Algorithmes Randomisés

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Algorithmes Randomisés"

Transcription

1 Algorithmes Randomisés Encadrant du TER : Rodolphe Giroudeau Hélène Amodéos, Benoit Lopez, Arnaud Mary, Boris Massaré 1

2 Table des matières 1 Premier exemple : le tri 4 2 Dénitions formelles Classes de complexité Les classes P et NP Machines de Turing Redénition de P et NP Classes probabilistes ou randomisées Interactions Méthode de Monte Carlo Exemple d'algorithme de Monte Carlo : coupe minimum Méthode de Las Vegas Exemples Exemple de MAX_CUT Un algorithme randomisé utilisant la méthode Monte- Carlo Exemple de MAX_SAT Un algorithme randomisé La dérandomisation Méthodes des probabilités conditionnelles Réduction de l'espace des probabilités de variables k à k indépendantes Forces et faiblesses - Conclusion 24 2

3 Introduction Un algorithme randomisé est un algorithme qui emploie un certain degré d'aléatoire dans le cadre de sa logique. En eet, un algorithme randomisé a deux entrées : l'instance du problème à résoudre et une suite de bits aléatoires correspondant aux décisions prises au hasard, contrairement aux algorithmes déterministes qui basent leurs décisions sur le résultats de tests. Fig. 1 On peut alors supposer que les algorithmes randomisés sont plus puissants que leurs homologues déterministes puisque, en réalité, tout algorithme déterministe peut être considéré comme un algorithme randomisé qui ignore la suite de bits aléatoires. On peut donc s'attendre à obtenir de meilleurs résultats avec des algorithmes randomisés. Cependant, comme nous allons le voir avec l'exemple du tri, l'algorithme déterministe et l'algorithme randomisé associé peuvent avoir la même complexité. L'intérêt de la randomisation peut sembler alors discutable. Heureusement, ce genre de situation ne se produit pas souvent, il existe de nombreux exemples où les algorithmes randomisés améliorent les performances, notamment en termes de temps. Nous allons commencer notre étude des algorithmes randomisés en examinant l'exemple du tri, puis nous donnerons quelques dénitions utiles par la suite, nous poursuivrons avec des exemples de problèmes très connus comme MAX- CUT et MAX-SAT, ensuite nous aborderons la dérandomisation et pour nir nous évaluerons les forces et les faiblesses des algorithmes randomisés. 3

4 1 Premier exemple : le tri Il existe des dizaines d'algorithmes de tri (tri à bulles, par insertion, tri rapide,...), parmi eux, certains (déterministes) comme le tri fusion, ont une complexité en O(nlogn). On a l'algorithme récursif suivant : Algorithme 1 Tri fusion Données : L une liste de nombre à trier Sortie : La liste L triée On trie les éléments deux à deux. On fusionne les listes obtenues deux à deux. On recommence l'opération précédente jusqu'à ce qu'on ait une seule liste triée. Retourner : L la liste triée On fait au pire logn operations de fusion nécessitant chacune n comparaisons, soit un algorithme en O(n logn). Maintenant, l'algorithme randomisé du tri rapide : Algorithme 2 Tri rapide randomisé Données : L une liste de n nombres à trier Sortie : La liste L triée On choisit un élément L(q) au hasard dans L. On sépare L en deux L 1 = [L(i) : i = 1..q 1] et L 2 = [L(i) : i = q + 1..n]. On recommence les deux étapes précédentes sur L 1 et L 2. Retourner : L la liste triée Cet algorithme a aussi une complexité en O(nlogn). Il était prévisible que l'algorithme randomisé n'améliore pas la complexité puisque on sait qu'on ne peut pas faire mieux que O(nlogn) pour un algorithme de tri. Cet exemple nous montre que les algorithmes randomisés ne sont pas toujours plus performants que leur équivalent déterministe. Néanmoins, comme nous allons le voir par la suite avec MAX-CUT et MAX-SAT, la présence d'aléatoire permet dans de nombreux cas d'améliorer la complexité. 4

5 2 Dénitions formelles 2.1 Classes de complexité Nous avons déjà étudié certaines classes de complexité telle que P ou NP. Nous allons d'abord rappeler ces 2 classes fondamentales en informatique et les formuler en terme de machines de Turing. Notre but est de dénir d'autres classes de complexité : les classes probabilistes de décision appelées randomisées Les classes P et NP Nous rappelons qu'un problème de décision est un problème pour lequel il admet une réponse du type OUI ou NON. On notera qu'aucune autre réponse est possible : du type "`peut-être"' ou encore "`on ne sait pas"'. On supposera ainsi que les problèmes étudiés sont décidables, c'est à dire qu'il existe un algorithme qui le résout en temps ni. Mais ceci ne veut pas dire qu'il est facile de le résoudre (en temps polynomial par exemple). Les classes de complexité qui suivent vont permettre de savoir si un problème est facile ou dicile. Dénition 2.1 La classe de complexité P est formée des problèmes de décision qui peuvent être résolus par un algorithme polynomial. La complexité d'un algorithme est dite polynomiale si elle est en O(n k ), pour un certain entier k. On dit aussi, pour abréger, que l'algorithme luimême est polynomial. Les algorithmes ecaces sont polynomiaux, i.e. les algorithmes non polynomiaux sont certainement inecaces... Dénition 2.2 La classe de complexité NP est formée des problèmes de décision qui peuvent être résolus par un algorithme polynomial non déterministe. NP correspond à Non-déterministe Polynomial mais cela ne signie en aucun cas Non Polynomial!!! De façon équivalente, c'est la classe des problèmes capable de construire un certicat. C'est à dire qu'ils admettent un algorithme polynomial capable de tester la validité d'une solution du problème. Tout algorithme non déterministe peut être simulé par un algorithme déterministe, qui parcourt récursivement l'arbre de tous les choix possibles. Par contre, la complexité d'un algorithme non déterministe est mesurée par le temps d'exécution de la plus longue branche, alors que la complexité de sa simulation déterministe est égale au temps d'exécution de l'arbre entier. Ainsi, 5

6 quand la première est polynomiale, la seconde est en général exponentielle (dès que l'arbre est susamment équilibré). En fait, il existe beaucoup de problèmes dans NP pour lesquels aucun algorithme polynomial déterministe n'est connu, ce qui semble indiquer, avec une grande vraisemblance, que la classe NP est plus large que la classe P. La réponse à la question : P = NP? est donc très probablement négative. Cependant, aucune démonstration de ce résultat négatif n'a été trouvée en 30 ans de recherche très active, d'où la célébrité de ce problème, qui intrigue tous les théoriciens de l'informatique. Dénition 2.3 Pour une classe de complexité C, on appelle la classe complémentaire de C, notée co-c : l'ensemble des langages L pour lesquels son complément est dans la classe C. Ainsi, on a : Théorème 2.1 On a P = co-p. co C = {L tel que L C} Preuve 1 On va juste le montrer pour P co-p. Pour un problème, noté p, tel que p P. On exécute cette transformation pour obtenir un problème q co-p : si la réponse donné par un algorithme polynomial à p est OUI alors celle de q est NON si la réponse à p est NON alors celle de q est OUI Ainsi, on obtient un problème décidable dans les 2 classes de complexité. La réciproque utilise ce même procédé. Théorème 2.2 De plus, P NP co-p. Preuve 2 Ce résultat est immédiat en remarquant que : P co-p par le théorème précédent P NP Le dernier point est dû au fait que s'il existe un algorithme polynomial déterministe pour résoudre un problème alors il existe aussi un algorithme non déterministe pour ce problème Machines de Turing Nous avons vu que la diérence entre P et NP se base sur la notion de déterminisme. Nous allons retrouver cette notion dans les machines de Turing. 6

