2 Λeclass.e class + γ 0 ( n),

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7 Ï Ö ÐÐ Ø Ø Û Ú Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ø Ù Ò ÙÔ Ö Ö ÒØ Ð Ö Ò ÐÐ Ø Ðº ½ µº Ï Ð Ó Ö ÐÐ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒ Ä ÑÑ º¾ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒ µ Ä Ø θ : R R ÓÒØ ÒÙÓÙ ÒÓÒ Ö Ò Ð Ö ÙÒØ ÓÒ Ò u Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒµ Ó ½ µ Ø Ò θu) Ð Ó Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ôº ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒµº ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ä ÑÑ Û Ö Ö ØÓ ËÓÒ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½½µº Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Ì ÓÖ Ñ º ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ µ Ä Ø u ÐÓ ÐÐÝ ÓÙÒ Ù ÙÒØ ÓÒ Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ò v ÐÓ ÐÐÝ ÓÙÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Ù¹ Ô Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µº ÙÑ Ø Ø u x) = u, x) v, x) = v x) Ò R n Ø Ò ÙÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ H ) u v Ò R n [, T)º ÈÖÓÓ Ó Ø ÓÖ Ñ º Ì ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ö Ø Ö Ð Ð Û Ò Ø ÙÒØ ÓÒ u Ò v Ö ÓÙÒ ÓÖ Ò Ø Ò Ò ÓØÓ ½ µº Ï Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ö ÒÓØ ÓÙÒ Ø Ù ØÓ Ù Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒ º Ï Ø Ò ÓÒ Ö Ø ØÖÙÒ ØÙÖ ÙÒØ ÓÒ T k = maxminx, k), k)º ÓÖ Ú ÖÝ k Û Ø Ò Ú T k u) T k v) Ò Ý Ð ØØ Ò k Ó ØÓ Ò Ò ØÝ Û Ó Ø Ò Ø Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ º Ü Ø Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ò ÓÖ Ø ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñµ Ä Ø T > º Ì Ò ÙÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ H ) Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ú Ó ØÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ½ µ Ò R n [, T)º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÖ Ú ÖÝ x, t) R n, T) u x) ω F t) c L R n [,T))B t ux, t) u x) + ω F t) + c L R n [,T))B t. Û Ö ω F Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Ò Ú Ð tº ÈÖÓÓ Ó Ø ÓÖ Ñ º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ñ Ý È ÖÖÓÒ³ Ñ Ø Ó Ö Ò ÐÐ Á Ä ÓÒ ½ µ Ø Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ù ÓÐÙØ ÓÒ U Ö Ôº ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ U + µ Û Ø Ý U x, ) u x) U + x, )º Ë Ò u ÒÓØ ÓÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÒÒÓØ Ù ÓÖ ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒº Ï Ò Û Ø ØÙ Ý Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ u t + FDu, D u) =, ux, ) = u x). Ï ÙÑ Ò Ö Ø Ø Ñ Ø Ø u C b = u C, C, Du L, D u L C}º Ï Ø u ± = u ±C 1 t Û Ø C 1 = inf x R n F Du, D u ), F Du, D u )} C 1 Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÓÙÒ Ó Du Ò D u µº ÁØ Ø Ò Ý ØÓ Ø Ø u + ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò u Ù ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Ò Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ ½ µ t [, T), x R n, ux, t) u x) C 1 t. ½ µ

