Cours de Mécanique des Milieux Continus

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1 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Cos de Méanqe des Mle Conns Année solae 4 5 Mhel MAYA

2 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Ce os es en onsane améloaon en pae gâe a eos qe vos pove appoe pa vos ommenaes. Ces denes son les benvens sos fome de mals à l adesse : ans le ade des améloaons, n aval es fa po avo ne veson mlméda sonoe. L avanemen de e aval es onslable s : Mas l es ass possble de ove d aes essoes s : 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

3 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Sommae Sommae... espons de la Méanqe des Mle Conns... 5 omane d'éde... 5 Hypohèse de onné... 6 aables d'édes... 8 Réféenels - Répèes... 8 espon Lagangenne... 9 espon léenne... évaon empoelle... éfomaons d'n mle onn... ense Gaden... emple dans le as d'ne défomaon homogène aale... 4 de dmensonnelle des défomaons... 4 nepéaon des éslas... 6 Base pnpale... 8 ense des défomaons lnéasé... 8 de des pees pebaons... eons pnpales ; défomaons pnpales... Repésenaons gaphqes... 4 Conons de ompablé... 6 esse de défomaon... 8 a de défomaon lagangen... 8 a de défomaon eléen... 9 nepéaon d ense a de défomaon... a de onane dans les mle onns... Los de onsevaon... évée palae d ne négale de volme... héoème de la dvegene... héoème de l négale nlle... pesson généale d ne lo de onsevaon... Conanes dans n domane maéel... 4 Lo fondamenale de la méanqe... 4 ee onane... 5 ense des onanes... 6 qlbe dynamqe... 8 Popéés d ense des onanes /8/4 Méanqe des Mle Conns Page

4 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Los de Compoemen des mle onns Blan des qaons héoème de l énege néqe hemodynamqe des mle onns Peme Pnpe de la hemodynamqe Seond Pnpe de la hemodynamqe... 5 qaon de la hale... 5 hemo-élasé lnéae... 5 Pemèe appohe de l élasé lnéae... 5 eème appohe de l élasé lnéae Convenon d'ée Symée plane Maéa ohoope Maéa soope ansvese... 6 Maéa soope... 6 lasé lnéae... 6 Lo de ompoemen... 6 qaons spplémenaes en élasé qaons de NAR qaons de BLRAM Cèes de lme élasqe Les éslas d essa Les dfféens èes... 7 Les shémas de ésolon... 7 héoème d né... 7 Shémas de ésolon emple d applaon lasé bdmensonnelle éfnon des éas plans Fonon d Ay... 8 emple d applaon : fleon smple d ne poe eanglae... 8 lasé plane en oodonnées polaes Applaon en oodonnées polaes Qelqes fomles lasé lnéae en oodonnées polaes /8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

5 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY espons de la Méanqe des Mle Conns omane d'éde L'obef de e os es de pésene (hélas snemen) la méanqe des mle onns. Nos allons ove dans e os l'applaon d pnpe fondamenal de la méanqe à os ypes de domanes maéels. n pale nos poons nos néesse ass ben à des domanes ayan des ompoemens de ops solde o des ompoemens de flde (lqde o ga). La généalé de e os appaaî ans évdene. C Lqde éene senopqe Compesson soheme Pon qe K Mélange dphasqe haffemen sobae ape l es à noe qe la dsnon ene es dfféens éas de la maèe n'es pas évdene. Ans ommen ne pas s'neoge devan le phénomène de hangemen d'éa lqde-vape-lqde po n yle engloban dans le dagamme empéae - nope le pon K somme de la obe d'ébllon s kj/k kg Le donnae ne nos ade pas palèemen dans noe démahe de dsnon. Ans «Le Pe Laosse» donne les défnons svanes : *Flde Se des ops (ga e lqdes) q n'ayan pas de fome pope, son défomables sans effo. *Ga o flde aéfome (q a les popéés physqes de l'a (flde gae q fome l'amosphèe)). Un des os éas de la maèe, aaésé pa la ompessblé e l'epansblé. *Lqde Q ole o q end à ole. Se d'n éa de la maèe pésené pa les ops n'ayan pas de fome pope, mas don le volme es nvaable. *Solde Q a ne fome pope. Commen ave es défnons ove la fonèe ene n solde pls o mons mo e n lqde pls o mons vsqe? Le sable es-l n solde o n flde? Ceanes penes on n ompoemen de solde mas apès bassage devennen fldes. Le vee es n solde à noe éhelle de emps, mas ave les sèles, on onsae qe 'es n lqde à ès foe vsosé. Le yao pe êe onsdéé omme n flde à mémoe. enoe nos ne dons en des Allages à Mémoe de Fome (AMF). 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

6 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Comme on pe le onsae, la déemnaon n'es pas smple e pe êe fonon de nombe paamèes (Pesson, empéae, emps...). n onséqene, on pe onsdée qe la démahe d méanen q onsse à egope dans n sel ensegnemen l'éde méanqe de es dfféens éas de la maèe es légme, mas qelle sqe de se hee à de nombeses dfflés. L'éde de es dfféens ompoemens es appelée la Rhéologe. Po mene à ben ne éde de méanqe, la noon de éféenel es essenelle. 'ne pa, afn de onnaîe les évolons némaqes d'n domane maéel on deva l assoe n éféenel, e d'ae pa le Pnpe Fondamenal de la Méanqe s'appe s l'esene d'n epèe pvlégé appelé "Repèe Galléen". Un epèe es défn pa la donnée d'ne base veoelle assoée à ne ogne. l es à noe q'en an as l n'es fa l'oblgaon d'ne base ohonomée. Ben évdemen, po des qesons de smplfaons, nos essaeons oos d'employe de elle base, mas nos poons ass onsae qe se a défomaons mposées à noe domane, nos ne poons pas onsammen onseve ee noon d'ohogonalé. Le méanen es ans o naellemen gdé ves l'lsaon des noaons ensoelles. A e se, l es à noe qe l'algèbe e l'analyse ensoelle pofessées en mahémaqe son des ensegnemens deemen sss de noons méanennes. Le mo ense ne poven-l pas d mo enson? Ans on pe onsae e qe la sene méanenne a appoé à la onnassane des aes senes. Cee emaqe pe ass ben s'adape a méhodes de ésolons nméqes foemen sses de la méhode des élémens fns. Hypohèse de onné Nos allons oene noe éde s des domanes maéels onns sbssan des ansfomaons onnes. ans ee smple phase on pe onsae l'mpoane de l'hypohèse de onné. e novea le Pe Laosse ne nos es qe d'n fable seos (Conn : non dvsé dans son éende, non neomp dans sa dée). Conné d domane maéel édé. Po le physen, la onné d domane sea ade mahémaqemen pa le fa qe les fonons aaésqes d domane son des fonons onnes a sens mahémaqe d eme. Ans, s on onsdèe des gandes physqes elles qe la masse volmqe, la empéae, la pesson, on do povo les epésene pa des fonons onnes. éà, ave ee défnon, on pe onsae q'l ese des lmes à noe éde. Ans nos ne poons pas éde n mle dphasqe, de même po n mélange ea-hle. oefos, l sea possble de mene à ben de elles édes en onsdéan n domanes onns. On onço qe e ne nos mènea pas ves ne smplfaon. e pls l es à noe qe la onné pafae d'n domane maéel n'ese pas. Ans, sans alle à ne défnon aomqe de la maèe, les moyens d'nvesgaon els qe les mosopes (éleonqes o non) monen laemen qe la maèe es fae de aposon d'élémens ne possédan pas les mêmes aaésqes. e fa la onné d domane maéel ne poa q'êe ne appomaon. Svan le 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

7 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY degé de espe o de non-espe de ee hypohèse, noe éde sea pls o mons enahée d'ee. l fa noe qe malgé o, nos poons lse e os po éde des maéa els qe le béon, le bos... Heesemen, l ese aellemen n poesss d'homogénésaon q peme de lme les ees. Ans les maéa plasqes hagés de fbe de vee poon êe aés dans le ade de ee éde. Conné de la ansfomaon. Comme nos le veons ense, la ansfomaon sea essenellemen aaésée pa la donnée d'n hamp veoel appelé hamp de déplaemen. L'hypohèse de onné de la ansfomaon va se ade pa le fa qe les fonons salaes d hamp veoel doven êe des fonons onnes des vaables d'espaes e de emps. e novea nos nos ovons devan ne lmaon de noe éde. On pe falemen onsae q'l ese des ansfomaons non onnes. Ans les poblèmes méallgqes de dsloaon, l'appaon d phénomène de avaon dans les sloaon on éolemens de domane flde e les fssaons fon laemen appaaîe des dsonnés de ansfomaon. Ces as pales poon êe aés en onsdéan la noon de onné pa sos-domanes. Rpe en mode Rpe en mode Rpe en mode 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 7

8 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY aables d'édes Réféenels - Répèes L'éde d'n domane maéel mpose qe l'on poède à sa despon e à son epéage o a long de son évolon a os d emps. La noon de éféenel do êe développée po pése les évolons. Le éféenel R es lé à l'obsevae. l epésene l'ensemble des pons anmés d movemen de ops gde de l'obsevae. Po effee les epéages spaa des pons maéels dans n éféenel R on lse ne base veoelle assoée à n pon ogne O. On oben ans n epèe R. Ce epèe, anmé d movemen de ops gde d éféenel R peme de maéalse e éféenel. Po les besons de l'éde, on pe êe amené à effee des hangemens de epèe. On éalsea ans la même ansfomaon des oodonnées spaales s les omposanes des êes mahémaqes (vee, ense...) lsés po dée le domane. l es à noe qe l'on pe assoe plses epèes à n même éféenel. Paallèlemen, on pe magne n hangemen d'obsevae, e q va se ade pa n hangemen de éféenel. On pe se epésene ne elle ansfomaon en assoan à han des éféenels n epèe. Les de epèes éan hoss de elle soe q'ls soen oïndan à n nsan donné, on eamne le évolon a os d emps. R' R e e e = O e e e Cona paqemen sans foemen Cona ave foemen élevé Po fe les dées, penons l'eemple d'n lopn ylndqe éasé pa ne pesse. On pe pense fae des obsevaons à pa d éféenel R assoé a plaea "fe" de la pesse. La noon de fe éan pse dans le sens de non-déplaemen vs à vs d éféenel eese R. Po effee es obsevaons, on pe so lse n epèe aésen ohonomé R C ( O; e, e, e ), so employe po des asons de symée ylndqe n epèe ylndo-polae ohonomé R P ( O; e, e, e ). Mas l es o à fa pensable qe, pa eemple po éde le ona pèe-plaea moble, l'on velle fae des obsevaons à pa d éféenel R' assoé a plaea moble. Ave e eemple, on onço fo ben la noon d'obevé, 'es à de d aaèe d'ndépendane vs à vs de l'obsevae hos. On pale alos de phénomène nnsèqe vs à vs d hangemen de éféenel. Ceanes gandes son obeves (défomaons, onanes, masse volmqe...), d'ae ne le son pas (vesse, mae de hangemen de base...). nfn po dée la onfgaon d'n domane maéel, l es possble de hos pam de ypes de vaables. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 8

9 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY espon Lagangenne Consdéons n epèe ohonomé R ( O;,, ) assoé à n éféenel R La némaqe lassqe d'n mle onn es onse à pa des noons : * de emps, povan êe epésenée pa ne vaable éelle déemnée pa de vales eêmes. * d'espae physqe, povan êe epésené pa n espae affne de dmenson. Les pons de e espae son appelés "pons maéels". ans le epèe R, à n nsan =, le pon M a des oodonnées X, X, X q défnssen la poson d pon maéel M. On appelle ass e sysème de oodonnées le sysème de oodonnées maéelles dans la onfgaon de éféene C. Nos poons ans ée : OM X X X X X O X M M Po dée le movemen d domane, l onven don de se donne la lo d'évolon a os d emps des posons de l'ensemble des pales maéelles onsan le domane. On oben don la onfgaon aelle C. Ans l es néessae de défn les oodonnées,, d pon M q à l'nsan epésene la poson d pon maéel M. OM Ce q even à de q'l fa se donne les fonons salaes svanes : ( X J, ) ans ee despon, les vaables ndépendanes X, X, X e son es "vaables o oodonnées de Lagange". Les fonons epésenen la despon lagangenne d movemen de noe domane pa appo a éféenel R. Connassan la poson à haqe nsan d pon maéel M l es possble de défn alos sa vesse e son aéléaon vs à vs d éféenel R vee vesse : dom M, d ans ne base aésenne ohonomée, ses omposanes son v ( X J, ) ( X J, ). ans ee denèe fomle, le symbole epésene la dévaon paelle pa appo a emps, 'es à de la dévaon en onsdéan les vaables de poson X J ndépendanes d emps. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 9

