3. Les Nombres Rationnels

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1 - - Les Nombres Rationnels. Les Nombres Rationnels. Les fractions Définition : Une fraction est une expression de la forme avec a et b des nombres entiers. a b Une fraction est aussi appelée nombre rationnel. Notation : L'ensemble des fractions est noté par Q Aussi : a b le numérateur la barre de fraction le dénominateur Remarque : ; ; ; 0, 4 7 sont des fractions Représentation d une fraction : 4 la part hachurée (prise) le nombre de parts en tout (existantes) Que signifie alors 4? On a :

2 . Passage d'une fraction à l'écriture décimale. Une fraction a toujours un équivalent décimal. - - Les Nombres Rationnels 4 : 4 0,7 : 0, Exercice : Trouver les nombres décimaux équivalents aux fractions ci-dessous a) b) c) 6 7 d) e) 9. Passage d'un nombre décimal à sa fraction équivalente Rappel : Si a,46 alors correspond aux dixièmes, 4 aux centièmes etc. 0, 0, 0,,4 6 A retenir 0, 9 0, 0, 0, 4 0, 0, 9 Remarque : pour trouver la fraction qui correspond à 4,, il faut procéder comme suit : 4, 4 + 0, 4 + puis voir plus loin pour l'addition de fractions. 9 Exercice : Trouver les fractions représentées par les nombres décimaux ci-dessous : a), b) 0,784 c) 0, 7

3 - - Les Nombres Rationnels.4 Droite numérique des réels Remarque : Toute fraction est un nombre décimal (cf..); mais il y a des nombres décimaux qui ne sont pas des fractions. π et bien d'autres!!!!!. (nombres irrationnels) L'ensemble de tous les nombres réels (rationnels et irrationnels) s'appelle R Exemple : Placer les nombres ci-dessous R a -, b π c, d /4 e -0,. Les symboles : < < > > Soient a et b deux nombres alors : a < b signifie : a < b signifie: a > b signifie : a > b signifie: a est plus petit que b a est plus petit ou égal à b a est plus grand que b a est plus grand ou égal à b < 4 < 4 - < - -7 > - Exercice : Placer le bon signe (entre ceux-ci : < > ) a) b) 4,0... 4, c) d), , e) -,... 4 f) g) h)

4 - 4 - Les Nombres Rationnels.6 Les ensembles Q Q et R R L'ensemble Q Q est l'ensemble de tous les couples dont les coordonnées sont des fractions L'ensemble R R est l'ensemble de tous les couples dont les coordonnées sont des nombres réels Exercice : Placer les couples suivants : A,; y B 0;, C 7 ; 4 x.7 Simplification et amplification de fractions Il est possible de simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre L'opération inverse s'appelle amplification. 4 Une fraction a b est dite irréductible si elle est donnée sous sa forme simplifiée ( a et b sont le sont les petits entiers possibles). Si on passe d une fraction à l autre par amplification ou simplification, on dira que ces fractions sont équivalentes. par simplifications : par amplifications : (forme irréductible)

5 - - Les Nombres Rationnels Pour simplifier les fractions, il est utile de connaître quelques critères de divisibilité : Critère de divisibilité par Un nombre est divisible par s'il se termine par un chiffre pair. Critère de divisibilité par Un nombre est divisible par si la somme de ses chiffres est divisible par. Exemple : 7968 est divisible par car et nous voyons que 4 est divisible par. On a même (divisible par ). Critère de divisibilité par Un nombre est divisible par s'il se termine par 0 ou. Critère de divisibilité par 7 Le nombre aa n n... aa 0 est divisible par 7 si et seulement si aa n n... a a0est divisible par 7. Plus simplement un nombre est divisible par 7 si la différence entre le nombre de dizaines et le double du chiffre des unités est divisible par 7. «nombres de dizaines - x chiffre des unités nombre divisible par 7» Le critère peut être itéré. a) 9 est divisible par 7 car 9 x 7 et 7 est divisible par 7. b) 8 est divisible par 7 car 8 x 4 et 4 est divisible par 7. c) 78 est divisible par 7 car : 78 x 76 7 x x 4 On trouve un résultat final divisible par 7 donc 78 est divisible par 7. Critère de divisibilité par 0 Un nombre est divisible par 0 si son chiffre des unités est 0. Exercice : Compléter : a) 7 b) c) Exercice : Transformer en fraction irréductible: 40 a) 6 d) 40 6 b) e) 0,6 c) 0, 6 f)

6 .8 Proportionnalité et le produit en croix Les Nombres Rationnels a b c d ssi a d b c Exemple : 6 car Exercice : Vérifier si les égalités ci-dessous sont vraies a) b) c) d) Opérations sur les fractions Addition et soustraction Règle : Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut : ) qu'elles possèdent le même dénominateur puis ) additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux ) le dénominateur ne change pas Ainsi pour additionner (soustraire) deux fractions, il faut d abord déterminer le dénominateur commun D.C., puis amplifier si nécessaire les deux fractions au même D.C. et enfin additionner (soustraire) les numérateurs Question : Comment trouver le D.C?

