. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download ". (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1"

Transcription

1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S N la somme des termes u dot l idice est compris etre 0 et N : S N = u u N. La suite (S N ) N N est appelée série de terme gééral u. Pour N N, le terme S N est appelé somme partielle d ordre N de la série. Exemples. (a) Pour la suite des etiers (u ) = (), o obtiet pour tout N, S N = N = N(N+) 2. (b) Si (u ) est ue suite géométrique de raiso q, q, o obtiet : N N, S N = qn+. q (c) Si (u ) = ( (+)(+2) ), o observe que pour tout etier, (+)(+2) = + +2, d où S N = N+2 pour tout etier N. (d) La série harmoique est la série dot le terme gééral u est doé par u = pour (avec u 0 = 0), de sommes partielles S N = N. (e) La série harmoique alterée est la série dot le terme gééral u est doé par u = ( ) pour (avec u 0 = 0), de sommes partielles S N = ( )N N. Utilisatio du sige Pour compacter l écriture et éviter l ambiguïté des poitillés, o ote N u (ou aussi 0 u N au lieu de u u N. - La somme S N = N u e déped que de N et pas de ; o dit que l idice est muet. O peut tout aussi bie écrire par exemple S N = N u k ; il faut seulemet predre garde à remplacer k=0 la lettre par la lettre k partout où elle apparaît. - O peut faire des chagemets d idice. Par exemple, e faisat le chagemet = +, o obtiet N + = N+ = N+ = =. u )

2 Remarque. Si (S ) est la suite des sommes partielles de la série de terme gééral u, o a u 0 = S 0 et u = S S pour > 0. Iversemet, si o se doe ue suite (v ), o peut cosidérer la suite (u ) telle que u 0 = v 0 et pour N, u = v v (c est par exemple ce qu o fait quad o étudie la mootoie de (v )). O a alors v N = cosidérer la suite (v ) comme la série de terme gééral u. N u pour tout N. O peut doc 4.2 Covergece d ue série. Défiitio 4.2. Soit (u ) ue suite réelle ou complexe et pour N N, S N = N u. Dire que la série de terme gééral u coverge (resp. diverge) sigifie que la suite (S N ) des sommes partielles coverge (resp. diverge). Das le cas coverget, lim S N N = lim u N + N + est otée + u et appelée somme de la série. Retour sur les exemples. (a) Cette série diverge. (b) La série coverge si et seulemet si q < et das ce cas, o obtiet la formule (fodametale) : + q = q. (c) E exercice. Remarque. Si deux suites ot tous leurs termes égaux à partir d u certai rag 0, les sommes partielles des deux séries correspodates diffèret d ue costate à partir du rag 0. Les deux séries sot doc de même ature (covergetes/divergetes). Autremet dit, la ature d ue série de terme gééral u e déped pas des premiers termes de la suite (u ). Propositio 4.3. Ue coditio écessaire de covergece. Si la série de terme gééral u coverge, o a lim u = 0. Démostratio. Supposos que la série coverge et soit S sa somme. Pour tout etier, o a u = S S ; doc (u ) coverge et sa limite est S S = 0. La réciproque est fausse. Exemple. Le terme gééral de la série harmoique coverge vers 0, mais la série diverge. E effet, si o suppose (par l absurde) qu elle coverge, o a lim (S 2N S N ) = 0. Mais pour N + 2

3 tout N N, o a (S 2N S N ) = 2N =N+ N 2N 2, d où ue cotradictio. Ue série dot le terme gééral e coverge pas vers 0 est dite grossièremet divergete. Propositio 4.4. Opératios sur les séries. Soiet λ u réel (ou u complexe) et (u ) et (v ) deux suites de ombres réels (ou complexes).. Si la série de terme gééral u coverge, la série de terme gééral λu coverge et + (λu ) = λ( + u ). 2. Si les deux séries de terme gééral u et v coverget, la série de terme gééral u + v coverge et + (u + v ) = ( + u ) + ( + v ). 4.3 Séries umériques à termes réels positifs Propositio 4.5. Soit (u ) ue suite dot tous les termes sot réels positifs. La série de terme gééral (u ) coverge si et seulemet si la suite de ses sommes partielles est majorée. Démostratio. La suite (S ) des sommes partielles est croissate. Si elle est majorée, elle coverge. Sio, elle diverge vers +. Défiitio. Séries de Riema. Soit α R. La série dot le terme gééral est doé par u = pour ( ) (avec u α 0 = 0) est appelée série de Riema d exposat α. Théorème 4.6. La série de Riema d exposat α est covergete si et seulemet si α >. Démostratio. Das le cas α 0, le terme gééral e coverge pas vers 0, doc la série α est grossièremet divergete. Das le cas α =, o retrouve la série harmoique qui est divergete. Das les autres cas, o compare les sommes partielles de la série avec des itégrales de la foctio t t (faire u dessi de so graphe). O a e effet, pour k 2 α Supposos < α. O obtiet, pour tout 2, S = k= k α + k=2 k k k k α k t α dt (k ) α t α dt + t α dt = + α ( α ) + α La suite (S ) est majorée doc la série (à termes réels positifs) coverge. 3