10 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY vee aéléaon : d M, d OM M, d ans ne base aésenne ohonomée, ses omposanes son ( X J, ) ( X, ) J M M vee déplaemen : Soven on péfèe employe le vee déplaemen a le d vee poson : ( X J, ) OM OM X On pe alos emaqe l'égalé : d ( M, ) ( X J, ) ( X J, ) d ( M, ) ( X, ) ( X, ) J J espon léenne Les hypohèses de onné (mle e ansfomaon) mposen qe les fonons soen des beons de la onfgaon de éféene C s la onfgaon aelle C. Cee bevé mpose l'esene d'ne elaon nvese ene les vaables de poson de éféene e les vaables de poson aelle. On a don : X (, ) On onsae don q'l es possble de hange de vaables spaales. La despon e eléenne onsse à onsdée les vaables,, e omme ndépendanes e à les lse sos fome de "vaables o oodonnées d'le". ans la despon eléenne, on ne se péope pas de savo e q'l adven de haqe pale. n fa on éde e q se passe, à haqe nsan, en haqe pon de l'espae. On pe epme la vesse e l'aéléaon en fonon des vaables d'le : vee vesse : M dom vee aéléaon : J J k ),, ave v ( X, ) (, d OM M, ave X J, ) J ( k, ), ( Paqemen, on pe de q'en despon lagangenne, on s le domane dans son movemen, alos q'en despon eléenne, on obseve l'évolon d sysème en n pon géoméqe fe po l'obsevae. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

11 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY évaon empoelle Soven nos aons à onsdée les vaaons d'ne gande physqe, qe nos noeons A, a os d emps. Cee gande pe êe ne fonon salae, veoelle o ensoelle. Nos avons don : A a(, ) po ne déemnaon vs à vs des vaables eléennes A A(, ) po ne déemnaon vs à vs des vaables lagangennes. X On pe a nvea de ee gande, s'néesse à de ypes de vaaon. Ans, s nos onsdéons n pon géoméqe de l'espae, la gande A éan défne en e pon, nos poons epme les vaaons en lsan la dévée paelle pa appo a emps. On appelle pafos ee dévée "dévée loale". n vaables eléennes nos povons ée : A a (, ) Cependan, les gandes lsées son soven aahées à n domane maéel (empéae, masse volmqe, vesse...). l onven de onsdée ass la vaaon de e domane maéel a os d emps. Po e fae on lse la dévée oale pa appo a emps, appelée "dévée palae" (d fa qe 'es ne pale qe l'on s dans son movemen). n epésenaon lagangenne, psqe les gandes physqes son epéées vs à vs de l'élémen de maèe, l y a denfaon ene la dévée palae e la dévée loale : da da A ( X, ) ( X, ) A Pa one, po la epésenaon eléenne, le all de la dévée palae néesse de pende en ompe la vaaon d domane délmé pa des vaables q son fonons d emps : da da a a A (, ) (, ) ans ee fomle on emaqe la pésene de q es la ème omposane d vee vesse. a 'ae pa le eme pe ass êe nepéé omme la omposane de l'opéae gaden applqé à la gande A On pe don ée, sos ne fome généale : a A (, ) gad a(, ). (, ) emple d'applaon : all de l'aéléaon en epésenaon léenne. La fomle péédene donne la elaon svane : d gad. So sos fome développée, dans n epèe aésen ohonomé : d 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

12 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY magnons pa eemple qe l'on so dans n véhle aomoble n vended so de dépa en vaane à l'enée d nnel sos Fovèe de Lyon. Connassan deps longe dae le poblème d bohon, nos avons ps la péaon de ne pas pa op ô. oefos à l'appohe d nnel, nos onsaons n alenssemen. Noe vesse dmne e à bod de noe véhle nos enegsons ne dééléaon (aéléaon négave). Pa one déepon po le badad q s'amse à egade le les voes asss s le bod de la oe deps ne pae d'hee. n effe, omme le bohon es en an de sae, la vesse des véhles passan en n pon pés de la oe es en onsane agmenaon. Se à e phénomène d'aéléaon (posve), l n'y aa benô pls en à vo. La pemèe aéléaon (la négave) es elle d'ne pale qe l'on s dans son movemen. n vaable de Lagange, 'es la dévée palae. Po la seonde aéléaon (posve), on obseve le movemen en n pon fe de l'espae e on ne onsdèe qe les vaaons de vesse des a emps : 'es la dévée loale. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

13 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY éfomaons d'n mle onn ense Gaden l onven de ben dfféene la noon de déplaemen de la noon de défomaon. Ans qe nos avons déà p le onsae en fasan l'éde méanqe des soldes s ndéfomables, l ese des hamps veoels de déplaemen q ne éen ane défomaon. Aan l es fale de défn le hamp veoel des déplaemens, aan la noon de défomaon es délae à ben ene. Ans qe nos allons le vo nos ne poons pas pale d'ne défomaon, mas de salae défomaon, de vee défomaon e de ense d'ode des défomaons. l onven don de ben fae aenon à oes es enés. Po maéalse la défomaon, on éde la ansfomaon d'n vee "maéel", 'es à de d'n vee ayan ogne e eémé onfonds ave des pons maéels. oefos on onço ben qe l'éa de défomaon n'éan généalemen pas homogène dans la maèe, l falle lse des pons maéels nfnmen vosns afn de ben aaése la défomaon a vosnage d'n élémen maéel. Nos sommes ans amenés à onsdée la ansfomaon svane : d X d 'ae pa, nos avons les elaons svanes : ( X, ) X (, ) X dx d J Pa abs de langage, e po ese dans la aon, nos éons : ( X J, ) X X (, ) Sos fome dfféenelle nos obenons : d dx J e X Ces elaons nos pemeen de mee en évdene les omposanes d'n ense défnes pa : d FJ dx J ave FJ X J On pe don ée : d F dx Ce q mplqe : dx F d J Le ense F q appaaî es appelé "ense gaden" o enoe "applaon lnéae angene". l peme de aaése les dfféenes ansfomaons. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

14 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Les omposanes de e ense peven êe allées à pa d hamp de déplaemen en dfféenan la elaon svane : ( X J, ) OM OM X On a don : FJ J U F Ι Gad d dx FdX dx Gad UdX X X emple dans le as d'ne défomaon homogène aale J Les éqaons de la ansfomaon son les svanes : X X X X X On pe don défn le ense gaden X : F On a alos po la vaaon d'n volme nfnésmal nae : dv dv dv Cee epesson es le as pale d'ne fomle pls généale : (,, ) dv Jdv ave J def ( X, X, X ) de dmensonnelle des défomaons 'apès l'éde péédene, on sea ené de oe qe le ense F es sffsan po epésene l'éa de défomaon d'n domane maéel. n effe l peme de ben fae appaaîe les dfféenes ene les de vees dx e d. l semble même qe la dfféene ene es de vees so à assoe deemen a hamp de déplaemen. n effe nos avons : d dx FdX dx Gad UdX On poa alos onle qe le ense gaden d hamp de déplaemen es le ense q sff à aaése les défomaons d'n domane maéel. Cee onlson es eonée, a l ese des as de déplaemen d'n domane maéel q espeen la noon de soldes ndéfomables alos qe le ense gaden d hamp de déplaemen es non nl. On pe pa eemple magne le phénomène de oaon ao d'n ae. l fa don défn popemen n éa de défomaon. Po aaése les défomaons d'n domane maéel, l fa en fa onsdée les vaaons ene de onfgaons de la dsane esane nalemen ene de pons maéels abaes. Hélas ee noon de dsane n'es pas smple à mee en œve e on péfèe onsdée les vaaons de de vees "maéels". Mahémaqemen, ela even à eamne les vaaons d pod salae de es de 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

15 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY vees. Un pod salae nvaan qels qe soen les de vees onsdéés es éqvalen à ne défomaon nlle d mle (pas de vaaon de longe, pas de vaaon d'angle). On aa alos défn les hangemens de fomes. d e magnons de vees "maéels" d '. dx' d. d' d d' ( FJ dx J )( FKdX K ') d. d' ( FJ FK )( dx J dx K ') d d' C dx dx '. JK J K dx e La défomaon loale es alos défne pa le ense C C F F F F JK dx J K J K On a ans: d. d' dx CdX ' ave CF F d' d dx '. Apès ansfomaon, nos obenons les vees Nos avons les elaons : d F dx d' FdX ' Ce q nos donne : d. d' FdX. FdX ' d. d' dx F FdX ' dx C dx ' n lsan les noaons ndelles e en omeane pa abs de noaon le sgne de ansposon, nos obenons : ans ee elaon C es n ense syméqe d'ode de (epésenable pa ne mae *) appelé ense des dlaaons o ense de Cahy-Geen do. C'es n ense lagangen a ses de éféenes son faes vs à vs de la onfgaon de éféene C. Ce ense pe êe défn à pa d ense gaden d hamp de déplaemen : C F F( Gad U) ( Gad U) C Gad U ( Gad U) ( Gad U) Gad U La vaaon de noe pod salae deven alos : d. d' dxdx ' dx ( C) dx ' So enoe : d. d' dxdx ' dx Gad U( Gad U) ( Gad U) Gad U dx d. d' dxdx ' dx dx ' Nos obenons ans n novea ense : ' Gad U ( Gad U) ( Gad U) Gad U Ce ense es le ense des défomaons de Geen-Lagange. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

16 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY C'es ass n ense syméqe. On pe emaqe q'l es denqemen nl dans n movemen de ops solde C. Ses omposanes son : J J K K F k FkJ J X J X X X J On da qe la défomaon d sysème es homogène s le ense des défomaons ne dépend pas des oodonnées spaales de éféene X. Remaqe e la même façon qe l'on défn le pod salae d.d' à pa d pod salae dx dx ', on pe, de manèe o à fa syméqe, défn le pod salae dx dx ' à pa d pod salae d.d'.on aa alos les elaons svanes : dx. dx ' db d' ave B F F d. d' dx. dx ' dad' : ense de Cahy-Geen gahe. A B ense des défomaons d'le-almans. Le ense des défomaons d'le-almans e le ense de Cahy Geen gahe son des enses eléens, syméqes. 'ae pa, l es possble de démone la elaon svane : A ( F ) F So en omposanes : A F K F L KL nepéaon des éslas aaon de longe : Penons n vee "maéel" de longe nale dx oené selon ne deon nae N a vosnage d'n pon M. Nos povons ée : dx dx N La ansfomaon nos donne alos : d d n l es noe qe le vee oben non selemen n'a pas la même longe qe le vee nal, mas q'en pls l ne gade pas la même oenaon. On pe alos défn l'allongemen (o la dlaaon lnéae) a pon M dans la deon N ddx M ; N dx C'es en fa la vaaon elave de longe de noe segmen nal. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

17 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY A pa des enses péédens, nos povons ée : d. d d dx CdX dx NCN ddx M ; N NCN N( ) N dx n effe nos avons la elaon : d dd CJ dx dx J N N C dx Ans, dans le as pale de la deon, on oben : M C C ; e même, on pe défn le glssemen (o la dsoson anglae) a pon M dans les deons nalemen pependlaes N e M : M ; N, M ( n, m) dx' dx d' d (N,M) Cee ené oespond à la vaaon d'n angle hos nalemen do. Po la alle, on lse les popéés d pod salae ene de vees, q dans la géomée eldenne fa appaaîe le osns de l'angle fomé ene es de vees. On a ans : dd' os( d, d') sn d d ' 'où : M ; N, M A sn NCM NCN MCM A sn NM ( N) ( M ) Pa eemple, po les de deons ohogonales e, on aa : C, A sn A sn C C nfn, l es possble d'oben la dlaaon volmqe o vaaon elave de volme : dvd d 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 7