7 - 7 - Les Nombres Rationnels a) + b) c) + 7 d) + 4 e) + 7 Multiplication Règle : Pour multiplier deux fractions, il suffit de : ) multiplier les numérateurs entre eux ) multiplier les dénominateurs entre eux a) 7 b) 9 Remarque : Il est possible de simplifier une multiplication avant de commencer l'opération proprement dite. Il y a deux types de simplifications : Exemple : Exemple : D autres exemples : ou

8 - 8 - Les Nombres Rationnels Division Définition : Soit a b une fraction. Alors b a est appelé inverse de a b Règle : Diviser revient à multiplier par l'inverse a) : 0 6 b) : c) 8 4 : d) 9 e) :, 4 0 f) 0,6 : 0,4 g) 6 :, 06 h) 0 : Puissances (entières) Règle : n a b a b n n a) b) 4 c) d) 0

9 - 9 - Les Nombres Rationnels.0 Ordre des opérations Comme pour les nombres entiers, c'est l'ordre P P M D A S (voir les nombres entiers ) a) b) c) + d) : 4. Les pourcentages Définition : % a 7 a Exemple : 7% Une méthode pour passer d'une fraction à un pourcentage : ) On cherche le nombre décimal qui correspond à la fraction ) On multiplie ce nombre par 00 a) 0,7 7% b) 0, 0% c) 0,6 0, % 4 Exercice : Exprimer les fractions ci-dessous en % a) /8 b) / c) 6/9 d) /4 e) / f) /7 Exercice : Retrouver les fractions qui correspondent aux pourcentages ci-dessous : a) 0% b) 0 % c) 0% d) % e) 4% f) 00%

10 . Exercices 4 Ex : a) b) Les Nombres Rationnels c) + d) + 4 Ex : a) b) 7 c) 6 d) e) : Ex : a) f) : 7 b) 8 6 g) 6 : h) : c) d) + 4 g) 4 e) + h) f) + 4 i) Ex 4 : a) + 4 b) c) d) e) + f) 6 g) 4 h) + 4 i) 4 j) + k) + 4 l) + m) + n) + o) Ex : Quelle fraction du TOUT est représentée par la surface hachurée?

11 - - Les Nombres Rationnels Ex 6 : Quelle fraction du TOUT est représentée par la surface hachurée? Ex 7 : Compléter selon l exemple suivant : /4 0,7 7/00 7% 4/ % / / , / %..., Ex 8 : a) Les 6/8 de 60 Litres b) Les / de 70 Frs c) Les % de 6 mètres d) Les 7/ de Kg e) Les 4/9 des 0% de 990 Frs. f) La moitié du tiers de 0 Frs Ex 9*: Retrouver le TOUT sachant que : a) Les / valent 0 Frs b) Les % valent 4 Litres c) Les 0% valent 0 mètres d) Le quart vaut 7 mètres e) Les 6% valent 80 Frs f) Les 7/8 valent 6 Kg Ex 0 : Soit une classe avec filles et 8 garçons a) Quelle fraction représente le nombre de garçons par rapport à l'effectif total de la classe? b) Quelle fraction représente le nombre de filles par rapport à l'effectif total de la classe? c) Quel est le pourcentage de garçons dans cette classe? d) Quel est le pourcentage de filles dans cette classe? Ex : Sachant que les deux tiers d'un gâteau valent Frs et que les 4/ de ce gâteau pèsent 40 grammes, calculer : a) Le prix total du gâteau b) Le poids total du gâteau c) Le poids de la part valant Frs d) Le prix des 4/ du gâteau e) La part de gâteau (en fraction simplifiée) que l'on peut acheter avec 0 Frs. Ex : Jean et Anne ont acheté ensemble un gâteau. Jean a fourni 4 Frs et Anne Frs pour cet achat. Le gâteau pèse 80 grammes a) Quel est le prix total du gâteau? b) Quelle fraction du gâteau Jean a-t-il payé? (Réponse en fraction simplifiée) c) Quelle fraction du gâteau Anne a-t-elle payé? (Réponse en fraction simplifiée) d) Quelle sera en pour-cent la part de Jean? e) Quelle sera en pour-cent la part de Anne? f) Calculer le poids de la part de Jean

