Construction d'un Atlas 3D numérique de la cornée humaine par recalage d'images

Transcription

1 Unvesé de Monéal Consucon d'un Alas 3D numéue de la conée humane a ecalage d'mages a Aam Haddej Déaemen d'nfomaue e de echeche oéaonnelle Faculé des as e des scences Mémoe ésené à la Faculé des as e scences en vue de l obenon du gade de Maîe ès (M.Sc) en nfomaue Décembe, 0 Aam Haddej, 0

2 Unvesé de Monéal Faculé des as e des scences Ce mémoe nulé: Consucon d'un Alas 3D numéue de la conée humane a ecalage d'mages Pésené a: Aam Haddej a éé évalué a un juy comosé des esonnes suvanes: Ma Mgnoe Jean Meune Sébasen Roy Mémoe acceé le 30 janve 03

3 Résumé ous oosons de consue un alas numéue 3D conenan les caacésues moyennes e les vaablés de la mohologe d un ogane. os avau seon alués aculèemen à la consucon d'un alas numéue 3D de la oalé de la conée humane ncluan la suface anéeue e oséeue à a des caes oogahues founes a le oogahe Obscan II. ous océdons ou d'abod a nomalsaon de oue une oulaon de conées. Dans cee éae, nous nous sommes basés su l'algohme de ecalage ICP (eave closes on) ou algne smulanémen les sufaces anéeues e oséeues d'une oulaon de conée ves les sufaces anéeue e oséeue d'une conée de éféence. En effe, nous avons élaboé une vaane de l'algohme ICP adaé au mages (caes) de conées u en come de changemen d'échelle endan le ecalage e u se base su la echeche a vosnage va la dsance eucldenne ou éabl la coesondance ene les ons. Aès, nous avons océdé ou la consucon de l'alas conéen a le calcul des moyennes des élévaons de sufaces anéeues e oséeues ecalées e leus écas-yes assocés. Une oulaon de 00 conées sanes a éé ulsée ou consue l'alas conéen nomal. Pou vsualse l alas, on a eu ecous à des caes oogahues couleus smlaemen à ce u offen déjà les sysèmes oogahues acuels. Enfn, des obsevaons on éé éalsées su l'alas conéen efléan sa écson e emean de déveloe une melleue connassance de l anaome conéenne. Mos-clés : Alas conéen, Recalage 3D, Algnemen, Ieave Close Pon, ansfomaon affne, SVD.

4 Absac We oose o buld a 3D dgal alas whch conans he aveage chaacescs and vaably of he mohology of an ogan. In acula ou wo consss n he consucon of a 3D dgal alas of he ene human conea ncludng aneo and oseo sufaces. The alas was bul usng oogahes ovded by he Obscan II sysem. Fs, we nomalzed he gven oulaon of coneas usng a vaan of he ICP (eave closes on) algohm fo shae egsaon o f smulaneously he aneo and oseo sufaces wh he aneo and oseo sufaces of a efeence conea. Indeed, we develoed a secfc algohm fo coneas oogahes ha consdes scalng dung egsaon and whch s based on neghbohood seach va he Eucldean dsance o fnd he coesondence beween ons. Afe ha, we bul he coneal alas by aveagng elevaons of aneo and oseo sufaces and by calculang he assocaed sandad devaons. A oulaon of 00 healhy coneas was used o consuc he nomal coneal alas. To llusae he alas, we used oogahc colo mas le hose aleady offeed by esng oogahc sysems. Fnally, obsevaons wee made on he coneal alas ha eflecs s ecson and allows o develo a bee undesandng of coneal anaomy. Keywods : Coneal Alas, 3D Regsaon, Algnmen, Ieave Close Pon, affne ansfomaon, SVD.

5 Table des maèes Chae : Inoducon... Chae : Mse en conee Inoducon Physologe de l œl human e de la conée Anomales de la vson Chuge éfacve Mesue de la géomée de la conée Concluson... Chae 3: Poblème de ecalage e l'algohme ICP Inoducon Poblème de ecalage /3D Inoducon e descon Fomulaon mahémaue du oblème de ecalage /3D Calcul e esmaon de la ansfomaon La méhode SVD Maces ohogonales Quaenon unae Dual uaenon Dscusson e comaason Ieave close on Inoducon Descon Algohme Convegence Dscusson Vaanes d'icp Inoducon Sélecon des ons Technues d'aaemen... 5

6 Pondéaon des ons Reje des mauvas aes Aues Scalng eave closes on Inoducon ICPS sooe ICPS non-sooe Dscusson Concluson... 6 Chae 4: Imlémenaon e es Inoducon Scènes de es Données synhéues Données éelles Tess Imlémenaons Tess effecués su des données synhéues Tess effecués su des données éelles Algohme adoé Dscusson e descon Algohme Concluson Chae 5: Alas Conéen Inoducon Méhodologe adoée ou la consucon de l alas conéen omalsaon Consucon de l Alas Résumé de la méhode Aues méhodes omalsaon a ao au somme omalsaon a ao à la BFS sandad... 7 v

7 omalsaon a ao à la BFS moyenne Dscusson Concluson... 0 Chae 6: Concluson... v

8 Lse des ableau Tableau 4. Résula d'algnemen de deu sufaces anéeues Tableau 4. Résula d'algnemen de deu sufaces anéeues avec ICP, ICPS sooe e non sooes Tableau 4.3 Résula d'algnemen de deu conées enèes avec ICP,ICPS sooe e non sooe en en fusonnan les sufaces anéeues e oséeues Tableau 4.4 Résula d'algnemen de deu conées enèes avec ICP, ICPS sooe e non sooe en séaan la mse en coesondance des sufaces anéeues e oséeues 93 Tableau 4.5 Comaason des dffeens méhodes de mse en coesendance ulsées dans les ess anéeus Tableau 5. Sasues su les sufaces anéeues de conées de la base...03 Tableau 5. Sasues su les sufaces oséeues de conées de la base Tableau 5. 3 Résumé su les caacésues des mages de la conée de éféence Tableau 5.4 Sasues su les ésulas de ecalage des mages de la base Tableau 5.5 Sasues su les ansfomaons omales obenues a l algohme de ecalage Tableau 5.6 Paamèes des BFS assocées au sufaces moyennes de l'alas conéen Tableau 5.7 Écas-yes au somme... v

9 Lse des fgues Fgue. Coue laéale de l'œl... 4 Fgue. Coue laéale de la conée... 6 Fgue.3 Schéma d'un œl myoe... 9 Fgue.4 Schéma d'un œl hyeméoe... 9 Fgue.5 Pnce de Schemflug... 4 Fgue.6 Pnce du mcoscoe confocal [0]... 5 Fgue.7 Tomogahe a cohéence oue de la conée... 6 Fgue.8 nfomaons founs a l'obscan II... 8 Fgue.9 Pnce des dsues de Placdo [3]... 9 Fgue.0 Sysème de balayage à fenes [59]... 9 Fgue. Tangulaon d un on... 0 Fgue. Schéma de la mesue de la suface oséeue [59]... 0 Fgue 4. Ellsoïde généal défn à a de ses 3 sem-aes a, b e c Fgue 4. Échanllon de scène de es eésené comme un nuage de ons 3D comosé de 60 ons ou h =7,85 mm, v =7,70 mm e v = h =7,85 mm Fgue 4.3 Échanllon de scène de es eésené comme une cae oogahue de ésoluon 55 ou h =7,85 mm, v =7,70 mm e v = h =7,85 mm Fgue 4.4 Échanllon éel d une cae oogahue u coesonde à l élévaon éelle d'une suface anéeue d'une conée Fgue 4.5 Échanllon éel d une cae oogahue u coesonde à l élévaon éelle d'une suface oséeue d'une conée Fgue 4.6 Eemle d'une mace u coesonde à l'élévaon d'une suface anéeue ou oséeue d'une conée Fgue 4.7 Évoluon de l'eeu algohmue e l eeu dans la ansfomaon (anslaon e oaon) en foncon du nombe de ons en absence de bu ou les méhodes UQ e SVD... 7 Fgue 4.8 Évoluon de l'eeu algohmue e l eeu dans la ansfomaon (anslaon e oaon) en foncon du nombe de ons en ésence de dfféens nveau bu ou les méhodes SVD (colonne gauche) e UQ (colonne doe) Fgue 4.9 Évoluon de la dfféence ene les eeus algohmues e la dfféence ene les soluons (oaon e anslaon) en foncon de nombe de ons en ésence de dfféens nveau de bu ou les méhodes UQ e SVD Fgue 4.0 Évoluon de ems d'eécuon en foncon de nombe de ons ou les méhodes UQ e SVD Fgue 4. Évoluon de l'eeu algohmue e l'eeu de ansfomaon dans ICP en foncon d éaons ou dfféens alles de données en absence de bu v

10 Fgue 4. Évoluon de l'eeu algohmue e l'eeu de ansfomaon dans ICP en foncon du nombe d éaons ou une suface de ésoluon égale à 5 5de bu de dfféens nveau de bu Fgue 4.3 Évoluon de l'eeu algohmue e de l'eeu de la ansfomaon dans ICP sans échanllonnage, avec échanllonnage unfome e aléaoe deu dfféens nveau de bu 0. (colonne gauche) e (colonne doe) Fgue 4.4 Évoluon de l'eeu algohmue e de l'eeu de la ansfomaon dans ICP avec ous les aes, en ejean les aes don la dsance u l séae es suéeu a.5 sgma unfome e en ejean les lus mauvas aes ou deu dfféens nveau de bu ( 0. e )... 8 Fgue 4.5 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée modèle(,773 mm au somme) Fgue 4.6 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée donnée(,709 mm au somme) Fgue 4.7 Évoluon de l'eeu dans ICP en algnan deu sufaces anéeues Fgue 4.8 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage ICP Fgue 4.9 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.0 Évoluon de l'eeu dans ICP, ICPS sooe e non sooe en algnan deu sufaces anéeues Fgue 4. Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage Fgue 4. Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.3 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS sooe Fgue 4.4 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage ICP Fgue 4.5 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée modèle (,773 mm au somme) Fgue 4.6 Élévaon éelle de la suface oséeue de la conée modèle (,46 mm au somme) Fgue 4.7 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée donnée (,458 mm au somme) Fgue 4.8 Élévaon éelle de la suface oséeue de la conée donnée (,8 mm au somme) Fgue 4.9 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage v

11 Fgue 4.30 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface oséeue donnée avan ecalage Fgue 4.3 Évoluon de l'eeu dans ICP, ICPS sooe e non sooe en algnan deu conées enées en fusonnan les sufaces anéeues e oséeues... 9 Fgue 4.3 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP... 9 Fgue 4.33 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP... 9 Fgue 4.34 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP non sooe... 9 Fgue 4.35 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP non sooe... 9 Fgue 4.36 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP sooe... 9 Fgue 4.37 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface oséeue donnée aès ecalage ICP sooe... 9 Fgue 4.38 Évoluon de l'eeu anéeue, oséeue e oale dans ICP, ICPS sooe e non sooe en algnan deu conées enèes en séaan la mse en coesondance des sufaces anéeues e oséeues Fgue 4.39 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.40 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.4 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS non sooe Fgue 4.4 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS non sooe Fgue 4.43 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS sooe Fgue 4.44 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS sooe Fgue 4.45 Pnce de la echeche a vosnage Fgue 5. Les élemens fondamenau ou la consucon d'un alas anaomue numéue 3D...0 Fgue 5. cae oogahue de la suface anéeue de la conée de éféence Fgue 5.3 cae oogahue de la suface oséeue de la conée de éféence Fgue 5.4 Maces avan e aés l'alcaon de ecalage Fgue 5.5 Comaason ene les dsances ene les mages de la base e l'mage de éféence avan e aès ecalage Fgue 5.6 Élévaon eélle de la suface anéeue moyenne... 08

12 Fgue 5.7 ombe de cae oogahues à chaue on ulsé ou consue la suface anéeue moyenne Fgue 5.8 Élévaon éelle de la suface oséeue moyenne Fgue 5.9 ombe de cae oogahues à chaue on ulsé ou consue la suface oséeue moyenne Fgue 5.0 Élévaon moyenne a ao au BFS de la suface anéeue Fgue 5. Élévaon moyenne a ao au BFS de la suface oséeue Fgue 5.3 Fome de la conée... 0 Fgue 5. La dfféence de la conée nomale a ao au BFS... 0 Fgue 5.4 Éca-ye assocé à l élévaon moyenne de la suface anéeue... Fgue 5.5 Éca-ye assocé à l élévaon moyenne de la suface oséeue... Fgue 5.6 Coue de ofle méden hozonal e vecale de l'alas conéen consu.. Fgue 5.7 Cae de l'éasseu de l'alas conéen nomale...3 Fgue 5.8 Schémas généal de la méhode adoée ou la consucon de l'alas conéen5

13 Lse des abévaons BFS ICP ICPS SVD UQ Bes-F Shee Ieave Closes Pon Ieave Closes Pon wh scalng Sngula Values Decomoson Un Quaenon

14 Remecemens Je voudas emece oues les esonnes u m on aoé une ade s éceuse dans le cade de la édacon de mon mémoe, une ade sans lauelle je n auas obablemen jamas u foun un aval auss enen e écs. Ces esonnes on en effe concouu à affne mes connassances an au nveau de la maèe en elle-même ue de la ésenaon. Je emece en eme leu M Jean Meune ou m avo encadé ou le long de ma mase, fasan euve d une genllesse e d une sevablé eemlaes. Je emece égalemen M Édouad Auvne, u en sa ualé de hésad, m a fa ofe de son eéence su le suje, ou me foun les connassances adéuaes nécessaes à la édacon d un mémoe enen. De lus, je emece mes ofesseus, Mme Esma Ameu, M Lous Salval, M Pee Pouln e M Ma Mgnoe ou m avo fomé, fomaon gâce à lauelle j a u acué une base solde, ce u m a ems d effecue mon aval dans les melleues condons. Je voudas auss emece mes aens ou m avo souenu duan cee éeuve. Sans leu souen uoden, je n aua jamas eu la combavé e donc la égulaé euse ou foun un aval auss comle. Enfn, je voudas emece mes colocaaes e mes ams ou avo vellé à ce u une ambance de aval encouageane so de mse dans mon uoden.

15 Chae Inoducon Sue au déveloemen des nouvelles echnologes d'acuson des mages numéues médcales, l es devenu ossble de consue des alas anaomues numéues dmensonnels d'une haue écson. Pluseus alas médcau on éé consus ou dfféens oganes humans (ceveau, cœu, cane, colonne veébale, ec.). En acule, de nombeu aaels on éé nvenés écemmen u emeen d'oben des nfomaons écses su la fome de conée humane. C'es dans ce cade ue nous nous oosons de consue un alas de la conée humane à a des données acuses a un des membes de la famlle des oogahes conéens à savo l'obscan II. Ce dene génèe une eésenaon 3D des faces anéeue e oséeue de la conée. oe alas conéen eésenea en 3D la fome d'une conée ans ue ses vaaons nomales. ous allons alos essaye de consue ces alas ou luseus objecfs. Un eme objecf nfomaf: off au chugens e au ohalmologses des alas conéens u décven la fome moyenne de la conée d'une oulaon aculèe ans ue d'aues nfomaons éceuses (l'éasseu moyenne, ayon moyen de coubue des sufaces anéeues e oséeues, ec.). Un deuème objecf médcal: ces alas seon un oul ès néessan ou dsngue les conées (naces) des conées ahologues ou oéées (a eemle: a une chuge éfacve). Ce mémoe de mase sea sucué de la façon suvane: Le eme chae sea une mse en conee où l'on eose dans une emèe ae l'anaome de l'œl, lus écsémen la conée humane e les ahologes u euven l'affece ouvan enane une chuge éfacve ou une anslanaon conéenne. Dans sa deuème ae, on s'néessea au aaels e au echnues ou oben les nfomaons su les conées humanes. On enea de déalle davanage la echnologe Obscan. Dans le deuème chae, on va s'néesse à un des oblèmes ès connu dans le domane de Vson a odnaeu: le ecalage /3D. En effe, le ecalage des eésenaons

16 3D des conées es une éae ndsensable ou la consucon des alas. L'algohme Ieave closes on connu comme une soluon à ce gene de oblème sea goueusemen déallé ans ue les vaanes les lus oulaes de ce dene. Le osème chae lluse les éalsaons des dfféens ess su les algohmes mlémenés. Ensue, les ésulas seon ulsés ou agumene le cho de la méhodologe ou la consucon des alas. Dans le dene chae, on eluea la méhodologe adoée ou la consucon des dfféens alas conéens us on ésenea ces alas e on les comaea avec d'aues déjà esans. En concluson, nous asseons en evue de façon succnce l'objecf du déa e les dfféenes éaes éalsées afn d'oben les ésulas fnau e on emnea avec les dfféenes esecves envsageables.

17 Chae Mse en conee.. Inoducon Pou meu sue le oblème, on commencea ou d'abod a une mse en conee où l'on ésene l'anaome e la hysologe de l'œl human, on déallea davanage la sucue de la conée, sa fome, ses caacésues, son fonconnemen, ec. Pus, on vea les eeus éfacves u ouchen la conée, les malades e les oblèmes u affecen le bon fonconnemen de la conée u euven mene à une chuge éfacve (a lase) ou encoe une anslanaon coéenne. Ensue, on ésenea les dfféenes echnues e les aaels ulsés ou oben les nfomaons moanes e effecue oue soe de mesues ouchan la conée. On s'néessea davanage à la echnologe Obscan II usue cee denèe a éé ulsée ou ecuell les données ou la céaon de l'alas conéen. Enfn, on conclua ce chae a l'évocaon de l'ulé de la céaon des dfféens yes d'alas noammen l'alas conéen... Physologe de l œl human e de la conée Toues les nfomaons su l'œl e la conée u suven son ées des souces suvanes: le se web de l'insu naonal de la sané [], le se web dédé à l'ohalmologe «Ohazone» [], la hèse de Phd [3] e l'encycloéde en lgne «Wéda» [4].... L'anaome de l'œl L œl es un ogane sensoel de fome shéue don le damèe es d'envon 5 mm, le ods es d'ode de 7 g e le volume es égal aomavemen à 6,5 cm 3. L'œl es caable de ecevo les ondes émses a une souce lumneuse. C'es l'ogane éceeu de l'aael de la vson.

