L interprétation causale de la mécanique quantique : biographie d un programme de recherche minoritaire ( )

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1 L interprétation causale de la mécanique quantique : biographie d un programme de recherche minoritaire ( ) Virgile Besson To cite this version: Virgile Besson. L interprétation causale de la mécanique quantique : biographie d un programme de recherche minoritaire ( ). Education. Université de Lyon; Universidade federal da Bahia, Français. NNT : 2018LYSE1014. tel HAL Id: tel Submitted on 22 May 2018 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 N o d ordre NNT : 2018LYSE1014 THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE LYON opérée au sein de L Universidade Federal da Bahia et l Université Claude Bernard Lyon 1 École Doctorale ED 485 Éducation, Psychologie, Information et Communication Spécialité de doctorat : Épistémologie, histoire des sciences et des techniques Soutenue publiquement le 15/02/2018, par : Virgile Besson L interprétation causale de la mécanique quantique : biographie d un programme de recherche minoritaire ( ) Devant le jury composé de : Chaussard Lionel, Professeur, Université Claude Bernard Lyon 1 Président Lacki Jan, Directeur de recherche, Université de Genève/cnrs Rapporteur Ruphy Stéphanie, Professeur, Université Jean Moulin Lyon 3 Rapporteure Bustamante Martha Cecilia, Chercheuse, Université Paris Diderot Examinatrice Mattedi Dias André Luis, Professeur, Universidade Federal da Bahia Examinateur Vilain Christiane, Maitre de Conférences, Observatoire de Paris-Meudon Invitée Freire Jr. Olival, Professeur, Universidade Federal da Bahia Directeur de thèse Lautesse Philippe, Professeur, Université Claude Bernard Lyon 1 Co-directeur de thèse Chabot Hugues, Maitre de Conférences, Université Claude Bernard Lyon 1 Co-directeur de thèse

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30 λ = h p p λ h m 0 m 0 ν 0 hν 0 = m 0 c 2

31 ν 1 = m 0c 2 1 β 2 <ν h 0 β = v/c ν 0 ν = 1 m 0 c 2 >ν h 0 1 β 2 γ = 1 β 1 2 ν 1 = m 0c 2 1 β 2 h ν = 1 m 0 c 2 h 1 β 2 V = c β ν 0 t 0 = ν ( ) t l V V ν v = βc ν 0

32 ν 1 <ν 0 V = c/β v ν ν 0 V = c/β = c 2/ v vv = c 2 v v V t2 δs = δ Ldt =0 t 1 L = E c E p E c E p S t 1 t 2 S δs =0 t2 b δs 0 = δ 2E c dt = δ mvdl =0 t 1 a 2E c dt = mvvdt = mv dl dt dt

33 y v V = c β e x x V = c β e x v x V = c β e x v x ν 1 v V V >> v

34 e ϕ μ = ( ψ, a 1, a 2, a 3) Ldt = m.c 2. 1 v2 2 eψ(r,t)+e.v a(r,t) dt = ( m 0 c eϕ μ u μ) ds c u μ = ( ct ; dx1 ; dx2 ; ) dx3 ds ds ds ds uμ u μ =1 ds = dx μ dx μ S P Q J μ p μ = S = Q P ( m0 c eϕ μ u μ ) ds = Q P ( m0 cu μ eϕ μ ) u μ ds = m 0 cu μ eϕ μ W c, m 0v i 1 v2 c 2 ea i Q B δs 0 = δ J μ dx μ = δ p i dx i =0 P A ϕ =2πν(t l/v ) P Q P Q Q δ dϕ =0 P L =2E c E E = E c +E p E δ t 2 Edt t 1 =0

35 dϕ =2π(νdt ν V )dl =2πO μdx μ O μ ( ν c, ν V cos( x i,l ) ) Q B δ O μ dx μ = δ P A ν dl =0 V W = hν O 0 = 1 h J 0 O i = 1 h J i B B δ J i dx i = δ p i dx i =0 A A p i = k i k i =2πO i

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38 i t ψ(r,t)= [ ] 2 2m 2 + V (r,t) ψ(r,t) ψ 3N N

39 Δu = 1 2 u u = a(x, y, z)e iω[t ϕ(x,y,z)] c 2 t 2 u = f(x, y, z, t)e iω[t ϕ(x,y,z)] ϕ a f ϕ = constante f M U = c ( ) 2 ϕ n n M M ϕ σ ρ ρ = K a K a ρ

40 u = f(x, y, z, t) cos 2π ϕ h ψ = a(x, y, z) cos 2π h ϕ 2 2 ψ(r,t) t 2 = [ ] 2 c m 2 c 4 ψ(r,t) f ρ = K a ψ a 2 dv dv

41 F u u = f e (i ϕ ) Δu 1 2 u c 2 t 2 + 4πi h F (x, y, z) u c t 4π2 h 2 [m 20c 2 F 2 ] u =0 c 2 ϕ = Wt ϕ 1 Wt 1 f f = 4π2 ( ) 2 ϕ1 h 2 1 x,y,z x c 2 (W F )2 + m 2 0c 2 1 f f ϕ 1 M v M = c 2 ϕ 1 W F E = W F m 0 c 2 v M = ϕ 1 m 0 ψ = a(x, y, z) cos 2π h ϕ ϕ = 2π h (νt ϕ 1(x, y, z, t)) 1 4π2 Δa = ( ) ϕ 2 1 a h 2 1 x,y,z x c 2 (hν F )2 + m 2 0c 2 ϕ 1 ϕ 1

42 Δa a = f f [ ρ(x, y, z) =Ka 2 (x, y, z) 1 ] F (x, y, z) W ρ(x, y, z) =Ka 2 (x, y, z) e V A 2 ϕ+( e/c )A v = c ϕ/ t ev ρ(x, y, z, t) =Ka [ 2 ϕ t ev] a x aδϕ 1 =0 x ϕ x,y,z 1 a n = ϕ 1 = ϕ 1 2 a n [log a2 ]= Δϕ 1 ϕ 1 ρ(x, y, z) ρv =0

43 ψ u 3N u N u 1 + 4πi V 1 u 1 h c 2 t u 2 + 4πi V 2 u 2 h c 2 t [ ] 4π2 h m c 2 V 1 c 2 u1 =0 [ ] 4π2 h m c 2 V 2 c 2 u2 =0 ϕ(x 1, x 2 ) m i v i = i ϕ (i =1, 2) ψ 1 = a 1 e 2i π h ϕ 1(x 1,t) L 1 = 1 2 m 1v 2 1 V (r)