8 ÅÓÖ ÓÚ Ö ux, t + h) ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Ó Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Û Ó Ø Ò ux, t + h) ux, t) supux, h) u ) C 1 h. Ï ÒÓÛ ÙÑ Ø Ø u ÓÒÐÝ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ï Ø u ǫ = u ρ ǫ Û Ö ρ ǫ Ö ÙÐ Ö Ò ÕÙ Ò º º ρ ǫ = 1 ǫ ρ n ǫ ) Û Ö ρ C c Rn, R) Ò Ø ρ, ÙÔÔρ) B, 1), ρx)dx = 1. R n Ì Ò Ø Ý ØÓ Ø Ø u ǫ Cb Ò Du ǫ L R n ), D u ǫ L R n ) BC ǫ º ÅÓÖ ÓÚ Ö u u ǫ L R n ) B ǫº ÁÒ Ò ρ R n ǫ x)dx = 1 u u ǫ R x) u x) u x y) ρ ǫ y)dy n B y ρ ǫ y)dy B,ǫ) ǫb ρ ǫ y)dy = ǫb. B,ǫ) Ï ÒÓØ u ǫ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ u ǫº Ì Ò Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ u ǫ, t) u ǫ, t) L R n ) u ǫ u ǫ L R n ) Ò Ó u ǫ ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ò u ǫ ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐݵ ØÓ u Û Ý Ø Ð ØÝ ÓÖ Ò Ø Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º Ó ÖÐ µ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Û Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ u º Ï Ø Ò Ú Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ u ǫ, t) u, t) L R n ) u ǫ u L R n )º Ï Ø Ò Ù u, t + h) u, t) L R n ) u u ǫ L R n ) + u ǫ, t + h) u ǫ, t) L R n ) B ǫ + C 1 B, B ) C h. ǫ Ý Ø Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÓÒ ǫ Û Ó Ø Ò Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó u ω F Û Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ ) B º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ù Ò Ø ÓÑ ØÖ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ø Ø C 1 B, BC ǫ 1 ǫ Ò Ó ω F h) Ú Ð hº Ê Ñ Ö º ÁÒ Ø Ó ÐÓ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ º º Û Ø Ø ÙÒØ ÓÒ F Ú Ò Ý ½ µ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÖÓÓ Ò ÓÙÒ Ò Ò ÓØÓ ½ ÓÒ Ð ¹ Ñ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÏÙÐ Ë Ô µ Ó Ø Ñ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÑÓØ ÓÒº Ï Ð Ó Ö Ñ Ö Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ô Û Ø Ä Ô ØÞ ÓÒ Ø ÒØ Du L R n ) = B Ù Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ò Ô µº Ï ÒÓÛ ÓÒ ØÖÙØ Ù Ò ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ö Ð º Ï Ø U + x, t) = ux, t) + c L R n [,T))B tº Ì Ò DU + L R n,t)) Du L R n,t)) B Ò U + ÓÐÙØ ÓÒ Ó v t c L R n [,T))B + FDv, D v) =, vx, ) = u,

