. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

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1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S N la somme des termes u dot l idice est compris etre 0 et N : S N = u u N. La suite (S N ) N N est appelée série de terme gééral u. Pour N N, le terme S N est appelé somme partielle d ordre N de la série. Exemples. (a) Pour la suite des etiers (u ) = (), o obtiet pour tout N, S N = N = N(N+) 2. (b) Si (u ) est ue suite géométrique de raiso q, q, o obtiet : N N, S N = qn+. q (c) Si (u ) = ( (+)(+2) ), o observe que pour tout etier, (+)(+2) = + +2, d où S N = N+2 pour tout etier N. (d) La série harmoique est la série dot le terme gééral u est doé par u = pour (avec u 0 = 0), de sommes partielles S N = N. (e) La série harmoique alterée est la série dot le terme gééral u est doé par u = ( ) pour (avec u 0 = 0), de sommes partielles S N = ( )N N. Utilisatio du sige Pour compacter l écriture et éviter l ambiguïté des poitillés, o ote N u (ou aussi 0 u N au lieu de u u N. - La somme S N = N u e déped que de N et pas de ; o dit que l idice est muet. O peut tout aussi bie écrire par exemple S N = N u k ; il faut seulemet predre garde à remplacer k=0 la lettre par la lettre k partout où elle apparaît. - O peut faire des chagemets d idice. Par exemple, e faisat le chagemet = +, o obtiet N + = N+ = N+ = =. u )

2 Remarque. Si (S ) est la suite des sommes partielles de la série de terme gééral u, o a u 0 = S 0 et u = S S pour > 0. Iversemet, si o se doe ue suite (v ), o peut cosidérer la suite (u ) telle que u 0 = v 0 et pour N, u = v v (c est par exemple ce qu o fait quad o étudie la mootoie de (v )). O a alors v N = cosidérer la suite (v ) comme la série de terme gééral u. N u pour tout N. O peut doc 4.2 Covergece d ue série. Défiitio 4.2. Soit (u ) ue suite réelle ou complexe et pour N N, S N = N u. Dire que la série de terme gééral u coverge (resp. diverge) sigifie que la suite (S N ) des sommes partielles coverge (resp. diverge). Das le cas coverget, lim S N N = lim u N + N + est otée + u et appelée somme de la série. Retour sur les exemples. (a) Cette série diverge. (b) La série coverge si et seulemet si q < et das ce cas, o obtiet la formule (fodametale) : + q = q. (c) E exercice. Remarque. Si deux suites ot tous leurs termes égaux à partir d u certai rag 0, les sommes partielles des deux séries correspodates diffèret d ue costate à partir du rag 0. Les deux séries sot doc de même ature (covergetes/divergetes). Autremet dit, la ature d ue série de terme gééral u e déped pas des premiers termes de la suite (u ). Propositio 4.3. Ue coditio écessaire de covergece. Si la série de terme gééral u coverge, o a lim u = 0. Démostratio. Supposos que la série coverge et soit S sa somme. Pour tout etier, o a u = S S ; doc (u ) coverge et sa limite est S S = 0. La réciproque est fausse. Exemple. Le terme gééral de la série harmoique coverge vers 0, mais la série diverge. E effet, si o suppose (par l absurde) qu elle coverge, o a lim (S 2N S N ) = 0. Mais pour N + 2