18 Base pnpale As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Comme le ense de Geen Lagange C es n ense syméqe, sa epésenaon maelle es syméqe dans o epèe. On a en fa affae à ne applaon blnéae syméqe. l ese alos ne base de vees,, dans laqelle la epésenaon maelle de l'applaon es ne mae dagonale. On qe l'on a la base pope o base pnpale. Les vees de ee base son appelés les vees popes de l'applaon. n méanqe, nos paleons pls falemen de deons pnpales. on dans ee base, nos avons : C C C C Un volme élémenae ons selon es deons e de oés dx, dx, dx es ansfomé en n volme paalléléppèdqe (pas de glssemen) de oés d, d, d. On pe alos alle la vaaon elave de volme : dvd d On a d'ae pa les elaons : d dx dx dx e dv d d d Ave pa eemple : d C dx On oben don : dv C dx dv de(c)d C dx C dx C C C d On fa ans appaaîe le aoben de la ansfomaon : dv J d Ce q nos donne po la vaaon elave de volme : J ense des défomaons lnéasé Comme nos venons de le vo, la aaésaon de l'éa de défomaon d'n domane maéel passe pa la déemnaon de enses pls o mons omplqés. Qel qe so le ho fa a nvea des enses, on onsae ne non-lnéaé povenan essenellemen des emes d ype ( Gad U ) Gad U F F. Cee non-lnéaé de l'éa de défomaon pa appo a hamp de déplaemen omplqe séesemen les alls. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 8

19 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Cependan, dans de nombe as, on poa lnéase l'éa de défomaon en fasan l'hypohèse des ansfomaons nfnésmales. Cee hypohèse, enoe dénommée hypohèse des pees pebaons, se déompose en de dées : * Le déplaemen de han des pons d domane maéel es pe. On poa ans onfonde l'éa ael ave l'éa de éféene. * Le ense gaden de déplaemen ne onen qe des emes néglgeables devan l'né. Ave es hypohèses, les dfféens enses défomaons devennen : C F F ( Gad U) Gad U ( Gad U) Gad U Cahy-Geen do ( C) ( Gad U) U Gad Geen-Lagange BF F Gad U ( Gad U) ( Gad U) Gad UC Cahy-Geen gahe A ( B ) Gad U ( Gad U) le-almans On emaqe don q'l y a ne denfaon ene les despons lagangenne e eléenne. Ans qe nos l'avons déà onsaé, e son les enses de défomaon de Geen-Lagange e d'le-almans q, pls qe les enses de défomaon de Cahy-Geen, epésene l'éa de défomaon en n pon. n effe dans n déplaemen de ops solde ndéfomable, les enses de défomaon de Geen-Lagange e d'le-almans son nls, alos qe les enses de défomaon de Cahy-Geen son onfonds ave le ense dené. On onven de de qe, dans le as de pees pebaons, l'éa de défomaon es epésené pa le ense des défomaons lnéasé défn pa : Gad U ( Gad U ) A Ce q nos donne po les oodonnées aésennes : J J X J X Ce novea ense es en fa la pae syméqe d ense gaden. Po ae de nombeses applaons, l pe êe fa l'sage de la pae ansyméqe d ense gaden. Les elaons son les svanes : GadU ( GadU ) GadU ( GadU ) GadU ( GadU ) L emplo d ense des défomaons en le e plae d ense de Geen Lagange o d ense d le Almans A es ne smplfaon mpoane a on oben ne lnéasaon des défomaons vs à vs d hamp de déplaemen. n effe s l on onsdèe de hamps de déplaemen U e U b, on pe ée : a 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 9

20 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Ua Ub Gad Ua GadU b Gad On en déd alos la elaon : nepéaon géoméqe Ua Ub U a U b Ave e q péède nos povons ée : d dx F dx dx gadu dx d dx dx dx Spposons qe dx epésene, dans la onfgaon nale, de pons M e M '. Le vee d epésenea alos, dans la onfgaon aelle les de pons M e M', ansfomés des de pons na dans le hamp de déplaemen. On a alos les elaons svanes : dx M M' d M M' M U M M M U M ' M M' M M' M' M' M' M M' M Ce q nos peme d ée : UM' UM dx dx e pls, on pe mone q à n ense ansyméqe M d seond ode, l es possble d assoe n vee de el soe qe l on psse emplae le pod ensoel pa n pod dx veoel : dx dx dx Ans, a vosnage d pon M, le hamp de U U M déplaemen se pésene sos la fome svane : M M M U M' UM dx dx On pe eonnaîe les omposanes d n hamp de déplaemen de solde ndéfomable ave ne U e ne oaon d X. Le ese epésene don la défomaon d solde. C es anslaon M poqo le ense es appelé ense de défomaon. Remaqes l ese malheesemen des as d'édes q ne espeen pas l'hypohèse de pees pebaons. On ove en pale le non-espe de ee hypohèse smplfae dans des opéaons de mse en fome mposan à la fos de gands déplaemens e de gandes défomaons. Mas on pe ass ove des applaons q ne espeen pas qe l'ne des onons. Ans, en oboqe, on es soven onfoné à des poblèmes de gands déplaemens, mas dans han des élémens, on pe onsdée qe les défomaons son ès fables. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

21 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Ces hypohèses son d'ne éelle mpoane po la smplfaon des alls. Penons pa eemple le as d'ne poe onsole enasée en ne seon eémé, lbe à l'ae eémé e sppoan ne hage nfomémen épae. éà la défnon goese de la hage pose n poblème. Cee hage onseve--elle ne deon onsane q'elle qe so la défomée de la poe (as de l'aaon gavaonnelle), o ben ee hage es-elle svese, 'es-à-de, onseve--elle ne deon fe vs à vs de l'élémen de poe s leqel es s'applqe (as d'ne pesson)? La éponse à ee qeson éan ovée, s on ve déemne la défomée de noe poe en lsan la héoe lassqe des poes, l onven de ben éalse qe, s ee défomée es gande, on a ve affae à ne poe obe. n onséqene la fomle d y lassqe M f G deva êe délassée a pof de d la fomle svane q fa appaaîe le ayon de obe de noe poe nalemen doe : d y G M d f G R d y d Ben enend les poblèmes d'négaon son as. e pls le all d momen de fleon pose o de se pls de dfflés. n effe svan qe l on penne en ompe o non la oaon des seons, on onsae q l y a ne dfféene dans l évalaon d bas de leve. de des pees pebaons A pa des hypohèses smplfaes, on pe s'néesse à l'éde des allongemens e des glssemens a vosnage d'n pon maéel. fa des elaons esanes ene les dfféens enses, e en ayan emaqé qe de nombe emes son néglgeables devan l'né, nos povons ée : C Po l'allongemen dans la deon M ; C ;, sn M A Po le glssemen dans les deons e 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

22 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page On pe don donne ne novelle déemnaon d ense des défomaons lnéasé : ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( M ε ne façon pls généale, s on onsdèe de vees naes ohogona. ; b a b a, on pe ée : aa a a a M ε ; dlaaon lnéae dans la deon a ab b a b a M, ; ε dsoson anglae de l angle do fomé ene les deons a e b ne manèe généale, on défna le vee défomaon pe a pon M dans la deon nae a pa la elaon : a M a M p ; On pe ass emaqe qe, d fa de la symée d ense de défomaon, on a : a b b a b a M ab ε ε, ; n e q onene la vaaon elave de volme, on oben : dvu X J d d dv ε eons pnpales ; défomaons pnpales La mae epésenan l'éa de défomaon lnéasé éan ne mae éelle syméqe, on pe défn ses deons pnpales (vees popes) e les vales des défomaons pnpales (vales popes). fa de la foe dépendane ene le ense des défomaons de Geen Lagange e le ense des défomaons lnéasé, l y a denfaon oale ene les vees popes des maes assoées à es de enses. Po le ense ε, les elaons son les svanes : N N. ε Ave omme epésenaon dans la base pnpale : N ε Comme le ense des défomaons lnéasé es syméqe, s les os défomaons pnpales son dfféenes, l ese os deons pnpales ohogonales de à de.

23 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY S de défomaons pnpales son dsnes, l y a alos ne deon pnpale assoée à la osème défomaon pnpale. oe deon ohogonale à ee deon pnpale es pnpale. S les os deons pnpales son denqes, oe deon es pnpale. On alos qe le ense es sphéqe. La déemnaon des vales des deons pnpales de défomaon ond ass à la déemnaon de os nvaans salaes d ense. n effe, omme po o ense d seond ode, le all des vales popes passe pa l'annlaon d polynôme aaésqe ( ). Ce polynôme es oben pa le déemnan de ( - ). On a don : P ( ) de( - )= - Les emes,, epésenan les nvaans fondamena d ense : de a dévaoqe : Po n ense d seond ode qelonqe, l es oos possble de le déompose sos fome d ne somme de de enses de el soe qe l n so sphéqe e qe l ae a ne ae nlle. Les fomles son les svanes : S S ) / / ( S ans le as d ense de défomaon, le ense sphéqe assoé hange le volme sans hange la fome alos qe le ense dévae hange la fome à volme onsan (la ae es nlle don pas de vaaon elave de volme). S S 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

24 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Repésenaons gaphqes La noon de ense éan elavemen délae à appéhende, on ehehe soven des solons pls palanes po epésene n éa ensoel. l ese, po des enses de seond ode d n espae veoel de dmenson os, des epésenaons gaphqes, so demensonnelle, so plane, q pemeen de e qelqes ensegnemens. magnons qe l on onnasse n ense syméqe, à oeffens éels, pa ses omposanes dans la base pnpale : N Consdéons n vee nae qelonqe : n n N On pe alos alle le vee oben dans la deon n : A( n)n ans la base pnpale, les omposanes de e vee son : A A n A N n ave A n A n ae pa, omme le vee n es nae nos avons : A A A n n n Nos onsaons ans qe les omposanes d vee A peven ès ben epésene les oodonnées d n pon A dans l espae des vees popes. Ave l éqaon péédene, on pe de qe le le dé dans l espae des vees popes es n ellpsoïde, appelé ellpsoïde de Lamé. Cee pemèe N epésenaon gaphqe dmensonnelle peme de An onsae qe les vales popes epésenen les vales eêmales de l éa ensoel. N N Ans dans le as d ense de défomaon, la pls gande dlaaon lnéae e la pls pee en n pon son données pa de des défomaons pnpales, e. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

25 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Pa one ee epésenaon de l éa ensoel pésene l nonvénen d êe dmensonnelle e don pe asée à dessne. l es possble d oben ne epésenaon plane en onsdéan le plan fomé pa les de vees n e An. Ce plan pésene généalemen ne neseon ave le plan ohogonal a vee n. On désgne pa N la poeon d vee poeon d vee n s son plan ohogonal. N A n An s le vee n, pa le vee oben pa On a, ave des noaons évdenes : N n. An n N n n An n ave N vee nomal e vee angen, éan le vee nae assoé. Spposons qe le vee n appaenne a plan pnpal fomé pa les vees N, pésene n angle ave la deon pnpale N. On pe don ée : n os N sn N e An A N A N an n a n Ave les fomles de hangemen de base, l es fale de démone qe l on a : an os sn os( ) a ( )os sn sn( ) N, e q l On onsae don qe dans le plan veoel n,, losqe l angle vae, l eémé d vee A n pao n ele don le ene a ; po oodonnées. Le ayon d ele es os. Le pon eémé dé le ele en sens nvese e d doble de l angle de poson. Le ele ans oben es appelé ele de Moh dans le plan pnpal N, N. On onço asémen q l so ans possble de onse os eles. La fge obene mone ans le ele de Moh de l éa ensoel. A pa de la epésenaon de Lamé, on pe déde qe po ne deon nae qelonqe, l eémé d vee A n do se ove à l née d ele. Les vales popes foman le damèe de pls gand des eles de Moh son les vales eémales d vee nomal. Le dfféene onse la pls gande vale d vee angen. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

26 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6 Conons de ompablé Ans qe nos l avons onsaé, les dfféens enses défomaons son sss de la donnée d n hamp veoel, le hamp de déplaemen. Les elaons pemeen sans ambgüé de alle, dans n epèe qelonqe, les omposanes de han de es enses dès los qe l on onnaî les omposanes d vee déplaemen. Pa one la démahe nvese n es pas mmédae. On onço en effe q l so déla de «emone» à n hamp de déplaemen à pa de la onnassane d n ense défomaon. Nos allons asonne s la fome lnéasée des défomaons, don à pa d ense de défomaon ε. Ce ense, syméqe es déemné pa 6 omposanes. l es la qe des elaons doven ese ene es s omposanes s le ense epésene n éa de défomaon oben à pa d n hamp veoel ayan os omposanes. Ces elaons s appelle les onons de ompablé e elles ne son en fa qe les onons d négablé a sens de Cahy po n sysème d éqaons dfféenelles. ans n sysème de oodonnées aésennes nos avons les elaons svanes : Nos povons ée : k k k k k k k k k k k k k k k k Nos venons ans de mone qe nos sommes apables de alle les omposanes d vee gaden de. oefos nos obendons effevemen n vee gaden s le oaonnel es nl, es à de s nos povons véfe les elaons svanes : l k k l l k k l

