisô. PROPOSITION kxxvr. Deux nombres du»: donnez) "ou" le plus peut nomb" qu iceux mefiarem. l. l I. en certain que une! de deux nombres inegaux le plus peut mefurc le plus grad,cefluy cy fera le plus petit nombre mefuré d iceux: Cas s ily en suoit vu plus peut le plus grand nouba: x

124 Lune Srr rusmr. 70 inclineroit le plus peut: Cc qui cil impollible. Mais files deux nombres AB pro- a 4 pofez [ont premiers entreeux, ils fe- A B *--- tout les plus peut en leur rail-on par la n. 2;. 7 E: par arnfi celuy qui fera me; G un --- de l vn a: l autre G fera mefuré de F,vl vn 8c e l autre, &fera le plus petit I mefuré deldifis deux nombres: Car in en nuoit vu plus peut comme F, H P iceluy alliant party par les deux nom- r. 3 bres propofez A &Bdonncroit deux Z E aurres nombres plus petits que A 8e B 8c qui auroient la raifon d iceux propofezjmrla l 9. de reliure. Et par ainfi les mefuies propofcz n ellant pas les plus petits en leur raifon, ne feroient point premiers entre eux: ce qui cil: contre la pofition. Q; files propofez font compofez comme H P,foienr par les plus petits nombres en leur raifon comme Z E par la prudente. Le produifl du premier H multiplié par le quatrieme E fera e al au produiâ du ccondp parle rrolieme Z parla 19.dece liure. r fera ce produiâ; fçauoiri mefuré des deux nombres propofcgôc rrouué minime., Car s il y en auoit vu plus petit, iceluy efian: party par H 8: par E, ou par P 8c par Z dônerdit des nôbres plus peurs qu iceùx quatre nombres. Tellement qpe Z E ne feroient pas les plus petits cula mefme raifon de H P: Ce qui cil contre la polirion. Si donc deux nombres font premiers entre eux, le roduié c de l vn par l autre ferale nombre mefuré des deux S ils ont compofez, le produifl. d iceux par leurs minimes, en mefine raifou, fera le nombre I cherché, qui fera mefurê des deux comparez: Ce produiél S en. tend de la multiplication du premier propofé auccle (econd miaime, 8c du feebnd propofé auec le premier minime, [clou l ordrc de quarre nombres proportionnaux. PROPOSITION XXXVII. Si Jeux nombrer mefurera: quelque "ont";, «affile plus petit. qu iceux mefireronhmefinera le maline. - z n, Soient deux nombres A a: B quimefurenr G -- D ffuelque nombre G D, 86 qui mefurenr 6 u l E minime produiet deux mefines. le dy E que E mefureraaufli G D. mie s ilne le me- a. 3 ureilenferaparrie oupmiesparlaçjn 7. A --- B -----

125 I Écritures olive-uns; Soit donc palé qu il Inclure de G D,le plus grand nombre Z D delaiflant G Z momdrc que foymefine E. Dtautant que les deux A 8c B mefurent E, ils mefureront auili Z D qui cil mefuré par E par la premier: tommunefl ntenœ. Mais ils mefurent suffi le tout G D par l hypothefe ils mefureront donc le relie oufoultraiâ G Z a; la a. commune fintenee qui cit moindre que le mefine E, leque E auoit elle pris pour minime : Ce qui ne fe peut faire. Par ainfi donc E mefurera G D. si donc Jeux nombm, ce. PROPOSITION XXXVIII. l Plufieursnombres eflans danueætrouuerle plus peut nombre lequel iceux "refluent. SOient trois nombres propofez u i A B G,prcnonspar1436. du: Un. D. E --- vn nombre minime que A 8c B me- Z -.. furent, 84 foi: D. Si le troifieme G mefure auflid, nous airons ce qui A A -- B --- G cit requis, 8c dy quedellle minime. Q1; s il ne l efl:, en foi: donné quelque autre plus petit comme E lequel tous les trois A B G mefurent: D autant que A 8c B mefurera E,8c que les mefures A 84E mefunnt aufli D, cella cy eflant plus grand que E ne peut donc cllre minime,ce qui ellcontre la pofition.le nombre E niell donc point plus ctit que D.Mais fi le troifiefme G ne mefure point le mefme D, oit pris vn nombre minime que G 8: D mefurent qui foi: E. D utant que A 8c B mefurcntd ils mefurerôt auffi E (que D mefu ) par la premier: commune fintentes Les trois donc A B Gmefurent il:, lequel par ce moyen Ie dy ellre minime. Q5: sil ne l ell, en foitpris vn autre Z moindre que E. D autant que A B 8c G mefurent Zles deux A B mefureront le mefme Z. Et pourtant parla 37. deeelizmle minime D ( que A B mefurent) mefurera aufli le mefine Z : D autant aulli que G 8c D inclurent le mefme, 8c parla mefme,7. le minime mefuré dticeux GD, qui cil: E mefure aulli Z 8: que E efldplus grand que Z, il s enfuiuroit que le plus petit feroit mefuré u plus grand, ce qui racle peut faire. Le minime donc mefuré des trois A B G fera E. Par femblable progreffion le fera la demonflration de tous autres nombres pro ofcz.(h15 s ily.a encor vn quatrieme nôbre qui ne mefure E:Il audra trouuerpar la 575d: ce liure vn minime qui fait mefure de E a: du quatrieme nombre, 8c celuy la fer-ale nombre dcfiré. Etainfi de tous autres nombres fuiuans. Fin nv Saturnin 1."er n

126 I. 71 LE BHVICTIESME LIVRE DES ELEMENSID EViCLIDE. lantiponnois I.- si un: de nombres qu on tondra fiant continuelldmentprojaortiannauxæçdefiguels lesextremes [oient premiers enfin» ble,ils [ourles plus petits de tous ceux qui ourla mafme raifort avec iceux. i Oient quatre nombres A B G D 8 continuellement proportionnaux, dchuels les extremes A 8c D [oientrerniers enfernble. Iceux quatre nôres fondes minimes de la raifon dônee. S ils ne le [ont, (oient donnez de plusïperits E-Z I T,lchuels veu qulils font fuppofez eût: en la mefme raifon que A B G D,ils feront egalemët parla r4.du7. comme A à D ainfi E à T. Mais A à D [ont premiers par I hypothefe, 8c minimes par le 1;. du p. Il ny v-lflnlfiu Ci 17a le...-ë Ceux cy donc mefureront E T qui ont la mefine taifon egalj lement,-p4r la 1.1. du 7. Il s enfuiuroit donc que les plus rands "inclineroient les plus petits,ce qui ne fc peut faire. A B G [ont donc minimes deleur milan en celte multitude qu ils. font. I l rueront-ion. n; l i gratiner autant de nombres giron voudra enminutflemêl pro; tarsiens": minimemkrëifi"! une: I av

127 Ettutns n Evetrnt; Oit en nombres minimesla rai-,p 17 Sion donneeaâbparla "3&7, 9 z ù Et Afe multipliam foy-mcfinc face 3 G ,8: Bic multipliant foy-mefrne fa- A --- ri. I --- ce LAME A 8: B le multipliansl vn s 4. D --- 4g l autrefacent D. le dy que G D E B --- x5 T... (ourles minimes de la raifon don- E ; nee.qi5 fi nous en-defirons quatre, K A multiplians G D E face Z 1T, a: B multipliant E face le quatrielinc K.I ceux auffi Z I T K feront quatre minimes en la raifon de A à B. Mais d autant que A multipliant deux nombres A 8c B a fada: Gy D, ilferaparlar7. :1107. comme A 3; B ainfi G à. D: Et diamant que les deux nombres A à B multiplians B font D & E,ilfera comme A à B ainfi D à E par » 7. GDE font donc proportionnaux. le dy aufli qulil (ont minimes z veu que A a: B (ont minimes, ils (ont aufii premiers parle 2.4. du 7. Pource auflî que le multiplians eux mefmes ils font G 8c 1:,ceuxcy feront premiers parla a 9.11» 7.13: efians lès exuemes de G D E, les trois G D E feront minimes des nombres ayans lam eûneraifon aucc iceux parla precedente Secondement, diamant que AkmultipliantG D E f lift Z T, - ilferaparla 1741» 7. comme Z à I 8c I àt comme G à D 8c D à E. Outteplus d autant que A 8c B multiplians E font T 86K, il [crapulais du7. AàBcomme Tàszais Z à I St la T ont cllé monitrcz côme A a B.Z I T K feront donc proportiônaux: ils feront -aufli minimes en la maline raifon. D autant que A 8: B (ont premiers, iceux multiplians les produiâs G Bout faiâ quelques autres nombres fçauoir Z 8c K: Ceux-là aulfi ferôt premiers par le féconde Partie de la 1.9. du 7: comme aufli les cxtremcs des quarre ZITK : C eux-cy donc feront tous minimes ayans lamel3 me raifon que A à B par la premier: due liure. ç V Mais drainant que par la 2.91a 7. cela ad nient ronfleurs enuison les exuemes, A & B multiplians lesdproduiâs Z K en feront d autres premiers, qui feront extremes c cinq nombres proportiennaux: Et partant parla premieredeceliure tous les cinq (cran: minimes en la meline talion. Et ainli infiniemcnr. Il refulte que sil y a trois nombres continuellement propor-. ticnnaux minimes d vne mcline raifon les exrrcmes feront quaro rez : Catles extremes de trois le font de la multiplication disent 4&Bpar euxmefines. * A

128 fi, f777 e V aie "a a en-" a LFÜR! Hvrerusue. 7; PROPOSITION III. si MM de nombres qu on voudrafoutrontinueflemene propor..n onnaux. a les plus petits de tous ceuxqugom la "refuse raifort me: iceux; les extremes d items [ont premiers entre w o I I Oient autant de nombres qu on a I voudraa B G D continuellemêt 4, K -;.. reportionnaux 8: minimes. en a. C r- u, eut raifon. le dy que leurs extre- E L... mes A &D (ont premiers entr cux., H..--- Il; Soient pris deux minimes de celle F «- 9 M --- mcfmc taifon E 8e Fparîd 35. du7. I...-,7 Iceux feront premiers parla N Puis aptes de ceuxcyparlaprecedenn A B G D. r L [oient produiâs en la mefme raifon K I. M N : D autant que E,8: F (e multipliaus font C a: I, &multiplians ces produiâs ils fontk 8c N, iceux donc K 8c N [ont premiers par la 2.91 du 7: Et ource quek 8c N ( extremcs )f0nt remicrs, tous les quatre, K L M N (ont minimes de celle rai on par la premier: de reliait: matu! B G D [ont aulli propofez (parl hy othelè) minimes de celle incline raifon A B GD5Ceuxcy donc ont egauxa KLMN, autrement ils ne feroient point minimes. Les nombres donca D (e aux aux cxtremes K N) feront premiers comme K 8c N. Se âme cm Je nombres qu on voudra, ce. Refaire que s il y a quatre nombres continuellemeæ propertionnaux minimes d vne mefme raifon, les extremcs feront cubes. Car les extremcs le font de la multiplication des ruines E F parles quarrez C I pour sûre faim cubes comme K N. Bactosirron un. :54 a: donnes une de raifims qu on voudra aux plus peut: nombrenrrouuenunm de plm peut: nombres «gram les uifon: doums, a qu ils fiaient continuellement proporstanneux.