12 - - Les Nombres Rationnels Ex : Pierre et Françoise ont effectué un travail ensemble. Pierre a travaillé 0 heures et Françoise heures. Le patron leur donne 40 Frs pour l'ensemble du travail a) Calculer le nombre total d'heures de travail b) Quelle fraction représente le travail de Pierre c) Quelle fraction représente le travail de Françoise d) Calculer le salaire de Pierre e) Calculer le salaire de Françoise Ex 4 : Anne, Françoise et Paulette achètent ensemble un morceau de tissu. Anne en achète m, Françoise mètres et Paulette 8 mètres. La facture se monte à 6 Frs. Calculer ce que doit payer chaque personne. Ex : Sachant que Jean paye 76 Frs par mois d'impôts et que cette somme représente les 8% de son salaire. Calculer le salaire mensuel de Jean. Ex 6 : Un fromage de 00 grammes contient 00 grammes de matières grasses. Quel est son pourcentage en matières grasses? Ex 7 : Une famille dépense 40% de son salaire pour sa nourriture, % pour les vêtements, 6% pour son loyer, % pour le chauffage et 8% pour des dépenses diverses. Quel pourcentage du salaire est-il économisé? Ex 8 : Sachant que la famille de l'ex 7 dépense 7 Frs par mois pour le chauffage, retrouver son salaire mensuel ainsi que les sommes dépensées pour chaque rubrique. Ex 9 : Pour douze heures de travail, un ouvrier touche 0 Fr.. a) Quel sera son salaire pour 0 heures de travail? b) Calculer combien d heures l ouvrier doit travailler pour toucher 990 Fr.? Ex 0 : Le prix catalogue d un appareil de photo est de 70 Fr. mais Fabrice l a payé 600 Fr. Exprimer le rabais en pourcentage. Ex : Un électricien indépendant facture 70.- Fr. pour heures de travail. Pour un travail de heures, quel sera ce montant de la facture? Ex * : Une enseigne indique 4 % de rabais sur l ensemble du magasin. Après rabais on paye un article Fr. Quel est le prix normal de cet article? Ex : Un cycliste met 0 minutes pour parcourir 6 kilomètres. Quelle distance parcourt-il en heures en supposant qu il maintienne sa moyenne?

13 - - Les Nombres Rationnels. Exercices supplémentaires Exercice Calculer et répondre sous forme irréductible: a) ( 6) 4 b) c) d) e) Exercice Calculer et répondre sous forme irréductible: a) 7 7 b) + 4 c) ( 8) + 9 d) 44 e) + : 9 f) g) h) : i) + 64 j) k) l) m) ( ) ( ) Exercice a) Trouver le résultat des calculs suivants sous forme fractionnaire. A + 7 C B D b) De quel nombre bien connu A, B, C et D sont-ils proches?

14 - 4 - Les Nombres Rationnels Solutions Page : Ex : a) 0,4 b), c) 0, d) 7 e) 0, Ex : a) /00 b) 784/000 c) 7/9 Page : a) < b) > c) < d) < e) < f) > g) > h) < Page : Ex : a) ; b) ; c) Ex : a) 0/9 ; b) /7 ;c) 9/ ; d) /7 ; e) / ; f) /4 (en divisant par 7 puis par ) Page 6 : a) oui b) non c) non d) oui Page 9 : Ex : a) 6,% ; b) 40% ; c) 66,7% ; d) 6,8% ; e) 00% ; f) 4,% Ex : a) /0 ; b) /0 ; c) 6/ ; d) /4 ; e) 9/0 ; f) Pages 0 à : Ex : a) /6 b) / c) 7/ d) / Ex : a) 0/ b) / c) 8/7 d) 0 e) 8/ f) /4 g) 4/ h) / Ex : a) 8/7 b) -/ c) d) 7/0 e) -/6 f) / g) /8 h) /6 i) /4 Ex 4 : a) -/4 b) -/4 c) -/ d) -7/8 e) -7/8 f) 4 g) -7/8 h) /60 i) -/8 j) /6 k) -/4 l) 8/ m) 8/ n) /8 0) 8/ Ex : ¼ ½ /8 /6 ¾ /6 Ex 6 : ½ ¼ / ¾ Ex 7 : 4/ 0,8 80/00 80 % / 0,6 60/00 60% /0 0, /00 % 8/ 0, /00 % /8 0,7 7,/00 7,% ¾ 0,7 7/00 7% /0, 0/00 0% /, 0/00 0 % Ex 8 : a) 4 Lt b) 80 Fr. c) 8,4 m d) 6,8 Kg e) 44 Fr. f) 0 Fr. Ex 9 : a) 4 Fr. b) 00 Lt c) 00 m d) 88 F e) 00 Fr. d) 7 Kg Ex 0 a) / b) / c) 40% d) 60% Ex a) 8 Fr. b) 00 gr c) 00 gr d) 4,4 Fr. e) /9 Ex a) 6 Fr. b) ¼ c) ¾ d) % e) 7% f) 70 gr Ex : a) h b) 4/7 c) /7 d) 40 Fr. e) 80 Fr. Ex 4 : Anne :, Fr. Françoise : 4, Fr. Paulette : 68 Fr. Ex : 00 Fr. Ex 6 40% Ex 7 6% Ex 8 : 00 Fr./mois 00 Fr. (nourriture) 8 Fr. (vêtements) 7 Fr. (chauffage) 990 Fr. (dépenses diverses) 0 Fr. (économies) Ex 9 : a) 0.- Fr. ; b) 4 heures Ex 0 : 0 % ; Ex : 40 Fr. Ex : 00 Fr. Ex : 90 Km. Pages Ex : a) 7/ ; b) /4 ; c) 9/8 ; d) /96 ; e) 9/7 Ex : a) 7/4 ; b) 9/0 ; c) 8/ ; d) / ; e) / ; f) /9 ; g) /6 ; h) 8/ ; i) ; j) /8 ; k) 4/ ; l) 4 ; m) 9/70 0'99 Ex : a) A ; B ; C ; D ; b) π, '0

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