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1 RAPPORT D AVANCEMENT DE THÈSE DE PREMIÈRE ANNÉE : ÉTUDE DE PROBLÈMES DE RÉGULARITÉ ET DE SINGULARITÉ POUR LES SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DE LA THÉORIE CINÉTIQUE SOUS LA DIRECTION DE CÉDRIC VILLANI C. MOUHOT Le cadre L objet de la théorie cinétique est la modélisation d un gaz (ou plasma, ou tout autre système constitué d un grand nombre de particules) par une fonction de distribution dans l espace des phases où évoluent les atomes. Sous certaines hypothèses simplificatrices physiques (cf. [11]) le modèle associé est une fonction f(t, x, v) définie sur [0, T ] D R N où D est un domaine (borné ou non) de R N. Une équation satisfaisante pour rendre compte à la fois du transport de particules et des collisions est obtenu par Boltzmann en 187 (pour les hypothèses physiques nous renvoyons de nouveau à [11]) (1) où () f t (t, x, v) + v xf(t, x, v) = Q(f, f)(t, x, v) Q(f, g)(t, x, v) = dv dσb( v v, σ)(f g fg ) R N S N 1 et f = f(t, x, v), f = f (t, x, v ), f = f(t, x, v ), f (t, x, v ). Reste à expliciter le σ qui apparait. Lors d une collision (que l on suppose binaire, voir à nouveau les hypothèses physiques), deux particules de vitesses v et v se rencontrent, pour donner deux particules de vitesses v et v. Le sytème qui donne les nouvelles vitesses en fonction des anciennes est sous-déterminé, c est la raison pour laquelle on introduit le paramètre supplémentaire σ et le noyau B qui lui corresponds { v = v+v + v v σ (3) v = v+v v v σ Le noyau de collision varie selon les situations à modéliser (voir [11],[1]). Le modèle le plus classique est de la forme (4) B(z, σ) = b(cos θ) z γ ( ) v où cos θ = v v v v v v v. Au sein de ce modèle on distingue les potentiels mous (γ < 0) qui traitent le cas des potentiels coulombiens, et les potentiels durs (γ > 0) qui traitent le cas des sphères dures (γ = 1, b = cste). Dans le cas particulier des 1

2 C. MOUHOT intéractions coulombiennes, l opérateur de collision de Boltzmann n a plus de sens et doit être remplaçé par l opérateur de collision de Landau-Coulomb Q L (f, g) = { ( f dv a ij (v v ) f f f )} (5), v i v j v j (6) a ij (z) = ( δ ij z ) iz j 1 z z. Landau a établi cette équation en 1936 pour modéliser les collisions dans les plasmas. L équation de Landau est obtenue en supposant que les collisions rasantes sont prédominantes dans l équation de Boltzmann. La compréhension de ces équations reste parcellaire (principalement à cause de la non-linéarité et la forme intégrale complexe de l opérateur de collision) et les questions d existence/unicité restent pour la plupart ouvertes. Plusieurs théories partielles coexistent pour le moment : Le cadre spatialement homogène (plus de dépendance en x) Les solutions près de l équilibre Les solutions petites (c est-à-dire en temps petit ou avec donnée petite) Les solutions renormalisées de DiPerna-Lions (cf. [15], [16]). Les problèmes monodimensionnels en espace Au cours de l étude au voisinage de l équilibre, on est amené à considérer l équation linéarisée autour de l équilibre. L opérateur de Boltzmann linéarisé s écrit (7) Lh(v) = R N S N 1 Φ( v v ) b(θ) M(v ) ( ) h(v ) + h(v ) h(v ) h(v) dσdv, où f = M(1 + h) est la vraie solution de l équation non-linéaire et M(v) est la maxwellienne à l équilibre (voir [1]). Sachant que grâce au théorème H de Boltzmann on s attend à ce que la solution converge toujours vers cet équilibre (l entropie se dissipe), cette étude présente aussi l intérêt de renseigner éventuellement sur le comportement asymptotique de la solution. Par exemple l étude des trous spectraux de l opérateur linéarisé guide la recherche des résultats de convergence vers l équilibre pour l équation non-linéaire. Enfin, il faut mentionner plusieurs caricatures de l équation de Boltzmann, qui sont des modèles simplifiés de cette équation, mais conservant assez de ses propriétés pour donner des renseignements. Parmi celles-ci la plus célèbre est sans doute le modèle de Kac (cf. []) qui est l équation (8) t f + v x f = Q K (f, f) en dimension 1 avec pour opérateur de collision π (9) Q K (f, g) = {f(v )f(v ) f(v)f(v )} dθ π dv v R θ=0 où (v, v ) sont les vitesses pré-collisionnelles : v = v cos θ v sin θ v = v sin θ + v cos θ.