18 C es un ogane moble conenu dans une cavé aelée globe oculae, u lu emêche ou mouvemen de anslaon, mas u lu eme la oaon gâce à des muscles emean d oene le egad suvan os degés de lbeé. Ce u eme un cham vsuel u eu aende 00 degés. Fgue. Coue laéale de l'œl Anaomuemen, l'œl es consué de deu cavés (la chambe anéeue e la chambe oséeue) emles a l'humeu aueuse u se à nou la conée e l'humeu vée. Le assage de la lumèe se fa a l'nemédae de la ulle (le ou au cene de l's). Le csalln sué en aèe de l's maéalse ans la fonèe ene la chambe anéeue e la chambe oséeue. Le csalln es elé au muscle clae emean d'accommode la vson en agssan su le csalln. Les conneons neveuses de la éne effecuen des éaemens avan de ansmee ces nfomaons au ceveau va le nef oue comme la déecon des ons de conou, analyse de eue, ec. Le ceveau va neée les mages des deu yeu e les fusonne ou econsue la scène 3D obsevée.... L humeu aueuse C es un lude ansaen, flé e enouvelé en emanence (chaue deu ou 3 heues). Avec le vé, l manen la esson e donc la fome du globe oculae. Il asse de la chambe oséeue ves la chambe anéeue à aves la ulle. L humeu aueuse es comosée essenellemen d eau, mas auss de vamne C, de glucose, d acde lacue e de h://ns.feehebeg.com/~esens/hoo_oel.h 4

19 oénes. Son ôle es suou nouce la conée e l's, éaaeu e égulaeu de la esson naoculae, ans ue du manen de la fome de l œl.... L's L's es un dahagme cculae ecé en son cene a la ulle (smlae à celu d'un aael hoogahue). C'es un muscle u eme de égle auomauemen la uané de lumèe u énèe dans l'œl. En lene lumèe, l's es femé afn d'éve l'aveuglemen, dans l'obscué, l es ouve ou cae le mamum de ayons. La couleu de l's es déemnée a la ésence d'un gmen, la mélanne. L's es bleu s la mélanne es eu concenée, l es lus foncé uand la concenaon augmene. La nuon de l s es assuée a l humeu aueuse dans lauelle elle bagne Le Csalln Le csalln es la lenlle ansaene bconvee de l'œl. Il es manenu a des lgamens u son lés à des muscles (cos clae). Le cos clae modfe ans la coubue du csalln e eme donc la mse au on su un obje oche (on aelle cee mse au on l'accommodaon). Au eos, le csalln fome l'mage d'un obje élogné su la éne L'humeu vé L'humeu vée (aelé auss cos vé) es une masse gélaneuse e ansaene. Son ôle es de manen la gdé du globe oculae e de ben colle la éne cone le fond du globe oculae. Il défn égalemen la fome de l'œl e eésene 90 % de son volume La éne La éne es une membane neveuse assan le fond de l'œl d'une éasseu d'envon uelues dèmes de mllmèe. C es un ssu sensble su leuel vennen se fome les mages. Elle es consuée de lus de 30 mllons de cellules neveuses (5 mllons de bâonnes e 5 mllons de cônes). Elle ansfome la lumèe en sgnau élecues u son achemnés ves le ceveau. 5

20 ...6. Le nef oue Le nef oue es d'une longueu de 35 à 55 mm e comoe envon un mllon de fbes dvsées en fasceau. Son ôle es de ansmee l'mage fomée su la éne au ceveau La conée Défnon La conée es la membane ansaene suée devan l'œl. C'es un ssu cla, semblan manue de subsance. Pouan, c es un goue de cellules e de oénes hauemen ogansées. La conée ne conen aucun vasseau sangun ou se nou. Elle eço sa nouue gâce au lames e à l humeu aueuse emlssan la chambe oculae. La conée do ese ansaene ou éface la lumèe coecemen. Elle a la sucue u a la lus gande sensblé du cos human. Ce u elue ue même d nfmes acules (des cos éanges) u s y déosen soen auss douloueuses. Heueusemen, l ne ese aucune ccace sue à une blessue gâce à la éssance e la adé de éaaon des fbes u consuen la conée. Ans, la vson sea ésevée. Fgue. Coue laéale de la conée Fome De face, la conée aaaî légèemen ellue à gand ae hozonal ( à,5 mm) e à ae vecal lus fable (0 à,5 mm). h:// f.hm 6

21 Éasseu L éasseu de la conée n'es as consane en ous ons de la suface. Il es lus moan en éhée u'au cene. L'éasseu cenale es esmée à 0,5 mm ands ue l'éasseu au éhées (au lmbe) eu aende 0,7 mm. Elle es généalemen mesuée a le achymèe à ulasons. Rayon de coubue Le ayon de coubue de la suface anéeue es en moyenne de 7,8 mm, la suface oséeue es lus coubée de ayon égal à 6,5 mm. On le mesue gâce au éaomèe. Suface Elle eésene seulemen 7 % de la suface de la shèe oculae humane (l'œl). Elle es d'envon,3 cm. Pouvo éfacf La conée ossède envon deu es du ouvo éfacf de l œl e du csalln consue le un es esan. La ussance éfacve de la conée déend de son ayon de coubue e de l nde éfacf des dfféens mleu ue la lumèe va avese. L'ndce de éfacon de la conée es égal à,377. Les ouvos éfacfs des couches anéeue e oséeue son esecvemen de 48,6 does e 6,8 does 3 en moyenne. Dans la aue, on subsue ces deu sufaces a une seule don le ouvo éfacf es d'envon 4 does. Rôle On eu consdée ue la conée joue 3 ôles : Rôle de oecon: la conée c'es la ae de l'œl u es decemen en conac avec l'eéeu. C'es une baèe u oège le ese l'œl cone des gemes, de la oussèe, e de ous les aues cos éanges. Cee âche es aagée avec les auèes, les lames, e la scléoue (ae blanche de l œl). Rôle d'un fle: La conée éag comme un fle u emêche les ayons ula-voles les lus dommageables du solel de asse. Sans cee oecon, le csalln e la éne seaen hauemen suscebles au blessues a adaons ula-volees. 3 la doe es une uné de vegence homogène à l'nvese d'une longueu 7

22 Rôle oue: La conée éag comme une lenlle eene e conbue jusu'à 75 % de ouvo éfacf de l'œl. Losue les ayons lumneu faen la conée, ls son éfacés su le csalln. Le csalln éface ensue ces ayons lumneu su la éne. Comoson Le ssu coéen es comosé de 5 couches de base, chacune ayan une foncon aculèe e moane: Éhélum: c'es la égon eene de la conée, l fome envon 0 % de l éasseu du ssu conéen (envon 3 µm). Ses foncons ncales son d emêche le assage des cos éanges e de foun une suface lsse u absobe l oygène e les numens cellulaes des lames us les dsbue au ese de la conée. Couche de Bowman: la couche de Bowman es suée decemen sous la membane basale de l éhélum. C'es une couche de anson de µm d éasseu, de naue conjoncve. Soma: sué sous la couche de Bowman, l comose envon 90 % de l éasseu de la conée (envon 400 µm). Il es comosé ncalemen d eau. Membane Desceme: la membane Desceme se sue sous le soma. C es une mnce couche solde d'une éasseu de 6 µm mas solde couche de ssu sevan de baèe oecce cone les nfecons e les blessues. Endohélum: es la couche néeue, eêmemen mnce (6 µm d'éasseu), de la conée. Les cellules endohélales son essenelles ou gade la conée clae..3. Anomales de la vson Les eeus éfacves son les oblèmes les lus couans u euven affece la conée. Ils se odusen losue la coubue de la conée deven de fome égulèe (o alae ou o abue). Pou une conée ayan une fome e coubue nomale, les ayons lumneu éfacés su cee denèe convegen eacemen su la éne. À l'nvese, ou une fome e coubue égulèe, les ayons lumneu convegen d'une façon mécse e n'aegnen as la éne, ce u engende des oubles dans la vson. 8

23 .3.. Myoe Fgue.3 Schéma d'un œl myoe 4 Elle se caacése a une o gande convegence de l œl ou a un ayon anéooséeu de l œl o long (une coubue o moane). L mage des objes élognés se fome avan d'aende la éne. Pa conséuen, les objes élognés aaassen flous ou les gens u souffen de la myoe. Elle affece 5 % de la oulaon adule..3.. L hyeméoe Fgue.4 Schéma d'un œl hyeméoe 4 À l nvese de l anomale écédene, celle-c se caacése a une convegence o fable des mleu ansaens ou a un ayon anéooséeu de l œl o cou. L mage se fome en aèe de la éne ou les objes aochés. Pa conséuen, les objes aochés aaassen flous ou les gens u souffen de l'hyeméoe.3.3. L'asgmasme Elle se caacése a une aue vaaon de la coubue moyenne. La conée es fomée luô comme le dos d une cullèe, lus coubée dans une decon ue dans l aue, ce u engende occasonnellemen lus d un on focal ou les ayons lumneu éfacés. Ces dfféens ons focau fomen le foye à des endos séaés su la éne donnan des mages vsuelles floues e dsodues ou les objes aochés e dsans. 4 h:// 9

24 .3.4. Pesbye Cee anomale affece ô ou ad oue la oulaon humane. Conaemen au défaus de éfacon écédens, l ne s ag as d une mauvase ussance doue de la conée, mas d un éassssemen e d une gdfcaon du csalln enanan une vue floue en vson aoché Kéaocône Le éaocône coesond à une défomaon en cône du cene de la conée avec amncssemen. Cee coubue anomale change le ouvo éfacf de la conée e enane une myoe e un asgmasme évolufs. Dans les emes ems, la coecon de la vson eu se fae a des lunees ou meu a des lenlles de conac gdes adaées. Une anslanaon conéenne eu êe euse à cause de l évoluon du éaocône..4. Chuge éfacve La chuge éfacve es une chuge vsan à modfe le ayon de coubue conéen anéeu ou coge les eeus éfacves. Elle fa ael à des echnues mcochugcales, c es-à-de u se auen sous mcoscoe e égalemen au lase. Gâce à l'améloaon de l'nsumenaon, la chuge éfacve ne cesse de se ogesse e de déveloe. La chuge éfacve es aluée au sujes noléans au sysèmes adonnels (suou les lenlles de conac en ason d'une sécheesse de l'œl) e eme acuellemen de coge chugcalemen les affecons suvanes : La myoe. L asgmasme congénal ou acus (a eemle aès une nevenon de caaace, aès une geffe ou aès un accden). La myoe assocée à un asgmasme. L hyeméoe. L hyeméoe assocée à un asgmasme. La esbye dans ceanes condons..5. Mesue de la géomée de la conée Aès la ésenaon de l anaome de la conée ans ue les dfféens oblèmes (eeus éfacves) u euven la ouche, on va s néesse manenan au dfféenes 0

25 nfomaons e mesues u on eu oben ou caacése la conée. Pa la sue, on ésenea les dfféenes echnues ulsées ou oben ces nfomaons. On déallea davanage la echnologe Obscan II usue cee denèe a éé ulsée ou ecuell les données dans ce oje..5.. Caacésues mesuées de la conée Dfféens conces son ulsés ou caacése les oéés oues de la conée [5] am lesuels on eu ce: La coubue de la face anéeue ans ue la suface oséeue de la conée. Ils euven êe emés comme éan des ayons de coubue en mllmèe ou lus souven en does éaoméues clnuemen. La fome de la suface anéeue e oséeue. Elles euven égalemen êe emées en mcomèes comme éan l'élévaon de la suface éelle (l'abscsse, l'odonnée y e l'élévaon z). Généalemen, l élévaon es donnée a ao à une suface de éféence chose (a eemle, une shèe). Ces deu noons euven caacése la fome généale e les maco-égulaés de la suface conéenne. Changemens locau de la suface euven êe emée en mcomèes. La ugosé de la suface es ouemen ès moane, e oue mco-égulaé de la suface de la conée eu consdéablemen dégade l'mage. Pouvo éfacf de la conée emée en does. C es une oéé oue déendan de la fome de la suface e de son ndce de éfacon L éasseu e la sucue 3D de la conée emée auss en mcomèes. Les changemens dans la sucue 3D (a eemle, aès la chuge éfacve) euven ndue d'aues changemens de sa fome en ason des changemens bomécanues, comme modfe l'élascé du ssu esan..5.. Toogahe conéen La oogahe conéenne es un eamen essenel (e oblgaoe avan oue chuge éfacve) u eme de ecuell des nfomaons elaves à la coubue ou au elef (élévaon) de la conée. L'nsumen de mesue ulsé dans ce eamen es aelé oogahe conéen. Dveses echnologes son ulsées ou déce e éude la géomée de la conée u founssen généalemen des données comlémenaes. Les nsumens u mesuen e décven avec le lus de écson les oéés oogahues de la suface conéenne euven êe classés en deu gands yes [6] : Les dsues de Placdo Les enegseus de l élévaon/déesson

26 .5... Toogahe convenonnelle de ye Placdo Tous les membes de cee famlle de oogahes conéens on éé nsés du dsue de Placdo (vo la secon sysème de Placdo dans le aagahe.5..). On eu ouve dans cee famlle de oogahes: le éaomèe, le éaoscoe e la vdéoéaogahe. Kéaomèe La éaomée es une méhode emean de mesue le ayon de coubue de la conée. Le éaomèe mesue la coubue de la conée le long d une sée de médens, en y fasan éfléch un cecle lumneu cené su le somme de la conée. Pou se fae, l mesue smlemen l écaemen ene deu aes de ons se éfléchssan su la suface anéeue de la conée. Cee méhode donne de bons ésulas dans le cas d une suface shéue, mas ese nsuffsane ou une suface lus comlee comme celle de la conée [3]. Kéaoscoe Le Kéaoscoe (auss aelé ohalmomèe) fa éfléch une sée d anneau concenues su la suface de la conée ou vsualse la suface de la conée. La ualé de la déecon des eubaons oogahues déend du nombe d anneau. Pam les modèles esans, on eu ce le «Conéoscoe» u ulse anneau e couve 70 % de la suface de la conée e de «Coneal modelng sysem» u ulse 3 anneau e couve 95 % de la suface. Pa alleus, ces nsumens ulsen des algohmes calculan le ayon de coubue le long de médens donnés, en s auyan su l hyohèse d une conée shéue [3]. Vdéoéaogahe La vdéoéaogahe es une améloaon du ocessus de mesue u s aue su le nce des dsues de Placdo. C es un océdé u eme d évalue la fome de la conée. Un sysème vdéoéaogahue fonconne généalemen comme su: un obje lumneu de es (en généal un ensemble d'anneau concenues, souven aelés mes) es éfléch a la conée. Pa la sue, l'mage vdéo es caée a une caméa CCD (chaged couled devce). Une fos ue l'algnemen coec es aen, une caméa (caeu) caue une mage, aelée vdéoéaogahe. Ans, le vdéoéaogahe es une mage vdéo numésée d'un obje

27 lumneu de es coecemen algné aès éfleon a le flm lacymal de la conée. Une fos analysées, les données euven êe manulées ou cée une vaéé de gahues en foncon des besons de l'ulsaeu. Le vdéoéaogahe, les données analysées, e l'nfomaon du aen son enegsées, e des oons ou l'ulsaeu euven êe ulsées ou génée des coes de dosses de aens [7] Toogahe en élévaon : Les sysèmes oogahues basés su le nce des dsues de Placdo son des ouls éceu dans l évaluaon de la coubue e le ouvo éfacf de la conée. Ceendan, ces sysèmes ne son as caables de déce decemen la fome saale éelle de la conée. Les oogahes d élévaon fon ae d'aues caégoes de oogahes u son caables de foun une esmaon dece de l élévaon de la conée, éablssan ans une vae cae en os dmensons de la fome de la suface conéenne anéeue ou oséeue. Dans ce u su, on va ésene les oogahes d élévaon les lus oulaes. La asesééogahe La asesééogahe es une echnue non nvasve de mesue de la conée. Cee echnue consse à ojee une glle su la conée à aves un fle cobal bleu. Le flm lacymal es ené à la fluoescéne. L élévaon es calculée en évaluan la défomaon des lgnes de la glle. La coubue e l élévaon son obenues ou oue la suface conéenne a cee méhode. La écson e la eoducblé son de l'ode des sysèmes de Placdo, mas l'avanage es ue ce sysème ne nécesse as une suface éhélale nace [8]. Penacam L'magee a Penacam es une echnue u ulse une méhode dfféene ou oben l'mage de la conée aelée l'magee de Schemflug. Cee denèe es basée su le nce de Schemflug u se odu uand un obje lanae n'es as aallèle au lan d'mage. 3

28 Fgue.5 Pnce de Schemflug 5 Dans ce scénao, une angene oblue eu êe ée de l'mage, l'obje e le lan de l'objecf. Le on d'nesecon de ces angenes es aelé l'nesecon de Schemflug, c'es eacemen où l'mage a le melleue mse au on (focus). Avec une caméa Schemflug oave, la Penacam es caable d'oben 50 mages Schemflug en mons de secondes. Chaue mage ossède 500 ons de vae élévaon (élévaon éelle), donc un oal de 5000 ons d'élévaon éelle ou la suface de la conée. Gâce au deu caméas u'elle ossède, la Penacam es en mesue d'effecue l'mage de la conée de façon à ouvo vsualse la oogahe de la suface anéeue e oséeue. La Penacam comend un cean nombe d'avanages : haue ésoluon de la conée enèe, y coms le cene de la conée, la caacé à mesue les conées avec des égulaés gaves, elles ue le éaocône e la caacé de calcule la achymée (mesue de l'éasseu de la conée) de lmbe à lmbe [9]. Mcoscoe confocale Un mcoscoe confocal es un mcoscoe oue u eu éalse des mages de ès fable ofondeu de cham. Il es ossble de éalse des sées d mages à a desuelles on eu oben une eésenaon dmensonnelle de l obje. Le mcoscoe convenonnel ecuelle oue la lumèe éfléche a un obje ncluan celle au dessus e au dessous du lan focal. Cela cée des mages floues e buyanes avec une ésoluon lmée. Pa conséuen, l'échanllon do êe fnemen coué. Il es cla ue ce beson de coue hysuemen l'échanllon n'es as ems dans l'magee n vvo (à l'néeu du cos human). La mcoscoe confocale a ems d'éve ce nconnen. 5 h://en.weda.og/w/fle:schemflug.gf 4

29 Fgue.6 Pnce du mcoscoe confocal [0] En mcoscoe confocale, la souce oncuelle de lumèe e son déeceu conjugué lmen le assage de la lumèe en dehos du lan focal e ne aven as au sysème d'obsevaon [0]. Le cham de vson d'une elle conceon es ès fable, e un cham de vson comle do êe ms en lace. Il eu êe obenu en fasan oune des dsues avec beaucou de souces-déeceus conjuguées comme le TSCM (Tandem Scannng Confocal Mcoscoe), ou a un sysème de balayage comme le SSCM (Sl-Scannng Confocal Mcoscoe) ou LSCM (Lase Scannng Confocal Mcoscoe) []. La mcoscoe confocale eme d'oben des mages d'une gande ésoluon longudnale (de,5 à 4 µm) e a la caacé d'oben des mages de cellules de l'mage de l'éhélum conéen, nef éhélal du leus, les dfféenes aes du soma, e l'endohélum sans la nécessé de seconne mécanuemen la conée []. Tomogahe a cohéence oue Tomogahe a cohéence oue (OCT) de la conée e du segmen anéeue de l'œl e es une méhode oue d'acuson des mages en coue ansvesale. 5

30 Fgue.7 Tomogahe a cohéence oue de la conée 6 Elle es basée su la éfleon e la dffuson de la lumèe à a des sucues à l'néeu de la conée. La mesue des dfféenes éflecvés des sucues à l'néeu de la conée a un océdé d'neféomée oue odu une mage en coue de la conée e d'aues sucues du segmen anéeu. En neféomée oue, la souce de lumèe es dvsée en deu fasceau: fasceau de éféence e fasceau de mesue. Le fasceau de mesue es éfléche a les sucues oculaes e neag avec la lumèe de éféence éfléche a le mo de éféence, ce hénomène es aelé neféence. L'neféence cohéene ou osve es caacésée a une augmenaon du sgnal ésulan u eu êe mesué a l'neféomèe. Pa la sue, la oson de la sucue éfléchssane de l'œl eu êe déemnée. De cee façon, la conée e les sucues du segmen anéeu eu êe vsualsé avec un hau degé de ésoluon (acuellemen 8 µm aales e 60 µm ansvesale). Cee echnologe es égalemen ulsée ou vsualse ceanes ahologes comme les umeus, les yses de l's ans ue des anneau na-conéens []. Obscan II Le oogahe Obscan II de Bausch & Lomb elève d une echnologe lus écene u eme au chugens e ohalmologues de non seulemen déece les égulaés de la suface conéenne, mas égalemen de la caogahe. C'es vamen un nsumen évoluonnae ou l'éude de la conée. Afn de mesue la suface conéenne, le oogahe Obscan II combne un sysème de balayage à fenes avec un sysème avancé des dsues de Placdo. Le sysème Obscan II emlo un balayage de fasceau e angulaon dece ou déemne e mesue les sufaces 6 h:// 6

31 anéeue e oséeue de la conée. Selon les os gandes éaes de l'eamen Obscan, le dsosf comoe 3 unés [3]: uné d'acuson de données, une uné ou le aemen de données e une uné ou la soe. Une êe de caue de données es la ae ncale de l'aael. Elle combne une ojecon d'un sysème avancé des dsues de Placdo e un aael de balayage à fenes. Cee combnason eme de sumone l'un des désavanages ncau de oogahe conéen sandad à base des dsues de Placdo seulemen : l'ncaacé de ace e de évo la oogahe de la suface oséeue de la conée. L'acuson de données dans l'obscan II nclu deu yes d'mages: d'abod, une caue des mages vuelles de la ojecon de dsues concenues de Placdo, us 40 mages de fasceau vecau enelacés de 0,3 mm ojeés à un angle de 45 degés (0 mages de fasceau son ojeées de chaue côé ou balaye la conée hozonalemen de lmbe à lmbe). Le scanneu Obscan II caue e analyse 40 ons de chaue fasceau ojeé. Le aemen de données acus ne due ue uelues secondes aès leuel les nfomaons ssues de lus de 9000 ons numésés son aées en ulsan des algohmes comlees. Théouemen, le nombe de ons numésés es égal à Mas les mages en éhée conennen des données ovenan de auèes e de la scléoue donc, auemen, on abou à un nombe de ons ule nféeu à Un logcel de lssage dédu la fome e l'éasseu conéenne ene chaue secon. Le ésula du aemen des données a l'obscan II es ésené comme des caes à code couleu. 7