44 c 2 ε 1 (x 1,y 1,z 1 ) V (r) c 2 ε 1 (x 1,y 1,z 1 )= h2 a 4π 2 a M 0 = m 2 0 h2 a 4π 2 c 2 a h 0 c 2 ε L = 1 2 m 1v m 2v2 2 V (r) V (r) c 2 ε 1,2 V (r) x 1 x 2 c 2 ε(r) c 2 ε 1,2 V (r) =V 1 ( x x 2 )=V 2 ( x x 1 )

45 c 2 ε = h2 a 4π 2 a h2 2 a 4π 2 a + h 2 ä 4π 2 c 2 a c

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47 Δp x Δx 2 pq qp = i

48 Jω ωj = Et te = i γ p = h λ p = h E = hν λ Δt Δν 1 2

49 ( ) 1 Δx Δ 1 2 λ x E = hν p = h λ

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52 (x, y) ϕ (x, y, ϕ) ϕ π + ϕ ϕ

53 ψ

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57 1 /B 1 /B 2

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61 Ψ /2

62 Ψ Ψ ψ v = S m S t + ( S)2 2m + V 2 ΔR 2m R =0 i ψ = ) t 2 ψ + Vψ ψ = R e i S R(x, t) S(x, t) ( 2 2m

63 Q = 2 ΔR 2m R S E t S E = ( S)2 2m + V + Q m d2 x 2 = (V (x)+q) dt h Q R R 2 t + (R 2.v ) =0 ρ = R 2 P = R 2 S

64 f Ψ Ψ Ψ

65 H I Q q Q H I = aqp y a p y y ψ q c q x y Ψ 0 (x,y)=ψ 0 (x)g 0 (y) =g 0 (y)σ q c q ψ q (x) i ψ t = aqp yψ Ψ(x,y,t)=Σ q c q ψ q (x)g 0 ( y aqt / 2 ) y

66 q y g 0 (y aqt / 2 ) q y δy = atδq / 2 Δy δy ψ q ( / Ψ(x,y,t)=ψ q (x)g ) 0 y aqt 2 v = S m

67 P q = c q 2 Q q Ψ(x,y,t)=ψ q (x)g 0 (y aqt / 2 ) P z Q ( / Ψ(x,y,z,t)=Σ p a p,q Φ p (x)g ) 0 z apt 2 z ( / Ψ(x,y,z,t)=a p,q Φ p (x)g ) 0 z apt 2 p ap,q 2 Q P

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73 s Δp Δx /2 Δp =0 V Q Ψ Ψ Ψ

74 P + (P.v) =0 t

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83 Ψ

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86 The National Archives' reference KV 2/1622 The National Archives' reference KV 2/1622 Crown Copyright Crown Copyright

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92 Ψ 2

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103 m = m 0 + m

104 e a m = 2 e 2 3 ac 2 m 0 =0 m exp r 0 = 2 e 2 2, cm 3 m exp c 2 m m 0 m exp = m 0 + m m m 0 F self = 2 e 2 3 ẍ dxdx ρ(x)ρ(x ) c 2 x x 2 e 2 x 3 + g a e2 c 4 c 3 x +...

105 2 S 1/2 2 P 1/2

106 ΣF ext = ma

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108 Ψ 13

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111 P 1,2 = P 1 + P 2 P 1 P 2 P 1,2 = P 1 + P 2 2 Ψ

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113 Ψ

114 u = f e i ω r 0 u Ψ Ψ u r 0 u u 0 ϕ u 0 + ϕ r 0 u 0

115 r >r 1 u ϕ u = f e i ω = u0 + ϕ = u 0 + R e i S Ψ = Cste ϕ u 0 ϕ r 0 v = S m

116 ρ S Σ v μ S S ρ = ρ r ρ r ρ ρ/ r 0 ρ ρ Σ r 0 r 1 ρ = f 2

117 ω S u ρ 1 ρ 0 r ρ/ r P dt M M n S α i M ρ M = ρ M + ρ ρ dt + t x i αi dξ ρ M M ρ M = ρ M n i = α i S n ρ n i = α i = ρ/ x i ( ) ρ 2 i x i v n = dξ dt = ρ/ t ( ) ρ 2 i x i v n dx i =dξα i S i ρ t + V i V 4 ρ x i + ρ x i ( ) Vi V 4 =0 ( ) ρ 2 v x i n V i α i v n V 4 =0 dξ ρ α i + ρ x i t dt =0

118 v n = w.n w w n (v v 4 w) n v i v 4 w i =0 n w i = V i V 4 ω V (D ν D ν μ)u =0 D ν = ν + i ε c A ν A ν μ u = f e i ω ϕ = R e i S s μ = ρv μ = f ( 2 μ ω ε c Aμ) s μ r = ρvr μ = R ( 2 μ S ε c Aμ) μ ω ε c Aμ = μ S ε c Aμ ω = S + Cste (α ν D ν μ)u = u ϕ u 0 μ

119 s ν s ν r s ν = u + α ν u = u + u u+ α ν u u + u = (u + u)v ν s ν r = ϕ + α ν ϕ = ϕ + ϕ ϕ+ α ν ϕ ϕ + ϕ = (ϕ + ϕ)vr ν u + α ν u u + u = ϕ+ α ν ϕ ϕ + ϕ u 1 u 2 N u = u 1 + u v ν = u+ α ν u u + u = (u 1 + u 2 ) + α ν (u 1 + u 2 ) (u 1 + u 2 ) + (u 1 + u 2 ) u u 1 v ν 1 = u+ α ν u u + u u+ 1 α ν u 1 u + 1 u 1 = ϕ+ 1 α ν ϕ 1 ϕ + 1 ϕ 1 u = u 1 + u u i

120 L 1 L 2 u 1 u 2 G u y x

121 v = S m t

122 N u u N 3N m i v i = i S = i S i S S i i i Q = i Q i N N

123 S 1 t = E 1 = 1 ( 2m 1 1 S) 2 + V 1 + V 12 + Q 1 S 2 t = E 2 = 1 ( 2m 2 2 S) 2 + V 2 + V 21 + Q 2 V 1 V 2 V 12 = V 21 ( ) Q 1 h2 1 Δ 1 R 8π2 m1 R E 1 E 2 E (x 1, x 2 ) S t = E = 1 2m 1 ( 1 S) m 2 ( 2 S) 2 + V 1 + V 2 + V 12 + Q ( Q = h2 1 Δ 1 R 8π 2 m 1 R + 1 ) Δ 2 R m 2 R E = E 1 + E 2 V 12 + Q Q 1 Q 2 Q V E = E 1 + E 2 V 12 Q 12 F 1 (x, u) F 2 (y, u) F (x, y, u) u(x, y) ( ) F = x y ( ) ( ) F1 F = x y y x ( ) F2 y x