27 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 7 Ce son en fa les onons d négablé de Cahy de la dfféenelle m m d d. pmées en fonon des omposanes d ense de défomaons es onons nos donnen n sysème de s éqaons : k l k l l k l k So sos fome développée : On pe ass démone qe es onons de ompablé pennen la fome nnsèqe svane : Δ ε ε ε ε gad dv dv gad gad gad on, s es éqaons son véfées, l es possble de déemne le hamp de déplaemen. La méhode onsse à alle les omposanes d ense ansyméqe à l ade des dfféenelles oales eaes : Ps de déemne les omposanes d hamp de déplaemen à l ade des os aes dfféenelles oales eaes : d d Le hamp de déplaemen ans oben es défn à n hamp de déplaemen de solde ndéfomable pès. n applaon, nos poposons a lee de défn le hamp de déplaemen q ée l éa de défomaon svan : e b b a a b k k k k k d d d

28 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY esse de défomaon ans l'éde péédene, on s'es néessé a ansfomaons d sysème ene ne onfgaon de éféene C e ne onfgaon aelle C. dx d() d(+) Sans se soe d hemn de défomaon sv los d movemen ene es de onfgaons, on a édé la ansfomaon sos n aspe pemen géoméqe, d'n éa nal ves n éa fnal. On onço ès ben qe ee éde psse onven dans oe ansfomaon po laqelle l'éa de défomaon es ne fonon d'éa (a sens hemodynamqe d eme). Pe mpoe alos le hemn sv po passe d'n éa à l'ae. Hélas, de pls en pls féqemmen, se à ne modélsaon pls fne, se à ne mellee onnassane, se à des développemens de moyens de all, l deven néessae d'éde les évolons d sysème svan n hemn de défomaon. Nos sommes alos amenés à fae l'éde de façon némenale, 'es à de à éde la ansfomaon ene de éas nfnmen vosns, ps, pa n poesss de ype négaon, en déde le hemn éel de défomaon. Po aaése les vesses, on nod le vee vesse ( M, ) qe l'on pe onsdée omme : * fonon d emps e des oodonnées de éféene X (despon Lagangenne) * fonon d emps e des oodonnées aelles (despon léenne) a de défomaon lagangen ne les nsans e +, n vee "maéel" nfnésmal d se ansfome en d. e la même manèe qe, po les défomaons, nos nos sommes néessés à la vaaon d pod salae, nos allons ee fos onsdée sa vesse de vaaon. La vesse de vaaon d pod salae de de vees maéels es alos : d d d d d d. d' FdX. FdX ' dx. CdX ' dx. dx ' dx. dx ' d. d' dx. dx ' d d Le ense X, X, X, es appelé a de défomaon Lagangen l es oben en dévan pa appo a emps le ense des défomaons de Geen-Lagange. C'es don la vesse d'évolon de la défomaon losqe elle- es mesée à pa d'n éa de éféene nal. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 8

29 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY a de défomaon eléen dons à pésen la même vaaon de pod salae mas en vaables eléennes. On a don : d d d FdX dfdx ' d. d' FdX. FdX '. FdX ' FdX. d d) d F dx ( n lsan la elaon : F dx F F d On oben : d d FdX d FdX ' d. d'. d' d. F F d d. d' d. d F F F F ' d d. d' d. d' d. d' d. FF d' Cee denèe elaon nos peme de fae appaaîe le ense a de défomaon eléen. l pe êe déemné à pa d ense gaden des vesses. Nos avons en effe la elaon : F F X K K K L X K Ans le pod F F défn n ense L q n'es ae qe le ense gaden des vesses : L Gad Le ense epésene la pae syméqe d ense gaden des vesses. On pe ass fae appaaîe le ense W q epésene la pae ansyméqe. Les elaons son les svanes :, Gad ( Gad ) L L W, Gad ( Gad ) L L Gad W L, ( Gad ) W[ L, ] On mone qe le ense W es n ense q epésene la vesse de oaon de la maèe. Remaqes - L'égalé des pods salaes en défnon lagangenne e eléenne nos ond à la elaon svane : d d. d' d. d' dx.( ) dx ' On pe alos en déde la elaon : F F C 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 9

30 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Ans les dévées pa appo a emps des enses lagangens dévan la défomaon son deemen elées a ense des a de défomaon. l n'en va pas de même po les enses eléens. Pa eemple po le ense de Cahy-Geen gahe, on a : B F F F F F F LFF FF L LB BL - S l'on onsdèe la ansfomaon nfnmen pee ene les onfgaons C e C, en penan la onfgaon C omme onfgaon de éféene (on pale alos de despon lagangenne éaalsée), le déplaemen es alos : d (, ) (, ) Le ense de défomaon es alos dans ne fome lnéasée : d ε Gad ( d) Gad ( d) Gad ( d ) Gad ( d ) dε Ans, le ense appaaî omme le ense "angen" a défomaons, à pa de la onfgaon aelle. Cee despon es soven lsée en all nméqe, a on éaalse soven la onfgaon de éféene à haqe pas de all. - ans le ade des ansfomaons nfnésmales, Gad ( d ) pe êe onsdéé omme n nfnmen pe. On a don : ε Les enses des a de défomaons lagangen e eléen peven êe onfonds. nepéaon d ense a de défomaon Cee nepéaon es o à fa smlae à elle des enses de Cahy-Geen do C e des défomaons de Geen-Lagange. a de dlaaon lnéae n onsdéan pa eemple les de vees d e d ' onfonds, de longe dl e dans la deon d d' dl, on oben : d d dl d. d' d. d' dl Ans, es le a de dlaaon lnéae (o enoe a d'allongemen o vesse d'eenson ) dans la deon. a de glssemen Nos devons ee fos pende les de vees d e d ' dans de deons ohogonales. n les spposans només d, d', nos avons : d d. d' d. d' 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

31 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY a de onane dans les mle onns Los de onsevaon La méanqe des mle onns epose s des los o des pnpes de la physqe. o le monde pense ben enend mmédaemen a pnpe fondamenal de la méanqe, mas l ne fa en an as néglge les aes los onsaées. L évolon d n domane maéel sea soven l oason d éhange ave le mle eée e es éhanges son églemenés. Ans on onço qe les vaaons ene les domanes so assees a pnpes de la hemodynamqe. Le peme pnpe peme de ade la onsevaon de l énege e l se pésene sos la fome d ne égalé. A l opposé, le seond pnpe de la hemodynamqe ne se q à onsae l mpossblé qe l on a à éalse eanes ansfomaons. l es alos donné pa ne négalé. A es os los, l fa mpéavemen aoe la lo de onsevaon de la masse. Soven, en méanqe, on oble de ade le fa qe le domane édé ne ansfome pas sa masse dans son movemen. Cela poven d fa qe l ensegnemen aonnel de la méanqe d solde se fa en vaables de Lagange e qe l on s la pale (o le domane) dans son movemen. Pa one, en vaables d le, l fa ben ade le fa q l n y a pas de ansfomaon de la masse d mle édé même s loalemen l pe y avo ne modfaon de la masse volmqe. Ans qe nos allons le onsae, es los peven s epme so sos fome globale, es à de ées po n domane maéel, so sos fome loale, es à de en éqaon dfféenelle valable en haqe pon d domane. Avan de donne des epessons d ne lo de onsevaon, l onven de omplée le bagage mahémaqe en pésan la noon de dévée palae d ne négale de volme e les énonés de de héoèmes mpoans, le héoème de la dvegene e le héoème de l négale nlle. évée palae d ne négale de volme So n domane qe l on s dans son movemen e onsdéons la vaaon ene de nsans d nfnmen pohe de l négale d n hamp ensoel volmqe s le domane : a dv Cee vaaon es de à de onbons, d ne pa la vaaon pope d hamp ensoel ene a les de nsans e d ae pa la vaaon d domane ene les de nsans. Po alle l epesson oale, désgnons pa le domane à l nsan e pa le domane à l nsan +. L nsan les sépaan éan nfnmen pe, on pe sppose q ls possèden ne lage neseon ommne qe l on désgnea pa. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

32 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Ans le domane à l nsan se déompose en de sos domanes, l neseon ommne e la pee de domane On pe ée :, alos qe le domane à l nsan + se déompose en e le gan de domane J J J J a( ) dv a( ) dv a( ) dv a( ) dv a( ) dv a( ) dv On pe alos alle la vaaon : J a( ) dv a( ) dv a( ) dv J a( ) a( ) dv a( ) dv a( ) dv a( ) dv. Mas po les domanes e, l aossemen déplaemen de la sfae généae. On pe don ée : Po dv d n ds v n ds Po dv d n ds v n ds e la dmnon de volme son ds a L nevalle de emps éan nfnmen o, on a alos : a( ) J J dv a( ) v n ds a( ) v n ds J J d adv a( ) dv a( ) v n ds a( ) v n ds (esp. ans es epessons, (esp. ) epésene la sfae ommne a domanes e ). On pe don en déde la elaon fondamenale svane : d a( ) a dv dv a( ) v n ds héoème de la dvegene Nos nos oneneons de donne, sans démonsaon, n énoné de e héoème appelé ass héoème de Geen Osogadsk : Le fl d n hamp ensoel A a aves de la sfae enveloppan le domane es égal à l négale de la dvegene d hamp ensoel s le domane : An ds dva dv Remaqes : ans le as où A epésene n hamp veoel onsan, on oben ans le as où A epésene n hamp salae f, on oben f n ds n ds gad( f ) dv 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

33 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY héoème de l négale nlle L énoné de e héoème es le svan : Consdéons n hamp veoel volmqe a défn e onn s n domane. S qelqe so le sos domane ' nls dans, l négale d hamp ensoel s le domane ' es nlle, alos le hamp ensoel es denqemen nl. adv ' a ' Po la démonsaon de e héoème, l sff d magne qe le hamp ensoel n es pas nl en n pon donné d domane. fa de la onné, l es alos possble de défn n domane ' nfnmen pe enveloppan le pon e el qe l négale d hamp ensoel ne so pas nl, e q va à l enone de l hypohèse de dépa. pesson généale d ne lo de onsevaon On pe de qe d ne manèe généale, ne lo de onsevaon epme n blan d ne gande ensoelle A. On pe alos assoe à ee gande : La densé volmqe dans le domane onsdéé : a La densé volmqe pode pa né de emps dans le domane onsdéé : a v La densé sfaqe assoée a fl de A enan à aves de la fonèe d domane : a s La lo de onsevaon a alos omme epesson généale : d A d advav dv as ds qaon q ad le fa qe la vaaon de la gande A a os de l nevalle de emps es égale à la somme de la qané pode (algébqemen) à l née d domane e de la qané enan (algébqemen) à aves la fonèe d domane. emple : qaon de onné Le pnpe de onsevaon de la masse posle q l n y a n appaon n dspaon de maèe. n onséqene la vaaon de la masse a os d emps es nlle : d M La masse pe se alle à pa de la masse volmqe : d M dv dv Ave la noon de dévée palae d ne négale de volme, on oben : d dv dv v. n ds 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page

34 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY On pe enoe lse le héoème de la dvegene : d dv dv v. n ds dv dv( v) dv Ce q nos donne ne fome loale de l éqaon de onné ave le héoème de l négale nlle : dv( v) e pls nos avons les elaons : d dv ( v) dv( v) v. gad v. gad On oben ans ne ae fome loale de l éqaon de onné : d dv(v ) Conanes dans n domane maéel Lo fondamenale de la méanqe l ese plses fomlaons de la lo fondamenale de la méanqe. Svan l'énoné hos, e q es aomaqe dans n as deven héoème dans n ae as. oes es fomlaons (pnpe de monde aon, pnpe des pssanes velles, pnpe fondamenal de la méanqe) son éqvalenes. oefos svan l'applaon aée, eanes fomes peven êe pls néessanes qe d'aes. Po noe pa, nos nos oneneons de l'énoné lassqe d pnpe fondamenal de la méanqe: l ese a mons n epèe R g, galléen, e ne honologe, e absole, els qe, à haqe nsan e po oe pae d'n sysème, la dévée pa appo a emps d ose néqe galléen es égal a ose des aons eéees s'eeçan s. Po povo eploe le pnpe fondamenal de la méanqe, nos devons don défn ne epésenaon des effos applqés pa l eée a domane. On pe lasse es effos svan de ypes : * les effos eées eeés à dsane s. Ce son pa eemple les foes de pesane, les foes d nee o les foes éleomagnéqes. lles son dsbées dans le volme d domane e epésenées pa ne densé massqe de foe f M,. * les effos eées eeés s la sfae délman le domane. Ce son pa eemple les aons de ona d domane a nvea des lasons némaqes o enoe les aons de pesson 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