32 Fgue.8 nfomaons founs a l'obscan II 7 Pam les nfomaons les lus moanes founes a l'obscan II, l y a: cae de la suface anéeue e sa coubue, cae de la suface oséeue e sa coubue, cae de éaomée e cae de achymée (mesue de l'éasseu de la conée). Les caes de la suface anéeue e oséeue affchées a l'obscan II ne son as élévaons éelles de chacune des sufaces, mas luô des élévaons calculées à a d'une suface de éféence (shèe) aelée BFS (Bes-f shee). Les caes d'élévaon son eésenées en coloan les dfféences ene la suface d'néê e la BFS où la couleu vee mone les zones les lus oches de la BFS, les couleus chaudes (ouge e jaune) eésenen les zones au-dessus de la BFS e les couleus fodes (bleu e vole) nduen les zones au-dessous de la BFS. La cae de achymée (d'éasseu) es calculée à a des dfféences ene la suface anéeue e oséeue de la conée. Sysème Placdo Comme la lua des oogahes conéens, l'obscan II emloe le sysème des dsues de Placdo (40 anneau). C'es une echnue, aaue à la fn du XIXe sècle. Il s agssa d un dsue la, doé d un ou d obsevaon cenal, su leuel fguaen des anneau concenues (mes) alenavemen blancs e nos, e u éa manenu devan l œl du suje. Cee echnue a du nce ue la conée ag comme un mo convee. Losue la conée es obsevée à aves l ofce des dsues de Placdo, la gandeu, la fome 7 h:// 8

33 e la oson des mes efléées euven êe analysées e ulsées comme mesues ndeces de la fome conéenne. Fgue.9 Pnce des dsues de Placdo [3] Balayage à fenes La echnologe de l'obscan II ulse le nce de angulaon ou consue la oogahe de la conée. Les nfomaons obenues a les dfféenes unés de l'obscan son aées comme des données éléméues (ange daa ocessng). La élémée es la mesue de la dsance a océdé oue ou adoélecue. Il s ag ncalemen d algohmes de econsucon emean de ecée l mage 3D de la conée à a des ons obenus. Fgue.0 Sysème de balayage à fenes [59] La echnue ulsée a l'obscan II ou acué les données éléméues consse à ojee un ayon lumneu su l'obje à numése. Aès, une caméa es ulsée ou numése l mage ésulane. On aelle un el sysème un «sysème de balayage à fenes» (sl-scannng). Pou oben l nfomaon en 3 dmensons, ce dene ulse le nce de la 9

34 vson bnoculae u consse à obseve une mage de deu ons de vue dfféens. Dans le cas du sysème de balayage à fenes, l œl gauche es emlacé a la souce lumneuse e l œl do a une caméa. L'esmaon des dfféenes dsances se fa a angulaon. Le sysème de balayage à fenes dsose d nfomaons de base e d un éféenel. Le calbage du sysème Obscan II es effecué en fan une laue à une dsance connue de la souce e du déeceu. Gâce à cee laue de calbage, la éonse de éféence de chacune des fenes d éclaage eu êe enegsée. Pa la sue la vaaon de la éonse de chaue fene a ao au éféenel eu êe neéée ou évalue la oson de l obje elle ue la conée losu'l es éclaé. Fgue. Tangulaon d un on [59] La suface oséeue de la conée eu elle auss êe évaluée gâce au efle de la ae du ayon avesan la couche anéeue (ayon éfacé). Une ae de ayon éfacé su la suface anéeue se eflèe auss su la couche oséeue. Ans, ou chaue ayon envoyé a la souce, deu ayons son eçus. Le eme ayon ulsé ou évalue d abod la couche anéeue, us le deuème ayon es ulsé ou mesue la suface oséeue e le on de conac avec la suface oséeue eu êe calculé a suv de ayon en enan come de l'ndce de éfacon de la conée e de la oson. Fgue. Schéma de la mesue de la suface oséeue [59] 0

35 Une fos les ons déemnés, l ne ese u à econsue l mage fnale. Cee éae es obablemen éalsée a un algohme de econsucon, mas ces nfomaons ne son as dsonbles usu elles son gadées confdenelles a Baush & Lomb, le fabcan de l aael. Dscusson L'Obscan II a ajoué un nouveau aadgme à la oogahe conéenne. Ce nsumen, comme son édécesseu, l'obscan, es caable de caogahe la oalé de la suface conéenne e eu foun lus d nfomaons su les comosanes oues de l œl. L'Obscan II es une synege de deu echnues de vdéoéaogahe asssée a odnaeu à savo les dsues de Placdo e le balayage à fenes. Il eme à la fos de oogahe la conée e d en mesue l éasseu en uelues secondes. De lus, l es am les aes oogahes conéens emean de oogahe la suface oséeue de la conée. La écson des mesues a éé évaluée e véfée a luseus éues de echeche. Une éude menée a [4] su le sysème de calbage de l'obscan II. Cee éude mone ue l'amlude de l'eeu dans les mesues effecuées a l'obscan II es ès fable. L'eeu dans les mesues d élévaons cenales es égale à 0,0 µm. Pou les élévaons en éhée, l'eeu es évaluée à 0,70 µm. Cec mone ue les mesues cenales ses a l'obscan II son sgnfcavemen lus écses ue celles de la éhée. D'aues éues de echeche on éudé e comaé les mesues de la suface conéenne obenue a l'obscan II, au sysèmes basés unuemen su les dsues de Placdo, asesééogahe [8] ans ue la Penacam [9]. Dans ces éudes, l a éé démoné ue les ésulas obenus a l'obscan II son lus lsses e lus écs. Pa alleus, d aues éues on éudé les dfféences ene la achymée mesuée a l Obscan II e a la éféence du domane, le achymée ulasonoe [5] [6]. Dans ces éudes, l a éé ouvé ue la echnologe Obscan es ule, ade e fable ou les ess de achymée mas nécesse un faceu de coecon de 0.9 ou êe comaables. En lus, La achymée oue (echnologe de l'obscan) n'es as affecée a les changemens d'hydaaon e ne nécesse as un conac dec avec la conée conaemen à la achymée classue.

36 Malheueusemen, le sysème Obscan II es lmé a un oblème commun à ous les sysèmes de oogahe non nvasve. Ce oblème es lé à la séculaé de la suface obsevée. En effe, la suface obsevée do absolumen êe séculae, ce u n es as oujous le cas. Pluseus conées on de lages égons u éfléchssen la lumèe de manèe dffuse. Il sea auss ule de ouvo mesue la oogahe conéenne sue à une ccace ésulan d un aumasme ou d une ahologe ou l enlèvemen de l éhélum de la conée endan la éaomée hoo-ablave. Dans ces cas, l mage séculae n es as déecable [7]..6. Concluson Dans ce chae, on a effecué ou d'abod un bef ésumé su l'anaome de la conée humane, e on a elué le fonconnemen e le ôle oue ue la conée joue dans la vson. Pus, on a vu les dfféens oubles e les eeus éflecves ouchan la conée u euven nécesse une chuge éfacve ou même une anslanaon conéenne ou coecon de la vue. Ensue, on s'es néessé à oue soe de mesue u'on eu effecue su la conée ans ue les echnues ulsées ou collece ces nfomaons. Enfn, on a ésené l'un des sysèmes les lus avancés echnologuemen am les oogahes conéens dsonbles: l'obscan II Dans le ochan chae, on s'néessea au oblème de ecalage 3D e au fameu algohme ICP «eave closes on» e ses vaanes u sea ulsé uléeuemen ou la consucon de l'alas conéen.

37 Chae 3 Poblème de ecalage e l'algohme ICP 3.. Inoducon Dans ce chae, on va s'néesse au oblème de ecalage /3D u ès connu dans le domane de vson a odnaeu. Tou d'abod, on va déce e fomule le oblème mahémauemen. Pus, on va ésene les uae méhodes oulaes ou esme la ansfomaon géoméue ene deu ensembles de ons. Ensue, on va ésene e déalle le célèbe algohme ICP ans ue ces vaanes connu comme la soluon effcace ou le aclage des fomes /3D. Enfn, on va ésene les deu algohmes ICPS sooe e non sooe. 3.. Poblème de ecalage /3D 3... Inoducon e descon Sue à l'évoluon e au déveloen des nouvelles echnologes d'acuson des mages numéues, le oblème de ecalage /3D es devenu un oblème ès néessan à ésoude. En fae, le oblème de ecalage /3D (connu auss sous le nom de l'oenaon absolue, algnemen /3D e esmaon de la oson /3D) consse à algne ou ajuse deu fomes d'une façon omale ce u even à déemne la ansfomaon géoméue omale u eme un melleu algnemen ene une emèe fome aelée souven «Donnée» e une deuème fome aelée «Modèle». L'oéaon de ecalage /3D s'avèe nécessae dans de nombeuses suaons. Pa eemle; los de l'acuson de luseus mages d'un obje a dfféens caeus (scanneus ou cameas), les données obenues son eésenées dans dfféens sysèmes de coodonnées. Pa conséuen, oues les mages doven êe ansfomées dans un eèe commun afn de meu les vsualse ou ae. Un deuème cas dans leuel le ecalage es ndsensable; los de la consucon des modèles d'un obje, luseus vues de ce obje son nécessaes. Ces vues ne euven as êe obenues a une seule acuson, donc luseus acusons

38 doven êe effecuées su ce obje. Il en ésule des mages eésenées dans dfféens eèes, d'ou la nécessé de ecale aellemen ous les vues de ce obje ou consue les modèles. Les domanes d'alcaon ouchés a le ecalage /3D son ès nombeu, on eu ce: Reconnassance des fomes, Roboue, Reconsucon 3D, Calbaon des caméas, Imagee médcale, magee saelle, Achéologe, ec...[7], [8], [9] Fomulaon mahémaue du oblème de ecalage /3D Le oblème de ecalage /3D es généalemen consdéé comme un oblème de mnmsaon vu ue l'esmaon de la ansfomaon omale s'achève en mnmsan une foncon d'eeu basée su la dsance ene les dfféenes fomes à algne. Ans ce oblème de mnmsaon eu êe fomulé comme su : éan donné deu ensembles de ons dans m R ( m ou 3 X P m ) don la coesondance es nconnue; la fome donnée e la fome modèle où, alos ou oben le melleu algnemen de la fome donnée P avec la fome modèle X, la ansfomaon omale Tˆ do êe ouvée en mnmsan la foncon d'eeu suvane : f ( T) T.e. Tˆ ag mn T T Cee foncon d'eeu déc un ecalage généal ene les deu ensembles de ons X e P. La ansfomaon Tˆ à ouve eu êe une seule ansfomaon où la comosée de luseus ansfomaons vaées Calcul e esmaon de la ansfomaon Le oblème de ecalage eu êe dvsé en deu sous-oblèmes: le eme consse à déemne la bonne coesondance ene les ons la fome donnée e les ons du modèle (u es souven nconnue). Le deuème consse à ouve la ansfomaon ene les ensembles de ons à algne. Avan de se lance dans la ésoluon du oblème de ecalage 4

39 /3D énoncé c-dessus, on va s'néesse ou d'abod au oblème lé à la echeche de la ansfomaon T ene deu ensembles de ons. Ce dene es un oblème ben éudé dans la léaue. En effe luseus méhodes on éé déveloées afn d'esme la ansfomaon ene deu ensembles de ons emés dans deu sysèmes de coodonnées dfféens. Une emèe soluon [0] ue nous aelleons «SVD» se base su la décomoson en valeus sngulèes d'une mace calculée en ulsan la eésenaon sandad des ansfomaons. Une deuème méhode [] ue nous aelleons «Maces ohogonales» se base su le calcul des veceus oes e les veceus oes d'une mace un eu dfféene généée en ulsan les oéés ohogonales de la ansfomaon. La osème méhode [8] aelée «Quaenon unae» dans lauelle un uaenon es ulsé ou eésene la ansfomaon calculée à a d'un veceu oe assoce à la lus gande valeu oe d'une mace de dmenson uae. La uaème méhode [] aelée «Quaenon dual» u ulse un dual uaenon ou calcule e eésene la ansfomaon. Dans ce u su, on va déalle chacune des uae méhodes menonnées c-dessus, la eésenaon de la ansfomaon u'elles ulsen ans ue les algohmes ou calcule la ansfomaon La méhode SVD Cee méhode a éé déveloée a Aun [0] e a éé conçue ou mnmse une foncon d'eeu de mnmsaon de cee fome : f ( T) f ( R, ) R.e. Tˆ ( Rˆ, ˆ) ag mn R R, où T ( R, ) es la comosée d'une oaon R e une anslaon, Tˆ ( Rˆ, ˆ ) es la ansfomaon omale u assue le melleu algnemen de avec P X. 5

40 Reésenaon de la ansfomaon Dans cee méhode, la Roaon R es eésenée a une mace ohogonale ( RR Im e R de dmenson m. de ) d'ode m m ands ue la anslaon es eésenée a un veceu Décomoson en valeus sngulèes La décomoson en valeus sngulèes es un oul ès fo en algèbe lnéae u eme la facosaon d'une mace comlee en un odu des maces lus smles afn de facle l'eacon de caacésues néessanes de cee denèe. Théoème So M une mace d'ode ese os maces U, e V el ue m n don les coeffcens son comlees ou éels alos l M UV * où U es une mace ohogonale d'ode m m, V es une mace ohogonale d'ode n n e es une mace d'ode «seudo-dagonale» u conen les valeus sngulèes de la mace M. Ineéaon m n de On eu neée géoméuemen cee décomoson comme su: Pou l'alcaon lnéae g dévée de la mace M, l ese une base ohonomée de n K e une base ohonomée de m K el ue g assoce l'ème veceu de base de n K a un mulle m d'ème veceu de base de K, ans g sea eésené a une mace d'ode m n où les coeffcens non nuls son ceu su la dagonale ncale de la mace. En effe s on noe u,...,u m e n v,...,v les veceus colonnes esecfs de U e V alos la l'alcaon g : M va avo une eesson ès smle dans ces bases ohonomées usue g ( v ) u où es l'éme coeffcen de la dagonal ncale de Esmaon de la oaon e la anslaon omale Comme menonné écédemmen, la foncon d'eeu aen son mnmum en Rˆ e ˆ. Pa conséuen, le modèle e la donnée aès ansfomaon von avo le même cenoïde. En 6

41 défnssan ou d'abod les deu cenoïdes (ou cene de masse), on oben les deu emes e : ; ;. Alos la foncon d'eeu eu êe encoe lus édue: f ( R, ) R R R( R( ) ) En ulsan la conane ue le cenoïde du modèle es confondu au cenoïde de la donnée aès u'l a sub la ansfomaon (.e. R 0 f ( R) R. Roaon omale ) alos f (R) sea édu à : L'algohme ou calcule Rˆ es déc c dessous : Éae : Calcule les deu cenes de masses e ans ue les nouvelles coodonnées e ou de à. Éae : Calcule la mace H d'ode m m ( m ou m 3 ) donnée a la fomule suvane: H. Éae 3: Décomose la mace H en valeus sngulèes : H UV Éae 4: Calcule la mace W donnée a : W VU Éae 5: S le déemnan de mace W es égale a alos la oaon omale Rˆ W S le déemnan de mace W es égale à - alos W es une éfleon el l'algohme échoue (ce cas ne se odu esue jamas. Cec es démoné eémenalemen). 7

42 8 Peuve e démonsaon Reenan la foncon d'eeu édue R R f ) ( alos on eu l'éce sous la fome suvane : R R R R R R R f ) ( O R es une mace ohogonale ( m I R R ) e en ulsan les oéés de la ansoson on a R R (ca R es un éel donc R R ), alos la foncon d'eeu sea égale à: R R f ) (. En eamnan la nouvelle eesson de la foncon d'eeu ) (R f, on eu dédue ue mnmse cee denèe even à mamse le eme R R F ) (. O ) (R F es un éel, donc on eu éce : RH R R R R F ) ( Avec H. Lemme: ou oue mace défne osve e syméue AA, ou oue mace ohogonale B on a : BAA AA. (Cec eu êe démoné en ulsan l'négalé de Cauchy Swaz ) So la décomoson de la mace H en valeus sngulèe alos on a V U H e la mace VU W. Calculons le odu de deu mace W e H :

43 WH VU UV VV Pusue WH es une mace défne osve e syméue alos on eu alue le lemme énoncé c-dessus: ou oue mace ohogonale B on a WH BWH ue am oues les maces ohogonales, W es celle u mamse F (R). ce u sgnfe Tanslaon omale En ulsan la conane cée écédemmen concenan la sueoson des deu cenes de masse los de l'algnemen de avec P X, on eu calcule le veceu de anslaon omale a la fomule suvane : ˆ Rˆ Maces ohogonales Cee soluon a éé déveloée a Hon [] e essemble à la emèe méhode déce écédemmen avec une légèe déféence dans la défnon de la foncon d'eeu à mnmse: f ( T) f ( R,, s) sr.e. Tˆ ( Rˆ, ˆ, sˆ) ag mn R, sr Cee foncon d'eeu fa neven auss le changemen d'échelle s. La ésoluon de ce oblème de mnmsaon va ae s d'une manèe ndéendane de R e Reésenaon de la ansfomaon Cee aoche ulse la même eésenaon ue la méhode «SVD» ou la oaon e la anslaon (la Roaon R es eésenée a une mace ohogonale d'ode m m e la anslaon es eésenée a un veceu de dmenson m ) ands ue le changemen d'échelle es eésené a un scalae s Décomoson en odu d'une mace ohogonale e une mace syméue D'aès la méhode [], oue mace caée d'ode mm eu êe décomosée en odu d'une mace ohogonale e une mace sem-défne osve (oues ses valeus 9

44 oes son osves), ans oue mace éelle M d'ode m m eu éc sous la fome M US avec S M M es la acne caée défne osve de la mace syméue M M e U M M M es la mace ohogonale d'ode m m. La mace S es déemnée d'une manèe unue ands ue U es unue s e seulemen s M es non sngulèe (nvesble) Racne caée d'une mace défne osve La mace défne osve e syméue M M eu êe emée en foncon de ses valeus oes m e les veceus oes assocés m v comme su : M M m v v. Pusue M M es une mace défne osve, alos oues ses valeus oes m son osves. Pa conséuen, les acnes caées des m son ben éelles e on eu défn la mace S a : S m v v. Calculons S : S m m M v v M v v Cec es facle à démone en déallan les calculs ou m e m 3. Pa alleus, m ou ou veceu z IR non nul on a z Sz 0. Il en ésule ue la mace S défne osve es la acne caée de la mace syméue M M défne a : S M M v v. m Calcul de la mace ohogonale dans la décomoson So W la mace défne a W m vv avec m les valeus oes v assocées au veceus oes m de la mace syméue défne osve M M. Alos on 30

45 a W S M M. Cec eu êe véfé en effecuan la mullcaon de W a S (.e. WS I m U MS ). Ans la mace U u aaa dans la décomoson de M eu êe calculée a: M M M Esmaon du changemen d'échelle, de la oaon e de la anslaon omale Soen e les cenes de masse des ensembles esecfs e X P ans ue les nouvelles coodonnées e défnes de la même manèe ue la méhode écédene. Alos la foncon d'eeu eu êe édue à : f ( R, s) sr e avec e sr es la dsance u séae le on e le on aès u'l a sub la oaon R us le changemen d'échelle s, e es auss égale à la dsance ene le on u a sub un changemen d'échèle s e le on aès u'l a sub la oaon R us le changemen d'échelle s.e. e sr. s Une elle eesson de la foncon eeu s'aelle une eesson syméue ulsée ou éve l'asymée dans le changemen d'échelle. Reenons la foncon d'eeu f ( R, s) e déveloons: f ( R, s) s e s s R s s D ss s S sr l sr sr 3