4 Supposos 0 < α <. O obtiet de même pour tout 2, S = + k=2 + (k ) α k=2 k k + t α dt t α dt = α (( + ) α ). Le terme de droite diverge vers +. Il e est de même de la suite (S ). La série est doc divergete. Exercice. Appliquer ce même procédé das le cas α = pour retrouver la divergece de la série harmoique et motrer que de plus lim ( ) l =. Propositio 4.7. Comparaiso de deux séries. Soiet (u ) et (v ) deux suites à termes réels positifs et telles que pour tout N, o a 0 u v. Alors. Si la série de terme gééral v coverge, celle de terme gééral u coverge aussi et o a + u + v. 2. Si la série de terme gééral u diverge, celle de terme gééral v diverge aussi. Démostratio. (i) Pour tout N N, o a N u N v ( ) Si la série de terme gééral v coverge, la suite de ses sommes partielles est majorée ; d après (*) la suite des sommes partielles de la série de terme gééral u est majorée et cette série est à terme positifs, doc elle coverge. L iégalité etre les deux sommes s obtiet e passat à la limite das (*). (ii) est ue coséquece immédiate de (i). Exemples.. Si (u ) = ( ), o a N, 0 u ( 2 3) ; le terme de droite est celui d ue série géométrique de raiso 2 3, qui coverge car 2 3 < ; doc la série de terme gééral u (positif) coverge aussi. 2. Si (u ) = ( log(+3) ), pour tout, o a u 0. La série de terme gééral u est doc divergete, comme la série harmoique. E comparat avec ue série géométrique, o obtiet les deux critères suivats : Propositio 4.8. Critère de d Alembert u Soit (u ) ue suite à termes réels strictemet positifs. Supposos que lim + u l R + {+ }. (i) Si l <, la série coverge. (ii) Si l >, o a lim u = + et la série diverge grossièremet. = l, où Démostratio. 4

5 (i) Supposos l < et soit q = l+ 2. Das ce cas, o a 0 l < q <. Il existe u etier 0 tel que pour 0, o ait u + u q, soit (puisque u > 0), u + qu. O e déduit 0, u q 0 u 0 = q u 0 q 0. La série géométrique de terme gééral q coverge puisque 0 q <. Le premier critère de comparaiso motre que la série de terme gééral u coverge. (ii) Supposos l > et soit q = l+ 2 si l R, q = 2 si l = +, de sorte que das les deux cas, o a < q < l. O motre de même qu il existe u etier 0 tel que pour 0, o ait u q u 0 q 0. Ici, o a lim u diverge grossièremet. q = +, doc lim u = + ; par suite la série de terme gééral Propositio 4.9. Critère de Cauchy. Soit (u ) ue suite réelle à termes positifs. Supposos que lim (u ) (i) Si l <, la série coverge. (ii) Si l >, o a lim u = + et la série diverge grossièremet. = l, où l R + {+ }. La démostratio se fait comme celle du critère de d Alembert. Exemples. (a) Si (u ) = ( 3 + ), o a N, u > 0 et u + u = 3 +, doc lim la série de terme gééral u diverge d après le critère de d Alembert. (b) Si (u ) = ( (+) ), o a N, u > 0 et (u ) = + terme gééral u coverge d après le critère de Cauchy., doc lim (u ) u + u = 3 > ; = 0 ; la série de Attetio! - II peut arriver que ( u + u ) ou u ) aiet pas de limite. u - Le critère de d Alembert (resp. de Cauchy) e permet pas de coclure lorsque lim + u = (resp. lim (u ) = ) : observer le cas des séries de Riema. Propositio 4.0. Comparaiso de deux séries 2. Soiet u et v les termes gééraux de deux séries à termes réels strictemet positifs. Si =, alors les deux séries de termes gééraux u et v sot de même ature. lim u v Démostratio. Preos ɛ = 2. Il existe N N tel que si N, o a 2 u v 2 v u 3 2 v. Il suffit d appliquer la propositio comparaiso de deux séries. 3 2, doc O fait déjà beaucoup de choses e comparat avec des séries géométriques ou de Riema. Exemples.. Si (u ) = ( (+) α +si ) avec α > 0, les termes gééraux u et sot strictemet positifs α et o a lim =. Doc la série de terme gééral u est de même ature que la série u α de Riema d exposat α. Elle coverge si et seulemet si α >. 2. Soit (u ) = ( l(+) ). O peut voir que lim (+) u = 0, doc que pour assez grad, 0 u 3 2, ce qui doe 0 u. Les deux séries sot à termes positifs. La 3 2 série de Riema d exposat 3 2 coverge ( 3 2 > ) et majore celle de terme gééral u, doc 5