7 Une machine de Turing, notée TM, est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils de calcul, tel un ordinateur et sa mémoire. Elle a été créée par Alan Turing en Son but est de donner une dénition précise au concept d'algorithme ou de procédure eective. Alors qu'une TM déterministe a au plus un choix pour passer dans l'état suivant, une machine de Turing non déterministe en a plusieurs. Ce qui signie qu'alors qu'une TM déterministe eectue une série de calculs, une TM non déterministe eectue un arbre de calculs, chaque chemin de cet arbre correspondant à une série de calculs possibles. Cette description permet facilement de voir qu'une vraie TM non déterministe, qui peut eectuer un nombre illimité de calculs en parallèle en autant de temps qu'il en faudrait pour résoudre un seul calcul n'est pas constructible dans le monde réel (nous ne pouvons construire que des TM déterministes). La TM non déterministe est donc un outil théorique. Il est toutefois possible de construire des machines qui, face à plusieurs possibilités de choisir l'état suivant, en choisissent un arbitrairement. Nous obtenons ainsi une machine qui donne un seul résultat à la fois, mais ce ne sera pas forcément toujours le même si on exécute le traitement plusieurs fois à la suite. On a vu qu'un algorithme randomisé est une procédure constructive où l'on s'autorise une opération supplémentaire : le tirage au sort. Par exemple, nous pouvons voir cela comme une série de tirage uniforme (de probabilité 1 ). Le tirage est vu comme le choix de prendre 0 ou 1 comme valeur (pour 2 un bit donné). On dénit dans la suite x comme un mot qui appartient à un langage quelconque, pourvu que ce langage soit admis par la machine de Turing utilisée. Dénition 2.4 Une machine de Turing randomisée est une TM non-déterministe où l'arbre de calcul est un arbre binaire complet, c'est à dire un arbre où toutes les branches ont la même longueur. La notion d'acceptation est dénie en comparant le nombre de chemins acceptant acc M (x) et rejettant rej M (x) où M est une TM randomisée. On parle ainsi de probabilité d'acceptation comme le quotient du nombre de chemins acceptant par le nombre total de chemins. P(M accepte x) = acc M(x) 2 t P(M rejette x) = rej M(x) 2 t avec P(x) représentant la probabilité associée à la variable aléatoire x et t le nombre d'exécutions de l'algorithme. On appelle donc tirage un calcul de 7

8 la machine menant après diérents choix aléatoires à un état soit acceptant, soit rejetant. L'intérêt de ces 2 probabilités d'acceptation et de rejet est de dénir à la fois des classes de complexité et de construire des algortihmes ecaces suivant soit la validité de la solution ou bien le temps de son exécution Redénition de P et NP Dénition 2.5 La classe P est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme polynomial A sur une TM déterministe M tel que pour n'importe quelle entrée x L, on ait : x L M accepte A(x) x / L M rejette A(x) Dénition 2.6 La classe NP est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme polynomial A sur une TM déterministe M tel que pour n'importe quelle entrée x L, on ait : x L y E, M accepte A(x, y) x / L y E, M rejette A(x, y) Avec E est l'ensemble de dénition de x, soit l'ensemble des mots du langage. Ici, y est borné par un polynôme en x où x est la longueur ou la taille de x. On peut reformuler cette dénition en remplaçant la TM déterministe par non-déterministe pour simplier les notations. Dénition 2.7 La classe NP est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme polynomial A sur une TM non-déterministe M tel que pour n'importe quelle entrée x E, on ait : x L M accepte A(x) x / L M rejette A(x) à : Ainsi, les 2 classes précédentes sont équivalentes en terme de probabilité x L P(M accepte A(x)) = 1 x / L P(M rejette A(x)) = 1 8

9 La deuxième probabilité est équivalente à : x / L P(M accepte A(x)) = 0 Le seul changement est la TM déterministe pour la classe P et nondéterministe pour NP. Le but des classes de complexité randomisé va être de se rapprocher de cette dernière caractérisation : c'est à dire d'avoir des probabilités de rejet et d'acceptation plus ou moins proche de celles de P et NP. L'unique changement sera alors l'algorithme utilisé qui ne sera plus déterministe ou non mais randomisé Classes probabilistes ou randomisées Ici, M est une TM randomisées, avec les propriétés dénies précédemment. Nous allons ici dénir de nouvelles classes de complexité qui sont : PP qui correspond à la classe Probabiliste Polynomiale RP qui correspond à la classe Randomisée Polynomiale ZPP qui correspond à la classe Probabiliste avec Zéro erreur Polynomiale BPP qui correspond à la classe Bornée Probabiliste Polynomiale Dénition 2.8 La classe PP est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme randomisé (et polynomial dans le pire des cas) A sur M tel que : x L P(M accepte A(x)) > 1 2 x / L P(M accepte A(x)) 1 2 La classe Probabiliste Polynomiale est équirépartie : c'est à dire que l'erreur probable sur la solution donnée par l'algorithme est de 1. De plus, cette 2 probabilité d'erreur reste la même quelque soit la réponse au problème, c'est à dire si l'algorithme répond OUI ou NON. Dénition 2.9 La classe RP est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme randomisé (et polynomial dans le pire des cas) A sur M tel que : x L P(M accepte A(x)) 1 2 x / L P(M accepte A(x)) = 0 On dit que l'algorithme A ne se trompe jamais lorsqu'il arme que x / L. Par contre, il peut se tromper (1 chance sur 2) quand il anonce que x L. 9

10 Dénition 2.10 ZPP = RP co-rp On comprend par cette dénition d'où vient le nom de la classe : Probabiliste avec Zéro erreur Polynomiale (ZPP). En eet, elle admet 2 algorithmes : un premier qui ne se trompe jamais quand il arme que x L (pour co-rp). et un deuxième qui ne se trompe jamais quand il arme que x / L (pour RP). Sans perte de généralité et quitte à le construire nous-même (grâce aux 2 algorithmes précédents), on peut considérer qu'un seul algorithme remplit ces 2 objectifs. Ainsi nous pouvons redénir la classe ZPP comme suit. Dénition 2.11 La classe ZPP est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme randomisé (et polynomial dans le pire des cas) A sur M tel que : x L P(M accepte A(x)) = 1 x / L P(M accepte A(x)) = 0 ZPP est donc la classe des langages décidables en temps moyen polynomial, à l'aide d'une TM randomisée et qui ne fait aucune erreur. Dénition 2.12 La classe BPP est la classe des langages L pour lesquels il existe un algorithme randomisé (et polynomial dans le pire des cas) A sur M tel que : x L P(M accepte A(x)) 3 4 x / L P(M accepte A(x)) 1 4 BPP est ainsi dénie pour permettre d'avoir une erreur des 2 côtés : à la fois quand x L avec une probabilité d'erreur de 1 4, et aussi lorsque x / L avec une probabilité d'erreur de 1 4. On aurait plus placer la borne à 1 comme pour RP mais ici le but est 2 d'acher une majorité claire. C'est à dire, qu'au moins 3 des calculs eectués 4 sur la machine sont d'accord sur la bonne réponse de l'algorithme. On peut encore diminuer l'erreur 1 avec k N ou bien k et ainsi k dénir une nouvelle classe de complexité randomisée. En fait, pour avoir une réponse juste avec forte probabilité à notre problème, il sura de faire tourner plusieurs fois l'algorithme. 10

11 2.2 Interactions Fig. 2 Interactions des classes de complexité 2.3 Méthode de Monte Carlo Dénition 2.13 Un algorithme (ou plus généralement une méthode) Monte Carlo est un algorithme randomisé qui peut retourner un résultat incorrect. Cependant, la probabilité d'erreur peut être diminuée en répétant l'exécution de ce même algorithme. Un algorithme de Monte Carlo appartient à la classe RP mais l'erreur peut seulement être faite si x L. De même, co-rp est l'ensemble des langages ayant un algorithme Monte Carlo qui peut faire une erreur seulement si x / L. C'est pourquoi, on dit aussi que BPP est la classe correspondante à la méthode de Monte Carlo. Avant que l'on ne découvre que la primalité des entiers était dans P (en 2002), on savait que ce problème était dans ZPP. Ainsi avant 2002, il n'existait pas d'algorithme déterministe en temps polynomial, sans aucune autre hypothèse. En eet, on ne peut pas prouver que le test de primalité déterministe AKS (AKS= Agrawal-Kayal-Saxena soit les noms des trois scientiques indiens qui l'ont découvert : algorithme qui détermine si un nombre est premier ou pas) a une complexité polynomiale sans l'hypothèse de Riemann généralisée (Conjecture formulée en 1859 qui arme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1, et qui 2 constitue l'un des fameux problèmes pas encore résolus en mathématiques). Les algorithmes les plus ecaces de test de primalité, d'ailleurs, sont toujours aujourd'hui des algorithmes probabilistes (comme les tests proba- 11