46 avec S, D R e S l. Changemen d'échelle omal suvane: Le changemen d'échelle ŝ es déemné sans de la oaon e donné a la fomule sˆ S S l. Le cho de la valeu du faceu d'échelle ŝ dans cee soluon es ndéendan de la oaon e n'affece as sa déemnaon. Peuve e démonsaon On eu éce la foncon d'eeu f ( R, s) comme un débu de odu emauable en f ( R, s) s : s S l s S S eme eme do êe nul, d'ou sˆ. S Roaon omale l S S l D. Alos, afn de mnmse f ( R, s) le L'algohme ou calcule la oaon omale Rˆ es énoncé c dessous : Éae : Calcule les deu cenes de masses e ans ue les nouvelles coodonnées e ou de à. Éae : Calcule la mace M d'ode m m ( m ou m 3 ) donnée a la fomule suvane: M H. Éae 3: Décomose la mace M en odu d'une mace ohogonale U e une mace syméue S ; M US alos la oaon omale ˆ R U MS. 3

47 Peuve Reenons la foncon d'eeu à mnmse défne a l'éuaon: f ( R, s) S D ssl, alos ou mnmse f ( R, s) on do mamse le eme s F( R) D R. O F (R) es un éel donc on eu éce RM ( R ) F( R) M avec M H. Pa conséuen, ou ouve la oaon u mnmse l'eeu f ( R, s), on do ouve la mace ohogonale R u mamse ( R M ). So la décomoson de la mace M en odu d'une mace ohogonale U e une mace syméue S.e. M US e so m les valeus oes assocés au veceus oesv m de la mace S. Alos on a: ( R M ) m R US R Uv v En ulsan les oéés de la ansoson e le odu scalae, on eu éce chaue eme comme su: v Pusue m alos on a Uv R Uvv v R Uv Rv Uv Rv Uv son des veceus unaes e R e U son des maces ohogonales Rv. DoncR US S R US es aen s e seulemen s m. Ans le mamum du eme R U Im ce u mlue R U ˆ. La mace de oaon omale Rˆ es alos celle u aaa dans la décomoson de M en odu de mace ohogonale e de mace syméue. 33

48 Tanslaon omale La anslaon omale es calculée ou en esecan la conane défne dans la méhode écédene e le veceu de anslaon ˆ es donné a : ˆ sr ˆ ˆ Quaenon unae Cee méhode à éé déveloé auss a Hon [8] e a éé conçue ou mnmse la même foncon d'eeu défne dans la méhode «Maces ohogonales» dans le cas de dmenson 3 ( m 3). Tˆ ( Rˆ, ˆ, sˆ) ag mn R,, s sr Reésenaon de la ansfomaon Dans cee aoche une eésenaon lus élégane de la ansfomaon a éé ulsé en eloan la elaon ene les uaenons e les oaons dans 3 IR. On sa ue les oaons en dmenson 3 son caacésées a un angle e un ae dgé a un veceu unae z w w, wy, w. Alos un uaenon unae cos, sn w, sn wy, sn wz es consu e ulsé ou eésene la oaon. La anslaon e le changemen d'échelle son eésenés esecvemen a un veceu de dmenson 3 e a un scalae s Élémens su les uaenons Tous les élémens nécessaes su les uaenons ou calcule la ansfomaon omale son décs c-dessous. Quaenon Un uaenon,, 0, y z es généalemen défn a un veceu de dmenson 4 où un nombe comlee avec 3 aes magnaes: 0 j y z 34

49 35 Mullcaon des uaenons La mullcaon des deu uaenons es défne en foncon du odu de leus comosans. S z y j 0 e j y 0 son deu uaenons alos j z y y z z y z y y z z y z z y y En ulsan la able suvane ou la mullcaon : * j - -j j - - j - - Le odu de deu uaenons eu êe auss emé en foncon d'une mace ohogonale d'ode 4 4 comme su : IR y z z y y z z y IR y z z y y z z y Avec IR e R I son les maces assocés à. On eu noe ue IR e R I son dfféenes ce u mone ue la mullcaon des uaenons n'es as commuave.

50 Podu scalae e conjugué 0 Le odu scalae de deu uaenons 0 j y z j y es défn a : La nome d'un uaenon z, 0 0 y y z z. es donné a,. S la nome es égale alos le e uaenon es unae. Le conjugué d'un uaenon * 0 j y. z es noé e défn a Les maces assocées au conjugué d'un uaenon ne son ue les ansosées des maces assocées au uaenon lu-même. Éan donné ue ces maces son ohogonales, les odus avec leus ansosées es QQ, I 4. D'une manèe coesondane, le odu de e de son conjugué * es éel : * 0 y z,. En ulsan l'ohogonalé de maces assocées, on eu mone ue le odu scalae es consevé:,,,. Un ésula mméda de cee oéé : la nome d'un odu es égale au odu des nomes.e.,,,. Pa conséuen:,, ansfomaon omale. Quaenons e oaon un veceu, y, z * ; un ésula ès moan u va êe ulsé ou calcule la eu êe eésené a un uaenon magnae ue de la manèe suvane: 0 jy z. Les maces assocées IR e I R au uaenon magnae ue son ansyméues: IR IR e IR IR. 36

51 37 So le odu comosé défn a * avec magnae ue alos le ésula de ce odu es magnae ue. En effe Q Q Q Q Q avec Q e Q les maces assocés de e on a : , z y y z y z z y z y z y y z z y z y Q Q S es unae alos la sous-mace R d'ode 3 3 u se ouve en ba à doe de Q Q n'es aue ue la mace de oaon u ansfome z y,, en z y,,.e. R Esmaon de changemen d'échelle, de la oaon e de la anslaon omale So l'eesson syméue de la foncon d'eeu édue à mnmse l ss D S s s R f ), ( avec S, R D e S l. Changemen d'échelle omal En ulsan l'eesson édue de la foncon d'eeu, on eu dédue le changemen d'échelle omale ŝ de la même manèe ue la soluon écédene : l S S s ˆ Roaon omale L'algohme ou calcule la oaon omale Rˆ es énoncé c dessous : Éae : Calcule les deu cenes de masses e ans les nouvelles coodonnées e ou de à.

52 Éae : Calcule la mace M d'ode m m ( m ou m 3 ) donnée a la fomule Peuve suvane: H S S S Éae 3: Calcule la mace donnée a: S S yy S S yz Szy Sz Sz Sy S y zz S S yz S S S y z y z S yy S S zy S y z S S S zz y yy zy S S S z yz zz S Calcule ma la lus gande valeu oe de la mace ans ue le veceu oe ˆ 0 assocé [,,, ]. y z Génée la mace Rˆ de la oaon omale à a du uaenon 0 R ˆ j y z. S S S z yz S S S a la fomule suvane: yz yy S z zy S zy zz S S S S y z yz S S S S 0 y z y 0z z 0y y 0z 0 y z yz 0 z 0 y z y Comme vu écédemmen mnmse une foncon d'eeu de la fome f ( R, s) R s even à mamse le eme s H R H, R 0 0 y yy z y z zy S. Ce dene eu êe éc sous fome d'un odu scalae : avec R es l'mage de veceu a la oaon R. Manenan, H eu êe emé à l'ade des uaenons coesondans : * H,. Le oblème consse manenan à déemne le uaenon unae u mamse le eme H. En ulsan les oéés du odu scalae e les uaenons énoncés zz 38

53 39 écédemmen H eu êe éce sous la fome: H,. Soen z y,, e z y,, alos on a : IR e IR avec y z z y y z z y R I e y z z y y z z y R I. Pa conséuen l'eesson de H sea égale a : IR IR IR IR IR IR H, Avec la mace syméue défne a IR IR. La mace syméue es dagonalsable e ossède uae valeus oes éelles 4,.., assocées au uae veceus oes 4,.., e e. Pusue 4,.., e e fomen une basse ohonomée alos ou uaenon eu êe emé en comme une combnason lnae de veceus oes 4,.., e e : e e e e. la nome du uaenon es: 4 3,. Le uaenon u'on cheche es unae (.e. 4 3 ). Calculons ou d'abod le odu : ,, e e e e

54 Manenan, suosons ue es la lus gande valeu oe de alos on a :. Ce u sgnfe ue la fome uadaue ne eu as êe suéeue à usu'on cheche un uaenon unae. Ce mamum es aen losu'on fe e c'es à de e. Pa conséuen, le uaenon unae u mamse le eme H es le veceu oe assocé à la lus gande valeu oe de la mace. Tanslaon omale Une fos ue la oaon omale Rˆ e le changemen omal ŝ son connus la anslaon omale eu êe calculée e le veceu ˆ es donné a : Dual uaenon ˆ sr ˆ ˆ. Cee soluon a éé déveloée a Wale [] e a éé conçue ou mnmse une foncon d'eeu ès déféene des foncons vu écédemmen. Cee foncon es emée à l'ade des uaenons e donnée a : l ~ n n ~ f (, s) Avec W s W Q 0 e 0 n ~ e 0 n e n W Q n. Ou : ~ son des uaenons généés à a des coodonnées 0 son des uaenons généés à a des coodonnées X P W e Q son deu maces d'ode 4 4 défnes à a des uaenons e s ou alue la ansfomaon. Cee nouvelle aoche oose de mnmse une foncon d'eeu u nège deu nfomaons à la fos su les ensembles e X P ; la emèe c'es la oson calculé à a des coodonnées, la deuème c'es l'oenaon des ons calculée à l'ade des veceus nomau des deu fomes X e P. 40

55 Reésenaon de la ansfomaon La ansfomaon dans un sysème de coodonnées de l'esace 3-D es adonnellemen caacésée a un veceu de anslaon, un ae de oaon dgé a un veceu unae z y w w w w,,, e un angle de oaon. L'mage es fomée d'abod en anslaan l'ognal le long du veceu, us en le fasan oune a ao à w a un angle. En ulsan la eésenaon uaenon dual, la même ansfomaon eu êe consue d'abod a une anslaon le long de la decon de veceu w a une dsance égale à d, us en le fasan oune d'un angle de a ao à un ae ayan comme veceu deceu w auss e assan à aves le on z y,,. Dans cee méhode, la oaon e la anslaon son eésenées a un uaenon double. Comme son nom l'ndue, l es consué de deu aes ], [ ˆ s ; e s deu uaenons défns a : cos w sn w sn w sn cos w sn z y, sn d w w sn w cos d w w sn w cos d w w sn w cos d sn d w sn w cos d s y y z z z y z z y e u sasfeon les deu conanes suvanes: e 0 s.

56 Quaenon unae e uaenon dual Dans cee aoche, un uaenon es aé e noé dfféemmen de ce u'on a vu écédemmen. Il es consdéé come éan un veceu de 4 élémens e ossède deu comosans: un scalae e un veceu 3-D. Donc un uaenon es éc sous la fome : 4 4 3,,,. Un uaenon es ulsé ou eésene une oaon R d'angle e d'ae dgé a un veceu unae z y w w w w,,, alos l es neéé comme su: cos w sn. Récouemen la mace de oaon R coesondan au uaenon es donné a: 4 4 K I R où es une mace ansyméue défne a : K. Un uaenon dual es une ae de uaenons ], [ ˆ s, donc l es consu à a de hu aamèes éels. Un dual uaenon ˆ es souven eésené sous la fome s ˆ où e s son deu uaenons éels e son aelées esecvemen ae éelle e la ae dual e es une uné duale défne el ue Quaenon dual e ansfomaon Les uaenons double son auss ulsés ou eésene les ansfomaons dans l'esace. Un uaenon dual ], [ ˆ s ossède une neéaon smlae à celle de uaenon éel : ˆ ŵ ˆ ˆ cos sn,

57 où ŵ es un veceu dual u eésene l'ae de la oaon e de la anslaon dans l'esace 3-D e ˆ es l'angle dual de oaon e de anslaon avec ŵ w w e ˆ d où w es un veceu unae u sécfe la decon de l'ae de oaon e égalemen la decon de anslaon u asse a le on, es l'angle de la oaon e d es la dsance de anslaon le long de la decon sécfée a w. En ulsan les oéés des uaenons duals e la fomule de Taylo-Young, on eu déemne les eessons des uaenons e s u eésenen la ansfomaon u sasfeon les conanes e s 0: d sn w cos w sn w e s. cos d sn Soen les deu maces W e Q défnes a: 4 I K Q e 4 I K W À l'ade de ces deu maces on eu faclemen calcule la ansfomaon connassan le dual uaenon ˆ [, s] : R 0 La mace de oaon R es donnée a: W Q La anslaon es déemnée en calculan le uaenon w s le veceu de anslaon deus Esmaon de la ansfomaon P À a de la fome donnée 0., us en eacan, on calcule les uaenons osons 0 n e les uaenons u défnssen l'oenaon n 0 0 où n es le veceu 0 nomale à la fome au on a de la fome modèle. On défne les uaenons X n ~ e ~ de la même manèe à. Soen R la oaon e la anslaon à déemne alos l'mage de es donnée a l'éuaon: R es éuvalene à l'éuaon en 43

58 W s W Q foncon des uaenons: 0 elaon suvane ou les uaenons de l'oenaon: 0. De la même manèe on oben la n W Q n. La méhode ulsée ou calcule les uaenons n, n, 0 0 e u coesonden la oson e l'oenaon des deu fomes nous mènea à déemne e s les comosan du dual uaenon, s ˆ u mnmse une foncon d'eeu de la fome: l ~ n n ~ f (, s) où 0 W s W Q e n 0 W Q n En déveloan les emes n ~ e ~ e en ulsan les oéés des maces n W e Q déces dans la able [], on abou à : 0 n n~ Qn~ Wn 0 s s s W Q~ Q~ 0 0 W ~ ~ ~ 0 On nodu manenan les os maces C, C e C e la consanece : 3 l ~ 0 0 ~ C Q n W n Q W n C l I 0 C W Q~ 3 l 0 0 Ce ~ ~ Alos la foncon d'eeu f (, s) eu êe éce comme une foncon uadaue en e sous la fome f s C s C s s C Ce,. 3 Calcul de la ansfomaon L'algohme ou calcule la ansfomaon omale es énoncé c dessous :. Éae : Calcule les uaenons n, n, P. 0 0 e Éae : Calcule les maces C, C e C données a: 3 à a des ensembles X e 44

59 C C Q n l I 3 W l ~ 0 0 ~ W n Q W n 0 Q C ~ Éae 3: Calcule la mace syméue A : C C C 3 A C C C 3 Calcule le veceu oe u coesonde à la lus gande valeu oe osve de la mace A Calcule s. Peuve Calcule Rˆ la mace de oaon omale e ˆ le veceu de anslaon omale à a du uaenon dual ˆ [, s]. Pou oben le dual uaenon omal ˆ, s, on ajoue les deu conanes e s 0. L'eesson de la foncon d'eeu deven: f, s C s C s s C Ce s 3 où de Lagange. Calculons les dévés aau ao à e s : f, s C C f, s C C s C3s s 0. s C 0 3 e son les mullcaeus Pou ésoude ce sysème, on commence a déemne en ésolvan la deuème éuaon. Mullan la deuème éuaon a, on oben C3 e usue C es 3 une mace ansyméue (sommes des maces ansyméues) alos es nulle. En emlaçan a sa valeu on oben s en foncon de : s C C C 3. Reenons la emèe éuaon e emlaçons s a son eesson en foncon de alos on oben l'éuaon suvane : A 45

60 avec C C C A 3 C3 C C. Pa conséuen, le uaenon coesond au veceu oe assocé à la valeu oe de la mace A. O la mace A es dagonalsable e ossède 4 valeus oes éelles usu'elle es syméue. Il fau manenan chos la bonne valeu oe de mnmse f (, s). Reenons les deu éuaons : Mullons la emèe éuaon a C C C3s s 0 C C s C3 0 e la deuème éuaon a s alos on oben: A u C s C3. s Cs s C3 Reenons l'eesson de la foncon d'eeu à mnmse sous fome uadaue e on subsu manenan les deu emes emes alos on a : f, s C s C Ce Donc ou mnmse s s s C 3 Ce f,, on do chos comme éan la lus gande valeu oe de A. Il s'ensu ue la ae éelle du dual uaenon ˆ [, s] coesond au veceu oe assocé à la lus gande oe de la mace A. Manenan la ae duale s eu êe calculée à a de l'éuaon s C C C Dscusson e comaason. 3 Pluseus méhodes on éé déveloées afn d'esme e calcule la ansfomaon ene deu ensembles de ons dans le lan ou dans l'esace. On a déallé uae méhodes les lus connues: uaenon unae, SVD, Maces ohogonales e uaenon dual. Dfféenes eésenaons de la ansfomaon géoméue on éé ulsées a chacune de ces méhodes (Maces ohogonales, uaenon, dual uaenon). Le calcul mahémaue de la soluon se base su la décomoson en valeus sngulèe ou la echeche des veceus e valeus oes de dfféenes maces généées à des ensembles de ons à algne. 46

61 cèes : Une comaason de ces méhodes a éé oosée a Egge [3] selon luseus La écson e la obusesse en ésence de dfféens nveau de bu la sablé de la éonse su des ensembles des données eonées le ems de calcul elaf a chacune des méhodes ou déféene alle des ensembles de données Cee éude mone u'aucune de ces méhodes n a éé suéeue dans ous les cas. Ceendan une suéoé es emauée avec la méhode SVD en emes de sablé e écson de la soluon ands ue la méhode Maces ohogonales es la lus ade en eme d'eécuon dans le cas d'un ee alle des données e la méhode uaenon dual dans le cas de aemen des gandes alles des données Ieave close on Inoducon Pluseus algohmes on éé élaboés ou ésoude le oblème de ecalage /3D u euven êe classés en 3 famlles [7] : Une emèe famlle u essaye de découle les deu sous oblèmes e ene de ésoude un sous-oblème sans ésoude l'aue. Cee famlle d'algohme se base su les oéés géoméues nvaanes so a la ansfomaon so a la coesondance els ue l'algnemen PCA [4] e coesondance modale e secale [5][ 6]. Une deuème famlle u adoe l'dée des hyohèses e des ess els ue la ansfomée de Hough généalsé e la echnue de RASAC. Une osème classe d'algohmes ès oulae u es les algohmes de ye EM (eséance-mamsaon) u essayen de ésoude la oalé du oblème en ésolvan d'une manèe alenave les deu sous oblèmes à a d'une esmaon nale de la soluon. Pa eemle, le célèbe algohme ICP (Ieave Closes Pon) [7] e [8] e l'algohme de SofAssgn [9] e leus vaanes. Dans ce u su, nous nous néessons à l'algohme de ICP (eave closes on) vu ue ce dene es ès connu ou son effcacé e sa obusesse ou le ecalage (algnemen) des fomes /3D. 47

62 3.4.. Descon L'algohme ICP a éé nodu la emèe fos a Besl [7] e ndéendammen a Chen [8] comme une soluon ou ecale luseus yes de données géoméues comme des ensembles de ons, mallage angulae, sufaces mlces ou des sufaces aaméues. Connu ou sa bonne écson e sa adé, l'algohme ICP a éé lagemen ulsé avec succès e es devenu ademen la méhode domnane ou algne des données 3D. L'algohme ICP es une méhode de "éave" de ecalage 3-D. Ce algohme consse à calcule la ansfomaon ecalan le meu deu ensembles de données 3D de façon éave. Pa alleus, une esmaon nale de cee ansfomaon es nécessae ou son nalsaon. Le nce de ce algohme es d'ée su deu éaes le ecalage : la mse en coesondance des données e l'esmaon de la ansfomaon de eèes ene les fomes à ecale. Au bou de chaue éaon, l'algohme consu une lse de ons aaés en éablssan une coesondance on à on au moyen d'une dsance eucldenne. Pus, l calcule (esme) la ansfomaon de eèe ene les ons aaés u mnmse une mesue moyenne uadaue d'eeu défne ene eu. Cee ansfomaon es ulsée, ou l'éaon suvane ou la mse à jou la lse des ons aaés. Ces denes sevon, à leu ou, ou esme la nouvelle ansfomaon. Ces éaes son ééées jusu'à convegence de l'algohme. La convegence es aene losue l'eeu ésduelle de dsance ene les ons aaés es nféeue à un cean seul où en fan un nombe d'éaons mamal Algohme L'algohme ICP [7] eu êe énoncé comme su: P X Enée : deu ensembles de ons «Donnée» e «Modèle». Soe : la ansfomaon u algne la donnée P su le modèle X nalsaon : 0, P0 P, R0 I e 0 0,0,0.. éaon : - Calcule les ons les lus oches: En ulsan la dsance eucldenne: d,, Calcule l'ensemble des Y y, défn comme su: P,, ons les lus oches de 48

