Une approche neuronale modulaire pour l estimation de l orientation de l effecteur d un robot 4 axes

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1 Une appoche neuonale modulaie pou l estimation de l oientation de l effecteu d un obot 4 axes Gilles HRMANN, Patice WIRA, Jean-Luc BUSSLR, Jean-Philippe URBAN Laboatoie MIPS Univesité de Haute-Alsace 4 ue de Fèes Lumièe MULHOUS Résumé Nous allons, dans ce papie, monte comment il est possible d estime l oientation d un effecteu de obot en exploitant les infomations visuelles à l aide de éseaux de neuones. Les facilités d un module neuonal pou appende un modèle mathématique souvent difficile à obteni sont utilisées. Nous pésentons une achitectue modulaie bidiectionnelle pou limite les poblèmes d appentissage des éseaux de neuones. Cette appoche est adoptée pou calcule l oientation de l effecteu d un obot. Les ésultats montent que cette achitectue neuonale pemet d appende un système complexe à dimensionnalité élevée et ayant de nombeux paamètes. Mots-clé : Réseaux de neuones, modulaité, bidiectionnalité, tâche obotique. 1 Intoduction Losqu un système est difficile à obteni en aison de sa complexité, nous nous contentons souvent d une appoximation. Dans ces tavaux, nous choisi d estime un système complexe pa un appentissage neuo-mimétique. Une platefome obot-vision set à valide note appoche dans une tâche d assevissement visuel. n effet, nous voulons estime l oientation de l effecteu d un obot à 4 degés de libeté pa appot à l hoizontale, en utilisant exclusivement les données issue d une tête obotique. Celle-ci est composée de deux caméas oientables. Les éseaux que nous allons utilise sont à base de cates de Kohonen étendues. n aison de la complexité du système, à sept degés de libeté, il s avèe que l emploi d un seul et unique éseau ne donne pas entièe satisfaction. Le éseau unique devait avoi une taille si impotante que sa convegence ne seait plus gaantie et que les temps de calculs deviendaient pohibitifs. Nous avons donc choisi d adopte une achitectue modulaie. Le éseau unique est emplacé pa un ensemble de éseaux plus petits, plus faciles à entaîne. L absence de connaissances a pioi et le besoin de connaîte des gandeus intemédiaies, qui font le lien ente les difféents modules, vont nous amene à intoduie la notion de flux invese. Les modules sont oganisés afin de donne une signification physique éelle à chacun des modules de l achitectue. De plus, chacun d eux aua au plus tois entées. Nous veons dans la deuxième section l algoithme et les popiétés des cates de Kohonen. La toisième section sea consacée à la modulaité et au flux invese. La section suivante définia la décomposition choisie, alos que la denièe section pésentea les ésultats obtenus pa la mise en œuve de cette achitectue. 2 Pésentation des cates de Kohonen 2.1 La cate de Kohonen De nombeux algoithmes conviennent pou l implémentation d un module. Note choix s est poté su les cates autooganisatices (SOM pou Self-Oganizing Maps) de Kohonen, d une pat pou la simplicité de l algoithme ainsi que pou sa facilité de mise en œuve, et d aute pat pou ses deux concepts qui endent son appentissage tès efficace. Ses deux points fots sont pemièement la compétition qu il y a ente les neuones avec le pincipe du winne takes all, et deuxièmement la notion de voisinage. Un bon apeçu des tavaux éalisés avec des cates de Kohonen peut ête vu dans [3] et [4]. Une cate de Kohonen est composée de neuones auxquels sont associés des poids. L appentissage consiste en la modification de ces poids afin que ceux-ci epésentent au mieux l espace d entée. Les neuones d une telle cate pésentent une cetaine oganisation. À l exception des neuones su les bods, chacun des autes neuones est lié à quate neuones voisins. Ces liaisons déteminent