12 bilistes de Fermat (simple),de Miller-Rabin (inconditionnel basé sur le test déterministe de Miller) et de Solovay-Strassen(inconditionnel)). 2.4 Exemple d'algorithme de Monte Carlo : coupe minimum Dénition 2.14 Considérons un graphe non-orienté connexe G = (V, E). Nous rappelons qu'une coupe est une partition de V en 2 sous-ensembles de sommets X et Y. La valeur de la coupe C(X, Y ), notée v(c(x, Y )) est alors le nombre d'arêtes ayant une extrémité dans chacun des sous-ensembles X et Y. On appelle coupe minimale, ou MINCUT, une coupe du graphe de longueur minimale (par rapport au nombre de ses arêtes). Le problème de la coupe minimale est dans P et peut être résolu par un algortihme déterministe classique de détermination du ot maximum (Ford- Fulkerson, Karp). Mais ici, nous proposons un algorithme probabiliste simple permettant d'exhiber une coupe minimale. Dénition 2.15 Nous notons le graphe G /e avec e = {x, y} une arête de G le graphe contracté qui consiste à contracter l'arête e. La contraction de e est une opération qui consiste à fusionner les 2 sommets x et y en un seul et à supprimer l'arête {x, y} du graphe. De plus, on enlève aussi toutes les autres boucles qui auraient pu être formées lors de la contraction : c'est à dire toutes les autres arêtes de G qui pouvaient reliées à la fois x et y (on enlève une des 2 arêtes). Une autre façon de voir G /e est comme un graphe dont les sommets forment une partition de l'ensemble des sommets de départ. La contraction d'une arête correspond ainsi à remplacer 2 sommets par leur union. Algorithme 3 Min_Cut randomisé Données : G = (V, E) un graphe non-orienté pondéré Sortie : la (X, Y )-coupe minimale C H = G tant que H a plus de 2 sommets faire Choisir une arête e de H au hasard H = H /e n tant que X = {v i V tel que v i appatienne au premier sommet de H} Y = {v j V tel que v j appatienne au second sommet de H} = V \X Retourner : X et Y 12

13 L'algorithme nous donne bien une coupe mais elle n'est pas forcément minimale. L'algorithme est donc Monte Carlo car on passera toujours n 2 fois dans la boucle où n est le nombre de sommets. 2.5 Méthode de Las Vegas Dénition 2.16 Un algorithme (ou plus généralement une méthode) Las Vegas est un algorithme randomisé qui retourne toujours un résultat correct. Mais la seule variante est que son temps de terminaison peut changer entre 2 exécutions. Exemple 2.1 L'algorithme randomisé pour le QUICKSORT (Tri Rapide) applique la méthode de Las Vegas (algorithme présenté dans la première partie 1). Un algorithme de Las Vegas appartient à la classe ZPP. On dit aussi que ZPP est la classe des langages qui ont 2 algorithmes Monte Carlo : un qui ne se trompe jamais quand il arme que x L l'autre qui ne se trompe jamais quand il arme que x / L Ceci est dû à la dénition même de ZPP. 3 Exemples Rappelons la dénition de l'espérance en probabilité. Dénition 3.1 Soit P une probabilité sur un univers Ω. On appelle espérance d'une variable aléatoire discrète X in Ω, notée E(X), la valeur réelle suivante : E(X) = x X x.p (X = x) Cette dénition est celle pour X variable aléatoire discrète. C'est la dénition qui nous intéresse ici. L'espérance correspond à une moyenne probabiliste. Dénissons maintenant la notion de K-approximation randomisée. Il existe essentiellement deux types d'algorithmes d'approximation randomisés. Dénition 3.2 Soit A un algorithme randomisé polynomial pour un problème de minimisation Π. On appelle facteur d'approximation randomisé de A, la borne supérieure sur toutes les instances I, du quotient de l'espérance du poids E[A(I)] de la solution construite par A pour I sur le poids optimal 13

14 OPT(I) d'une solution pour I : sup{e[a(i)]/op T (I) : I Π}. Si ce facteur est majoré par une constante K, on dit que A est une K-approximation randomisée. Si la majoration du facteur d'approximation dépend de la taille n de l'instance considérée, on dit que A est une K n -approximation randomisée. 3.1 Exemple de MAX_CUT Dénition 3.3 Une coupe dans un graphe G = (V, E) non orienté est un ensemble d'arêtes C E, tel qu'il existe une partition des sommets en deux ensembles S et V \S, telle que C soit l'ensemble des arêtes entre les deux composantes de la partition, i.e. C = {{u, v} E : u S et v V \S}. Le poids d'une coupe est la somme des poids des arêtes qui la composent. Problème 3.1 (Coupe maximum (Max_Cut)) Etant donnée un graphe non orienté G avec des poids sur les arêtes, trouver une coupe de G de poids maximum. Ce problème est NP-dicile. Nous recherchons donc des algorithmes d'approximation Un algorithme randomisé utilisant la méthode Monte-Carlo Voici un algorithme randomisé élémentaire pour la coupe maximum. Algorithme 4 Max_Cut randomisé Données : G = (V, E) un graphe non-orienté pondéré Sortie : la (S,S')-coupe C et le poids P de la coupe S, S, P 0 Pour chaque u V, placer à pile-ou-face u dans S ou dans S. Pour chaque arête e E, P P + poids de e Retourner : C et P Cet algorithme est 1/2 - approché randomisé Preuve Soit G = (V, E) un graphe non-orienté dont tous les poids sur les arêtes valent 1. Soit OPT la solution optimale trouvée par l'algorithme. Soit X e la variable qui vaut 1 si e est dans la coupe et 0 sinon. La coupe vaut donc e E X e 14

15 Chaque arête e = {a, b} est soit dans S (a, b S), soit dans S (a, b S ), soit entre les deux (a S et b S, ou a S et b S). Par conséquent Par linéarité de l'espérance, E(X e ) = P (1).1 + P (0).0 = P (1) = 1/2 E( e E X e ) = e E E(X e ) = Nombred aretes 2 OP T 2 D'où CQFD E( e E X e) OP T 1 2 Exécutons cet algorithme sur un exemple : Exemple 3.1 Soit G=(V,E) le graphe non-orienté suivant : Fig. 3 graphe non-orienté valué G Notre algorithme randomisé tire aléatoirement, pour chaque sommet, le sous-ensemble S ou S' dans lequel il sera placé. Par exemple, l'algorithme peut renvoyer S={1,3,4,8} et S'={2,5,6,7,9}, le poids de la coupe serait donc 13, ce qui ne correspond pas à la valeur de la coupe maximum. La solution dépend clairement des données aléatoires, de plus, le temps d'exécution reste constant quelque soit le tirage, on peut donc dire que l'algorithme randomisé du problème Max_Cut est de type Monte-Carlo. 15

16 3.2 Exemple de MAX_SAT Dénition 3.4 Etant données n variables Booléennes x 1,..., x n, on appelle littéral, une variable x i ou sa négation x i. Une clause est une disjonction de littéraux : par exemple, (x 1 x 2 x 3 ). La taille d'une clause est le nombre de littéraux appartenant à cette clause. On élimine les clauses triviales (e.g., (x 1 x 2 x 1 ) et les littéraux redondants (e.g., (x 1 x 3 x 1 )). Problème 3.2 (Satisfaction maximum (Max_SAT)) Etant donné un ensemble de m clauses pondérées sur n variables booléennes x 1,..., x n, trouver une instanciation des x i qui maximise le poids total des clauses satisfaites Un algorithme randomisé Voici un algorithme randomisé élémentaire pour le problème de Satisfaction maximum. Algorithme 5 Max_Sat randomisé Données : x 1,..., x n une famille de n littéraux, c 1,..., c m une famille de m clauses Sortie : nombre de clauses satisfaites Pour chaque littéral x i, tirez la valeur de x i aléatoirement et uniformément dans {0,1}. Calculer si les clauses c j sont satisfaites en fonction des valeurs aectées aux x i. Retourner : nombre de clauses satisfaites (entier entre 1 et m), et accessoirement les valeurs aectées aux x i Propriété 3.1 L'algorithme 2 est 1/2 - approché randomisé. Preuve 3 Pour toute clause C considérée dans l'algorithme, si C est de taille k, alors la probabilité qu'elle soit satisfaite est : Pr{C est satisfaite} = 1 2 k. En eet, sans perte de généralité, on peut écrire C = (x 1... x k ). De plus, P r{c est satisfaite} = 1 P r{c n est pas satisfaite} = P r{c est satisfaite}, où C = (x 1... x k ) Pour que C soit satisfaite il faut que tous les x i soit Vrai, et puisque le tirage est uniforme dans {0,1}, on a pour 1 chance sur 2 que chaque x i soient vrai, donc 1 chance sur 2 k pour que C soit satisfaite. On a donc bien P r{c est satisfaite} = 1 2 k 16