63 y,,, X mn d. - Calcule le ecalage: Défn l'eeu uadaue moyenne du coule foncon de R e : 0 y,,, en e f ( R, ) y, R,0 e calcule la ansfomaon omale R, u mnmse f R, ) en ulsan la ( méhode uaenon unae. 3- Alue le ecalage: Alue la ansfomaon omale ou oben l'ensemble P défn a :, R, 0 ;., 4- fn d'éaon: emne l'éaon uand le changemen d'eeu deven nfeeu à un cean seul où un nombe d'éaon mamale es aen.e. ma Convegence e e où Théoème: L'algohme ICP convege oujous ves un mnmum local de façon monoone a ao à la foncon d'eeu uadaue moyenne. Cec eu êe démoné en ulsan le fa ue le ecalage édu généalemen la dsance ene les ons aaés à chaue éaon e l'oéaon de déemne les ons les lus oches édu la dsance de chaue on ndvduellemen. Une démonsaon lus élaboée se ouve c-dessous: a : d Pou une éaon donnée, on a la dsance moyenne au caé, y, d ene. En chechan la ansfomaon omale R, ˆ P e Y défn ˆ u mnmse l'eeu e on a: e R,0 y,, y,. Pa défnon d e e, on eu oujous éabl ue e d. S d e cela vouda de ue la ansfomaon d'dené (mace d'dené) aluée su l'ensemble de ons donnea une eeu uadaue moyenne nféeue à celle de la ansfomaon R ˆ, ˆ, ce u es absude. Pou l'éaon suvane, un nouveau ensemble Y de ons les lus oches de P es 49

64 obenu. Il es clae ue:, y,, y, smlemen ace ue y, es le on le lus oche de, a défnon e a conséuen, d e. Enfn, on eu éabl ue e 0 ace ue l'eeu ne eu as êe négave. Il en ésule l'négalé suvane: 0 e d e Cec mone ue l'eeu uadaue moyenne es une sue décossane e bonée. D'où, l'algohme ICP convege d'une façon monoone ves un mnmum Dscusson d L'algohme ICP, dans sa veson ognale, ésene deu nconvénens ncau : une fable obusesse en ésence des données abeanes. En effe, la ésence des données abeanes favose l'aaon des fau aaemens dans l'éae de la mse en coesondance des ons. Cec enane le alenssemen de la convegence de l'algohme ICP e dans le e cas sa dvegence. Donc, l'élmnaon des données abeanes e des fau aaemens ans u'une mse en coesondance obuse es ndsensable ou accélée e gaan la convegence de l'algohme ICP. Le coû élevé de calcul lé à la echeche des ons les lus oches. En effe, l'oéaon de la echeche de on le lus oche es de comleé, c'es l'éae la lus coueuse en eme ems d'eécuon dans l'algohme ICP. Pa conséuen, l es nécessae d'accélée cee oéaon suou los du aemen de gandes alles de données. Dans ce u su, on va déce e classe luseus vaanes d'icp u on éé éosées afn de ésoude ces défaus Vaanes d'icp Inoducon Deus l'noducon de l'algohme ICP a Besl e Chen, de nombeuses vaanes on éé éosées dans le bu d'améloe sa obusesse e accélée sa vesse de convegence. On eu classe ces vaanes selon la modfcaon aoée à chacune des éaes de l'algohme [30]: Sélecon des ons à aae dans l'un ou les deu fomes à algne. 50

65 La echnue de la mse en coesondance des ons ulsée. La ondéaon aluée au ons aaés. Reje des mauvas ou fau aaemens La défnon de la foncon d'eeu à mnmse e la méhode ulsée ou esme la ansfomaon (déjà déallée dans la emèe ae de ce chae). Aues Sélecon des ons Une soluon mmédae es facle ou édue le ems de calcul de la mse en P coesondance es de édue la alle de l'ensemble des ons de la donnée P Effe, on eu ulse un sous-ensemble de e afos du modèle. En X auss au leu d'ulse la oalé des ons dsonble dans le cas de ecalage des gands P ensembles de ons. Les ons séleconnés de la donnée son souven aelés des ons de conôle ands ue les ons séleconnés à a du modèle son aelés les ons comables. Pluseus saéges on éé oosées ou séleconne les ons de conôle e son ésenés c-dessous: ulsaon de la oalé des ons dsonble a Besl [7]. effecue un échanllonnage aléaoe des ons. Masuda oose un nouvel échanllonnage aléaoe à chaue éaon [3]. effecue un échanllonnage unfome des ons. Tu a alué ce ye d'échanllonnages su des mages de ofondeu [3]. Sélecon des ons en enan come des nfomaons sulémenaes elles ue la couleu, la dsbuon des nomales, le gaden; sélecon des ons don l'nensé du gaden es élevée [33]. Sélecon des ons ayan une dsbuon des nomales auss gande ue ossble [30]. Sélecon des ons de conôle à a d'une zone lsse de l'ensemble de ons de la fome donnée [8] afn de facle la mse en coesondance avec les ons du modèle. Les ons comables son des ons consus à a d'un sous-ensemble des ons de X u on une dsance caacésue en dessous d'un cean seul. Pusue la echeche des ons comables s'effecue une seule fos alos les caacésues eamnées doven êe ndéendanes du sysème de coodonnées. Godn ulse comme 5

66 caacésues nvaanes la couleu ou la coubue [34] [35]. La echeche du on le lus oche (en ulsan la dsance géoméue) es effecué am ces canddas "comables" Technues d'aaemen L'algohme ICP eose su une bonne aomaon des aaemens ulsés ou esme la ansfomaon. En effe la ésence des fau aaemens eu cause la dvegence de l'algohme, ou dans le melleu cas, alen sa convegence. Meu son les aaemens, lus l'algohme ICP convege ademen. Donc une méhode de mse en coesondance obuse es ndsensable. La dsance eucldenne es afos nsuffsane ou éabl la bonne coesondance e oben une convegence éusse de l'algohme ICP. Des caacésues sulémenaes euven êe afos dsonbles elles ue la coubue locale, la couleu, la nomale à la suface e euven êe combnées avec la dsance eucldenne ou aae les ons. Pluseus echnues d'aaemen son éosées c-dessous: Besl [7] cheche les ons les lus oches en ulsan la dsance eucldenne. Chen [8] calcule le on le lus oche de en céan une nesecon ene le ayon évenan de dans la decon de la nomale de la suface donnée e la suface du modèle. Ulsaon du nce des ons comables [34]. Pou calcule les ons coesondans, on consu ou d'abod un sous ensemble de ons u on une dsance couleu au dessous d'un cean seul. Pus on calcule les aaemens fnau en ulsan la dsance eucldenne. Ulsaon du conce de on comable le lus oche ésené c-dessus, mas odue un sous-ensemble de ons comables su la base de coubues locales [36] ou su les nomales [37]. Inége l'nfomaon du couleu dans le calcul de la dsance ou déemne les ons les lus oches; Johonson [38] oose de défn la dsance ene, y, z,, g, b, y, z,, g, b eéés a leus codonnées e e leus comosanes couleu a : d y y z z g g b b, 3 ou, e 3 son des ods ou ondée l'moance des couleus cone la géomée. 5

67 L'ajou de l'nfomaon concenan la nomale à la suface dans le calcul des ons les lus oches. les nomales euven s'nége au calcul de la dsance de la même manèe ue la couleu ésenée c-dessus en échangean les comosane c, g, b n u, v, w [39]. couleus e ou les veceus nomau L'négaon de luseus nfomaons à la fos concenan la couleu, la nomale, la géomée dans la défnon de la dsance ene ˆ, n, c e ˆ, n, c eéés a leus osons, comosanes couleus e les nomales à la suface en ces ons a: dˆ, ˆ c c n n où g, c e n son g des ods ou ondée les dfféens caacésues ulsées [40]. c n Pondéaon des ons Dans luseus cas, un cean nombe de ons de la fome donnée n'a as de coesondan dans la fome modèle. Cec ave uand la suface de la fome donnée n'es as oalemen ncluse dans la suface de la fome modèle. On a menonné écédemmen ue l'algohme ICP es ès sensble au données buées e abeanes. Une soluon à ce oblème consse à affece des ods au aaemens consus afn de enfoce les bonnes aes e énalse les fausses aes. Pa conséuen l'eeu uadaue moyenne à mnmse deven: e w Rˆ Ans une nouvelle éae es ajouée à l'algohme ene l'éae e, mas cela n'affecea as la manèe don la ésoluon es effecuée. Pluseus saéges de ondéaon esen u euven êe classées en deu yes : une ondéaon bnae dans lauelle le ods affecé vau losue l'aaemen es consdéé comme coece snon le ods es évalué à 0 s l'aaemen es fau. Pa eemle; ulsaon d'un seullage selon les dsances ou évalue s l'aaemen es coec ou fau; Masuda[3] e Zhang[4] ulsen des seuls esecfs, 5 e a ou évalue les ods où es la moyenne des dsances eucldennes mesuées, es l'éca-ye e a un ene u déend de. Le deuème ye de ondéaon consse à ne as consdée les aaemens oalemen coecs ou fau, mas à consdée, égalemen, l'aaemen don la ualé de l'aaemen se sue ene les deu caégoes. En ègle généale, l'dée deèe es 53,0 y,

68 l'assgnaon des ods dfféens selon la ualé d'aaemen. Les soluons u son oosées à ce oblème son: Affece des ods consans a Besl [7]. ulse la dsance eucldenne ou le calcul des ods. Godn [34] a défn les ods d, y comme su: w où d ma es la dsance lus gande des aaemens. d ma L'dée even à abue un ods nféeu au aes u son lus dsanes. Pondéaon basée su la comablé des nomales: w n, n ou n e n son les nomales esecves au deu sufaces en e. Une ondéaon su la comablé de couleus a éé égalemen oosée a Godn [34]. Ulse "l'nceude" des ons mesués obenus à a d'un scanne. Une évaluaon classue de l'nceude de la mesue effecuée avec un scanne (ange scanne) consse à ulse le cosnus de l'angle ene la decon de la vue v e n la nomale de suface [30] Reje des mauvas aes Cee soluon es ès smlae à la ondéaon bnae u consse à ejee enèemen un cean nombe de aes dans le bu d'élmne les valeus abeanes e éve leu effe négaf su la mnmsaon de l'eeu uadaue moyenne. Pluseus saéges adoées ou le eje des mauvas aaemens e les valeus abeanes son cées cdessous: Reje des aes ayan une dsance u les séae suéeue à un seul donné a l'ulsaeu [30]. Reje des aes ayan une dsance u les séae suéeue à un seul adaaf calculé en foncon des moyennes e écas-yes des dsances [3] [4]. Reje des l % es aes basée su une mesue de dsance, généalemen une dsance eucldenne. Pull [37] oose de ejee 0% des aes. Reje des aes u ne son as comables avec les aes vosnes. Doa [4] consdèe u'une ae es ncomable s la dsance ene les deu ons u la fome es suéeue à un cean seul calculé en foncon des dsances u séaen les aes vosnes. Reje de aes conenan des ons u se ouven su les bodues [3]. 54

69 Aues D'aues echnues son oosées ou édue la comleé de l'algohme ICP: La echeche des ons le lus oches eu êe accéléée en ulsan des sucue de donnés adaées; abe bnae de echeche e abe-d [7] [4]. Ans, la echeche des ons les lus oches es effecuée a la saége «dvse ou égne» édu la comleé de à log. Accélée la echeche des ons les lus oches en ojean les ons en un ou luseus lans. Benjemma [43] e [44] oose d'effecue une ojecon su un ou luseus lan. Cela édu le oblème de echeche à une echeche dans un esace de dmenson e eme de asse d'une comleé olynomale à une comleé lnéae. Rédue le nombe d'éaons de l'algohme ICP en eaolan les aamèes de ecalage; Besl oose une veson de l'algohme ICP accéléé [7] u eme un gan en nombe d'éaons égale à 3. Smon [45] oose une deuème veson accéléée d'icp découlée u donne un gan de faceu égale à Scalng eave closes on Inoducon La veson ognale de l'algohme ICP nodue a Besl ne en as come du faceu d'échelle dans la défnon de l'eeu uadaue moyenne à mnmse. Ceendan dans la aue, le changemen d'échelle ese dans l'oéaon de ecalage. En effe les données acuses a dfféens Scanneus ou caeus dffèen consdéablemen a les ons de vue e la ésoluon de numéaon, d'où la nécessé ue les algohmes de ecalage doven êe en mesue d'esme les aamèes d'échelle. Ce oblème eu êe ésolu a ICPS sooe «eave closes on wh Isooc scalng» on ou ecale les ensembles de ons sooes [46] e «eave closes wh on Isooc scalng» ou les ensembles de ons non sooes [9]. Dans ce u su, on va déalle chacune des vesons de l'algohme Scalng-ICP ou ae les dfféens yes de changemen d'échelle. 55

70 3.6.. ICPS sooe Inoducon ICPS sooe à éé déveloé a Shhu [46]. C'es une modfcaon de l'algohme sandad ICP en nodusan le faceu d'échelle s avec une bone suéeue e nfeeue. Ans la foncon d'eeu e défn ene e P Y y, l'ensemble des ons les lus oches assocé calculé à a de X à l'éaon deven de la fome: où e s R,0 s es le faceu d'échelle ell ue s a, b de oaon e veceu de anslaon. y, un nevalle de IR, R es la mace sandad Roaon e changemen d'échelle En défnssan les deu cenes de masse,,0 e y nouvelles coodonnées, y y e, 0, L'eesson de e eu êe édue à: e s, s R,,,,, Alos, ou déemne le faceu d'échelle omale d'où s R,,, sˆ s on ésou l'éuaon, En ajouan la conane ue s a, b a b R,,, s s a b a s b e y R, s s, les 0 ; alos ŝ es défn a: Pou le calcul de la oaon omale, Shhu oose d'ulse la méhode «SVD» ou déemne Rˆ (vo secon 3.3.). 56

71 VU s de VU 0 0 R ˆ V 0 0 U s de VU 0 0 où V e U son les maces u aaassen dans la décomoson de la mace H en valeus sngulèes défn a Inalsaon : H UV,. Shhu oose d'ulse la méhode des maces de covaances ou esme la ansfomaon nale dans le bu d'éve de convege ves un mnum local conaemen au Besl u consdèe l'dené comme ansfomaon nale. Tou d'abod, on a beson de calcule les deu maces M X e M P de covaances de la fome modèle e de la fome donnée défns a: M e M P X. So 3 e 3 les veceus oes des maces esecfs M X e M P ans ue les valeus oes assocées 3 e 3,, R, la anslaon nale 0 a: 0 3, s a : s / Algohme. Alos la oaon nale R0 es esmée a: e les bones a e b a: a mn / L'algohme ICPS sooe eu êe manenan énoncé: 0, le faceu d'échelle nal e b ma /. Éae : nalsaon R 0, 0, s 0, a e b comme déc dans la secon 6...3, e P P Éae : Iéaon Calcule l'ensemble des 0. ons les lus oches de P,, Y y, défn comme su: y mn d.,,, X Calcule la ansfomaon R, ˆ, s e ˆ u mnmse l'eeu suvane : s R,0 y, 57

72 Alue la ansfomaon omale ou oben l'ensemble P défn a : s R,, 0 ; Éae 3: fn de l'éaon : calcule défn a e R,, s e R, s alos on a R ˆ, ˆ, sˆ R,, s s snon eoune à l'éae e ncémene ICPS non-sooe,, Inoducon ICPS non sooe a éé oosé a Shaoy [9], C'es une modfcaon de l'algohme de base ICP en nodusan la mace dagonale d'échelle S dans l'eeu uadaue moyenne à mnmse avec la conane ue la mace d'échelle es bonée. Ans la foncon d'eeu e défn ene e P Y y, l'ensemble des ons les lus oches assocé calculé à a de X à l'éaon deven de la fome: ou S dag s s,...,, e s m R, S, S R,0 la mace de changemen d'échèle ell ue s a, b nevalle de IR, y, j un R es la mace sandad de oaon es le veceu de anslaon Roaon e changemen d'échelle j j L'esmaon de la Roaon e le changemen d'échelle u mnmsen uadaue défn a ICPS non sooe s'effecue en ésolvan le sysème: e 0 e S 0 R La soluon es emée l'une en foncon de l'aue e donnée a: l'eeu 58

73 s j RE j où E j es une mace dagonale don ous les élémens son nuls E j sauf le j-éme élémen es égale à. S les bones donné a s j de RE a j e j ag mn s ou,..,3 sa j, b j E j j. b json sécfées alos s j es VU s VU 0 0 R V 0 0 U s de VU 0 0 où V e U son les maces u aaassen dans la décomoson de la mace H en valeus sngulèes défn a H UV Inalsaon S L'nalsaon des dfféens aamèes nau es effecué d'une manèe denue à celle ulsée ou ICPS sooe. La oaon R 0 e la anslaon 0 es calculée de la même manèe. Pou la mace de changemen d'échelle nale S 0, les élémens dagonau son ous égau au changemen d'échelle sooe nal Algohme,. Enée: deu ensembles de ons e P X. Inalsaon : nalsaon de R 0, 0 e S 0 comme déc dans la secon P0 P, la écson e les dfféen bones a j e Réée: ons les lus oches de P,, Y y, défn comme su: y mn d. Calcule l'ensemble des,,, X Inalsaon: S S, 0, R R, 0, n. Réée: Éan donné S, n, calcule n b j. R, u mmsme e R S,, n,, n 59

74 Éan donné R, n, calcule n Jusu'à n n S, u mmsme e R S,, n,, n S S ou n aen un nombe mamal d'éaons., n, n Calcule la anslaon y R S ou R R, n e S S, n Alue la ansfomaon omale ou oben l'ensemble P Jusu'à défn a :. S R,, 0 ; e où aen un nombe mamal d'éaons. e Soe: mace de changemen d'échelle veceu de anslaon Dscusson ˆ., Sˆ S, mace de oaon Rˆ R e le L'algohme ICPS sooe (esecvemen non sooe) convege d'une manèe monoone ves un mnmum local a ao à l'eeu uadaue moyenne. Cec eu êe démoné d'une façon smlae à la convegence de l'algohme sandad ICP. Pou gaan la convegence ves un mnmum global, Shaoy (esecvemen Shhu) oose une esmaon des aamèes nau en foncon de valeus e veceus oes assocé au maces de covaances des fomes à algne. Shaoy (esecvemen Shhu) oose d'ulse la méhode «SVD» ou esme la oaon u es légèemen suéeu à la méhode «uaenon unae» emloyé a Besl dans la veson sandad d'icp. Pa alleus, l consdèe les aamèes d'échelle dans l'oéaon de ecalage u ese souven e gâce au bones sécfées ou les aamèes d'échelle, le hénomène u consse à la convegence du eme ensemble de ons ves un sous-ensemble du deuème eu êe évé. L'algohme ICPS sooe (esecvemen non sooe) es ès smlae à l'algohme sandad ICP, u es comosé de deu éaes de base: éabl la coesondance us calcule la ansfomaon. Ben ue l'algohme ICPS non sooe comoe une boucle de lus ou affne l'esmaon des aamèes d'échelle, l oben un ems de calcul smlae à l'algohme ICP e ICPS sooe vu ue le ems de calcul de la ansfomaon es beaucou mons ue celu de la coesondance. Gâce à la smlaé de l'algohme ICPS 60

75 sooe (esecvemen non sooe) avec l'algohme sandad d'icp, la lua des améloaons aoées su ce dene euven êe auss négées à ICPS afn d'améloe sa obusesse e accélée sa convegence Concluson Dans ce chae, on défn goueusemen le oblème de ecalage /3D. Ensue, on es néessé au célèbe algohme ICP u es connu comme la soluon la lus obuse au oblème de ecalage. Pus on a déallé chacune des éaes de l'algohme ICP e dscué les nombeuses modfcaons aoé à ce dene à aves ses vaanes. Enfn, deu nouveau algohmes: ICPS sooe e non sooe on éé décs u ennen come des aamèes de changemen d'échelle dans le ecalage. 6

76 Chae 4 Imlémenaon e es 4.. Inoducon Une éae ndsensable dans la consucon de l alas conéen 3D oosé es la nomalsaon. Dans cee éae, on a beson d algne oue une oulaon des conées avec une conée de éféence a l algohme de ecalage ICP ou une de ses vaanes. Alos, on se oose dans ce chae d effecue dfféens ess élémenaes afn d élaboe la vaane d ICP u nous eme le melleu algnemen coesondan dans le cas de conées humanes. Tou d abod, on va génée des scènes de es de ee alle à a de modèles mahémaues u smulen la fome de la suface conéenne. Pus, on effecuea une sée de ess en ulsan ICP, ICPS sooe e non sooe e on éudea l mac de chacune de leus vaanes su la ualé de l algnemen obenu. Ensue, on assea à ae uelues échanllons de données éelles. On effecuea des ess d algnemen ou des sufaces oséeues e anéeues de conées. Enfn, on conclua ce chae a une dscusson des dfféens ésulas obenus e l élaboaon de la vaane de l algohme ICP u sea adoé dans la nomalsaon de la oulaon de conées humanes. 4.. Scènes de es Pou la mse au on de la vaane de l algohme de ecalage ICP u sea adoé ou la nomalsaon de la oulaon de conée, des ess élémenaes on éé effecués su deu yes de données: des données synhéues us su des données éelles Données synhéues 4... Ashécé de la conée La conée humane ossède deu sufaces convees (anéeue e oséeue) nauellemen ashéues. En dehos de la égon suée mmédaemen à omé de son somme, elles ne coesonden smlemen as à une suface shéue. La coubue de la conée dmnue légèemen du somme ves ses bods.

