Correction de l examen de la première session
|
|
- Raphael Duquette
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi un mail à tugaut@math.cnrs.fr
2
3 Table des matières Page de garde Table des matières 3 Remarque d ordre général 7 Exercices 9 Exercice Calcul du discriminant Calcul d une racine du discriminant Les solutions de l équation Vérification Exercice de la première question de la seconde question Exercice Équation homogène associée Solution particulière Résolution générale Exercice de la première question de la seconde question
4 Problème Préliminaires Question Question Question Équation homogène associée 5 Question Question Question Question Question Question Question Question
5 Question Question Résolution de l équation générale 37 Question Question Question Question Question Méthode directe de résolution 43 5
6 6
7 Remarque d ordre général L examen était volontairement long et il n était pas attendu de votre part de répondre à toutes les questions. La meilleure copie a obtenu la note de 5.5 sur 3 et a à peine eu le temps d aborder la dernière question du problème. Il était précisé dans l énoncé que la qualité de la rédaction et de la langue serait prépondérante. Ce n était pas du bluff. Une réponse partiellement fausse mais bien rédigée rapportait plus de points que des réponses justes mais sans rédaction. Il ne s agit pas de tartiner la copie mais d insérer quelques phrases et des mots comme alors, donc, ainsi, conséquemment, on obtient, il vient, cette égalité donne, on en déduit... Également, il est vivement recommandé de lire les questions d un problème avant d essayer de résoudre celui-ci. En effet, il était possible de deviner les réponses des premières questions à partir de la suite de l énoncé. Il est aussi conseillé de vérifier les réponses autant que faire se peut et d être très prudent sur les calculs. Les calculs sont ici volontairement très détaillés. Il va de soit qu en situation réelle, on n attend pas tant de détails des étudiants. 7
8 8
9 Exercices Exercice Résoudre l équation z (5 + i)z + (6 + 7i). Calcul du discriminant Ici, le discriminant est égal à : (5 + i) 4 (6 + 7i) i + i i 5 + i 4 8i (5 4) + i ( 8) 8i. Calcul d une racine du discriminant On cherche maintenant δ C tel que δ 8i. Remarque : on ne doit surtout pas noter 8i (des points ont été retirés à ceux qui ont écrit ceci). On peut utiliser deux méthodes pour trouver δ. Première méthode On cherche δ sous la forme δ a + ib avec a, b R. De cela, il vient deux équations : a b et ab 8. On en déduit immédiatement a ±b et ab 9. Les réels a et b sont ainsi de signes contraires. D où b a et a 9. Alors, a 3 et b 3 vérifie les deux équations ci-dessus. Remarque : on n a pas procédé par équivalence donc on doit vérifier que 3 3i est bien une racine de. On calcule (3 3i) 3 + (3i) 3 3i 9 9 8i 8i. 9
10 On a donc bien δ avec δ : 3 3i. Les deux racines de sont donc 3 3i et 3 + 3i. Deuxièmeméthode Onutiliselaformepolaire: 8i 8 exp [ ] 3iπ. Conséquemment, δ : 8 exp [ ] 3iπ 4 est une racine de. On calcule : δ [ ] 3iπ 8 exp 4 3 { ( ) 3iπ cos + i sin 4 3 { } + i 3 + 3i. ( )} 3iπ 4 On a donc δ avec δ : 3 + 3i. Les deux racines de sont donc 3 3i et 3 + 3i. Les solutions de l équation Le discriminant est non nul. Il y a donc exactement deux solutions à l équation. Ces deux solutions sont z : b + δ a et z : b δ a avec a :, b : (5 + i) et δ : 3 3i. On procède au calcul : z : b + δ a +(5 + i) + (3 3i) (5 + 3) + i( 3) 8 i 4 i.,
11 Et la deuxième solution est Vérification z : b δ a +(5 + i) (3 3i) 5 + i 3 + 3i (5 3) + i( + 3) + 4i + i. Il n était pas demandé aux étudiants de vérifier que z 4 i et z + i sont des solutions. Mais, il est essentiel de le faire! Ne serait-il pas dommage d avoir fait tout ce qui précède pour n avoir que la moitié des points? Il est toutefois absolument inutile de rédiger la vérification sur la copie (à moins que cela ne vous soit demandé). On procède donc à la vérification. z (5 + i)z + (6 + 7i) (4 i) (5 + i)(4 i) + (6 + 7i) 4 8i ( 5i + 4i + ) i 6 8i ( i) i 5 8i + i i (5 + 6) + i( ).