129 ELEMENS D Bvctrnr, S Oient en nombres minimes pro- 3 5 pofees les raifons Aa B : G à D A -- T --- N. &EâZ. Soit pris vn nombre mini- 4. r mei qui (oit mefuré de B 8c Gparla B --- v du 7.Et autant de fois ue B me- 2. I s - (ure I, autant de fois au 1A puille G -- mefurer T: Et autant de fois ue G 3 A mefure I autant de fois D puiflle me- D.6 t. furch :Mais E mefurek ou non: 2. K 0 Et fait qu il le mefurc, 8: que autant E -- de fois que Z puill e mefurer L.Mais 5 15 pourautant que A 8c B e allcmcnt Z L i M multipliez ontfaié t T 8c, 8c G D multlpltez par vn meline ont faiâ I 8c K: Et derechef E 8: Z multipliez par vn mefinc ont faiél: KSCL 3 Ilfcra parla r7.du7.aâbcommetâi, &GâD comme I âk 8c aufli E à Z comme K à L. Les quatre donc T I K I. font aux raifons donneos 8c continuellement proporb rionnelles. le dy encor qu ils font minimes dtautât d autres nombrcs ayans ces mefmes raifons. S ils ne le font, (oient trouuez, s il dt pofl rbl e quelques autres plus petits comme N S O M refpondam vn chacun a vn chacun de T I K L. Puis que A db cil: Côme Na S, le nombre B (quia ces pofé minime) mefurera S parla 2.x. du; Semblablement veu que G à D cit commes à O, le nombre G mefurera S. Donc B 8c G mefurcnt S qui cil plus ctit ne I ( quia elle pelé minime) mefuré de B 8c G. Ce qui e al - Purde. On ne peut doric point donner (le nombre plus petits que TIK Leu laraifond iceuxaàb, GàD, 8c EâZ. Pourle fecond, pofons que E ne mefure point K. Soit orles 36. du 7. pris vn nombre M mefuré de E 8e K. Mais tel qu e K à. M,telc partie foiti du nombre S 8c T de N. Or autant de fois que E mefure M, autant de fois Z puiiïe mefurer O. D autant quek I T mefurcnt egallementm S N,ilferapdrla 18. du 7..T î I comme N à S: 8c I à K comme sa MLMais comme T à I 8c I à K,ainfiaellïémis A à B 8e 631D. DoncquesA à]! 8c GàD feront comme N à S. 8: S à M. Et P4714meprnpofitêon comme E à.. Z ainfi M à O; (car E 8e Z mefurent cgallcmcnt M 8c O par (bpotbefi) Les quatre donc N S M O (ont continuellement proportionnauxa ans mcfmes raifons que A à B, G à D 8c E a Z.Ie dy aufliqu üs ont nombres minimes en ces mefmes tairons. p s ils ne le (ont, (oient s il cil pollible trouuez autres nom; bres plus petits, 8c (bien: P R C F. Or puis que ceux-cy font oz l - and:

130 Lune HVICTIESMË. 7, mellites raifons que A B, G D 8: E Z, 8c ceux-cy mefine parl bj- je pothejè (ont minimes 5 Ils enfuiura que B mefurera R comme A mefure P, 8c G mefurera R comme D mefure Cpnrla tr. du 7. Par ainfi B & G mefureront R.Parquoy le nombre minime I mefuré de B 8c G mefurera le mefine Rp4r1437. du 7. Et d autant que I efiâk 3 ; côme RàC,c cfià[i:auoir A -- T - N --- P. comme G à D, Aufli par 4. i vieillitude I àr fêta com- B mekâcarldr5.du7. a. I R OrImeureRaullîK G--- u, mefurera C. Outre plus E 5 5 M-.. C, mefurelemcfme C: car E D ---- K c Z (ont minimes dela raifon d iceux Cà F par la: 2.x r; Les nombres donc K 5 O---P 8c E mefureront le mefme Z -. C. Et pourtant le nombre M minime mefuré de K 8c E mellite. ra le mcfine C parla fini» 7 : cens fçauoir ne le plus grand melutera le plus petit, veu que P RC F [ont uppofcz plus petits quticeuxn S M O. Ce qui ne peut dire. Tellement donc que les quatre nombres N S M O continuellement proportionnaux [ont minimes ayans les melines rations donne es de A B, G D 8c a. ADVËRTISSELIENT ; changé les tandem de celle féconde demonjlurion,d 4ut4nt qu en la premier: E efloitpofi mefimrk, et. mufle-o non. PROPOSITION V. Les nombresplnns ont entre eux la raifort compofec de leur! enflez. SOient les deux parafiellogrammes A B ABCDBCCGHEequianlesfl l G Si le lus Ion collé de l vn C G e aud c P plus on ce é de l autre C D côme B Cau p us petit Cîles parallalogrâ- l l mes feront egaux par la 16. de ce livre, E"- H - Mais li C G a plus grande; raifon à D C que B. C à. Ç E de laquentité de B G zani le pamliellogrîme l

131 En; MENS n Evcnnz, C H excedcra l autre A C en mcfme proportion que la raifon du cofle G C à D excede la raifou de B C à C E: cieflâ fçàuoir du parallellogrammc F H, lequel F H a mefine raifon au parauelloramme EF comme la ligne C Eâh ligne P G par la 1. du 6. goylà donc comment la raifou des parallellogramme equiangles de l vn à l autre depend de la raifou de leurs coïtez.- PROPO SITION V I. si un: de nombres qu on voudmfimt continueflemem lamparo "banaux. mais le premier ne myure pas le finaud: ny aufiê aucun de: 4mm ne mefurera pas aucun autre. SOieut A B G D continuel lemmt proportionnaux: Si A --- Z ---- A ne mefure B, aufii B ne me a fureta pas G,n G D: Car les B -- l ---- raifons de l vn (l autre (ont de 36 9 mefme. Mais fi on difoi: que G -- T en laurant quelqu vn les extre- 54. mitez fe pourroient mefurer, D comme A 8: G: Soient donnees en nombres les tairons minim es les raifons de A B G parla 55. du 7. lefquelles [oient Z I T des extremes Z 8: T par 14;. du: liure feront premiers: Le nombre Z ne mefurera donc point T. Maiss pource que A B G font autant de nombres que Z l T &quc tous deux deux (ont pofez en me!l me raifon: ilfera parla I4. du7. A à G comme Z T. OrZ ne mefure point T, il sienfuiura donc que A ne mefurera point G. "PROPOSITION V11.» si un: de nombre: qu on voudra [but continuellement propor. :ionnauxzmau le premier mefiu e le demi:r,il mefimru «up?. le ficond. S Oient les nombres continuellement A -3- proportionna-ix AB G D, defqueis le -6 plus petit A mefiu-e l cmemc D, 8: si! ne B --- mefure point (on prochain P, ilne mefure- n. tapis aufli liextreme ny aucun des autres G parla pendante. Ce qui cil contre la pofidô. i 2.4 si du: un: Je nombres, (w, D

132 Lux: HvxcrnsMe. 74 PR OPOSITION VIII. Si entre dcux nombre: tombent des nombres continueûement proportionnant:. autant qu tiy en aura entre les deux, au- Mm en tomberont continuellement proportionnuux entre d autre: cyans la mefme raifort auec iceux. Oient entre deux nombres A B autres nombres G D continuellcmcnt proportionnaux. Soit aulfi E à Z comme A à B..Ie dy qu entre E 8c Z peuuent tomberautant de nombres continuellemcnt propomonnaux quientre A 8c B. Soient donc par la 2.. dettfluy pofez autant de minimes que A G D B ayans la mefme xaifon aucc iceux, 8c (bien: I T K L. I à L fera donc comme A à B en raifon eïle parle 14.. du 7.: Otpource que E àz cit comme Aà B: E à fera comme I à Lpar 14 min 5. Iceux donc I a: L mefureront E 8c 7. ( ayans mefme raifon) cgallement parla u. du que 7. I mefure Orautant E,que de T A fois -- I a--- 3 I E puiffe mefuxer autant, les autres de mefine fi 2.7 9,18 plus y en auoit. D au- D ---- K --,-- N ---- tant que I T K L.. 81 :7 54 t defoism&k,n:8c G---- T-v-- M---- mefurent egallement B L Z ---- E M N Z s par vicilfitude I» mefurera T comme E mefurera M (ouillera les mefmcs parties) 8: T mefuremk comme M mefurera N, 8c K le nombre L comme N, z. pat du 7. EMNZ (ont donc proportiohnaux par la n.defim tion,du7. 8: autant en nombre comme I T K L. Et pourtant (ont de meline à AGDB auf ucls les nôbres ITKL ont eflé parez egaux en nombre 8c en me craifon. Autant donc qu ily en aura de continuellement proportionnaux entre A a: B autant en tombera entre E 8c Z [un nant la propofition. l PROPOSITION I X. si Jeux nombres [ont premier: entre eux, (y- etme iceux tontbent des nombre: continuellement proportionnuur ; «un: quitombencenm iceux, aucun: encor combnontde continueütment proportionnuux entre hm arum dictant a: 1 ij haut. "

133 Euurus n Evcnnt, SOient A 8c B premiers, :7 1.7 e entrelefquels tombent. 9 M...-- A des continuellemet pro- 3 T portionnauxgacdjedy r"z N--G-»-- ueentreiceuxa&b 8c 13-: 4 K lvnité tomberont autant I S --- D de ortionnaux. continuellement Soit l vnité 0 pro- -. B «... L a: foientles minimes de la raifort A là G les deux Z I perla 1.. Je etfiuyîcy. Apres [oient de mefine les trois T K L, puis les quatre M N.S O. D autant que ceux-cy font autant que A G D B 8c mis nimes.en la mefme raifon par fhypotlzejè: Et ceux-cy minimes par 1. de tejèuy : V n chacun donc fera cgal à vu chacun. Or pour ce que Z mefure T par [es vnitez 8c T, M par les mefines filon les. demonflmtions delà 1.. de ce liure. Et aufli l vnité E mellite Z par les mefmes, il stenfuiuràique E Z T M [ont continuellement proportionnerai: comme femblablement El L O. Et puis que A en: egal à M 8c B à O,il stenfuiura que entre A l vnité E tomberôt L Z, 8c entre B 8c la mefinc vnité tomberont L I. Mais pource glue entre E 8c A G D B (ou M N S O ) les deprez de proportiô ont egaux en nombre ( [panoit G 8c D en vue otte 8c ZT ou IL en l autre ) Il s enfuiura que entre l vn 8c l autre A ou B, 8c l vnité pourront tomber autant de continuellement proportionnais, comme il s en trouue entre A 8c B.. l PROPOSITION x; si entre Jeux nombres et l vnite rombent des nombre: continuellement proportionnant, 41mm: en tomberont de confie nueflement proportionnuux entre iceux deux nombres. I entre A st 13,8: l vnité 1.7 G tombent deux nom bres continuellement pro- l - 3 E ortiônaux, ledy qu entre x D 4- n. K es deux A Br B en tombe- G T t ont autant. Par les vnitez Z -I-- 16 L donc que 3 mefure D, par I les meûnes D mefurera E,.. t 6c E mefurera 4. Ainli fera. de Z 5c I. Doncquesle nombre D-