9 Ò Ó U + ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Ò Ø U + x, t) =ux, t) + c L R n [,T))B t u x) + ω F t) + c L R n [,T))B t. Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û ÓÒ ØÖÙØ Ù ÓÐÙØ ÓÒ U Ù Ø Ø U x, t) u x) ω F t) c L R n [,T))B t Ý ØØ Ò U x, t) = ux, t) c L R n [,T))B tº ÌÓ Ú Ø ÔÖÓÓ Ø Ù ØÓ ÔÔÐÝ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ ØÓ U Ò U + º ¾ Ê ÙÐ Ö ØÝ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ä ÑÑ º Ê ÙÐ Ö ØÝ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñµ ÙÑ Ø Ø Du L R n ) B Ò u x n Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ º Ø b Û Ø B > Ò b > º Ì Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Du, t) L R n ) Bt) Ò u x n bt), Û Ø Bt) = B e Lct Ò bt) = b B e Lct 1)º ÅÓÖ ÓÚ Ö u ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ñ Ò Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ñ ω u Ò Ý x R n, s, t [, T), ux, t) ux, s) ω u t s ), Ø T ω u δ) ω F δ) + c L B δ + ω c δ) Bs)ds, Û Ö ω c Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ñ Ó c Ò ω F Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ñ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½ µ Ò Ú Ð tº ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ä Ô ØÞ Ø Ñ Ø Ò Ô Û ÙÑ Ò Ö Ø Ø Ñ Ø Ø u ÓÙÒ º Ï Ø φ ǫ x, y, t) = Bt) x y + ǫ ) 1/ º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø ux, t) uy, t) φ ǫ º Ï Ø M = ÙÑ Ø Ø M > º Ì Ò Û Ø M = sup x,y,t) R n R n [,T) sup ux, t) uy, t) φ ǫ x, y, t)}, x,y,t) R n R n [,T) ux, t) uy, t) φ ǫ x, y, t) α x + y ) γ }. T t ÓÖ α >, γ > Ñ ÐÐ ÒÓÙ Û Ú M > º ÅÓÖ ÓÚ Ö u ÓÙÒ Ó Ø ÙÔÖ ÑÙÑ Ö Ò x, ȳ, t) Û Ø x ȳµ Ò α x + ȳ ) C Ò Ó α x Ò αȳ º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø t > º ÁÒ ÙÑ Ø ÓÒØÖ Öݺ Ì Ò Û Ú u x) u ȳ) φ ǫ x, ȳ, ) >, º º u x) u ȳ) > B x ȳ + ǫ ) 1 > B x ȳ,

10 Û Ø ÙÖ Ò Du L R n ) B º Ï Ø p = D x φ ǫ = x ȳ + ǫ ) 1/ x ȳ)bt) = Dy φ ǫ Ù x ȳµ, Z = Dx φǫ = x ȳ + ǫ ) 1/ I x ȳ + ǫ ) ) 3/ x ȳ) x ȳ) Bt) = Dy φǫ, ) A = D φ ǫ Z Z =. Z Z Ì Ò Ý Ô Ö ÓÐ Ú Ö ÓÒ Ó Á ³ Ä ÑÑ Ö Ò ÐÐ Á Ò Ä ÓÒ ½ µ ÔÔÐ ØÓ ũ = ux, t) α x, ṽy, t) = vy, t) + α y Ò φx, y, t) = φ ǫ x, y, t) + γ T t ÓÖ Ú ÖÝ β Ù Ø Ø βa < I Ø Ö Ü Ø τ 1, τ R Ò X, Y S n Ù Ø Ø τ 1 τ = γ T t) + L cbt) x ȳ + ǫ ) 1, τ 1, p + α x, X + αi) P + u x, t), ËÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ 1 β τ, p αȳ, Y αi) P vȳ, t), ) ) I X I βa) I Y 1 A. τ 1 c x, t) p + α x + F p + α x, X + αi), τ cȳ, t) p αȳ + F p αȳ, Y αi). Ì Ñ ØÖ Ü Ò ÕÙ Ð ØÝ ÑÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ø X Y Ó Ý Ù Ò Ø ÐÐ ÔØ ØÝ Ó F Û Ù ÖÓÑ Ø Ø Ý Ù ØÖ Ø Ò τ cȳ, t) p αȳ + F p αȳ, X αi). γ T t) + L cbt) x ȳ + ǫ ) 1 c x, t) p + α x + cȳ, t) p αȳ +F p + α x, X + αi) F p αȳ, X αi). Ï Ð Ø α Ó ØÓ p Ò X Ö ÓÙÒ Ó Û Ò ÜØÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ù ÕÙ Ò Ò Û Ø ÐÐ ÒÓØ p Ò X Ø Ö Ð Ñ Øµ γ T t) + lim L c Bt) x ȳ + ǫ ) ) 1 + c x, t) + cȳ, t)) p + F p, X) F p, X). α ÆÓÛ p Ø Ö ÓÖ F p, X) = F p, X)º ÅÓÖ ÓÚ Ö L c Bt) x y + ǫ ) 1/ cx, t) p + cy, t) p L c Bt) = x y + ǫ ) 1/ x y Bt) x y + ǫ x y + ǫ ) 1/ L c Bt) x y L c Bt) x y + ǫ x y + ǫ ) 1/ Lc Bt) L c Bt)), ) cx, t) cy, t)) ) ½¼

