ESTIMATION D UNE STRUCTURE PAR TERME DES TAUX D INTÉRÊT SUR DONNÉES FRANÇAISES
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- Isabelle Lebel
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1 ESTIMATION D UNE STRUCTURE PAR TERME DES TAUX D INTÉRÊT SUR DONNÉES FRANÇAISES La structure par tere des taux d intérêt, à savoir la relation entre les durées des placeents et des eprunts et les taux d intérêt qui leur sont associés, est utilisée tant par les opérateurs des archés financiers que par les éconoistes. Les preiers cherchent à détecter des produits financiers sur- ou sous-évalués tandis que les seconds s intéressent aux anticipations de taux d intérêt. Cette différence d utilisation s est traduite par des éthodes de esure spécifiques. À la technologie sophistiquée des taux zéro-coupon des salles de archés s oppose la esure plus directe des taux de rendeent actuariels des éconoistes. On ontre ici que les deux approches conduisent à des résultats quantitativeent assez proches. Cependant, l avantage relatif de l estiation d une courbe de taux zéro-coupon réside dans la souplesse de son utilisation et dans la capacité d en déduire les taux à tere iplicites. Cet avantage seble être de plus en plus reconnu car il peret de représenter les anticipations des archés. Cet article présente les travaux réalisés à la Banque de France dans cette optique et la éthode choisie pour construire les courbes de taux zéro-coupon qui seront désorais publiées dans le chapitre de chaque nuéro du Bulletin de la Banque de France. ROLAND RICART PIERRE SICSIC Direction des Études éconoiques et de la Recherche Service d Études acroéconoiques sur la France Antoine Frachot et Anne-Marie Rieu ont participé au travail dont cet article rend copte. BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995 7
2 Centre de recherche. Notations et définitions.. Bon et taux zéro-coupon La construction d une structure par tere des taux d intérêt fait le plus souvent référence à la notion de bon zéro-coupon. Un bon zéro-coupon de aturité, noté B(, t), correspond à la valeur aujourd hui (en t) d un franc payé dans périodes, sans paieents interédiaires. Le rendeent iplicite associé à ce bon représente le taux d intérêt, noté yt (, ), d un bon zéro-coupon 2. Une relation siple lie le bon à son taux, ce qui peret de travailler indifféreent sur l un ou l autre. Cette relation prend deux fores selon qu elle est écrite en teps discret (a) ou continu (b). À un instant donné, la structure par tere des taux d intérêt se définit coe la valeur prise par yt (, ) pour différentes valeurs de. Cependant, pour un prix donné, le taux de rendeent du bon zéro-coupon est différent suivant le ode de calcul retenu. Sur la base d un développeent liité d ordre deux, on ontre que l écart entre les taux discrets (y d ) et continus (y c ) est de l ordre de la oitié du carré du taux discret (c). Dans la esure où les calculs en teps continu sont plus siples, c est cette représentation qui est utilisée par la suite. Néanoins, dans les graphiques présentés plus bas les taux zéro-coupon sont calculés sous fore discrète, afin de perettre la coparaison avec les données de taux d intérêt habituelleent observées sur les archés. (a) teps discret : B(, t) = ( + yd ( t, )) (b) teps continu : B( t, ) = exp( yc ( t, )) 2 yd (c) yd yc 2.2. Taux à tere Le taux à tere à la date t, pour la date future t + n, à l échéance t + ( > n), est par définition le rapport de l opération double, à la date t, coprenant l achat d un bon zéro-coupon d échéance t +, et la vente d un bon zéro-coupon d échéance t + n. On appelle ce taux à tere, noté f(, t n, ), le taux à tere «en t à (périodes) pour t + n (dans n périodes)». La liite de ce taux quand n tend vers, noté f(, t ), s interprète coe le taux à tere instantané. (2) f( t, n, ) log = F H G I Bt (, ) y(, t ) ny(, t n) Btn (, ) KJ n = n Le taux zéro-coupon à une échéance donnée est la oyenne des taux à tere successifs. Algébriqueent, en notant y(, tld) le taux zéro-coupon en t d échéance t + ld, et f(, t id, d) le taux à tere en t pour la date t + id d échéance t + id + d, on a, par définition des taux à tere : Une présentation détaillée se trouve dans Shiller (990). 2 Les taux d intérêt utilisés sont sous la fore 0,08 pour indiquer un taux de 8 %. 8 BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995