134 LIVRE HVICTIESME. 75 le multi liant foy-mefine faiâ: E 8c D multipliant E faié t A. Jinfi fera de à 8c I. Or D multipliant Z fait) T. Les deux D 8c Z multiplians T font les deux K L. D autant ne D multipliant D 8c Z en afaiél deux autres fçauoir E 8c T. Ilfera par la 17.4» 7. E à T comme D à Z. Mais pource que les deux D Z multiplians vu mefme T font K 8c L, le nombre K à L fera comme D à Z atla 18. du 7. Mais D multipliant les deux E 8c T afaiâ A K : Il en donca à K comme E à T 8c pourtant comme D à Z, Or K à L aellé comme D à Z. Il fera donc A à K comme K à L par la n. du 5. Semblablcment puis que Z multipliant Z se D faic t I «St T, T à I fera comme D àz.mais le mefme Z multi liant T &I me: L a: B. L à B feradonc com e.t à l par la 17.5u 7. &ipourtant comme D àz. MaisA âk K à Lont elle comme Dâ Z, 8c pourtantaà K, K à Li, L à B feront comme D à Z proportionnaux : EntrcA 8c B donc foniautant de roportionnnux commc entre les inclines A B 8c l vnité parla 2.. d: fifi"). PROPOSITION XI. Entre deux nombrer quuncïefi tu nombre milieu proportionnel. Etle qui?!" quarrée la ruifôn double qu a le cojle du colle. SOient deux nombres quartez A t 9 8c B &leurs collez G sa D. 3 A D autant que G cil: le collé de G --- u. Puarré 11, lequel G le multipliant 4. E oy-mefine faic t A parlux9.dtfiniti3 D du 7. Semblablcment le coite D. B filât B :Pofons G multipliant D face E. Diamant que G multipliant G & D mon 8c E. Aà Efera par la 17.. du 7. comme G L a D. Scmblablemeut D multipliant les deux D &G faiéï les deux E 5: B. E à B fera parla mefme propojirion comme G à Mais A à E a elle commeg à,d.doncqucs par la n. du 5. A à E 8c E à B feront Côme G a D : Entre A 8C B rôbera donc le moyen proportionnel E. Etpoutce que A à E ell: comme G à D 8c que la raisô du premier A autrorfieme B ell: double dela raifon dent à E Ipar iuro.definitiondu 5. le quarrédo ne A aura au quarré B la rai on. double du collé G au collé D. I I si;

135 EttMth n Echrnr, PROPOSITION XII. Entre deux nombres cube: fiant deux nombres milieux lampernormaux. et le cube au cube à la ruifim triplet du cofie au collé. A Oient &B8cleurs deux collez cubes G 9 A A &D.G le multipliant faict 3 E Z. Et D le multipliât faifl: p a. Z 48 I :mais G &D multipliâs D -- i 1.6 i - E 85 multipliant D faift G - n. T - Zfacent T8tK. TàK I 64 parla fera 18.du donc 7. Et d autant comme que G multipliant G G âd 8c D faié t l BE 8c Z: E. 8c Z fera donc comme G à Dp411n7. du7.et veu que G mul- * tipliant E 8c Z ut la 2.0. dcfinition du 7. &par la comîruflian faiâ A &T ut de T cra comme E à Z parla t7. du 7. 8c par confcquêt commegà D. OrTâKa ellécomme G à Dsdonc A à T 8c T à K feront comme G à D. Et d autant aulli que D multipliant G D failli Z I : Z fera à I comme G à D. Semblablcment D mulr tipliant I fai& B parla 1.0.definition du7. mais multipliant Z faict, K parla conflruflion, Kali fera comme Z à I parla17.du 7. 8: par confequentcomme Gâ D :MaisA à T 8c T à K ont elle Côme G âd :Iccux donc A à T, T à K, 8c K à B feront proportionnaux comme G à D.Entre les deux cubes donc A 8c B tombent deux milieux proportionnaux en la raifon de G à D : Et diamant ne A à B quatrieme à laraifon triplee du! à T (econdpar la to. 24mm du ç. Le mefine cube A aura donc au cube B la raifon triplc du collé G au collé D. l PROPOSITION XIII. S i tune de nombres qu on voudrulfànt continueflement proportionnuux, amultipliunt un chacun [ôy-mefine, en font quclquer autre: a Ceux qut jônt produiflt d iceux fêtant proportionnaux Effi les nombres premierementpofezmultipliuns. aptes les engendrez en fiant quelque: auner; iceux aufii jetant proportionnaux. Et cecy adviendra touffeurs anuiran les extraites.

136 SOicntleè l nom- LIVREHYICTIESME. " 76 bres proportiôn V à,m4; Iil? maux A B G qui fe A D multiplians euxmcfmesproduifcnt fiil EP-IG-n T-g-z fetôt DEzsccuxcy quarrez. Puis a, ,, 64:. 216 Sa. AB G multiplians G K-. K? un. fi; D cubes par E leurdefinition.pulsrut Z produiront les quarrezd E2 ont I vn à l autre y l T K qui feront I la raifort double de leurs co ez A B G ils feront proportionnaux: Et délutant aulli ne les cubes I TK ont livna l autre la raifon triple de leurs collez AB G parla precedente, ils ferontaulli proportionnaux. Outreplus A B G multipliansl T K chacun le lien, ceuxqui en prouiendrontleront aullt proportionnaux. Et ainli infiniement. I Cep: dentine. particule feuille couuenir au feus delupropofitio»..proposition x1111. si tu nombre quarrâmefitrevn nombre quarré, aujîile çofle d-e [un mefurera le raflé de l autre. Et [i le raflé de l vn me[ure le cofle de l autre, uufii le quarré mefineru le quarré. V Ve le quarré A mellite le. 9 quarté B, & le collé de A. 3. A --. Toit G, 8c le collé deb fait D: G la G multi liantd faiâ E, 8c le mul- 15 a tipliant Foymcfme me A par 1 hy potbefe. Donc parla17.du7. A 31E D -. B -- fera comme G à D. MaisA mefure B extreme, il mefurera donc Efon prochain perla 7. decejluy, 8c pourtant G mefurera D : car AàDaeflécommeGàD. * Pour le fecond, Que G mellite D (les choies ainli confirmâtes) le dy que A mefureb. D autant que G 8c D comme A à E,& E à Bipdf :47.15: ue Gmefure D:.Doncques A mefurera le I mefmc E, 8c par con e uent le quarré B, lequel quarré cit mefuté» dee parla r. comfmt. 7. p

137 ÈLEMENS n Ev cime; PROPOSITION xv. Six» nombre tube mefitte vu nombre cube, uufii le raflai de l vn mefurera le collé de l autre. Erfi le cofie de l un Inclure le cojle de l autre, uufii le cube mefurera le cube. V t le nombre cube A g inclure le nombre cu-. 4 Abd be B.G &D foient les collez z I l -- l 1,5 lchuels fe multiplians eux air-a 8 T r------t mefines facentles quarrez E 4 Zt a; 8K I perla 19. defint tion du 7. l y-d 16 Kl entrelefquels fait le moyen I h Z par la n. de «puy. Iceux B Ph aulli G a: D multiplians Z i facent les deux T a: K moyens entre les deux cubes A a: B par le 11..deteliure en laraifon de G 8c D. D autant que A mellite l extrcme B, ilmcfurera foniprochain T parla 7. de tefluy. Mais A à T a elle comme G à D. Donc G mefurera D, Maintenantfinous pofons G mefurer D ( les cholès ainli difpofees ) d autant que A ces. T comme G à D 8e que G mefure D, il s enfuiuta ne A mefurera T 8c T mefurera K 8c K mefure«ra B : Parquoy fait» la r. com.fent. du 7. mefurera le incline B. Si donc on cube, ou. PR.OPOSITION xvi. si finnombre quarre ne mefure par En nombre quarre, aufli le cofl! ne mefureruptu le enfle! Et [île coll! ne mefitre pue le enflé, uufii le qui"?! ne nitfureru [au le quarré. CArfi le collé mefuroit le collé, le quarré aulli mefureroit le (P par lafetondepertie de la r4. de ce liure Et pour le regard de la ecoude partie de celte propolition, Si le quarré mefuroit le quarré, aulli le collé mefureroit le collé par la r.pum edelu maline 14. deceliure. l l. a PROPOSITION XVII. Si in nombre tube ne mefim peut vnnoiubn tube, uujii le "fil ï

138 ., LIVRE HVICTIBSMB. v 77, de l vn ne mefurera pas le cofiëde l autre. Et [i le eofle ne mefitre p44 le cofie. aufi t le cube ne mefurera par le cube.. CM li le collé mefuroit le collé, aullile cube mefuretoit le cun. be, parla 2.;v4rriede due liure. Et pour le fecond, Si le cube mefuroit le cube, auflile coïte mefureroit le collé par la I. partie de la rugine propofirion 15. PROPOSITION XVIII. Entre deux nombrer plans fimblulilc: efl vn nombre milieu proportionnel,0 le plan au planà la raifon doublet du collé de fembluble ruifin du cojle de fimbluble mijôn. Oient A a; B femblables a nombres plans les collez n. G de A foient G D a; de B foient A 6 E Z. Gmultipliant D faiâ: A, 18 D " 8c E multipliant Z fait B pat-14 I t7.du7.glëradoncâecôme DâZpurlaza.ddin.du7.En B. aptes D autant donc D multiphant que D multipliant les Eface deux G 8c l E : en - faiâ Z deux 3* fçauoir A &15A à I fera p"la17.dü 7.comme G à En: pour celât: mcfinecaule d autant que E multipliant D 8c Z faiéi I 8c B; I fera y à B comme D à Z. A donc feraà I comme I à B- Le nombre déc Ifera moyen proportionnel entre les nombres plans A 8c B. rît d autant e A à B ala raifon double de la taifon qu il a à l par la Io. defin. 2:5. Il s enfuiura quelemefme A aurai B laraifon de u- ble de G à E laquelle a du mouliste: egalle à la raifon de A à 1. PROPOSITION xrx. Entre deux nombrer Mâles [emblablet tombent deux nombrer milieux proportionnait: Etle [élide au [blide [èmblnble 214 reijàn triplet du cofle de [emblulzle razfim ancolie de 61 b! [En a e raiforts x v

139 Etrmtns D Evctrnr 9 Oient deux folides femblables A, B les collez de A foient G D E, de B foient 3 Z I T. G multipliant D face K: Z multipliant I face L: drautantque G D E 8c Z I T font collez de femblablc raifonpurla 1.1..defin. du 7. Les E...- nombres plans K 8c L feront G-- K--A D M--N Z---L---S---- femblablcs : entrc lefquels I V 19;. tombera par la recedente 8 B vn milieu M, fat de D al: T ---- Z :Mais E 8c T qui font emblables collez multiplians M font N 8: S,veuqueGaD&DâEcll:comme ZâI &IàT parvicifcitudejêlonla15. du 7. Gà Zfera comme D à I 8c E à T. Et veu aulli que D multipliant G &Z failli K 8c M 5K liera à M Côme G à Z par 1417,.du 7. Semblablemcnt pource que Z multipliant l D 8C [fila M 8: L s M fera parla mefmepropafirion à L comme D à I: Mais G à Zaeftécomme D à I. Doncques Kà M fera comme M à L proportionnaux en la raifon des collez G à Z. Outre plus, diamant que E multipliant K ( qui cil produiâ des. deux collez D St G ) faiél A parla 18.dtfin. du 7. 8c E multipliât M afaiân: A à N fera puriui7. du7. comme K à M. Semblablement veu que T multipliant L ( qui cil: produiél des deux autres collez Z I) me B, 8c multipliant M à faie l: S,celuy cy fera à B parla i7.du7. comme Mâ L, 8c par confequent A àn 8c S à B commek à Mac M à L en la raifon des collez G à Z. Et pource ne les deux autres collez E 8c T multipliant M font N a; S,- N Fetaà S comme le collé Eau collé T: Entre A 8c B donc font deux moyens N 8c S en la Incline raifon descellez G a Z -. c elb à (canoit A à N, N à S comme S à. B. Et d autant que A premier a. E quattieme à la raifon triplee de A à N fecondpur la to.defin.du.;. lceluy A folide âb sëblable folide aura la raifon triplee du collég au collé Z ou ded à I ou bien de E ât collez de séblable raifon. PROPOSITION XX. si entre deux nombre: tombe un nombre milieu propanier» n nel, iceux nombres [tram plans fimblubler...

