Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

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1 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère orthonormé, on désigne par C la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f (x) x + e x. Justifier que C passe par le point A de coordonnées (;).. Déterminer le tableau de variation de la fonction f. On précisera les limites de f en + et en. Partie B L objet de cette partie est d étudier la suite (I n ) définie sur N par : I n (x + e nx ) dx.. Dans le plan muni d un repère orthonormé (O; #» ı, #» j ), pour tout entier naturel n, on note C n la courbe représentative de la fonction f n définie sur R par f n (x) x + e nx. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe C n pour plusieurs valeurs de l entier n et la droite D d équation x. D C C C 4 C #» j C 6 C 6 C 5 O #» i

2 (a) Interpréter géométriquement l intégrale I n. (b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I n ) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s appuie pour conjecturer.. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, I n+ I n e (n+)x ( e x ) dx. En déduire le signe de I n+ I n puis démontrer que la suite (I n ) est convergente.. Déterminer l expression de I n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (I n ). Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes : la probabilité qu une personne malade présente un test positif est,99 ; la probabilité pour qu une personne saine présente un test positif est,.. Pour une maladie qui vient d apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d une métropole est égal à,%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. On note M l événement «la personne choisie est malade» et T l événement «le test est positif». (a) Traduire l énoncé sous la forme d un arbre pondéré. (b) Démontrer que la probabilité P(T) de l événement T est égale à,989. (c) L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier la réponse. Affirmation : «Si le test est positif, il y a moins d une chance sur deux que la personne soit malade».. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à,95. On désigne par x la proportion de personnes atteinte d une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur de x le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant? Partie B La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d un médicament.. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 89 et 9 mg. On admet que la masse en milligrammes d un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N ( µ;σ ) de moyenne µ 9 et d écart-type σ 7. (a) Calculer la probabilité qu un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à.

3 (b) Déterminer l entier positif h tel que P(9 h X 9 + h),99 à près.. La chaine de production a été réglée dans le but d obtenir au moins 97% de comprimés conformes. Afin d évaluer l efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à tirages successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer 5 comprimés non conformes sur l échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats On désigne par (E) l équation z 4 + 4z + 6 d inconnue complexe z.. Résoudre dans C l équation Z + 4Z + 6. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à et dont un argument est égal à π. Calculer a sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l équation z + i. On écrira les solutions sous forme algébrique.. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z x + iy où x R et y R, le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z x iy. Démontrer que : Pour tous nombres complexes z et z, z z z z. Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, z n (z) n. 4. Démontrer que si z est une solution de l équation (E) alors son conjugué z est également une solution de (E). En déduire les solutions dans C de l équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions. Exercice 4 (5 points) - Candidats n ayant pas suivis l enseignement de spécialité Dans l espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé ( A; AB; #» AC; #» AD #») de l espace.. On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d intersection du plan P et de la droite (DF). (a) Donner les coordonnées des points D et F. (b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).

4 (c) Déterminer une équation cartésienne du plan P. (d) Calculer les coordonnées du point H. (e) Démontrer que l angle ÊHG est un angle droit.. On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DM #» t DF. #» On note α la mesure en radians de l angle géométrique ÊMG. Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que α soit maximale. (a) Démontrer que ME t 5 t (b) Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M. α En déduire que MEsin. α (c) Justifier que α est maximale si et seulement si sin est maximal. En déduire que α est maximale si et seulement si ME est minimal. (d) Conclure. Exercice 4 (5 points) - Candidats ayant suivis l enseignement de spécialité Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période : il vide le bassin B et vend tous les poissons qu il contenait et transfert tous les poissons du bassin A dans le bassin B ; la vente de chaque poisson permet l achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus poissons pour le bassin A et poissons pour le bassin B. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, on note respectivement a n et b n les effectifs des poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassins A est a et celui du bassin B est b.. Justifier que a 4 et b puis calculer a et b.. On désigne par A et B les matrices telles que A et B ) naturel n, on pose X n ( an b n. (a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, X n+ AX n + B. x x (b) Déterminer les réels x et y tels que A + B. y y an + 4 (c) Pour tout entier naturel n, on pose Y n. b n + Démontrer que pour tout entier naturel n, Y n+ AY n.. Pour tout entier naturel n, on pose Z n Y n. et pour tout entier (a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Z n+ A Z n. En déduire que pour tout entier naturel n, Z n+ Z n. 4