les inteactions ente neuones. Le degé d inteaction dépend donc de la distance ente le neuone vainqueu et les autes neuones dans l espace de la cate (l inteaction est fote ente le vainqueu et ses 4 plus poches voisins dans la gille, moins fote avec les 4 voisins suivants... ). L adaptation des poids se fait de la manièe suivante : 1. Avant de commence le pocessus d appentissage il faut initialise le ou les poids w de chaque neuone. w est un vecteu qui dépend de la dimension de l espace d entées (1D, 2D, 3D... ). Il est possible d insée des connaissances a pioi dans cette initialisation. 2. Il faut pésente un vecteu d entées v. 3. Il faut ensuite choisi le neuone vainqueu. Il sea défini comme celui dont les poids sont le plus poches du vecteu d entées pésenté : v w v w pou A (1) 4. Il faut ensuite adapte les poids de chacun des neuones selon : w new = w old ( ) + εh v w old (2) ( ) avec h = exp ( ) 2 /2σ 2 (3) 1

2 et ensuite etou à l étape 2. Ici ε epésente le coefficient d adaptation, qui décoît gaduellement en fonction du pas d appentissage. h epésente la elation de voisinage. Il est impotant de note que le voisinage est tès fot au début de l appentissage (les poids de nombeux neuones sont modifiés à la pésentation d un vecteu d entées) et décoît au cous du temps. 2.2 Le SOM-LLM Le SOM-LLM est la combinaison d une cate de Kohonen étendue associée à des ADALIN (Adaptative Linea lement) La cate de Kohonen étendue Dans le cas étendu du modèle de Kohonen, une cate de soties est associée à celle des entées. L élection du neuone vainqueu se fea pa la cate d entées. L adaptation des poids de la cate d entées ne diffèe pas de l algoithme pécédant. Le neuone de la cate de soties, associé au vainqueu de la cate d entées sea modifié comme le monte l équation 5. L algoithme pou une cate de Kohonen étendue est le suivant : 1. Initialisation des poids dans les cates d entées et de soties. 2. Pésentation du vecteu d entées v et de la sotie désiée coespondante u. 3. Élection du neuone vainqueu en fonction du vecteu d entées. 4. Adaptation des poids de la cate d entées. L équation 2 devient alos : w (in) ( = w (in) + εh s v w (in) 5. Adaptation des poids de la cate de soties (en fonction de la sotie désiée) : w (out) = w (out) et ensuite etou à l étape 2. ) ( ) + ε h s u w (out) L appentissage devient alos supevisé (puisqu il faut founi une sotie désiée) Les ADALIN L ADALIN est l un des modèles les plus simples. C est un modèle linéaie adaptatif dessiné pa Widow et Hoff en 1960 [6]. Typiquement un ADALIN etoune une sotie y, somme pondéée des éléments d un vecteu d entées : y = (4) (5) n x (i) w (i) = x T w (6) i=1 Il existe deux vaiantes pou adapte les poids synaptiques des ADALIN [7]. Nous avons choisi celle dite du «α- LMS». lle est basée su la éduction du caé de l eeu e k, comme le montent les équations 7 et 8. w k+1 = w k + w k (7) avec w k = α e kx T k x k 2 (8) où α epésente la vitesse de convegence. La stabilité est assuée pou 0 < α < 2. n patique, nous choisissons plutôt 0.1 < α < Le SOM-LLM Le SOM-LLM est une combinaison de cate de Kohonen étendue et d ADALIN. À chaque neuone de la cate de sotie est associé un ADALIN. La cate pemet de discétise l espace de soties (de manièe plus ou moins gossièe en fonction du nombe de neuones) et les ADALIN pemettent de linéaise localement la sotie gossièe. 3 Pésentation de la modulaité Si nous considéons que la modulaité est un agencement de éseaux de neuones, alos le SOM-LLM décit plus haut pésenteait déjà une achitectue modulaie. lle seait de type hiéachique, pyamidale, ou encoe en abe. Les décompositions paallèle et séie sont les deux appoches utilisées dans note goupe de echeche [1]. 