3 l (3) ytld (, ) = f(, t id, d) l i = 0 BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995 9
4 Autreent dit, le taux zéro-coupon à 5 ans (l = 5, d = an) est la oyenne des cinq taux suivants : le taux à tere dans 0 à un an (ce taux à tere est évideent le taux zéro-coupon à un an), le taux à tere à un an dans un, deux, trois et quatre ans. De la êe anière, le taux (coptant) à un an (l = 4, d = /4 d année) est la oyenne du taux (coptant) à trois ois, et des taux à tere à trois, six et neuf ois. Cette décoposition peut être faite pour une fréquence plus élevée. Il est, par exeple, courant de présenter des courbes de taux à tere instantanés (pour lesquels est très petit), le taux zéro-coupon en t de durée est alors la oyenne de ces taux instantanés pour un horizon variant de t à t +. Il est donc équivalent de connaître une courbe de taux zéro-coupon ou une courbe de taux à tere, l une pouvant se déduire de l autre. La présentation sous fore de taux à tere offre l avantage de perettre une lecture des anticipations des archés pour une date future. Si on s engage aujourd hui (t) sur un placeent de durée pour un horizon t + n (n < ) qui aura un rendeent de y (à la date t + ), c est en anticipant que le taux de rendeent entre t + n et t + sera proche de y. L approche qui identifie le taux à tere et l anticipation du taux zéro-coupon coptant à venir consiste à adettre que la prie de tere, qui est l écart entre le taux à tere et l espérance du taux coptant qui sera en vigueur à l horizon du tere, est nulle..3. Prix et taux de rendeent actuariel d une obligation Des titres sans coupon sont déjà cotés sur le arché français (BTF, OAT déebrées). Mais le spectre couvert par leur durée de vie résiduelle ou la faible liquidité de leurs archés rend insuffisante leur utilisation pour construire une gae coplète des taux d intérêt à une date donnée. La solution retenue consiste alors à extraire des bons avec coupons, coe les obligations, l inforation dont on a besoin. On utilise le fait qu une obligation peut s interpréter coe un portefeuille de bons zérocoupon. La valeur de arché d une obligation, notée P(, t), de coupon c, de durée de vie résiduelle années, expriée en pourcentage du noinal, est égale à la soe actualisée des coupons restant à payer et du capital prêté. Le taux de rendeent interne qui peret cette égalisation, noté r(, t), est le taux d intérêt actuariel. (4) Pt (, ) = c + i = ( + rt (, )) ( + rt (, )) i où est la partie entière de. À chaque coupon c versé en t+ i correspond en t+ + i un bon zéro-coupon B(, t + i ), si bien que le prix de l obligation est égal à une soe de prix de bons zérocoupon : + (5) Pt (, ) = c Bt (, + i ) + 00Bt (, ) i = En principe, il y a une différence entre le taux de rendeent actuariel d une obligation de durée de vie restant à courir, et le taux zéro-coupon de durée. En effet, une obligation de durée de vie peut s interpréter coe un portefeuille constitué de bons zéro-coupon payant un ontant égal au coupon à chaque date de tobée, et d un bon zéro-coupon payant le capital noinal à la date d échéance de l obligation. Le rendeent actuariel de cette obligation peut donc s interpréter, grosso odo, coe 20 BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995