140 LIVRE Hvrc-rxtsMrI V 78 SOÎt entre deux nombres A 8c B vn milieu proportionnel G. le dy que A 8: B (ont nombres plans femblables: Ce que nous demonllrcrons premiemieremcnt en raifon pure8: fimple des nombres, c ell à dire non multiplice. Oient donnez par la 35. du 7. 3 deux minimes D E en la raisô 18 D -i--- driceux A G B. Ceux-l a mefure- A ront A 8: G egallement, 8: G 8: B 1.4. E aulli egallement par la 1.1.du 7.Au- G tant de fois que D E mefureront A 31. Z --- G autant foient dlvnitez en Z, 8: B autant de fois qu ils mefureront G l ----r- 8: B,autanr foient d vnitcz en l. Pourcc que D multipliant Z faiél: I1. A: 8: E multipliant l failli B les 1.4. I nombres A 8: B font plans,8:leurs B collez D Z, E I. Mais puis ne du 1.1 Z premier D 8: puatricmc I e pro- --- duiét 6,8: du ecôd E 8: troilieme 6 Z eltproduiûlemefineg:dàe A ferapar la 1.. partie de la 19. du 7., comme Z à I : Etpurla1;.du7.en D--.--l vicifcitude D à Z comme E à I, c en: à dire proportionnaux. Les collez donc D Z 8: E I font des nombres plans A 8: B femblablespur la 1.1. definition du 7, Secondement en raifon multiplice l qui cil du continu au dilî ctet) Soit entre deuxnombres B 8c A vu milieu proportionnel G. Pource que la raifon cil multiplie: le plus petit A mefure B extrc- i me, parquoy par la: 7. du: liure il mefurera aulfi fon prochain G, 8: 8: Gfemblablement mefurera B, car ils font pro ornionnaux. Autant de fois que le moindre A mefure G, autant e fois l vnité D puilfe mefurer le nombre E : Et autant de fois donc ne D mefure E, autant de fois G mefurera B : par ainfi 8: en viciëitude D mefurera A comme E mefure G38: encor D mefurera G Côme Il mefure B parla Autant de fois que D E mefutent A G, autant foient d vnitez en Z. Semblablement autant de fois que les mcûnes D E mefurent GD autantfment d vnitez en I.Pource que foubz D 8: Z cit compris A 8: foubs 158: I cil: contenu B, iceux A 8: B font nombres plans, defquels les collez font D Z 8c E I. Etpourcc que des extremes B 8: Iellfaié t G 8: de E 8: Z en

141 En 11th D Evcnrnl, failli le mefme G, les quatre grandeurs D à E comme Z à I [ont pro ortionnellespurla Par vicifcitude donc filon la 1;. du 7. es collez" feront pro ordonnaux, fçauoir comme D à z ainfi E à I. [ceux donc A 8:; feront nombres plans femblables. parla Miniumdu 7. PROPOSITION XXI. si entre deux nombres tombent Jeux nombrer milieux pro poittionnuux, les deux nombrer feront filides fimblubler.,oient A 8: B deux nombres G 8: D milieux continuellement proportionnaux. le dy que A 8: B font folides femblablcs. Soient parla 1.. deeeliure ris trois minimes E Z I en la raifon de A G DB.Les extremes onc d iceux E 8: I font plans femblables urbprecedenre. Soient maintenant les collez de E les deux T 8: K: 8: de I les deux L 8: M. Et veu que parl h pothefe EZI font enlaraifon de A G D, parraifon egalle E à I (in comme A à D parla 14. du 7. D auantage veu que E Z I font minimes, ils meluretour A. G D egallementporla 1.1.du 7.Mais autant de fois que E I mefureront A &D,autant foient d vnitcz en N. Et autant de fois qu iceux E Imefureronples autres G 8: B (qui ont mefine raisô) autant foient d vnitez en S. Car veu que T 8: K font les collez de E lequel ris parles vmtez du nombre N ibid: A311 s enfuiura que T K N eront les coftez du folide A par la 18. dcfinition du 7. S emblablement L 8: M font. 3 I,lequelpris par les vnitez de 3 N Sfaid B, parquoy L M S fc- T A - ront les collez du folide B g E lblides. qu ils fontfernblables Et pour d ami: monllrcr L -r D --- Z 48 farldmefme.a &B feront dôc K G -- ne E multi liant N 8: S a 4 I &A&G:îlà8fetap4rlu M- 4. B --- i7. du 7.com111e A à. G. Mais s --- comme A à G ainfi purz hypotbefe E à Z 8: Z à I. Mais pource que E à 1 alaraifon double de E à Z parla Io. clef. du 5.Et double de celle de T à L ou K à M qui font les collezpur la 18. de ce bien; T âl 8: K à M aurontdonclamefme raifon que E à Z ou Z I 3 8: artantlamcfmede Aâ G ou N à S, qui ont efié monllrees dire es mefines : Ainfi donc comme A à. G aiufi ont cité N à S 8: T

142 à L 8: K a M qui font LIVRE collez proportionnaux Hue-rustre. du folide Il aux co-7llez du folidc B,lefquels folich palu 1.1..defl.du 7.feronr séblables. Ce qu il falloit demonltrer. Celle propolition pour cuiter prolixité n cll point demanllree en la raifon multiplicc d autant que parla precedête 8: quelques autres la demonllration S en pourra aifément faire. PROPOSITION XXII. si trait nombres [ont continuedement proportionnqux, dontle premier efl quarre, uufii le troifiefinefiru quarré SOient trois nombres continuellement pro- 4. portionnaux A B G, d autant qu entre les A ---- extremes y a vn moyen, iceux extrem es ferôt 6. nombrcsplans femblables parla 1.0.th ce hm. B Parquoy 11e premier ell quarré, le troilieme - 9 aulli pour ellrc fou femblable fera fonvquarré. G PROPOSITION xqu. stipulant nombres [ont continuellement proportionnuux,dont e premier [ou cube, uufii le quuniefme [in cube. 8 i Bey fedemonllre et le 1.1. de reliure. A l CCarli entre A 8: B ont conilituez deux 11. milieux proportionnaux, Il s enfuiura que B A 8: D feront femblables folides. Si donc A 18 clic cube, le quatrielme auiii pour ellre l on G femblable lèra cube. 17 D PROPOSITION. XXIIII., fil deux nombreront la raifon entr eux qu a tu nombre que"! à)»: nombre quarte; a le premier efi goutté, «fifi le feeonfttu quarté. - " i"

143 ELEMENS n Evcunz, Ve les deux nombres A 8: B avent la mefme raifon que les A -- G --- quarré G 8: D. D autant qu entre les 6, 1.4 deux G 8: D elle vn milieu proportion ncl par la 11. du: liure. Il yaura aulli vn 9 36 milieu proportionnel entre A 8: B par B --- D de ce lettre: car ils ont vnc mefmeraifon.des trois donc le premier A-el : quarré, aulli le troifiefine B fera quarré par la de ce liure. PROPOSITION xxv. si deux nombres ont la raifim entr eux qu à 1m nombre cube à un nombre tube. (a. le premier efl cube, uufii le [econd [cru cube. j Ve deuxnombrcs 8: B ayentlaraisô que le A --- G Gau D,8:que A foit cube, [le dy que B cil: aulli cube. Pour ---- ce que entre les deux G 8: D qui font cubes tôbent deux milieux prop ortionnauxpar lamait cejluy autant en tomberont entre A 8: B D B (qui ont la mefme raifon) parla 8.decejluy. Mais dîâiquatre continucllemcnt,proportionn aux le premier cil cube,a ile quarriemc B fera cube par la de ce liure. PROPOSITION 1:xv1. Les nombres plant femblables ont la raifon entr eux, qu à si: nombre quarré à un nombre quarré. t S Oient les nombres plans fem blables A 8:B.Puis qu ils font A D i femblables plans entre iceux tô i 11. bora vnmilicu. comme G par la G E 18.de ces-fig. En aptes foient mis 31. h 16-.rrois minimes DEZ en la raifon B Z - deal G B,les cxtremes D 8: Z feront quarrez comme il refulte delui.decejluy. Et pource qucpurlu 14.du7..4 en; à B en raifon

144 Lune Huche s un. egale comme D à Z, a: que Ceux-q [ont quarrez; Il s enfuiura que A à B aura telle raifon que le nombre quarré D au quarré Z, PROPOSITION xxvn..- le: nombes [blides fimblables on: la mafia entrelu: qu? 1m nombre cube à w: nombre cube. Oient A &B folidcs rem. 16. a I blables; entre iceux donc A G...- tomberont deux milieux pro u, ordonnaux E 8; Z par la x9. E mm". Soient dénuez entât l. 36 A 18 de minimes G1 ID enlarai- Z, fonde AEZBparLu. Jeu s4 l 2,7 liure: Les cxtrcmes G &D fe- B tout cubes commit refilndela mfme 2.. Et puis qu ils (ont tous proportionnant, par raifon egalle A âb fera comme G à D. par la 14.4: rejhoy. D oncques A à B auront la raifon entreux qu à le cube G au cube D. LesnomIn-cs [blutes Jonc, (gr. Refulte fi deux nôbres ont entr cux la raifon d vn quarré à vu narré, ils feront nombres plans femblables. Et s ils ont la raifon bles. vn nombre cube à. vu nombre cube, il feront folides.[embla- Refuke me, fi quelque nombre multipliant vu quarré ne jale: vn quarré, iceluy ne fera quarré. En! av Hum-usas Lulu; A L--u

145 . A i I -CÎv vl ï-au LE,NVEVFIESME LIVRE DES ELEMENS DiElÎCLIDE. PROPOSITION PREMIERE. Si deux nombmplans femblables [ê multipliant 1 )» l aune en engendrent quelqu vn, iceluy produit? [En quarre: S Oient d eux nôbreslplnns femblables 6 36 A 8c B. Le nombre A multipliant B A --- D - face G. le dy que G elît quarré. Le nôbre A le multipliât foy-mefine face D quarré ---- E - palu » 7. Et pource que A mul tipliant les deux A 8c B, en me; deux B - G --- D G ; D à chra Côme A à Bpar la x7. du 7. Poutce aullî qu entre deux plans femblables A se B y a vn moyen proportionnel parla 18. du 8. a; entre D 8c G ayaus la mefme raifon y aura aulli vn milieu parlamfme pro. se foiticeluv E : mais le premier D (des trois propoi tionuaux DEG) cil: quarré,aulli le troifieme G [en quarté parla 2.1.4». 8; PROPOSITION Il. si Jeux nombres [êmultipliant l y» feutre fiant 1m quarré iceux [ont plus femblables. Oient deuxnombrcs A 8c B: le mul tiplians llvn liautte facenr le quarré G. A --- D Le nôbre A fe multipliant face le quarré D: d autant ne A multipliant les deux A8: BenfaigfdcuxD &G: Dâcfera 8 16 comme Aâ Bpur la I6. du 7. Et pource B G n entre les deux quarrez D G y avn moyen perlot n. du 8. 8c entre A 8: B nynns la mefme raifon y aura aulli vu moyen par la 8. du 8. Mais li entre les deux A se B ya vu moyen,iceux A 8: Breton: nombres plans femblablesparla 2.0. du 8. PROPOSITION III. si, 1m nombre cube je multipliant [ày-mefm: en engendre quelqu rsfl engendrêfim cultez Le nombtç