12 Donc z est bien solution de l équation. On fait de même avec z : z (5 + i)z + (6 + 7i) ( + i) (5 + i)( + i) + (6 + 7i) + 4i 4 (5 + i + i ) i + 4i 4 (3 + i) i + 4i 4 3 i i ( ) + i(4 + 7). Conséquemment, z est aussi solution de l équation.
13 Exercice Question On considère la série numérique ( ) Σ ( )n 3 n (n+) cette série. Question n. Justifier la convergence de En utilisant le développement en série entière de la fonction arctan, calculer la somme de la série ( ) Σ ( )n 3 n (n+) n. de la première question On peut justifier cette convergence de plusieurs manières : critère des séries alternées, critère de D Alembert, critère de comparaison des séries à termes positifs, critère de Cauchy. Première méthode : critère des séries alternées La méthode la plus utilisée lors de l examen a été celle-ci. Toutefois, beaucoup d entre vous n ont pas su bien l appliquer. On pose u n : l on a ( ) n u n pour tout n. Pour appliquer le critère des séries alternées, il faut vérifier deux hypothèses : ( )n pour tout n. La suite (u 3 n (n+) n) n est donc alternée puisque. Lasuitedetermegénéral u n estdécroissante.lafonction x 3 x (x+ ) est croissante. Aussi, la suite de terme général u n est bien décroissante.. La suite (u n ) n tend vers quand n tend vers l infini. La fonction x 3 x (x + ) tend vers + quand x tend vers l infini. Aussi, la quantité u n tend bien vers quand n tend vers l infini. En conclusion, la suite (u n ) n est alternée, tend vers en l infini et la suite de terme générale u n est décroissante. On peut donc appliquer le critère des séries alternées et l on en déduit la convergence de la série ( ) Σ ( )n 3 n (n+) n. 3
14 Deuxième méthode : critère de D Alembert Certains d entre vous ont utilisé cette méthode mais n ont pas fait attention à la non positivité de la suite. On pose u n : ( )n pour tout n. On a donc u 3 n (n+) n. Pour tout 3 n (n+) n N, u n >. On peut donc calculer u n+ u n 3n (n + ) 3 n+ (n + 3) n + 3 n n + 3 } {{ } 3 <. D après le critère de D Alembert, on en déduit que la série (Σ u n ) n converge. En d autres termes, la série (Σu n ) n converge absolument donc elle est convergente. On peut utiliser le critère de D Alembert directement sur la suite u n. MAIS, il faut dans ce cas obtenir l inégalité suivante : u n+ < n lim <. u n Par exemple, la série (Σ( ) n ( ) n+ ) n ne converge pas bien que n lim <. ( ) n Troisième méthode : critère de comparaison des séries à termes positifs On pose u n : ( )n pour tout n. On a donc u 3 n (n+) n. 3 n (n+) Pour tout n N, n +. Ainsi, on a u n ( ) n. 3 n 3 Or, la série de terme général ( ) n 3 est une série géométrique de raison q : ] 3 ; [. On en déduit que la série ( Σ ( ) n ) converge. On utilise le critère de 3 n comparaison des séries à termes positifs ce qui implique la convergence de la série (Σ u n ) n. En d autres termes, la série (Σu n ) n converge absolument donc elle est convergente. 4