124 N F 1 (x, u) =F 11 (x)+f 12 (u) F 2 (y, u) =F 22 (x)+f 21 (u) F (x, y, u) =F 11 (x)+f 22 (x)+f 12 (u) F 12 (u) =F 12 (u) S(x 1, x 2, x 12,t) Q(x 1, x 2, x 12,t) x 12 = x 1 x 2 S 1 (x 1, x 12,t)=S 11 (x 1,t)+S 12 (x 12,t) S 2 (x 2, x 12,t)=S 22 (x 2,t)+S 21 (x 12,t) S(x 1, x 2, x 12,t)=S 11 (x 1,t)+S 22 (x 2,t)+S 12 (x 12,t) Q 1 (x 1, x 12,t)=Q 11 (x 1,t)+Q 12 (x 12,t) Q 2 (x 2, x 12,t)=Q 22 (x 2,t)+Q 21 (x 12,t) Q(x 1, x 2, x 12,t)=Q 11 (x 1,t)+Q 22 (x 2,t)+Q 12 (x 12,t) E = E = E 1 + E 2 V 12 Q 12 = 1 2 m 1v m 2v V 1 + V 2 + V 12 + Q 1 + Q 2 + Q 12 Q 12 V 12 x 2 (t) 1 S = 1 S 1 S S 1 x 1 (t) L 1

125 R 2 t + m 1 1 (R 2 1 S)+ m 2 2 (R 2 2 S)=0 Ψ R =ΨΨ Ψ t 2m 1 i 2 1Ψ 2m 2 i 2 2Ψ= i kψ k x 1 x 2 t S t = 1 ( 1 S) [ ( 2 S) 2 + k R 2m 1 2m 1 2 m 1 R ] 2R m 2 R 0

126 N k k = V 1 (x 1 )+V 2 (x 2 )+V 12 (x 12 ) i Ψ t = 2 2 1Ψ Ψ [V 1 + V 2 + V 12 ]Ψ 2m 1 2m 2 k k = V 1 (x 1 )+V 2 (x 2 )+V 12 (x 12 )+F(x 1, x 2 ) F μ = m 1m 2 m 1 +m (x,y,z,t) u 1 = R1(x,y,z,t)e i S u ( 1 i t = 2 2 u 1 2μ x u 1 y u ) 1 z 2 + V (r) L 1 S1 = constante v1 = 1 m S1

127 m 1 x 1 + m 2 x 2 =0 L 1 L 2 Ψ i t ( = 2 2 Ψ 2μ x Ψ y Ψ ) z 2 + V (r) u 1 u 2 Ψ

128 N V D 2 N

129 Ψ(x 1, x 2 )=ψ 1 (x 1 )ψ 2 (x 2 )

130 1/r R αβ 1 2 g αβr = kt αβ R αβ R g αβ R = g αβ R αβ T αβ k = 8πG c 4

131 R αβ 1 2 g αβr =0 u u 0 ϕ u u

132 T αβ

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137 dx j dt = i S e c A i t S e c A π SU(2) IR 3 2,

138 Σ M M v V n S dξ n P S

139 P G P P G P P G G P

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143 Ψ= ρ e is/ S t + ( S)2 2m ρ + (ρv) =0 t + V 2 Δ ρ =0 2m ρ m ( ) t + v v = m dv ( 2 dt = V + Δ ) ρ 2m ρ

144 v = 1 S m

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152 Ψ Ψ

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154 ρ p m t v i + m k v i v k = i V 1 ρ k(pδ ik ) m t v i + m k v i v k = i V 1 ρ kσ ik i, j, k = 1, 2, 3

155 σ ik = 2 4m ρ i k log(ρ) k σ ik = i ( 2 ρ Δ ρ 2m i ρ ) σ p = 1 2 Tr(σ) = 3 6m (( ρ) 2 ρδρ) (pδ ik ) 1 ρ σik (A, φ) { + 1 ( e i t 2m i c A)2 + eφ}ψ =0 Ψ=Re is/

156 S + 1 t 2m ( S e c A) 2 + eφ 2 ΔR =0 2m R P + div { P ( S e t c A) /m } =0 (P R 2 ) v = 1 m ( S e c A) E H m ( ) t + v v = m dv ( dt = e E + v ) ( 2 c H + 2m ) ΔR R v = eh/mc v P = R 2 [ v(x),p(x ) ] = δ(x im x ) [ vi (x),v j (x ) ] = δ(x i x ) 1 ( v) P k H = ( ) m 2 vp v + PV + 2 8m ( P )2 P 1 dx [A, B] =AB BA

157 v t = i P [H, v] t = i [H, P] v = 0 v 0 H = P Ṡ L L =Ψ ( i t + 2 2m ) Ψ Ψ=R. e i S

158 {( i μ e c A μ) 2 + m 2 c 2 }Ψ=0 ( μ S ea ) 2 c μ + m 2 c 2 2 R =0 R { ( μ P μs e c Aμ)} =0 (P R 2 ) ( μ S e c A μ)/m u μ u μ = c 2 R R j0 = P m ( 0 S e c A0 ) ρ U A μ δm = fu/c 2 f m 0 = m+δm u μ u μ = c 2 L = 1 2 (m + fu/c2 )(u μ u μ c 2 )+(e/c) u μ A μ p μ H KG p μ = L =(m + u μ fu/c2 )u μ + ea μ /c ( H KG = p μ u μ L = 1 (pμ ea μ /c) 2 + mc 2 + fu 2 m+fu/c 2 ) m d dτ [( 1+ fu ) ] mc 2 u μ = e c u νf μν f μ U j μ j 0 = ρc j

159 γ (1 + fu ) P mc 2 0 = γp ( μ S ea c μ) 2 +(mc + fu/c) 2 =0 ( ) μs ea μ P μ /c 0 =0 m+fu/c 2 fu = mc 2 (γ 1) γ =(1 λ 2 c R R )1/2 λ c = /mc γ P 0 U γ 0 λ 2 c R 1 R R R 0 u μ = ( μ S e c Aμ )/ mγ ū μ = γu μ v = eh/mc μ ū ν ν ū μ = e mc F μν F μν = μ A ν ν A μ ū ū μ ū μ = γ 2 c 2 = c R R