146 Lune Navrxrsms. E nombre cube A le multipliât foyvmcfme face B ; Ietly que B cil: cube.soit du cubea le collé 64. G,lcquel multiplié par foymefme face D.Le mefme B collé donc G multiplié par D fera A par la , dit-,1. Donc Ç mefurera D parles vnitez du mefme - G : les mefmes D mefureralecube A,&.aullî 15 l vnité mefurera G parles mefmes vhitez de G. Les...-- quatre donc A D G 8c l vnité (ont proportionnaux, 8 Car ils (ont cquemultiplices. Semblablement yen A... que A mefure B par (es vnizez, 8c l vhité mefiu e A 4,. les mefmes, l vnite fera à A comme A à H.Mais D -- entre l unité 8c A (ont deux milieux, comme aullî I 2. «entre les equemuitiplices qui ont mefme raifon. G --Q Entre A donc sa B le trouueront deux milieux perla 8. dus. Le premier donc A des quatre propohion- vnité naux cil: cube parl bypotbejê, anlli le quatrieme Bière cubepcrlanus. - "radio sinon un. 35 tu nombre cubemeltiplium un nomb: tubent engendre q uelqu an engtndre [au feula. LE cube Multiplianrle cube B face 8 I 64. G, femulti liantfoy-mefme face D. A ü!) i Iedy ne Ge,cubc. Datura que. A,, n. 96 multip lamies deux A 8c Bafai &G. --, ---- Dfera à Gcomme Aà B par du 7. : Mais pource quientre les deux cubes A è- 8: B font deumilieux parla r2..du,8.nuilî entrelesncunbxes D &G ayans la mefme B - 4- raifon feront deumilieux aria 8.1» 8.Mais D cil dibepdrlapretalent:, cati] cit me: du enlie-2a. Si donc des quatre proportionhaut le premietd cil cube, 311m lequatricme G fera cube par le 2.3. dus. rroposition l - l l I,.V... 1A si in: nolmlmcube multipliantquelgue nombrafàlü M tube, "fi: le multip!!! [en cube.. K

147 p Rumen D Eveunz, - S I le nombre cube A multipliant quelque nombre B feria: G 5 le dy A ---- D que B fera cube. A fe multipliantfoyme face D: oui-ce que A multipliant ---- u--. A&Bfai& &GgDâGlëracôme v AàB parla Etpuis âuedaelt u- cube par la pièce liure(car llc ma du 4,7 v u; cube A) G nuai cil cubepml hypotbefe, B G -.. entre G 8d) tomberont deux milieux parian. Jet: liure. Donc * entre A a: B qui ontla mefme raifon tôberont autant de milieux Q put-14841» 8. Mais des "quatre proportionnai; le premier A e11 cubcpurl bypothtfe, au i le quatrieme B feracubejwla 332d» 8., -. BPROPOSITION W1.» si 1m nombre multipliant [tiymefm faufil)» cubt,iceluy[eu L E cube. nombre A fe - multipliantfoy-mefine I. - L I V face le cube B, 8: multipliant le cube B A face G : Iceluy G fera cubeparla 2.0.dçÆdu A l ---, eliant faiéi des deux multiplications dii- * celuy A. D autant que A multipliant les. 64,. deuxeôc An faié t lesdeux B &G z Gâ B 5*- lera comme B à A parla i7.dt&7.3mais.files deux B à A ourla raifon du cube G aucube i B 8: que le premier B fait cube, aufli le fe p coud Aferaeuhefiparla 2.5.du8." a i U 2 Î..., Iïulïsoronrloui uni. sium nombre comparé multipliant quelque nimbe: produit? i quelque nombre, le produiqfemfolide. î, l A c SOit le ;nqmb re com ofé A 3*.y U5 :- L lequel multi liantb ace G: D --- A G... IedyqueGell: olide:caraellçât " a 1. 83v compofé, quel ne autre le mer E 4- B I v fureta parla ; 7. Et foi: cell: antre D qui mefure le mefine Apar les vnitez du nombre E. D autant que deux nombres D 8c E le multipliausleœ-mefines font A lequel derechef multipliât B afaié tliautre G: lceluy donc G primenant de trois D E B a; multipllans eux-menues fera nombre folidc pwk rsidzfdn. Et. - les cette: d iceluy feront D E B. l z i v ç -5-, *

148 . i...» l 1.1sz NEvFIISMÆ. - a: macros-inca: aux..sidepuit l inite fimt un: de nombre: qu on pondu réifiant!- lement proportionnait):, le troificme cit-putt limité [en quem; (7m? les autres qui en humidifièrent 1m : a. le l quatiieme [en cube (mon: le: autre: qui en entreluiflë-v tout deux: mai; le fiptieme [En cube aquurre,enfimble, a tout les aux": qui en tmnlezfltront cinq. Oient» depuis. limité. miné continuellement. propor- tionnaux A B G D E Z :Ie dy quele troifieme i 3 B aptes l vnité 8c les autres D 8: Z (en entrelaif- A liant vn fieront quarrez : Etle quatrieme G 8c les - "9 tuties Z &c. ( en entrelailfant renfloues deux) fe- B rouf cubes : lit-le feptieme Z 8c autamlqu il s en 2.7 trouuera («Minimum ronfleurs cinq ) feront G i cubes 8c quarre; enfemblc. D autant que l vnité 8x mefurea a: les mitez; elle mefurera tout aurre! D, nombre uiuaut par les mefmes vniiezlde A ; veu i 2.4; c qu ils fontœntinuellemétproportionnauxdbné E A (e multipliant hymefinc faufile quarre B. Maus- - I pource que dêstrois B GD lepremierb cil quarré î V etfoilieme u fera aulli quarré ur la du 8., I Semblablemem le demonfirera e D Ë Z 8: tous autres fuiu ans PueD citant narré le 3.2 fera aniliquarré. D auâtage veu ne A e multipliant Et B 6: multipliant B finet G celu c7 feracu e par deflî du 7. Et fides quatre proportionnaux e premier G cil cube aufli le quatrieme Z fera cube perlez; du 8. Eteaihfi infiniement fera demonlhé en tous autres nôbres fuiuans continuellement pmporltidnnain.mais le mefm e Z a me demonlhé quarré 8c tous autres en mefme ordre veu que le fe tient: cit-roulions remis par litrolifieme a: quattie tne. si donc W reniez; art. -- "W" Ï. «il P R OPO S IT IO N 1X. et: depujt làînitë [émiant de manique» vaudra continuel-. [ment proportionnant, fi celuy qui fait Ïante cf! quarré, n «flétan; la dam: [iront qu p. (La; fi celujqni [Mr Mitïcjl cube,4»fs i tout les amict ont cuber. I a "a

149 Oient depuis limité un": les nombres nivation; A BG D E Z - mité. continuellement proportionriiiaux. Soit le pica mierà pres l vnité A quarré, tous les autres aulli - Oient apres l vnité les continuellemêt propor-m. Vairé w i tiennaux A B G D E Z, &quelc quatrieme à. prel vnité fgauoir Ane fait point. quarré. le dy. A.. que nul des autres me quair linon le troifieme.-. 9 «A apresliynité 8: les fuyuans qui en entremirent B; f aucirb D Z &cætfi Anteflpoint. cubcaulli nul. 2.7 es autres ne fera cube lingule quatrieme G. 8c les G --- autres qui en entrelaifferont deux, gainoit Z, &c. 4, à - si Pource que tous fonæropdrtiônaux BDZ &c. (le; D...-th feront quarrez; 8c s il cil cube, tous les autres...-iferont cubes. Premierement puis que hune multiplie A par fes vnitez, 8c A parles melmcs votez 7 multiplie B 5 celuy fera quarré parla i9. defidu 7. Z.. 6c A cil aufii quarr parfbypothefi. Mais comme A à B, ainfi A à G 8: G à D &c. Si doncles deux B 8c G ont laraifon des quarrez A à B, 8: quele premier B fait quarré., aufii le feeond G fera x quarré M la c ainfi G D 8c les fuiuans. Mais li A cit cube, autantque femblabblcmcnrl vnité mefure A; a; A me«iure 385 B le fumant G 8c ninfi confequemment &que A cil: cul! parbbyporbefe fe multipliantfoymefme me: B :. Il s enfuiura par la 3d": lune que B fera cube. Mais comme l vnité à A, ainfi A à B; a: B à. G &des fuiuans de mefme qui feront en laraifon des cubes A â B. si le premierb en cube, le feeond G (en mm. cube ferle c fi Gl ellz, D aufli le fera 8c les autres fuiuans.. JPROPQHTIOMX.. 1 si depui; limité); a tu»: de nomb": qu on poudrai continuel-. 1mm: proportignnaux, (a. ieluy qui ejl up": huit! ne I ï fin p44 quand; n) aufiiuucun des autres infini pu quarré, exceptez]: troificme depuis l vnité,(7 tout (tu); qui en en-.treluiflentvn. Q9; [i celuy qui r]! aptes l vnitén tflpat cube au aufii au: un des autres ne [ne cube, exceptez le quatrieme aptes limitez: tout aux qui en entrelaxflênt Jeux. ront quarrez perla 8. te liu ràycr fiquelque àu- i a4;. i:re pourroit dire quarré l oith Celiuy-cy fera-â B E qua-...- comme B à. A &A I vnitetqmtilrtfulndt L. la z ,19 -u

150 q i LiVR: Nizvr usiu.» 8; Donc A à B aux: la rrifon deag àb.si donc le premier B cil: quarré.le feeond A fera quarré par la wifi. ce qui fera contre l hypothefe,i& quine [c eut faire. i - i. Pour le fecond, A n elt point cube, (oit donné, s il en: paflible, uel ne autre cube d entre iceux hors mis G quatrieme Z &c. 8c oit. D autantque D à G cil comme G db 8c B à A, file premier D cil: cube,le quatrieme A fera aulli cube parla 2.3. du 8. contre ce quiiclt fi??0fé, ce quine peut dire; Semblablemcnt parla 2.5. du 8. cecy era cuident comme du quarté. p l impulsion xi. si depuittvnite fim tant de nombres qu on poudra continuel. une»: proportionnait, le plut petit mefierc le pine grand par quelqu un dt aux quifiant aux nô brcspropqrtionnauxç I I Oient aptes l vnité continuellement pro-. I mité onionuaux A B G D; le dyâue le plus pe tir Æauoir A mefure le plus grau fçauoir B ou A l G ou D,p:ir quelquivn d iceux A, B ou G.D au-.,4. tant qu ilà [ont proportionnaux, autant de fois B quel vnité meiure A, autant de fois A inclure 8 B a: B aulli G 8re. E par vilcitudc parla 15.du 7. G l - autant de fois que l vnité mefure B, litant de B x6 fou A mefure G : mais l vnité mefure ar les D. mitez d icclux B,parainfi donc A mellite G par les vnirez du mefme B. Outre-[plus par raifon e alela niche mité fera à G comme A à Dpurlu 14.. du7. Mais-l vnité inclure G ar Gmefmc: lie nombre donc A mefurera D par le mellite G. t femblablei ment en autant de nombre qu on voudra cela fera manifellé par lumefme 14. propafition du 7. l l PROPOSITION x11. si depuu l JvuiIe y a tant de nombrèsqu on Vendu: continuellement proffiqnnuux, autant de nombres premiers que. Mrfitrtntle amusement «fil mefitmoni (du) quiz]? li.. plut pre: del vnitë. l.» I