15 Quatrième méthode : critère de Cauchy On pose u n : ( )n pour 3 n (n+) tout n. On a donc u n. Pour tout n N, u 3 n (n+) n >. On peut donc calculer n u n [ ] log un exp n [ exp log ] (3n (n + )) n [ ] n log(3) + log(n + ) exp n log(n + ) exp log(3) } {{ n } exp [ log(3)] 3 <. D après le critère de Cauchy, on en déduit que la série (Σ u n ) n converge. En d autres termes, la série (Σu n ) n converge absolument donc elle est convergente. de la seconde question Il fallait d abord donner le développement en série entière de la fonction arctangente. Celui-ci était dans le formulaire de cours ainsi que dans la dernière diapositive du septième cours magistral. Le développement en série entière de la fonction arctangente est arctan(x) n ( ) n (n + )! xn+ pour tout x ] ; [. Il est essentiel de préciser l intervalle. Par ailleurs, on n a pas demandé un développement limité mais bien le développement en série entière. Il n était pas demandé de prouver ce développement. Pour tout y ] ; [, on a N k y k yn+ y y, 5
16 quand N tend vers l infini. Ainsi, on a y pour tout y ] ; [. En particulier, pour tout x ] ; [, en prenant y : x, il vient + x ( ) n x n. n La primitive de la fonction x +x qui s annule en est la fonction arctangente. On intègre donc terme à terme : n y n,, arctan(x) ( ) n xn+ n n +, pour tout x ] ; [. Précisons par ailleurs que ce développement est aussi valide en et en, comme l un d entre vous me l a signalé dans sa copie. En prenant x : 3, on a arctan ( 3 ) Conséquemment, la limite de la série est n ( ) n n 3 3 n (n + ). ( ) n 3 n (n + ) ( ) 3 arctan 3 π 3 6. Remarque : il est extrêmement important de préciser l intervalle où le développement en série entière est valide. En effet, arctan( 3) π mais la série ( ( ) ) 3 n x n+ ne converge pas si x 3 vu que le terme général ne tend n+ n pas vers. 6
17 Exercice 3 Résoudre l équation x (t) x(t) e 3t. Équation homogène associée On considère l équation homogène associée L équation caractéristique est donc x (t) x (t). X. La solution est X. Ainsi, les solutions de l équation homogène associée sont de la forme x (t) Ce t avec C R. Solution particulière La sortie est la fonction t e 3t. On cherche donc une solution particulière de la forme x p (t) : λe 3t où λ est une constante réelle à déterminer. On résout : ( λe 3t) λe 3t e 3t 3λe 3t λe 3t e 3t λe 3t e 3t. Ainsi, x p (t) : e 3t est une solution particulière de l équation. Résolution générale Les solutions générales de l équation sont donc de la forme x(t) e 3t + Ce t, C R. 7
18 Exercice 4 On considère la fonction f(x) : x 3 x Question Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle Question Calculer une primitive de la fonction f. de la première question définie sur l intervalle ]; + [. X 3 X. Remarque : cette décomposition en éléments simples était dans la correction de l exercice 5 du dernier TD. On commence par factoriser X 3 X. On a X 3 X X(X )(X + ). La fraction rationnelle a donc trois pôles simples :, et. La X 3 X décomposition est donc de la forme X 3 X a X + b X + c X +, où a, b et c sont trois constantes réelles à déterminer. On commence par déterminer a en multipliant par X des deux côtés ce qui donne ( b X a + X X + c ). X + On fait tendre X vers et l on obtient a. Il fallait rédiger correctement le calcul d au moins l une des trois constantes. En procédant de même, on obtient b c. Ainsi, on a f(x) x + x + x +, 8
19 pour tout x >. Certains ont écrit f(x) x + x x. Ceci est juste, certes, mais il ne s agit pas de la décomposition en éléments simples. de la seconde question On sait intégrer en log u. Remarque : la notation ln est franco-française et u n est guère utilisée que dans les lycées et avatars. La littérature (de recherche ou d enseignement dans le supérieurcomme les maths en tête de Gourdon), les logiciels de calcul (comme maple ou matlab), les langages de programmation (comme C/C++), les autres pays utilisent la notation log. La notation ln est donc à oublier. L intervalle de définition est ]; + [. On a donc log x log(x), log x log(x ) et log x + log(x + ) pour tout x >. Par conséquent, on a ( f(x)dx x + x + x + dx x + dx x + ) dx dx x + log x + log x + log x + log(x) + log(x ) + log(x + ) ( log ). x Ainsi, la fonction x log ( x ) est une primitive de la fonction f sur l intervalle ]; + [. 9