5 une oyenne de taux d intérêt de bon zéro-coupon. Cependant, avec des siulations portant sur différentes structures par tere de taux zéro-coupon (cf. graphique en annexe), on ontre que l écart entre ces deux types de taux reste faible pour des échéances courtes. Pour des aturités inférieures à six ans, la différence entre les deux taux est coprise dans la fourchette de ± 0, point. Le sens de l écart varie cependant en fonction de la pente de la structure des taux. Dans la esure où le taux actuariel peut s interpréter coe une oyenne de taux zéro-coupon, le taux actuariel est inférieur au taux zérocoupon de êe échéance lorsque la structure des taux est ascendante (voir les deux courbes croissantes du graphique ). Ainsi, à structure des taux donnée, les variations de taux de rendeent actuariel sont très proches de celles de taux zéro-coupon puisque l écart entre taux zéro et taux actuariel varie peu. Au contraire, un renverseent de la courbe des taux provoque un changeent de signe de l écart, et l accroisseent des taux actuariels est alors inférieur à celui des taux zéro-coupon (les deux courbes décroissantes du graphique se coupent pour une durée de vie résiduelle proche de 9 ans). Si l aspect visuel des courbes de taux actuariels ou de taux zéro-coupon n est pas très différent, l élaboration de taux zéro-coupon présente cependant un avantage ajeur. Coe les taux zéro-coupon peuvent être calculés à toute échéance, ils perettent la déterination des taux à tere qui renseignent sur les anticipations de taux futurs. 2. Faille d interpolation Le principe de l estiation des bons zéro-coupon consiste à donner une spécification analytique à B(, t ) en fonction de et de paraètres puis à estier ces paraètres à une date donnée. Il existe plusieurs éthodes pour estier des courbes de taux zéro-coupon. Leur point de départ est le êe : les données du arché ne perettent pas de reconstituer l enseble de la gae des taux pour toutes les échéances ; il est donc nécessaire de contraindre la courbe des taux zéro-coupon à appartenir à une faille particulière de courbes (dite faille d interpolation) avec un nobre raisonnable de paraètres à estier. Cette faille d interpolation doit être suffisaent grande pour contenir les principales fores caractéristiques de la gae des taux (courbes des taux ascendantes, inversées, concaves, convexes ) ais être en êe teps suffisaent restreinte pour pouvoir trouver rapideent celle qui s ajuste le ieux à nos données à un instant précis. Deux approches sont possibles pour préciser cette faille. La preière repose sur des odèles d équilibre où les agents axiisent leur utilité alors que la seconde est sans fondeent théorique et vise à reproduire l allure de la courbe de taux avec le oins de paraètres possible. Le choix entre ces deux voies dépend de l utilisation que l on souhaite faire de cette courbe. Ainsi, lorsque cette courbe doit être utilisée par des financiers pour détecter sur un arché les titres obligataires sur- ou sousévalués ou pour évaluer des produits dérivés (options, contrats à tere ), la preière voie est préférable car elle repose sur des odèles qui proposent une éthodologie cohérente d évaluation des actifs dérivés. En revanche, si on souhaite seuleent disposer de l allure générale de la courbe à des fins d analyse éconoique, alors il est raisonnable de se concentrer sur la seconde voie décrite. Rappelons que la relation entre : le prix en t d une obligation de coupon c, et de durée de vie restant à courir années, c est-à-dire d échéance t + ; le taux de rendeent actuariel r de cette obligation ; les taux zéro-coupon yti (, ), quand ils sont définis en teps discret, est : P(, t ) = c i r t i + r t = c + = + i + i ( + (, )) ( + (, )) = ( + y( t, i)) ( + y( t, )) Le ebre du ilieu de cette relation correspond à la définition de la cotation d une obligation. Le taux de rendeent associé (r) est constant. Le ebre de droite s analyse coe un portefeuille de bons zéro-coupon d échéances différentes. À chaque bon est associé un taux de rendeent (y) spécifique. Le taux de rendeent actuariel peut donc s interpréter coe une oyenne de taux de rendeent de bon zéro-coupon. BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995 2