151 , frimeur nlevclibr. SOient aptes l vnité. continuellement mité proportionnaux les no res AB G D: a; ne le nôbre premier? me È mefure le emierd. le dy quelc incline E mefure A plus proche de l vuité. (fie li E ne le mefure- pas, ils feront premiers l vn à l autre far » 7. Et d autant que 48 G D [ont apres..llvnité continuellement reportionn aux A fc multipliant foy-me me faifl: B, par ainfi B à E fera premierparlu 2.7. du 7. Maispource que A multipliant B afaifl: G,nulli G fera premier au tube E par la 26:4» mcfme.semb]3blcmenrinfiniement A multipliant G faifi D: parquoy aufli D à E fera premier par lantefme propofitiou. Doncques ne mefure pas p D commeila elle pofé,ce qui eliabfurde. Le nombre-donc E.mefurc le mefinc A plus prochain de limité.. trio POSITION X111. si depuis l imitè fimt tant de nombres qu on voudra continuellementproponionnuuu, meeting qui a]! «pre: 1 une??? nomdre premier, aucun autre ne mefurera point Il: plus grand, «repaîtrait qui [ont aux nôlmsproponionnaux. SOicut depuis l vnité autant de nom- l vairé bics qu on voudra contiuiiellcment 3 v I proportionnaux AB G D! Et le plus A -- "Il proche de l vuité A foi: uôbrc premier:. 9. e e dy que nul autre nombfl: ne mefurera B ---I--, le plus grâd D. excepté ceux mefme qui [ont propolez proportionnant Car s il G 1--- Z --- elloit pollible que quelque autre puille 3L mefurcr D, pofous elire E,qui fera pre- D E ----.micr ou compofé: S ilellîprcmicrilmefurera aulli A (plus proche de limité ) parlé: ce ture. Ce quine fe pcut faire. S il cil: compofé quelque nombre premier le mefurera parla 5341» 7. qui ne peut peint elire autre ue A: Car veu que Emcfure D, tout autre nombre premier meurent E, mefurera aulli D par luprem: rom. cnt.du7. Et mefurantle plus grand D, il flûteroit nulli A.. plus proche de l vuité parla t1. dccefluy qui cil: nombre premier.. Cc qui ne fc peut faire. Donc des nombres premiers..a.feulmc- C

152 Lune Ntv nzsut. x4. fureta Equimefure le plus grand D. Œe fi cela pouuoit dire, Soit E mefuré de A parles vnitez du nombre Z. Donc A multipliant les deux, fçauoir Zp4r l hypnhejè 8c G (quifont proportion- : naux depuis l unité) faift les deux E 8c D : E liera douci D Côme Z à G parla 17.4» 7. Et pource que E mefure D, aulli Z mefurera G. Semblablement comme nous auons demonliré en E ainfi demonflrerons nous Z 8c les autres n eflte point rentiers, Car f citoit premier,mefurant G,il mefureroit mini) A: ce qui ne e peut faire. (hi-5 s il cil compofé, celuy nombre premier qui le mefurera fera. A, ou li c ell: vu autre, cell: autre mefurera aulli G a: celuy qui mellite G clell: à liguoit Apar la t.fint.du 7. Ce qui ne. le peut faire. Donc le nombre remiersa feul mefure Z, 8e pofont quçce foi; par les mitez e I : Doncques A multipliant 1 86 B faifl: Z 8c G. ParainfiZ si G par la i7. du 7. fera comme I à B : mais Z mefure G, doncques l mefurera B. (ho fi derechef I cil: premier il mefurera B 8e A, ce qui cil: abfurde : S il cil -compofé, Afeiîllemefurera (comme nous auons monlhé en E 8e en Z. ). (hl: A mefure donc I par T, il S enfuiura, ne A multipliant T 8: - miellat produira l 84 B. Parquoy I à A era comme B a T par du 7. mais I mefu e B.- T mefurera donc A nôbre premier, auquel A fera donc egal T. Or A cil: moyen proportionnel entre T 8c I par lu.a o.dun7. v u que B ( produiâdes extremes l T l ü egalà ce qui ell faiâ umilieu A, 8c que.4 produiâ B: celalcll: outre la puilfanee des nombres. Nul autre donc ne mefurera le plus grand D, exceptez les nombres inclines de la proportion propolèe A B G D,defqueis toufiours le moindre mefure le plus grand palu u. de cgfl ug: car ils fontdepuis l vnité en raifon multiplice proportionnaux. i i - vruo posr rton XÏÏI I. isiïïn plus peiit nombre efi mefine de quelques nombres pre- : mien, aucun «tremplin premier ne mefitrtru point itelug, exceptai ceux qui le mefitrent au commencement. SOit le nombre plus petit A mefuré 2. 3o de quelques premiers B G D. le dy B A.- qiie nul autre premier ne peut mefurer 3 u que autre premier comme E e ponuoic I melirrer, pofons efirc garez. Pouce.D z.-..., que deux nombres E 8c fout A. lequel cit mefure de quelques K iin A exceptez icean G D. 0T9 fi quel. a,..e... E " 4

153 , th n Evcrrnr,.. h premiers B G D, il s enfninra pu 145;. du 7. qu icenx B G D mec furetont l vn d iceux (çauoir E ou Z : mais ils ne mefurent pas E d auant qu il cil premier par l hypotbefe: Ils mefureront donc Z plus petit que A mefuré de leat E. A donc pofé au commencement, ne fera le plus peut me ure devb G D (contre l hypothefez) Ce qui feroit abfurdc.an autre donc exceptez BGD ne mefurerq lgombre A.. - y I PROPOSITION KV. si durent de nombres qu on voudra criminellement proportionnurtxfintlerplus petits de ceux qui ont nues iceux l4 mefme milan, le nombrer mefurant aucun d item: ne [En pas prunier à ho des deux autres minima de ce]. "reflue rufian. i -.., Oient tant de nombres» 16 " qu on voudra ABCDE a A ---- continuellement propor- H -- 4 K uonnaur 8c minimes de 2. P B ceux qui ont lamefme rai» F. -«--g 6 L -- 3 fonauecieeuxdefquelsl vn C -- nuiroitc j foitmefuré de G --.9 M quelque nombre H.Soiét.i il D ---- aulli F 8e G deux minimes. A N - 8! de la meiine raifon. le dy E que H n eft point premier à F on â G. Soient par Le 2.. du 8.d6nez trois nombres minimes P QI; de lamefine raifon de A à B. Et aptes foient encor donnez par la mefme quatreanttes K L M N de toufiours de mcfme infqn à la multitude des propofcz ABCD,E. Il cil cuident par la 2.. du 8. que F multiplié par B (L8: R fané? K l. M, 8c quclemefme Fpar K I. M faiéïa B C D:Carvenque H mellite C, icelny H ne fera à l vn d icenx F on M premier comme :lrefitlte delu ;2.. du7. uefi c ellrf, nousanons ce qui cil requis : Mais fi c clt M auquel H ne foit point premier, il nelc fera pas aulli à l un d iceux F on R, par la mefme ;2.. du 7. (hl-c fi detecheffe trouue elire Recüuyfera l vn d iceux F ou G comme il eli defiré z Et fi ce n ell: ilpoint, 8: que ce foitr auquel H ne i [oit prem-ier,aulli nefirail à G (qui faië tle mefme R parla 1.4» 8). premier, perce qui refislredelumefme. Mais G elil vn d iceùx F on G qui ont cité pofez au commencement minimes de ccficmfifv, n me raifon: S: Juneau"!!! de nombre, ou, l

154 Le leâeur fera 11.!le aduersv qu en llexemplaire sznstz. Grec ne Ê: nonne 85. celle propofinon: Toutesfois fuiuantl opinion de monfieur de Candallc aptes celle de Campanus qui la tiennent elh e d Euclide le lev voulu mettre en ce lieu joint quelle [en alla prenne de la.fuiuante 8c de quelques autres »: xvn Sinaï; même; picponiannaux, [amies plu; fait: de aux. qui on: me; iceux la rmfme m ifim 51e: deux tel; qu on V0164 de: compofiîenfemble (erg): Premiers à l autre. Solen: A B C trois nombres propor- l, 8 rionnaux minimes en leur raifon. le z 4 A -- dy que llvn d iceux,tel qulon voudra 1 - L - n. (comme pour exem le C ) elk Premier 3 6 B -- au nombre compo é des deux autres G - Il A B. Quens il ne l ail, foi: quelque nom- C I-. lare E qui mefure C 8: le comparé de A B. Soient auflî donnez Jeux nomb resminimes(comme F 8c G ) dcla mefme raifon de I Aà B par la 3;. du 7. Mais pource que E mcfwe l vn d iceu: A B C,le mefme E feraà l vn d iceux ou G non Premierllgar la I541: ce y. uelque autrenombrre donc (comme H )me mers le me me E 8: wn d iceux F ou G. l âme; que H mefure E,il mefureta mm C qui cf! mefuré de E par la 1 cumin 7;Outre plus puis q que par l hypothefe H mefure l vn dniceuxlf oqul mefurera 3111H le moyen entre A 8c C pue la mefiu: Car l vn 8c leauzre F ou G, produifl ce moyen ar les milieux uroch ains dieux comme I. 8c I paru Dexàefveu que H mefure E qui mefure le tout A 8, il mefurera auffi le tout A B C: maisilmefure le fouflraiû B (moyen ) il mefurera donc auflî le telle A par la z.finr.4u7.pare ainfls enfuiura que le mefine H mefurerales extremes C844 qui n font premxerspar la ;. du 8 Ce qui cf! abfurde. Par uoy C [en remier au comparé de A B. semblablement peut e e demanéle Incline v. de chacun des autres.. i. l. PROPOSITION x vn. I si Jeux nombre: [àmpnmîm mieux, il ne [En pu cantine le premier culeront!.gtnfi lefecond a guigne 412m. V. y

155 immuns n Evcnnz; oz Oient (leur nombres A B premiers lm à l au» l w- tre. le dy qu à iceux ne fe peut donner vn tiers A --*-. proportionnel. Car s il fe pouuoit faire, foie A à B r; comme B à G: veu que A à B fonrçremiersgceux B ---hferont parla 1.3. du 7. les minmes dola mefinerai-" - Ion: Cela efiantvn chacuna 8c B mefureronr vn G chacun B a: G (ayans lamefmc raifon ) egalemenr parla au!» 7. Donc ramenderiez! mefure l antecedent B, mais le mefine A le inclure foy-mefine: A B ne font donc pas premiers,u puis qui». uclque nombre A les inclure T contrôla rappofition) ce qui ne e peut faire.zlux nôbres clonez! &B premiers ne (e peut donner m troifieme proportionnel. si Jet: nombres clone fine premiers (7:. PROPOSITION XVIII. si mm de nombrergu on voudrajôm continuellement pop"; murmure, defguelszles extremes fiaient premier: entr eux; il ne film pas comme le premier au fécond. ainfi le dernier a quelque dune. v. a. SOient A B G continuellemet groportionnaux 4. dchuels les extremes-a 8csG foient premiers A,.. l vnàl autre. le dy qu il ne! as comme Ai G, 6. ainli G àquelque antre. S ilc autrementjoit A B âb comme G à Dell fera suffi comme A à G 9 - v ainfib il) page 143*457. Mais A8: G,extremes G font fial byporhefçpremicrs 3 Si premiers ils (ont minimes par la 1;. du 7: Si minimes,vn cha A I D A 8L6 mefurera vn chacun BD (ayâs la mefine raifon) parla 2.1an r7.donçques A ànrecedét mefure B antecedenr. Or veu que A à]; cl! comme B à G sceluy B mefurera G :Farquo suffi A mefurera G parla Lfintdp 7.Ainfi A fc mefurez orme c a: mefure aulli G qui (ont grainiers,ce qui ne (e peut aire. Il ne férâ donc pas comme A a B ainli le dernier G aquelque autre. y q n o PROPOSITION xix. 4 Deux nombres eflgnrdannekconfidmfiron [remmener 70 méfieme profprtionnelàieeuxzt -... u 3 4 Ç