35 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY eeées pa le flde enveloppan le domane. lles son généalemen epésenées pa ne densé sfaqe de foe q M,. ee onane La modélsaon des effos nées passe pa ne aomaqe. l ese en effe plses modèles employés svan les domanes d'édes. Po noe pa, nos nos oneneons de l'eploaon d posla de Cahy, e q va nos onde à la epésenaon la pls féqene de l'éa de onane en n pon maéel. M n (M,n) ds Posla de Cahy * Les effos eeés s ne pae d'n mle onn pa le omplémenae de dans le sysème peven êe epésenés pa ne épaon sfaqe de foes. * Cee densé sfaqe ne dépend d domane onsdéé qe pa la nomale eéee a domane po le pon d'éde. On a don ne epésenaon pa n vee d ype M n onane en M dans la deon n., appelé vee On pe onsdée qe haqe élémen de maèe es en effe soms à des foes de lason povenan so d'ne fonèe s elle- es ongë, so d ese d sysème. Ave l'hypohèse de densé sfaqe de foes, nos povons de qe s haqe sfae élémenae ds ao d pon M e de nomale n, les élémens d sysème sés dans la égon de M e n'appaenan pas à la pae eeen s les élémens d sysème appaenan à la pae ne foe élémenae df déemnée pa : df M, nds M n (M,n) ds n n n Généalemen, on appelle faee le plan angen en M a domane édé. La nomale n défn l'oenaon de ee faee. On pe alos défn la onane nomale n omme éan la poeon s la deon de la nomale n d vee M, n. onane e même on a le vee onane angenelle n (enoe appelé sson o onane de sallemen) q epésene le vee onane poeé dans le plan de la faee. On a : n M n n, n. n M, nn M, n n n 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

36 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Une onane nomale posve ad loalemen n éa de aon de la maèe. S a onae elle es négave, nos avons loalemen n éa de ompesson. Remaqes - Les omposanes d vee onane son homogènes à ne pesson, 'es à de q'ls on la dmenson d'ne foe pa né de sfae. - Le vee onane ans défn es déemné dans la onfgaon aelle. Nos avons ans ne epésenaon eléenne de e vee. - Une ae aomaqe poa êe de onsdée ne densé de oples en pls de la densé sfaqe M, n e de la densé volmqe f M,. Cee modélsaon es sohaable en pésene de hamp magnéqe élevé (aéléae de pales). ense des onanes Le vee onane ne sff pas à l sel po aaése l'éa de onane en n pon maéel. Sa dépendane vs à vs de la deon de nomale à la faee mone laemen q'l es néessae d'envsage ne ae epésenaon po l'éa de onane. Consdéons pa eemple ne poe doe lae sollée en aon smple. S on pe néglge les aons gavaonnelles, on oben ne modélsaon des effos eées ès smple. L'éde de la épaon des onanes en n pon donné M passe pa la défnon de plans de ope. Po n plan de seon doe, la épaon de onane (spposée homogène) q peme de manen l'éqlbe d onçon édé es falemen allable. F M, S e même, en fasan ne ope pa n plan méden, on pe falemen onsae qe la épaon des vees onanes po ne faee de nomale es nlle. M, Ans, en n même pon on pe avo de vees onanes oalemen dfféens. Ce q aaése l'éa de onane, 'es la elaon esane ene le vee onane e la deon de nomale à la faee. Po oben ee elaon, l sff de onsdée l'éqlbe d'n domane maéel de fome éaédqe nfnésmal ayan os faes de nomales,,. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

37 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY M n (M,n) n n n S hane de es faes, nos povons défn le vee onane pa ses poeons dans le ède de base : M, M, M, On lse alos la noaon svane : peme nde nde de nomale deème nde nde de poeon Ave es noaons, epésene la onane nomale po ne faee de nomale alos qe (ave les ndes dfféens) epésene ne omposane angenelle d vee onane po la faee de nomale. 'ae pa nos sommes amenés à défn la qaème fae de noe qadlaèe pa les omposanes n, n, n de la nomale n à la faee. S on désgne pa ds l'ae nfnsmale de la fae de nomale, e pa ds l'ae de la sfae de nomale n, on a la elaon : ds n ds L'éqlbe de noe domane va fae neven ass ben des foes de sfae (assoées a vees onanes) qe des foes de volmes (assoées a effos eées). oefos, es denèes fasan neven des élémens dfféenels d'ode spée, on pe les néglge devan les foes de sfaes s les dmensons de noe éaède son nfnésmales. L'éqaon d'éqlbe es don : ( M, n) ds ( M, ) ds ( M, ) ds ( M, ) ds S S ( M, n) ds( M, ) ds ( M, ) ds ( M, ) ds M, n) n ( M, ) n ( M, ) n ( M, ) ds ( O, d'apès la défnon d vee onane, on onço elavemen ben la elaon svane : ( M, n) ( M, n) On oben don : ( M, n) n ( M, ) n( M, ) n ( M, ) Ans, la donnée des vees onanes dans les os deons de base,, sff po déemne le vee onane dans ne deon de faee qelonqe. n lsan les omposanes,, d vee onane ( M, n) dans la base,,, la elaon péédene se me sos la fome svane : S 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 7 S

38 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY n n n n n n n n n So en noaon ndelle : n On a ans déemné les omposanes d'n ense d'ode de dans la base,,. Ce ense nos peme de alle le vee onane en M dans la deon n gâe à la elaon : ( M, n) n Ce ense es appelé ense des onanes o enoe ense de Cahy. nqemen d pon d'éde. l es fonon La donnée d hamp ensoel dans le domane d'éde peme de onnaîe l'éa de onane en o pon de noe domane. Ben enend, ee épaon de onane n'es pas ndépendane des sollaons eeées s noe domane. Les éqaons d'éqlbe von nos pemee de mee en évdene ee dépendane. qlbe dynamqe Po ée les éqaons de la dynamqe, l onven d'sole n domane maéel e de l applqe le pnpe fondamenal de la dynamqe. 'n oé de l'égalé nos ovons le ose éslan des effos eées. Cel- es la somme de de oses : f ( M, ) dm ose des aons eéees (densé massqe) OM f ( M, ) dm ( P, n) ds ose des aons néees (densé sfaqe) OP ( P, n) ds Le domane d'négaon d deème ose es, 'es la sfae ono délman noe domane maéel. C'es don ne sfae femée. e l'ae oé de l'égalé nos avons la dévée pa appo a emps d ose néqe galléen de noe domane d ( M, / Rg ) dm d OM ( M, / Rg ) dm 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 8

39 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Le all de ee dévée es omplqé pa le fa qe le domane d'négaon es fonon d emps en vaable d'le. oefos en vaables de Lagange nos obenons le ose dynamqe : ( M, / Rg ) dm OM ( M, / Rg ) dm Le Pnpe Fondamenal de la Méanqe nos donne alos de égalés veoelles : ( M, / Rg ) dm f ( M, ) dm ( P, n) ds OM ( M, / Rg ) dm OM f ( M, ) dm OP ( P, n) ds blan. Pésené sos ee fome, le Pnpe Fondamenal de la Méanqe appaaî ben omme ne lo de Ans, dans ee égalé nos nos eovons ave de oses ayan omme domane d'négaon e ave le ose des effos nées ayan omme domane d'négaon. n lsan le héoème de la dvegene, l es possble de edéfn omme domane d'négaon d ose des effos nées. ( P, n) ds nds dv dv L'éqaon de éslane deven alos : M R dm dv (, / ) dv f ( M, ) dm g On pe en déde la elaon svane : ( M, / R ) dv f ( M, ) Ave masse volmqe d domane maéel a pon onsdéé. g Cee éqaon fondamenale es la adon loale d pnpe fondamenal de la méanqe. lle mone ben les lens ene l'éa de onane en n pon e les sollaons eéees. l es possble d'avo ne démonsaon pls "physqe" de ee éqaon en solan n paalléléppède eangle ons ave des aêes ommnes ave les aes de base. Ce domane nfnésmal a po longe d'aêe d, d, d. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 9

40 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Nos nos ovons en pésene des foes svanes : M 5 M 6 M 4 *foe de volme applqée a ene de gavé de noe domane : f ddd *foe d'nee (en movemen elaf) applqée a ene de gavé d domane : ( M, / R ) d d d g *foes de sfae des a vees onanes. Po ne faee de nomale e de sfae d, la foe assoée es d ype l d dk l d k oefos, po ee denèe epésenaon, l onven de ben fae aenon a pons d'applaon de es foes, la vale des onanes éan fonon des oodonnées de es pons. La saon pe êe ésmée sos fome d'n ablea : l Pons M M M M 4 M 5 M6 Coodonnée d d / / d d / d / d d / / d / d d / Nomale d d / / d d d / / Ae Pemèe omposane d vee onane d d d d d d d d d d d d (,, ) d d d d d (,, ) d d d d d (,, ) d d d A l'ée des éqaons d'éqlbes, nos povons onsae de nombeses smplfaons. Ans l nos ese les os éqaons salaes svanes : f f f d d 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

41 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Nos obenons don sos fome ndelle l'éqaon loale d'éqlbe : ( M, / R ) dv f ( M, ) g L'avanage de la pésenaon péédene es q'elle peme ne lsaon apde de l'éqaon d momen dynamqe. On pe o d'abod emaqe qe les foes de volme e les foes d'nee ndsen des momens d'ode 4, néglgeables vs à vs des momens assoés a foes de sfae q e son d'ode. ans le all d momen des foes de sfae, seles les omposanes angenelles (ssons) donnen es momens d'ode. Une smple éqaon ond alos à la elaon svane : Cee éqaon, appelée "éqaon de époé des ssons", enaîne la symée d ense des onanes. Ans, omme le ense des défomaons, le ense des onanes ne sea déemné qe pa 6 emes. l sffa de se donne os onanes nomales s la dagonale e os onanes angenelles hos dagonale. Popéés d ense des onanes Changemen de base La elaon ( M, n) n mone qe le vee onane dépend lnéaemen de la deon de nomale à la faee. Le ense des onanes es don ne applaon lnéae q fa passe de n à ( M, n). S on hos ne base ohonomée (,, ), ee applaon lnéae es epésenée pa ne mae don les élémens son. ans ne novelle base ohonomée ', ', ') les novelles ( omposanes d ense des onanes ' seon dédes des anennes à l'ade de la fomle svane : ' Q Q k l kl ans ee fomle, les emes Q epésenen la mae de passage : ' Q ave QQk QQk k Conanes pnpales Le ense des onanes éan syméqe à oeffens éels, l es dagonalsable e ses vales popes son éelles. l ese don os onanes pnpales (vales popes) assoées à os deons pnpales (vees popes). Nos avons ans des elaons d ype : ( M, ) ans la base des vees popes (,, ), la mae epésenan l'éa des onanes es dagonale 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

42 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY,, Ans, dans ee base, les onanes angenelles son nlles. Généalemen, on déompose le ense des onanes en ne somme d'n ense sphéqe S e d'n ense dévaoqe. Le ense dévaoqe es n ense ayan ne ae nlle. La déomposon es alos nqe. On a les elaons : S S S La ae d ense des onanes es n nvaan. A pa de ee noon, on pe défn la pesson hydosaqe : p Le ense dévae es syméqe e l adme les mêmes deons pnpales qe le ense des onanes. On qe la pesson p epésene la pae sphéqe d ense des onanes e qe le ense epésene la pae "sallemen". nvaans Comme po le ense des défomaons, l'annlaon d polynôme aaésqe mone q'l ese des nvaans salaes. Ce son défns pa : S de so sos fome ndelle : de 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