3 RAPPORT D AVANCEMENT DE THÈSE DE PREMIÈRE ANNÉE 3 Angles d attaques suivis, résultats obtenus et pistes L idée générale est de comprendre les phénomènes de conservation de régularité et apparition de singularité, et plus généralement les propriétés qualitatives des solutions. L obstacle immédiat est l absence de théorie d ensemble d existence/unicité dans laquelle se placer. Modèles cinétiques homogènes Avec cut-off, intéraction de courte portée : La théorie semble ici presque terminée, du moins dans le cas des potentiels durs. L article [3] en collaboration avec Cédric Villani issu du travail de la première année de thèse donne une bonne compréhension des phénomènes de propagation de régularité et singularité en se basant sur le théorème de régularité de Lions pour l opérateur de gain. Une piste serait de tenter d appliquer aux potentiels mous la stratégie suivie pour les potentiels durs. L obstacle supplémentaire qui apparait alors est l absence de controle uniforme en temps sur les moments. Sans cut-off, intéraction à longue portée : Plusieurs pistes se presentent : 1. Utiliser les outils développés dans le cadre avec cut-off en cherchant des estimations assez fines et robustes pour passer à la limite (stratégie ouverte par Lions voir [4, 5]). Ce travail est entamé avec l extension de certaines estimées a priori de [3], ainsi qu une nouvelle estimée a priori obtenue avec Laurent Desvillettes.. Utiliser la méthode de [6] basée sur l estimation fine de la dissipation d entropie qui fournit des estimée directement sur la régularité (l opérateur de collision global se comporte comme le laplacien fractionnaire ν/ où ν est relié à l ordre de la singularité angulaire). 3. Dans le cas particulier de potentiel coulombien où l équation de Botzmann doit être remplaçée par l équation de Landau-Coulomb, tenter d appliquer la méthode de Hatem Zaag [19] développée dans la cadre de l étude de la chaleur non-linéaire pour étudier le problème d explosion en temps fini. 4. Une autre idée serait de tenter d utiliser des subsituts de principes du maximum pour cette équation (on l applique à l opérateur bilinéaire dans lequel on gèle l un des deux arguments) pour obtenir des bornes uniformes. Modéle cinétiques inhomogènes Les différences qui se présentent par rapport à l étude du cas homogène sont : 1. la présence de la variable x (avec le transport libre associé) nécessite d obtenir maintenant de la régularité en v et x. Pour cela il faut utiliser l outil des lemmes de moyenne pour transférer la régularité de v sur x (cf. [7] pour des résultats récents);. l influence de la géométrie du domaine et des conditions limites. Comprendre cette influence nécessite une bonne compréhension des estimée a priori liée aux conditions de bord. Cette influence peut être vue à deux niveaux : sur la régularité et l apparition ou non de singularité d une part, et sur les états limites et la vitesses de convergence vers ceux-ci. Par exemple il semble intuitif qu une concavité de la frontière soit à l origine de nouvelles singularités. Deux types d approches sont possibles en l état actuel de la théorie : 1. Tenter d étudier le problème de Cauchy dans le cadre des solutions renormalisées (voir par exemple [8], [9]);