11 Ó γ T t), Û Ø ÙÖ º ËÓ ux, t) uy, t) φ ǫ º Ý Ð ØØ Ò ǫ Ó ØÓ Û Ó Ø Ò ux, t) uy, t) Bt) x y. Ü Ò Ò x Ò y Ý Ð ux, t) uy, t) Bt) x y, Û Ø Ú Ø Ö Ø Ö ÙÐØ Ò Ø Û Ö u ÓÙÒ º Á u ÒÓØ ÓÙÒ Û ÓÒ Ö Ø ØÖÙÒ ØÙÖ ÙÒØ ÓÒ T k = maxminx, k), k)º Ì Ò T k u) ÓÙÒ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó T k ux, t)) T k uy, t)) Bt) x y. Ä ØØ Ò k Ó ØÓ Ò Ò ØÝ Ý Ð ux, t) uy, t) Bt) x y, Ò Û Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ñ Ø º ÓÖ Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Û Ø ÓÖ x = x, x n ) u λ x, t) = ux, x n + λ, t) λbt)º Ï Ú u λ x, x n, ) =ux, x n + λ) λb ux, x n, ). ÅÓÖ ÓÚ Ö u λ t + G x, x n, t, Du λ, D u λ) =u t λb t) cx, x n, t) Du + F Du, D u ) =u t + λb L c e Lct cx, x n, t) Du + F Du, D u ) u t + λb L c e Lct cx, x n + λ, t) + λl c ) Du + F Du, D u ) λb L c e Lct λb L c e Lct + u t + G x, x n + λ, t, Du, D u ), Û Ö u t, Du, D u Ö Ø Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ x, x n, t)º Ì ÛÖ ØØ Ò Ò ÓÖÑ Ð Û Ý Ò Ø Ò Ù Ø Ý Ù Ò Ø Ø ÙÒØ ÓÒº ËÓ Û Ó Ø Ò Ø Ø u λ ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒº Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Û Ù u λ u Ò Ó ux, x n + λ, t) ux, x n, t) λbt). Û Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÒ Ø Ñ Ø º ÁØ Ø Ù Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛÒ Ø Ø u ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ñ º Ï Ø δ > º ÓÖ Ú ÖÝ x, t) R n, T) Ù Ø Ø t + δ T Û Ø vx, t) = ux, t + δ)º Ì Ò v Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ó w t ω c δ)bt + δ) cx, t) Dw + F Dw, D w ) = ÓÒ R n, T δ) Ò Ø Ò Ó Ò Ø ÓÒ º½ ii)º ÁÒ Û Ú v t c x, t + δ) Dv + F Dv, D v ) =, ½½

12 Ò c x, t + δ) Dv ω c δ)bt + δ) cx, t) Dv, Û Ø Ú Ò ÓÖÑ Ð Û Ý v t ω c δ)bt + δ) cx, t) Dv + F Dv, D v ). ÅÓÖ ÓÚ Ö u+ω c δ) t+δ Bs)ds ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñº ËÓ ũ = u+sup x R n ux, δ) u x)) + + ω c δ) t+δ Bs)ds ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò vx, ) ũx, )º Ý Ì ÓÖ Ñ º Ò Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ¹ ÔÐ Û Ø Ò Ú Ë Ñ Ð ÖÐÝ v ÙÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó ux, t + δ) ux, t) sup x R n ux, δ) u x)) + + ω c δ) ω F δ) + c L B δ + ω c δ) T t+δ Bs)ds. w t + ω c δ)bt + δ) cx, t) Dw + F Dw, D w ) = Bs)ds Ò ũ = u sup x R n ux, δ) u x)) ω c δ) t+δ Bs)ds Ù ÓÐÙØ ÓÒº ËÓ Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Û Ú ux, t) ux, t + δ) ω F δ) + c L Bδ + ω c δ) ω F δ) + c L B δ + ω c δ) t+δ T Bs)ds Bs)ds, º º T ux, t) ux, t + δ) ω F δ) + c L B δ + ω c δ) Bs)ds, Û Ø Ú Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ð ÑÑ º Ì ÒÓÒ ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º½ ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º½ Û Û ÐÐ Ò Ø Ø Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Ø Ä ÑÑ º½ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ µ Ä Ø u 1 CR n ) Ø Ý Ò u 1 x n b Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÓÖ ÓÑ b > Ò u L ÐÓ Rn ) Ø Ý Ò Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒº Ì Ò Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ñ Ø [u ] [u 1 ] L 1 ÙÒ b u u 1 L. ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ä ÑÑ Û Ö Ö ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó ÐÚ Ö Þ Ø Ðº ¾ Ò Ø n = Û ÔØ Û Ø ÓÙØ ÙÐØÝ ØÓ Ø Ó ÒÝ Ñ Ò ÓÒº ½ µ ½¾

13 Ä ÑÑ º¾ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò ÕÙ Ð Øݵ ÓÖ Ú ÖÝ f L 1 ÙÒ Rn ) Ò g L ÒØ Rn ) Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ ÙØ f g ÓÙÒ Ò Ø ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Û Ö Ö ØÓ ÐÚ Ö Þ Ø Ðº º f g L R n ) f L 1 ÙÒ Rn ) g L ÒØ Rn ). Ä ÑÑ º ËØ Ð ØÝ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ú ÐÓ Øݵ Ä Ø T > º Ï ÓÒ Ö ÓÖ i = 1, ØÛÓ Ö ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ u i t = c i x, t) Du i F Du i, D u i) Ò R n, T), u i x, ) = u x). ¾¼µ Û Ö c i Ø Ý Ø ÙÑÔØ ÓÒ H )ii) u Ø H )iii) Ò F Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ HF)º Ì Ò ÓÖ Ú ÖÝ t [, T) Û Ú u 1, t) u, t) L R n ) c 1 c L R n,t)) t Bs)ds, Û Ö u i Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ¾¼µ Ì ÓÖ Ñ º µ Bt) = B e Lct Û Ø L c = sup i L c i L c i Ø Ä Ô ØÞ ÓÒ Ø ÒØ Ó c i µº ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Ï Ø K = c 1 c L R n,t))º Ï Ö Ñ Ö Ø Ø u 1 Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÁÒ Û Ú u t c x, t) Du + F Du, D u ) KBt) =. u 1 t c x, t) Du 1 + F Du 1, D u 1) c 1 x, t) Du 1 F Du 1, D u 1) c x, t) Du 1 + F Du 1, D u 1) c 1 c L R n,t))bt) KBt). ÁØ ÖÓÙØ Ò Ü Ö ØÓ Ø Ø Ø Ö ÒØ Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ ØÙ ÐÐÝ ÓÐ Ò Ø Ú Ó ØÝ Ò º ÅÓÖ ÓÚ Ö u + K t Bs)ds ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñº Ý Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Ì ÓÖ Ñ º µ Û Ù ÖÓÑ Û Ø Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ì ÓÖ Ñ º½º ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º½ u 1 u + K t Bs)ds. u 1, t) u, t) L R n ) c 1 c L R n,t)) t Bs)ds. Ï Ø ωδ) = ω F δ) + c L 1B δ Û Ö ω F Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó ½ µ Ò Ú Ð tº ½

14 Ï Ò Ø Ô E = u L loc Rn [, T )), s.t. Dux, t) B, u x, t) b x n u ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ñ Ò ω u δ) ωδ) Û Ö ω u Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ñ Ó uº ÓÖ u E Û Ø cx, t) = c [u, t)])x)º Ï Ø Ø c ÓÙÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ô Û Ø L c = c BV Ä Ô ØÞ ÓÒ Ø Òص Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ñ º ÁÒ ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÖ Ú ÖÝ t c L R n [,T )) sup c L 1 [u, t)] L R n ) t R c L1 R n ). Ò ÐÐÝ ÓÖ < t, s < T Dc, t) L R n ) = Dc [u, t) L R n ) c BV [u, t)] L R n ) c BV. cx, t) cx, s) = c [u, t)])x) c [u, s)])x) = c [u, t)] [u, s)])x) c