6 celle-ci coverge aussi. 3. Soit u = + l(+2). O a lim u = +, doc pour assez grad, u > 0, d où l o déduit la divergece de la série de terme gééral u. 4.4 Séries absolumet covergetes. Défiitio. Soit (u ) ue suite réelle ou complexe. Dire que la série de terme gééral u est absolumet covergete sigifie que la série de terme gééral (réel positif) u est covergete. Propositio 4.. Ue série absolumet covergete est covergete. Attetio! La réciproque est fausse. La série harmoique alterée de terme gééral ( ) pour est pas absolumet covergete, mais o verra e 4.5 qu elle coverge. Ue série qui coverge mais est pas absolumet covergete est dite semi-covergete. Démostratio. Supposos tous les termes u réels. Pour tout etier, o ote u + = sup(u, 0) et u = sup( u, 0) les parties positives et égatives de u ; o a alors 0 u + u et 0 u u. Les séries ayat respectivemet pour terme gééral u + et u sot covergetes d après le premier critère de comparaiso. Comme u = u + u pour tout, le résultat résulte de la propositio 2.4. Pour des termes complexes, o ote pour tout N, u = a + ib, où a et b sot réels ; o a a u et b u. Les séries (réelles) ayat respectivemet pour terme gééral a et b sot absolumet covergetes d après le premier critère de comparaiso, doc covergetes d après ce qui précède. Le résultat résulte à ouveau de la propositio 2.4. Exemples. (a) Si (u ) = ( ( ) ), o a ( u 2 ) = ( ), la série est covergete, doc la série u 2 2 est absolumet covergete. (b) Soit z C z et (u ) = ( z + l(+2) ) ; o a ( u ) = ( + l(+2) ). O peut essayer d appliquer le critère de d Alembert à la série de terme gééral strictemet positif u ; o u a lim + u = z. Doc : (i) si z <, la série u coverge, doc la série de terme gééral u est absolumet covergete (a fortiori covergete) ; (ii) si z >, o a lim u = +, doc la série de terme gééral u est grossièremet divergete. Si z =, ce critère e permet pas de coclure. Mais das ce cas, o a u = + l(+2) et o a vu plus haut que cette série diverge. Si z =, la série diverge ; sio, la série u est pas absolumet covergete (cela e préjuge pas de sa covergece ou de sa divergece). 6

7 4.5 Séries alterées. Défiitio. La série de terme gééral réel u est alterée si le terme gééral u est alterativemet positif ou égatif, c est-à-dire - soit N, u = ( ) u, - soit N, u = ( ) + u. Exemples. (a) La série de terme gééral l( + ( ) + ). (b) La série harmoique alterée de terme gééral ( ),. Propositio 4.2. Si la série de terme gééral u est alterée et si la suite ( u ) décroît vers 0, la série est covergete. Das ce cas, pour tout N, le reste R = + u k = (S + S ) a le sige de u + et vérifie R u +. k=+ Démostratio. Supposos par exemple que les termes d idices pairs sot positifs, les termes d idices impairs égatifs et que ( u ) décroît vers 0. Pour tout etier, o a : S 2+2 S 2 = u u 2+ = u 2+2 u 2+ 0, S 2+3 S 2+ = u u 2+2 = u u 2+2 0, S 2 S 2+ = u 2+ = u Doc la suite (S 2 ) est décroissate, majore la suite (S 2+ ) qui est croissate et lim (S 2+ S 2 ) = 0. Fialemet, les deux sous-suites (S 2 ) et (S 2+ ) sot adjacetes. Elles ot ue limite commue S et o a vu que das ce cas, la suite (S ) coverge aussi vers S. De plus pour tout N, o a S 2+ S 2+3 S S 2+2, doc D où le résultat. 0 R 2+ = S S 2+ S 2+2 S 2+ = u 2+2 u 2+3 = u 2+3 = S 2+3 S 2+2 S S 2+2 = R Commetaire. Si o approche la somme S + par S, l erreur commise est R. O peut doc estimer cette erreur à partir de la majoratio précédete. Exemples. (a) pour z =, la série de terme gééral u = (z) + l(+2) est alterée et ( u ) décroît vers 0, doc cette série coverge. (b) La série harmoique alterée coverge. Elle e coverge pas absolumet. C est u exemple de série semi-covergete. Pour N, o a R (+). La covergece est lete. 7