4 4 C. MOUHOT. Faire une étude de la régularité a priori (dans cet esprit voir [30] pour un résultat a priori sur la convergence presque exponentielle vers l équilibre). C est la voie choisie ici. Les résultats obtenus s appliquent aux différents cadres parcellaires de bonnes solutions connues, et fournissent par contraposée des conditions nécessaires d explosion. Le seul travail de ce type effectué dans R N est [0]. Suivant cette approche, une borne inférieure sur les solutions a été obtenue en suivant la méthode de [31], [3] dans le cas homogène avec un argument de compacité pour gérer le transport libre. Des travaux pour obtenir des estimée a priori de régularité pour de bonnes solutions sont en cours (principalement il faut une hypothèse a priori de contrôle uniforme sur la densité). Pour l étude de l influence de la géométrie du domaine, le travail de bibliographie est en cours, et une piste semble être de faire l étude prĺiminaire de cas plus simples (uniquement transport, linéaire, modèle de Kac, modèle BKW, modèle de champs moyen (cf. un travail en cours de Hyung Ju Hwang, Brown University sur Vlasov- Poisson). Modéles cinétiques linéaires ou linéarisés Ici les outils sont différents : on étudie l opérateur de collision linéarisé dans L avec poids maxwellien et on dipose des outils d analyse fonctionnelle liés aux espaces de Hilbert. Cependant la voie principale suivie dans les années 70 a été une approche abstraite basée sur des théorèmes de perturbation comme le théorème de Weyl, et donnait des résultats non constructifs, donc peu satisfaisants du point de vue physique (en particulier pour les applications au taux de convergence vers l équilibre). En partant des travaux [33], [34] basés sur la diagonalisation explicite de l opérateur de collision par Fourier dans le cas maxwellien, on suit ici une autre approche, en cherchant des résultats explicites par des méthodes plus liées à la spécificité de l équation de Boltzmann. Un premier résultat a été obtenu en collaboration avec Céline Baranger de l ENS Cachan, qui permet par une méthode géométrique de déduire des bornes explicites pour les potentiels durs à partir des bornes explicites du cas maxwellien. Des travaux sont en cours aussi pour prouver des inégalitées de trou spectral directement, sans passer par le cas maxwellien, par une méthode plus proche de l approche historique de Boltzmann et due à Laurent Desvillettes (cf. [35] où elles est appliquée au cas non-linéaire). Une piste serait d essayer de raccorder la théorie non-linéaire à la théorie linéaire par des bornes adaptées sur les moments (voir un travail en cours de Desvillettes et Wennberg) et/ou un théorème de décomposition adapté, le but étant d obtenir un taux de convergence exponentiel explicite vers équilibre dans le cas des potentiels durs (le résultat a été prouvé de façon non-constructive par Arkeryd [36], et ne peut être simplement prouvée par les méthodes par inégalité entropie/dissipation d entropie puisque la conjecture de Cercignani est fausse, cf. [34], [37], [38]). A lors actuelle, le meilleur résultat explicite obtenu pour les potentiels durs est une convergence presque exponentielle vers l équilibre (i.e polynômiale de puissance aussi grande voulue), voir [3]. Études numériques Des simulations ont été entreprises avec Francis Filbet et Cédric Villani sur Landau-Coulomb pour l étude du problème d explosion en temps fini. La poursuite dans la voie numérique est en vue au cours de l échange en Italie (voir section suivante).