6 Quelle que soit l orientation choisie a priori, des critères relativeent siples doivent néanoins perettre de faire une sélection pari ces deux groupes. On cherche, en effet, une fonction dont le nobre de paraètres à estier reste raisonnable et dont la fore est suffisaent souple pour pouvoir s adapter à des configurations de arché très différentes. On souhaite aussi que la courbe obtenue soit relativeent lisse pour faciliter la lecture des taux à tere. Copte tenu de ces critères, les failles d interpolation issues de odèles théoriques ne sont pas satisfaisantes. Des coporteents nuériques erratiques et des durées d estiation relativeent longues rendent leur interprétation et leur utilisation souvent difficiles. On préfère donc retenir une fonction issue de la voie pragatique. Pari ces fonctions, plusieurs spécifications sont disponibles. Les tests réalisés ontrent cependant que la fonction proposée par Nelson et Siegel (987) répond à la plupart des critères invoqués. Le point de départ consiste à supposer que le taux à tere est la solution d une équation différentielle du deuxièe ordre qui prend la fore suivante : (6) f(, t, α ) µ µ e = µ 3 e F H I K F H I K où α est le vecteur de paraètres. Le taux d intérêt zéro-coupon se déduit par intégration du taux à tere sur l intervalle 0, divisée par. Cela conduit à la relation (7). Cette expression, tout coe la relation (6), adet deux liites suivant les valeurs extrêes de. Pour une durée de vie égale à zéro, yt (,, α ) est égal à µ + µ 2 qui s analyse coe un taux court au coptant. Il est alors facile, pour l estiation, de contraindre la fonction à passer par le taux court observé. Lorsque la durée de vie résiduelle tend vers l infini, le taux zéro-coupon tend vers le paraètre µ qui correspond au taux long. Ainsi, par construction, le taux zérocoupon, coe le taux à tere instantané, tend vers une asyptote horizontale quand le tere de l échéance tend vers l infini. Connaissant la fore du taux zéro-coupon, on déduit le prix associé, en teps continu, à partir de la relation (b). ( ) ( ) e e (7) yt (,, α ) = µ + µ 2 + µ 3G F G H e ( ) I KJ La relation (7) peret de représenter une large gae de configurations de la structure par tere des taux d intérêt. À titre d exeple, pour le cas extrêe où les taux d intérêt à court et long tere sont de 0 % (µ = µ + µ 2 = 0, ) et pour égal à un, la relation (7) dépend uniqueent du paraètre µ 3. En prenant pour ce dernier cinq valeurs coprises entre 0,2 et 0,2, on obtient des structures par tere des taux d intérêt très différentes alors que la pente oyenne des taux est nulle (cf. graphique 2 en annexe). Ce large éventail de configurations possibles se retrouve aussi dans les séries de taux à tere, perettant de représenter des anticipations de nature très variées. De surcroît, cette spécification peret de calculer des taux à tere «lisses» correspondant à l idée usuelle qu on peut avoir des anticipations forées sur les archés financiers 2. Voir par exeple Dahlquist et Svensson (993) ou Brown et Dybvig (986) 2 Les éthodes alternatives coe celles proposées par McCulloch (97) ou Vasicek et Fong (982) peuvent conduire à des taux à tere très ouveentés voire négatifs. Pour une coparaison des différentes éthodes consulter Bekdache et Bau (994). 22 BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995
7 Les fores de la structure par tere des taux présentent, en période de troubles iportants sur les archés, des configurations parfois coplexes pour les aturités très courtes. Pour tenir copte de ces possibilités et pour accroître la flexibilité de la fonction de base, Svensson (994) a proposé d ajouter deux paraètres suppléentaires dans l équation de déterination du taux à tere. La forulation du taux zéro-coupon qui en découle est donnée par la relation (8). Elle présente les êes propriétés que la relation (7) pour les valeurs extrêes de. Les deux derniers teres du ebre de droite se distinguent uniqueent par leurs