43 J As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Les nvaans d ense dévae son : J S S S S S S 6 de SS S Cele de Moh L éa de onane es don epésené pa n ense. Ans qe nos l avons déà v l es possble d oben ne epésenaon gaphqe plane pa ele de Moh. ans le plan de ee epésenaon, on ae le le de l eémé d vee onane, en fonon de l oenaon de la nomale à la faee hose a pon onsdéé. S la nomale appaen à n plan pnpal, e le es l n des os eles de Moh assoés a plans pnpa. S la nomale appaen à de plans pnpa, es à de s la nomale es onfonde ave ne deon, alos le vee onane es sé s l ae de la nomale, l eémé d vee éan alos onfond ave le pon ommn a de eles de Moh. nfn s la nomale es qelonqe dans l espae des vees popes, l eémé d vee onane se ove à l née d ele. L avanage de ee epésenaon gaphqe ésde dans la falé de vsalsaon des omposanes nomales e angenelles d n vee onane. On véfe asémen qe la pls gande onane pnpale es en fa la vale mamale de la onane nomale en n pon alos la vale mnmale es donnée pa la pls pee onane pnpale. Po e q es de la onane angenelle, la pls gande vale es donnée pa la dem dfféene ene la pls gande onane pnpale e la pls pee onane pnpale. lle es obene po la deon de nomale q oespond à la bssee d plan pnpal assoé à la onane pnpale mamale e la onane pnpale mnmale. onanes pnpales selon ne déossane, on a : n Applaon MAX n mn n MAX S on se donne la onvenon d odonne les Consdéons ne poe doe de seon lae sollée en fleon pe ombnée ave de la oson. On désgne pa l ae de la poe (lgne des enes de gavé) e pa l ae d momen de fleon. l es alos possble de démone qe, dans le ade des hypohèses de la héoe des poes, les enses onanes assoés à es de sollaons son dans la base ylndo polae : 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 4

44 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 44 Po la fleon :,, ave y Mf G Po la oson :,, ave M G L éa de onane éslan es don :,, A pa de e ense, l es smple de epésene le ele de Moh. n effe, on onsae asémen qe le vee epésene ne deon pnpale, la onane pnpale assoée éan nlle. Le plan, es don n plan pnpal de onanes aqel l es possble d assoe n ele de Moh. Po la onson de e ele, l sff de epésene qelqes pons appaenan à e ele, es à de de défn l eémé de vee onane po qelqes deons de nomales appaenan a plan pnpal. On pe alos hos de epésene les vees onanes assoés a deons e. On a : M M ; ; La onson d ele de Moh es alos possble e elle mone qe les vales des onanes pnpales son : 4 4

45 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Los de Compoemen des mle onns Blan des qaons Nos venons de dée n poblème de méanqe sos de angles dfféens. n oé, ne despon némaqe nos a pems d node les qanés ensoelles de défomaon, de l ae oé, pa ne despon dynamqe, nos avons oben les qanés ensoelles de onane. oefos, l epéene mone q l es mpossble de dssoe les de appohes e q l y a ne dépendane éoe ene es de despons. l ese ne dalé ene les noons de déplaemen défomaon e les noons de foe onane. A el pon q l es soven mpossble de dsnge la ase de l effe. Penons pa eemple le as d ne poe onsole enasée à ne eémé e lbe à son ae eémé. Plses as de sollaon peven appaaîe. On pe envsage q à son eémé lbe on mpose ne foe F d nensé onne (ploage en foe). On oben alos ne défomaon généale de la poe q se ad ass pa ne flèhe mesable à l eémé lbe. A l nvese, on pe, pa n sysème méanqe mpose la flèhe f à l eémé lbe (ploage en déplaemen). Cee défomaon ne poa êe obene qe s le sysème méanqe eee ne eane foe s la poe. Ces de eemples monen ben qe e q es la ase (esp. l effe) dans n as pe deven l effe (esp. la ase) dans l ae as. l es même possble de omplqe n pe l éde péédene en magnan q l ese n app élasqe à l eémé lbe de la poe. On éabl ans ne elaon ene la foe e le déplaemen, elaon donnée pa la fonon de éponse de l app élasqe. ans ne éde de méanqe l es néessae de défn oes les vaables. l onven don d en fae le dénombemen e de ehehe oes les éqaons à noe dsposon po mene à ben ee éde. Les vaables peven se lasse dans les de aégoes némaqe e dynamqe. Po l aspe némaqe on pe, dans l hypohèse des pees pebaons de qe les vaables d éde son le hamp veoel de déplaemen e le hamp ensoel de défomaon. oé de l aspe dynamqe, les seles vaables d édes son les omposanes d hamp ensoel de onane. Le dénombemen des nonnes d ne éde de méanqe es alos le svan : Masse salae fonon salae Champ de déplaemen vee fonons salaes Champ de défomaon ense syméqe 6 fonons salaes Champ de onane ense syméqe 6 fonons salaes 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 45

46 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Po e q onene les éqaons, nos avons à noe dsposon d ne pa les elaons déplaemen défomaon sse de l éde némaqe, d ae pa les éqaons d éqlbe sses de l éde dynamqe. Le dénombemen des éqaons dsponbles es alos le svan : qaon de onné Relaons déplaemen défomaon qaons d éqlbe (éqaon de éslane) elaon 6 elaons elaons l es à noe qe dans e dénombemen d éqaons, l n es pas fa éa de l éqaon d momen dynamqe, ee denèe éan deemen lsée po oben n ense des onanes syméqe. Le blan nonnes éqaons mone balemen q l ese n déf de 6 elaons po ae n poblème de méanqe. Ce déf sea omblé pa les elaons sses de l epéene, elaons qe l on appellea Los de ompoemen. Po êe oees, les novelles éqaons doven espee eanes onons e en pales ne pas alle à l enone des pnpes fondamena de la physqe (méanqe e hemodynamqe). l onven don dans n peme emps de fomle laemen es pnpes en fonon de nos nonnes d éde. Ces pnpes fasan appaaîe essenellemen des qanés énegéqes, l nos fa les epessons des gandes lsées. héoème de l énege néqe Ce héoème es ne onséqene dee d pnpe fondamenal de la méanqe. L éqaon loale nos donne : d dv f On pe alos fae le pod salae ave le vee vesse : d. dv. f. d dv. f. ae pa nos avons la elaon svane : dv dv. gad ans ee epesson, le dene eme epésene le pod doblemen onaé ene le ense onane e le ense gaden d hamp des vesses. Sos fome développée, on pe, dans ne base aésenne, ée : 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 46

47 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 47 Consdéons de manèe sépaée le dene eme. On a : on, gâe à la symée d ense de onane, e eme appaaî omme le pod doblemen onaé ene le ense onane e le ense a de défomaon. On a don : f dv d. So po n domane maéel : dv dv f dv dv dv d. ans ee epesson, le peme membe epésene la dévée pa appo a emps de l énege néqe d domane qe l on s dans son movemen. n effe, en lsan la dévée palae d ne négale de volme, nos povons ée : n ds dv dv d. Le peme eme d seond membe pe enoe s ée : dv dv Le dene eme pe êe modfé en lsan le héoème de la dvegene : dv gad gad dv n ds dv gad dv n ds dv dv n ds e pls nos povons lse l éqaon de onné : gad dv dv.

48 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY La dévée de l énege néqe pa appo a emps deven alos : d dv gad dv. d d dv dv Ce q nos donne po l éqaon péédene : d dv dv dv f. dv dv ans le seond membe on pe lse le héoème de la dvegene : d dv. n ds f. dv dv Ce qe nos povons ée, ompe en de la symée d ense des onanes : d dv n. ds f. dv dv ans le seond membe, le peme eme epésene la pssane méanqe des effos sfaqe, le seond eme epésene la pssane méanqe des effos volmqe e le dene eme epésene la pssane méanqe des effos de ohéson, es à de des effos nées : P M; n. ds f. dv P e n dv La pssane des effos nées es pafos appelée pssane de défomaon. On oben ans l énoné d héoème de l énege : d d K dv Pe P La dévée pa appo a emps de l énege néqe d n domane qe l on s dans son movemen es égale à la somme de la pssane méanqe des effos eées e de la pssane méanqe des effos nées. n 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 48

49 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY hemodynamqe des mle onns Sos éseve d admee eans éslas, l es possble de déemne la lo de ompoemen adsan l élasé lnéae sans fae appel a noons de hemodynamqe. oefos, afn de ese enoe n pe généal e d avo les bagages mahémaqes q pa la se pemeon d éabl d aes los de ompoemen (omme la plasé), nos allons manenan egade les de pnpes de la hemodynamqe. e pls l ne fa pas oble qe de nombe poblèmes ehnologqes mplqen n oplage ene les effes méanqes e les phénomènes hemqes. Peme Pnpe de la hemodynamqe Ce peme pnpe es enoe appelé lo de onsevaon de l énege. l epme le fa qe la vaaon de l énege oale (énege nene e énege néqe) d n domane es égale à la somme de la pssane des effos eées développés s le sysème e de la qané de hale appoée a sysème pa né de emps. d d K We Q Pe Q On emaqea ee fos l emplo de la noaon q es lsée po ndqe qe les fonons dévées ne son pas des fonons d éa e q elles ne déven pas d n poenel. L énege nene es ne gande eensve (adve) e on pe défn ne énege nene massqe : edv e la même façon, on poa ée po l énege néqe : K dv Po la déemnaon de la qané de hale appoée a sysème pa né de emps, on sppose qe les éhanges son de de ypes : Sfaqe ondon olmqe ayonnemen Le eme de ondon s la sfae fonèe es l négale de sfae d ne densé sfaqe h( M; n), où n epésene la nomale eéee en M à la sfae. Cee densé s epme sos la fome d n fl d n vee oan de hale soan : h M; n q M. n M Pa onvenon, les qanés de hale eçes pa le sysème seon noées posvemen e elles pedes négavemen. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 49

50 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Le eme de ayonnemen es l négale d ne densé volmqe q oespond a a de hale eçe (ayonnemen eene, effe ole, éaon hmqe nene ). On a don po la qané de hale appoée a sysème pa né de emps : Q q. n ds dv L éqaon de onsevaon de l énege se me sos la fome svane : d e dv M; n. ds f. dv q. n ds dv ae pa on pe lse le héoème de l énege néqe : d dv M; n. ds f. dv dv Le peme pnpe de la hemodynamqe pe don se mee sos la fome : d Q Pn d e dv dv q. n ds n lsan l éqaon de onné e en applqan les héoèmes de la dvegene e de l négale nlle, on pe donne ne epesson loale de e blan : d e dv On pe don de qe la vaaon de l énege nene massqe es de à la pssane massqe dsspée pa les effos nées e à n appo de hale. q Seond Pnpe de la hemodynamqe Le deème pnpe de la hemodynamqe posle l'esene d'n hamp salae posf, appelé empéae absole e noé e d'ne fonon d'éa d sysème adve, appelée enope, noée S e elle qe l'on a oos l'négalé : ds q dv. n ds l es à noe qe nos n avons pls ne lo de onsevaon, mas a onae ne dééoaon de l enope. L'égalé n'es obene qe dans le as ès pale des ansfomaons évesbles. La fonon enope n'es don défne qe pa sa dfféenelle e elle ne pe êe allée q'à ne onsane adve pès. Généalemen on avallea ave l'enope massqe s. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

51 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY On a don, ompe en de l éqaon de onné, e des héoèmes de la dvegene e de l négale nlle : ds q dv e pls on a ne dené fondamenale : q dv dvq gad. q On pe don oben l'négalé de Class - hem : ds de q. gad Qe l'on pe enoe ée : d d s q. gad n fasan neven l'énege lbe massqe es. n fa le seond pnpe peme d'epme l'éa ene le poesss édé e n poesss évesble. Comme on pe le onsae, ee dfféene fa appaaîe de ognes : * hemqe pa le eme q gad. d d * méanqe pa le eme s Le sgne négaf d eme d'ogne hemqe s'eplqe falemen pa la onvenon hose. n fa on ad ans l'évesblé hemqe. Un ops had ne pe qe éde de la hale à n envonnemen pls fod, alos q'à l'nvese n ops fod ne poa qe eevo de la hale (appo d'énege sos fome alofqe). Le eme d'ogne méanqe se pésene sos la dfféene de de qanés. La seonde qané es défne omme éan la pae évesble de la pssane dsspée pa la défomaon. lle ven oos en dédon de la pssane de défomaon. qaon de la hale La hemodynamqe nod qae novelles nonnes dans noe poblème. n effe l énege nene e le vee oan de hale ne son à po pas déemnés. e même le seond pnpe nos appoe de novelles nonnes, l enope e la empéae absole. l onven don de ove les éqaons spplémenaes q pemeon de défn omplèemen oes es nonnes. A novea es éqaons seon sses de l epéene e elles feon soven neven à la fos les qanés hemqes e les qanés méanqes. Afn de ne pas alod l eposé, nos nos oneneons d ne fomlaon smplfée dans laqelle les omposanes hemqes nevendon ès pe. n onséqene nos n aons q n déf nonnes / éqaons égal à 6, omme eposé dans le peme paagaphe de e hape. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