5 RAPPORT D AVANCEMENT DE THÈSE DE PREMIÈRE ANNÉE 5 Echanges prévues au sein du réseau HYKE Le HYperbolic and Kinetic Equations : Asymptotics, Numerics, Analysis est un réseau de recherche européen financé par l Union Européenne. Il offre des bourses pour effectuer des stages de recherches pré et post doc. Chalmers University, Göteborg (Suède) Travail avec Bernt Wennberg. Projets : limite de Boltzmann-Grad dans le cadre des gaz de Lorentz (modèle de dérivation probabiliste pour équation cinétique linéaire, voir [39, 40, 41], et étude de l équation de Boltzmann relativiste et quantique. Università di Ferrara, Ferrare (Italie) Travail avec Lorenzo Pareschi. Projets : étude numérique de modèles cinétiques (méthodes spectrales, Monte-Carlo, déterministes). L amélioration des algorithmes existants utilise la compréhension de la géométrie de l équation et de ses proriétés de régularités (cf. [18] et article en cours de Filbet et Russo). Déroulement de la thèse L année universitaire 00/003 sera consacrée à la poursuite des travaux cidessus, avec en particulier comme objectif l achèvement d un deuxième article en collaboration avec Céline Baranger. L année universitaire 003/004, en plus de la poursuite dans ces directions, pourrait aussi être tournée vers la formation à un nouveau domaine connexe aux précédents (approfondissement du numérique, problème de transport de masse, dérivation de Boltzmann-Grad et problème de l apparition de l irréversibilité lié, etc...). Les stages de recherche dans les universités étrangères seront étalés sur ces deux années. La soutenance est prévue au cours de l année civile 004. References [1] Wennberg, B., Regularity in the Boltzmann equation and the Radon tranform, Comm. Partial Differential Equations 19 (1994), no. 11-1, [] Bouchut, F., Desvillettes, L., A proof of the smoothing properties of the positive part of Boltzmann s kernel, Rev. Mat. Iberoamericana 14 (1998), no. 1, [3] Wennberg, B., The geometry of Binary Collisions and Generalized Radon Transforms, Arch. Rationnal Mech. Anal. 139 (1997) [4] Lu, X., A Direct Method for the Regularity of the Gain Term in the Boltzmann Equation, J. Math. Anal. Appl. 8. (1998), [5] Gustafsson, T., L p -Estimates for the Nonlinear Spatially Homogeneous Boltzmann Equation, Arch. Rational Mech. Anal. 9 (1986), no. 1, [6] Gustafsson, T., Global L p -Properties for the Spatially Homogeneous Boltzmann Equation, Arch. Rational Mech. Anal. 103 (1988), no. 1, [7] Arkeryd, L., L Estimates for the Space-Homogeneous Boltzmann Equation, Journal of Statistical Physics, Vol.31, No., [8] Arkeryd, L., On the Boltzmann Equation, Part. I : Existence, Arch. Rationnal Mech. Anal. 45 Arch. Rational Mech. Anal. 45 (197), [9] Arkeryd, L., On the Boltzmann Equation, Part. II : The Full Initial Value Problem, Arch. Rational Mech. Anal. 45 (197), [10] Toscani, G., and Villani, C., On the trend to equilibrium for some dissipative systems with slowly increasing a priori bounds, J. Statist. Phys. 98, 5-6 (000), [11] Villani, C., A review of mathematical topics in collisional kinetic theory, â paraitre dans Handbook of Fluid Mechanics. [1] Villani, C., Contribution à l étude mathématique des collisions en théorie cinétique, Document de synthèse d Habilitation à Diriger des Recherches.