paraètres (µ 3 et d une part, µ 4 et 2 d autre part). Leur rôle respectif est de capter les inflexions de la courbe de taux pour des aturités différentes. ( ) ( ) e e ( ) e (8) yt (,, α ) = µ + µ + µ e µ G J G 2 F G H I J K F G H ( ) 2 e ( ) 2 I KJ Un exeple de contribution des quatre coposantes de (8) au taux zéro-coupon est présenté dans le graphique 3 en annexe. Les valeurs des paraètres sont les suivantes : µ = 0, ; µ 2 = 005, ; µ 3 = 03, ; µ 4 = 05, ; = 5, ; 2 = 05,. Le taux long est donc à 0 % et le taux court à 5 %. Le taux zéro-coupon est forteent croissant avec un axiu pour une aturité de 0,7 année. Il décroît par la suite pour reonter lenteent pour des aturités supérieures à 4 ans. L inflexion initiale de la courbe des taux est donnée par le tere additionnel proposé par Svensson (courbe de légende c3, paraètres µ 4 et 2 ) et la reontée des taux au-delà de 4 ans (courbe de légende c2, paraètres µ et ) 3 correspond au troisièe tere du ebre de droite de (8). Le taux long figuré par une droite (petits pointillés, paraètre µ ) représente l asyptote vers laquelle le taux zéro-coupon tend lorsque la aturité augente. La dernière courbe est la coposante tendancielleent croissante du taux zérocoupon (courbe de légende c, paraètres µ 2 et ). 3. Données utilisées Les données utilisées pour l estiation regroupent trois catégories de produits éis par l État. Les OAT (obligations assiilables du Trésor) en francs et à taux fixe représentent, à partir du ilieu des années quatre-vingt, le ode de financeent principal avec des produits dont l échéance à l éission est coprise entre 7 ans et 30 ans. Les BTAN (bons du Trésor à taux fixe et intérêts annuels) correspondent au financeent à oyen tere avec des produits éis pour des durées allant de 2 ans à 5 ans. Les BTF (bons du Trésor à taux fixe et intérêts précoptés) sont éis pour des durées inférieures à l année. La gae des échéances à l éission est ainsi très large. Les cotations retenues sont celles du vendredi de chaque seaine. Les OAT d une durée de vie inférieure à un an ont été suppriées. On constate en effet qu en deçà de cette durée de vie, la liquidité de ces produits tend à se réduire, ce qui provoque des ouveents parfois heurtés sur les prix. En effet, les arbitrages sur les archés étant faits sur la base de taux de rendeent actuariels, une faible variation de ces derniers a une répercussion très forte sur le cours des actifs lorsque leur durée de vie résiduelle est faible. Un phénoène coparable apparaît pour les BTAN, ce qui conduit à supprier les produits de durée de vie inférieure à un ois. Enfin, les prix et les taux de rendeent actuariels des BTF ont été calculés afin de les rendre hoogènes aux données des OAT et des BTAN. Au total, on dispose de près de 50 titres pour chaque date d observation dont la signature est hoogène. Les taux de rendeent des BTF sont habituelleent expriés coe des taux onétaires (dits in fine) établis sur la base d une année de 360 jours. BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE
8 % )) ( DOSSIERS 4. Critère optiisé Pour chaque date d observation, le paraètre α est obtenu en iniisant, avec une éthode d estiation non linéaire, la soe pondérée du carré des erreurs prises sur les prix de l enseble des titres. Les poids sont des facteurs de sensibilité des prix aux taux d intérêt. Cette fonction s analyse en fait coe un critère défini sur les taux de rendeent actuariels. La déarche est la suivante. Des relations (8), (b) et (5), on déduit une expression définissant le prix d une obligation, noté P(, t, α ), en fonction du paraètre α. Le taux de rendeent interne de cette obligation, c est-à-dire, le taux d intérêt pour lequel la relation (4) est vérifiée, dépend lui-êe de α et est noté r(, t, α ). Dans la esure où on ipose à la structure par tere des taux de passer par le taux court (TC), défini coe le rendeent du BTF de durée de vie résiduelle la plus courte dont on % dispose, le nobre