20
21 Problème L objet du problème est de trouver le terme général de la suite (u n ) n définie par u n+3 6u n+ + u n+ 6u n ϕ n, () où (ϕ n ) n est une suite réelle quelconque. On impose de plus les conditions initiales suivantes : u, u et u. () Préliminaires On considère le polynôme P(X) : X 3 6X + X 6. Pour tout n N, on introduit la suite de vecteurs dans R 3, (V n ) n définie par Question V n : u n+ u n+ u n. Vérifier que l on a P(X) (X )(X )(X 3). On calcule comme suit : (X )(X )(X 3) (X )(X 5X + 6) X 3 5X + 6X X + 5X 6 X 3 6X + X 6 P(X). On a donc bien P(X) (X )(X )(X 3). Remarque : ceux qui ont commencé par P(X) (X )(X )(X 3) n ont évidemment pas eu tous les points.
22 Question Montrer qu il existe une matrice A à trois lignes et à trois colonnes et une suite de vecteurs dans R 3, (B n ) n telles que V n+ AV n + B n, (3) pour tout n N. On donnera les expressions exactes de A et de B n. Remarque : Cette question est dans les préliminaires. Elle est donc facile par essence et il suffisait de savoir manipuler les matrices. Par ailleurs, la méthode pour trouver la matrice A est exactement celle décrite dans la trentehuitième diapositive du sixième cours magistral. On se sert ici de l équation satisfaite par la suite (u n ) n à savoir On peut donc écrire Ceci se traduit comme suit V n+ u n+3 6u n+ + u n+ 6u n ϕ n. u n+3 6u n+ u n+ + 6u n + ϕ n. u n+3 u n+ u n+ 6u n+ u n+ + 6u n + ϕ n u n+ u n+ 6 u n+ u n+ + 6 u n + ϕ n u n+ + u n+ + u n u n+ + u n+ + u n 6 6 AV n + B n, u n+ u n+ u n+ + ϕ n
23 avec A : Question et B n : ϕ n On introduit la suite (V n ) n N définie par n : A n V.. Prouver que la suite (V n ) n N satisfait l équation Pour tout n N, on a n+ A n+ V V n+ AV n. (4) A A n AVn, ce qui achève de prouver que la suite (V n ) n N satisfait l équation (4). 3
24 4
25 Équation homogène associée L objet de cette section est de calculer le terme général de la suite (V n ) n N. Question Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A. Notons χ A le polynôme caractéristique de la matrice A. Paar définition, on a χ A (X) : Det (A XI 3 ) où I 3 est la matrice identité. On a donc χ A (X) 6 X 6 X X Pour effectue ce calcul, on procède à un développement par rapport à la première colonne. On a alors χ A (X) ( ) + (6 X) X X (6 X)(X ) (X 6) 6X X 3 X + 6 P(X).. + ( )+ 6 X Le polynôme caractéristique de la matrice A est donc P. Remarque : certain(e)s futé(e)s qui n ont pas su trouver la matrice A ont annoncé χ A (X) P(X). Ceci ne peut pas être vrai car le coefficient dominant est forcément. 5
26 Question Donner les valeurs propres de la matrice A. Les valeurs propres de la matrice A sont les racines de son polynôme caractéristique.or,lesracinesde P sont, et 3,voirlaquestiondespréliminaires. Ainsi, le spectre de A est {; ; 3}. Remarque : certains ont deviné que les valeurs propres étaient, et 3 à partir des énoncés des questions trois, quatre et cinq. Question 3 Trouver un vecteur v R 3 de la forme tel que l on ait Av v. v : x y, Remarque : il s agit ici de calculer un vecteur propre de A associé à la valeur propre. L équation Av v se traduit ici par (A I 3 )v puis 5 6 x y. On a alors un système de trois équations à deux inconnues Remarque : (et, la matrice A I 3 est de rang deux vu que est une valeur propre de A) : 5x y + 6 x y y 6,