6 6 C. MOUHOT [13] Wennberg, B., On moments and uniqueness for solutions to the space homogeneous Boltzmann equation, Transport Theory Statist. Phys. 3 (1994), no.4, [14] Vilani, C., Fisher information bounds for Boltzamnn s collision operator, J. Math. Pures App. 77 (1998), [15] DiPerna, R., Lions, P-L., On the Foker-Planck-Boltzmann equation, Comm. Math. Phys. 10 (1988), 1-3. [16] DiPerna, R., Lions, P-L., On the Cauchy problem for the Boltzmann equation: Global existence and weak stability, Ann. Math. 130 (1989), [17] Mouhot, C., Une nouvelle preuve de la propagation de la régularité L p pour les solutions de l équation de Boltzmann Mémoire de DEA sous la direction de Cédric Villani. [18] Filbet, F., Contribution à l analyse et la simulation numérique de l équation de Vlasov Thèse de doctorat (001), Université de Nancy I. [19] Zaag, H., Sur la description des formations de singularités de la chaleur non-linéaire Thèse de doctorat (1998), Université de Cergy-Pontoise. [0] Boudin, L., Desvillettes, L., On the regularity of the global small solutions of the full Boltzmann Monatsh. Math 131 (000), no., [1] Cercignani, C., Illner, R., Pulvirenti, M., The mathematical theory of dilute gases. Applied Mathematical Sciences, 106. Springer-Verlag, New York, [] Kac, M. Foundations of kinetic theory. Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, , vol. III, pp University of California Press, Berkeley and Los Angeles, [3] Mouhot, C., Villani, C., Regularity theory for the Boltzmann equation with cut-off soumis à Arch. Ration. Mech. Anal. [4] Lions, P.-L., Compactness in Boltzmann s equation via Fourier integral operators and applications. I J. Math. Kyoto Univ. 34 (1994), no., [5] Lions, P.-L., Regularity and compactness for Boltzmann collision kernels without angular cutoff C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 36 (1998), no. 1, [6] Alexandre, R., Desvillettes, L., Villani, C., Wennberg, B., Entropy dissipation and long-range interactions. Arch. Ration. Mech. Anal. 15 (000), no. 4, [7] Bouchut, F., Hypoelliptic regularity in kinetic equations to appear in J. Math. Pures Appl. (00) [8] Mischler, S., On the initial boundary value problem for the Vlasov-Poisson-Boltzmann system. Comm. Math. Phys. 10 (000), no., [9] Goudon, T., Existence of solutions of transport equations with nonlinear boundary conditions. European J. Mech. B Fluids 16 (1997), no. 4, [30] Desvillettes, L., Villani, C., On the trend to global equilibrium in spatially inhomogeneous entropy-dissipating systems: the linear Fokker-Planck equation. Comm. Pure Appl. Math. 54 (001), no. 1, 1 4. [31] Carleman, T., Sur la théorie de l équation intégrodifférentielle de Boltzmann. Acta Math. 60 (193), [3] Pulvirenti, A., Wennberg, B., A Maxwellian lower bound for solutions to the Boltzmann equation. Comm. Math. Phys. 183 (1997), no. 1, [33] Wang-Chang, C.S., Uhlenbeck, G.E., Studies in Statistical Mechanics Vol. V, edited by J.L. Lebowitz and E. Montroll, North-Holland [34] Bobylev, A.V., The theory of the nonlinear spatially uniform Boltzmann equation for Maxwell molecules. Mathematical physics reviews, Vol. 7, , Soviet Sci. Rev. Sect. C Math. Phys. Rev., 7, Harwood Academic Publ., Chur, [35] Desvillettes, L., Convergence towards the thermodynamical equilibrium. Trends in applications of mathematics to mechanics (Nice, 1998), , Chapman & Hall/CRC Monogr. Surv. Pure Appl. Math., 106, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 000. [36] Arkeryd, L., Stability in L 1 for the spatially homogeneous Boltzmann equation. Arch. Rational Mech. Anal. 103 (1988), no., [37] Wennberg, B., Entropy dissipation and moment production for the Boltzmann equation. J. Statist. Phys. 86 (1997), no. 5-6, [38] Bobylev, A.V., Cercignani, C., On the rate of entropy production for the Boltzmann equation. J. Statist. Phys. 94 (1999), no. 3-4, [39] Gallavotti, G., Divergences and approach to equilibrium in the Lorentz and the Windtree models. Phys. Rev. () 185, 1 (1969),

7 RAPPORT D AVANCEMENT DE THÈSE DE PREMIÈRE ANNÉE 7 [40] Bourgain, J., Golse, F., Wennberg, B., On the distribution of free path lengths for the periodic Lorentz gas. Comm. Math. Phys. 190 (1998), no. 3, [41] Desvillettes, L., Pulvirenti, M., The linear Boltzmann equation for long-range forces: a derivation from particle systems. Math. Models Methods Appl. Sci. 9 (1999), no. 8, École Normale Supérieure de Lyon, UMPA, 46, Allée d Italie, Lyon Cedex 07, FRANCE.

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