160 j μ = ep 0 u μ = ep ū μ ν F μν = e c P ūμ ( μ S ea c μ) 2 + m 2 c 2 2 R =0 R μ ν A ν A μ =(e/mc)p ( μ S e) c A μ S A μ ū P = R 2 ū μ = γu μ =( μ S ea c μ)/m μ ν ū ν ū μ =(e/mc) 2 P ū μ 2 R =0 R

161 u μ u ν = c 2 μ u ν ν u μ = e F mc μν ν F μν = e c Puμ 6N 3N

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165 P = ρ = Ψ 2 Ψ ρ ρ c ρ + (ρ.v) =0 t dρ c dt = ρ c t + (ρ c q) q + (ρ cṗ) p =0

166 Ψ 2 Ψ 2

167 H Ψ 2 Ψ 2 Ψ 2 Ψ 2

168 H Ψ(x,t)

169 ξ(t) v(x,t) ξ(t) v(x,t)

170 ρ v v 0 (x,t) ρ 0 (x,t) ρ 0 + (ρ t 0 v 0 )=0 ρ + (ρv) =0 t ρ Ψ 2 = ρ 0 P (x,t) ɛ lim = t ɛ ρ 0 C (x,t) ρ v ξ = (ξ 1 (x),ξ 2 (x),ξ 3 (x)) dq dξ =dξ 1 dξ 2 dξ 3 ( ) xμ dq = ρ 0 (x,t)dx = ρ 0 (x,t)j dξ J ( ) x μ ξ ν dξ J ( ) x μ ρ0 (x,t)= ξ ν Cste P (x, t) F (ξ,t) P (x,t)dx = P (x,t) ρ 0 (x,t) P (x,t) dξ = ( J ξ ν ) = F (ξ,t)dξ ξ ν x μ dp = K(ξ, ξ,t,t )dξ δξ ξ t t δξ dx = J ( xμ ξ ν ) dξ

171 ξ K K(ξ, ξ,t,t )dξ =1 K K ξ x x F (ξ,t) F (ξ,t ) K(ξ, ξ,t,t ) F (ξ,t)= K(ξ, ξ,t,t )F (ξ,t )dξ ξ M (t) F M(t) ξ m (t) m(t) M(t) = K(ξ M (t), ξ,t,t )F (ξ,t )dξ m(t) = K(ξ m (t), ξ,t,t )F (ξ,t )dξ F (ξ,t ) t M(t ) M(t) K(ξ M (t), ξ,t,t )M(t )dξ M(t) M(t ) M(t ) M(t) m(t ) m(t)t <t

172 m(t )=m(t) =M(t )=M(t ) F ρ 0 Ψ N

173 H H

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175 N

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180 h mc 2

181

182 B 4UFQIBO,ÕSOFS ÊE 0CTFSWBUJPO BOE *OUFSQSFUBUJPO B 4ZNQPTJVN PG 1IJMPTPQIFST BOE 1IZTJDJTUT 1SPDFFEJOHT PG UIF UI 4ZNQPTJVN PG UIF $PMTUPO 3FTFBSDI 4PDJFUZ )FME JO UIF 6OJWFSTJUZ PG #SJTUPM "QSJM TU m"qsjm UI -POESFT #VUUFSXPSLT 4DJFOUJđD QVCMJDBUJPOT JJ 'ŃŁ 1BSUJDJQBOUT BV F 4ZNQPTJVN EF MB $PMTUPO 3FTFBSDI 4PDJFUZ EF j 0CTFSWBUJPO BOE *OUFSQSFUBUJPOv BVRVFM 7JHJFS FU #PIN POU QBSUJ DJQÊ B -F NJMJFV TVCRVBOUJRVF FU MB UIÊPSJF EFT OJWFBVY E PSHBOJTBUJPO EF MB OBUVSF

183 10 13 δxδp = ma m a ma Δp = ma 1 2 Δt 1 2 Δt 0 E = (Δp)2 2m = ma 2Δt kt k T δxδp = ma δxδp ma

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188 T ν c kt = hν c k

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190 1 2

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192 S S SU(2) SO(3) i Ψ t = 2 2m ( iea c )2 Ψ+φΨ+ e (σ B)Ψ 2mc A φ σ (σ 1,σ 2,σ 3 ) B ρ j SU(2) 1 2 ( ) ( ) ( ) i 1 0 σ 1 = σ = σ i 0 3 = 0 1

193 ρ =Ψ Ψ j = 2mi (Ψ Ψ Ψ Ψ ) e mc AΨ Ψ j = ρv v = 2mi (Ψ Ψ Ψ Ψ ) Ψ ) e Ψ mc A Ψ Ψ a = Ψ b a + ib c + id Ψ a Ψ b a, b, c, d 1 2 IR 3 SU(2) 4π 2π SO(3) mρ(r v) 2 Ψ σψdx 2 Ψ σψ e mc AΨ Ψ φ SO(3) SU(2)

194 ΔV S = 2 Ψ σψδv ΔN = ρδv =Ψ ΨΔV s = S ΔN = Ψ σψ 2 Ψ Ψ 2 θ ϕ ψ θ [0,π] ϕ [0, 2π] ψ [0, 2π] R 1 (ψ) =e iσ z ψ 2 R 2 (θ) =e iσ x θ 2 R 3 (ϕ) =e iσ z ϕ 2

195 β 0 = 1 0 0z z 1 z θ x ψ u θ ϕ ψ ϕ y v y 1 w x 1 θ ϕ ψ β 0 β β = b 1 + ib 2 = R(θ, ϕ, ψ)β 0 = b 2 + ib 3 i sin(θ/2) e ϕ/2 cos(θ/2) ei(ψ+ i(ψ ϕ/2 b i

196 SO(3) Ψ=R e i ψ 2 cos(θ/2) ϕ ei 2 i sin(θ/2) e i ϕ 2 R R e i S ψ ψ(x,t)= 2Et + ψ 0 (x)ψ 0 (x) t =0 Ψ v = 2m ( ψ + cos θ ϕ) e mc A cos θ ϕ (ρ, v) ρ(r,t) t = {H, ρ(r,t)} v(r,t) = {H, v(r,t)} t (ξ,η) v = S + ξ η e mc A