3.1 Deux appoches possibles L achitectue paallèle Cette achitectue met en paallèle plusieus éseaux de neuones pou estime une même sotie. Il est alos possible de faie de la fusion de données ou encoe de spécialise chacun des éseaux dans une potion de l espace à appende, ou dans une gamme de éponses possibles. C est le cas pa exemple des Mélanges d xpets dont une application a été montée dans [8]. Bièvement, le pincipe est le suivant : plusieus éseaux eçoivent les mêmes entées et estiment une même sotie. Un supeviseu choisi la meilleue sotie, ou la meilleue combinaison de soties L achitectue séquentielle L achitectue séquentielle, que nous avons choisie, consiste à décompose un poblème en sous-poblèmes. Pa conséquent il pemet de éduie la dimentionnalité des difféents modules. Dans note cas nous veilleons à ce que chacun des souséseaux n ait pas plus de tois entées. n effet, la convegence des cates que nous avons choisies n est plus gaantie si le nombe d entées excède tois. Cette achitectue pemet d entaîne chacun des modules à pat, ou séquentiellement. 2

3 x k A Z A k B ŷ k Y Fg Y P θ1 Z C k C y k X P X αv αp P FIG. 1 Achitectue modulaie avec un flux invese. αv (D2) Fd La décomposition d une fonction en plusieus sous-fonctions intoduit des gandeus intemédiaies. Si celles-ci ne sont pas mesuables, il faut en faie une estimation. C est pou cela que nous intoduisons un flux invese [5]. FIG. 2 Gandeus dans le plan focales poignet. (D1) 3.2 Le flux invese Pou explique le ôle du flux invese, nous allons pende le cas où la décomposition met en jeu deux modules A et B. Chacun des deux modules est composé d un SOM-LLM, c est-à-die que leu appentissage est supevisé. Nous avons besoin de la sotie désiée de A pou appende A. Il en va de même pou B. La vaiable intene Zk A (éponse de A) n est pas connue, c est pouquoi nous intoduisons un toisième module, C, qui lui aussi va faie une estimation de cette même vaiable intene, Zk C. La figue 1 monte l achitectue avec le flux invese. Les vaiables intenes Zk A et ZC k sevent à défini les signaux d eeu pou l appentissage des modules A et C. Zk A set aussi d entée au module B. Il est intéessant de note que le module C fait une estimation de l invese de B et qu il ne paticipe pas à l estimation de la sotie. Pou assue la convegence de ce système, il est nécessaie de containde les estimations des gandeus intemédiaies. [1] monte que si la moyenne et la vaiance de ces signaux est focée, alos il y a stabilité et convegence de l appentissage de cette achitectue modulaie bidiectionnelle. 4 Choix de la stuctue adoptée Afin d illuste note popos, nous allons utilise une achitectue modulaie bidiectionnelle su une application obotvision dans le cade d une tâche d assevissement visuel. Nous disposons d un bas de obot à quate degés de libeté (3 axes plan et une otation) ainsi qu une tête obotique su laquelle sont montées deux caméas. La tête possède elle aussi quate degés de libeté : les angles panoamique, azimutal, et les deux vegences doite et gauche. Le bas obotique sea epéé pa deux points dans chacune des images. Ces deux points sont l effecteu et le poignet. La tâche à éalise est l estimation de l oientation de la main (qui va du poignet à l effecteu) en utilisant les infomations issues des deux caméas, ainsi que les positions angulaies de la tête. Dans un souci de simplification, mais sans toutefois nuie à la généalisation de note appoche, nous placeons nos ca- méas de telle sote que le poignet soit centé dans les images et que les deux vegences soient symétiques. L appoche que nous avons etenue consiste à détemine les coodonnées pojetées du poignet et de l effecteu su le plan hoizontal afin de pouvoi calcule la longueu pojetée de la main. Cette longueu et la taille de la main pemettent de détemine l oientation de l effecteu. L oigine de note epèe est F g, le point focal de la caméa gauche (F d