77 La conée aaa souven légèemen oue. En effe, la égon suée à omé de son somme ne esemble lus à la fome d une shèe, mas celle d un oe. La coubue du somme conéen (coubue acale) vae selon le ofl consdéé ene deu valeus eêmes. Dans cee confguaon, chaue méden de la conée consdéé de façon solée demeue ashéue, sa coubue vaan du cene ves les bods [6]. Les sufaces uemen shéues ou ashéues (non oues) ésenen une symée de évoluon (les oéés géoméues e oues son nvaanes a la oaon auou de l ae cenal) ands ue les sufaces oues ne ésenen as de symée de évoluon Reésenaon dmensonnelle de la conée Pluseus modèles mahémaues son oosés ou foun une descon oche de la éalé ashéue de la conée humane [47]. Pam ces modèles, on eu ouve les secons conues ncluan l ellse, l hyebole e la aabole. Au moyen de deu aamèes : ayon de coubue acal e la valeu- coesondane (aamèe u eme de uanfe l ashécé), ces modèles emeen une descon oche de la fome conéenne. Dans ce u su, on va s néesse à la eésenaon dmensonnelle de la conée. Suface ellsoïdale généale Tou comme une ellse eu êe consdéée comme un cecle allongé ou commé, un ellsoïde es essenellemen une shèe défomée de la même manèe. S la shèe es unfomémen allongée ou commée dans une seule decon alos elle end la fome d un ellsoïde de évoluon. S deu ou luseus défomaons se odusen dans des decons dfféenes alos la fome ésulane es celle d une ellsoïde généal. L ellsoïde généal es oujous syméue a ao au os lans eendculaes u assen a son cene e l eu êe défn d une manèe unue a ses 3 sem-aes ( a, b e c ). Pou ou ellsoïde généal, l y a 6 ons d nesecon avec les os aes ( X, Y e Z ). Ces ons d nesecon eésenen une smlaé avec le somme de la conée. Pa conséuen, la suface de l ellsoïde généal eu êe adoée comme un modèle de la conée en laçan l ogne à l un de ces ons. 63

78 Fgue 4. Ellsoïde généal défn à a de ses 3 sem-aes a, b e c Malgé ue l ellsoïde généal founsse une suface assez oche de celle de la conée, sa fomulaon es malheueusemen o lmée ou éonde au egences des aamèes d un modèle généal de la conée. C es-à-de la caacé à sécfe les uae aamèes (les deu ayons acau e les deu -valeus coesondanes). L ellsoïde généal généalemen sécfée a os aamèes ne éond as à ces egences. Ben u l ossède deu ayons acau e les deu -valeus coesondanes ou ses médens ncau, seulemen os d'ene elles euven êe ndéendammen sécfées, la uaème es auomauemen déemnée a les os aues valeus. Suface d un ellsoïde oue De la même façon u'un ellsoïde eu êe généée à a de la défomaon d'une shèe, une suface d un ellsoïde oue es généée en comessan ou allongean d une manèe unfome une suface oue le long de ses médens ncau. Pusue les médens ncau de la oue d'ogne euven êe sécfée ndéendammen e les deu euven êe comessées ou éendues a des faceus ndéendans, la suface d un ellsoïde oue eml l'oblgaon d'avo sécfé ndéendammen les médens ellues ncau. À a des éuaons de Chums [48] ou les sufaces oues emées en coodonnées olaes, Buc [49] a déveloé 3 yes de fome ellsoïde oue u 64

79 65 éonden au egences de la modélsaon de la conée a eanson unfome ou en comman une suface oue le long de ses médens ncau. Un eme ellsoïde oue à ae vecal a éé défn a l éuaon : h v v v v v h h h h v y z où v es le ayon acal du méden vecal e v es la -valeu coesondane. De la même manèe, un ellsoïde oue à ae hozonal a éé défn a l éuaon : v h h h h h v v v v h y z où h es le ayon acal du méden vecal e h es la -valeu coesondane. Une osème fome d un ellsoïde oue, ellsoïde oue moyen, es la suface don la ofondeu en ou on es la moyenne des ofondeus de on d ellsoïdes oues à ae vecal e à ae hozonal. z h z v z Généaon des données synhéues Pusue la suface d un ellsoïde oue moyen es consdéée am les fomes les lus aues ou la modélsaon de la conée [50], le modèle de l ellsoïde oue moyen a éé ulsé ou génée les dfféenes scènes ou ese l algohme de ecalage ICP e ses vaanes.

80 Fgue 4. Échanllon de scène de es eésené comme un nuage de ons 3D comosé de 60 ons ou h =7,85 mm, v =7,70 mm e v = h =7,85 mm Des nuages de ons 3D on éé généés à a de l éuaon défnssan la suface ellsoïde oue. En fasan vae les coodonnées saales e y de 5, 0 à 5, 0 mm de dfféens as ( 0,, 0,,, 0, 5 ), on évalue à chaue fos l élévaon (ofondeu) z. Ans, on oben des mages de ofondeu de dfféenes ésoluons ( 0 0, 5 5,, ) smlae au caes oogahues conéennes founes a l Obscan II. Fgue 4.3 échanllon de scène de es eésené comme une cae oogahue de ésoluon 55 ou h =7,85 mm, v =7,70 mm e v = h =7,85 mm Pou oben une fome assez éelle e oche de la suface conéenne, une esmaon éalse de la valeu des aamèes v, h, v e h es ée de données ésenées a Gullon [5]. h 7,85 0,5 mm, 7,70 0,40 mme 0,855. v La movaon ou l'ulsaon de données synhéues (généées à a de modèles mahémaues) ou les ess e les comaasons es la connassance eace de la bonne h v 66

81 ansfomaon. Ans, on eu évalue la efomance des algohmes ICP a ao à ce algnemen coec. La méue ulsée ou la mse en coesondance des ons (les aaemens) ou au long de ess effecués su les données synhéues es la dsance eucldenne. Tos fomes d eeu son généalemen calculées e ulsées ou évalue la éonse d algohmes de ecalage ICP. Une emèe eeu es évaluée comme éan la dsance moyenne uadaue ene les aaemens fomés, m dans la fome modèle ou éféence e la fome donnée ecalée (ajusée) e en foncon de la ansfomaon algohmuemen ouvée Rˆ alg, ˆ alg : E m Rˆ alg ˆ alg. La deuème eeu coesond à une eeu de anslaon e es évaluée comme la nome de la dfféence ene le veceu de anslaon esmé algohmuemen ˆ alg e le veceu de anslaon éellemen alué : E ˆ alg éel. De la même façon, la osème eeu es celle de oaon e es évaluée comme la nome de la dfféence de uaenon coesondan à la mace de oaon esmée algohmuemen e le uaenon de la mace de oaon éellemen aluée : E ˆ. alg éel 4... Données éelles Comme menonné dans le eme chae, les données son acuses a le oogahe conéen l Obscan II. Les nfomaons founes a l Obscan II u son ulsées dans le cade de ce oje son les élévaons éelles (ue elevaon) de sufaces anéeues e oséeues de conées humanes. Ces données son ésenées sous fome de caes oogahues de ésoluon égale à 0 0(00 ons). 67

82 Fgue 4.4 Échanllon éel d une cae oogahue u coesonde à l élévaon éelle d'une suface anéeue d'une conée Fgue 4.5 Échanllon éel d une cae oogahue u coesonde à l élévaon éelle d'une suface oséeue d'une conée Ces données euven êe smlfées à des maces de 00élémens (élévaons) u coesonden à des caés de dmenson égale à 0 mm 0 mm cenés su l ae oue de la conée. Les élémens de ces maces son les élévaons z évaluées au ons de coodonnées esecves en mm -5,0, - 4,9,.., 0,.., 5,0 e y mm en -5,0, - 4,9,.., 0,.., Théouemen, on oben 00 ons a suface. Mas dans la aue, les mages obenues a Obscan II son consues d un nombe de ons ben nféeu à00. En effe, on emaue as mal de ons (élévaons) u son manuans suou su les bodues d mages e son maués a la valeu ULL. 5,0. 68

83 Fgue 4.6 eemle d'une mace u coesonde à l'élévaon d'une suface anéeue ou oséeue d'une conée Dans le cas de ess effecués su de données éelles, aucune nfomaon su la ansfomaon omale u donne le melleu algnemen ene fa fome modèle e la fome donnée à l eceon u on aend a des fables oaons (Mace de oaon oche de l dené), des anslaons de uelues els (dème de mllmèes) selon, y e z e de changemen d échèle comse ene, e 0, 9. L évaluaon de dfféenes vaanes de l algohme ICP va êe effecué en vsualsan la dfféence de deu caes oogahues u coesonden au mages à algne avan e aès ecalage, l eeu algohmue calculé a ICP ans ue les dsances évaluées avan e aès ecalage défnes a : d d an os j 0 0 j élevaon _ an élevaon _ os donnée donnée, j élevaon _ an, j E modéle, j élevaon _ os, j modéle d an e d os. 69

84 4.3. Tess Imlémenaons L mlémenaon des dfféenes vaanes de l algohme ICP ans ue le code nécessae ou les ess a éé déveloé sous la veson de Malab 009 sous Wndows 7. Les dfféens ess son eécués su une machne doée d un ocesseu Coe 5 (,53 GHz) e de 4 Go de Ram Tess effecués su des données synhéues La lua des vaanes de l algohme de ecalage ICP ulsen so SVD so UQ ou esme la ansfomaon ene la fome modèle e la fome donnée aès la mse en coesondance des ons. Pa alleus, l éude éalsée a Egge su les méhodes d esmaon de la ansfomaon ene deu ensembles de ons don la coesondance es connue mone une gande smlaé ene SVD e UQ e aucune suéoé de l une a ao à l'aue n'a éé emauée dans ous les cas e les scénaos de ess effecués dans le cade de cee éude. L éude a éé éalsée su des nuages de ons généés aléaoemen d une dsbuon unfome d un cube de dmenson cené à l ogne. Pou oues ces asons, on se oose de comae e ese chacune des méhodes SVD e UQ afn de déemne lauelle d ene elles sea ulsée dans l algohme ICP, ou algne des sufaces anéeues e oséeues de conée humanes. Les ess seon effecués d abod su les données synhéues généées comme vu écédemmen dans luseus scénaos ncluan des données de dfféenes alles e en ésence de dfféens nveau de bu Tess su des données synhéues don la coesondance es connue Tess effecués su des données de dfféenes alles en absence de bu Pou dfféenes ésoluons d mages cée synhéuemen, une ansfomaon gde (oaon + anslaon) es aluée ou cée des mages coesondanes u von consue nos modèles. Dans ces cas la coesondance ene les ons e la ansfomaon omale u donne l algnemen coec son connues. Aès, SVD e UQ son ulsées ou 70

85 eouve la ansfomaon ene les ons coesondans ce u eme de ace les gahes c-dessous : Fgue 4.7 Évoluon de l'eeu algohmue e l eeu dans la ansfomaon (anslaon e oaon) en foncon du nombe de ons en absence de bu ou les méhodes UQ e SVD 7

86 Comme aendu, les dfféenes eeus mesuées dans ce cas son de l ode de la 6 écson de la machne ( 0 4 e0 ). On eu consae c ue les eeus évaluées son essenellemen nulles ou SVD (esecvemen UQ). Le comoemen de deu méhodes deu méhodes es ès smlaes dans noe cas. Tess effecués su des données de dfféenes alles en ésence de dfféen nveau de bu Afn de ousse lus la comaason, cee fos-c, un bu blanc gaussen dfféenes vaances a éé ajoué au fomes données us on esme la ansfomaon ene les fomes données buées e les fomes modelés coesondanes ce u eme de ace les gahes c-dessous : de 7

87 Fgue 4.8 Évoluon de l'eeu algohmue e l eeu dans la ansfomaon (anslaon e oaon) en foncon du nombe de ons en ésence de dfféens nveau de bu ou les méhodes SVD (colonne gauche) e UQ (colonne doe) 73

88 En ésence de bu, SVD e UQ monen une écson élevée e une bonne obusesse en aan dfféenes alles de données. On eu noe auss ue l eeu uadaue moyenne es uas consane (à l eceon de ee alle de données) ou SVD e UQ. Alos, ou meu déece la dfféence ene les soluons ouvées (ansfomaons) a SVD e UQ, on a évalué la dfféence de anslaon ˆ ˆ ans ue la dfféence SVD UQ ene les uaenons ˆ ˆ esmés a chacune des méhodes SVD e UQ, fnalemen SVD UQ on a évaluée E E. SVD UQ Fgue 4.9 Évoluon de la dfféence ene les eeus algohmues e la dfféence ene les soluons (oaon e anslaon) en foncon du nombe de ons en ésence de dfféens nveau de bu ou les méhodes UQ e SVD 74

89 La dfféence de soluons calculée as SVD e UQ (dfféence de anslaon e de oaons) son auss de l ode de la écson de la machne ce u end vamen la comaason o dffcle à mesue dans noe cas. Pa alleus, la dfféence deven de lus en lus nsgnfane losue la alle des données augmene. Ceendan, une légèe dfféence es emauée ene SVD e UQ en eamnan l évoluon de E E. Cee denèe es négave ou un nveau de bu élevé d où on eu conclue ue SVD es légèemen lus écse e obuse u UQ. SVD UQ Fgue 4.0 Évoluon de ems d'eécuon en foncon du nombe de ons ou les méhodes UQ e SVD Le dene es es effecué ou évalue le ems d eécuon ou chacune de méhode SVD e UQ en foncon de alle de données. La méhode SVD deven de lus en lus ade a ao a UQ losue la alle de données aées deven lus moane. Concluson Dans le cade de ce oje, on va ae des sufaces comosées de 00 ons, d où l moance de connae le comoemen de méhodes SVD e UQ aculèemen dans le cas des gandes alles de données. Aès la vsualsaon e l eamnaon de ésulas de dfféens ess effecués, l es cla ue SVD es légèemen suéeu à UQ dans noe cas. Pa conséuen, SVD es la méhode adéuae ou esme la ansfomaon ene les ons coesondans dans l algohme de ecalage ICP à élaboe. 75

90 Alos, SVD es la méhode de calcul de ansfomaon ulsée dans oues les vaanes ICP u son déveloées e esées dans le ese de ou ce chae Tes effecué su des données don la coesondance es nconnue L éude e la comaason des vaanes d ICP u a éé effecuée a Rusnewcz [30] a éé éalsé dans le cas de scènes lanaes, facales e des scènes u conennen des vagues. Dans ces cas, l mac des améloaons aoé su l algohme ICP a éé ben éudé. Ceendan, aucune de scènes de es ne coesond à une fome smlae à celle de la conée humane. Alos, dans ce u su, on se oose d éude luseus vaanes de l algohme ICP en effecuan des ess su nos données synhéues smulan la fome de la conée don la coesondance es nconnue. Tess effecués su des données de dfféenes alles en absence de bu Le ésen es es éalsé su 5 mages données de ésoluon esecves0 0, 5 5, 34 34, 6 6, en ecalan avec ICP, dans sa veson de base, ves les 5 mages modèles coesondanes. La méue ulsée ou le calcul du on le lus oche dans la hase de mse en coesondance des ons es la dsance eucldenne. L algohme de ecalage ICP mone une convegence ade duan les uelues emèes éaons ndéendammen des alles de données. Dans la lua des cas, ICP convege ves la soluon omale ou une soluon oche de cee denèe avec une eeu de anslaon de l ode de 60). 0 e de anslaon de l ode 0 au e des cas (dans le cas de 76

91 Fgue 4. Évoluon de l'eeu algohmue e l'eeu de ansfomaon dans ICP en foncon du nombe d éaons ou dfféens alles de données en absence de bu Tess effecués su une suface en ésence de dfféen nveau de bu Pou meu connae le comoemen de l algohme de ecalage ICP en ésence de bu dans le cas des sufaces smulan la fome conéenne, un bu blanc gaussen de dfféenes vaances a éé ajoué a une suface généée synhéuemen de ésoluon égale à 5 5. Aès, cee denèe a éé ecalée ves la suface modèle coesondane avec ICP. 77

92 Les eeus évaluées ou la ansfomaon esmée son ès fables (de l ode de ou la oaon e de 0 ou la anslaon) en ésence d un nveau de bu fable ( 0. e 0. ). Pa conséuen, la ualé d algnemen obenu es légèemen affecée e eu êe consdéée fable. Ceendan, ou un nveau de bu élevé ( 0. 5 e ), les eeus évaluées dans la ansfomaon (suou dans la anslaon) ne son lus néglgeables e son elavemen gandes. Ce u engende un algnemen de mauvase ualé e consdéé comme eoné. Fgue 4. Évoluon de l'eeu algohmue e l'eeu de ansfomaon dans ICP en foncon du nombe d éaons ou une suface de ésoluon égale à 5 5de bu de dfféens nveau de bu Dans les ess suvans, on va éude des vaanes d ICP u adoen des saéges de sélecons des ons ans ue des saéges de ondéaon dans luseus scénaos

93 Tess effecués su une suface en adoan des saéges de sélecons Dans ce u su, on va éude dfféenes saéges de sélecons de ons oosées en acule l échanllonnage aléaoe e unfome [3][3]. D abod, ou une suface synhéue de ésoluon égale5 5, on a éudé ICP avec échanllonnage unfome en fasan vae la éode d échanllonnage e on a consaé ue lus la éode d échanllonnage es gande, mons la soluon es écse. Une éode d échanllonnage égale a 4 éé chose ou effecue le es suvan. Des ess smlaes ICP avec échanllonnage aléaoe en fasan vae le au de ons échanllonnés e on a consaé ue la soluon n es lus consdéée écse losue le au d échanllonnage es nféeu à 5 %. Pou le ésen es, la suface généée écédemmen ( 60 ons) a éé ecalée avec ICP sans échanllonnage, ICP avec échanllonnage unfome (Péode égale à 4) e ICP avec échanllonnage aléaoe (au égal à 5 % ) ves la suface coesondane avec deu dfféens nveau de bu ( 0. e ). Dans ce es, l'eeu algohmue évaluée aès l'alcaon de oue la ansfomaon (comosé de la oaon e la anslaon) ne cesse as de dmnue malgé u on a consaé une fable augmenaon (de l'ode de 3 0 ) ou l'eeu de la oaon. En ésence de dfféens nveau de bu ( 0. e ), les dfféenes soluons (ansfomaons) obenues son ès smlaes. Pou un bu fable ( 0. ), ICP avec échanllonnage nécesse un nombe d'éaons nféeu à celu d'icp sans échanllonnage. Mas l'eeu obenue aès ecalage ICP en ulsan oues les ones es légèemen nféeue à celle obenue aès ecalage ICP avec échanllonnage. En ésence d'un bu moan ( ), ICP avec échanllonnage nécesse lus d'éaon ou convege e l'eeu obenue aès ce ecalage es encoe légèemen suéeu a celle obenue a ICP sans échanllonnage. 79