156 Livrer errresur. 86 SOientdeux nombres propofe z A 8c Bi: il Br faut yeoit, si! ellpollblc de trouuer vn 3.4 4l 6 proportionnelàiceux. le dy, fi le premier peut A --- A -- mefurerle quarré du fecond que cela le pourra 6 4. fautait s ilnele pour mefurer, aulfi nefepou- B - B --- uoir trouuer vnfltroifiefine proportionnel. Pre3 9 o mierement Bfe multi liant (oy-mefme face le D - D -- quarré G qui (oit mefsré de A par D. Diamant fi i 15 donc que Amultipliant D extreme produiét G. G -- G ü- egal à ëeluy qui cil farfl du milieu B (c ellî â dirç au mefme G) iceux trois A B D [ont proportionnauxparle 1.0. du 7. f auoir c6-«me A à B, ainli B à D: Le troifiefine D cil: donc trouue. Pourlle («and, li A ne mefure pas le quarré du fecond, il ne le pourra trouuer un troifieme proportionnel à A B : Caris rl [L ouuoit faire, fait D ce troiliefme. D autant que A B D font pigportionnaux, ce qui cil: faif cides extremes A D cil egalâ ce qui efi faici: du milieu B : 8: fait ce produit G. Donc A mefurera G par les vnitez de D ( car multipliant D ila faié c G ) mais par * l hyporhefe ilnelemefure point: Ce troiliefine ne le peut donc» trouuer. PROI O æsition XX. vraie nombres eflanr donne ennfiderer fi l enpem troquer 1m w-- quarriefme proportiomne à iceux. AXE: trois nombres AiBG Q s 43 fqit cerché stilefl: poffible A -- A ---- i- vn quatriefine proportionnel: A" u. I 7 I.1; le dy quefi le remier mefiire BR--- B --- a i le produié t du ccôd a: troifielï r r8 8 l.uera:.8c s il ne leimefure point, a7. o aulli ne [e pourra donner le 4. E --- E Pour le remier :. ne A mefure le grorluié t DËieflf rd --- D -i-- fiiâ de B 8: G : Mai; autant l de fois que A mefure D,uutant foient d vnitez en E: Donc A multipliantefaiét D. Mais B multi liant G faiâlle mefmc D. DomPnlaz.p4reie dab: 19,4!!! 7.- A a B fera cômme G à E z Le quatrîefme donc E efi pro errionnel des trois A B G. Mais fi A ne mefure poinû : En: erapas proportionnel : S il et]: au- me quele quatrieline fetrqu- G --- G,-- aho

157 ..Etn-MBNS n Evcrrnr, trement, foite ce quatriefme proportionnel. D autant que B multipliant G fai& D, ils enfuiura pende r9. du 7. que Le! multipliant E proidiuirale mefme D. A mefute donc D parles imitez.. de E 3 mais par lihypotheçe il ne le mefure pas: ce qui eli abfmde: Et par ainft Ene fera pas lequatriefine proportionnel aux trois A B G. - l Paoeosr rrou xxr. Lümmlires premiers [ôntphu que quelque mulrüude profil jèe des nombre: (premiers..soitpropofee telletelle multi- D 1,,. tudequ on voudra de nôbres E Z A premiers A B G. le dy que d au-. l, 3 tres [a peuuent donner pardellus I -- B Cellze multitude propofee. Soit. i pris vu nombre minime lequel G [oit mefuré de A B G parla 38. du 7. qui fait E D, auquel foi: adioiullee l vuite D Z : Orle tout E g elt premier(ainfi nous aucns ce qui cil: requis) ou cil com oie: Si compolé,quelque premier le mefureraparla 3;. du 7. 8c oit ce premier I: le dy quel ellnvn, autre nombre remier pardellus A B G. (M: s ilne l efi à foitb l melme ulvn es troisa B C: Le incline I mefurera E D,qui cit mefuré es trois: mais par l hypothefe le meline I mefure le tout E Z s ilmcfnrera donc p la z.jênt.du 7. le relie D Z, reliai-ça; s noir l vnité : ce qui cil: ab unie. Donc l fera nombre premier. ioqfié à la multitude propofee. p. a. encrant-trou. xer. si un: de nombrespair: qu on voudra fiant compojez, le tout i. Qiêt efl propolis; pair. les nom- il 1 y. g. 6-1 B Sbres AB,BC,CD &DE i mis Br allemblez en vu cô- A B. C p - E meae. le dy que A E en: air, d autant qu vn Achpacun adent artiesegales: Si done aux c ofes egales on adioulle choies ega- i. es toutes les moiétiez feront egales aux mofliez t Et pourtantle tout 4 E retapai-r par definiriop hmmbrepeirü

158 11.171: Neirnnu. i v 87. q npaorosl rion xxm:. sitanede mans impair: qu on voudra-flane-compdeï, (g- [bit la multitude d item: pair, le tout [En pair. 1 SOient les nombres im- J 7 3, 1 lait. com ofezab,bg i Jv i. Cg 8c D l defquels B G r1).e multitude fait nombré pairx Ie dy quele tout A E fera pair. Car uis que par la 7. dejfî du prout im sairldifliere-du pair feullemcni de l vriité,îcelle mité oliee diva c acaules relies feront pair; Et si là,prectdmtecflî3m en multitude pair feront le tout (compofe dïiceùxl pair. Si doncles mitez [cumulâtes ;( qui fait: vu nocif bre pair) font adioultces aira pair, le tout fera pair parlaentîfineq A i- Pa opoïqsïjrir iïo-n geint V grande nombrer impair qu on poudra flint compofiz, a que la malmenât déicegx; foi: impair 3 (e tout [en impair. "À s.5 Vr-A.....-J impairsabægîgdiîà ient es nom res :3;- 1, G. fifi D J :13 b Z 8c Z E compo Aéi, ôbnêla mhltitudicïoitim air. le d l tout Il cit imflir. Soit le nombrez Houflraiâpdtt tout flairât: a! fera par: par 14- recedmte. Et du incline ZpE fait foufiraiâe l vïme relie femb bleutent En pair fait: !» 7 ; le. ne] mut-a 2.49m vn nombre pair cr de ce liure. Puis"? ce nombre pair (oitrdrmfeliânité xllîe fervailë idiiikni æirnpair; Ca; alcoomèteineaxr défet; dupairdel wnitévfeulleujnenrfi r 3» raoeosrrxo n lxxm" V si d 1»: nombre pair en. fmjirait l membre par. le refle fine..."pliy-î I I H.. et :I I - H àî A.. NL.: Repropofition emmiellés ttois V.» i - mdeldemonltratio nà car elles f l ( Ë fi v. U œstrone point i Qu auefiheotemes. Il I Z Î intgluaofii-pëië l j à PauposrrIONlr uxxvr.,.. i. ;s en; nombre pair en fianjlmiâ 1m nombre impair, le «Il:

159 ... Ennui-ms nlev cerna, 13 apposaient xx.v1n Sid m nombre impair onfiuflraiéî 7n.nambre impair Je. refie V. - fera pair. h,l. p - PROPSITION XXVIII.A Sid îmnombre impair bnfimflmifl 1m nombre pair, le refit jèraimpair m 7 q Aeaoeosrjrrou xnxrx. x Sîïn nombre impair multipliant innombre pair en engendre guelqu vnël engerrcir e fem pair, l E nombréirnpair.a multipliantle pairb, face.1 i i, i G,1edy quecelhly efl pair. Diamant que le 4 l nombre pair B cil: prirar la multitude desrvnircz B de dirimait, il ferale tout pairfarliïqfle relire. G z p tr.,4. 4. p-teoe-osirrolwv-iutaèx... - Si in nombre impgir malgiplià fln impair, produiâ quelqn vn "v. a -;.;w, B faceôrproduife G;Pourceque,,4pgrlg, C l J domine impair-nærnnltâiliant [impair A t- inultitudeimpair despvnitez deb prod (à:. B IertoutGproduiÇ t grairnpairpqlak-m 4 du: v. A135 ï, z - 1 ;i.-.zi.) Ü - I..,.. 31 ubfi i ë-hfi. t i.. P N a xîxlxïlrôlln r Sil)»: nombre-impeinmfim w: nombre pair; il :1:ch wifi lamoiflie d ieelwpairu y), É g,, a «- 5031"ch irnpâir AIRIefitr-àntlepëîrB. te A ï"; e dy que A mefurerala moi&ié du nombre pair A hl.- B, Que le nombre Almjfure le pair B par GJedy ni 1 18 aufli que G copain JCàr cetuy ellort impair, il k fenfuiuroitqtie fimpair A par l impait id rodui » i roitl impair B parla amiante, Mais B uppofe G V pair. Ce qui cf! abfiir. Lenomlîré Gcli donc pair. fi donc AV parraines les «une: de G; produiâletout Bi; il s enfuiura que le **-fl V mcfine A par lamoifliiédc la. multitudp des vnitezdn hombre

160 1) l ï o, un: Neverssue.- sa pair G, fera a: produira la moiftié de B. Doncques Armefurerala moiâié de B, parla momie des mitez dunombre pairg. Si doue. un nombrejmpairxyc. l «PROPOSITION xxxn. j si 1m minière impair efl premier à quelquenombre, ilfêra. fprcr nieruu double d iceluy. a» A. J 7 soule nombre implairia premier à quel q ue 7 nombre B, 8c le double d icelu y B foit G. le dit A ---- i que Aiell premierà GÂŒÈ s il ne l e&,qi,e quel-i i 8 il que autre D mefure iceux A 8c G: lequel D fera i B s impair: Car s il citoit pair mefurantra produi-, 16 roitvn nombre pair, par indemne); qui ell contr e f G liliypothefe par laquelle A cil imislpour impair: a Donc aulli D fera impair qui mefurant le nombree D --u. pair G(double de BJmefurera anima moiâie d tceluy B,pe:rlu pre. «datte, il mefurera aulli A par confeque nt inclure deux premieà A 8c B, ce qui nepeut elïre. Ilny amadoue pointidenombre qui y inclure iceux A a: G quifijnt par ce moïéüptzmnets; - n.: Pa ce b sin ION «ermites.- i i v Ç in chacun des nombres puffin: doubler depuii leèbinuire. ô une [eullemenr pairement pair. SÔientdeptis deux auëantlcle nombres mon: - - " lunité j voudradoublez le dy u vn chacrin.l.:. d ièeuxçâ pairement pair; 8.8:ch l [culènkmv j i 1:7 I il " Car veu qu ils (ont faiâs par la-repeudondu 116- v A brc binaire, ils feront palmifide de «un - i 4. i * i Bilans tels ils feront proportionnai]: depuis l vnil B -----i té (ellant le binaire ou le de l v ni:é:)le nombre "1-8 «i donc moindre mefurerale plus grand par quelque ( noinprc desnombres delamefmeproportion qui j as- et feront deuantpur ld inde Main lefiluels me: pairst Il). i Îlesp roduiâs doque to ntt duspairs, &deplus, " i 43 v pairemœt pairt paridadgfdaiyceirnul antre (1161. i E repue les peut mefurer excepté quelqu vruie s nombres qui (ont deuant en la incline pyop dt tiën parla 1;. de ee me, qui (ont tous nais comme il arolle «liât. Craqulil ny en ait aucunautrqhou ceux J qui foisraireæsnrgürniqâma-nifcflà il? amicts. si