197 H c = [ ρ ( S + ξ η e ) ] 2 2m c A + ρeφ + f(ρ) dx φ, A f(ρ) (ρ, S (ξ,η) dρ dt = ρ ( t + divρ S + ξ η e ) mc A = ρ t ( ds S + ξ η e c A) 2 dt = S ξ(v )η + t dξ dt = η +(v )ξ =0 t dη dt = η +(v )η =0 t 2m + divρ (v) =0 + e m φ + f ρ =0 S t + ξ η t + ( S + ξ η e c A) 2 2m + e m φ + f ρ =0 E = S t E = S + ξ η t t H T H Q H S ( H P auli = 2 ie A ) 2 Ψ + φ Ψ 2 + e 2m c 2mc Ψ σ BΨ dx ( 2 ψ = 2m ρ ϕ + cos θ 2 2 e ) 2 2 c A ( ρ) 2 dx + dx 8m ρ }{{}}{{} H T [ 2 + dx 8m ρ(( θ)2 + sin 2 θ( ϕ) 2 )+ ρe ] mc s B }{{} H S H Q H T f(p, q, t) (p, q) df f dt = {f,h} + t f H df =0 dt

198 B H S H S Q s = 2 8m ρ(( θ)2 + sin 2 θ( ϕ) 2 ) Q ρ + (ρv) =0 t S mv2 ξ(v )η + t 2 dξ dt = δh s δη =0 dη dt = δh s δξ 2 2 ρ 1 2 2m ρ 1 2 [ ] + 2 ( ξ) 2 8m 1 ξ 2 +(1 ξ2 )( η) 2 + e mc s B =0 =0 H s Q s = 2 8m ρ(( θ)2 + sin 2 θ( ϕ) 2 )= 2 2m is j i s j s ds dt = s ρ i (ρ i s)+ e (s B) mc B Q s m ( ) t + v v = m dv ( dt = φ + Q + Q s + e ) mc s B Q φ δ

199 Q s 4π z + z Oz s + = s = nπ n Ψ 2π SU(2) SO(3) ψ+ϕ 2 ψ ϕ 2 SU(2) b i 2π b i (b 1,b 2,b 3,b 4 ) ( b 1, b 2, b 3, b 4 ) b i cos θ/2

200 2π 2π 2π SU(2) SO(3) 4π 2π b i (b 1,b 2,b 3,b 4 ) ( b 1, b 2, b 3, b 4 ) b i 2π 2π 2π

201 ψ ϕ T = pdx pdx = ( ψ + cos θ ϕ) dx 2 ψ = ψ 0 (x) ψ 0 θ ϕ dx δx T = pdx = (δψ + cos θδϕ) 2 p θ dθ = nh Δψ =2n 1 π Δϕ =2n 2 π n 1 n 2 ψ ϕ SU(2) n 1 n 2 Δψ ± Δϕ 2π 2π 2π

202 k = (l + s) l s Δψ =(2l +1) Δϕ =2π θ ϕ ψ

203 s Oz Oy B z B 0 + zb 0 Ψ(z,t) Ψ 0 (z) =Ψ(z,0) = f(z)(c + u + + c u ) c + = c + e i s + c = c e i s B 0 = B z / z z z=0

204 u + = 1 0 u = 0 1 c c 2 =1 θ 0 ψ 0 ϕ 0 cos 1 θ 0 =( c + 2 c 2 ) ψ 0 = s ++s π 2 ϕ 0 = s + s + π 2 T i Ψ t = e 2mc (B 0 + zb 0)Ψ T Ψ [ ] Ψ(z,T) =f(z) c + e i e 2mc (B 0+zB 0)T u + + c e +i e 2mc (B 0+zB 0)T u i Ψ t = 2 2 Ψ 2m z 2 Ψ(z,t) =R + e i S + c+ u + + R e i S c u R ± S ± z t ρ = R+ c R c 2 2 ψ = 1(S + + S + s + + s ) π ( ) 2 θ = 2 tan 1 R c R + c + ϕ = 1(S + S + s + s )+ π 2 y

205 y Q s c ± c + 2 =0.75 c 2 =0.25 t =0 θ 0 = π ψ 3 0 = π ϕ 2 0 = π v = ( ψ ϕ + cos θ ) 0z 2 2m z z v T = e 2mc B 0T θ ψ ϕ c + 2 = 0.75 c 2 =0.25 θ ψ ϕ

206 γ μ (i μ ea μ )Ψ = mψ Ψ γ μ 4 4 e +

207

208

209

210 K 0 2

211 Q I 3 Y B η S Q = I Y = I (B + S) 2 K Λ SU(2) I SU(3) SU(3) SU(3)

212 K 0 Y 1 K+ n Y 1 p π π0 1/2 1/2 π+ η 1 I 3 Σ Σ0 1/2 1/2 Σ+ Λ 1 I 3 K 1 K 0 Ξ 1 Ξ Y Δ 1 Δ0 Δ+ Δ ++ 3/2 Σ 1 1/2 Σ 0 Σ + 1/2 1 3/2 I 3 Ξ 1 Ξ 0 Ω 3 2 SU(3) Y

213 1 p 2 n Λ p ν, n e, Λ μ p n Λ B + p=< B + ν>, n=< B + e >, Λ=< B + μ > SU(3) K + π + 0 SU(3) Ω SU(3)

214 β W π 0 α = e2 = 1 e c 137 g2 c

215 S S S ρ g

216

217 T μν j μ G μ = T 0μ dv dv G 0 = T00 dv G μ dg μ = 0 G μ G dt μ = M0 2 c 2 M0 2 m 0 ν T μν =0 j μ ν j μ =0 j 0 j i i T 00 T μν 4 4 T 00 T i0 T 0i T ii T ij

218 j 0 v X μ T 00 j 0 Π 1 Λ 1 G μ Π 1 3 Π 3 4 ΠΛ

219 Σ 1 G 0 X μ = T 00 x μ dv Σ 1 v i = dx i = G i dt G 0 v μ = G μ M 0 c J 0 Y μ = j 0 x μ dv Σ 1 J 0 = Σ 1 j 0 dv u i = J i J 0 dτ u μ = Ẏμ = dy μ dτ x μ M μν = Σ ( xμ T ν0 x ν T μ0 ) dv S μν Y μ S μν = Σ [ (xμ Y μ )T ν0 (x ν Y ν )T μ0 ] dv

220 M μν = S μν + Y μ G ν Y ν G μ M μν Y μ G ν Y ν G μ S μν Y μ X μ X μ dm μν =0 dτ Y μ dm μν 0 dτ Y μ Y μ X μ X μ Y μ R μ = X μ Y μ M μν = S μν + R μ G ν R ν G μ X μ M Π S i0 = Σ [(x i Y i )T 00 (x 0 Y 0 )T i0 ]dv L M