17 . Maintenant appelons J l'ensemble de toutes les clauses. Pour toute clause C i dans J, on note X i la variable aléatoire représentant la valeur de la variable C i, on a alors En eet, E(X i ) = E(X i ) 1 2. x X i x.p r(x i = x) = 0.P r(x i = 0) + 1.P r(x i = 1) = P r(x i = 1) = P r{c est satisfaite} = 1 2 k 1 2 Notons maintenant A le nombre de clauses satisfaites par l'algorithme randomisé, et par la linéarité de l'espérance, on a E(A) = i J E(X i ) J 2. Comme J est le nombre de clauses, il est clairement supérieur à la valeur optimale OP T de l'algorithme. On a donc E(A) OP T/2, et nalement on a E(A) OP T 1 2, ce qui signie que l'algorithme est 1/2-randomisé approché. Appliquons notre algorithme sur un exemple : Exemple 3.2 Soient les cinq clauses suivantes : C 1 = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ) C 2 = (x 2 x 5 x 6 x 8 x 9 ) C 3 = (x 3 x 7 x 9 ) C 4 = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 8 ) C 5 = (x 3 x 4 x 5 x 8 ) On tire chaque littéral x i au hasard dans {0,1}, on obtient le résultat suivant : {V rai, F aux, F aux, F aux, V rai, F aux, V rai, V rai, F aux} C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 = F aux C 1 = V rai ; C 2 = V rai ; C 3 = F aux ; C 4 = V rai ; C 5 = F aux ; Le nombre de clauses satisfaites rendu par l'algorithme est donc 3. Tandis que, pour les même clauses, la valeur optimale avec un algorithme nonrandomisé est 5, soit toutes les clauses sont satisfaites. En eet, x 1 = V rai rend la première clause Vrai. x 2 = F aux rend la seconde clause Vrai. x 3 = V rai rend la troisième clause Vrai. x 4 = V rai rend la quatrième clause Vrai. 17

18 x 5 = F aux rend la dernière clause Vrai. Donc pour n'importe quelle valeur dans {0,1} pour les (x i ) i={6,7,8,9}, la valeur retournée est de 5 clauses satisfaites. Comme le problème de la coupe maximum randomisé, le problème de satisfaction maximum randomisé est de type Monte-Carlo, car pour des clauses données, deux tirages diérents peuvent donner des résultats tout à fait différents. Dénition 3.5 Max_3Sat est une restriction du problème Max_Sat à des clauses de taille inférieure ou égale à 3. Max_3Sat est donc un cas particulier de Max_Sat qui fonctionne par conséquent comme Max_Sat. 4 La dérandomisation La dérandomisation est le processus inverse de la randomisation : c'est le fait de rendre déterministe un algorithme randomisé. On a vu que la mise en place de la randomisation permettait de trouver des algorithmes ayant une meilleure complexité. Dès lors on peut se demander : pourquoi dérandomiser? Plusieurs raisons à cela. La première est que parfois une solution déterministe est souhaitée car on connaît exactement le temps de calcul de cette solution et on peut la retrouver. La seconde est que la dérandomisation permet dans certains cas de trouver de nouveaux algorithmes. Il existe plusieurs méthodes de dérandomisation, nous allons essentiellement en traiter 2 qui sont : Méthode des probabilités conditionnelles Réduction de l'espace des probabilités (variables k à k indépendantes) 4.1 Méthodes des probabilités conditionnelles Principe : Obtenir un algorithme glouton (déterministe) en faisant à chaque étape le meilleur choix aléatoire. 18

19 Fig. 4 Exemple de dérandomisation Exemple 4.1 En eectuant à chaque étape le meilleur choix aléatoire on arrive à 20$ alors que l'espérance est de 14 $ mais l'optimal vaut 40$. Ceci n'est pas un hasard. En eet, cette méthode ne permet pas toujours d'obtenir l'optimal mais on est sur de faire mieux que la moyenne. Méthode : Remplacer tous les choix aléatoires d'une valeur z pour la variable Z par le choix déterministe de z qui maximise : Moy[Sortie Z=z,choix précédents]. Regardons ce que cela donne sur un exemple concret : MAX-CUT. Algorithme 6 MAX-CUT DERANDOMISE A et B sont initialement vides Pour chaque sommet v (considéré dans un certain ordre), placer v dans l'ensemble qui maximise la valeur de la coupe actuelle entre A et B. Retourner la coupe (A,B). Le problème est de calculer la valeur moyenne conditionnelle : Soit un sommet v et deux ensembles de sommets A et B, comment varie la taille de la coupe moyenne selon que v est placé dans A ou dans B? Quelle sont les contributions des diérentes arêtes? En fait il n'est pas dicile de voir que les seules arêtes qui interviennent sont celles reliant v à A et à B. On opte donc pour le choix glouton suivant : mettre v dans l'ensemble qui a le moins d'arête avec v (ou l'ensemble dont le poids total des arêtes le reliant à v est minimal si toutes les arêtes n'ont pas le même poids). 19

20 L'algorithme précédent est une 2-aproximation du problème de la coupe maximale. Cet algorithme ne peut être ρ -approché pour ρ < 2 car dans certains cas l'algorithme donne une coupe à un facteur 2 de l'optimal, comme le montre l'exemple suivant. Exemple 4.2 Fig. 5 Famille d'instances critiques pour MAX-CUT Sur cet exemple, on voit que si on considère les sommets dans l'ordre lexicographique, l'algorithme ci-dessus va retourner une coupe dans laquelle les sommets 1 et 2 ne sont pas dans le même ensemble, ce qui implique irrémédiablement que la valeur de la coupe retournée par l'algorithme sera n+1. Or la coupe maximale est A= {1,2} et B= {3,4,...,n+2} dont la valeur est 2n. Or 2n 2 (1), ce qui signie que pour un n assez grand, la valeur de la n+1 coupe retournée par l'algorithme sera aussi proche qu'on veut de la moitié de la valeur de la coupe maximale. Autrement dit il n'existe pas d'algorithme ρ -approché pour ρ < 2 pour le problème de la coupe maximale. En eet soit ρ > 2, l'équation (1) signie qu'il existe n tel que ρ < 2n (2), ce qui est n+1 équivalent (modulo quelques transformations) à n > 2 1 (3). Ceci signi- 2 ρ e que si l'on prend un n tel que décrit par l'équation (3), alors l'équation (2) sera vériée ce qui interdit l'existence d'un algorithme ρ -approché pour ρ < 2. Cependant, on peut améliorer l'algorithme en dérandomisant l'ordre des sommets. Par exemple, on remarque que sur l'exemple précédent si on avait choisi de tester les sommets dans l'ordre 1, 3, 4, 5,..., n+1, n+2, 2 ; alors notre algorithme aurait trouvé la coupe maximale. Testons notre algorithme glouton sur l'exemple utilisé dans la partie précédente. Soit G=(V,E) le graphe non-orienté suivant : 20

21 Fig. 6 graphe non-orienté valué G L'ordre des sommets considéré est l'ordre lexicographique. Nos deux coupes A et B sont vides au début de l'algorithme. On met d'abord dans A le sommet 1. Le sommet 2 peut aller soit dans A soit dans B. Si on le met dans A, la valeur de la coupe restera 0, alors que si on le met dans B la valeur de la coupe sera 6 (valeur de l'arête {1,2}). Maintenant considérons le tableau suivant ou la première colonne correspond aux sommets dans l'ordre lexicographique, la seconde à la valeur de la coupe si le sommet i est dans l'ensemble A, la troisième à la valeur de la coupe si le sommet i est dans l'ensemble B, et la dernière donne le meilleur choix entre A et B pour le sommet i. Sommets A B A ou B B B A A B A B Notre algorithme dérandomisé nous rend donc A={1,5,6,8} et B={2,3,4,7,9}, et la valeur de la coupe (A,B) est 36, ce qui est une bonne valeur de coupe. L'algorithme ne fait plus de choix aléatoire, néanmoins le résultat dépend de l'ordre des sommets considéré. En eet, si on prend l'ordre lexicographique inversé (9 d'abord, puis 8, puis 7, etc), alors on voit que l'algorithme nous rend une valeur de 37, soit un meilleur résultat qu'avec l'ordre inverse. Ceci est dû au fait qu'à chaque étape, pour chaque sommet, on ne sait pas dans quel sous-ensemble sont les sommets suivant. On place chaque sommet par 21