3 tout N N, o a (S 2N S N ) = 2N =N+ N 2N 2, d où ue cotradictio. Ue série dot le terme gééral e coverge pas vers 0 est dite grossièremet divergete. Propositio 4.4. Opératios sur les séries. Soiet λ u réel (ou u complexe) et (u ) et (v ) deux suites de ombres réels (ou complexes).. Si la série de terme gééral u coverge, la série de terme gééral λu coverge et + (λu ) = λ( + u ). 2. Si les deux séries de terme gééral u et v coverget, la série de terme gééral u + v coverge et + (u + v ) = ( + u ) + ( + v ). 4.3 Séries umériques à termes réels positifs Propositio 4.5. Soit (u ) ue suite dot tous les termes sot réels positifs. La série de terme gééral (u ) coverge si et seulemet si la suite de ses sommes partielles est majorée. Démostratio. La suite (S ) des sommes partielles est croissate. Si elle est majorée, elle coverge. Sio, elle diverge vers +. Défiitio. Séries de Riema. Soit α R. La série dot le terme gééral est doé par u = pour ( ) (avec u α 0 = 0) est appelée série de Riema d exposat α. Théorème 4.6. La série de Riema d exposat α est covergete si et seulemet si α >. Démostratio. Das le cas α 0, le terme gééral e coverge pas vers 0, doc la série α est grossièremet divergete. Das le cas α =, o retrouve la série harmoique qui est divergete. Das les autres cas, o compare les sommes partielles de la série avec des itégrales de la foctio t t (faire u dessi de so graphe). O a e effet, pour k 2 α Supposos < α. O obtiet, pour tout 2, S = k= k α + k=2 k k k k α k t α dt (k ) α t α dt + t α dt = + α ( α ) + α La suite (S ) est majorée doc la série (à termes réels positifs) coverge. 3

4 Supposos 0 < α <. O obtiet de même pour tout 2, S = + k=2 + (k ) α k=2 k k + t α dt t α dt = α (( + ) α ). Le terme de droite diverge vers +. Il e est de même de la suite (S ). La série est doc divergete. Exercice. Appliquer ce même procédé das le cas α = pour retrouver la divergece de la série harmoique et motrer que de plus lim ( ) l =. Propositio 4.7. Comparaiso de deux séries. Soiet (u ) et (v ) deux suites à termes réels positifs et telles que pour tout N, o a 0 u v. Alors. Si la série de terme gééral v coverge, celle de terme gééral u coverge aussi et o a + u + v. 2. Si la série de terme gééral u diverge, celle de terme gééral v diverge aussi. Démostratio. (i) Pour tout N N, o a N u N v ( ) Si la série de terme gééral v coverge, la suite de ses sommes partielles est majorée ; d après (*) la suite des sommes partielles de la série de terme gééral u est majorée et cette série est à terme positifs, doc elle coverge. L iégalité etre les deux sommes s obtiet e passat à la limite das (*). (ii) est ue coséquece immédiate de (i). Exemples.. Si (u ) = ( ), o a N, 0 u ( 2 3) ; le terme de droite est celui d ue série géométrique de raiso 2 3, qui coverge car 2 3 < ; doc la série de terme gééral u (positif) coverge aussi. 2. Si (u ) = ( log(+3) ), pour tout, o a u 0. La série de terme gééral u est doc divergete, comme la série harmoique. E comparat avec ue série géométrique, o obtiet les deux critères suivats : Propositio 4.8. Critère de d Alembert u Soit (u ) ue suite à termes réels strictemet positifs. Supposos que lim + u l R + {+ }. (i) Si l <, la série coverge. (ii) Si l >, o a lim u = + et la série diverge grossièremet. = l, où Démostratio. 4