221 S μν u ν = G ν u ν R μ m 0 M 0 G ν u ν = m 2 0c 2 t μ s μ t μ = S μν u ν = m 0 cr μ s μ = Sμνu ν = 1ɛ 2 μναβu ν S αβ t μ = m 0 cr μ t s Π 0 Y 0 t 0 s 0 S μν S μν = t μ u ν t ν u ν ɛ μναβ ( s α u β s β u α) X Y t μ s μ t μ = S μν u μ = 0 S μν S μν ɛ μναβ

222 s t Π 0 S μν u μ =0 σ μ t μ s μ X μ Y μ X μ Y μ a ξ μ ξ =1, 2, 3, 4

223 a ξ μ b ξ μ X μ Y μ ω + =(θ +,ϕ +,ψ + ) ω =(θ,ϕ,ψ ) ϕ ± = ϕ 1 ± iϕ 2 θ ± = θ 1 ± iθ 2 ψ ± = ψ 1 ± iψ 2 ϕ 1 θ 1 ψ 1 iϕ 2 iθ 2 iψ 2 + a ξ μ b ξ μ A r± k Bk r± ω ±

224 L p ± ϕ = L± ϕ p ± θ = L± θ p ± ψ = L± ψ H = p i q i L H = 1 [ 2I + 1 2I = 1 2I p 2 + θ + 1 ( 2 sin 2 θ + pψ + + p 2 + ϕ 2p ψ +p + ϕ cos θ +)] [ p 2 θ + 1 ( 2 pψ + p 2 ϕ 2p ψ p ϕ cos θ )] sin 2 θ ( ) p + k p + k + p k pk 1 = 2I = H + + H ( ) p + k p + k + p k p k I S μν S μν u ν = I u μ p k p k A ± B ± H = 1 [ p 2 θ + 1 ( 2 2I sin 2 pψ + p 2 ϕ 2p ψ p ϕ cos θ )] θ p k p k

225 p ± ϕ i ϕ ± p ± θ i θ ± p ± ψ i ψ ± p k p k J i J i [ J ± i, J ± j [ J + k, J j ] [ ] = i J ± k J ± i, J ± j = i J ± k ] [ ] [ = J + k, J j = J + k, J j ] =0 (J ± ) 2 J ± 3 S 3 =J + 3 +J 3 (S ) 2 J + 3 Z = m + Z J 3 Z = m Z; (J + ) 2 Z = l + (l + +1)Z, (J ) 2 Z = l (l +1)Z; S 3Z = m Z, (S ) 2 Z = s (s +1) Z Z m+,m,m (ω +,ω ) l +,l,s (J ± ) 2 =(J ± 1 ) 2 +(J 2 ± ) 2 +(J 3 ± ) 2 (S ) 2 =(S 1) 2 +(S 2) 2 +(S 3) 2 S k m = m + + m

226 m +,m,m,l +,l,s l ± =0, 1, 1, 3, m ± = l ±, l ± +1,..., l ± 1,l ± s = l + + l,l + + l 1,..., l + l m = s, s +1,..., s 1,s SU(2) S i = S + i + S i 1 2 Z ( ) (I 3 ) op Z = i + Z =(m + + m )Z ϕ + ϕ 1 (n) 2 opz = i Z = m Z ψ 1 (Q) op Z =(I z ) op + 1(n) 2 op = i ( ) + ϕ 1 ψ =(m + + m + m )Z 1 (I 3 ) op 1(n) 2 op (Q) op I 3 B Q 2 Q = m + + m + m i 3

227 S/2 m + m Q = I B = i S B Y = B + S I 3 i 3 S/2 I I z 1 p 1 n 2 2 z z m +,m,m e m + = 1 2 m = 1 2 m =0 e + m + = 1 2 m = 1 2 m =0 i 3 S μ 1 2 e + p m + = 1 2 m =0 m = m 0 0 l + l 0

228 1 2 B = m i 3 = m S = m Q = m + + m + m e ν e μ ν μ p n Λ Ξ Ξ Σ Σ Σ π π π K K K

229

230 l + l s ; m + m m G = SO3 + SO3 SO3 m +,m,m D(l + l ) SO3 + SO3 G l + l D( 10) D(0 1 ) 2 2 m + m m D( 1 0) 2 1 p= ; p= ; n= ; n= ; D(0 1 ) 2 V= ; V = ; Λ= ; Λ= ; p n V Λ V p n Ψ= V Λ Ψ G D(l + l ) l + l G

231 Ψ =Ψ γ 4 = ( p n ) V Λ Ξ Σ V D( 1 2 0) D(1 0) = D(00) D(10) 2 D(00) D(10) π π 0 = η = 000; 000 = 1 2 (pp nn) π + = 101; 100 = np π 0 = 101; 000 = 1 2 (pp + nn) π = 101; 000 = pn G = SO3 SO3 + SO3 Y μ X μ

232 e ν Ψ= e μ ν μ ν μ SU(3) G

233 D (l + l ) m m + m Q = m + + m + m D ( 10) 2 e ν e D (0 1) 2 μ ν μ D(l + l ) m m + m Q = m + + m + m D(0 1) p n D( 1 2 0) V Λ D(l + l ) m m + = m Q = m + + m + m D( 11) 2 X X Ξ Ξ D(1 1) 2 Y Y Y Σ Σ Σ D(l + l ) m m + m Q = m + + m + m D(00) + D(10) π π π π D( 1 1 ) 2 2 K K K G =SO3 + SO3 SO3

234 Y X V Y V K p Y + V Y + V Λ Ω 3 2 Λ(1520)

235

236 G SU(3) V

237 G

238 M 0 = m 2 0 h2 a 4π 2 c 2 a Q = h2 2 a 4π 2 a + h2 ä 4π 2 c 2 a p = 2 6m (( ρ) 2 ρδρ) Q s = 2 8m ρ(( θ)2 + sin 2 θ( ϕ) 2 )

239 h 0 u v {u, v} = i ( u v u ) v q i p i p i q i uv vu = i [u, v] p i q i { pi,q j } = δij, { qi,q j } = { pi,p j } =0 ˆp i ˆq i [ ] ] ˆpi, ˆq j = i δij, [ˆqi, ˆq j =[ˆpi, ˆp i ]=0

