Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Les nombres complexes

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1 Snthèse de cours PanaMaths (Termnale S) L ensemble des nombres complees Défntons n pose tel que = 1 { } L ensemble des nombres complees, noté, est l ensemble : z /(, ) = + Le réel est appelé «parte réelle du nombre complee z» et est notée : R e( z) Le réel est appelé «parte magnare du nombre complee z» et est notée : m( z) L écrture z = + est appelée «forme algébrque du nombre complee z» S R e( z) = 0 le nombre complee z est appelé «magnare pur» Premères proprétés z = + = 0 = = 0 ( ) Sot zz, ' / z= + et z' = ' + ' z = z' R e z =Re z' et m z =m z' = ' et = ' n a : ( ) ( ) ( ) ( ) z = + m( z) = 0 = 0 Représentaton géométrque et plan complee n rapporte le plan orenté à un repère orthonormal drect (,, ) tout complee z = + on assoce le pont M (que l on peut également noter ( ) ( + ) ) de coordonnées (, ) : M = + M n dt alors que l on travalle dans «le plan complee» M z ou M ( z ) est appelé «mage du complee z» et le complee z est appelé «affe du pont M» M M L ae des abscsses correspond à l ensemble des réels L ae des ordonnées correspond à l ensemble des magnares purs Note : «affe» est un nom fémnn PanaMaths [1-13] Févrer 011

2 wwwpanamathsnet Premères opératons sur les nombres complees Multplcaton d un complee par un réel Sot z = + un nombre complee et a un réel n a : az = a ( + ) = a + a En d autres termes : R e( az) = ar e( z) et m( az) a m( z) = Sur la fgure c-dessous nous avons postonné un pont M ' d affe az avec 0< a < 1 Cas partculer : pour a = 1, on obtent l opposé du nombre complee z : z = Sur la fgure c-dessous, nous avons postonné le pont P d affe z l s agt du smétrque M z par rapport à l orgne de ( ) M M M ' P M Somme et dfférence ( ) z, z ' / z = + et z ' = ' + ', on note respectvement z+ z' et z z' la somme et la dfférence des nombres complees z et z ' et on a : En d autres termes : e z z' e z e z' ( ) ( ) ( ) ( ) z+ z' = + ' + + ' z z' = ' + ' R ( + ) =R ( ) +R ( ) et m( z z' ) m( z) m( z' ) Re( z z' ) =Re( z) R e( z' ) et m( z z' ) m( z) m( z' ) + = + = PanaMaths [-13] Févrer 011

3 wwwpanamathsnet Représentaton géométrque n désgne par M et M ' les ponts du plan complee d affes respectves z et z ' D + ' M M S Le pont S d affe z+ z' est défn par : S = M + M ' M ' + ' Le pont D d affe z z' est défn par : D = M M ' = M ' M Conjugué d un nombre complee Défnton Sot z = + un nombre complee n appelle «conjugué de z», noté z, le complee : M M ( z ) Géométrquement, le pont M ' d affe z est le smétrque, par rapport à l ae des abscsses, du pont M d affe z M '( z ) Premères proprétés z = z n dt que «les complees z et z sont conjugués» z z e z z z = m z est un magnare pur + = R ( ) est un réel et ( ) z est un réel m( z) = 0 z = z z est un magnare pur R e( z) = 0 z = z Sot z = + n a : zz = + + PanaMaths [3-13] Févrer 011

4 wwwpanamathsnet utres opératons sur les nombres complees Produt ( ) z, z ' / z = + et z ' = ' + ', on note zz ' le produt des nombres complees z et z ' et on a : Rapport ( ) * ( )( ) ( ) ( ) zz ' = + ' + ' = ' ' + ' + ' z, z ' / z = + et z ' = ' + ', on note z ' et on a : ( )( ' ' ) z z ' le rapport des nombres complees z et z zz ' ' ' ' ' = = + = z' z' z ' ' + ' ' + ' ' + ' utres proprétés de la conjugason Conjugué d une somme : ( ) Conjugué d un produt : ( ) zz, ', z+ z' = z+ z' zz, ', zz' = zz' z z, ', = z' z ' * Conjugué d un rapport : ( zz) Module d un nombre complee Défnton Sot z = + un nombre complee n appelle «module de z», noté z, le réel postf : + nterprétaton géométrque M M S M est le pont d affe z, z est la dstance du pont au pont M et c est donc auss la norme du vecteur M : (, ) z = d M = M PanaMaths [4-13] Févrer 011