94 Fgue 4.3 Évoluon de l'eeu algohmue e de l'eeu de la ansfomaon dans ICP sans échanllonnage, avec échanllonnage unfome e aléaoe deu dfféens nveau de bu 0. (colonne gauche) e (colonne doe). 80

95 Tess effecués su une suface en adoan des saéges de ondéaons Dans la lua des éudes éalsées su les vaanes d ICP u adoe de saéges de ondéaons [30][5],l a éé moné ue les océdues de ondéaons généales n on as un gand mac su le ecalage e l algnemen obenu à l eceon des cas acules comme le ecalage ael. Pa alleus, la lua des vaanes ICP eosen seulemen su des saéges de ondéaons bnaes (eje ou non des aaemens). Dans ce u su, on se oose d éude deu saéges de ondéaons bnaes. La emèe oosée a Pull u consse à ejee les 0% lus mauvas aaemens e la deuème es celle de Massuda u consse a élmne les aaemens don la dsance u les séae es suéeue à,5 la dsance moyenne ene ous les aaemens. Dans ce es, une suface synhéue de ésoluon égale à 5 5 a éé ecalée avec les vaanes d ICP ésenées c-dessus en ésence de deu dfféens nveau de bu ( 0. e ). En ésence d un nveau de bu élevé (deuème colonne de la Fgue 4.4), les deu echnues de eje donnen de melleus ésulas en eme de écson e sablé de soluon ue l ulsaon de la oalé des aaemens dsonbles. Dans ce es on a consaé une augmenaon de l'eeu évalué ou la oaon Dans le cas absence de bu ou en ésence d un nveau de bu fable 0. (emèe colonne de la Fgue 4.4), les echnues de eje ulsées son neffcaces e condu à une eeu dans la ansfomaon esmée lus moane ue l ulsaon de la oalé des aaemens dsonbles. Cec es dû à l élmnaon des aaemens ndsensable dans l esmaon de la ansfomaon. Dans ce cas l ulsaon de la oalé des aaemens dsonbles donne de melleus ésulas. 8

96 Fgue 4. 4 Évoluon de l'eeu algohmue e de l'eeu de la ansfomaon dans ICP avec ous les aes, en ejean les aes don la dsance u l séae es suéeu a.5 sgma unfome e en ejean les lus mauvas aes ou deu dfféens nveau de bu ( 0. e ). 8

97 Concluson La écson des mages obenues a Obscan a éé dscuée dans le eme chae. On a vu ue la gandeu de l eeu dans les mesues du oogahe Obscan es de l ode de 0,7 μm u es consdéé ès fable (a ao a l'élévaons de la conée u es de l'ode de mllmèes). Ans, l adoon des vaanes d ICP u eose su dfféenes saéges de sélecons ou de ondéaons bnaes ou ecale les mages condu a une soluon u manue de écson. En effe, l élmnaon ceans ons en échanllonnan ou le eje des aaemens en ondéan d une manèe bnae dans noe cas affece négavemen l esmaon de la ansfomaon e enane une mauvase ualé d algnemen. Pa conséuence, aucune saége de sélecons ou de ondéaons bnaes ne sea adoée. Dans la vaane d ICP u on va élaboe, ous les ons dsonbles von êe ulsés afn de gaan une écson élevée e un melleu algnemen. Tous les aaemens on éé aés avec même oé; un ods consan égal à es affecé à ous les aaemens consus Tess effecués su des données éelles Tes d algnemen de deu sufaces anéeues en consdéan une ansfomaon gde Dans ce eme es effecué su des échanllons de données éelles, on n a consdéé u une ansfomaon gde ou algne deu sufaces anéeues. Dans ce es, une suface anéeue d une conée donnée comosée de 6493 ons (Fgue 3.5) a éé algnée ves une suface anéeue d une conée modèle comosée de 838 ons (Fgue 3.6) en ulsan ICP. 83

98 Fgue 4.5 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée modèle(,773 mm au somme) Fgue 4.6 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée donnée(,709 mm au somme) es d an Inalemen, les deu sufaces son sueosées e la dsance moyenne u les séae 0,04 mm. Ans, on eu esme u on déjà es assez oche de la soluon fnale (algnemen omal). Pa conséuen, l esmaon nale de la ansfomaon u on a consdéée es l dené (la mace de oaon nale égale a l dené e le veceu de anslaon nal es nul). Un nombe d éaons égal à 4 a éé nécessae ou u ICP convege. La soluon obenue éond à nos aenes : une mace de oaon ès oche de l dené es une anslaon de l ode de où els ( el=0, mm) suvan, y e z. Un ésumé de ésulas obenus es aoé dans le ableau c-dessous. ICP Ae de oaon 0, , 0, 904 Angle (adans) 0, 0340 Tanslaon (els) 0,0555 0,0785 0,0 Changemen d échelle - Eeu algo 0, 0036 d an avan ecalage (mm) 0, 04 d an aès ecalage (mm) 0, 005 éaons 4 Tableau 4. Résula d'algnemen de deu sufaces anéeues 84

99 Fgue 4.7 Évoluon de l'eeu dans ICP en algnan deu sufaces anéeues Fgue 4.8 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage ICP Fgue 4.9 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Aès la éalsaon de luseus ess smlaes à ce dene su d aues échanllons de données, on a emaué ue l évoluon de l eeu deven nsgnfane aès un nombe 6 d éaons moyen égale à 5 (le changemen de l eeu deven de l ode de0 ). Pa conséuen, le cèe d aê a éé fé a deu condons : un nombe d éaon mamal 6 égal à 5 ( 5) e une évoluon d eeu nfeeue à 0 ( e e ). ma

100 Tes d algnemen de deu sufaces anéeues en consdéan le changemen d échelle Dans le ésen es éalsé su des données éelles, on a consdéé, l esence de dfféen yes de changemen d échelle dans le ecalage (sooe e non sooe). Ce es a éé éalsé su le même échanllon de données ue le es écéden. Le même cèe d aê a éé fé auss ou ICPS sooe e non sooe e aucunes bones n on éé sécfées ou le calcul de faceu d échelle. Un nombe d éaons lus ou mons égal 4 a éé nécessae ou la convegence des algohmes ICP, ICPS sooe e non sooe. Un ésumé des dfféens ésulas obenus es aoé dans le ableau c-dessous ans ue le ésula de es écéden ou comae ene les algohmes ICP, ICPS sooe e non sooe : ICP ICPS non sooe ICPS sooe Ae de oaon 0, , 0, 904 0,3647 0,0567 0,994 0,3647 0,857 0,94 Angle (adans) 0, , 055 0, 0347 Tanslaon (mm) Changemen d échelle - dag, 0 0, 993 0, , 9996 Eeu algo 0, , 008 0, ,0555 0,0785 0,0 0,0306 0,0595 0,740 0,0306 0,0595 0,740 d an (mm) 0, 005 0, 004 0, 004 éaons Tableau 4. Résula d'algnemen de deu sufaces anéeues avec ICP, ICPS sooe e non sooes D aès le ableau 4., l algohme ICPS foun l eeu algohmue la lus fable ans u une dsance d an nféeue à celle obenue aès ecalage ICP e ICP sooe. Pa conséuen, le melleu algnemen es obenu a l algohme ICPS non sooe. Aès, on ouve ICPS sooe avec une eeu algohmue égale à 0, 0035 e une dsance aès ecalage d an 0,004 mm. Fnalemen, ICP avec une eeu algohmue égale à 0, 0034 e une dsance aès ecalage d an 0,005 mm. On eu noe ue les soluons (ansfomaons) obenues a ICP e ICPS sooe son ès oches e dffèen lagemen avec celle obenue a ICPS non sooe. 86

101 Fgue 4.0 Évoluon de l'eeu dans ICP, ICPS sooe e non sooe en algnan deu sufaces anéeues Fgue 4. Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage Fgue 4. Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP 87

102 Fgue 4.3 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS sooe Fgue 4.4 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage ICP Tess d algnemen de deu conées enèes (ncluan les deu sufaces anéeues e oséeues) Tes effecué en fusonnan les suface données e modèles Dans ce es, deu sufaces anéeue (893 ons) e oséeue (6480 ons) d une conée donnée on éé algnées smulanémen ves deu sufaces anéeue (6670 ons) e oséeue (56 ons) d une conée modèle avec les algohmes de ecalage ICP, ICPS sooe e non sooe. La dsance e celle de la conée modèle es égale à d an u séae la suface anéeue de la conée donnée 0,36 mmands ue la dsance d os u séae la suface oséeue de la conée donnée e celle de la conée modèle es égale à 0,4658mm. 88

103 Fgue 4.5 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée modèle (,773 mm au somme) Fgue 4.6 Élévaon éelle de la suface oséeue de la conée modèle (,46 mm au somme) Fgue 4.7 Élévaon éelle de la suface anéeue de la conée donnée (,458 mm au somme) Fgue 4.8 Élévaon éelle de la suface oséeue de la conée donnée (,8 mm au somme) 89

104 Fgue 4.9 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée avan ecalage Fgue 4.30 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface oséeue donnée avan ecalage Les deu sufaces anéeue e oséeue de chacune de deu conées on éé aées comme une seule ené (un seul obje). Tou d abod, les deu sufaces anéeue e oséeue de la conée donnée on éé fusonnées ou oben un seul obje donné. De la même manèe, un obje modèle es consu en fusonnan les deu sufaces anéeue e oséeue de la conée modèle. Aès, les deu objes cées on éé ecalés avec les os algohmes. Ensue, en aluan la ansfomaon obenue su les deu sufaces anéeue e oséeue de la conée donnée, on a obenu les deu sufaces anéeue e oséeue ecalées smulanémen. Un ésumé des ésulas obenus a éé aoé dans le ableau cdessous : ICP ICPS non sooe ICPS sooe Ae de oaon 0,469 0, 0,6807 0, 567 0,487 0,580 0,699 0,430 0,578 0,6985 Angle(adans) 0, , , 0445 Tanslaon(mm) 0,0596 0,067 0,35 0,36 0,087 0,3658 0,0654 0,0675 0,36 Changemen d échelle dag, 067 -, , 0, 9636 Eeu algo 0, 009 0, , 0076 d an (mm) 0, , 066 0, 0606 d os (mm) 0, 037 0, , 0948 éaons Tableau 4.3 Résula d'algnemen de deu conées enèes avec ICP, ICPS sooe e non sooe en en fusonnan les sufaces anéeues e oséeues 90

105 Fgue 4.3 Évoluon de l'eeu dans ICP, ICPS sooe e non sooe en algnan deu conées enées en fusonnan les sufaces anéeues e oséeues Fgue 4.3 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.33 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP 9

106 Fgue 4.34 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP non sooe Fgue 4.35 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP non sooe Fgue 4.36 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP sooe Fgue 4.37 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface oséeue donnée aès ecalage ICP sooe Tes effecué en séaan la mse en coesondances des suface données e modèles Le es suvan es éalsé su le même échanllon de données u a éé ulsé dans le es écéden. Ceendan, la hase de la mse en coesondance des ons a éé modfée ou les os algohmes de ecalage de la façon suvane: ou chacune des sufaces anéeue e oséeue de la conée donnée, on cheche le on le lus oche va la dsance eucldenne dans la suface coesondane. C es-à-de, ou les ons aaenan à la suface anéeue, la echeche de on coesondan s effecue dans la suface anéeue du modèle (esecvemen ou la suface oséeue). Aès l éablssemen des coesondances, on sauvegade ous les aaemens dans une seule lse. Cee denèe es 9

107 ulsée ou esme la ansfomaon ene ous les aaemens smulanémen. Pusue la mse en coesondance ou la suface anéeue e oséeue s effecue ndéendammen, on eu évalue une eeu ou chacune de deu sufaces à l néeu de l algohme ans ue l eeu oale en consdéan ous les aaemens. Les ésulas obenus dans ce es aès ecalage de dfféens algohmes modfés son aoés dans le ableau c-dessous : ICP ICPS non sooe ICPS sooe Ae de oaon 0,5439 0, , 764 0,3065-0,67 0,937 0,3643 0,044 0,930 Angle (adons) 0, 008 0, 03 0, 06 Tanslaon 0,054 0,043 0,370 0,0409 0,0475 0,430 0,0386 0,0507 0,33 Changemen d échelle - dag, , 0, 9387, 040 Eeu algo (oale) 0, , , 008 Eeu algo (an) 0, , , 0070 Eeu algo (os) 0, 00 0, , 0096 d an (mm) 0, , , 0603 d os (mm) 0, , , 0940 éaons Tableau 4.4 Résula d'algnemen de deu conées enèes avec ICP, ICPS sooe e non sooe en séaan la mse en coesondance des sufaces anéeues e oséeues 93

108 Fgue 4.38 Évoluon de l'eeu anéeue, oséeue e oale dans ICP, ICPS sooe e non sooe en algnan deu conées enèes en séaan la mse en coesondance des sufaces anéeues e oséeues Le comoemen des dfféens algohmes es denue à celu du es écéden. La ualé d algnemen obenue es dans l ode suvan : ICPS non sooe, ICPS sooe, ICP. Ceendan, les eeus algohmues e les dsances d os e d an calculées aès ecalage son nféeues à celle obenues dans le es écéden ou les os algohmes. Ces améloaons dans la ualé des algnemens obenus son dues à la modfcaon aoée su l éae de la mse en coesondance des ons. En effe, la modfcaon aoée élmne la ossblé d éablssemen de mauvases coesondances. Ans, on éve u un on d une suface de la conée donnée so coulé avec un on de la mauvase suface du modèle. Pa alleus, cee modfcaon édu le ems nécessae de echeche de on coesondan. La echeche du on le lus oche s effecue dans une seule suface au leu de deu sufaces de la conée. 94

109 Fgue 4.39 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.40 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICP Fgue 4.4 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS non sooe Fgue 4.4 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS non sooe Fgue 4.43 Dfféences ene la suface anéeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS sooe Fgue 4.44 Dfféences ene la suface oséeue modèle e la suface anéeue donnée aès ecalage ICPS sooe 95

110 Tes effecué en séaan les sufaces données e modèles e en adoan la saége de echeche a vosnage Jusu à manenan, la océdue ulsée ou éabl la coesondance dans les dfféens algohmes de ecalage ICP, ICP sooe e non sooe es de calcule ou chaue on de la suface de la conée donnée le on le lus oche va la dsance eucldenne en balayan la oalé de la suface de la conée modèle. Cee océdue évèle d une comleé uadaue O comme menonné écédemmen. Pluseus méhodes oosées ou édue la comleé de cee océdue on éé dscuées dans le deuème chae comme l emlo des sucues de données (d_ee a eemle) ou les méhodes de ojecons, ec. Dans ce u su, on oose dans ce oje une méhode ou éabl la coesondance en eloan le foma des données ulsées e en s nsan des méhodes ulsées dans [5] e [4]. Cee méhode consse à édue l esace echeche du on coesondan d un on de la suface donnée à un vosnage du ojeé de ce dene su la suface modèle. En d aues mos, ou ouve le on coesondan, on effecue une echeche locale oujous en ulsan la dsance eucldenne dans un vosnage de la suface modèle calculé en ojean le on de la suface donnée su la suface modèle. P V X X Oz Oy O Fgue 4.45 Pnce de la echeche a vosnage Pendan chaue éaon de l algohme ICP, les deu sufaces (mages) P e X son ben sueosées selon l ae Oz. Pou calcule le on coesondan du on ocède 96

111 comme su : on calcule d abod Ensue, on calcule le ojeé selon l ae Oz du le on le lus oche du (fenêe de dmenson n n cené en ) va la dsance eucldenne. su la suface X. en consdéan le vosnage V Il es cla ue la alle de vosnage consdéé nflue decemen su l eacude de la coesondance éable. Le cho d un vosnage de gande alle foun une bonne aomaon, mas un ems de echeche lus moan. Pa cone un vosnage de fable alle foun une mauvase aomaon, mas un ems de echeche lus cou. Sue à des nombeu ess, on a ouvé u un vosnage de alle 0 0 foun un bon comoms ene l eacude de la coesondance éable e le ems de echeche nécessae. Ic on ésene une comaason ene les méhodes ulsées ou calcule la coesondance dans les ess effecués écédemmen su des données éelles : X Méhodes de mse en coesondance En fusonnan les sufaces anéeues e oséeues e en calculan le on le lus oche dans ou l obje modèle En séaan les sufaces anéeues e oséeues e en calculan le on le lus oche dans oue la suface coesondane En séaan les sufaces anéeues e oséeues e en calculan le on le lus oche dans un vosnage de alle 0 0 de la suface coesondane Tems d eécuon (s) 863,3 46,5336 6,9695 Tableau 4.5 Comaason des dffeens méhodes de mse en coesendance ulsées dans les ess anéeus On a effecué une deuème fos le dene es éalsé su les données éelles, mas en adoan la nouvelle méhode ou éabl la coesondance ene la suface anéeue de la conée donnée e la suface anéeue de la conée modèle ans ue la suface oséeue de la conée donnée e la suface oséeue de la conée modèle. On a obenu le même ecalage avec la même écson, mas dans un ems ben lus cou ue le es écéden comme le mone le ableau

112 4.4. Algohme adoé Dscusson e descon Dans l éae de la nomalsaon de conées humanes, on veu amene oues les conées ves la même alle de la conée éféence sans modfe la fome des sufaces d une manèe égulèe. Pendan cee éae, on veu éve l alcaon des dfféens éemens ou comessons u modfen consdéablemen (d une manèe égulèe) la fome des conées à algne. On a beson donc de déemne un changemen d échelle unfome suvan, y e z. Pa conséuen, on va adoe l algohme de ecalage ICPS sooe. La ansfomaon à consdée ou algne la oulaon de conées es la comosée d un changemen d échelle, une oaon e une anslaon. La consucon de la lse de la coesondance ene la conée éféence e la conée à algne es effecuée en mean en coules d une manèe ndéendane les ons de chacune des sufaces anéeues e oséeues de la conée modèle e la conée à algne. Pou mee les ons en coesondance, on va ulse la denèe méhode déallée dans le aagahe écéden. C es-à-de, effecue une echeche locale su le on le lus oche dans un vosnage dans la suface coesondane dans le modèle. L esmaon de la ansfomaon ene la conée éféence e la conée à algne es effecuée smulanémen ene la coesondance éable ene chacune des sufaces anéeues e oséeues de deu conées. Le cèe d aê ulsé es la combnason de deu condons : un nombe d éaons mamal égale à 5 e une écson de l eeu égale à Algohme 6 0. La vaane de l algohme ulsée ou la nomalsaon de la oulaon des conées humanes es énoncée c-dessous: 98

113 ' ' ' an Enée : deu conées, C S an, S os e C S an, S os avec S S an an os S os ' an, San S ' ' os e S ' os S S os. S ' an S an an Soe : la ansfomaon T Rˆ, sˆ, ˆ Inalsaon : 0, R0 I3, 0 S an Sos S San S os 0,0 0 0, os el ue S os S ' os e ˆ u donne le melleu algnemen de C ves ' C. s,, 5 e ma 0 0,0, 0, San San 0 6. S S, 0 os0 os Iéaon :. Mse en coesondance : Ulse la dsance eucldenne ou consue la lse y S an de ons les lus oches de an S an an L, an défne a : y c, San, an an an, mn d, Ou an V an an, S ', V an ' San es le vosnage de alle 0 0 de la suface an ojean le on, su, ' Sansuvan l'ae Oz. S ' an calculé en Ulse la dsance eucldenne ou consue la lse z S os de ons les lus oches de os S os os L, os défne a : z c os V S, os, S os, os os os, mn d os os,, où V S ' os ' es le vosnage de alle 0 0 de la suface S en ojean le on os, su ' os S L m, S suvan l'ae Oz. ' os calculé an Sos Consue la lse en concaénan an, an S L z, os e os. Calcule le ecalage : Esme la ansfomaon T R, s, d eeu suvane : S L y, u mnmse la foncon E San S os mn R s,0 R, s, S an 3. Alue le ecalage : S os m,. 99