est le point focal de la caméa doite). L estimation de ces pojections va se faie avec note achitectue modulaie séquentielle. lle se passe en deux étapes : La pemièe va pemette de détemine les coodonnées de l effecteu (X, Y ) et du poignet (X P, Y P ) dans le plan fomé pa les focales des caméas et pa le poignet su lequel les caméas sont centées (voi la figue 2). Le poignet est désigné pa la lette P, l effecteu pa la lette, les angles de la tête pa α et X et Y les coodonnées du poignet et de l effecteu dans les plans de pojection. La pojection di poignet ne dépend que de la vegence (α v ). Pou l effecteu, la pojection dépend de la vegence, mais aussi des difféences des abscisses du poignet et de l effecteu mesuées dans les deux images. La seconde étape consiste à passe du plan sus-cité au plan hoizontal. Les coodonnées en X ne sont pas modifiées quand nous passons du pemie au second plan de pojection. Le seul paamète qui intevient pou le passage de Y P à Y P est l angle azimutal (α t ) de la caméa. Le calcul de la pojection de l effecteu su l hoizontal nécessite une petite coection comme l illuste la figue 3. Celle-ci dépend de la pojection pécédente et aussi de la difféence des odonnées du poignet et de l effecteu mesuée dans une des images. Connaissant les coodonnées du poignet et de l effecteu, il ne este qu à calcule l oientation de l effecteu θ 4 : θ 4 = cos 1 (X P X ) 2 + (Y P Y ) 2, (9) avec l 4 la longueu de l effecteu. l 4 3

4 α t h P P P P P P FIG. 3 Les plans de pojection. Les positions dans les images : X g l abscisse de l effecteu dans l image gauche, Y g l odonnée de l effecteu dans l image gauche, X d l abscisse de l effecteu dans l image doite, Y d l odonnée de l effecteu dans l image doite, X gp l abscisse de l effecteu dans l image gauche, Y gp l odonnée de l effecteu dans l image gauche, X dp l abscisse de l effecteu dans l image doite, Y dp l odonnée de l effecteu dans l image doite. Les gandeus de soties de chacun des blocs de l achitectue modulaie sont définies comme suit : X et Y les coodonnées de l effecteu pojetées su l hoizontale. X et Y les coodonnées de l effecteu pojetées su l hoizontale avant coection. X et Y les coodonnées de l effecteu pojetées su le plan fomé pa les focales des caméas et le poignet. X P et Y P les coodonnées du poignet pojetées su l hoizontale. X P et Y P les coodonnées du poignet dans le plan fomé pa les focales des caméas et le poignet Coodonnées pojetées du poignet FIG. 4 Pincipe de l assevissement visuel. 5 Résultats 5.1 La tâche obotique considéée L achitectue poposée set de contôleu neuonal pou estime les positions angulaies d un bas obotique à 4 degés de libeté. Cette étude concene plus paticulièement l estimation de l oientation de l effecteu, c est-à-die à l oientation du quatième axe. L estimation des tois pemies axes a déjà été montée dans [2] avec une appoche neuonale modulaie. Les infomations dont nous disposons sont les positions angulaies de la tête obotique ainsi que les positions dans les images de l effecteu et du poignet du obot (issues des caméas montées su la tête). Le pincipe de cet assevissement visuel est monté figue Schéma de décomposition utilisé : définition des gandeus Les gandeus d entées de note contôleu neuonal sont définies comme suit (voi la figue 7) : Les angles de la tête : α p le panoamique, α t le tilt et α v les angles de vegences. Rappelons que dans note cas les vegences sont symétiques. Nous allons dans cette section monte le schéma pou estime les coodonnées du poignet, ainsi que les ésultats obtenus. À tite de compaaison, et pou valide note appoche, nous utiliseons des valeus théoiques. Étant donné que nous sommes dans la configuation paticulièe de la vegence symétique, et que les caméas sont centées su le poignet, il est facile