L ÒØ [u, t)] [u, s)] L 1 ÙÒ Rn ) 4 c L ÒØ u, t) u, s) L R b n ) 4 c L ÒØ ω u t s ) b 8 c L ÒØ ω t s ), b Ó c ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ñ Ò ω c δ) 8 c L ÒØ b ωδ)º ÓÖ u E Û Ø Ò Ò v = Φu) Ø ÙÒ ÕÙ Ú Ó ØÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ì ÓÖ Ñ º µ Ó v t = c [u]) Dv FDv, D v) Ò R n, T ), vx, t = ) = u x) Ò R n. ¾½µ Ï ÓÛ Ø Ø Φ : E E ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø Φ Û ÐÐ Ò º Ï Ú Dv, t) Bt) B e LcT B Ý Ò Ø ÓÒ Ó T v Ä ÑÑ º µº ÅÓÖ ÓÚ Ö x n bt) = b B e Lct 1) Ä ÑÑ º µ Ò Û Û ÒØ v x n b Ó Ø Ù ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø B e Lct 1) b e Lct b B + 1 ½

15 ) ln b B + 1 t, L c Û ØÖÙ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ó T º ÁØ Ø Ù Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛÒ Ø Ø v ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ø ω v δ) ωδ)º ÆÓÛ Ý Ø Ø Ñ Ø Ó Ä ÑÑ º ÓÒ Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ñ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ú T ω v δ) ω F δ) + c L B δ + ω c δ) Bs)ds. Ë Ò c L R n [,T )) c L 1 Ø Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø ω c δ) T 8 c L T ÒØ ωδ) Bs)ds ωδ) b 1 Lc T Bs)ds ) e LcT 1 T ln L cb 8B c L ÒØ Û ØÖÙ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ó T Ò Ó v Eº b 8 c L ÒØ b 8B c L ÒØ ) + 1 L c, Bs)ds ωδ) º º ÁØ Ø Ù Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛÒ Ø Ø Φ ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÓÖ v i = Φu i ) ÓÖ Ò ØÓ Ø Ä ÑÑ Ø º º¾ Ò º½ Û Ú v v 1 L R n,t )) B T c [u ] c [u 1 ] L R n,t )) B T c L ÒØ Rn ) sup t,t ) [u, t)] [u 1, t)] L 1 ÙÒ Rn ) 8B T c L ) u u 1 ÒØ b Rn L R n,t )) 1 u u 1 L R n,t )). Ò Ó Φ ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÒ E Û ÐÓ Ø ÓÖ Ø L ØÓÔÓÐÓ Ýº ËÓ Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ú Ó ØÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ó µ Ò E ÓÒ, T )º Ê Ñ Ö º ÌÓ Ö ÓÙÖÓÙ Û ÓÙÐ ÓÒ Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó E Û Ø ÐÐ Ó ÒØ Ö u Ò ÛÖ Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ó E u = ũ + u Û Ø ũ ÓÙÒ º Ì Ò Û ÓÙÐ Ñ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÒ ũ Ò Û Û ÐÐ Ó Ø Ò Ø Ñ Ö ÙÐغ ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ì ÙØ ÓÖ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò º ÖРȺ Ö Ð Ù Ø º Ú ÒÖ º ÁÑ ÖØ Ò Çº Ä Ý ÓÖ ÖÙ Ø ÙÐ Ù ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð º Ì ÙØ ÓÖ Ð Ó ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò Çº ÐÚ Ö Þ ÓÖ ÒØÖÓ Ù Ò Ñ ØÓ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ú Ó ØÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÖ Ñ ÒÝ ÒÐ Ø Ò Ù ÓÒ Ò Êº ÅÓÒÒ Ù ÓÖ Ø ÑÙÐ Ø Ò Ò ÒÖ Ò Ù ÓÒ º Ì ÛÓÖ Û ÙÔÔÓÖØ Ý Ø ÓÒØÖ Ø Â ½¼¾ ÐÐ Á ÙÒ Ö Ù Ø ÙÒ Ö ÙÖ Ó Ø Ö Ò Å Ò ØÖÝ Ó Ê Ö ¾¼¼ ¹¾¼¼ µº ½

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