de paraètres à estier est réduit à α = TC µ 2,, µ 3, µ 4, 2 ) 2 et la fonction à iniiser peut prendre la fore d une soe de carré d erreurs sur les taux d intérêt. Ce critère est plus exigeant que celui qui repose sur la iniisation des prix en raison de la forte non-linéarité entre prix et taux pour des produits dont la durée de vie résiduelle est faible. En effet, une erreur d estiation sur le prix se reporte sur le taux d autant plus forteent que la durée de vie est faible. Cette fonction objectif renforce donc la qualité de l ajusteent sur les taux de la partie courte de la structure par tere. Ce choix copense le défaut de l estiation sur les prix, plus favorable en général à la partie longue de la courbe. Néanoins, cette déarche présente l inconvénient de rendre l estiation relativeent longue puisqu il faut résoudre pour chaque itération un systèe d équations non linéaires. On a donc substitué à cette fonction un critère obtenu en prenant une approxiation de r(, t, α ) sur la base d un développeent liité d ordre un. La fonction effectiveent iniisée s interprète alors coe un critère établi sur les prix à un poids près. Ce dernier représente la dérivée du prix par rapport aux taux d intérêt actuariels c est-à-dire la sensibilité des prix aux taux d intérêt 3. 2 { i = n % (9) Min ( Pi( t, ) Pi( t,, α / Φir où α Pt (, ) i Φ i = = ri (, t ) c + i = ( + i ) 00 ( + r( t, )) ( (, )) i + i + + ri t D une anière plus pratique, copte tenu du nobre de coefficients et du caractère forteent non linéaire de la fonction à optiiser, les paraètres de la relation (8) sont obtenus en deux étapes 4. On liite ainsi le teps d estiation et les risques de auvaises convergences. Dans un preier teps, on procède à l estiation de la fonction de base proposée par Nelson et Siegel en prenant coe La contrainte se justifie par le fait qu on souhaite avoir une estiation précise du début de la courbe des taux. Avec des fonctions d interpolation plus traditionnelles, cette possibilité est obtenue au prix d une augentation du nobre de paraètres à estier. i 2 La contrainte prend la fore µ + µ 2 = log ( BTF ( t, 0 ) ), où BTF ( t, 0 ) est le prix du BTF de durée de vie 0 résiduelle, 0, la plus courte pour chaque date d observation. 3 Cette pondération est proche du concept de duration (D) : Di = Φ ( + r i ( t, )). P i ( t, ) 4 Les estiations ont été réalisées avec le logiciel Gauss. 24 BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995
9 coefficients initiaux des valeurs pouvant convenir à l enseble des configurations possibles de la structure par tere des taux. Après convergence, les résultats sont repris pour servir de valeurs initiales à l estiation de la fonction de Nelson et Siegel «augentée». Les deux paraètres spécifiques à la partie augentée de la fonction, non disponibles dans la preière étape, sont initialisés avec 0 et (respectiveent pour µ 4 et 2 ). Cette procédure peret pour la deuxièe étape de partir de valeurs dont on peut supposer qu elles sont proches des vrais paraètres du odèle. À l issu de ces estiations, on vérifie que la structure des taux d intérêt observée justifie l utilisation de la relation (8) plutôt que la relation (7). 5. Exeple de graphique de résultats Une fois les paraètres estiés, il est possible de construire, sipleent les courbes de taux. La courbe de taux zéro-coupon est obtenue en deux teps. Dans une preière étape, on calcule le prix d un bon zéro-coupon sur la base de la relation (b) définie en teps continu. Dans un second teps, on déterine les taux de rendeent actuariels en teps discret associés, avec la relation (0). (0) y (, t ) d Bt (, ) F = H G I K J Le taux à tere se déduit de la coparaison du rendeent d un bon zéro-coupon à deux échéances différentes. Si on appelle k la durée de placeent, définie en t pour la période allant de t + à t + + k, le taux à tere en teps discret résulte alors de la relation (). La courbe des taux à tere, en teps discret, se calcule donc pour une valeur de k donnée en faisant varier. k Bt, a f F a f I = HG Bt a, + kfkj () f t,, k d Le graphique 4 en annexe présente les résultats de ces calculs pour le 3 décebre 993. Les taux d intérêt zéro-coupon sont en trait plein, les taux à tere au jour le jour en pointillés longs. On ontre sur ce êe graphique les taux de rendeent actuariels observés sur les différents produits (BTF, BTAN et OAT) ainsi que les taux actuariels recalculés sur la base des paraètres estiés, ce qui peret d avoir une idée de la qualité de l ajusteent. 