de se ende compte que les coodonnées du poignet ne dépendent que de la vaiable α v. Théoiquement, nous avons : X P = B + (focale cos(α v )), (10) Y P = X P tan(α v ). (11) B epésente la demi distance ente les focales. De même, la pojection su l hoizontale ne dépend que de α t. Théoiquement, nous avons : X P = X P, (12) Y P = Y P cos(α t ). (13) Le module que nous allons utilise sea unique, puisque nous n avons que deux vaiables d entées (α v et α t ) et deux soties, les coodonnées pojetées du poignet. C est un appentissage tout à fait classique, et nous ne montons ici que les coubes epésentant la sotie désiée en fonction de la sotie calculée (notée avec unˆ). n poucentage, nous avons une eeu moyenne inféieue à 1% et maximum de l ode de 3% Coodonnées pojetées de l effecteu Le schéma utilisé pou calcule les pojections de l effecteu est légèement plus complexe. Le tavail s effectue en tois paties (voi la figue 7) : la pojection de l effecteu su le plan focales/poignet (P ), les pojections su le plan hoizontal ainsi qu une coection (H et P ). La pemièe patie dépend de la vegence et des coodonnées en X dans chacune des images. Les équations suivantes 4

5 FIG. 5 ˆX P = f(x P ) (en mm) FIG. 6 ŶP = f(y P ) (en mm). montent cette dépendance. X coespond en fait à la coodonnée en X de l intesection des deux demi-doites D 1 et D 2 (voi figue 7). Avec : X = B.b.c a.d b.c, (14) Y = B.a.c a.d b.c. (15) a = f sin(α v) X g dx cos(α v), (16) b = f cos(α v) + X g dx sin(α v). (17) c = f sin(α v) + X d dx cos(α v), (18) d = f cos(α v) + X d dx sin(α v). (19) Les soties désiées, nécessaies à l appentissage de P, sont de deux odes, connues comme X ou estimées pa un bloc invese, qui n est pas epésenté su la figue, comme Y. L estimation de X ésulte d un appentissage classique, comme ce que nous avons pu voi pou les estimations des pojections du poignet. Ce que nous obsevons dans la figue 8a) est le ésultat de l appentissage bidiectionnel et coespond à l estimation de Y. Nous obtenons bien une elation bijective ente la sotie calculée et la sotie désiée. Le appot n est pas unitaie ca l estimation de la gandeu intemédiaie est containt de telle manièe que sa moyenne soit nulle et que sa vaiance soit de un. Ces containtes sont intéessantes à plusieus tites. Pemièement, sans containtes, la convegence ves une estimation epésentative de la gandeu intemédiaie est peu pobable. Deuxièmement, nous avons fait le choix de ces containtes pace qu il faut bien ête attentif au fait que les vaiables d entées d une cate de Kohonen doivent ête du même ode de gandeu. lles doivent avoi des popiétés statistiques semblables. Comme toutes nos vaiables d entées sont containtes de la même manièe, l appentissage en ligne de plusieus blocs en cascade devient alos possible. Il auait été possible de choisi d autes containtes. La deuxième patie qui pemet de détemine h, gandeu qui pemet de passe de Y à Y, dépend elle aussi de tois paamètes. Les deux pemies sont les soties du pemie bloc, le toisième est Y g. Ce bloc a aussi besoin d un flux invese pou ête entaîné. Nous compaeons ĥ à la fomule suivante, qui lie géométiquement les entées à la sotie : h = X 2 + Y focale 2 Y g. (20) La figue 8b) semble indique qu il n y a pas eu appentissage. n fait, nous avons deux blocs qui doivent faie l estimation de la même gandeu, h. Le bloc H append une fonction f 1 d où ĥ = f 1(X,Y,Y g), le bloc invese append une fonction f 2 d où ĥ = f 2(Y,H,α t ) avec H la hauteu de l effecteu dans l espace 3D. Les seules containtes imposées pou que les soties de f 1 et f 2 convegent ves une même gandeu sont la moyenne nulle et la vaiance unitaie. Cette gandeu peut ête h ou toutes autes combinaisons solutions de f 1 et de f 2. Une analyse plus poussée du poblème nous amène à die que la gandeu estimée