161 I». ELBMENS n Bvcrme, o. foircelïautre E, ni (En toufiours conppé en deux egalement iufqucs à ce qu il e oit reduift à l vnité ou à quelque nombre ima pair; Et faut par necellité que ce (oit vn autre que l vn dliceux. Sil cit reduift au nombre im air,celuycv mefurera E pour elire doublé plufieuts fois : Il ne era donc pas pairement Palrparltl 8. drf. du 7. Et s il vient à limitée, celluy melon; fera lebinarte ou double depuisle binaire : ht puis qn eftant couppé en deux continuellement; citant double continuellement ilfuiura la mcfme raifon: Car le double cil: la connerie du demy. Il :17 aura doneipoint de nombre pairement pair qui le puille prendre hors diiceux propofez. Si donc ou chacun des nombres au. il. " PROPOSiïldN ixxxrur..» si w nombre a [à moiflie impair, iceluy [En [internent par. renient impair. r r v,., i SOitvn nombre A ayant lainoiâié B - go l i r impair,ie3iy quem 8c ceux de lamer-. A --,----v me forte font-feulement pairement pairs; I K Soit Gle nombre binaire parfilequel- B a; a. puifle mefurer le, doublem. Spit;au. B --,-e G -- quelque nôbre pair D inclinant le. me - to 5 me A par 2,ce qui fe peut faire citant A D pair. Pourcequecequiefifaiâde G B* i " - Il N p cil: egalâ ce qui-e11 produifl: de Z-D: Gai D liera r14 r9. 4:57. 5 comme Z à B: Mais le binaire G nacrer le pair D, onc z maïa. teta la marché B laz eü dom: impair: v,, fiïlefioit 4 air-il feroit B ( lequel il-mefutc )Ipait,p4r lande ce pliure, ce ai, cil-0k con": l hypothefe: Colt autre nombreidonc quel qu" (on) (Quoi; z fera impair, parlequelle pair D mefurea, qui pour celle çaufeiefl: pairement impair. Outre plus il niy apçint d autre nombge paire. ment impair quecelçyvqui aï: notifié irriguait: Garni y en and: vu autre ayant camomie pair, le binaire c nieltpair) mefureroit. icelle moiâié par lamoifiid : Celt autre c men Pain; Page. ment impair perlai. du. Cequi dl contre l hypoghcfc, 11 n y a donc point autre nombre pairement impair; (la; au; qui outlamoiâlé-impair., A,-»,., paoeosrrron,,xxxv,,.,. si 1m nombre pair-nie]? pas double dtpùù Jeux, a: au p4; la,. Ôoiflie impuir, e]! pairement par a pampa" impair..

162 î l. SOitquelqucnombrcpairAquide ïxvxiz sznuuzn.uis deuxnc -.3, l l foi: point double, mais qu il ait. a moiâié B 24 ; pair. le dy quefi en vn nombre parremcnt pàir 8:1 :4 l impai LD autan: que A n cfl: point double depuis. I 12., l a deux,i eluy continuellcmëtcouppé en deux aga-n B lemët fin vn nombrcimpair: car s il faifoir deux, r 3.oul vhîté,il feroit double depuis le binaire: (hg! G face donc lrimpair G 3 Il CR cuident que l impaierefure A a: l l vn nôbtc PainCar sril le mefuroit par vu impaxr,il feroit le me me un imalrparla 1.4..dêcefluy: Doncl imbair G mefurç A par vn pair. Et pource que A a (a moifiié paît,lc binairc( pair)le mefur cra par la maiâié (qui dl: nôbre pair.) Il srcnfuium donc que le nôbrczll (lequel cil: mefuré d vn pair par vn pains; quelque fois dm: autre K pair par vn lm air)fem pairement pair 8c impairpquz rodeflîdu 7. Et fi dereche B a [a moiâié pair,cncor vn autre pair le mefurera u par vn nombre pair ou impair: A 8c ainfi infiniement iufqucs à ce qu on paulienne à llimyair. - I PROPOSITION XXXVI. - sium de nombres qu on munira fimt continueflemmt pro; porrionuaux, a. du ficond a dernier. [è huent des nombrer 93m au premier; tout ainfi que bercez duficondfeu au premier. tout ainfi fiera l exceïdn demicr à tout aux l v quilprecedemle dernier. l v" j. 80kg: tantale nombres qu on voudra l a h, z. contmuellemcn:proportionnauxag, Ap----JG BD,EP,&IH. Et foiroflzédufccond B 8 41-!) r BD le nombre B chalau remicra G. O A. l l Et «in plus grand a: dernier lloir auffi cité E E - vn mefinc no mbrc I N. le d uc Côme 1...-Jus fi l exccz C D à A G premier? ginfi N H r. bu» r33,» n (exccz du dernier) a tous les autres E F, B D,AG xçæê xcde r. l. D autant que I H cl! le plus grand l car par l hy «Le. lfcçond raft lus grand quclc premier) foi: I L pofé cgala EF 8: 1K à BD 5 l a * ni, sà AC cflcgalâln;ccferadonccomme I Hà E F 8c E F à r L 313,3: BD à AG,àinfi demefinc I Hà IL a; IL à 1.x am à IN, car ils [ont cganizparquoy aulli NK fera cgal àcd r14;,com.fni. Maisvçu ne cômc le tout IH au tant! L,a.infilc ouüraxél: IL au gomma *K,lc relie LH parla [I3497.fc!33l1 mile KL Cpmmc le * V Î - "L V

163 ELEMENS n Evcunî, tout 1H au tout IL.Pource que femblablement IL cit à IK Côme 1K à IN; le nombre KLà NK faraparldmefme commele tout IL I au tout 1K. Mais comme 1H à IL 8: IL à 1K 3:1le à IN;Ainfi ont cité IH à EF,& EF à BD a: BD à AG. Donccomme LH à KL &KL à NKgainfi fera EF àbd se BD à AG. Et par vimfciçu-. (lcfilonld 1;.du 7. comme LHà EF ainfi KL àobd,& comme ICI. à BD ainfi NK à AG, 8c comme l vn des antecedens NK à vn des e confequens AG,ainfi ferontpærla une!» 7.rous les antecedës NK, KL,LH à tousles confequeus AG,BD,EF. Mais CD a elle deà nombré egal à NK : doncques Côme CD (exccz du (econmd) «au premier AG,ain fi feta le tout NKIH (excez du dernier)à AG BD,EF qui tous le precedent. si du»: Mut demmbmmw. i PROPOSITION xxxvu. si (lapai) 1 vnite fiant expofek de: nonibm continueflemcnr en proportion double iufiiues à ce que tout le compofë fiai: premier, a iceluy tout multiplie par le dentier en engendre quelqueaum,l engendréfim parfitifl. r Qleht adioullez à l vnité autant. de nôbrcs qu on voudra A B G D continuellement A doubles,iufques à ce quele tout ail-emblé auec l vnité fait nombre premier,comme pour exê- B gle E:&Îque E multiplié par le dernier D face I. le dy que ZI cil: parfaié r. Soient pris autât i G " de nombres E T L M qui apreslivnitë foient doubles; A à D fera par raifon egale filon x4. D :1147. commeie à M. Ce qui cit donc faiâ de A 8c M fera egalâ ce qui ellfaxâ de DE: E par E -I----- la i9. du7:semblablemêt ce qui cil me; de BL, 31 N 31. à celuy de GT :mais de D 8c E cil-feria Z! or. T - Ibypothefe: Donc de A et M le fera le me me ZI: Donc 21 fersdoubleâm( Aeflantde Z I ani hypotbefi: ) Mais MLT E ont cité doubles; r48 - FILM ZI feront donc continuellement d ou- M ---- i bles proportionnaux. Or foient fouflraiâs 31 C 465 du («and T 8c du dernier 2,1, des nombres 0 Z egaux au premier E, qui foient IN 8e ZC;c6- I 496 me NKâ E,ainfiltexcezCIàtous MLT,& E O qui le pfecedenrpar lapa-o. mrfme: Mais "N K P cit egalà, E eflant moic li du double VTK:Dôc l

164 Wh àiâ du.v vanl szrresiu. 93 C Ifera egalâiceux M L T 8c E: mais 7.C fera aufli egal âl vnit. 8: à ABGD (eflant E côpofé ou NT fou egal:) Doncques le tout ZI fera egalà iceux MLT-E, 86 à D GBA 8L à l vnité. Outre plus le dy que tous mefurent le mefine ZI : car veu que ZI (e faiâ de D Par E, l vn 8c l autre le mefure,& veu aufii que to us les doubles. - depuis l vmte mefurent le mefme D, c efl à ânon- AB G par in 13.. «fading, iceux auliî mefureront ZI lequel e v mefuré de D par 14 1.fint.Par femblable argument efians ETLM à ZI,comme l vnité. 8c ABGD au mefme D ( cleflâ fgauoir en raifon demie) 8c que ltvmté 8c A B G mefurent iceluy D ; Pareillement aulii E T L M mefiueront Z I. OutrePlus il ne s en trouuera (hors ceux-là) ni.mefurent ZI : (33; fi il y. en auoit quelqu vn;foit O lequel par es,vnitez de P m e n uzi: mais D mefure par Ele mefine ZI :13 à P A. fera donc comme 0 à. D. parla 1941:4 7. Mais pource que O n efl: point mis Pour aucun d iceux,.icéluy ne mefure point D, qui en; feulement mefuré parles precedens de la proportiô,fi;auoir ABG par la r;.deceîfuy,aufli E ne mefurera point P: D auanta e pource ne E à P cil comme O à D, 86 ne E cil premier par byporhejê, filera auflîparla ;i.du 7. remier a -I, lequelil ne mefure point. l Or pource que E à P ont premiers, ils feront parla 2.541» 7. minimes, 5:me 1l. dumfme ils mefureront iceux O 8c D qui ont v lamefme raifon. E mefurera donc 0, 8c Pmefurera D. Mais i Puisque nul ne mefurc D excepté ceux qui le Precedët en la proortie n A B G 8gl vnité par la 13. de a luire il s enfuiura que P fera llvnid iceuxa B G. Et puis que A B C D mefurent Z l, par iceux Ï MLTE (comme il sellé diâ) 8e P mefure ZI par 0; Il s enfuiun que 9 cfi: vn d iceux MLTfismaisll cit autre parfbyporb cfi, A ce qui ne peut eût-e. Il n y aura donc point autre nomble hors.eeux-ey MLT E, D G B A 8c l vnité,qui mefure ZI: mais eefiuycy a du » 7. momifié egalâiceux M LT E,D G B A se à l vnit qui chacun [ont (es parties,- ).iceluy Z.I donc fera nombrc Par élcfar la du douoient) 1 imité en. Pin av Nbvrrnnu Lune;

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