114 4.5. Concluson Alue la ansfomaont R, s, S ou oben les deu S an S nouvelles sufaces an os S an, e os os, a : an, os, R s R s an,0 os,0 4. Fn de l éaon : Aêe losue ma où E. Tˆ T.. E défnes Dans ce chae, on a éalsé luseus ess dans le bu d élaboe la vaane de l algohme de ecalage ICP adéuae ou algne des sufaces anéeues e oséeues. D abod, des emes ess son effecués su des données généées synhéuemen ou déemne la méhode d esmaon de la ansfomaon géoméue ans ue des saéges adoées ou ceanes vaanes d ICP ou améloe ce dene en eme de obusesse e de écson. Pus, des ess de ecalage en consdéan une ansfomaon gde, ansfomaon avec changemen d échelle sooe e non sooe on éé éalsés su des échanllons de données éelles. Ensue, on a nodu une nouvelle méhode de mse en coesondance u sea ulsée ou coule les ons ene chacune des sufaces anéeues e oséeues des conées à algne. Enfn, on a dscué les dfféens ésulas obenus e on a élaboé la vaane de l algohme de ecalage u sea ulsé dans le chae suvan ou algne la oulaon de conées e consue l alas conéen. 00

115 Chae 5 Alas Conéen 5.. Inoducon Dans ce chae, on va ésene la méhode ulsée ou consue l alas numéue 3D de la conée humane enèemen ncluan les deu sufaces anéeue e oséeue. D abod, on va déalle les dfféenes éaes de la méhodologe adoée. Pus, on va alue la méhode ou consue les sufaces anéeue e oséeue moyennes e leus vaances d une oulaon de conées sanes. Ensue, des ésulas nemédaes, sasues e obsevaons seon ésenés duan la consucon de l alas conéen. Pou vsualse ce dene, on aua ecous à des caes oogahues couleus smlaes à ce u'offen les oogahes conéens acuels. Enfn, on va comae la méhode oosée dans ce oje avec aues méhodes u on éé déjà ulsées ou consue des alas conéens e conclue ce chae a une dscusson su les avanages e les nconvénens de noe méhode. 5.. Méhodologe adoée ou la consucon de l alas conéen La méhode adoée ou consue l alas conéen dans ce oje es ès smlae au méhodes esanes u on éé ulsées ou consue des alas anaomues numéues 3D ou le câne [53], le ceveau [54][55][56], le cœu [54] à a des mages médcales dmensonnelles. La méhode es décomosée généalemen en deu gandes éaes: la nomalsaon des mages obenues à a des obsevaons de luseus ndvdus. Cee denèe eose su l ulsaon d un algohme de ecalage (lnéae ou gde, affne, non lnéae, ec. ) dans le bu de amene oues les mages dans un éféenel commun. Le cho de l algohme de ecalage déend généalemen de la ansfomaon à consdée ene mages e l ogane ou leuel on veu consue l alas. Consucon de l alas en fasan généalemen la moyenne des mages ecalées. Des éudes sasues euven êe alos éalsées su la vaablé ene les oulaons (vaances, ec. ).

116 Image éféence Images données omalsaon Images ecalées Moyennage Alas numéue Fgue 5. Les élemens fondamenau ou la consucon d'un alas anaomue numéue 3D 5... omalsaon Des aemens élmnaes su les mages données son souven alués avan de commence l éae de la nomalsaon. Des ons caacésues ou des lgnes son eas dans le cas des mages de câne [53] e une segmenaon des mages ou déemne les égons d néês dans le cas des mages de ceveau [54]. Ces nfomaons son généalemen ulsées dans la mse en coesondance endan le ecalage des mages. Dans le cas de la consucon de l alas de la conée humane, aucun aemen élmnae n es nécessae su les mages ulsées. On va océde decemen ou ecale oue une oulaon de conées humanes ves une conée de éféence. Pou effecue le ecalage, on va d abod eamne les mages données e déemne la conée u va êe ulsée comme éféence Données La oulaon de conées humanes ulsées dans ce oje oven de la Banue de données ou la caacésaon de la conée du Réseau FRQS de Recheche en Sané de la Vson. Cen conées on éé séleconnées am les conées u ne souffe d aucune malades e ue n on as éé oéées a chuge oculae usu on veu consue un alas conéen ou les conéens sanes (nomales). Donc la base d mages u on a consdéée es comosée de cen caes oogahues u coesonden au élévaons éelles de sufaces anéeues e de cen caes oogahues u coesonden au élévaons éelles de sufaces oséeues de conées sanes. 0

117 Toues les mages son acuses a le oogahe conéen Obscan II. Les echnologes su lesuelles eose l Obscan II on éé déallées dans le eme chae. Gâce au oons founes dans le logcel nsallé su l Obscan II, les données on éé écuéées dans des fches ees. Le foma des données eaes du oogahe a éé ben elué dans le osème chae. Dans le ableau c-dessous, uelues obsevaons su la base d mages u a éé ulsée ou consue l alas conéen : Moyenne ± éca (mn ; médane ; ma) ombe de ons (ons) 7644± 74 ons (5465; 7680; 8909) Élévaon éelle au somme (mm),76± 0,464 (,3878;,788; 3,36) Rayon de la BFS (mm) 7,937± 0,440 (7,998 ; 7,9345;8,559) Tableau 5. Sasues su les sufaces anéeues de conées de la base Moyenne ± éca (mn ; médane ; ma) ombe de ons (ons) 598± 69 (4037; 6090; 7340) Élévaon éelle au somme (mm),5± 0,46 (,7954;,5;,557) Rayon de la BFS (mm) 6,5379± 0,536 (5,9090; 6,5548; 7,540) Tableau 5. Sasues su les sufaces oséeues de conées de la base 5... Conée de éféence Aès l eamen des mages u consuen noe base, on a seconné les deu mages (deu caes oogahues de sufaces anéeue e oséeue) d une conée u sea ulsée comme éféence ou la nomalsaon (ecalage). Le cho de cee denèe a éé basé su deu cèes : L élévaon au somme de la suface anéeue de la conée séleconnée es oche de l élévaon moyenne au somme de oues les sufaces anéeues des conées ésenes dans la base. L élévaon de la suface anéeue a éé favosée dans noe cas, ca elle es évaluée avec lus de écson a le oogahe Obscan II. La suface anéeue e oséeue de la conée séleconnée es eésenée a un nombe de ons le lus gand ossble. Ans, des mages de la conée séleconnées son les lus ésenaves e descves. On a adoé de els cèes ou la sélecon de la conée de éféence ou deu asons : Rédue le nombe de ons u ne seon as aaés dans la hase de la mse en coesondance des ons endan le ecalage. 03

118 Pou avo le mons de bas ossble dans la consucon de l alas. Les caes oogahues eenues de la suface anéeue e oséeue son eésenées c-dessous ans ue uelues obsevaons : Suface anéeue Suface oséeue ombe de ons (ons) Élévaon éelle au somme (mm),795,5 Rayon de la BFS (mm) 8,656 7,080 Cene de la BFS (mm) (-0.50, 0.0, ) (-0.39,-0.039, ) L éasseu au somme (mm) 0,5837 Tableau 5.3 Résumé su les caacésues des mages de la conée de éféence Fgue 5. Cae oogahue de la suface anéeue de la conée de éféence Fgue 5.3 Cae oogahue de la suface oséeue de la conée de éféence Recalage Aès u on a eamné la base d mages ulsées dans ce oje e u on a effecué le cho des mages de éféence, on a océdé à la nomalsaon de la oulaon des conées humane de noe base. La nomalsaon es effecuée en ecalan oue la oulaon des conées ves la conée de éféence chose a l algohme déveloé dans le osème chae. 04

119 Dans le ableau c-dessous on a aoé un ésumé su les dfféenes eeus évaluées a l algohme de ecalage e le nombe d éaons u a éé nécessae ou sa convegence. Moyenne ± éca (mn ; médane ; ma) Eeu anéeue (algohmue) 0,074± 0,470 (0,0003 ; 0,0056; 0,65) Eeu oséeue (algohmue) 0,07± 0,059 (0,000 ; 0,0066; 0,449) Eeu oale (algohmue) 0,053± 0,099 (0,0006; 0,0070; 0,456) ombe d éaon 6± (3; 5; 0) Tableau 5.4 Sasues su les ésulas de ecalage des mages de la base Un ésumé su les ansfomaons omales calculées a l algohme de ecalage endan cee éae es noée dans le ableau c-dessous: Moyenne ± éca (mn ; médane ; ma) Changemen d échèle sooe,0050± 0,044 (0,956; 0,9995;,049) Angle de oaon (adans) 0,080± 0,040 (0,0003; 0,0070; 0,0660) Délacemen en ( mm) 0,050± 0,0307 (-0,034; 0,008; 0,644) Délacemen en y (mm) 0,0039± 0,05 (-0,0567; 0,005; 0,0599) Délacemen en z (mm) 0,047± 0,6 (-0,54; 0,4; 0,334) Délacemen oale ( mm) 0,38± 0,0774 (0,0079; 0,389; 0,333) Tableau 5.5 Sasues su les ansfomaons omales obenues a l algohme de ecalage Ineolaon Sue à l esmaon des ansfomaons omales (Changemen d échelle sooe, oaon e anslaon) a l algohme de ecalage, on a alué chacune des ansfomaons obenues su les caes oogahues de suface anéeue e oséeue de la conée coesondane. Ans, on a obenu oues les mages ecalées. Au déa, oues les caes coesonden à des glles égulèes en e y. En effe, l élévaon z es évaluée au ons de coodonnées 5.0, 5.0 e 5.0, 5.0 d un as de y séaés 0,mm. Aès ecalage, oues les mages on éé délacées e ne coesonden lus à des glles égulèes comme le mone la Fgue

120 ,0-4,9-4, ,36 5,36-5,0-4,964-4,9-4,864-4,8-4,764 Z Z Fgue 5.4 Maces avan e aés l'alcaon de ecalage Pa conséuence, ou eésene les nouvelles mages ecalées e ou êe caable de comae e calcule les dfféences ene les mages, l fau eouve les élévaons z au ons de coodonnées égules en e en y. Une neolaon blnéae a éé éalsée ou chacune des mages ecalées e oues les caes oogahues on éé amenées au foma nal (sandad). Ic une comaason ene les dsances anéeues e oséeues évaluées ene la oulaon des conées de noe base e la conée de éféence avan e aès ecalage e neolaon : Moyenne ± éca (mn ; médane ; ma) d an avan ecalage (mm) 0,49± 0,03 (0,057; 0,58; 0,453) d an aès ecalage (mm) 0,034±0,063 (0,0000; 0,098;0,65) d os avan ecalage (mm) 0,864± 0,080 (0,050; 0,73;0,4873) d os aès ecalage (mm) 0,050± 0.05 (0,0000; 0,0487; 0,397) Fgue 5.5 Comaason ene les dsances ene les mages de la base e l'mage de éféence avan e aès ecalage Fnalemen, oues caes oogahues on éé nomalsées, a ao à la conée de éféence. Ans, ou es ê ou la consucon de l alas de la oulaon des conées sanes. 06

121 5... Consucon de l Alas Pusue les noons de moyenne e éca-ye son lagemen ulsées dans les éudes sasues e ès facles à comende a la commué scenfues, on a chos de génée un modèle moyen e l éca-ye assocé d une manèe smlae au alas conéens ésenés dans [57] e [59]. Pa alleus, on oose auss de génée les caes u coesonden à la médane, mn e le ma ou une descon lus écse de la oulaon de conées ulsée. Ceendan, luseus ons son manuans dans les caes oogahues ecalées u son ulsées dans la consucon de l alas. Alos, on se oose auss de consue l mage u déc le nombe de caes oogahues ulsé ou chaue on consu dans l alas. En vsualsan cee denèe, on eu aecevo la dégadaon de la écson de l alas en foncon nombe de caes oogahues a on. Dans ce u su, on va ésene les dfféenes caes de l alas conéen consu à a de noe base d mage Les moyennes Élévaons éelles ous commençons d abod a esme la fome moyenne de sufaces anéeue e oséeue de l alas. La moyenne à chaue on, y de la suface anéeue de l alas (esecvemen oséeue) es donnée a la fomule suvane : elévaon _ moyenne, y n, y n, y élevaon, y où n, es le nombe de caes oogahues des sufaces anéeues (esecvemen y oséeues) a on donné a la Fgue 5.7 (esecvemen la Fgue 5.9). Les moyennes des sufaces anéeues e oséeues son eésenées a les Fgues 5.6 e 5.8. L mage moyenne des sufaces anéeues es comosée d un nombe de ons égal à 886 au oal e la valeu de l élévaon au somme es égale à,877 mm. Pou l mage de la moyenne des sufaces oséeues, elle es comosée d un nombe de ons égal à 7055 au oal e la valeu de l élévaon au somme es égale à,33 mm. 07

122 Les égons cenales d mages moyennes son ben fomées a un nombe de caes oogahues a on lus moan ue les égons éhéues. Pa conséuences, la écson de l alas se dégade en se dgean de cene ves la éhée. Fgue 5.6 Élévaon eélle de la suface anéeue moyenne Fgue 5.7 ombe de cae oogahues à chaue on ulsé ou consue la suface anéeue moyenne Fgue 5.8 Élévaon éelle de la suface oséeue moyenne Fgue 5.9 ombe de cae oogahues à chaue on ulsé ou consue la suface oséeue moyenne Élévaons a ao à une BFS On a menonné dans le eme chae ue l élévaon de sufaces anéeue e oséeue son calculées e eésenées généalemen a ao une suface de éféence. 08

123 La lua du ems cee suface es une shèe aelée BFS (Bes-F Shee) obenue en ajusan une shèe au ons foman les dfféenes sufaces de la conée. Pou cela, on se oose de calcule les BFS coesondanes au élévaons éelles moyennes de l alas consu. D abod, on a esmé les aamèes nau des BFS (ayons e cenes) a des mondes caées. Ensue, les aamèes on éé affnés a la méhode de Gauss-ewon ou oben la soluon fnale. Les dfféenes éaes de l algohme ulsé ou déemne les aamèes des BFS son déallées dans [59]. L algohme end en moyenne 3 éaons ou oben une écson nféeue à 0 6 mm. Cene de la BFS calculée Rayon de la BFS calculée Élévaon moyenne anéeue (-0,9 ; 0,0046; -5,697) 7,98 mm Élévaon moyenne oséeue (-0,6; -0,004; -4,4746) 6,6699 mm Tableau 5.6 Paamèes des BFS assocées au sufaces moyennes de l'alas conéen Fnalemen, on a calculé les élévaons moyennes des sufaces a ao au BFS coesondanes en sousayan les sufaces des BFS calculées des élévaons éelles moyennes des sufaces de l alas. Cela eme de meu vsualse les vaaons de la fome de la conée. Fgue 5.0 Élévaon moyenne a ao au BFS de la suface anéeue Fgue 5. Élévaon moyenne a ao au BFS de la suface oséeue 09

124 Les Fgues 5.0 e 5. eésenen esecvemen les élévaons anéeues e oséeues de l alas a ao au BFS. Les élévaons cenales (,9 mm, mm e,7 mm y,5 mm ) son légèemen osves (les ons son sués au-dessus de la BFS) e son eésenées a des couleus chaudes (jaune, oange). Les élévaons nemédaes (ene les égons cenales e éhéues) son légèemen négaves (les ons son sués au dessous de la BFS) e son eésenées a des couleus fodes (bleu). La couleu vee eésene l'élévaon de la BFS. L élévaon au somme de la suface anéeue a ao à la BFS de l alas es égale à 0,06 mm. Pou la suface oséeue de l alas, l élévaon au somme a ao à la BFS es évaluée à 0,0388 mm. Cec concode ben avec les ésulas aendus. En effe, les conées sanes (nomales), on ben une fome conéenne comme celle déce c-dessus. Fgue 4. La dfféence de la conée nomale a ao au BFS On eu consae auss u on a lus de ons don les élévaons son osves sué dans la ae gauche de l alas (lus de couleus chaudes à gauche de l alas). Cec es elué a le fa ue la coubue de la conée nomale es lus ononcée du côé nasal ue du côé emoal. On s aenda à de els ésulas usue les conées ulsées ou consue l alas son oues des conées des yeu dos. Fgue 4. 3 Fome de la conée 0

125 5... Les écas-yes Pou meu éude la oulaon des conées nomales ulsée dans ce oje, on va ésene les mages des écas-yes anéeue e oséeue. Cec eme de déce la vaablé à l néeu de la base d mages ulsée ou consue l alas. L éca-ye de chaue on, y de la suface anéeue de l alas (esecvemen oséeue) es donné a la fomule suvane : éca _ ye n, y élevaon, y elévaon moyenne, y, y _ n, y Les écas-yes des sufaces anéeues e oséeues de l alas son donnés a les caes dans les Fgues 5.4 e 5.5. Pou une melleue vsualsaon de la vaablé auou des sufaces moyennes anéeue e oséeue, une eésenaon du ofl méden hozonale e vecale a éé éalsée (Fgue 5.6). Les nevalles d éca-ye eésenés dans la fgue son mullés a 0 ou la vsualsaon. Fgue 5.4 Éca-ye assocé à l élévaon moyenne de la suface anéeue Fgue 5.5 Éca-ye assocé à l élévaon moyenne de la suface oséeue

126 Fgue 5.6 Coue de ofle méden hozonal e vecale de l'alas conéen consu Les éca-yes évalués au sommes des sufaces moyennes anéeue e oséeue son aoés dans le ableau c-dessous : Élévaon éelle moyenne ± éca Suface anéeue de l alas (mm),877± 0,0034 Suface oséeue de l alas (mm),33±0,004 Tableau 5.7 Écas-yes au somme Les Fgues monen ue l éca-ye de la suface oséeue moyenne a une vaablé légèemen suéeue à celle de la suface anéeue moyenne. Cec es dû au fa ue les élévaons anéeues son évaluées avec lus de écson ue les élévaons oséeues de l Obscan. On a un éca-ye u vae ene 0,003 mm e 0,0036 mm ou la suface anéeue e 0,0040 mm e 0,0048 mm ou la suface oséeue dans les égons cenales e nemédaes ( 4,5 mm 4,5 mm e 4,5 mm y 4,5 mm). Pou ces

127 égons, une elle fable vaablé eflèe la bonne ualé de ecalage ulsé dans l éae de la nomalsaon. Pou les zones éhéues, on a un éca-ye ès moan ou les deu sufaces. Cec es elué a le fa ue l Obscan es mons écs ou l évaluaon des élévaons en éhée Pachymée Pusue la mesue de l éasseu conéenne (la achymée) es ndsensable avan la lua des chuges (éfacves, lase, ) ou éve oues soes d accdens losu une ae de la conée do êe ceusée, on se oose de calcule l éasseu moyenne de l alas consu. Cee denèe es évaluée selon la méhode ulsée a l Obscan. D abod, l éasseu à chaue on es évaluée comme la dfféence ene l élévaon de la suface anéeue moyenne e celle de la suface oséeue. Ensue, le ésula es mullé a le faceu de coecon de l Obscan (aelé faceu acousue égal à 0, 9 ). Fgue 5.7 Cae de l'éasseu de l'alas conéen nomale La Fgue 5.7 eésene la cae d éasseu moyenne en ou on de l alas. Comme on eu le consae l éasseu augmene en allan des égons cenales ves les éhéues. L éasseu au somme es évaluée à 0,5470 mm. Le on le lus mnce es d éasseu 0,5465 mm e l es sué à ( 0, mm,0, mm). Des ésulas smlaes on éé aoés dans [57]. 3