52 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY oefos l ese de nombe as où le déoplage méanqe / hemqe es effef. l es alos bon de déemne la lo de dsbon des empéaes en lsan l éqaon de la hale. Po éabl ee éqaon, nos fomons les hypohèses svanes : * le maéa es à lasons pafaes e on néglge oe ansfomaon hmqe o physqe de la maèe. On mone q'alos l'énege nene es popoonnelle à la empéae absole pa l'nemédae d'ne onsane appelée apaé alofqe massqe : de d * on néglge le eme volmqe de a de hale eç : L'éqaon de l'énege deven alos : d. gad dv( q) On fa généalemen l'hypohèse qe le maéa s la lo de ondon de Foe, 'es à de qe le fl de hale es ne fonon lnéae d gaden hemqe : q kgad( ) Le salae k es la ondvé hemqe. S le ops n'es pas soope, la ondvé hemqe sea epésenée pa n ense. S le ops es soope e homogène, ee ondvé hemqe es ne onsane. On oben alos l'éqaon de la hale : d. gad k La ésolon de ee éqaon peme de onnaîe à haqe nsan la empéae en o pon d maéa. Po êe ésole, ee éqaon néesse ne bonne onnassane des onons nales e des onons a lmes d domane. Les onons hemqes qe l'on pe enone a lmes son : * empéae mposée (dans le as d'ne pao pafaemen églée hemqemen). adabaqe). * fl mposé (n fl nl oespond à ne pao pafaemen solée, 'es à de * éhange pa onveon : kn gad( ) ( ). e où es le oeffen de onveon e e la empéae d seond mle. 4 4 * éhange pa ayonnemen : kn. gad( ) ( ) où es l'émssvé, la onsane de Sefan e e la empéae d seond mle. e 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

53 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY hemo-élasé lnéae Ans qe nos venons de le démone, nos avons n déf nonnes / éqaons. Ce éa de fa ne do pas nos spende, a l dfflemen envsageable q ne héoe généale psse englobe des ompoemens ass dfféens qe e des soldes e des fldes. l fa fae appel a éslas epémena po déemne les elaons manqanes qe nos appelleons les los de ompoemen. oefos, ne elle lo de ompoemen ne pe pas êe qelonqe. lle se do de espee eans pnpes qe l on pe onsdée de bon sens. L obe de e os n éan pas de fae ne éde ehasve de oes les los de ompoemen, nos nos oneneons de ne e qe les pnpes évdens aqels deva sose le ompoemen édé, à savo le ompoemen élasqe lnéae. n peme le nos appelleons q ne lo de ompoemen ne pe en an as déoge a pnpe fondamenal de la méanqe e a pnpes de la hemodynamqe nse, nos povons de q ne lo do êe obeve, es à de nvaane dans o hangemen de éféenel. lle do êe la même po os les obsevaes. Cee onon d obevé sppose ne nvaane po les hangemens de honologe (hangemen d ogne des emps e/o hangemen d né de emps), e ne nvaane po les hangemens de epèes. nfn nos dons q ne lo do êe déemnse es à de qe la éponse d mle à l nsan ne do dépende qe de l hsoe anéee d mle. Ben évdemmen, es généalés ne pemeen pas de défn la fome déallée des los de ompoemen e enoe mons d'oben ne lo de ompoemen nveselle. Po posve l fa fae des hypohèses spplémenaes, hypohèses q seon soven dédes de l'obsevaon epémenale. Nos povons manenan donne la fomlaon d n ompoemen élasqe lnéae. oefos afn d ade le lee dans sa ompéhenson, nos ndqons de appohes qelqes pe dfféenes po abo a même ésla. Pemèe appohe de l élasé lnéae Po ade le phénomène élasqe d'n ompoemen de maéa, on pe de qe la éponse d mle es pafaemen dée pa la onnassane de la empéae e d ense des défomaons. Repenons l'négalé de Class - hem : d d s q. gad Ave l'hypohèse fomlée, on pe de qe la fonon d'éa (énege lbe massqe) es ne fonon nqemen des paamèes e. On pe don ée : d, d d d n epoan dans l'négalé de Class - hem, on oben : 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 5

54 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY d s q. gad Comme les sels paamèes eens po l'éde son la empéae e le ense des défomaons, l'négalé péédene do êe sasfae qels qe soen e d. On pe don de : e s Ans on onsae qe la onnassane de la fonon d'éa énege lbe massqe peme de défn la lo de ompoemen d maéa. Po ee ason on donne le nom de poenel élasqe à la fonon énege lbe. Po posve, on pe fomle l'hypohèse des pees pebaons, 'es à de qe la empéae e le ense des défomaons lnéasé son les seles vaables d'éa d sysème. La elaon de ompoemen s'é : Pa ohéene ave l'appomaon, nos ne gadeons dans le développemen d ense des onanes en fonon d ense des défomaons qe les emes d'ode. e même po le paamèe empéae. On oben alos la lo de ompoemen hemoélasqe lnéae : A ave : : ense des onanes dans la onfgaon nale, onanes ésdelles A : : : ense d'élasé d qaème ode ense des oeffen de dlaaon hemqe empéae dans la onfgaon nale S le maéa es homogène e soope, la onon d'obevé nos ond alos à n ense d'élasé déemné pa de onsanes e le ense des oeffens de dlaaon hemqe es sphéqe. La lo de ompoemen deven alos : ae Qe l'on pe enoe ée : ave les elaons : ae 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 54

55 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY ( ) Peme oeffen de Lamé = Modle de Colomb ( )( ) eème oeffen de Lamé ( ) Modle d'yong ( ) Coeffen de Posson Coeffen de dlaaon hemqe lnéae eème appohe de l élasé lnéae Nos allons eonse ee lo de ompoemen en essayan de mone l mpoane de haqe hypohèse fomlée. ans n peme emps nos dons qe nos fasons sb à noe mle onn ne ansfomaon géoméqe onne, nfnésmale. Nos nos plaçons ans dans le as des pees pebaons e l éa de défomaon pe êe, ass ben en vaables de Lagange q en vaables d le, déemné pa la pae syméqe d ense gaden de déplaemen, es à de le ense. La ansfomaon es monoheme évesble. Ans le mle n éhange de la empéae q ave ne sele soe hemqe. La évesblé peme de ade le seond pnpe pa ne égalé. l es à noe qe ee évesblé es doble, méanqe e hemqe. La évesblé méanqe ele os les poblèmes de foemen ene de pèes alos qe la évesblé hemqe mpose a domane édé d êe onsammen à la empéae de la soe hemqe, es à de à ne empéae nfome (mas povan évole a os d emps). ès à pésen nos ée les onséqenes de es hypohèses s le seond pnpe de la hemodynamqe : Q Q ds ae pa nos spposons qe le domane ne sb ane ansfomaon hmqe, n de hangemen d éa. l n y a don ane éaon de hale nene e pa voe de onséqene, omme le domane es onsammen à la empéae de la soe, l éhange de hale es nl. Q L ée d peme pnpe de la hemodynamqe se smplfe e deven : d P n dv Ans la pssane de défomaon es la dévée pa appo a emps de l énege poenelle. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 55

56 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY On pe alos défn l énege de défomaon q es l opposé d aval développé pa les effos nées dans la ansfomaon pemean de passe de l éa nael à l éa onsdéé. On a : dw def P n dv d dv d dv Ave le peme pnpe de la hemodynamqe, on pe alos onsae qe l énege de défomaon, q, à ne onsane adve pès, es égale à l énege nene, es ne fonon d éa. Ans la dfféenelle qe nos venons de fome do êe ne dfféenelle oale eae e les onons d négablé de Cahy doven s applqe. L énege de défomaon ne dépend don qe de l éa nal e de l éa fnal. Le maéa ese négalemen l énege qe l on fon po le défome. On q l a n ompoemen élasqe, es à de évesble. Cee énege de défomaon ne sea ne dfféenelle oale eae qe s les onanes ne son fonons qe des défomaons, à ne onsane pès. On oben alos : f kl Les onanes epésenen l éa de onane en l absene de défomaon. Ce son les onanes nales. ans l éa nal nael, elles son nlles. Po avane dans noe éde nos spposeons qe d ne pa l éa nal es nael, e qe d ae pa le maéa a n ompoemen élasqe lnéae, es à de qe les elaons ene l éa de onane e l éa de défomaon son des fonons lnéaes. On pe don ée : Akl kl Le ense d qaème ode A epésene le ense de ade. ans l hypohèse d n mle onn homogène, ses omposanes son ndépendanes des oodonnées d pon onsdéé. Compe en de la symée des enses onane e défomaon, le ense de ade es aaésé pa 6 emes. oefos le nombe de paamèes ndépendans es de a l fa espee les onons d négablé de Cahy po la fome dfféenelle de l énege de défomaon. Ces onons son a nombe de 5 : kl Akl Akl kl ans le as le pls généal, l onvenda don de ove les essas de aaésaon de es fonons. ans la paqe es fonons son dépendanes de la empéae e d emps (vesse d'applaon des hages). Comme on avalle en généal dans des plages de empéae ben défnes, elavemen lmées e qe es fonons son fablemen dépendanes de la empéae, on pe falemen les assmlées à des oeffens onsans po ne néqe donnée. L'denfaon de es oeffens élasqes epose s l'évalaon de la ade dans des essas saqes (aon-ompesson, oson...), dans des essas de vbaons o dans des essas de popagaon d'ondes. On onsae ne dfféene a nvea des éslas donnés pa es essas. Ce éa s'eplqe a les méhodes dynamqes ne pemeen pas de pende en ompe eans movemens nenes vsqe e de e fa donnen des gés n pe pls gandes. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 56

57 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Convenon d'ée Le ense de ade es n ense d'ode 4. l es don palèemen déla à eple. Les fomles développées son elavemen lodes. l onven don de ove ne méhode q pemee ne smplfaon d'ée. La solon ésde en des applaons lnéaes. L'ne va nos pemee de passe de l'espae veoel de dmenson assoé a enses d'ode ves n espae veoel de dmenson aqel on assoea des enses d'ode. Po le ense des onanes, ee applaon se pésene sos la fome svane : ˆ Pa one po le ense des défomaons, on péfèe lse l'applaon défne pa : ˆ Ces ansfomaons s les enses des onanes e des défomaons ndsen l'esene d'ne applaon lnéae de l'espae veoel de dmenson 4 (assoé a ense de ade) ves n espae veoel de dmenson : K ˆ Cˆ ˆ La novelle fome d ense de ade peme alos de l assoe ne mae aée (6,6) : /8/4 Méanqe des Mle Conns Page 57

58 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Compe en des onons d'négablé de Cahy s le aval de défomaon, nos avons les elaons svanes : Ces elaons éan a nombe de 5, nos nos eovons ben ave oeffens ndépendans. La se de la mae C deven alos : X Z Z Y Les sos-maes X, Y e Z éan des maes (,), les maes X e Y éan syméqes. Les hypohèses spplémenaes poan s le degé d'ansoope d maéa von nos pemeen de dmne le nombe des oeffens ndépendans. Ces hypohèses poen essenellemen s les symées e oaons possbles sans hangemen de la lo de ompoemen. L'nvaane d ompoemen dans n ean ype de hangemen de base ne sea en effe véfée q'ave des elaons palèes d ense de ade. Po mee en évdene es elaons on appelle les ègles de ansfomaon des omposanes d'n ense dans n hangemen de bases ohonomées : J J k k e, e, e,, e a b e ave a b J J Po n ense d'ode, on a : e e J J b b J J J a a J Po n ense d'ode 4, on oben : kl kl JKL e e b b a J b a k K J e b a l L K k a k JKL L l e kl l JKL J K L Remaqe La noaon péédene (ave des ndes spées e nfées) pe hoqe à pemèe ve mas ee noaon es en onfomé ave les noons de vaane e de onavaane. lle peme des ées ave des smplfaons sysémaqes. e pls, dans le as d'ne méqe non eldenne, elle sele pemea de pende en ompe oeemen les novelles noons de longe. oefos, dans n so de smplé, nos onneons à lse des noaons ave des ndes nfées po les enses. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 58

59 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Symée plane Spposons qe le plan, so n plan de symée maéelle. e e e ans e as la lo de ompoemen do êe nvaane pa le hangemen de base défn pa les maes : b a On a alos ave es maes : kl b b JKL a J b a k K J b a l L K k a JKL L l kl JKL kl Po ela, l fa avo les elaons svanes : L epesson des elaons onanes défomaons deven alos : Maéa ohoope Un mle es ohoope po ne popéé donnée s ee popéé es nvaane pa hangemen de deon obene pa symée elave à de plans ohogona. On emaqe q'alos la symée pa appo a osème plan ohogonal es aomaqemen aqse. Ce mode de ompoemen es elavemen ben éalsé po le bos (dans eans as), les omposes ndeonnels e les pods méallqes lamnés. Spposons qe nos ayons ne symée pa appo a plan de oodonnées. La mae de hangemen de base adsan ee symée es : P 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 59