22 rapport aux sommets précédemment placés dans un des deux sous-ensembles formant la coupe. Revenons à notre algorithme randomisé pour la coupe maximum, nous avions dit qu'il était de type Monte-Carlo, car le résultat dépend des bits aléatoires. Le résultat de l'algorithme dérandomisé lui ne dépend plus de bits aléatoires (puisqu'il est dérandomisé), mais il dépend de l'ordre des sommets. Reprenons maintenant l'exemple du problème Max_Sat. Le principe de l'algorithme randomisé était de tirer aléatoirement chacun des littéraux dans chaque clause. La dérandomisation, qui rappelons-le consiste à enlever l'aléatoire, consiste donc pour notre algorithme randomiser, à prendre, dans chaque clause, pour chaque variable (littéral), la valeur qui met à vrai la clause, indépendamment des autres variables de la clauses. Ceci nous donne l'algorithme suivant : Algorithme 7 Max_Sat dérandomisé Données : x 1,..., x n une famille de n littéraux, c 1,..., c m une famille de m clauses Sortie : nombre de clauses satisfaites Pour chaque littéral c j, Pour chaque littéral dans cette clause, Si le littéral a déjà été aecté à une valeur, on passe au littéral suivant. Si le littéral est un x i alors il prend la valeur 1, sinon c'est un x i, et il prend alors la valeur 0 Calculer le nombre de clauses c j sont satisfaites en fonction des valeurs aectées aux x i. Retourner : nombre de clauses satisfaites (entier entre 1 et m), et accessoirement les valeurs aectées aux x i Appliquons cet algorithme sur l'exemple donné dans la partie précédente : Soient les cinq clauses suivantes : C 1 = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ) C 2 = (x 2 x 5 x 6 x 8 x 9 ) C 3 = (x 3 x 7 x 9 ) C 4 = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 8 ) C 5 = (x 3 x 4 x 5 x 8 ) Dans la première clause : x 1 prend la valeur 1 ; x 2 prend la valeur 1, donc x 2 prend la valeur 0 ; x 3, x 4 prennent la valeur 1, x 5 prend la valeur 0 et x 6, x 7 prennent la valeur 1. Dans la seconde clause : x 2, x 5 et x 6 ont déjà été aecté ; x 8 et x 9 prennent la valeur 1. Dans les trois clauses suivantes, tous les littéraux ont déjà été aectés. Comptons le nombre de clauses satisfaites : C 1 22

23 et C 2 sont satisfaites car on a aecté aux littéraux les valeurs qui rendaient la clause vrai. Il n'est pas dicile de voir que les trois autres clauses sont aussi satisfaites, car chacune d'elles a au moins un même littéral, à la forme près (x i ou x i ) qu'un littéral d'une des deux premières clauses. Donc l'algorithme rend 5 clauses sur 5 satisfaites. Ceci est un hasard, en eet si on considère une nouvelle clause C 6 = (x 2 x 5 x 8 ), cette clause n'est pas satisfaite, puisque par la clause 1 les littéraux x 2 et x 5 sont à faux (valeur 0), et par la clause 2 le littéral x 8 est aussi à faux. On aurait donc 5 clauses sur 6 de satisfaites, à cause du fait que la satisfaction de chaque clause dépend des valeurs données aux littéraux par les clauses précédentes. On peut faire la même remarque qu'avec l'exemple de la coupe maximum, à savoir que l'algorithme randomisé dépendait de bits aléatoires, tandis que son algorithme dérandomisé dépend lui de l'ordre dans lequel on traite les littéraux. Conclusion : La dérandomisation par la méthode des probabilités conditionnelles génère un algorithme glouton au moins égal à la moyenne de l'algorithme randomisé associé. Néanmoins, elle n'est utilisable que si on peut calculer en temps polynomial la valeur de la moyenne conditionnée de l'algorithme randomisé. 4.2 Réduction de l'espace des probabilités de variables k à k indépendantes Commençons tout d'abord par rappeler la dénition d'événements k-à-k indépendants Dénition 4.1 Des événements A 1,...,A n sont k à k indépendants si pour tout i 1,...,i k on a : P{A i1... A ik } = P{A i1 }... P {A ik } Le principe général de cette méthode est d'utiliser un espace de probabilités plus petit (typiquement de taille log). Pour cela on remarque qu'on a pas besoin de n variables indépendantes (ce qui est le cas quand on les tire une par une), l'indépendance k à k sut. En eet si on a besoin de 3 variables aléatoires X, Y et Z il sut de tirer aléatoirement X et Y puis de prendre Z=X+Y. De cette façon, les 3 variables seront 2-à-2 indépendantes. On a alors besoin de log x bits aléatoires au lieu de x bits initialement, ce qui nous permet de tester toutes les possibilités et de garder la meilleure (en eet 2 lnx = x ln2 ). 23

24 5 Forces et faiblesses - Conclusion A chaque exécution d'un algorithme randomisé, les paramètres de l'exécution changent, ce qui permet d'espérer améliorer le temps de calcul (pour les algorithmes de type Las Vegas), ou la valeur de la solution (pour les algorithmes de type Monte-Carlo). En eet, n exécutions d'un algorithme déterministe renverrait n fois la même solution pour un même temps de calcul. Alors que pour les algorithmes de type Monte-Carlo, n exécutions donneront n solutions diérentes, ce qui nous permet de choisir la meilleure, et que pour les algorithmes de type Las Vegas n exécutions auront des temps de calcul diérents, on peut donc exécuter en parallèle plusieurs fois le même algorithme et ne retenir que la première solution trouvée, on peut donc ainsi minimiser le temps de calcul. De plus, la plupart du temps, les algorithmes randomisés sont plutôt naïfs et donc plus simples à écrire. Cependant, le gros inconvénient des algorithmes de type Monte-Carlo est qu'on ne peut pas borner le pire des cas. En eet, alors qu'un algorithme déterministe ρ-approché signie qu'on est au pire des cas à un facteur ρ de la solution optimale, un algorithme Monte-Carlo ρ-approché signie que l'espérence des solutions est à un facteur ρ de l'optimal, on peut donc avoir des solutions très éloignées de la meilleure solution. De la même manière, l'inconvénient majeur des algorithmes Las Vegas est que le temps de calcul peut être très important. En eet la complexité d'un algorithme Las Vegas est l'espérance du nombre d'opérations à eectuer, il se peut donc que sur une exécution la complexité soit grande. Bibliographie 1. Nicolas Schabanel - Algorithmes d'approximation et algorithmes randomisés 2. Sariel Har-Peled - Complexity classes - Randomized algorithms 3. Sanjeev Arora - Around the PCP theorem 4. Dominique Rossin - Complexité et algorithmes probabilistes 24

Au menu. Cours 7: Classes Probabilistes. Application : Calcul de la médiane. Sous menu. Retours sur quelques algorithmes.

Au menu. Cours 7: Classes Probabilistes. Application : Calcul de la médiane. Sous menu. Retours sur quelques algorithmes. Au menu Cours 7: Classes Probabilistes Olivier Bournez bournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique Retours sur quelques algorithmes Quelques résultats INF561 Algorithmes et Complexité 1 2 Sous

Plus en détail

Problème: si les tableaux que l'on trie sont déjà à peu près triés, l'algorithme n'est pas efficace.