5 (b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n, Y n n Y. En déduire que Y n+ n Y puis démontrer que pour tout entier naturel n, a n 6 n 4 et a n+ 8 n Le bassin A a une capacité limitée de poissons. (a) On donne l algorithme suivant. Variables : a, p et n sont des entiers naturels. Initialisation : Demander à l utilisateur la valeur de p. Traitement : Si p est pair Sinon Fin du Si. Sortie : Afficher a. Affecter à n la valeur p. Que fait cet algorithme? Justifier la réponse. Affecter à a la valeur 6 n 4. Affecter à n la valeur p. Affecter à a la valeur 8 n 4. (b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A. 5

6 Correction Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A. f () + e +. Donc le point de coordonnées (;) appartient à C. Ainsi, A,(;) est sur C. f est dérivable sur R car x x et x e x le sont. Sa dérivée est : f (x) e x. De plus, f (x) e x e x x x D où le tableau de variation suivant : x f (x) f Calcul de la limite en lim ( x) + x lim X + ex + lim x e x + Forme indéterminée lim x x On factorise donc l expression de f (x) : Partie B f (x) x + e x e x (xe x + ) lim x xex (d après le cours) donc lim x (xex + ). De plus, lim x e x + donc, par produit, Calcul de la limite en + ( x) lim x + lim X ex lim x + e x lim x + x + lim f (x) +. x par somme, lim f (x) + x +. (a) I n représente l aire du domaine délimité par C n, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite D. (b) Il semble que C k est sous C, pour tout entier naturel n et tout entier k > n, tout en restant au-dessus de l axe des abscisses. On peut donc supposer que (I n ) est décroissante. 6

7 Quant à la limite de cette suite, il est difficile, à ce stade, de faire une conjecture, mais on peut imaginer que la courbe C n se rapproche de la droite d équation y x dans le carré de côté (dont le sommet inférieur gauche est O). Ainsi, on peut conjecturer que la limite de (I n ) est égale à. (mais sincèrement, si l élève n émet aucune conjecture à ce stade, c est normal...). Pour tout entier naturel n, on a : I n+ I n I n+ I n x + e (n+)x dx (x + e nx ) dx [ x + e (n+)x (x + e nx ) ] dx (par linéarité) ( e (n+)x e nx) dx e (n+)x e nx e (n+)x dx e (n+)x ( e nx+(n+)x) dx e (n+)x ( e x ) dx On sait que e (n+)x > (car une exponentielle est toujours strictement positive). De plus, sur [;], e x donc e x. Ainsi, sur [;], e (n+)x ( e x ) et donc, par propriété sur l intégrale, I n+ I n. La suite (I n ) est donc décroissante. De plus, pour tout entier naturel n et pour tout x compris entre et, x + e nx donc I n. (I n ) est donc minorée. (I n ) est minorée et décroissante ; elle converge donc.. Une primitive de x x est x x et une primitive de x e nx est x n e nx, donc une primitive de f n (x) est F n (x) x n e nx. Ainsi, I n F n () F n () n e n + n I n ne n + n Or, lim n + nen, donc lim I n n +. Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A 7

8 , M,99, T T. (a),999 M,,999 T T (b) D après la formule des probabilités totales, P(T) P(M) P M (T) + P ( M ) P M (T),,99 +,999,,989 P(T),989 (c) On cherche à déterminer ici P T (M). Ainsi, l affirmation est vraie. P(M T) P T (M) P(T),,99, 989,99, 989,4977. Le laboratoire commercialise le test si P T (M),95. D après ce qui précède, on a : M,99 T, T x x M, T,999 T 8