5 (i) Supposos l < et soit q = l+ 2. Das ce cas, o a 0 l < q <. Il existe u etier 0 tel que pour 0, o ait u + u q, soit (puisque u > 0), u + qu. O e déduit 0, u q 0 u 0 = q u 0 q 0. La série géométrique de terme gééral q coverge puisque 0 q <. Le premier critère de comparaiso motre que la série de terme gééral u coverge. (ii) Supposos l > et soit q = l+ 2 si l R, q = 2 si l = +, de sorte que das les deux cas, o a < q < l. O motre de même qu il existe u etier 0 tel que pour 0, o ait u q u 0 q 0. Ici, o a lim u diverge grossièremet. q = +, doc lim u = + ; par suite la série de terme gééral Propositio 4.9. Critère de Cauchy. Soit (u ) ue suite réelle à termes positifs. Supposos que lim (u ) (i) Si l <, la série coverge. (ii) Si l >, o a lim u = + et la série diverge grossièremet. = l, où l R + {+ }. La démostratio se fait comme celle du critère de d Alembert. Exemples. (a) Si (u ) = ( 3 + ), o a N, u > 0 et u + u = 3 +, doc lim la série de terme gééral u diverge d après le critère de d Alembert. (b) Si (u ) = ( (+) ), o a N, u > 0 et (u ) = + terme gééral u coverge d après le critère de Cauchy., doc lim (u ) u + u = 3 > ; = 0 ; la série de Attetio! - II peut arriver que ( u + u ) ou u ) aiet pas de limite. u - Le critère de d Alembert (resp. de Cauchy) e permet pas de coclure lorsque lim + u = (resp. lim (u ) = ) : observer le cas des séries de Riema. Propositio 4.0. Comparaiso de deux séries 2. Soiet u et v les termes gééraux de deux séries à termes réels strictemet positifs. Si =, alors les deux séries de termes gééraux u et v sot de même ature. lim u v Démostratio. Preos ɛ = 2. Il existe N N tel que si N, o a 2 u v 2 v u 3 2 v. Il suffit d appliquer la propositio comparaiso de deux séries. 3 2, doc O fait déjà beaucoup de choses e comparat avec des séries géométriques ou de Riema. Exemples.. Si (u ) = ( (+) α +si ) avec α > 0, les termes gééraux u et sot strictemet positifs α et o a lim =. Doc la série de terme gééral u est de même ature que la série u α de Riema d exposat α. Elle coverge si et seulemet si α >. 2. Soit (u ) = ( l(+) ). O peut voir que lim (+) u = 0, doc que pour assez grad, 0 u 3 2, ce qui doe 0 u. Les deux séries sot à termes positifs. La 3 2 série de Riema d exposat 3 2 coverge ( 3 2 > ) et majore celle de terme gééral u, doc 5

6 celle-ci coverge aussi. 3. Soit u = + l(+2). O a lim u = +, doc pour assez grad, u > 0, d où l o déduit la divergece de la série de terme gééral u. 4.4 Séries absolumet covergetes. Défiitio. Soit (u ) ue suite réelle ou complexe. Dire que la série de terme gééral u est absolumet covergete sigifie que la série de terme gééral (réel positif) u est covergete. Propositio 4.. Ue série absolumet covergete est covergete. Attetio! La réciproque est fausse. La série harmoique alterée de terme gééral ( ) pour est pas absolumet covergete, mais o verra e 4.5 qu elle coverge. Ue série qui coverge mais est pas absolumet covergete est dite semi-covergete. Démostratio. Supposos tous les termes u réels. Pour tout etier, o ote u + = sup(u, 0) et u = sup( u, 0) les parties positives et égatives de u ; o a alors 0 u + u et 0 u u. Les séries ayat respectivemet pour terme gééral u + et u sot covergetes d après le premier critère de comparaiso. Comme u = u + u pour tout, le résultat résulte de la propositio 2.4. Pour des termes complexes, o ote pour tout N, u = a + ib, où a et b sot réels ; o a a u et b u. Les séries (réelles) ayat respectivemet pour terme gééral a et b sot absolumet covergetes d après le premier critère de comparaiso, doc covergetes d après ce qui précède. Le résultat résulte à ouveau de la propositio 2.4. Exemples. (a) Si (u ) = ( ( ) ), o a ( u 2 ) = ( ), la série est covergete, doc la série u 2 2 est absolumet covergete. (b) Soit z C z et (u ) = ( z + l(+2) ) ; o a ( u ) = ( + l(+2) ). O peut essayer d appliquer le critère de d Alembert à la série de terme gééral strictemet positif u ; o u a lim + u = z. Doc : (i) si z <, la série u coverge, doc la série de terme gééral u est absolumet covergete (a fortiori covergete) ; (ii) si z >, o a lim u = +, doc la série de terme gééral u est grossièremet divergete. Si z =, ce critère e permet pas de coclure. Mais das ce cas, o a u = + l(+2) et o a vu plus haut que cette série diverge. Si z =, la série diverge ; sio, la série u est pas absolumet covergete (cela e préjuge pas de sa covergece ou de sa divergece). 6

7 4.5 Séries alterées. Défiitio. La série de terme gééral réel u est alterée si le terme gééral u est alterativemet positif ou égatif, c est-à-dire - soit N, u = ( ) u, - soit N, u = ( ) + u. Exemples. (a) La série de terme gééral l( + ( ) + ). (b) La série harmoique alterée de terme gééral ( ),. Propositio 4.2. Si la série de terme gééral u est alterée et si la suite ( u ) décroît vers 0, la série est covergete. Das ce cas, pour tout N, le reste R = + u k = (S + S ) a le sige de u + et vérifie R u +. k=+ Démostratio. Supposos par exemple que les termes d idices pairs sot positifs, les termes d idices impairs égatifs et que ( u ) décroît vers 0. Pour tout etier, o a : S 2+2 S 2 = u u 2+ = u 2+2 u 2+ 0, S 2+3 S 2+ = u u 2+2 = u u 2+2 0, S 2 S 2+ = u 2+ = u Doc la suite (S 2 ) est décroissate, majore la suite (S 2+ ) qui est croissate et lim (S 2+ S 2 ) = 0. Fialemet, les deux sous-suites (S 2 ) et (S 2+ ) sot adjacetes. Elles ot ue limite commue S et o a vu que das ce cas, la suite (S ) coverge aussi vers S. De plus pour tout N, o a S 2+ S 2+3 S S 2+2, doc D où le résultat. 0 R 2+ = S S 2+ S 2+2 S 2+ = u 2+2 u 2+3 = u 2+3 = S 2+3 S 2+2 S S 2+2 = R Commetaire. Si o approche la somme S + par S, l erreur commise est R. O peut doc estimer cette erreur à partir de la majoratio précédete. Exemples. (a) pour z =, la série de terme gééral u = (z) + l(+2) est alterée et ( u ) décroît vers 0, doc cette série coverge. (b) La série harmoique alterée coverge. Elle e coverge pas absolumet. C est u exemple de série semi-covergete. Pour N, o a R (+). La covergece est lete. 7

8 Exercice. Pour N, motrer que 0 ( x + x ( ) x ) dx = l 2 + x+ 0 ( ) +x dx, ( ) puis que k k+ l 2 0 x+ dx +2. (Comparer avec la majoratio du reste de la k=0 série harmoique alterée obteue ci-dessus.) E déduire + ( ) k k = l 2. k= 4.6 Développemet décimal d u réel Soit (a ) ue suite de ombres etiers compris etre 0 et 9, avec a 0 = 0. Pour N N, o ote x N = N a 0 la somme partielle d ordre N de la série de terme gééral a = 0 ; c est u ombre décimal ; e écriture décimale, o le ote 0, a... a N ; o a. 0 x N = N = a N = ( 0 )N+ < ( ) = D après (*), la série coverge vers u réel x = lim x N = + a N + 0 de l itervalle [0, ] que l o = ote x = 0, a a 2... a N.... O dit alors que (a ) est u développemet décimal de x. Pour tout N N, le reste x x N est positif et vérifie : x x N = + =N+ a + 0 N+ 9 0 = ( 0 )N, ( ) L égalité a lieu si et seulemet si a = 9 pour tout N +. Aisi lorsque a N 9, o a 0, a a 2... a N = 0, a a 2... a N où a N = a N +. U développemet qui e statioe pas à 9 est dit propre. Das ce cas, pour tout etier N, l iégalité das (**) est stricte : 0 x x N < 0 N et o obtiet x N = 0 N E[0 N x] et a N+ = E[0 N+ (x x N )]. ( ) Par suite, si x [0, [ admet u développemet propre 0, a a 2... a N......, celui-ci est uique. Les ombres décimaux de [0, [ sot les seuls à avoir deux développemets, u développemet propre qui statioe à 0 et u développemet, dit impropre, qui statioe à 9. Théorème 4.3. U réel x [0, [ a u développemet décimal propre et u seul. 8

9 Démostratio. Soiet (x N ) et (a N ) les suites défiies à partir de x par les relatios (***). Fixos u etier N. Par costructio, a N+ est u etier et o a a N+ 0 N+ (x x N ) < a N+ + ; doc E[0 N+ x] = 0 N+ x N + a N+ et x N+ = x N + a N+ ; de plus, a 0 N+ N+ 0 N+ (x x N ) < 0 et 0 0 N+ (x x N ) < a N+ +, doc a N+ est u etier compris etre 0 et 9. Par récurrece sur N, o obtiet N N, x N = N = a 0 = 0, a a 2... a N. Efi, puisque N N, 0 x x N < 0 N, o a lim x N = x. La suite (a ) est doc u développemet décimal de x. Si le développemet est impropre, il existe u N tel que x = 0, a a 2... a N 9999 ; mais alors, 0 N (x x N ) =, ce qui cotredit la défiitio de x N. Remarque. U réel x [0, [ est décimal si et seulemet si so développemet propre statioe à 0. O peut motrer que x est ratioel si et seulemet si so développemet propre est périodique à partir d u certai rag. Exercice. Calculer 0, , Complémets. Desité de Q das R. D après la sectio précédete, tout réel est limite d ue suite de décimaux. O e déduit que das tout itervalle ouvert de R, il existe u ratioel (et même u ombre décimal). O dit que Q est dese das R. Défiitio. U esemble o vide E est déombrable s il existe ue suite (u ) d élémets de E telle que E soit l esemble des termes u (autremet dit si o peut uméroter les élémets de E). Exemples. Evidemmet N est déombrable. Pour p N, le sous-esemble fii {, 2..., p} de N est déombrable (predre (u ) = (, 2,..., p, p, p,...)). Il est facile de motrer que Z et Q sot déombrables. Théorème. L esemble des réels est pas déombrable. Démostratio. Supposos R déombrable. C est l esemble des termes d ue suite. O e extrait ue suite (u p ) dot [0, [ est l esemble des termes. Pour p N, o ote (a (p) ) le développemet propre de u p et o pose a p = 0 si a p 0, a p = 8 si a p = 0, de sorte que a p a (p) p et a p 9. Soit x le réel de développemet (a p). Ce développemet est propre et est celui d aucu des u p. Mais x [0, [. O obtiet doc ue cotradictio. 9

10 5 Complémets Cette sectio est pas au programme de l exame, mais vu l importace des otios et résultats ici abordés e 5. et 5.2, il est (très) recommadé pour la suite d e predre coaissace, quitte à laisser de côté les démostratios. 5. Suites extraites. O fixe ue suite de ombres réels ou complexes (u ). Défiitio. Ue suite extraite (ou ue sous-suite) de (u ) est ue suite de la forme (u s() ) où s : N N est ue applicatio strictemet croissate. Exemples. - La suite (u 2 ) est ue sous-suite de la suite (u ). (O pred s() = 2.) De même pour (u 2). - Si (v ) = (u 2 ), la sous-suite (v 3 ) de (v ) est ue sous-suite de (u ), (v 3 ) = (u 6 ). - Plus gééralemet, ue sous-suite d ue sous-suite de (u ) est ue sous-suite de (u ). (Predre v = u s() et w = v t(). O obtiet w = u s t().) Propositio. Covergece et sous-suites. Soit l R {+, }. Si lim u = l, pour toute sous-suite (u s() ) de (u ), o a aussi lim u s() = l. Corollaire. S il existe deux sous-suites de (u ) qui ot des limites différetes, la suite (u ) a pas de limite. Exemples. - (a) O a déjà vu ces résultats pour les deux sous-suites (u 2 ) et (u 2+ ). - (b) La suite (u ) = (cos( 2π 3 )) diverge. Théorème de Bolzao-Weierstrass (B. P. Bolzao : ; K. T. Weierstrass : ) Soit (u ) ue suite réelle ou complexe. Si (u ) est borée, (u ) a ue sous-suite covergete. Démostratio. Supposos (u ) réelle et borée. Soiet a et b deux réels tels que pour tout etier, o a a u b. Pour K N, otos H(K) la propriété : il existe des segmets [a 0, b 0 ], [a, b ],..., [a K, b K ] tels que [a K, b K ]... [a, b ] [a 0, b 0 ] = [a, b] et vérifiat pour tout k K, les deux coditios suivates : (i) b k a k = b a 2 k (ii) l esemble des idices tels que u appartiee à [a k, b k ] est u esemble ifii. Par récurrece sur K, la propriété H(K) est vraie pour tout K N ; ceci résulte des poits () et (2) suivats : 0

11 () La propriété H(0) est évidete. (2) Soit K N. Supposos H(K) vérifiée. Notos m le milieu du segmet [a K, b K ]. S il existe ue ifiité d idices tels que u appartiee à [a K, m], o pose a K+ = a K et b K+ = m ; sio, il existe forcémet ue ifiité d idices tels que u appartiee à [m, b K ], o pose a K+ = m et b K+ = b K. Das les deux cas, les coditios (i) et (ii) sot vérifiées pour k = K +. O e déduit H(K + ). O a costruit aisi deux suites (a k ) et (b k ) qui sot adjacetes ; elles ot doc ue limite commue l et pour tout etier k, o a a k l b k. Pour K N, otos maiteat H (K) la propriété : il existe des etiers s(0), s(),..., s(k) tels que 0 = s(0) < s() <... < s(k) et pour tout k K, u s(k) [a k, b k ]. () La propriété H (0) est évidete. (2) Soit K N. Supposos H (K) vérifiée. L esemble des idices tels que u appartiee à [a K+, b K+ ] état ifii, il e existe au mois u qui est strictemet plus grad que s(k) ; o défiit s(k + ) comme le plus petit d etre eux. O e déduit H (K + ). Les poits () et (2) et u raisoemet par récurrece sur K motret que la propriété H (K) est vraie pour tout K. O a aisi costruit ue sous-suite (u s(k) ) telle que pour tout k N, a k théorème des gedarmes motre alors que cette sous-suite coverge vers l. u s(k) b k. Le Le cas où (u ) est ue suite complexe borée se ramèe au précédet. E effet, si pour etier o écrit u = a + ib où a et b sot réels, les deux suites (a ) et (b ) sot réelles borées. O peut extraire de (a ) ue sous-suite covergete (a s() ), de limite a, puis extraire de (b s() ) ue sous-suite covergete (b s t() ) de limite b. La sous-suite (u s t() ) coverge alors vers a + ib. Ce théorème est d ue très grade importace. Il fourit ombre de résultats décisifs e aalyse, par exemple : Corollaire. Ue foctio f : [a, b] R qui est cotiue sur l itervalle boré [a, b] est borée. Démostratio. O raisoe par l absurde, e supposat que f est pas borée ; par exemple f est pas majorée. Ceci sigifie que pour tout M R, il existe u x [a, b] tel que f(x) M (écrire la défiitio de f majorée et e predre la égatio). E particulier, pour tout N, o peut trouver u élémet x [a, b] tel que f(x ). O a doc lim f(x ) = +. La suite (x ) est borée. Par le théorème de Bolzao-Weierstrass, elle possède ue sous-suite (x s() ) qui coverge vers ue limite l. Comme pour tout N, o a a x s() b, e passat à la limite, o trouve a l b. De plus, f est cotiue, doc o a lim f(x s()) = f(l). Mais d après ce qui précède, o a aussi lim f(x s()) = +. D où ue cotradictio.

12 5.2 Suites de Cauchy Prélimiaire. Soit (u ) ue suite covergete (réelle ou complexe) de limite l. Fixos ε > 0. O sait que pour assez grad, u approche l à ε près. O e déduit que pour des idices et p assez grads, u et u p sot proches à ε près : e effet, o peut trouver u etier N tel que N, u l < ɛ 2. Alors, pour tous les etiers et p tels que N et p N, o a u u p u l + u p l < ɛ 2 + ɛ 2 = ε. O obtiet la propriété : ε > 0, N N, N, p N, ( N et p N u p u < ε) () Ceci coduit à la défiitio : Défiitio : O dit qu ue suite (u ) de ombres réels (ou complexes) est ue suite de Cauchy si elle vérifie la propriété (). (Cauchy : ) Das cette propriété, o met e évidece les écarts etre deux termes de la suite, la limite l apparaît plus. D après ce qui précède, ue suite covergete est ue suite de Cauchy. L itérêt de la otio de suite de Cauchy résulte du théorème fodametal suivat. Théorème : Ue suite de ombres réels (ou complexes) est covergete si et seulemet si c est ue suite de Cauchy. Commetaire : Le ses le plus utile est : (u ) suite de Cauchy de réels (ou de complexes) = (u ) covergete Cette implicatio permet de prouver la covergece d ue suite de réels (ou complexes) sas faire iterveir la limite l, e particulier das le cas où o a pas d idée a priori sur ue limite évetuelle. Démostratio. Supposos que (u ) est ue suite de Cauchy. E preat ɛ =, o trouve u etier N 0 tel que pour N 0, o a u u N0 <, doc u u N0 +. La suite (u ) est doc borée par sup{ u 0,..., u N0, u N0 + }. E utilisat le théorème de Bolzao - Weierstrass, o trouve ue sous-suite (u s() ) covergete, de limite l. Motros qu alors la suite (u ) coverge vers l. Fixos ɛ > 0, arbitrairemet petit. Comme la sous-suite (u s() ) coverge vers l, il existe N tel que N, u s() l < ε 2 ; d autre part, par défiitio d ue suite de Cauchy, il existe N 2 tel que pour N 2 et p N 2, u u p < ε 2. Soit N = sup(n, N 2 ) et N. O a N N doc u s(n) l < ε 2 ; d autre part, o a 2

13 N N 2 et s(n) N N 2, doc u u s(n) < ε 2. O obtiet N, u l < ɛ. D où la covergece de (u ) vers l. Exercice. O ote f la foctio f : x + 2 si x. Soit (u ) la suite vérifiat u 0 = et u + = f(u ) pour tout N. (i) Motrer que f est dérivable et que sup f (x) 2. x R (ii) E déduire que pour tout N, o a u + u 2 u u 0, puis que 2 + u +p u 2 pour tous les etiers et p. (iii) E déduire que (u ) est ue suite de Cauchy. Elle coverge doc vers ue limite l, qui est u poit fixe de f. (iv) Motrer que pour tout etier, o a l u 2. Trouver tel que u l 0 0. Commetaire. La méthode utilisée das cet exercice pour motrer que f a u poit fixe se gééralise à des foctios dérivables telles que sup f (x) K où 0 K <. x R Des ratioels aux réels. Ue suite de Cauchy dot les termes sot ratioels a ue limite réelle, mais celle-ci est pas forcémet ratioelle. Par exemple, la suite de Héro, défiie par u 0 = 2 et u + = 2 (u + 2 u ) pour tout etier est ue suite de ratioels covergete, doc ue suite de Cauchy, mais sa limite 2 est irratioelle. De même les suites ayat respectivemet pour terme gééral u = +! + 2! ! et v = u +! sot adjacetes doc coverget das R (et sot des suites de Cauchy). Ce sot des suites de ratioels. Mais la limite est pas ratioelle. Pour costruire R à partir de Q, l idée est de compléter Q par les limites des suites de Cauchy de ratioels. 5.3 Elémets sur la costructio de R. O a supposé cous au départ les esembles N, Z, Q et R et leurs propriétés usuelles cocerat l additio, la multiplicatio et la relatio d iégalité. Mais commet peut-o costruire de tels esembles? L existece d u esemble d etiers aturels ad hoc est pas évidete. Peao la doait e axiome ; aujourd hui, o la déduit d ue théorie axiomatique des esembles (qui pose elle-même des problèmes de fodemets). Mais il est (assez) facile de costruire l esemble Z des ombre relatifs à partir de N ; il s agit d augmeter l esemble N de l esemble des etiers relatifs égatifs et de pouvoir faire des soustractios etre deux relatifs quelcoques. E gros, voici commet o procède. 3

14 Supposat le problème résolu, o observe qu o peut costruire ue applicatio ϕ : N N Z, (m, ) m. Tous les relatifs peuvet être obteus aisi. Si a Z, a est l image de tous les couples (m, ) tels que m = a. (Si a est positif, a est e particulier l image de (a, 0) ; si a est égatif, a est e particulier l image de (0, a).) Ceci reviet à cosidérer u relatif comme ue différece de deux etiers aturels ou comme u esemble de couples d etiers aturels. O observe que deux couples (m, ) et (m, ) ot la même image si et seulemet si m = m, c est-à-dire si et seulemet si m + = + m. L avatage de cette relatio est qu elle peut-être défiie sas supposer a priori l existece de Z. Partat de N, cela coduit à cosidérer pour u couple x = (m, ) N N, l esemble x des couples (m, ) tels m + = + m (das N) et à défiir u etier relatif comme u esemble x. Pour x = (m, 0), o ote ecore m le relatif x, ce qui permet d idetifier N à u sous-esemble de Z. Il faut ecore étedre l additio, la multiplicatio et la relatio de N à Z, de sorte que si x = (m, ), o ait x = m (das Z) et que l esemble des relatifs aisi costruit ait les propriétés attedues. La costructio de l esemble des ratioels à partir de Z relève du même pricipe : cette fois, il faut disposer de l iverse d u ratioel o ul et pouvoir faire des divisios. Supposat le problème résolu, o observe qu o peut costruire ue applicatio ϕ : Z Z Q, (p, q) p q. O observe que deux couples (p, q) et (p, q ) ot la même image si et seulemet si pq = p q. Cela coduit à cosidérer pour u couple x = (p, q) Z Z, l esemble x des couples (p, q ) tels que pq = p q (das Z) et à défiir u ratioel comme u esemble x. Pour x = (p, ), o idetifie le relatif p au ratioel x. Puis o défiit ue additio, ue multiplicatio et ue relatio de sorte que si x = (p, q) o ait p q = x (das Q) et qu o ait les propriétés voulues. Pour costruire R à partir de Q, l idée est de compléter Q par les limites des suites de Cauchy de ratioels. Supposos R déjà costruit. O ote C l esemble des suites de Cauchy de ombres ratioels. O costruit l applicatio ϕ : C R, (u ) lim u. O a vu qu u réel x est limite d ue suite de ombres décimaux, doc tous les réels sot obteus aisi. Maiteat, deux suites de Cauchy (u ) et (v ) ot la même limite si et seulemet si lim (u v ) = 0. O s appuie sur cette relatio pour défiir les réels. Ue petite difficulté est que das la défiitio des suites covergetes de réels, o a utilisé des ε réels : ε R +, N N, N, ( N u l < ε) () 4

15 De même pour les suites de Cauchy : ε R +, N N, N, p N, ( N et p N u p u < ε) (2) Mais, il est facile d observer qu o a des défiitios équivaletes e se restreigat à des ε ratioels ou même de la forme p, p N : e effet, d après la propriété d Archimède, pour tout ε R +, il existe p N tel que p < ε. Partat de Q, o dira doc qu ue suite de ratioels coverge das Q vers le ratioel l si ε Q +, N N, N, ( N u l < ε) ( ) et que c est ue suite de Cauchy si ε Q +, N N, N, p N, ( N et p N u p u < ε) (2 ) Puis, pour (u ) C, o ote u l esemble des suites (v ) C telles que lim (u v ) = 0 et o défiit u réel comme u esemble u. Il est pas difficile à partir de là de défiir ue somme, u produit et ue relatio d iégalité das l esemble des réels qui e fot u corps commutatif totalemet ordoé et archimédie, comme éocé das la première sectio. La défiitio des réels à partir des suites de Cauchy de ratioels permet de motrer que les suites de Cauchy de réels coverget vers u réel. O retrouve esuite la propriété des segmets emboîtés et doc toutes les propriétés qui e ot été déduites. 5

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