3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels

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1 3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4 Dynamique de la vorticité 2 Écoulements potentiels 2.1 Définition 2.2 Second théorème de Bernoulli 3 Ondes interfaciales : mise en place du calcul

2 Rappels sur les premières séances On a insisté sur les bilans globaux tel celui d énergie cinétique : de c (ρe c ) = d 3 x + ρe c v n d 2 S = P extérieures P dissipée dt D t t D t pour une éolienne P disponible 1 2 ρv3 S

3 Rappels sur les premières séances On a insisté sur les bilans globaux tel celui d énergie interne : de i dt = P dissipée + Q...

4 Application à un système de Couette cylindrique Bilan global d énergie cinétique : de c = 0 = P extérieur P dissipée P moteur = P dissipée dt Bilan global d énergie interne : de i dt = P dissipée + Q P dissipée 40 mw en rhéologie mais 340 kw en centrale nucléaire!...

5 3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4 Dynamique de la vorticité 2 Écoulements potentiels 2.1 Définition 2.2 Second théorème de Bernoulli 3 Ondes de surface : mise en place du calcul

6 Rappel : décomposition locale d un champ de vitesse dv = v dx = D dx } {{ } déformation Ω dx } {{ } rotation = + Ω = rot v = «vecteur vorticité», D = 1 2 ( v+ v T) taux de déformation propres = trd = tr v = divv = 0

7 1.2 Modèle du fluide parfait - Équation d Euler η = 0 donc Navier-Stokes dégénère en l équation d Euler [ ( ) ] ρ dv v v 2 = ρ + + Ω v = p dt t 2 avec Ω = rot v vecteur vorticité. Dégrader les conditions limites, d adhérence en fluide visqueux, à glissement en fluide parfait avec n la normale à la paroi. v fluide = v paroi, (v fluide v paroi ) n = 0

8 1.3 Premier théorème de Bernoulli Conservation de la charge le long d une trajectoire d un écoulement stationnaire : H = z + p ρg + v2 2g = constante. Application : tube-débitmètre de Venturi [ Endress+Hauser ] [ Wikipedia Bernoulli s principle ]

9 1.4 Dynamique de la vorticité rot ( Euler ) Ω = rot ( v Ω ) t pas de mécanisme de création de vorticité en fluide parfait! 2.1 Définition des écoulements potentiels Écoulements potentiels = écoulements irrotationnels : Ω = 0 globalement φ t.q. v = φ localement. 2.2 Second théorème de Bernoulli φ t + v2 2 + p ρ = φ t + v2 2 + p ρ + gz = φ t + gh = B(t)

10 3 Ondes à l interface entre deux fluides Buts : les ondes elles-mêmes... en tant que modes neutres d instabilité théorie des instabilités les conditions d interface théorie des écoulements diphasiques g z gaz liquide p n p z = h+ζ x Modes normaux «linéaires» de perturbation de l interface, de la forme ζ = ζ(x,t) = Re[Aexp(ikx +σt)] avec A «petite».

11 Analyse linéaire de stabilité en modes normaux Pour simplifier, A R ; σ = σ(k) = σ r (k)+iσ i (k) = ζ = A cos(kx +σ i t) exp(σ r t) σ r > 0 mode amplifié ; configuration de base instable ; σ r = 0 mode neutre ; configuration de base marginalement stable vis-à-vis de ce mode ; σ r < 0 mode amorti ; configuration de base stable vis-à-vis de ce mode. σ i > 0, σ i = ω onde gauche de vitesse de phase ω/k ; σ i = 0 mode stationnaire non propagatif ; σ i < 0, σ i = ω onde droite de vitesse de phase ω/k. Modes normaux qui permettent d écrire aux temps courts la réponse du système à n importe quelles «perturbations initiales» : ζ c (x,t = 0) = k A(k)exp(ikx) = ζ c (x,t > 0) = k A(k) exp(ikx+σ(k)t).

12 3 Ondes à l interface entre deux fluides... pour... les ondes elles-mêmes... en tant que modes neutres d instabilité théorie des instabilités les conditions d interface théorie des écoulements diphasiques n z gaz z = h+ζ p liquide g x Mode normal «linéaire» de perturbation de l interface, de la forme ζ = ζ(x,t) = Re[Aexp(ikx +σt)] avec A «petite». Mode normal de potentiel des vitesses : φ = Re[f(z) exp(ikx +σt)]... Pour la prochaine s. : lire le chap. 2 sur condit o d interface - tension superficielle. p

13 TD : pb faisant le lien entre fluides parfait et visqueux Pb 3.1 Écoulements plans produits par un gradient de pression oscillant y x p atm +Pcos(ωt) p atm Incompressibilité = pas d ondes acoustiques = oscillations de pression se propagent «instantanément» dans la direct o x = v = v(y,t) e x