27 ce qui donne une unique solution : x y. Il vient ainsi : v. Question 4 Trouver un vecteur v R 3 de la forme tel que l on ait Av v. v : x y, La preuve est similaire à celle de la question précédente. Certains se sont 4 contentés d écrire On procède de même et l on obtient v. Ceci était suffisant pour avoir tous les points. Mais, il fallait rédiger la question trois. L équation Av v se traduit ici par (A I 3 )v puis 4 6 x y. On a alors un système de trois équations à deux inconnues Remarque : (et, la matrice A I 3 est de rang deux vu que est une valeur propre de A) : 4x y + 6 x y y ce qui donne une unique solution : x 4 et y. Il vient ainsi : 4 v., 7
28 Question 5 Trouver un vecteur v 3 R 3 de la forme tel que l on ait Av 3 3v 3. v 3 : x 3 y 3, La preuve est similaire à celle de la question trois. Certains se sont contentés 9 d écrire On procèdede même et l on obtient v 3 3. Ceci était suffisant pour avoir tous les points. Mais, il fallait rédiger la question trois. L équation Av 3 3v 3 se traduit ici par (A 3I 3 )v 3 puis x 3 y 3. On a alors un système de trois équations à deux inconnues Remarque : (et, la matrice A 3I 3 est de rang deux vu que 3 est une valeur propre de A) : 3x 3 y x 3 y 3 y 3 ce qui donne une unique solution : x 3 9 et y 3 3. Il vient ainsi : 9 v 3 3., 8
29 Question 6 Trouver une matrice inversible P à trois lignes et à trois colonnes telle que l on ait A P P. (5) 3 Il est demandé de justifier l égalité (5) et de ne pas se contenter de donner la matrice. On donnera l expression exacte de P mais l on ne calculera pas P. Remarque : il s agit ici de diagonaliser la matrice A. La matrice A est carrée avec trois lignes et trois colonnes. Elle admet trois valeurs propres distinctes :, et 3. On a donc dim Ker (A I 3 ), dim Ker (A I 3 ) etdim Ker (A 3I 3 ). Comme les valeurs propres sont distinctes, on peut écrire R 3 Ker (A I 3 ) Ker (A I 3 ) Ker (A 3I 3 ),. En d autres termes, la matrice A est diagonalisable : il existe une matrice carrée inversible P telle que A P 3 P. De plus, la matrice P est la matrice de passage de la base {v ; v ; v 3 } (dans l ordre) vers la base canonique. Les colonnes de la matrice P correspondent aux vecteurs propres v, v et v 3. On a donc P Remarque : il s agissait évidemment de la matrice à inverser dans la question huit. 9
30 Question 7 En utilisant l égalité (5), démontrer par récurrence que l on a A n P n P, 3 n pour tout n N. Il n est pas nécessaire d utiliser les expressions exactes de P et P pour résoudre cette question. Remarque : il n est pas nécessaire de le prouver par récurrence mais il était demandé d effectuer une récurrence. Initialisation. Prouvons d abord le résultat pour n. Pour n, on a A I 3. Or, P 3 P PI 3 P PP I 3. L hypothèse est donc vraie au rang n. Hérédité. Supposons l hypothèse vraie au rang n. Prouvons qu elle l est au rang n +. L associativité du produit matriciel donne A n+ A A n. Puis, l hypothèse de récurrence nous donne A n+ AP Enfin, l égalité (5) implique A n+ P Or, P P I 3. On a donc 3 A n+ P n 3 n P P n+ 3 n+ 3 P. n 3 n P. P.