240 h 0 Ψ

241 ψ ˆr ˆp s x p ˆr = r ˆp = i ˆr ψ ψ(r) r ψ r Ψ(r) 2

242

243

244

245

246

247 4π S i

248 D(l +,l )

249

250

251

252

253

254

255 q Δq Δq θ λ Δq θ h Δp λ Δp = h λ θ = h λ λ Δq, d où Δp Δq = h

256 γ Δp Δq = h

257

258

259

260

261 t x = f(t); v = g(t) x x x +dx ϖdx = ψ (x, t)ψ(x, t)dx v v +dv ϖ 1 dv = ϕ (v, t)ϕ(v, t)dv ϖ ϖ 1 x v ψ(x, t) ϕ(v, t) m ϕ(v, t) = h e 2πi h m mvx ψ(x, t)dx; ψ(x, t) = h e 2πi h mvx ϕ(v, t)dv

262 ϖ ϖ 1 mδv Δx h 2π v x u t x v u x = f(t, u); v = g(t, u) u t x v u

263 F (t, u) t u F (t) =UF(t, u) U U F +G F + Ḡ U F F (t) = F (t, u)g(u)du G(u) U u dw du = G(u) F (t) = F (t, w)dw x(t, u) n x n = f n (t, w)dw x n x n = x n ϖ(x, t)dx x w x x n = w n ϖ(w, t)dw t f n (t, w) =w n ϖ(w, t)

264 n n =0 ϖ(w, t) =1 x n x w + w [0; 1] ϖ(w, t) =1

265

266

267

268

269 λ

270

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290

291

292

293

294 10 13

295 10 13

296

297 h Ψ

298

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300

301

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303

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306 =

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325

326 d ψ = ae i θ φ = be i S S θ b a

327

328 Ψ v = 1 m S

329 R ik 1 2 g ikr = T ik m d2 x dt 2 =

330 ds 2

331 e 1/r r 10 13

332

333 8

334 t 0 t 0 + t

335 :r 2

336 β Δ

337

338

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340

341

342

343

344

345

346

347

348 P (x) Ψ(x) 2

349

350 st

351 P (x) Ψ(x) 2

352

353

354

355 Ψ

356 Γ i kl = { i k,l} + eδ i ka l x μ = x μ + ξ μ dh dh dh S μν = ( δξ μ + ) δξ δx ν ν δx dh μ δξ μ δx ν = ξ ν;μ ψ ξ μ = ψ γ μ ψ. γ μ

357 (γ μ,i ζσ )=g μζ γ μ g μσ γ ζ (J μν,i ζσ )= g μζ I νσ g νσ I μζ + g μσ I νζ + g μζ I μσ J ζμ = γ ζ γ μ γ μ γ ζ C l ψ ( C l ψ γ i ψ + ψ γ i C l ψ ) C l i ( ) iɛa l 2 x l x ν Il ν ( C l ψ γ i ψ + ψ γ i C l ψ ) ξ μ = ψ γ μ ψ δ μν ξ μ ξ μ;ν δ log det(g kl + f kl )dτ =0 A μ g μν R kl 1 2 g klr = 8πγ d log det(g kl + f kl ) dg kl d μ (S μν 1 2 δ μνs ) = h ν

358 log det(g kl + f kl ) d μ j ν =0 g μν δ μν +λθ μν θ μν λ μ λ ψ γ μ ψ =0 μ λ θ μν =0 ψ γ μ ( μ iea μ ) ψ = mψ μ ( ψ γ μ ψ ) =0 μ m =0 ψ g μν f μν

359 u g μν = δ μν + λθ μν (u,u) theta μν (u,u) u u k =(a k + b k r )eiθ k/ r L λθ μν (u,u)=λθ μν (ϕ,ϕ)+δ μν 2m r ϕ = a k e iθ k/ λ = [ (ϕ ϕ) 2 +(ϕ γ 5 ϕ) 2] 1 2 ġ μν = δ μν + λθ μν (ϕ ϕ) ġ μν ϕ γ μ ϕ L ϕ L ψ P L ϕ L (P) = ψ(p) ( ) iθk ψ k = A k exp ( ) iθk ϕ k = a k exp A k (P) = a k (P) μ A k (P) = μ a k (P) φ k (P) = θ k (P) μ φ k = μ θ k L

360 ψ ψ ϕ k varphi A μ F F δf i =Γ i prδ p xδ r x A μ j μ = mϕ ϕ 1/130

361 U 1 Ψ U 1 = ψ γ 1 ψ ϕ

362 V = ψ αψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ + div(ψ αψ) = 0 P + t t div(p V )=0 ( ) psi 2 m γ μ X ψ μ W μ = 1 2i W μ = P V = ψ αψ μ =1, 2, 3, W μ = ψ ψ μ =4 ( ) ψ ψ X μ ψ ψ X μ + X ν ψ σ μν ψ σ μν = γμ γ ν γ ν γ μ 2 A V = S W μ (X) B B ψ 2 ψ 2

363 W μ = ψ αψ B

364

365 P (x) = i δ(x x i ) P (x) P k = P (x)e i kx dx = i e ikx i k 0 P k λ 0 P k λ 0 V = S(x) S(x) V = S(x) V = S(x)+ A(x) A(x)

366

367

368 ( ) 3 r Λ 0 1 Λ 0 1 r r r 1 ( ) 3 r Λ 0 8 Λ

369

370

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372

373

374

375 Y ++ Y + Y 0 Q =2, 1, 0 S =1B =1i 3 =1, 0 1 Y + K p K p m Y + = 1500Mev

376 ΔQ = ±ΔS

377 S =1B =1 S O 4 (+ + ++) = SO 3 SO 3 SO 3 SO 3 SO 3 I 3 SO 3 Y = S + B S =1 B =1 2 2 V Mev

378

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390 i j k 1 3 u 1 u = u 2 u 3 u v u v = n g ij u i v i i n i u i v i = u i v i g ij e i g ij = e i e j g g ij

391 u i = g ij u j g ij = g ij u i = u i (g ij )= u v w i = ɛ i jku j v k ɛijk ɛ ijk = +1 (i, j, k) =(1, 2, 3), (2, 3, 1) (3, 1, 2), 1 (i, j, k) =(3, 2, 1), (1, 3, 2) (2, 1, 3), 0 i = j j = k k = i. w 3 = ɛ 3 jku j v k = ɛ 3 12u 1 v 2 + ɛ 3 21u 2 v 1 = u 1 v 2 u 2 v 1 μ ν A A μ =(a 0, a)