8 Exercice. Pour N, motrer que 0 ( x + x ( ) x ) dx = l 2 + x+ 0 ( ) +x dx, ( ) puis que k k+ l 2 0 x+ dx +2. (Comparer avec la majoratio du reste de la k=0 série harmoique alterée obteue ci-dessus.) E déduire + ( ) k k = l 2. k= 4.6 Développemet décimal d u réel Soit (a ) ue suite de ombres etiers compris etre 0 et 9, avec a 0 = 0. Pour N N, o ote x N = N a 0 la somme partielle d ordre N de la série de terme gééral a = 0 ; c est u ombre décimal ; e écriture décimale, o le ote 0, a... a N ; o a. 0 x N = N = a N = ( 0 )N+ < ( ) = D après (*), la série coverge vers u réel x = lim x N = + a N + 0 de l itervalle [0, ] que l o = ote x = 0, a a 2... a N.... O dit alors que (a ) est u développemet décimal de x. Pour tout N N, le reste x x N est positif et vérifie : x x N = + =N+ a + 0 N+ 9 0 = ( 0 )N, ( ) L égalité a lieu si et seulemet si a = 9 pour tout N +. Aisi lorsque a N 9, o a 0, a a 2... a N = 0, a a 2... a N où a N = a N +. U développemet qui e statioe pas à 9 est dit propre. Das ce cas, pour tout etier N, l iégalité das (**) est stricte : 0 x x N < 0 N et o obtiet x N = 0 N E[0 N x] et a N+ = E[0 N+ (x x N )]. ( ) Par suite, si x [0, [ admet u développemet propre 0, a a 2... a N......, celui-ci est uique. Les ombres décimaux de [0, [ sot les seuls à avoir deux développemets, u développemet propre qui statioe à 0 et u développemet, dit impropre, qui statioe à 9. Théorème 4.3. U réel x [0, [ a u développemet décimal propre et u seul. 8

9 Démostratio. Soiet (x N ) et (a N ) les suites défiies à partir de x par les relatios (***). Fixos u etier N. Par costructio, a N+ est u etier et o a a N+ 0 N+ (x x N ) < a N+ + ; doc E[0 N+ x] = 0 N+ x N + a N+ et x N+ = x N + a N+ ; de plus, a 0 N+ N+ 0 N+ (x x N ) < 0 et 0 0 N+ (x x N ) < a N+ +, doc a N+ est u etier compris etre 0 et 9. Par récurrece sur N, o obtiet N N, x N = N = a 0 = 0, a a 2... a N. Efi, puisque N N, 0 x x N < 0 N, o a lim x N = x. La suite (a ) est doc u développemet décimal de x. Si le développemet est impropre, il existe u N tel que x = 0, a a 2... a N 9999 ; mais alors, 0 N (x x N ) =, ce qui cotredit la défiitio de x N. Remarque. U réel x [0, [ est décimal si et seulemet si so développemet propre statioe à 0. O peut motrer que x est ratioel si et seulemet si so développemet propre est périodique à partir d u certai rag. Exercice. Calculer 0, , Complémets. Desité de Q das R. D après la sectio précédete, tout réel est limite d ue suite de décimaux. O e déduit que das tout itervalle ouvert de R, il existe u ratioel (et même u ombre décimal). O dit que Q est dese das R. Défiitio. U esemble o vide E est déombrable s il existe ue suite (u ) d élémets de E telle que E soit l esemble des termes u (autremet dit si o peut uméroter les élémets de E). Exemples. Evidemmet N est déombrable. Pour p N, le sous-esemble fii {, 2..., p} de N est déombrable (predre (u ) = (, 2,..., p, p, p,...)). Il est facile de motrer que Z et Q sot déombrables. Théorème. L esemble des réels est pas déombrable. Démostratio. Supposos R déombrable. C est l esemble des termes d ue suite. O e extrait ue suite (u p ) dot [0, [ est l esemble des termes. Pour p N, o ote (a (p) ) le développemet propre de u p et o pose a p = 0 si a p 0, a p = 8 si a p = 0, de sorte que a p a (p) p et a p 9. Soit x le réel de développemet (a p). Ce développemet est propre et est celui d aucu des u p. Mais x [0, [. O obtiet doc ue cotradictio. 9