9 Dans ces conditions, P(T),99x +,( x),989x +, et Ainsi, P T (M),99x,989x +, Partie B,99x P T (M),95,989x +,,95,99x,95(,989x +,),989x +,,545x,95,989x +,,545x,95,545x,95 x,95,5 45 x,8855 Ainsi, à partir de,88% personnes atteintes, le laboratoire commercialise le test.. (a) On doit ici calculer P(89 X 9). À l aide de la calculatrice, on trouve : P(89 X 9),9. (b) On pose Z X 9. Ainsi, Z suit la loi normale N (;). 7 ( 9 h 9 P(9 h X 9 + h),99 P Z 7 ( h P 7 Z h ),99 7 P Z h P Z h 7 7 P Z h P Z h 7 7 [ ( P Z h 7 ( P Z h 7 P Z h 7 ) P,99,99 + ) 9 + h 9,99 7,99,99 )] Z h 7,995,99 9

10 On trouve alors, à l aide de la calculatrice (puisque l on connaît la moyenne et l écart-type de Z), que h, , d où h 8, (attention à ne pas 7 arrondir trop tôt dans les calculs...).. Ici, on prend p 97%,97 et n. np 5, n et n( p) 5 ce qui justifie la possibilité d utiliser l intervalle de fluctuation asymptotique des fréquences de médicaments conformes suivant : I [,9594;,986]. Or, la fréquence observée des comprimés non conformes est f 5,5 donc celle des comprimés conformes est f,5,9947. Cette fréquence étant supérieure à la borne supérieure de I, on peut estimer que la production est conforme à nos attentes et que le contrôle ne remet pas en questions les réglages faits par le laboratoire. Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats. Le discriminant du polynôme Z + 4Z + 6 est : ( 4i ) Les deux solutions complexes sont donc : Z 4 4i i et Z + i. Z ( ) + ( ) ( donc Z 4 ) i. Or, ( cos π ) et ( sin π ) donc :. a e i π donc : Z 4e i π et donc Z 4e i π. a e π 4e i π ( 4 cos π + isin π ( 4 ) + i ) a + i

11 De cela, on peut déduire que les solutions de l équation z + i sont a et a, soit : z e i π et z e i π, soit, sous la forme algébrique :. Montrons que z z z z. Posons z x + iy et z x + iy. Alors, z z (x + iy )(x + iy ) z + i et z i. x x y y + i(x y + x y ) x x y y i(x y + x y ) De plus, z z (x iy )(x iy ) x x y y i(y x + x y ) z z Montrons que z n (z) n pour n par récurrence. Initialisation : pour n, l égalité est vraie. Supposons l égalité vraie pour un n quelconque. Alors, z n+ z n z z n z d après ce qui précède (z) n z par hypothèse de récurrence (z) n+ L hérédité est alors vérifiée, ce qui prouve que l égalité est vraie pour tout n. 4. Supposons que z est solution de (E). Alors, z 4 + 4z + 6 et donc, en prenant le conjugué des deux membres : z 4 + 4z + 6. En appliquant les formules de la question, il vient : z 4 + 4z + 6, ce qui signifie que z est aussi solution de (E). En posant Z z, l équation (E) se ramène à l équation résolue à la question, qui a pour solutions Z a et Z a. D après la question, les deux valeurs possibles pour Z sont donc z + i ou z i. De plus, d après le début de cette question, z et z sont aussi solutions. L ensemble des solutions de (E) est donc : S { + i ; i ; i ; + i }

12 Exercice 4 (5 points) - Candidats n ayant pas suivis l enseignement de spécialité. (a) Dans le repère orthonormé ( A; AB; #» AC; #» AD #»), D(;;) et F ( ; ;) car #» AF #» AB + #» AC + AD. #» (b) Une représentation paramétrique de (DF) est de la forme : x x D + αt y y D + βt, t R z z D + γt où u #» α β est un vecteur directeur de (DF). γ x #» F x D DF y F y D z F z D Prenons alors u #» DF. #» D où : (DF) : x y z t t t, t R (c) P est orthogonal à (DF) donc un vecteur normal à P est colinéaire à u #». L équation cartésienne de P est donc : Or, A appartient au plan donc : x + y z + d. x A + y A z A + d soit : Ainsi, d. P : x + y z. (d) Posons H(a;b ;c). H D donc il existe un réel t tel que : a b c t t t H P donc ses coordonnées vérifient l équation cartésienne de ce plan : a + b c