31 L hypothèse est donc vraie au rang n +. Conclusion. Pour tout n N, on a A n P n P. 3 n Question 8 Calculer l inverse de la matrice en utilisant la méthode de votre choix. Plusieurs méthodes sont apparues sur les copies : trois exactement. commençons par la méthode qui a obtenu les meilleurs résultats à savoir celle du pivot de Gauss. Puis, l on présente la méthode utilisant la comatrice (beaucoup utilisée, mais mal utilisée) et enfin, on termine avec la méthode la moins efficace. Première méthode : le pivot de Gauss On met la matrice identité à droite et l on effectue des transformations sur les lignes des deux matrices. Remarque : on peut aussi utiliser des transformations sur les colonnes mais c est une très mauvaise habitude puisque la résolution des systèmes d équations linéaires se fait avec les ttransformations sur les lignes. 4 9 (L ) 3 (L ) (L 3 ) On choisit comme pivot. Il vient 4 9 (L ) 6 (L ) (L ) 3 8 (L 3 ) (L ) 3
32 On divise la ligne deux par : 4 9 (L ) 3 (L ) 3 8 (L 3 ) On prend maintenant comme pivot : 3 (L ) 4 (L ) 3 (L ) 3 (L 3 ) + 3 (L ) On prend maintenant comme pivot : On a donc 5 3 (L ) + 3 (L 3 ) 4 3 (L ) 3 (L 3 ) 3 (L 3 ) Deuxième méthode : la comatrice La formule à connaître est la suivante : P Det(P) Com(P)t, si le déterminant de P est non nul. On calcule d abord le déterminant de P : On calcule maintenant la comatrice de P. Par définition, on a Com(P) a, a, a,3 a, a, a,3 a 3, a 3, a 3,3, 3
33 avec a, ( ) + 3, a, ( ) + 3, a,3 ( ) +3, a, ( ) , a, ( ) + 9 8, a,3 ( ) , a 3, ( ) , a 3 3, ( ) , a 3,3 ( ) On a donc Com(P) On obtient immédiatement P Troisième méthode : le système linéaire Certains étudiants ont abordé la question de la façon suivante. On se donne une matrice M : a b c d e f g h i, et l on résout le système de neuf équations linéaires à neuf inconnues : a b c d e f g h i Cette méthode n a aucun intérêt. Oubliez-la.. 33
34 Question 9 En utilisant les expressions exactes de P et P, calculer le terme général V n. Par définition, on a Vn A n d après les questions 7 et 8, on a A n On peut ainsi calculer : V n La difficulté est ici de calculer A n. Or, n 3 n n 3 n n 3 n 3 n+ 3n 3 + n+3 3n+ 3 + n+ 3n+ 3 + n+ 3n
35 Question En déduire le terme général u n de la suite définie par u n+3 6u n+ + u n+ 6u n u u u. Cette équation correspond à l équation initiale () sans second membre (avec u ϕ n et donc avec B n ). Ainsi, on a Vn n+ u n+. Or, on vient u n de calculer Vn. Par conséquent, u n est égal à la dernière coordonnée de Vn. On a donc u n 3 + n+ 3n. 35
36 36
37 Résolution de l équation générale On cherche une solution à l équation (3), sous la forme V n+ AV n + B n, V n : A n W n, (6) où (W n ) n est une suite de vecteurs de R 3 que l on cherche à calculer. Question À quelle méthode utilisée dans le domaine des équations différentielles cela vous fait-il penser? Cette méthode ressemble à la méthode de la variation de la constante. Question On suppose dorénavant que la suite (A n W n ) n vérifie l équation (3). Montrer que l on a alors W n+ W n A (n+) B n, pour tout n N. Comme la suite (A n W n ) n vérifie l équation (3), on a A n+ W n+ AA n W n + B n A n+ W n + B n. Ilvientalors A n+ (W n+ W n ) B n.or,lamatrice Aestinversible(sondéterminant est non nul) donc la matrice A n+ est également inversible. Conséquemment, on obtient W n+ W n A (n+) B n. 37