10 5 Complémets Cette sectio est pas au programme de l exame, mais vu l importace des otios et résultats ici abordés e 5. et 5.2, il est (très) recommadé pour la suite d e predre coaissace, quitte à laisser de côté les démostratios. 5. Suites extraites. O fixe ue suite de ombres réels ou complexes (u ). Défiitio. Ue suite extraite (ou ue sous-suite) de (u ) est ue suite de la forme (u s() ) où s : N N est ue applicatio strictemet croissate. Exemples. - La suite (u 2 ) est ue sous-suite de la suite (u ). (O pred s() = 2.) De même pour (u 2). - Si (v ) = (u 2 ), la sous-suite (v 3 ) de (v ) est ue sous-suite de (u ), (v 3 ) = (u 6 ). - Plus gééralemet, ue sous-suite d ue sous-suite de (u ) est ue sous-suite de (u ). (Predre v = u s() et w = v t(). O obtiet w = u s t().) Propositio. Covergece et sous-suites. Soit l R {+, }. Si lim u = l, pour toute sous-suite (u s() ) de (u ), o a aussi lim u s() = l. Corollaire. S il existe deux sous-suites de (u ) qui ot des limites différetes, la suite (u ) a pas de limite. Exemples. - (a) O a déjà vu ces résultats pour les deux sous-suites (u 2 ) et (u 2+ ). - (b) La suite (u ) = (cos( 2π 3 )) diverge. Théorème de Bolzao-Weierstrass (B. P. Bolzao : ; K. T. Weierstrass : ) Soit (u ) ue suite réelle ou complexe. Si (u ) est borée, (u ) a ue sous-suite covergete. Démostratio. Supposos (u ) réelle et borée. Soiet a et b deux réels tels que pour tout etier, o a a u b. Pour K N, otos H(K) la propriété : il existe des segmets [a 0, b 0 ], [a, b ],..., [a K, b K ] tels que [a K, b K ]... [a, b ] [a 0, b 0 ] = [a, b] et vérifiat pour tout k K, les deux coditios suivates : (i) b k a k = b a 2 k (ii) l esemble des idices tels que u appartiee à [a k, b k ] est u esemble ifii. Par récurrece sur K, la propriété H(K) est vraie pour tout K N ; ceci résulte des poits () et (2) suivats : 0

11 () La propriété H(0) est évidete. (2) Soit K N. Supposos H(K) vérifiée. Notos m le milieu du segmet [a K, b K ]. S il existe ue ifiité d idices tels que u appartiee à [a K, m], o pose a K+ = a K et b K+ = m ; sio, il existe forcémet ue ifiité d idices tels que u appartiee à [m, b K ], o pose a K+ = m et b K+ = b K. Das les deux cas, les coditios (i) et (ii) sot vérifiées pour k = K +. O e déduit H(K + ). O a costruit aisi deux suites (a k ) et (b k ) qui sot adjacetes ; elles ot doc ue limite commue l et pour tout etier k, o a a k l b k. Pour K N, otos maiteat H (K) la propriété : il existe des etiers s(0), s(),..., s(k) tels que 0 = s(0) < s() <... < s(k) et pour tout k K, u s(k) [a k, b k ]. () La propriété H (0) est évidete. (2) Soit K N. Supposos H (K) vérifiée. L esemble des idices tels que u appartiee à [a K+, b K+ ] état ifii, il e existe au mois u qui est strictemet plus grad que s(k) ; o défiit s(k + ) comme le plus petit d etre eux. O e déduit H (K + ). Les poits () et (2) et u raisoemet par récurrece sur K motret que la propriété H (K) est vraie pour tout K. O a aisi costruit ue sous-suite (u s(k) ) telle que pour tout k N, a k théorème des gedarmes motre alors que cette sous-suite coverge vers l. u s(k) b k. Le Le cas où (u ) est ue suite complexe borée se ramèe au précédet. E effet, si pour etier o écrit u = a + ib où a et b sot réels, les deux suites (a ) et (b ) sot réelles borées. O peut extraire de (a ) ue sous-suite covergete (a s() ), de limite a, puis extraire de (b s() ) ue sous-suite covergete (b s t() ) de limite b. La sous-suite (u s t() ) coverge alors vers a + ib. Ce théorème est d ue très grade importace. Il fourit ombre de résultats décisifs e aalyse, par exemple : Corollaire. Ue foctio f : [a, b] R qui est cotiue sur l itervalle boré [a, b] est borée. Démostratio. O raisoe par l absurde, e supposat que f est pas borée ; par exemple f est pas majorée. Ceci sigifie que pour tout M R, il existe u x [a, b] tel que f(x) M (écrire la défiitio de f majorée et e predre la égatio). E particulier, pour tout N, o peut trouver u élémet x [a, b] tel que f(x ). O a doc lim f(x ) = +. La suite (x ) est borée. Par le théorème de Bolzao-Weierstrass, elle possède ue sous-suite (x s() ) qui coverge vers ue limite l. Comme pour tout N, o a a x s() b, e passat à la limite, o trouve a l b. De plus, f est cotiue, doc o a lim f(x s()) = f(l). Mais d après ce qui précède, o a aussi lim f(x s()) = +. D où ue cotradictio.