392 (g μν )= a μ b μ a μ b μ = g μν a μ b ν = a 0 b 0 a b g μν (+,,, ) (, +, +, +) a μ b μ = g μν a μ b ν = a 0 b 0 + a b a μ b μ A μ = g μν A ν a 0 = a 0 a i = a i A μ =(a 0 a) d dx x i i i = ( ) x 1, x 2, x 3

393 f f = 1 fe fe fe 3 u u = 1 u u u 3 u u = ɛ i jk j u k e i 2 = f A μ μ = x μ ( ) 1 μ f = c tf, f μ A μ = 1 c ta 0 + a = μ μ = 1 c 2 2 t 2

394 ϕ(x,t) Ψ(x,t) ρ t + (ρv) =0 ρ = ϕ 2 v P = Ψ 2 P t + (P v) =0 F (x,t) = P (x,t)/ρ(x,t) Δt ν(t) t x x x x dx δt Δt ν(t)δtk(x, x,t)

395 v K(x, x,t)dx =1 x ρ(x,t)= v K(x, x,t).ρ(x,t).dx ρ Δω(x,t) ΔN = P (x,t).δω(x,t) δt δδn = δp(x,t).δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) Δω(x,t) δδn Δω(x,t) ν(t)δt Δω(x,t).P (x,t).k(x, x,t).dx

396 ν(t)δt Δω(x,t).P (x,t).k(x, x,t).dx = ν(t)δt.δω(x,t).p (x,t) [ δδn = ν(t)δtδω(x,t) ] P (x,t).k(x, x,t).dx P (x,t) = δp(x,t)=δδn/δω(x,t) δp(x,t) δt [ = ν(t) ] P (x,t).k(x, x,t).dx P (x,t) Δω(x,t) P (x,t)=f (x,t).ρ(x,t) δδn = δp(x,t).δω(x,t)=δf(x,t).ρ(x,t).δω(x,t) δδn [ ] δf(x,t) = ν(t) δt F (x,t). ρ(x,t) ρ(x,t) K(x, x,t).dx F (x,t) = ν(t) [ F (x,t).l(x, x,t).dx F (x,t) ] L(x, x,t)=k(x, x,t). ρ(x,t) ρ(x,t) ρ(x,t) L(x, x,t)dx =1 δτ = ν(t)δt ν(t) ɛ>0 δf(x,τ) δτ = F (x,τ).l(x, x,τ).dx F (x,τ) F = Cste x M (τ) x m (τ) x F (x,τ) M(τ) m(τ) τ dm(τ) dτ + M(τ) M(τ) dm(τ) dτ + m(τ) m(τ) M(τ) m(τ) F D(x M ) D(x m ) M(τ) m(τ) λ(τ) =M(τ) m(τ)

397 dλ dτ lim τ dλ(τ) dτ dλ(τ) dτ 0 λ(τ) =0 = λ(τ)+ v [ L(x, x M,τ) L(x, x m,τ) ] F (x,τ).dx dλ(τ) dτ = λ(τ)+ v L(x, x M,τ)(F (x,τ) m(τ)).dx v L(x, x m,τ)(f (x,τ) m(τ)).dx 1 dλ(τ) λ(τ) dτ = 1+ v { L(x, x M,τ) L(x, x m,τ) }. F (x,τ) m(τ).dx λ(τ) lim τ λ(τ) =0 F Cste M m lim τ λ(τ) =λ l 0 M( ) = M l = Cste m( ) = m l = Cste { } v L(x F (x, x M, ), ) m l dx λ l =1+ { } L(x F (x, x m, )., ) m l dx λ l F (x, ) =M l D(x M ) τ F (x, ) =m l D(x Mm ) τ F (x,τ) m(τ) λ(τ) 1 τ M l m l τ ɛ>0 F (x,t) 1 lim P (x,τ)=ρ(x,τ) t

398 ρ = P b i b i b 1 = cos θ 2 cos ψ + ϕ 2 b 3 = sin θ 2 cos ψ + ϕ 2 b 2 = cos θ 2 sin ψ + ϕ 2 b 4 = sin θ 2 cos ψ ϕ 2 (b 1,b 2,b 3,b 4 ) b i b b b b 2 4 =1 {Ψ a(x ), Ψ b (x)} = δ ab i δ(x x ) H = 2 2m 2 ( iea c )2 Ψ + φ Ψ 2 + e 2mc Ψ (σ B)Ψ dx {b 1,b 2 } = {b 3,b 4 } =1 et {b 1,b 3 } = {b 2,b 4 } = {b 2,b 3 } = {b 2,b 4 } =0 b 1 b 2 b 3 b 4 β S {S x,s y } = S z

399 ψ = tan 1 b 2 b 1 + tan 1 b 4 b 3 ϕ = tan 1 b 2 b 1 tan 1 b 4 b 3 S k ± ± p ± ϕ = S 3 p ± θ = S ± 1 sin ϕ ± + S ± 2 cos ϕ ± p ± ψ = S ± 1 sin θ ± cos ϕ ± + S 2 sin θ ± sin ϕ ± + S 3 cos θ ± S k± A ± S ± 1 = p ± θ sin ψ ± p ± ψ cot θ ± cos ψ ± cos ψ± + p ± ϕ sin θ ± S ± 2 = p ± θ cos ψ ± p ± ψ cot θ ± sin ψ ± sin ψ± + p ± ϕ sin θ ± S ± 3 = p ± ψ S k ± B ± S ± 1 = p ± θ sin ϕ ± + p ± ϕ cot θ ± cos ϕ ± cos ϕ± p ± ψ sin θ ± S ± 2 = p ± θ cos ϕ ± p ± ϕ cot θ ± sin ϕ ± sin ϕ± + p ± ψ sin θ ± S ± 3 = p ± ϕ p ± ϕ i ϕ ± p ± θ i θ ± p ± ψ i ψ ± S k J k A ±

400 ( J ± 1 = i sin ψ ± cot θ ± cos ψ ± + θ ( ± ψ ± J ± 2 = i cos ψ ± cot θ ± sin ψ ± + θ ± ψ ± J ± 3 = i ψ ± J k B ± ( J ± 1 = i sin ϕ ± + cot θ ± cos ϕ ± θ ( ± ϕ ± J ± 2 = i cos ϕ ± cot θ ± sin ϕ ± + θ ± ϕ ± J ± 3 = i ϕ ± cos ψ± sin θ ± sin ψ± sin θ ± cos ϕ± sin θ ± sin ϕ± sin θ ± ϕ ± ) ϕ ) ± ) ψ ± ) ψ ±

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