60 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY La elaon d'ndépendane d ense de ade A dans e hangemen va se ade pa le fa qe oes les omposanes K ayan n nombe mpa d'nde son nlles. Ans po la mae C on oben : kl Le ense de ade n'a pls qe oeffens ndépendans. l nos ese manenan à ade la onon de symée pa appo à n plan ohogonal, pa eemple el de oodonnées. On aa don : l ne ese don qe 9 oeffens ndépendans po ade le ompoemen de noe maéa. ans le epèe pnpal d'ohoope, la lo pe se mee sos la fome : G G G Les onons de symée se adsen pa les elaons : ; ; Le maéa es don aaésé pa 9 oeffens ndépendans : * modles d'élasé longdnal, e dans les deons de l'ohoope. * modles de sallemen G, GeG. * oeffens de onaon, e. e pls, des onsdéaons hemodynamqes s le aval de défomaon pemeen de démone les négalés svanes : ; ; 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

61 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Maéa soope ansvese Un mle es soope ansvese po ne popéé donnée s ee popéé es nvaane pa hangemen de deon obene pa oaon ao d'n ae pvlégé. ans e as, o plan passan pa l'ae pvlégé es n plan de symée. Nos povons don emaqe qe le mle es déà ohoope. magnons pa eemple qe l'ae so l'ae d'soope. l es don néessae d'avo ne nvaane de la lo de ompoemen po oe oaon défne pa : os sn P sn os On onço falemen q'en pls des elaons d as ohoope, on obenne de novelles elaons ene les oeffens élasqes d ense de ade. On aa pa eemple : K K snos A snos A snos Ce q nos donnea : 66 p p A A q q K K pq pq snos K snos K os sn snos snos K sn os 4sn os 'où la elaon : os sn A snos K os sn sn os p A q K pq a n défnve on eovea 4 novelles éqaons (don ). l n'y a don pls qe 5 omposanes ndépendanes. Les éqaons devennen : 66 K G G 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

62 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Les 4 elaons spplémenaes éan : ; ; G G ; G Maéa soope L'hypohèse d'soope mpose qe la lo de ompoemen so ndépendane d epèe hos po l'epme. n d'ae eme, le ense de ade do êe nvaan po o hangemen de base. Cela even à de qe os aes ndépendans son des aes d soope ansvese. Cela nos donne alos les elaons svanes : ; ; GG ; G s e es ae d' soope ; ; ; G ; G G G ; G ; G s e s e es ae d' soope es ae d' soope Compe en de oes es elaons, la lo de ompoemen se pésene sos la fome : On onsae alos qe la sele fome possble d ense d élasé es : Akl kl k l l On oben ans la lo de ompoemen fasan appaaîe les oeffens de Lamé : k kk Ave ee fome de elaon, on onsae qe les deons pnpales de onanes son onfondes ave les deons pnpales de défomaons. Cee lo de ompoemen va fae l obe d ne éde appofonde dans la se d os. 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

63 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY lasé lnéae Lo de ompoemen ans le hape pééden, nos avons eplqé la néessé d ée des elaons sses de l epéene afn de solonne n poblème. Nos allons manenan éde de façon pls appofonde l ne de es los de ompoemen, l élasé lnéae. ans la paqe, es eanemen le ompoemen q es le pls falemen employé. l s applqe, moyennan eanes appomaons, dans de nombe as. Paqemen os les méa pésenen es popéés, sos éseve qe le nvea de onane ne so pas op élevé. Mas la héoe de l élasé lnéae pe ass s applqe à des maéa non soopes, omme le bos pa eemple. La méanqe des sols lse ass ee héoe. nfn, dans ne eane mese, les maèes plasqes peven avo ne phase de ompoemen élasqe. oefos la lo qe nos lseons sea lmée à des maéa soopes, es à de qe la fomlaon de ee lo de ompoemen do êe denqe qel qe so le éféenel lsé, lé o non a maéa édé. S le maéa es homogène, soope, s la ansfomaon es onne, nfnésmale, monoheme évesble, s le domane ne sb ane ansfomaon hmqe, n de hangemen d éa, s le ompoemen es lnéae, alos nos avons les elaons svanes : ave : : ense des onanes dans la onfgaon nale : empéae dans la onfgaon nale e ave les elaons : G ( ) Peme oeffen de Lamé = Modle de Colomb ( )( ) eème oeffen de Lamé ( ) Modle d'yong ( ) Coeffen de Posson Coeffen de dlaaon hemqe lnéae 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 6

64 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY ans le as d ne ansfomaon soheme à pa d n éa nal nael (sans onanes nales), les fomles pennen les epessons svanes : n noaon ndelle, on oben, dans n mpoe qelle base (soope d ompoemen) : kk kk On pe falemen onsae ave es elaons qe les bases pnpales de l éa de défomaon e de l éa de onane son onfondes. La lo de ompoemen n es aaésée qe pa de gandes ndépendanes, pa eemple les oeffens de Lamé o le modle d Yong e le oeffen de Posson. Généalemen on péfèe employe es de denèes gandes qe l on pe falemen déemne pa n smple essa de aon. Le ablea svan donne eanes de es vales po ne empéae de C: Maéa Modle d Yong (GPa) Coeffen de Posson Masse olmqe (kg/dm ) Ae de onson,85 7,8 Ae no 8-,9 7,9 Fone gse 9 à,9 7, à 7, Allage A6 5,5 7,8 Almnm 7,4,6 Zn 78, 7,5 ane 5,4 4,5 ee 6,5,8 Béon en ompesson à,5 à,4 Caoho,,5,8 Bos (pn) 7,,4 Mabe 6,,8 Gaphe 5 à 5, à,4,75 à,9 lasomèe,,5 (ales données dans l ovage de G. UAU) 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 64

65 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY qaons spplémenaes en élasé ans le as généal nos aons, gâe à la lo de ompoemen, sffsammen d éqaons po povo ae n poblème d élasé. oefos soven nos seons fae à n sysème d éqaons dfféenelles elavemen déla à ésode. l pe êe le d employe des éqaons omplémenaes q adsen, sos ne ae fome, les los de la physqe. Les éqaons de NAR e les éqaons de BLRAM en son n eemple. qaons de NAR Ces denèes ne son en fa qe la adon des éqaons d éqlbe en emes de déplaemen. Po ela on lse à la fos la lo de ompoemen e les elaons défomaons déplaemens. Sos fome loale, l éqaon de éslane sse d pnpe fondamenal de la méanqe nos donne : dv f Ave la lo d élasé lnéae, nos obenons : dv gad f ae pa nos avons les elaons svanes : dv dv gad dvgad dv gaddv dv On oben alos les fomes veoelles svanes des éqaons de NAR : gad dv f gaddv o o f l es possble de eove es éqaons en lsan la noaon ndelle. On pe ans déve la lo de ompoemen élasqe lnéae epmée dans ne base aésenne. On oben : Ce q nos peme d ée les éqaons d éqlbe sos la fome : f 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 65

66 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Ave les elaons déplaemen défomaon, nos obenons : f f f f Ce q nos donne ben la elaon veoelle : gad dv f ae pa, l es possble d oben ne éqaon spplémenae à pa de la fomlaon péédene. n lsan l opéae dvegene, on oben : dv dv gad dv dv f Mas nos avons ass les elaons : dv dv dv gad dv dv Ce q nos donne alos l éqaon salae : dv dv f dv f Cas pale : ans le as d n domane à masse volmqe onsane, en éqlbe e plaé dans n hamp de foe volmqe à dvegene nlle dv f, on oben : qaons de BLRAM Losqe l on dése ésode le poblème en onane, sans volo à po défn les hamps de déplaemen e de défomaon, on lse ne méhode e «nvese». l onven alos, en pls de la véfaon des éqaons d éqlbe, de s asse qe l éa de onane ond, pa l nemédae de la lo de ompoemen, à n éa de défomaon ompable ave n hamp de déplaemen. Les éqaons de BLRAM pemeen semen de fae ee denèe véfaon sans amas alle les omposanes d ense de défomaon. lles povennen des éqaons de ompablé : gad dv ε gad dvε gad gad ε Δ ε 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 66

67 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 67 La lo de ompoemen nos peme d ée : ae pa nos avons : Ave la fome salae des éqaons de NAR : f dv f dv e pls nos povons ée : gad dv dv gad dv dv gad dv dv gad gad gad gad gad gad nfn nos povons lse les éqaons d éqlbe : f dv L éqaon de ompablé deven alos : gad gad gad f dv gad dv dv Sos fome ndelle on oben : f dv f f Cas pale : ans le as d n domane à masse volmqe onsane, en éqlbe e plaé dans n hamp de foe volmqe à dvegene nlle f dv, on oben :

68 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY gad gad Cèes de lme élasqe La lo de ompoemen qe nos venons de défn adme malheesemen des lmes. ans paqemen oes les epéenes, on onsae en effe qe, losqe les effos applqés son op gands, le maéa ped ses qalés d élasé e q l sbsse des défomaons pemanenes appelées défomaons plasqes. L ngéne es alos soms à de onadons : asse n p de even mnmal, es à de employe le mons de maèe possble, e défn ne se pefomane e éssane, es à de lsan beaop de maèe. l es don néessae po l de se ove onsammen à la fonèe ene es de onanes e po ela l l fa don avo les élémens q défnssen ee fonèe. Les éslas d essa La onnassane d n éa lme se déemne pa les essas effeés en laboaoe. l es logqe de pense qe e éa lme es lé a ense des onanes a es l epesson ensoelle q ad la épaon des effos à l née de la maèe. n ve de l hypohèse d soope d maéa, l es logqe de pense qe la lme élasqe sea elée a vales popes de l éa de onane, es à de a onanes pnpales. e pls l fa povo en ompe des dfféens éslas obens los des essas epémena. Nos povons don envsage la fome généale d n èe omme éan ne elaon d ype : F,,,,,..., n ans ee epesson, les oeffens pemeen de pende en ompe les dfféens éslas epémena. On spposea qe les onanes pnpales son odonnées : o éa de onane élasqe véfe l négalé, l égalé éan obene en lme d élasé. Afn de ben se epésene ee lme élasqe, on pe envsage ne epésenaon gaphqe. Po ela on pe pense qe le plan des eles de Moh, plan q onen oes les nfomaons s l éa de onane, do onven. On va don ommene pa epésene dans e plan les dfféens éslas epémena. aon naale Pafaemen nomalsé, es l essa le pls oammen paqé. Sa mse en œve es elavemen smple à onon de ben espee le poesss opéaoe. L essa de aon es ass beaop lsé 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 68

69 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 69 po défn les onsanes élasqes d maéa. On démone qe, en des pons a ene de l épovee, l éa de onane es de la fome : y,, epésene l ae de la poe. Nos sommes don dans les deons pnpales e le ele de Moh assoé es de la fome : Les essas monen qe l on es dans le domane de ompoemen élasqe an qe l on véfe la elaon : e e On défn ans la lme élasqe en aon d maéa e. Compesson naale C es n essa pls dffle à mee en œve. Po éve les phénomènes de bod (foemen ene la pèe e les plaea de ompesson) l fa ne pèe élanée, mas on sqe alos le flambemen. n des pons a ene de la pèe l éa de onane es de la fome : y,, ave, onane nomale de ompesson Le ele de Moh pend alos la fome svane :

70 As e Mées Paseh Cene d'nsegnemen e de Rehehe de CLUNY Les essas monen qe l on es dans le domane de ompoemen élasqe an qe l on véfe la elaon : ' ' e e On défn ans la lme élasqe en ompesson d maéa. Csallemen smple Ce éa pe êe oben dans le as de la oson d n be de fable épasse. Ben enend nos sommes à novea onfonés à des poblèmes de flambemen. C es poqo nos lsons soven l essa de oson s des poes does laes à seon plene. L éa de onane es de la fome :,, Apès all des vales popes,,, l es fale de epésene le ele de Moh : ' e L epéene mone q l ese ne vale de onane angenelle à ne pas dépasse s l on ve ese dans n éa élasqe : e Compesson soope 6/8/4 Méanqe des Mle Conns Page 7

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