12 5.2 Suites de Cauchy Prélimiaire. Soit (u ) ue suite covergete (réelle ou complexe) de limite l. Fixos ε > 0. O sait que pour assez grad, u approche l à ε près. O e déduit que pour des idices et p assez grads, u et u p sot proches à ε près : e effet, o peut trouver u etier N tel que N, u l < ɛ 2. Alors, pour tous les etiers et p tels que N et p N, o a u u p u l + u p l < ɛ 2 + ɛ 2 = ε. O obtiet la propriété : ε > 0, N N, N, p N, ( N et p N u p u < ε) () Ceci coduit à la défiitio : Défiitio : O dit qu ue suite (u ) de ombres réels (ou complexes) est ue suite de Cauchy si elle vérifie la propriété (). (Cauchy : ) Das cette propriété, o met e évidece les écarts etre deux termes de la suite, la limite l apparaît plus. D après ce qui précède, ue suite covergete est ue suite de Cauchy. L itérêt de la otio de suite de Cauchy résulte du théorème fodametal suivat. Théorème : Ue suite de ombres réels (ou complexes) est covergete si et seulemet si c est ue suite de Cauchy. Commetaire : Le ses le plus utile est : (u ) suite de Cauchy de réels (ou de complexes) = (u ) covergete Cette implicatio permet de prouver la covergece d ue suite de réels (ou complexes) sas faire iterveir la limite l, e particulier das le cas où o a pas d idée a priori sur ue limite évetuelle. Démostratio. Supposos que (u ) est ue suite de Cauchy. E preat ɛ =, o trouve u etier N 0 tel que pour N 0, o a u u N0 <, doc u u N0 +. La suite (u ) est doc borée par sup{ u 0,..., u N0, u N0 + }. E utilisat le théorème de Bolzao - Weierstrass, o trouve ue sous-suite (u s() ) covergete, de limite l. Motros qu alors la suite (u ) coverge vers l. Fixos ɛ > 0, arbitrairemet petit. Comme la sous-suite (u s() ) coverge vers l, il existe N tel que N, u s() l < ε 2 ; d autre part, par défiitio d ue suite de Cauchy, il existe N 2 tel que pour N 2 et p N 2, u u p < ε 2. Soit N = sup(n, N 2 ) et N. O a N N doc u s(n) l < ε 2 ; d autre part, o a 2

13 N N 2 et s(n) N N 2, doc u u s(n) < ε 2. O obtiet N, u l < ɛ. D où la covergece de (u ) vers l. Exercice. O ote f la foctio f : x + 2 si x. Soit (u ) la suite vérifiat u 0 = et u + = f(u ) pour tout N. (i) Motrer que f est dérivable et que sup f (x) 2. x R (ii) E déduire que pour tout N, o a u + u 2 u u 0, puis que 2 + u +p u 2 pour tous les etiers et p. (iii) E déduire que (u ) est ue suite de Cauchy. Elle coverge doc vers ue limite l, qui est u poit fixe de f. (iv) Motrer que pour tout etier, o a l u 2. Trouver tel que u l 0 0. Commetaire. La méthode utilisée das cet exercice pour motrer que f a u poit fixe se gééralise à des foctios dérivables telles que sup f (x) K où 0 K <. x R Des ratioels aux réels. Ue suite de Cauchy dot les termes sot ratioels a ue limite réelle, mais celle-ci est pas forcémet ratioelle. Par exemple, la suite de Héro, défiie par u 0 = 2 et u + = 2 (u + 2 u ) pour tout etier est ue suite de ratioels covergete, doc ue suite de Cauchy, mais sa limite 2 est irratioelle. De même les suites ayat respectivemet pour terme gééral u = +! + 2! ! et v = u +! sot adjacetes doc coverget das R (et sot des suites de Cauchy). Ce sot des suites de ratioels. Mais la limite est pas ratioelle. Pour costruire R à partir de Q, l idée est de compléter Q par les limites des suites de Cauchy de ratioels. 5.3 Elémets sur la costructio de R. O a supposé cous au départ les esembles N, Z, Q et R et leurs propriétés usuelles cocerat l additio, la multiplicatio et la relatio d iégalité. Mais commet peut-o costruire de tels esembles? L existece d u esemble d etiers aturels ad hoc est pas évidete. Peao la doait e axiome ; aujourd hui, o la déduit d ue théorie axiomatique des esembles (qui pose elle-même des problèmes de fodemets). Mais il est (assez) facile de costruire l esemble Z des ombre relatifs à partir de N ; il s agit d augmeter l esemble N de l esemble des etiers relatifs égatifs et de pouvoir faire des soustractios etre deux relatifs quelcoques. E gros, voici commet o procède. 3

14 Supposat le problème résolu, o observe qu o peut costruire ue applicatio ϕ : N N Z, (m, ) m. Tous les relatifs peuvet être obteus aisi. Si a Z, a est l image de tous les couples (m, ) tels que m = a. (Si a est positif, a est e particulier l image de (a, 0) ; si a est égatif, a est e particulier l image de (0, a).) Ceci reviet à cosidérer u relatif comme ue différece de deux etiers aturels ou comme u esemble de couples d etiers aturels. O observe que deux couples (m, ) et (m, ) ot la même image si et seulemet si m = m, c est-à-dire si et seulemet si m + = + m. L avatage de cette relatio est qu elle peut-être défiie sas supposer a priori l existece de Z. Partat de N, cela coduit à cosidérer pour u couple x = (m, ) N N, l esemble x des couples (m, ) tels m + = + m (das N) et à défiir u etier relatif comme u esemble x. Pour x = (m, 0), o ote ecore m le relatif x, ce qui permet d idetifier N à u sous-esemble de Z. Il faut ecore étedre l additio, la multiplicatio et la relatio de N à Z, de sorte que si x = (m, ), o ait x = m (das Z) et que l esemble des relatifs aisi costruit ait les propriétés attedues. La costructio de l esemble des ratioels à partir de Z relève du même pricipe : cette fois, il faut disposer de l iverse d u ratioel o ul et pouvoir faire des divisios. Supposat le problème résolu, o observe qu o peut costruire ue applicatio ϕ : Z Z Q, (p, q) p q. O observe que deux couples (p, q) et (p, q ) ot la même image si et seulemet si pq = p q. Cela coduit à cosidérer pour u couple x = (p, q) Z Z, l esemble x des couples (p, q ) tels que pq = p q (das Z) et à défiir u ratioel comme u esemble x. Pour x = (p, ), o idetifie le relatif p au ratioel x. Puis o défiit ue additio, ue multiplicatio et ue relatio de sorte que si x = (p, q) o ait p q = x (das Q) et qu o ait les propriétés voulues. Pour costruire R à partir de Q, l idée est de compléter Q par les limites des suites de Cauchy de ratioels. Supposos R déjà costruit. O ote C l esemble des suites de Cauchy de ombres ratioels. O costruit l applicatio ϕ : C R, (u ) lim u. O a vu qu u réel x est limite d ue suite de ombres décimaux, doc tous les réels sot obteus aisi. Maiteat, deux suites de Cauchy (u ) et (v ) ot la même limite si et seulemet si lim (u v ) = 0. O s appuie sur cette relatio pour défiir les réels. Ue petite difficulté est que das la défiitio des suites covergetes de réels, o a utilisé des ε réels : ε R +, N N, N, ( N u l < ε) () 4

15 De même pour les suites de Cauchy : ε R +, N N, N, p N, ( N et p N u p u < ε) (2) Mais, il est facile d observer qu o a des défiitios équivaletes e se restreigat à des ε ratioels ou même de la forme p, p N : e effet, d après la propriété d Archimède, pour tout ε R +, il existe p N tel que p < ε. Partat de Q, o dira doc qu ue suite de ratioels coverge das Q vers le ratioel l si ε Q +, N N, N, ( N u l < ε) ( ) et que c est ue suite de Cauchy si ε Q +, N N, N, p N, ( N et p N u p u < ε) (2 ) Puis, pour (u ) C, o ote u l esemble des suites (v ) C telles que lim (u v ) = 0 et o défiit u réel comme u esemble u. Il est pas difficile à partir de là de défiir ue somme, u produit et ue relatio d iégalité das l esemble des réels qui e fot u corps commutatif totalemet ordoé et archimédie, comme éocé das la première sectio. La défiitio des réels à partir des suites de Cauchy de ratioels permet de motrer que les suites de Cauchy de réels coverget vers u réel. O retrouve esuite la propriété des segmets emboîtés et doc toutes les propriétés qui e ot été déduites. 5

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Table des matières. Aller à la page suivante

Table des matières. Aller à la page suivante CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Chapitre 3 Séries umériques 3. Préparatio Défiitio 3..2 O appelle série de terme gééral u et o ote u (qui se lit «série de terme gééral u»), où (u ) N R N, la suite de terme

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes SUITES ET FONCTIONS. Espaces vectoriels ormés réels ou complexes.. Normes et distaces. Exercice... F Soit E l espace vectoriel des foctios de classe C sur [a, b], o pose Nf = fc + f où c [a, b], f désigat