38 Question 3 En déduire que l on a W n W + n k A (k+) B k, pour tout n N. On pourra prouver ce résultat par récurrence. Remarque : on peut prouver ce résultat par récurrence assez facilement. Montrons-le d une autre manière. On procède à une somme télescopique : W n W (W n W n ) + (W n W n ) + + (W W ) + (W W ) k n (W k+ W k ) n k A (k+) B k. Puis, l on achève la preuve en passant W de l autre côté. Question 4 Démontrer que ce résultat implique quel que soit n N. V n : A n W n A n V + n k A k B n k, Par définition, on a V A W I 3 W W. Conséquemment, on a n V n A n W n A n V + A n 38 k A (k+) B k.
39 On procède ensuite à un changement d indice dans la somme : k : n p. Il vient ce qui achève la preuve. Question 5 n V n A n V + A n A n V + n p p A (n p) B n p A p B n p, On suppose dans cette question que l on a ϕ n : 5 n. Calculer le terme général V n. En déduire le terme général u n de la suite définie par avec u, u et u. u n+3 6u n+ + u n+ 6u n 5 n, Le calcul de A n V a déjà été effectué dans la partie précédente, sur l équation homogène associée. Il reste donc à calculer la solution particulière à savoir n Vn A p B n p. p 39
40 Pour tout n N et pour tout p n, on calcule maintenant ϕ A p B n p 3 p n p p 3 On a donc n p 3 p p 3 p n Vn A p B n p p 5 n 5 n n+ 5 n p 5 n p p 5 n p 3 p ( p 5) ( ) p ( 5 p 3 5) n+ 5 n n p 5 n p 5 n p ( p n p 5) ( p n p 5) ( n p 3 p 5) ( ( 5) n ) ( ( 5) n ) ( ( 3 5) n ) 8 (5n ) 3 (5n n ) 4 (5n 3 n ) 3n n n n + n 3n n p
41 Par conséquent, on obtient V n A N V + Vn 3 + n+3 3n+ 3 + n+ 3n+ 3 + n+ 3n n n+ + 5n n n+ + 5n n 3 4 3n + 5n 4 Or, par définition, V n u n+ u n+ u n. + 5 n n+ 5 n+. Conséquemment, on a 3n n n n + n 3n u n n 3 4 3n + 5n 4. 4
42 4
43 Méthode directe de résolution Lorsque l on est confronté à une suite récurrente linéaire d ordre quelconque, on ne procède bien sûr pas ainsi. Ce passage par l algèbre linéaire justifie en fait l équation caractéristiue associée à savoir ici X 3 6X + X 6, dont les solutions sont X, X et X 3. On en déduit immédiatement que la solution à l équation homogène associée est u n α n +β n +γ3 n avec α, β, γ R. On cherche maintenant une solution particulière sous la forme u n C5 n où C R. On calcule C comme suit ce qui donne donc C5 n+3 6C5 n+ + C5 n+ 6C5 n 5 n, C ( ), d où C. On a donc u 4 n 5n + α + 4 βn + γ3 n. Or, on veut u, u et u. Pour calculer les constantes α, β et γ, on est ainsi amené à résoudre le système suivant : α β γ On retrouve naturellement la matrice P. La résolution nous donne α 3, 8 β 7 et γ 3. On retrouve ainsi, directement, le résultat du problème
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal
III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détail