5 wwwpanamathsnet Proprétés z = 0 z = 0 z, zz = z z = z = z = z ( ) zz, ', zz' = zz' z, ', = z' * ( zz) négalté trangulare z z' ( ) zz, ', z+ z' z+ z' n a l égalté s, et seulement s, l este un réel a tel que z' = az ou z = az' (c est à dre s et M ' z ' sont algnés) seulement s les ponts, M ( z ) et ( ) Formes trgonométrques d un nombre complee rguments d un nombre complee non nul n consdère un nombre complee z non nul et le plan complee Sot M le pont d affe z, M n appelle alors «argument de z», noté arg z, toute mesure de l angle ( ) M arg z M L argument d un nombre complee est donc défn modulo π : s θ est une mesure donnée de l angle (, M ) alors les autres mesures de cette angle sont de la forme * θ kπ k + ( ) Le nombre complee nul n a pas d argument Premères proprétés de l argument z arg z = kπ, k z *,argz = argz ( ) z *,arg z = π + arg z PanaMaths [5-13] Févrer 011

6 wwwpanamathsnet Forme trgonométrque d un nombre complee Sot z un nombre complee non nul de forme algébrque z = + n peut alors mettre z sous la forme : ( cosθ snθ ) z = r + où r = z et θ = arg z Une telle écrture est appelée «forme trgonométrque» de z Remarques : un nombre complee admettant une nfnté d arguments, l admet une nfnté d écrtures trgonométrques n a : cos θ = r = z et snθ = r = z r cosθ + snθ est une forme trgonométrque du nombre complee non nul z S ( ) alors on peut écrre : ( ) ( ) ( ) cas on a r ' < 0 et l écrture r'cos ( θ ' sn θ ') nombre complee z utres proprétés de l argument * ( ) ( ) ( ) zz, ',arg zz' = argz+ arg z' * 1 z,arg = argz z * (, ') ( ) z zz,arg = arg z arg z' z ' n n,arg z = nargz ( ) Sot ( ) Formule de Movre z *,arg z = π + arg z ( cos θ π sn θ π ) '( cos θ ' sn θ ') z = r = r + Dans ce + n est pas une forme trgonométrque du n ( θ θ) ( θ) ( θ) n, cos + sn = cos n + sn n PanaMaths [6-13] Févrer 011

7 wwwpanamathsnet Forme eponentelle d un nombre complee Eponentelle complee (Euler) Pour tout réel θ, on appelle «eponentelle complee», notée cosθ + snθ e θ, le nombre complee : Remarque : dans cette écrture ntrodute par Euler, et comme le nom l ndque, e désgne la base du logarthme népéren Euler a également fournt la très belle formule suvante, cas partculer de la précédente (θ π = ) : Formules d Euler e π = 1 θ θ partr de e = cosθ + snθ et e = cosθ snθ on tre les formules d Euler : 1 1 cos θ = + et sn = θ θ θ θ ( e e ) θ ( e e ) Forme eponentelle d un nombre complee non nul Sot z un nombre complee non nul dont une forme trgonométrque est : lors on a : ( ) ( cosθ snθ) cos( arg ) sn ( arg ) z = r + = z z + z z = re = z e θ arg z Cette écrture est appelée «forme eponentelle» du nombre complee z Remarque : un nombre complee admettant une nfnté d arguments, l admet une nfnté de formes complees Proprétés de la forme eponentelle Sot z un nombre complee non nul et est une forme eponentelle de z re θ une forme eponentelle de z lors Soent z et z ' deu complees non nuls de formes eponentelles respectvement n a alors : re θ et ' re ' θ re θ ( + ') zz ' = rr ' e θ θ et z r = e z' r' ( θ θ ') PanaMaths [7-13] Févrer 011

8 wwwpanamathsnet Nombres complees et géométre ffe et norme d un vecteur Soent et deu ponts du plan complee d affes respectves z et z lors le vecteur admet : comme affe : z z (c est celle du pont C tel que C = ) comme norme : z z (c est la longueur du segment [ ]) = C C C C = ngle de deu vecteurs Soent,, C et D quatre ponts du plan complee deu à deu dstncts et d affes respectves z, z, z C et z n a : D zd z C, = arg z z ( CD) pplcatons Deu vecteurs et CD sont colnéares s, et seulement s : o = o ou C = D zd zc o ou : et C D et est réel z z PanaMaths [8-13] Févrer 011

9 wwwpanamathsnet Deu vecteurs et CD sont orthogonau s, et seulement s : o = o ou C = D zd zc o ou : et C D et est magnare pur z z Le cercle Cercle de centre et de raon donnés n consdère, dans le plan complee, le cercle C de centre Ω d affe ω et de raon r > 0 Le pont M d affe z appartent à C s, et seulement s, l este un réel θ tel que : z = ω + Remarque : cette epresson est «smplement» celle d un complee z vérfant : z ω = r re θ Cercle dont on connaît un damètre n consdère, dans le plan complee, le cercle C de damètre [ ], et étant deu ponts dstncts d affes respectves z et z Le pont M, dfférent de et, d affe z appartent à C s, et seulement s le complee z z est un magnare pur z z Remarque : cette caractérsaton tradut smplement le fat que l angle M est drot M PanaMaths [9-13] Févrer 011