Problème: si les tableaux que l'on trie sont déjà à peu près triés, l'algorithme n'est pas efficace. Traonmilin Yann traonmil@enst.fr MOD Algorithmique Probabiliste 1. Deux exemples 1.1. Quicksort randomisé. Dans l'algorithme de tri classique Quicksort, le pivot est choisi au début du tableau puis on

Plus en détail

UNIVERSITE SAAD DAHLAB DE BLIDA

UNIVERSITE SAAD DAHLAB DE BLIDA Chapitre 5 :. Introduction aux méthodes par séparation et évaluation Les méthodes arborescentes ( Branch and Bound Methods ) sont des méthodes exactes d'optimisation qui pratiquent une énumération intelligente

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

Modèle probabiliste: Algorithmes et Complexité

Modèle probabiliste: Algorithmes et Complexité Modèles de calcul, Complexité, Approximation et Heuristiques Modèle probabiliste: Algorithmes et Complexité Jean-Louis Roch Master-2 Mathématique Informatique Grenoble-INP UJF Grenoble University, France

Plus en détail

Complexité des algorithmes

Complexité des algorithmes Complexité des algorithmes par Robert Rolland R. Rolland, Aix Marseille Université, Institut de Mathématiques de Marseille I2M Luminy Case 930, F13288 Marseille CEDEX 9 e-mail : robert.rolland@acrypta.fr

Plus en détail

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015 M2 MPRO Optimisation dans les Graphes 2014-2015 Programmation linéaire et problèmes d'optimisation dans les graphes 1 Problèmes d'optimisation dans les graphes : quelles méthodes pour les résoudre? Théorie

Plus en détail

Chapitre I - Introduction et conseils au lecteur

Chapitre I - Introduction et conseils au lecteur Chapitre I - Introduction et conseils au lecteur Cette partie introductive situe la place de l'algorithmique dans le développement logiciel et fournit au lecteur des conseils : conseils pour bien analyser

Plus en détail

CODES CORRECTEURS D'ERREURS

CODES CORRECTEURS D'ERREURS CODES CORRECTEURS D'ERREURS Marc URO TABLE DES MATIÈRES DÉTECTION ET CORRECTION D'ERREURS... 6 CAS D'UN CANAL SANS SYMBOLE D'EFFACEMENT...6 CAS D'UN CANAL AVEC SYMBOLE D'EFFACEMENT...7 GÉNÉRATION ET DÉTECTION

Plus en détail

Analyse de la complexité algorithmique (1)

Analyse de la complexité algorithmique (1) Analyse de la complexité algorithmique (1) L analyse de la complexité telle que nous l avons vue jusqu à présent nous a essentiellement servi à déterminer si un problème est ou non facile (i.e. soluble

Plus en détail

Licence informatique - L3 Année 2012/2013. Conception d algorithmes et applications (LI325) COURS 2

Licence informatique - L3 Année 2012/2013. Conception d algorithmes et applications (LI325) COURS 2 Licence informatique - L Année 0/0 Conception d algorithmes et applications (LI) COURS Résumé. Cette deuxième séance est entièrement consacrée aux applications du principe Diviser pour Régner. Nous regarderons

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail

Espaces de probabilités.

Espaces de probabilités. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 2 Espaces de probabilités. 1. Donner un exemple d'une famille de parties d'un ensemble qui ne soit pas une tribu.

Plus en détail

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant Licence informatique - L Année 0/0 Conception d algorithmes et applications (LI) COURS Résumé. Dans cette cinquième séance, nous continuons l exploration des algorithmes de type Programmation Dynamique.

Plus en détail

TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes

TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Master Informatique 1ere année (M1) Année 2010-2011 TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Résolution du problème d'aectation généralisé par relaxation lagrangienne 1 Introduction Le

Plus en détail

Relations d ordre et relations d équivalence

Relations d ordre et relations d équivalence CHAPITRE 1 Relations d ordre et relations d équivalence 1.1 Définition Une relation sur un ensemble E est un sous-ensemble R de l ensemble E E, produit cartésien de E par lui-même. Par exemple, si E =

Plus en détail

Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction

Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction Claire Debord Le texte qui suit est une libre compilation de plusieurs textes sur le même thème, notamment ceux de Christophe Champetier

Plus en détail

Algorithmes probabilistes. Références: Fundamentals of Algortihms de Gilles Brassard et Paul Bratley Note de cours de Pierre McKenzie

Algorithmes probabilistes. Références: Fundamentals of Algortihms de Gilles Brassard et Paul Bratley Note de cours de Pierre McKenzie Algorithmes probabilistes Références: Fundamentals of Algortihms de Gilles Brassard et Paul Bratley Note de cours de Pierre McKenzie Mise en contexte: Indices: Vous êtes à la recherche d un trésor légendaire

Plus en détail

Terminologie. La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l'étude des expériences aléatoires.

Terminologie. La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l'étude des expériences aléatoires. Probabilités Terminologie Une expérience ou une épreuve est qualiée d'aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner des résultats diérents.

Plus en détail

Introduction au langage SQL

Introduction au langage SQL Introduction au langage SQL Les bases de données relationnelles Le langage SQL est un langage universel destiné à travailler sur des bases de données relationnelles. Nous considérerons ici qu'une base

Plus en détail

Mathématiques pour. l informatique

Mathématiques pour. l informatique Xavier Chanet Patrick Vert Mathématiques pour l informatique Pour le BTS SIO Toutes les marques citées dans cet ouvrage sont des marques déposées par leurs propriétaires respectifs. Illustration de couverture

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Problèmes et Algorithmes Fondamentaux III Algorithme distribué probabiliste

Problèmes et Algorithmes Fondamentaux III Algorithme distribué probabiliste Problèmes et Algorithmes Fondamentaux III Algorithme distribué probabiliste Arnaud Labourel Université de Provence 12 avril 2012 Arnaud Labourel (Université de Provence) Problèmes et Algorithmes Fondamentaux

Plus en détail

Thème : intégration d'un outil logiciel

Thème : intégration d'un outil logiciel Thème : intégration d'un outil logiciel Présentation du thème Introduit dés l'école élémentaire (par exemple avec l'utilisation de la calculatrice) De plus en plus important au cours de la scolarité (grâce

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Mini-Projet de Prolog : Solver de Sudoku

Mini-Projet de Prolog : Solver de Sudoku UNIVERSITE François Rabelais TOURS Polytech Tours-Département Informatique 64, Avenue Jean Portalis 37200 TOURS Mini-Projet de Prolog : Solver de Sudoku Encadré par : Présenté par : M. J-L Bouquard Florent

Plus en détail

Compte-rendu de projet de Cryptographie

Compte-rendu de projet de Cryptographie Compte-rendu de projet de Cryptographie Chirement/Déchirement de texte, d'images de sons et de vidéos LAMBERT VELLER Sylvain M1 STIC Université de Bourgogne 2010-2011 Reponsable : Mr Pallo Table des matières

Plus en détail

Machines de Turing. Chapitre 14 14.1. DÉFINITION ET FONCTIONNEMENT

Machines de Turing. Chapitre 14 14.1. DÉFINITION ET FONCTIONNEMENT Chapitre 4 Machines de Turing Dans ce chapitre on présente un modèle de calcul introduit dans les années 3 par Turing, les machines de Turing. Ces machines formalisent la notion de calculabilité. La thèse

Plus en détail

I) Deux propriétés importantes Propriété 1 Si A est multiple de B et B est un multiple de n, alors A est un multiple de n.

I) Deux propriétés importantes Propriété 1 Si A est multiple de B et B est un multiple de n, alors A est un multiple de n. Extrait de cours de maths de 5e Chapitre 1 : Arithmétique Définition 1. Multiples et diviseurs Si, dans une division de D par d, le reste est nul, alors on dit que D est un multiple de d, que d est un

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

Prof.É.D.Taillard. Classification automatique @Prof. E. Taillard 1 EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre

Prof.É.D.Taillard. Classification automatique @Prof. E. Taillard 1 EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre INFORMATIQUE ORIENTATION LOGICIELS CLASSIFICATION AUTOMATIQUE Prof.É.D.Taillard Classification automatique @Prof. E. Taillard EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre CLASSIFICATION AUTOMATIQUE But :

Plus en détail

Problème du voyageur de commerce par algorithme génétique

Problème du voyageur de commerce par algorithme génétique Problème du voyageur de commerce par algorithme génétique 1 Problème du voyageur de commerce Le problème du voyageur de commerce, consiste en la recherche d un trajet minimal permettant à un voyageur de

Plus en détail

Placements de tours sur les diagrammes de permutations

Placements de tours sur les diagrammes de permutations Placements de tours sur les diagrammes de permutations 5 août 0 Résumé Le problème des placements de tours consiste à compter le nombre de manières de placer k tours sur un échiquier sans que les tours

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

COURS DE DENOMBREMENT

COURS DE DENOMBREMENT COURS DE DENOMBREMENT 1/ Définition des objets : introduction Guesmi.B Dénombrer, c est compter des objets. Ces objets sont créés à partir d un ensemble E, formé d éléments. A partir des éléments de cet

Plus en détail

) 1 avec E. : «on obtient au moins une fois un 6 en n lancers». I. Méthode de dénombrement 1. Cas de deux lancers

) 1 avec E. : «on obtient au moins une fois un 6 en n lancers». I. Méthode de dénombrement 1. Cas de deux lancers première question supplémentaire. Cette méthode mène à une variable aléatoire suivant la loi binomiale. Copie n 5 : ce groupe résout très rapidement la question en considérant l'événement contraire! Heureusement

Plus en détail

Emmanuel Filiot Département d Informatique Faculté des Sciences Université Libre de Bruxelles. Année académique 2014-2015

Emmanuel Filiot Département d Informatique Faculté des Sciences Université Libre de Bruxelles. Année académique 2014-2015 INFO-F-302, Cours d Informatique Fondamentale Emmanuel Filiot Département d Informatique Faculté des Sciences Université Libre de Bruxelles Année académique 2014-2015 Problèmes Indécidables : Définition

Plus en détail

Cours/TD n 3 : les boucles

Cours/TD n 3 : les boucles Cours/TD n 3 : les boucles Où on se rendra compte qu il est normal de rien comprendre Pour l instant, on a vu beaucoup de choses. Les variables, les Si Alors Sinon, les tests avec les ET, les OU et les

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats

À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats 1 À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats Cette note est écrite comme une section 7 du chapitre VIII du livre Algèbre Commutative. Méthodes Constructives.