6. Conclusion Le travail qui a été présenté peret à la Banque de France de disposer de données sur la structure des taux d intérêt en France ou, ce qui est équivalent, sur les taux à tere iplicites. Des graphiques de taux zéro-coupon seront désorais publiés régulièreent dans le chapitre du Bulletin de la Banque de France. Une étude à paraître dans le suppléent «Études» du Bulletin du quatrièe triestre présentera les différents avantages de l utilisation d une courbe de taux telle qu elle a été décrite et l utilisation qui peut en être faite sur quelques exeples siples. Ces valeurs initiales, constantes quelle que soit la date d estiation, ont été obtenues en testant différentes possibilités de telle sorte que le nobre de non-convergence sur la période allant de 992 à la fin de 994 soit le plus faible possible. L expérience ontre que cette stratégie est supérieure à celle consistant à prendre pour valeurs initiales à la période t les valeurs obtenues à la période t. BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE
10 Références bibliographiques Bekdache B. and Bau C. F. (994), «Coparing Alternative Models of the Ter Structure of Interest Rates», Boston College, Working paper, N 27. Brown S. J. and Dybvig P. H. (986), «The Epirical Iplication of the Cox, Ingersol, Ross Theory of the Ter Structure of Interest Rates», Journal of Finance, 4. Dahlquist M. and Svensson L. E. O. (993), «Estiating the Ter Structure of Interest Rates with Siple and Coplex Functional Fors : Nelson & Siegel vs. Longstaff & Schwartz», ieo, Institute for International Econoic Studies, Stockhol University. Mc Culloch J. H. (97), «Measuring the Ter Structure of Interest Rates», Journal of Finance, 30. Nelson C. R. and Siegel A. F. (987), «Parsionious Modeling of Yield Curves», Journal of Business, 60. Shiller R. J. (990), «The Ter Structure of Interest Rates», Handbook of Monetary Econoics, Vol., B. Friedan and F. H. Hahn (eds.). Svensson L. E. O. (994), «Estiating and Interpreting Forward Interest Rates : Sweden 992-4», CEPR, Discussion Paper Series, N 05. Vasicek O. A. and Fong H. G. (982), «Ter Structure Modeling Using Exponential Splines», Journal of Finance, BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995
11 ANNEXE Graphique : Taux zéro-coupon et taux de rendeent actuariels. Graphique 2 : Différentes configurations du taux zéro-coupon de Nelson-Siegel. Graphique 3 : Décoposition du taux zéro-coupon de Nelson-Siegel augenté. Graphique 4 : Taux de rendeent actuariels, taux zéro-coupon et taux à tere au jour le jour au 3 décebre 993. BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE
12 Graphique TAUX ZÉRO-COUPON ET TAUX ACTUARIELS Source et réalisation : Banque de France Maturité en années Graphique 2 DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS DU TAUX ZÉRO DE NELSON-SIEGEL Source et réalisation : Banque de France Maturité en années 28 BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE 995
13 Graphique 3 DÉCOMPOSITION DE NELSON-SIEGEL AUGMENTÉ POUR LE TAUX ZÉRO taux long taux zéro-coupon c3 c c2 Source et réalisation : Banque de France Maturité en années Graphique 4 TAUX DE RENDEMENT ACTUARIELS, TAUX ZÉRO-COUPON ET TAUX À TERME AU JOUR LE JOUR au 3 décebre 993 Maturité en années Source et réalisation : Banque de France BULLETIN DE LA BANQUE DE FRANCE N 22 OCTOBRE
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