10 wwwpanamathsnet Transformatons ponctuelles Généraltés n consdère une foncton f de dans (f est donc une foncton complee de la varable complee) qu à tout nombre complee z assoce le nombre complee f ( z) = z' En se plaçant dans le plan complee, f ( z ) est l affe du pont F ( M) = M ', mage du pont M d affe z par la transformaton géométrque F La transformaton F assocant à un pont du plan un autre pont du plan, on dt qu l s agt d une «transformaton ponctuelle du plan» Dans le cadre précédent, on dt que f est l «epresson complee» de la transformaton du plan F Translaton Foncton : ( ) f z f z = z+ a où a est un nombre complee donné La transformaton géométrque F assocée à f est la translaton de vecteur u d affe a M ( z ) u M + u M ( f ( z )) m( a) u R e( a) Par eemple la foncton ( ) f : z f z = z+ 3 5 est l epresson complee de la translaton du plan complee de vecteur u d affe 3 5 Remarque : s a = 0, la transformaton consdérée est smplement l dentté du plan PanaMaths [10-13] Févrer 011

11 wwwpanamathsnet Homothéte Foncton : ( ) un complee donné f z f z = az+ b où a est un nombre réel donné non nul et dfférent de 1, b La transformaton géométrque F assocée à f est l homothéte de rapport a et de centre le pont Ω d affe ω = b 1 a n a alors l égalté caractérstque : f ( z) ω a( z ω) = M ( z ) M '( f ( z )) Ω ( ω) 1 1 f z f z = z + est l epresson complee de l homothéte 4 de rapport 1 et de centre le pont Ω d affe 1 + Par eemple la foncton : ( ) Remarque : pour dentfer une éventuelle homothéte à partr d une epresson complee donnée de la forme f ( z) = az+ b, on commence par dentfer le coeffcent de z n conclura postvement s l est réel, non nul et dfférent de 1 (s a = 1, on a affare à une translaton Dans le cas de l dentté, a = 1 et b = 0, on a affare à une homothéte ) Dans le cas (général) où a est réel non nul et dfférent de 1, l affe du centre sera alors obtenue en b résolvant l équaton f ( z) = z (plutôt qu en retenant et applquant la «formule» ω = ), 1 a une homothéte de rapport dfférent de 1 ne possédant qu un seul pont nvarant PanaMaths [11-13] Févrer 011

12 wwwpanamathsnet Rotaton Foncton : ( ) a = 1 f z f z = az+ b où a est un nombre complee (non réel) donné vérfant, b un complee donné Comme a = 1, on a La transformaton géométrque F assocée à f est la rotaton de centre Ω d affe ω = b 1 a et d angle arg a a arg a = e et on a l égalté caractérstque : ( ) ( ) arg a ω = ω = ( ω) f z a z e z M ( f ( z )) arg a M ( z ) Ω ( ω) Par eemple la foncton f : z f ( z) = 1 ( 1+ 3) z+ ( 1+ 3) + ( 1 3) est l epresson π complee de la rotaton de centre le pont Ω d affe 1+ et d angle de mesure 3 Comme dans le cas d une homothéte, l affe du centre sera plutôt obtenue en résolvant f z = z l équaton ( ) PanaMaths [1-13] Févrer 011

13 wwwpanamathsnet L équaton du second degré à coeffcents réels dans Racnes carrées dans Sot a un nombre réel l admet dans deu racnes carrées : s a est postf, ses racnes carrées complees sont a et a (elles sont confondues pour a = 0 ) s a est strctement négatf, ses racnes carrées complees sont a et a Par eemple, les racnes carrées complees de 169 sont 13 et 13 celles de 5 sont 5 et 5 Equaton du second degré n cherche les solutons dans de l équaton : az bz c où a, b et c sont tros réels, a étant non nul ( ) + + = 0 E n ntrodut le dscrmnant : Δ= b 4ac et on a la dscusson suvante : S Δ> 0, l équaton ( E ) admet deu racnes réelles : b Δ b + z1 = et z = a a Δ S Δ= 0, l équaton ( E ) admet une racne réelle double : z 0 = b a S Δ< 0, l équaton ( E ) admet deu racnes complees conjuguées : b Δ b+ Δ z1 = et z = z1 = a a PanaMaths [13-13] Févrer 011

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