ĥ est une combinaison linéaie de h et de Y. ĥ = a.h + b.y + c (21) Dans ce cas : f 1 = a X 2 + Y 2 Y g focale f 2 = a H Y tan(α t ) cos(α t ) + by + c (22) + b Y tan(α t ) sin(α t ) + H Y tan(α t ) + c (23) Comme nous pouvons le voi su la figue 8c), le fait que la sotie de H ne soit pas exactement ce que nous attendions, mais une combinaison linéaie de ce nous attendions avec aute chose, ne pose pas de poblème pou l appentissage du denie bloc. n effet, tout ce dont nous avons besoin, c est que l infomation de h soit contenue dans ĥ. Nous obtenons une eeu moyenne inféieue au poucent pou l estimation de Y et de l ode de 4% d eeu maximum. 5

6 Y g X α v X g X d ˆX P Ŷ H P Y α t FIG. 7 Achitectue modulaie etenue pou le calcul des pojections de l effecteu Appentissage bidiectionnel 200 Appentissage bidiectionnel 2200 Appentissage nomal a) b) FIG. 8 a) ˆ Y = f(y ), b) ĥ = f(h), c) Ŷ = f(y ) (en mm) c) Les gandeus X P, Y P, X et Y, sont disponibles pou calcule la distance pojetée su l hoizontal de la main du obot. t pa conséquent pou détemine θ 4, l angle de l effecteu du bas. Nous obtenons une eeu moyenne d estimation de 1,5 degés. Cet angle sevia diectement de consigne angulaie pou commande le quatième axe du obot. L appoche pésentée pemet d estime l oientation d un objet quelconque en utilisant l infomation visuelle. 6 Conclusions et pespectives Établi le modèle d un obot, ou de tout aute système complexe n est pas chose facile. L altenative que nous poposons est l emploi de éseaux de neuones. Nous n avons pas besoin d établi mathématiquement le modèle, nous l appenons. Il est évident que l appentissage d une tâche obotique n est pas tivial. Le nombe impotant de degés de libeté peut accoîte de manièe considéable les temps de calculs, les exemples d appentissage et même ne plus gaanti la convegence. Nous avons opté pou la modulaité et monté à taves un exemple qu il est possible d appende un système complexe avec un ensemble de éseaux simples, de petites tailles. Nous avons éalisé ce contôleu basé su l assevissement visuel. Oute le fait que l appentissage devient possible avec une achitectue modulaie, il est aussi possible de éutilise des blocs, ca ceux-ci sont autonomes. Le seul lien qu il peut y avoi ente les éseaux, est que les soties de cetains peuvent sevi d entées aux autes. Les tavaux futus vont pote plus paticulièement su les containtes intoduites pou l appentissage des vaiables intenes et su la éalisation d un contôleu obotique complet pou le positionnement et l oientation d un bas. Réféences [1] J.-L. Buessle. Achitectues neuo-mimétiques modulaies, Application à l assevissement visuel de systèmes obotiques. PhD thesis, Univesité de Haute-Alsace, [2] Gilles Hemann, Patice Wia, and Jean-Philippe Uban. Neual netwoks oganizations to lean complex obotic functions. In Michel Veleysen, edito, 11th uopean Symposium on Atificial Neual Netwoks (SANN 2003), pages 33 38, Buges, Belgium, D-Facto. [3] Teuvo Kohonen. Self-Oganizing Maps, volume 30 of Infomation Sciences. Spinge-Velag, Belin, [4] Helge J. Ritte, Thomas M. Matinetz, and Klaus J. Schulten. Neual Computation and Self-Oganizing Maps. Computation and Neual Systems. Addison- Wesley, Reading, MA, [5] Y. Wada and M. Kawato. A neual netwok model fo am tajectoy fomation using fowad and invese dynamics models. Neual Netwoks, 6(7): , [6] B. Widow and M. Hoff. Adaptive switching cicuits. In 1960 IR WSCON Convention Reco, pages , New Yok, [7] Benad Widow and Michael A. Leh. 30 yeas of adaptative neual netwoks: Pecepton, madaline and backpopagation. Poceedings of the I, 78(9): , [8] Patice Wia. stimation des mouvements d une cible pou des tâches de pousuite pa assevissement visuel obotique. In Quinzièmes Jounées des Jeunes Checheus en Robotique (JJCR 15), Stasboug, Fance,