13 soit : d où : t + t ( t) t. Ainsi, Ainsi, H ( ; ; ). (e) HE #» 6. #» HG 6. a b c Ainsi, HE #» HG #» 6 ( ) 6 ( ) Les vecteurs HE #» et HG #» sont donc orthogonaux ; de plus, ils ont la même origine donc l angle ÊHG est donc droit.. (a) ME (x E x M ) + (y E y M ) + (z E z M ) Or, DM #» t DF #» donc x M x D x F x D y M y D t y F y D, z M z D z F z D soit : x M t(x F x D ) + x D donc : Ainsi, y M z M t(y F y D ) + y D t(z F z D ) + z D x M y M z M t t t ME ( t ) + ( t ) + ( t) 4 t + 4 t + 4 t + t + t ME t 5 t + 5 4

14 (b) MG (x G x M ) + (y G y M ) + (z G z M ) ( ) ( t + ) t + [ ( t)] MG (même expression) Donc MEG est bien isocèle en M. Du fait que MEG soit isocèle en M, nous pouvons dire que la hauteur issue de M est aussi la bissectrice de ÊMG et donc, dans le triangle rectangle formé par cette hauteur : d où : sin α EG EM EM ME ME sin α (c) On sait que α [;π] donc α [ ; π ]. Or, la fonction sin est continue et strictement croissante sur ce dernier intervalle donc est une bijection sur ; π ] [. Ainsi, α est maximale si et seulement sin α l est aussi. Mais si α est maximale, alors α aussi. Donc α est maximale si et seulement si sin α est maximal. De la question (b), on peut dire que ME sin α. Donc ME est maximale si et seulement si sin α est minimal, et il en est donc de même pour ME. (d) Le sommet de la parabole représentée par y t 5 t a pour abscisse x b a 5 5. En ce point, il y a un minimum car les branches de la parabole 6 sont vers le haut (le coefficient de t est positif). Donc ME est minimal lorsque t 5 6. Ainsi, α est maximal pour t 5 6. D où : x M y M z M Ainsi, les coordonnées du point M tel que α soit maximal sont ( 5 ; 5 ; ). 6 4

15 Exercice 4 (5 points) - Candidats ayant suivis l enseignement de spécialité. a b b a + +. a b b a (a) D après le raisonnement que l on a pu faire à la question., on peut écrire : a n+ b n + b n+ a n + ou encore : a n+ a n + b n + b n+ a n + b n + qui peut s écrire sous forme matricielle de la façon suivante : an+ an + b n+ soit : X n+ AX n + B x x x y + (b) A + B y y y x + x y + y y + y x 4 4 (c) Y n X n + donc : 4 Y n+ X n+ + 4 AX n + B De la question.b, on déduit que B A d où : b n 4 Y n+ AX n + A 4 AX n A ( ) 4 A X n + Y n+ AY n

16 . (a) Z n+ Y (n+) Y (n+)+ AY n+ d après la question précédente A Y n Z n+ A Z n Calculons : A D où : Z n+ I Z n Z n. (b) Y n+ AY n n AY n 6 4 n 8 6 n Y. Ainsi, Y n+ n Y n 8 6 a n+ + 4 b n+ + De plus, Y n n n a Y n n + 4 b n I 8 n 6 n a n+ 8 n 4 b n+ 6 n 6 n 4 n a n 6 n 4 b n 4 n + 4. (a) Cet algorithme permet de calculer a p pour un entier p choisi par l utilisateur. En effet, on reconnaît dans la condition «Si... Sinon» les deux formules précédemment démontrées qui permettent de calculer a n (cas où p est pair) et a n+ (cas où p est impair). (b) Variables : a, p et n sont des entiers naturels. Initialisation : Affecter à p la valeur. Affecter à a la valeur. Traitement : Tant que a Affecter à p la valeur p +. Si p est pair Sinon Affecter à n la valeur p. Affecter à a la valeur 6 n 4. Affecter à n la valeur p. Affecter à a la valeur 8 n 4. Fin du Si. Fin du Tant que Sortie : Afficher p. En faisant tourner cet algorithme, il affiche «8», pour a 8 9. Pour p 9, a 9 8 donc le pisciculteur ne pourra pas aller jusqu à l année 9, d où l affichage du «p». 6

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