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

collection odyssée Livre du professeur Nouveau programme François BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Munster

collection odyssée Livre du professeur Nouveau programme François BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Munster collectio odyssée MATHÉMATIQUES T le S Livre du professeur Eseigemet spécifique Eseigemet de spécialité Sous la directio de éric SIGWARD Nouveau programme IA-IPR de mathématiques de l académie de Strasbourg

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret Uiversité Pierre et Marie Curie Licece de Mathématiques (3ème aée) Aée 2004/2005 Probabilités Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopié est destié aux étudiats de la Licece (3ème aée) de Mathématiques

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière CORRECTION EXERCICES TS /5 CHAPITRE 3 Correctio des exercices sur la ature odulatoire de la lumière Correctio exercice : idice d u verre et réfractio. La radiatio = 530 m est verte et la radiatio = 680

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Terminale S. 1. Divers

Terminale S. 1. Divers Termiale S 1 Divers Bézout 3 Quadratique 4 Divisibilité 5 Equatio diophatiee 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) 7 Base de umératio 8 Base de umératio 3 9 Somme des cubes 10 PGCD 11 Somme des diviseurs

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire SPECIALITE TS ( PHYSIQUE ) : FICHE CURS 6 1/5 MDES PRPRES DE IBRATI Ce qu'il faut reteir Modes propres de vibratio ; iterprétatio odulatoire 1. Productio d u so à l aide d u istrumet de musique U istrumet

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité

Plus en détail

Divisibilité, division euclidienne, congruences

Divisibilité, division euclidienne, congruences Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces Résolutio de problèmes Des multiples et des diviseurs. Le code sigifie «allumée» et le code «éteite». lampe étape étape étape étape étape 5 étape 6 suivates 5

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

= e 1, où e est la base des logarithmes népériens ; la relation de récurrence : n I N, u n+1

= e 1, où e est la base des logarithmes népériens ; la relation de récurrence : n I N, u n+1 ERREURS D'ARRONDIS ET CALCULATRICES par Christia Vassard et Didier Trotoux L'idée de cet article ous a été ispirée par u exemple illustrat ue cotributio de Jea-Michel Muller ("Ordiateur e quête d'arithmétique"

Plus en détail

CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) PROGRAMME (A partir de Septembre 2) MATHEMATIQUES Secode aée (Ce ouveau programme présete des modificatios par rapport à l'acie programme) ALGÈBRE LINÉAIRE

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

THEORIE ERGODIQUE ET APPLICATIONS

THEORIE ERGODIQUE ET APPLICATIONS THEORIE ERGODIQUE ET APPLICATIONS TER de Master ROUSSEAU Emmauel VOISIN Nathalie 5 jui 2007 Mouvemet Browie (vue d artiste) 2 INTRODUCTION 3 Itroductio E mécaique classique o étudie l évolutio au cours

Plus en détail

Correction EDHEC 2007 Voie scienti que

Correction EDHEC 2007 Voie scienti que EDHE 7 ES Exercice Page orrectio EDHE 7 Voie scieti que La correctio comporte 4 pages. Exercice. Pour tout etier o ul, la foctio x 7! e x x est cotiue sur R e tat que quotiet (dot le déomiateur e s aule

Plus en détail

EXERCICES D OPTIQUE GEOMETRIQUE ENONCES

EXERCICES D OPTIQUE GEOMETRIQUE ENONCES EXERCICES D PTIQUE GEMETRIQUE ENNCES Exercice 1 : Vitre Motrer que la lumière est pas déviée par u passage à travers ue vitre. Pour ue vitre d épaisseur 1 cm, que vaut le décalage latéral maximal? Si la

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio,

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs Licece de mathématiques, 3 ième aée Bruo Saussereau Aée uiversitaire 203-204 Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF Scieces

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Analyse de structures de données et d algorithmes

Analyse de structures de données et d algorithmes Uiversité Paris 3 Istitut Galilée Master Math-Ifo Aalyse de structures de doées et d algorithmes Polycopié 2006-2007 Christia Lavault Table des matières Combiatoire et déombremet. Permutatios, arragemets

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

N hésitez pas à demander l aide pédagogique par voie d Internet.

N hésitez pas à demander l aide pédagogique par voie d Internet. Uité de mise à iveau UMN0 Cette première uité de mise à iveau a pour ut de vous remettre das le ai du calcul littéral e faisat appel à des coaissaces idispesales pour aorder le cycle complet des UMN. Nous

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

Exercices corrigés pour le cours. Intégration 1

Exercices corrigés pour le cours. Intégration 1 Exercices corrigés pour le cours de Licece de Mathématiques Itégratio 2 INTEGATION, Feuille d exercices Exercice.. Soit f : Y ue applicatio. a. Motrer que pour toute famille (B i ) i I de parties de Y,

Plus en détail

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS1 2007-2008 Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest Préface Voici

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail