Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur.

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1 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques ( points) Exercice On donne : A = et B = Calculer les nombres A et B. Écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. 2. Calculer les quatre cinquièmes de 3 8. On appellera C le résultat donné sous forme de fraction irréductible. 3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier. Exercice 2 En faisant apparaître les étapes, calculer Donner l écriture scientifique de D. ( ) Exercice 3 On donne la fonction f définie par : f (x) = ( 4x + 1) 2 ( 3x 2)( 4x + 1) 1. a) Développer et réduire f (x). Démontrer que f (x) = 4x x + 3. b) La fonction f est elle une fonction affine? Justifier. 2. Factoriser f (x). 3. Résoudre l équation ( x )( x ) = Calculer l image de par la fonction f. Exercice 4 Aujourd hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans. Dans combien d années l âge de Pierre sera-t-il le double de l âge de Marc. Votre démarche sera bien détaillée sur la copie. (aide : appeler x le nombre d années cherché ).

2 Activités géométriques ( points) Exercice 1 Un skieur descend une piste noire [AB] suivie d une piste rouge [BC]. On donne : BH = 0 m ; BK = 13 m ; CH = 200 m ; a ABK = 26. A 1. Calcule la longueur AB de la piste noire. Arrondis au décimètre. 2. Calcule la mesure de l angle a BCH que fait la piste rouge avec l horizontale. Arrondis au degré. C 200 m B 0 m H m L K D Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = cm ; NB = cm et B 13 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. N 1. Démontrer que ce triangle est rectangle en N. 2. Calculer le sinus de l angle a DBN. Arrondir le résultat au millième. 3. En déduire la mesure de l angle a DBN arrondie au degré. Exercice 3 La figure ci-dessous n est pas à refaire sur la copie. Elle n est pas donnée en vraie grandeur. On donne AM = cm ; AB = 1 cm ; AN = 4 cm ; AC = cm et AH = 7, cm. Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D. B 1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 2. Calculer AD. Justifier. 3. Pourquoi peut-on dire que les angles a ABC et a AMN ont la même mesure? Justifier. 4. Prouver que le triangle AHB est rectangle en H.. Prouver que l aire du triangle ABC est égale à 9 fois l aire du triangle AMN. Bien expliquer.

3 Problème( points) Au cours d une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole a le choix entre 3 formules de salaire : FORMULE A: un salaire mensuel de 930. FORMULE B: une somme mensuelle de 3 à laquelle s ajoutent 40 par tonne de pêches cueillies. FORMULE C: un salaire uniquement basé sur la cueillette : 80 par tonne de pêches cueillies. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois 11 1 Salaire mensuel en euros avec la formule A Salaire mensuel en euros avec la formule B Salaire mensuel en euros avec la formule C 2. Si on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer en fonction de x le salaire correspondant à chacune des formules. 3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : f(x) = 930 g(x) = 40 x + 3 h(x) = 80 x On prendra une page entière, en plaçant l origine en bas à gauche. Unités : En abscisses : 1 cm pour une tonne de pêches En ordonnées : 1 cm pour 0 4. a) Un ouvrier ayant choisi la formule B a gagné 490 en un mois. Lire graphiquement le nombre de tonnes de pêches qu il a ramassé. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture. b) Retrouver ce résultat par un calcul.. a) Lire sur le graphique combien de tonnes de pêches faut-il ramasser pour obtenir le même salaire avec les formules B et C. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture. b) Retrouver ce résultat par un calcul. 6. Donner, en fonction du nombre de tonnes de pêches cueillies, le tarif le plus intéressant pour l ouvrier.

4 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2008 CORRECTION Activités numériques ( points) Exercice A = A = 1 + A = 1 11 A = 11 A = 1 3 B = B = B = B = B = 2. Calculer les quatre cinquièmes de 3 8. C = C = C = Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier. A + B + C = A + B + C = A + B + C = 48 A + B + C = 4 A + B + C est donc bien un nombre entier! Exercice 2 ( ) , 289

5 Exercice 3 1. a) Développer et réduire f (x). Démontrer que f (x) = 4x x + 3. f (x) = ( 4x + 1) 2 ( 3x 2)( 4x + 1) f (x) = 16x 2 + 8x + 1 ( x 2 + 3x 8x 2) 2 2 f (x) = 16x + 8x + 1 x 3x + 8x + 2 f (x) = 2 4x + 13x + 3 b) La fonction f est elle une fonction affine? Justifier. La fonction f n est pas AFFINE puisqu elle n est pas de la forme x ï ax + b. 2. Factoriser f (x). f (x) = ( 4x + 1) 2 ( 3x 2)( 4x + 1) f (x) = ( 4x + 1) 4x + 1 ( 3x 2) f (x) = ( 4x + 1) 4x + 1 ( 3x 2) f (x) = ( 4x + 1)[ 4x + 1 3x + 2] f (x) = ( 4x + 1)( x + 3) 3. Résoudre l équation ( x )( x ) Exercice = 0. Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul, donc : 4x + 1 = 0 ou x + 3 = 0 4x = 1 x = 3 x = 0,2 Les solutions de l équation sont 0,2 et 3 4. Calculer l image de par la fonction f. f ( ) = 4 ( ) ( ) + 3 f ( ) = f ( ) = f ( ) = 273 l image de par la fonction f est 273. Aujourd hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans. Dans combien d années l âge de Pierre sera-t-il le double de l âge de Marc. J appelle x le nombre d années cherché Actuellement Marc a 11 ans. Dans x années il aura 11 + x ans Actuellement Pierre a 26 ans. Dans x années il aura 26 + x ans L âge de Pierre sera le double de celui de Marc si : 26 + x = 2 (11 + x ) Je résous cette équation : 26 + x = x = 2x x 4 = x Conclusion : dans 4 ans, l âge de Pierre sera le double de celui de Marc

6 Activités géométriques ( points) Exercice 1 Un skieur descend une piste noire [AB] suivie d une piste rouge [BC]. On donne : BH = 0 m ; BK = 13 m ; CH = 200 m ; a ABK = 26. A 1. Calcule la longueur AB de la piste noire. Arrondis au décimètre. Dans le triangle ABK rectangle en K : cos a ABK = BK AB cos 26 = 13 AB 13 AB = cos26 AB 10,2 m C 200 m B 0 m H m L K 2. Calcule la mesure de l angle a BCH que fait la piste rouge avec l horizontale. Arrondis au degré. Dans le triangle BCH rectangle en H : tan a BCH = BH CH tan a BCH = a BCH 14 Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = cm ; NB = cm et B 13 cm. D 1. Démontrer que ce triangle est rectangle en N. Calculons d une part : BD 2 = 13 2 = 169 N Calculons d autre part : BN 2 + ND 2 = = = 169 On a donc BD 2 = BN 2 + ND 2 Donc le triangle DNB est rectangle en N d après la réciproque du théorème de Pythagore. 2. Calculer le sinus de l angle a DBN. Arrondir le résultat au millième. Dans le triangle DNB rectangle en N : sin a DBN = DN BD sin a DBN = 13 sin a DBN 0,38 B

7 3. En déduire la mesure de l angle a DBN arrondie au degré. On a donc : a DBN 23 Exercice 3 On donne AM = cm ; AB = 1 cm ; AN = 4 cm ; AC = cm et AH = 7, cm. Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D. 1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. a. Calculons d une part : AM AB = 1 = 1 3 b. Calculons d autre part : AN AC = 4 = 1 3 On a donc AM AB = AN AC De plus, les points A,M,B et A,N,C sont alignés dans le même ordre. Donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles d après la réciproque du théorème de Thalès. 2. Calculer AD. Justifier. c. Les droites (BM) et (HD) sont sécantes en A. d. Les droites (MD) et (BH) sont parallèles (puisque (MN) et (BC) le sont, et que D (MN) et H (BC) ) Donc d après le théorème de Thalès : AM AB = AD AH 1 = AD 7, A 7, 1 A 2, cm 3. Pourquoi peut-on dire que les angles a ABC et a AMN ont la même mesure? Justifier. Les angles a ABC et a AMN sont correspondants, et comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors ces deux angles ont la même mesure (propriété de ème ) 4. Prouver que le triangle AHB est rectangle en H. e. Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires. f. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc (AH) et (BC) sont perpendiculaires, donc AHB est rectangle en H.

8 . Prouver que l aire du triangle ABC est égale à 9 fois l aire du triangle AMN. Bien expliquer. Comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, on a une configuration de Thalès. Le triangle ABC est donc un agrandissement du triangle AMN de coefficient k = 1 = 3 Or dans un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par k 2. Donc l aire du triangle ABC est égale à 9 fois l aire du triangle AMN Problème( points) 1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois 11 1 Salaire mensuel en euros avec la formule A Salaire mensuel en euros avec la formule B 70 9 Salaire mensuel en euros avec la formule C Si on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer en fonction de x le salaire correspondant à chacune des formules. Avec la formule A : le prix sera 930 Avec la formule B : le prix sera 40x + 3 Avec la formule C : le prix sera 80x 3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : f(x) = 930 g(x) = 40 x + 3 h(x) = 80 x

9 4. a) Un ouvrier ayant choisi la formule B a gagné 490 en un mois. Lire graphiquement le nombre de tonnes de pêches qu il a ramassé. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture. Graphiquement, je lis qu il a ramassé 4, tonnes de pêches (voir les pointillés). b) Retrouver ce résultat par un calcul. Je résous l équation 40 x + 3 = x = x = 180 x = x = 4, il a ramassé 4, tonnes de pêches. a) Lire sur le graphique combien de tonnes de pêches faut-il ramasser pour obtenir le même salaire avec les formules B et C. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture. Graphiquement, je lis qu il faut ramasser 7,7 tonnes de pêches (voir les pointillés). b) Retrouver ce résultat par un calcul. Je résous l équation 40 x + 3 = 80 x 3 = 80 x 40 x 3 = 40 x x = 3 40 x = 7,7 il faut ramasser 7,7 tonnes de pêches 6. Donner, en fonction du nombre de tonnes de pêches cueillies, le tarif le plus intéressant pour l ouvrier. Pour moins de 11, tonnes environ de pêches ramassées, c est le tarif A le plus intéressant (droite rouge) pour l ouvrier. Pour plus de 11, tonnes environ de pêches ramassées, le tarif C (droite verte) est le plus intéressant.

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