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Dans cette fiche, on résume quelques points techniques sur les dénombrements et la théorie des probabilités.

Plus en détail

IN 101 - Cours 05. 7 octobre 2011. Un problème concret Recherche de collisions

IN 101 - Cours 05. 7 octobre 2011. Un problème concret Recherche de collisions Un problème concret Recherche de collisions IN 101 - Cours 05 7 octobre 2011 Le paradoxe des anniversaires dit que 365 élèves sont suffisants (en moyenne) pour avoir une collision d anniversaire, deux

Plus en détail

Exercice 2. Population de Bruxelles de 18 à 65 ans selon le sexe et le statut d occupation - 2010

Exercice 2. Population de Bruxelles de 18 à 65 ans selon le sexe et le statut d occupation - 2010 Chapitre 1. Tableau à double entrée Exercices : solutions Texte provisoire. Merci pour les remarques, commentaires, suggestions Exercice 1 1.a. Population de Bruxelles selon le sexe et la nationalité Hommes

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques 8

Épreuve de Mathématiques 8 Lycée La Prat s Vendredi 10 avril 2015 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 8 Durée 4 h L usage des calculatrices est interdit. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction

Plus en détail

Programmation C++ (débutant)/les tableaux statiques

Programmation C++ (débutant)/les tableaux statiques Programmation C++ (débutant)/les tableaux statiques 1 Programmation C++ (débutant)/les tableaux statiques Le cours du chapitre 6 : les tableaux statiques Les tableaux Une variable entière de type int ne

Plus en détail

Fiche de révisions - Algorithmique

Fiche de révisions - Algorithmique Fiche de révisions - Algorithmique Rédigé par : Jimmy Paquereau 1. Généralités Algorithme : un algorithme est la description d une procédure à suivre afin de résoudre un problème donné. Il n est pas nécessairement

Plus en détail

INFO-F-302 Informatique Fondamentale Examen Session de Juin 2014

INFO-F-302 Informatique Fondamentale Examen Session de Juin 2014 INFO-F-302 Informatique Fondamentale Examen Session de Juin 2014 CORRIGÉ Documents non autorisés, durée: 2h45 1 Questions de cours (6 points) Question 1 (2pts) Donner quatre méthodes vues en cours pour

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Deuxième épreuve d admission. Exemples de sujets

Deuxième épreuve d admission. Exemples de sujets Deuxième épreuve d admission. Exemples de sujets Thème : probabilités 1) On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note la somme des deux faces obtenues. 1.a) Donner un univers associé cette expérience.

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Section d Informatique et de Systèmes de Communication

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Section d Informatique et de Systèmes de Communication ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Section d Informatique et de Systèmes de Communication Corrigé de la série 9 3 Juin 2005 1. Augmenter les poids a) Soit T l ensemble de tous les arbres couvrants

Plus en détail

Leçon n 11 Statistiques et simulations

Leçon n 11 Statistiques et simulations Leçon n 11 Statistiques et simulations C est une leçon qui se prolongera les années suivantes. Il s agit de rapprocher «les statistiques» d une notion qui sera étudiée en première «les probabilités» et

Plus en détail

Probabilités et statistique

Probabilités et statistique Probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques Fabrice Rossi Cette œuvre est mise à disposition selon les termes de la licence

Plus en détail

Commission Réseau Sémantique Universel Étude de cas n 1 : routage postal

Commission Réseau Sémantique Universel Étude de cas n 1 : routage postal Commission Réseau Sémantique Universel Étude de cas n 1 : routage postal La meilleure méthode pour mettre au point une méthode étant de la tester sur le plus grand nombre possible de cas concrets, voici

Plus en détail

SONDAGE DANS LA MISSION D AUDIT UNITE MONETAIRE. Fethi NEJI & Mounir GRAJA

SONDAGE DANS LA MISSION D AUDIT UNITE MONETAIRE. Fethi NEJI & Mounir GRAJA SONDAGE DANS LA MISSION D AUDIT UNITE MONETAIRE Le sondage est une sélection d'éléments que l'auditeur décide d'examiner afin de tirer, en fonction des résultats obtenus, une conclusion sur les caractéristiques

Plus en détail

COMMENT REALISER UN QCM POUR L EVALUATION

COMMENT REALISER UN QCM POUR L EVALUATION COMMENT REALISER UN QCM POUR L EVALUATION INDIVIDUELLE D UN APP? EFSTATHIOU Emilie 1, KARFAL Ghizlane 2 1 4 ème année Génie Mécanique Ingénierie Système, INSA Toulouse 2 4 ème année Génie Mécanique Ingénierie

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé)

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses

Plus en détail

Vecteurs.nb 1. Collège du Sud 1-ère année. Mathématiques. Vecteurs. Edition 2003/2004 - DELM

Vecteurs.nb 1. Collège du Sud 1-ère année. Mathématiques. Vecteurs. Edition 2003/2004 - DELM Vecteurs.nb 1 Collège du Sud 1-ère année Mathématiques Vecteurs Edition 00/004 - DELM Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hypertexte vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec/index.html

Plus en détail

Correction Bac blanc mai 2013

Correction Bac blanc mai 2013 Correction Bac blanc mai 2013 Exercice 1 Commun à tous les candidats. 4 points (1 point par bonne réponse) 1. La fonction F définie sur R par F (x) = e x2 est une primitive de la fonction f définie par

Plus en détail

Ordinateur, programme et langage

Ordinateur, programme et langage 1 Ordinateur, programme et langage Ce chapitre expose tout d abord les notions de programme et de traitement de l information. Nous examinerons ensuite le rôle de l ordinateur et ses différents constituants.

Plus en détail

4N1. Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS?

4N1. Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS? 4N1 Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS? Remarque : pour pouvoir vraiment retenir comment on calcule avec les nombres relatifs, il est déconseillé d'utiliser une calculatrice ici. 1) Classe les

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : ANALYSE DE SENSIBILITE

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : ANALYSE DE SENSIBILITE LA PROGRAMMATION LINEAIRE : ANALYSE DE SENSIBILITE Nous abordons dans cette leçon la partie analyse de sensibilité de la résolution d'un problème de programmation linéaire. Il s'agit d'étudier les conséquences

Plus en détail

Arbres ordonnés, binaires, tassés, FAP, tri par FAP, tas, tri par tas

Arbres ordonnés, binaires, tassés, FAP, tri par FAP, tas, tri par tas Arbres ordonnés, binaires, tassés, FAP, tri par FAP, tas, tri par tas 1. Arbres ordonnés 1.1. Arbres ordonnés (Arbres O) On considère des arbres dont les nœuds sont étiquetés sur un ensemble muni d'un

Plus en détail

CH.2 CODES CORRECTEURS

CH.2 CODES CORRECTEURS CH.2 CODES CORRECTEURS 2.1 Le canal bruité 2.2 La distance de Hamming 2.3 Les codes linéaires 2.4 Les codes de Reed-Muller 2.5 Les codes circulaires 2.6 Le câblage des codes circulaires 2.7 Les performances

Plus en détail

Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques

Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques Puisque les réels ne sont représentés en machine que sous la forme de flottants, ils ne sont connus que de manière approchée. De plus, la somme ou le produit

Plus en détail

T I K A L COMPOSITION DU JEU: RÈGLE DU JEU:

T I K A L COMPOSITION DU JEU: RÈGLE DU JEU: T I K A L COMPOSITION DU JEU: 1 plateau de jeu (voir image en fin de page) 36 cases de parcours hexagonales: 15 cases temple 10 cases jungle 8 cases trésor 3 cases volcan 24 cartes-trésor rondes illustrées

Plus en détail

Chapitre 4 Solutions des problèmes

Chapitre 4 Solutions des problèmes Chapitre 4 Solutions des problèmes 1. Résolution d'un modèle PLTE à deux variables. (a) La région issible de la relaxation continue ( ) est le polygone ABC représenté à la figure cidessous. La solution

Plus en détail

Équations récurrentes en finance

Équations récurrentes en finance Équations récurrentes en finance Daniel Justens Face à un problème concret, le mathématicien a plusieurs options. Il peut en donner une représentation très simplifiée et, dans ce cas, le problème se réduira

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Algorithmique Distribuée Communication de groupes

Algorithmique Distribuée Communication de groupes Algorithmique Distribuée Communication de groupes Laurent PHILIPPE Master 2 Informatique UFR des Sciences et Techniques 2013/2014 Laurent PHILIPPE Communication de groupes 1 / 58 Les outils Les groupes

Plus en détail

Maîtrise d'informatique 2003-2004 Algorithmique et Programmation Tous documents autorisés Durée 2h30

Maîtrise d'informatique 2003-2004 Algorithmique et Programmation Tous documents autorisés Durée 2h30 Maîtrise d'informatique 2003-2004 Algorithmique et Programmation Tous documents autorisés Durée 2h30 Module Programmation Concurrente, Réactive, Répartie Devoir sur table décembre 2003 Les exercices sont

Plus en détail

Exercices supplémentaires

Exercices supplémentaires Exercices supplémentaires Christophe Lalanne Emmanuel Chemla Exercices Exercice 1 Un grand magasin a n portes d entrée ; r personnes arrivent à des instants divers et choisissent au hasard une entrée indépendamment

Plus en détail

Codes linéaires. Distance d un code linéaire

Codes linéaires. Distance d un code linéaire Distance d un code linéaire Un code binaire C est linéaire si la somme de deux mots quelconques du code est encore un mot du code : w 1, w 2 C, w 1 + w 2 C Un code linéaire est donc un sous-espace vectoriel

Plus en détail

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins

Plus en détail

Les Tables de Hachage

Les Tables de Hachage NICOD JEAN-MARC Licence 3 Informatique Université de Franche-Comté UFR des Sciences et Techniques septembre 2007 NICOD JEAN-MARC 1 / 34 Référence Tables à adressage directe Thomas H. Cormen, Charles E.

Plus en détail

Chapitre 5 Les Probablilités

Chapitre 5 Les Probablilités A) Introduction et Définitions 1) Introduction Chapitre 5 Les Probablilités De nombreuses actions provoquent des résultats qui sont dus en partie ou en totalité au hasard. Il est pourtant nécessaire de

Plus en détail

Équations et inéquations du 1 er degré

Équations et inéquations du 1 er degré Équations et inéquations du 1 er degré I. Équation 1/ Vocabulaire (rappels) Un équation se présente sous la forme d'une égalité constituée de nombres, de lettres et de symboles mathématiques. Par exemple

Plus en détail

Sortie : OUI si n est premier, NON sinon. On peut voir Premier aussi comme une fonction, en remplaçant OUI par 1 et NON par 0.

Sortie : OUI si n est premier, NON sinon. On peut voir Premier aussi comme une fonction, en remplaçant OUI par 1 et NON par 0. Université Bordeaux 1. Master Sciences & Technologies, Informatique. Examen UE IN7W11, Modèles de calcul. Responsable A. Muscholl Session 1, 2011 2012. 12 décembre 2011, 14h-17h. Documents autorisés :

Plus en détail

Circuits séquentiels. Chapitre 6. 6.1 Circuits séquentiels

Circuits séquentiels. Chapitre 6. 6.1 Circuits séquentiels Chapitre 6 Circuits séquentiels Plusieurs circuits utilisés dans la vie courante ont besoin de mémoire. Ce chapitre présente les méthodes de base de stockage d information. Les circuits combinatoires présentés

Plus en détail

Rapport IN52. Sujet : Résolution d un puzzle

Rapport IN52. Sujet : Résolution d un puzzle CARRE Julien PIERNOT Jérôme Rapport IN52 Sujet : Résolution d un puzzle Responsable : M. Ruicheck Y. Automne 2007 1 SOMMAIRE INTRODUCTION...3 I. Description et approche du sujet...4 1. Description 2. Outils

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Université du Québec à Montréal Introduction à l optimisation Donnée dans le cadre du cours Microéconomie II ECO2012 Baccalauréat en économique Par Dominique Duchesneau 21 janvier septembre 2008 Ce document

Plus en détail

INF130 - Ordinateurs et programmation. Semaine 08. Document présenté par Frédérick Henri et conçu par les enseignants en informatique du SEG

INF130 - Ordinateurs et programmation. Semaine 08. Document présenté par Frédérick Henri et conçu par les enseignants en informatique du SEG INF130 - Ordinateurs et programmation Semaine 08 Document présenté par Frédérick Henri et conçu par les enseignants en informatique du SEG Retour sur l'examen intra Objectifs Tableaux à deux dimensions

Plus en détail

Couper en deux, encore et encore : la dichotomie

Couper en deux, encore et encore : la dichotomie Couper en deux, encore et encore : la dichotomie I : Jeu du nombre inconnu Un élève volontaire choisit un nombre entier compris entre 0 et 56. Un autre élève cherche à deviner ce nombre, en adoptant la

Plus en détail

Placement de centres logistiques

Placement de centres logistiques Master 1 - Spécialité Androide Année 2014/2015 Module RP Résolution de Problèmes Projet Placement de centres logistiques On considère dans ce projet la résolution du problème de placement de centres logistiques

Plus en détail

Chapitre 1: Représentation des Nombres

Chapitre 1: Représentation des Nombres Chapitre 1: Représentation des Nombres 1 Représentation des entiers naturels 11 Écriture dans une base Rappels sur la base 10 Considérons un nombre entier strictement positif, par exemple N = 432 Alors,

Plus en détail

MAP-SIM2 : Planification de trajectoire

MAP-SIM2 : Planification de trajectoire MP-SIM : Planification de trajectoire sujet proposé par Nicolas Kielbasiewicz : nicolas.kielbasiewicz@ensta-paristech.fr 0 janvier 06 La planification de trajectoire consiste à déterminer une trajectoire,

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

Problèmes à propos des nombres entiers naturels

Problèmes à propos des nombres entiers naturels Problèmes à propos des nombres entiers naturels 1. On dispose d une grande feuille de papier, on la découpe en 4 morceaux, puis on déchire certains morceaux (au choix) en 4 et ainsi de suite. Peut-on obtenir

Plus en détail

Approche empirique du test χ 2 d ajustement

Approche empirique du test χ 2 d ajustement Approche empirique du test χ 2 d ajustement Alain Stucki, Lycée cantonal de Porrentruy Introduction En lisant des rapports, on rencontre souvent des raisonnements du style : «le premier groupe est meilleur

Plus en détail

VII- Enumérations dans l ordre alphabétique

VII- Enumérations dans l ordre alphabétique VII- Enumérations dans l ordre alphabétique Prenons un dictionnaire. Comment savoir si un mot se trouve avant ou après un autre? On commence par comparer la première lettre de ces deux mots. Si elles sont

Plus en détail

Algorithmique et Structures de Données

Algorithmique et Structures de Données 1.1 Algorithmique et Structures de Données Jean-Charles Régin Licence Informatique 2ème année 1.2 Itérations Jean-Charles Régin Licence Informatique 2ème année Itération : définition 3 En informatique,

Plus en détail

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE. par. Benoît Kloeckner

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE. par. Benoît Kloeckner DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE par Benoît Kloeckner L'objectif de ce cours est d'introduire le déterminant d'une famille de vecteurs dans R 2 et R 3, ainsi que le produit vectoriel. Les prérequis

Plus en détail

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Intervention du Professeur de mathématiques. Effectif de la classe : 34 élèves. Intervention : quinze heures en alternance avec le cours de Philosophie.

Plus en détail

PROBABILITÉS Variable aléatoire

PROBABILITÉS Variable aléatoire PROBABILITÉS Variable aléatoire I Langage des événements Lors d'un oral de mathématiques, quatre questions sont proposées : une question de probabilités (P) ; une question de statistiques (S) ; une question

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail