Une démonstration du théorème. fondamental des nombres premiers. Fin de Licence 3, , Université d'orsay, Professeur : M. Zuily.

Transcription

1 Ue démostratio du théorème fodametal des ombres premiers Fi de Licece 3, 26-27, Uiversité d'orsay, Professeur : M. Zuily.

2 Table des matières Itroductio 2. Quelques rappels et otatios Eocé du théorème à démotrer U peu d'histoire Eocé des résultats d'aalyse qui serot utilisés 4 2. Résultats sur les séries umériques Résultats d'itégratio Résultats d'aalyse complexe Résultats du chapitre "Le problème des Primitives des Foctios holomorphes" Résultats du chapitre "Aalycité des foctios holomorphes et coséqueces" Résultats du chapitre "Homotopie, Gééralisatio des résultats" Lemme de Newma Eocé Démostratio Démostratio 4 3. La foctio dêta de Riema Déitio, premières propriétés Lie etre foctio dêta et ombres premiers Prologemet de la foctio dêta Etude de 2 foctios itermédiaires Ue première foctio Φ Ue deuxième foctio ϕ Lie etre les foctios Φ et ϕ et coséqueces Preuve du théorème et du corollaire Preuve du théorème Preuve du corollaire

3 Chapitre Itroductio. Quelques rappels et otatios O ote P l'esemble des ombres premiers, et l'o rappelle le résultat suivat : Propositio. L'esemble P est de cardial ii. O commece par rappeler la propriété suivate : Lemme. Tout etier aturel supérieur ou égal à 2 admet u diviseur premier. Preuve Soit N, 2. Si est premier, comme divise, c'est termié. Sio, 'est pas premier et alors l'esemble des diviseurs d de tels que 2 d 'est pas vide, il admet doc u plus petit élémet oté p. Motros que p est écessairemet premier. Par l'absurde, s'il e l'était pas, il admettrait u diviseur d tel que 2 d < p. Tout diviseur de p état u diviseur de, p e serait plus le plus petit diviseur premier de supérieur ou égal à 2 ce qui est absurde. Doc p est premier. Preuve de la propositio Par l'absurde : supposos l'esemble des ombres premiers i ; soit alors q le plus grad d'etre eux. Posos N q + où q désige le produit de tous les ombres premiers etre 2 et q. Par le lemme, il existe u ombre premier p qui divise N : p e peut être i 2, i 3, i..., i q : sio, p diviserait q, et comme p divise N il diviserait la diérece N q c'est à dire p divise, ce qui 'est pas possible. Doc p est premier et p > q. Cotradictio avec la déitio de q. Absurde! Doc l'esemble des ombres premiers est bie ii. O peut doc ordoer l'esemble des ombres premiers e ue suite iie strictemet croissate : P {2 p < p 2 <... < p <...} Das toute la suite, o ote aussi, pour tout x 2, Π(x) le ombre de ombres premiers iférieurs ou égaux à x, c'est à dire, Π(x) p x. Et e, pour tout x R, o ote Ω x {s C : Re s > x}. 2

4 CHAPITRE. INTRODUCTION 3.2 Eocé du théorème à démotrer Ce théorème doe ue iformatio sur la fréquece asymptotique des ombres premiers, c'est à dire u équivalet pour Π(x), lorsque x est grad. Théorème. (théorème fodametal des ombres premiers) lim x Π(x) x/ log(x) Après avoir démotré ce théorème, o e déduira le corollaire : Corollaire. Si o ote p le -ième ombre premier, o a :.3 U peu d'histoire... p log() Pedat logtemps, les mathématicies se sot demadés s'il existait ue foctio f(x) qui pouvait approximer, même grossièremet, le ombre Π(x) des ombres premiers iférieurs à x. Gauss, le premier remarqua qu'e preat u ombre au hasard aux eviros de x, o tombait sur u ombre premier avec ue probabilité de / l(x). Par exemple aux eviros de, il y a ue proportio de / l() 4.47 pour cet de ombres premiers. C'est doc e 792, à quie as, que Gauss cojectura que Π(x) est asymptotiquemet égale à la foctio logarithme itegrale Li(x) x (/ log(t))dt. Comme o savait Li(x) x/ log(x), l'hypothèse était : Π(x) 2 x problème devit doc alors de prouver que : lim x Π(x) x/ log(x) x x/ log(x). Le Cette hypothèse est aussi ue coséquece d'ue hypothèse proposée idépedammet par Legedre etre 798 et 88 qui idiquait que Π(x) devait être de la forme x/(l(x)+c), où C appelée costate de Legedre, est égale à Plus tard, Tchebychev motra qu'il existait des costates C,C, < C < < C tel que C x/ log(x) < Π(x) < Cx/ log(x) pour tout x 2. Il calcula par la suite ces costates. Il prouva aussi que si Π(x)/(x/ log(x)) possédait ue limite ie à l'ii, c'était écessairemet et que l'approximatio de Legedre était icorrecte sauf si.8366 était remplacé par. Ce sot les travaux de Riema sur la foctio éta et ses éros, ζ(s) (/ s ) pour Re(s) > qui ret avacer le problème. Aisi e 896, Hadamard et de la Vallée Poussi, grâce aux travaux précurseurs e aalyse complexe de Riema, trouvèret idépedammet et à quelques mois d'itervalle la solutio du problème, ce qui doa le Théorème fodametal des ombres premiers éocé ci dessus. E, e 949 P.Erdös (mathématicie hogrois) et A.Selberg (mathématicie orvégie) doèret ue preuve du théorème plus élémetaire, sas utiliser les résultats d'aalyse complexe. C'est alemet Selberg qui obtit la médaille Fields e 95, mais il y eut cotroverse pour savoir à qui attribuer la découverte.

5 Chapitre 2 Eocé des résultats d'aalyse qui serot utilisés 2. Résultats sur les séries umériques Théorème 2. (théorème de comparaiso sur les séries à termes positifs) Soiet (u ) N et (v ) N R N + deux suites à termes positifs telles que, au mois à partir d'u certai rag N doé, o a, pour N, u v. Alors, Si u diverge, alors v diverge. Si v coverge, alors u coverge. Propositio 2. La covergece ormale d'ue série de foctios etraîe la covergece uiforme de cette même série. Lemme 2. (lemme sur "l'ordre de sommatio" des termes de séries absolumet covergetes) Soit (u ) N C N, telle que u est absolumet covergete. Soit aussi (A j ) j N telle que : j N, A j N. la suite des (A j ) est croissate pour l'iclusio (ie. A j A j+ pour tout j N ). N A j. Alors, j u lim 2.2 Résultats d'itégratio j A j u. Théorème 2.2 (théorème de comparaiso sur les itégrales de foctios positives) Soiet f et g deux foctios positives déies sur u espace mesuré (X, A, µ), telles que, pour presque tout x, f(x) g(x). Alors, Si g est itégrable par rapport à la mesure µ, alors f l'est aussi. Si f 'est pas itégrable par rapport à µ, alors g e l'est pas o plus. Lemme 2.2 (lemme de Lebesgue) Soit f ue foctio itégrable sur u itervalle [a; b] de R. Alors, b lim a f(t)e it dt. 4

6 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS Résultats d'aalyse complexe 2.3. Résultats du chapitre "Le problème des Primitives des Foctios holomorphes" Théorème 2.3 (théorème de Cauchy das u esemble covexe) Soiet U ouvert covexe de C, p U, et ue applicatio f : U C. Si l'o suppose f cotiue sur U, holomorphe das U\{p}, alors quelque soit le lacet γ de Ude classe C par morceaux, f()d. Théorème 2.4 (Formule itégrale de Cauchy das u covexe) Soiet U u ouvert covexe de C, f : U C ue foctio holomorphe, et γ u lacet de C. Alors pour tout poit a de U privé de l'image de γ, f(a)id γ (a) 2iπ γ γ f() a d Résultats du chapitre "Aalycité des foctios holomorphes et coséqueces" Théorème 2.5 (théorème de stabilité) Si ue foctio f est holomorphe das u ouvert U de C, alors f est ecore holomorphe. Théorème 2.6 (théorème de Morera) Soit U u ouvert de C. Soit ue foctio f : U C. O a l'équivalece etre les 2 poits suivats : f est holomorphe das U. Quel que soit le triagle tel que U, f()d. Corollaire 2. Soit U u ouvert de C. Soiet ue foctio f : U C et p U. Si f est holomorphe das U\{p}, cotiue sur U, alors f est holomorphe das U. Lemme 2.3 (éros et pôles des foctios holomorphes) Soiet U u ouvert de C et ue foctio f : U C holomorphe, o idetiquemet ulle. Si U est u éro de f d'ordre k, alors das u voisiage de, f() ( ) k g(), où g( ) et g holomorphe sur ce voisiage ; f () f() k + h() où h est holomorphe près de. Si U est u pôle de f d'ordre k, alors das u voisiage de, f() ( ) k g(), où g( ) et g holomorphe sur ce voisiage ; f () f() k + h() où h est holomorphe près de. NB : o peut calculer le quotiet f /f au voisiage d'u éro, car la foctio état holomorphe, elle e s'aulera pas à ouveau au mois das u voisiage de (pricipe des éros isolés). faut-il que U soit coexe? Théorème 2.7 (théorème de Weierstrass) Soit Ω u ouvert de C et (f ) N ue suite de foctios déies sur Ω à valeurs das C, telle que : Pour tout, f est holomorphe das Ω ;

7 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS 6 la série f est uiformémet (resp. ormalemet) covergete sur tout compact de Ω vers ue foctio f. Alors, la foctio f est holomorphe das Ω, et la série f coverge uiformémet (resp. ormalemet) vers f sur tout compact iclus das Ω. Théorème 2.8 (théorème d'holomorphie sous le sige itégral) ( Théorème I.7?) Soiet (X, A, µ) u espace mesuré, U u ouvert de C. Soit aussi la foctio f : f : U X C (s, t) f(s, t). O pose : F : U C s F (s) Les hypothèses sot alors : t f(s, t) est itégrable par rapport à la mesure µ sur X ; X f(s, t)dµ(t). s f(s, t) est holomorphe sur U pour µ-presque tout t, et o ote Il existe ue foctio φ : X R+ telle que : f(s, t) s la dérivée. s U, pour presque tout t X f(s, t) φ(t). Alors, F est déie sur U, holomorphe sur U, et s U, F (x) X f(s, t) dµ(t). s NB : il sut que l'hypothèse de domiatio soit vériée pour s das u compact K quelcoque iclus das U. Propositio 2.2 (covergece de produits iis) Soit (u ) N C N. Si la série de terme gééral u est absolumet covergete, et u pour tout, alors le produit ii ( + u ) est coverget au ses strict, c'est à dire coverget et o ul Résultats du chapitre "Homotopie, Gééralisatio des résultats" Théorème 2.9 (théorème de Cauchy) Soiet U ouvert simplemet coexe de C, f foctio holomorphe das U, et γ u lacet coteu das U.Alors, f()d. 2.4 Lemme de Newma 2.4. Eocé C'est ce lemme fodametal qui est le cetre de la démostratio. γ Lemme 2.4 Soit f L ([; [, dx) (ie. f sup t [; [ f(t) < ). O lui associe la foctio : F : Cette foctio est déie et holomorphe das Ω. e t f(t)dt. Si F se prologe e ue foctio holomorphe das u voisiage V de Ω, alors l'itégrale et vaut F (). f(t)dt coverge

8 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS Démostratio Preuve de l'existece et de l'holomorphie de F O va essayer d'appliquer le théorème d'holomorphie sous le sige itégral rappelé ci-dessus. Cocerat l'existece même de F (ie. l'itégrabilité de la foctio sous l'itégrale), elle découlera de la véricatio de l'hypothèse de domiatio. Quel que soit t >, la foctio e t f(t) est holomorphe das Ω comme produit d'ue costate par ue foctio holomorphe. Si K est u compact quelcoque de Ω, il existe δ > tel que pour tout K, Re() > δ. Pour u tel et t ]; [, o a alors e t f(t) f e tδ, et la foctio t f e tδ est bie itégrable sur ]; [ (c'est ue foctio cotiue doc localemet itégrable, et c'est u o(/t 2 ) e + ). Aisi, le théorème s'applique et F est bie déie et holomorphe das Ω. Existece et calcul de T lim f(t)dt T ère étape : Motros qu'o peut supposer sas perte de gééralité F (). Supposos avoir démotré le lemme pour les foctios ayat ue valeur ulle e. Soit alors ue foctio f vériat les hypothèses du lemme et telle que la valeur F () de la foctio F associée e soit pas. O déit la foctio g sur [; [, par g(t) f(t) F ()e t. Cette foctio est alors ecore borée sur so itervalle de déitio : ce qui prouve que g L ([; [, dx). O pose alors : t [; [, g(t) f(t) F ()e t, f(t) + F ()e t par iégalité triagulaire, f + F (), G() e t g(t)dt, e t (f(t) F ()e t )dt, e t f(t)dt F () e (+)t dt (o peut séparer e 2 car les 2 itégrales coverget), F () F (), après calcul. + Comme il est alors clair que G(), la versio supposée démotrée du théorème s'applique et lim T existe et vaut G(). O a esuite : T T lim f(t)dt lim g(t) + F ()e t dt T T T T lim g(t)dt + lim F ()e t dt (les 2 itégrales coverget), T T + F () F (). T g(t)dt

9 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS 8 E supposat le théorème démotré pour les foctios ulles e l'origie, o parviet à le déduire pour les foctios quelcoques. Ce qui justie qu'o peut supposer sas perte de gééralité F (). 2ème étape : O itroduit quelques otatios. O se xe u réel ɛ >. O sait que f L ([; [, dx). Doc o peut choisir u réel R > (R susammet grad) tel que : f < ɛr 3. O déit aussi les chemis suivats (que l'o cofod avec leur image), représetés sur la gure : Γ + { C, R, Re() }(orieté das le ses direct), Γ { C, R, Re() }(orieté das le ses direct), Γ Γ + Γ cercle cetré e l'origie de rayo R, S [ir; ir] {ir + t( ir ir) ir( 2t), t }. Sachat que V (espace das lequel F se prologe e ue foctio holomorphe) est u voisiage de Ω { C, Re() }, o sait que Γ + S V. Soit T >. O déit la foctio F T par : F T () Fig. 2. Chemis de C utilisés T e t f(t)dt [;T ] (t)e t f(t)dt, et o cherche lim T F T ()... Motros rapidemet que F T est etière (holomorphe sur C). Déjà, la foctio t [;T ] (t)e t f(t) est itégrable sur R + car domiée par la foctio t f [;T ] (t) qui est elle même itégrable (foctio costate sur u compact). Esuite la foctio [;T ] (t)e t f(t) est etière. Et e, quelle que soit la costate A > xé quelcoque, t [, [, et tel que A, [;T ] (t)e t f(t) e t [;T ] (t) f e Re()t f [;T ] (t), e At [;T ] (t) L ([; [, dx).

10 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS 9 O obtiet la derière majoratio e costatat que si < A, A < Re() < A puis, comme t >, At < tre() < At. C'est cette derière majoratio qui doe la domiatio de la foctio itégrée sur tout compact de C ; e coséquece, le théorème d'holomorphie sous le sige itégral s'applique et l'o obtiet le résultat voulu. O déit esuite la foctio H T sur C\{} par : H T () F T () et Et e o déit la foctio H sur V \{} par : ( + 2 R 2 ). H() (F () F T ())e T ( + 2 /R 2 ). O rappelle, ue fois supposé F (), qu'il s'agit de prouver que : T lim F T () lim f(t)dt T T 3ème étape : O écrit F T () comme ue somme de 3 termes. Première décompositio de F T () e ue somme ( de 2 ) termes : Posos, quel que soit C, φ() F T ()e T + 2. R 2 f(t)dt F (). Alors : φ est holomorphe sur C (ouvert covexe) comme produit de foctios etières (o viet de motrer que F T l'était). Γ est u chemi fermé iclus das C. O C\Γ. Aisi, la formule itégrale de Cauchy pour les covexes s'applique, et l'o obtiet : Id Γ ()φ() 2iπ De plus, o calcule facilemet l'idice de par rapport à Γ : d Id Γ ()φ() 2iπ, Γ Γ φ() d. 2π ire it dt 2iπ Reit, avec la paramétrisatio classique du cercle Γ : t Re it, t [; 2π], 2π 2π dt. Sachat esuite que Γ Γ + Γ, l'additivité de l'itégrale le log des chemis permet d'écrire : [ φ() ] φ() 2iπ Γ + d + φ() Γ d. O remarque esuite que φ() F T (), et que H T () φ()/, pour écrire : [ F T () ] H T ()d + H T ()d. 2iπ Γ + Γ

11 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS La décompositio de F T () cherchée : O sait que la foctio F ()/ est holomorphe das V (o a supposé F () ). Par produit, il e est doc de même pour la foctio F () ( ) e T + 2 R 2. Comme Γ + S est u lacet iclus das V, l'itégrale de cette derière foctio le log de Γ + S est ulle, à coditio que : V soit covexe pour appliquer le théorème de Cauchy das u esemble covexe ou que V soit simplemet coexe pour appliquer le théorème de Cauchy plus gééral (coséquece des otios d'homotopie)? O a doc : ( ) F () e T + 2 R 2 d Γ + S 2iπ Γ + ( ) F () e T + 2 R 2 d + 2iπ S ( ) F () e T + 2 R 2 d. Réécrivos alors les 2 égalités précédemmet obteues pour les soustraire membre à membre : [ F T () ] H T ()d + H T ()d, 2iπ Γ + Γ 2iπ Γ + ( ) F () e T + 2 R 2 d + 2iπ S ( ) F () e T + 2 R 2 d, F T () H T ()d 2iπ Γ 2iπ S + 2iπ H T () F () Γ + H T ()d 2iπ Γ 2iπ S ( ) F () e T + 2 R 2 d ( ) e T + 2 R 2 d, ( ) F () e T + 2 R 2 d H()d, 2iπ Γ + ce qui doe la décompositio e 3 termes de F T (). 4ème étape : O majore le module de chacu des 3 termes iterveat das la décompositio de F T (). Majoratio de l'itégrale sur Γ + : a)tout d'abord, H()d H() d (iégalité triagulaire pour les itégrales), 2iπ Γ + 2π Γ + sup{ H(), Γ + }d, 2π Γ + 2π sup{ H(), Γ +} L(Γ + ) où L(Γ + ) désige la logueur du chemi Γ +, 2π sup{ H(), Γ +} πr, R 2 sup{ H(), Γ +},

12 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS il faut alors majorer sup{ H(), Γ + }, sachat que la foctio H s'exprime sur V \{} par : H() (F () F T ())e T ( + 2 /R 2 ). b)majoros doc d'abord F () F T () pour V \{}. F () F T () e t f(t)dt, T T e t f(t) dt, T e tre() f(t) dt, f e tre() dt, T T Re() e f Re(). c)simplios esuite e T ( + 2 /R 2 ) pour Γ +,. O commece par remarquer que pour u tel, o a : 2 R 2, puis, e T ( + 2 /R 2 ( ) et + ) R 2, ( et R 2 + ) R 2, 2Re() et, R 2 2 R 2 Re()eT Re(). d)majoros sup{ H(), Γ + }. { sup{ H(), Γ + } sup F () F T () e T ( + 2 /R 2 } ), Γ +, T Re() e f 2 Re() R 2 Re()eT Re(), e)et par suite, f 2 R 2. H()d 2iπ Γ + R 2 f 2 R 2, f R, ɛ 3.

13 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS 2 Majoratio de l'itégrale sur Γ : a) O commece tout d'abord comme au poit précédet : ) H T ()d F 2iπ Γ T () et ( + 2 2iπ Γ R 2 d, F T () 2π Γ e T ) ( + 2 d, F T () 2 2π Γ R 2 Re() et Re() d (e utilisat u calcul eectué au poit précédet e faisat attetio au fait que cette fois, Re() ), R 2 2π F T () L(Γ ) 2 R 2 Re() et Re(), 2π F T () πr 2 R 2 Re() et Re(), F T () Re() Re() et R b) Il faut alors majorer F T () pour Γ. F T () T e t f(t)dt, T e tre() f dt, [ ] T f e tre(), Re() [ Re() e T f + ] Re() Re() [ ] e T Re() f Re() Re() car Γ, T Re() e f Re(). c) O peut alors obteir : H T ()d 2iπ Γ T Re() e f Re() R Re() et Re(), f R, ɛ 3.

14 CHAPITRE 2. ENONCÉ DES RÉSULTATS D'ANALYSE QUI SERONT UTILISÉS 3 Estimatio de l'itégrale sur S : O paramètre le segmet S [ ir; ir] par t it, t [ R; R]. 2iπ S ( ) F () e T + 2 R 2 d 2iπ S R 2iπ R : R R ( ) F () e T + 2 R 2 d, G R (t)e it t dt, ( ) F (it) e T it + (it)2 it R 2 idt, ) F (it) où G R (t) ( t2 2πit R 2. La foctio G R est de classe C sur l'itervalle [ R; R], comme composée et produit de foctios de classe C doc e particulier itégrable sur ce segmet. Le lemme de Lebesgue s'applique alors : R lim T G R (t)e it t dt. R Aisi, pour le ɛ > xé, il existe T > tel que pour T T, ( ) F () e T + 2 2iπ R 2 ɛ/3. 5ème étape : O peut coclure. S F T () H T ()d 2iπ Γ + 2iπ S ( ) F () e T + 2 R 2 d + H()d 2iπ Γ +, 3 ɛ 3 ɛ. Ce qui coclut la démostratio du lemme de Newma, qui va servir das la preuve du théorème.

15 Chapitre 3 Démostratio 3. La foctio dêta de Riema 3.. Déitio, premières propriétés Déitio 3. O appelle foctio dêta de Riema la foctio ζ suivate : ζ : s ζ(s) s, quad cela a u ses. Lemme 3.. La foctio ζ est déie pour s Ω. 2. La foctio ζ est holomorphe das ce même esemble Ω. Preuve du lemme. Soit s Ω, ie. Re s >. O a : exp( s log ), exp( Re(s) log iim(s) log ), exp( Re(s) log ),, Re(s) et, pour Re s >, la série de terme gééral est ue série dite de Riema, et covergete, doc Re(s) la série qui déie la foctio ζ est das ce cas absolumet covergete. 2. O cherche à appliquer le théorème de Weierstrass rappelé au chapitre précédet. Vérios les 2 hypothèses. Pour chaque N, sur l'ouvert Ω, la foctio s exp( s log ) est holomorphe comme s composée de foctios holomorphes (il s'agit même d'ue foctio holomorphe sur C c'est à dire etière). Soit δ >. O se place sur l'esemble Ω +δ. O a alors : { } { } sup s, s Ω +δ sup, s Ω Re(s) +δ Et, pour s Ω +δ,, ce qui implique, +δ Re(s) { sup s }, s Ω +δ 4 +δ,

16 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 5 e, sachat que la série de terme gééral / +δ coverge, par théorème de comparaiso des séries à termes positifs, la série qui déit la foctio ζ coverge ormalemet sur Ω +δ. Le théorème s'applique doc, ce qui termie de prouver l'holomorphie de ζ Lie etre foctio dêta et ombres premiers Propositio 3. Soit u ombre complexe s Ω. (. Le produit ii ) p s est coverget, et même coverge au ses strict au ses où il est o ul. 2. Le lie etre ce produit et la foctio ζ est établit aisi : Preuve ζ(s) ( ); p s et la covergece est uiforme sur tout compact de Ω. Pour tout N, p (puisque 'est pas cosidéré comme état u ombre premier...), doc pour s Ω,, Re(s) p s p Re(s) ce qui prouve, par théorème de comparaiso des séries à termes positifs que la série de terme gééral p est absolumet covergete. Il s'agit alors d'ue simple applicatio du résultat sur la covergece s des produits iis, rappelé au chapitre précédet. O va chercher à appliquer le lemme sur "l'ordre de sommatio" des termes d'ue série absolumet covergete, éocé aussi ci-avat. Soit j N. Soit k N. O déit : A jk { N : p k pk pkj j avec k + k k j k et k l N, l,..., j} et A j O a alors les propriétés suivates : A jk. Les A j formet ue suite croissate pour l'iclusio : e eet, si A j, pour j xé, p k pk pkj j, et p k pk pkj j p j+, ce qui motre A j+. O a N A j. Ceci résulte de l'existece de la décompositio e facteurs premiers : pour chaque j N, il existe j N, et des etiers k,..., k j tels que p k pk pkj j, et alors A j, ce qui justie N A j, l'autre iclusio état évidete. j E, si l'o pose u s, où s Ω, o sait déjà que u est absolumet covergete. Les hypothèses du lemme sot doc vériées, o peut doc l'appliquer pour obteir ζ(s) s lim j s. A j De plus, à j xé, les A jk formet ue partitio de A j : e eet, pour k k, A jk A jk. Ceci se justie par l'uicité de la décompositio e facteurs premiers : si p k pk pkj j p k pk pk j j, alors k

17 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 6 k l k l, pour l {,..., j}. Aisi, o a esuite : ζ(s) lim j lim j k lim s A j j k lim j k lim j s, A jk (k,...,k j) N j k + +k jk (k,...,k j) N j k + +k jk ( k ) p ks (p k... pkj j )s avec la déitio de A jk (p ks k j p kjs j p kjs j, [( ) ( )] lim j... p s p s j (sommes de séries géométriques de raisos resp. p,..., s p, quatités iférieures strictemet à s j lim j j ( ) p s ( ). p s Il reste à justifier le caractère uiforme de la covergece sur les compacts... Corollaire 3. La foctio ζ 'a aucu éro das Ω. Preuve C'est immédiat puisque, pour s Ω : ζ(s) ( ). p s 3..3 Prologemet de la foctio dêta Propositio 3.2 O déit la foctio v : v : Ω C s ζ(s) s. Alors v se prologe e ue foctio holomorphe das le demi-pla ouvert Ω {s C, Re(s) > }.

18 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 7 Preuve Soit s Ω. Alors l'itégrale ci-après existe (itégrale de Riema covergete) et se calcule : [ ] dx x s+ x s s + s + s, puis ecore, avec la relatio de Chasles pour les itégrales : s + E utilisat cette égalité, et la déitio de la foctio ζ o peut alors écrire (astucieusemet!), pour s Ω : + ( v(s) s ) x s dx. } {{ } v (s) O cherche alors à ouveau à appliquer le théorème de Weierstrass pour motrer qe v est holomorphe das Ω maiteat que v est déie comme somme d'ue série de foctio. Vérios les hypothèses : Motros que v (s) est ormalemet covergete au mois sur tout compact de Ω. Soit M > et δ > xés. Motros la covergece ormale de la série das l'esemble { C, M, Re(s) δ} où l'o pred s xé. Posos, pour t [; ], f(t) /t s. La foctio f est dérivable sur so esemble de déitio, et f (t) s/t s+. O peut doc appliquer l'iégalité des accroissemet is à f etre et x [; +], pour N xé. O obtiet alors : f() f(x) x sup{ f (t), t x}, s s+ (e majorat aussi x par ) s, M Re(s)+ δ+ ; o obtiet alors ue majoratio de v (s) : v (s) + x s dx (iégalité triagulaire pour les itégrales) + M δ+ f() f(x) dx + dx M δ+. Le théorème de comparaiso des séries à termes positifs permet alors de coclure : comme M δ+ coverge (série de Riema), et la majoratio précédete état valable quel que soit le ombre complexe s { C, M, Re(s) δ}, o sait que v (s) coverge ormalemet das l'esemble aocé. Esuite, pour tout N, v est ue foctio etière. Essayos de le justier : a priori pour tout s, o a par déitio : + ( v (s) s ) x s dx. O peut aussi calculer l'itégrale déissat v : o obtiet, après simplicatio : s + [exp(( s + ) log( + )) exp(( s + ) log())], s, s v (s) log( + ) + log(), s. dx x s.

19 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 8 Il est alors clair que v est holomorphe sur C\{}. Il sut d'étudier la sigularité e. O est doc ameé à chercher lim v (s). Pour cela, o pose t s pour se rameer e, et o fait s s u développemet limité de v à l'ordre, au voisiage de t : O e déduit v (s) v ( t) t [exp(t log( + )) exp(t log())] t t t [ + t log( + ) t log() + o(t)] t log( + ) + log() + o() t lim v (s) log( + ) + log() v (). s s La sigularité e est doc articielle, il y a cotiuité de v e, et le corollaire du théorème de Morera rappelé das le chapitre précédet permet de coclure que v est ue foctio etière. Le théorème de Weierstrass s'applique, et doc v est holomorphe das Ω. Corollaire 3.2 La foctio ζ déie das Ω se prologe e ue foctio méromorphe das Ω qui a pour seule sigularité u pôle simple e, et le résidu e ce poit est Res(ζ, ). Preuve O sait que pour s Ω, ζ(s) v(s) + s. O sait aussi que v est holomorphe das Ω par la propositio précédete, et s est holomorphe s das C\{}. Aisi, par somme, ζ est holomorphe das C\{} Ω Ω \{}, doc méromorphe das Ω ({} état u esemble discret). v est ue foctio etière doc développable e série de Taylor au voisiage de : il existe doc ue suite (c ) N de ombres complexes, il existe r > tels que : s tel que s < r, v(s) c (s ). Aisi le développemet e série de Lauret de la foctio ζ au voisiage de, est : s tel que s < r, ζ(s) s + c (s ), et par déitio du résidu, o voit que Res(ζ, ). Corollaire 3.3 s Ω, ζ(s) ζ(s). E particulier, l'esemble des éros de la foctio ζ est symétrique par rapport à l'axe des réels. Preuve O sait que ζ(s) v(s) + s. D'ue part, o a s s. D'autre part, par déitio, v(s) permet alors de justier v(s) v(s). + exp( s log ) exp( s log x)dx. L'égalité suivate, à savoir : exp( s log t) exp( s log t), t

20 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION Etude de 2 foctios itermédiaires 3.2. Ue première foctio Φ O pose, pour s Ω, Φ(s) Lemme 3.2 La foctio Φ est holomorphe das Ω. log p p s. Preuve Il s'agit ecore ue fois d'ue applicatio du théorème de Weierstrass : O a déjà vu, pour tout, p, doc pour s Ω, p Re(s) log p log. Aisi, log p p s log, Re(s) Re(s), ie. p s Re(s). Puis, et le même style de raisoemet que précédemmet permet de prouver la covergece ormale et log doc uiforme de la série déissat Φ sur tout compact de Ω (e eet, est le terme gééral +δ d'ue série de Bertrad covergete pour tout δ >... etc...). Esuite, s log p p s est ue foctio etière. Le théorème s'applique et o a la coclusio cherchée. Propositio 3.3. Il existe ue foctio h holomorphe das Ω /2 telle que, pour Re(s) >, o ait : Φ(s) ζ (s) ζ(s) + h(s). 2. Pour tout s Ω \{}, ζ(s). 3. La foctio Ψ : s Φ(s) s déie sur Ω se prologe e ue foctio holomorphe sur u voisiage de Ω. Preuve. O déit la suite de foctios (f ) aisi : f (s) Ω, et f (s) p s log p ( ) 2. p s De plus, o sait que : ζ(s) lim N k. Chaque foctio est holomorphe das p s N f (s), avec covergece uiforme du produit sur tout compact de Ω. Aisi, ce doit être ue propriété du produit ifii, o a : ( N ζ (s) lim f (s)) lim N k N k N N f k(s) f (s). k

21 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 2 O peut alors calculer : ζ (s) ζ(s) lim N k N N f k(s) f (s) lim N k k N f (s) lim N N k lim N N k k f k (s) f k (s) log p k p s k p s k après simplicatio.. de la limite aussi? log p ( k ) p s k Par suite, pour s Ω, Φ(s) + ζ (s) ζ(s) log p p s log p p s Et l'o pose alors, log p p s (p s ) h(s) (après réductio au même déomiateur). log p p s (p s ), il reste doc à justier que h est holomorphe das Ω e appliquat le théorème de Weierstrass dot les 2 hypothèses sot les suivates : Quel que soit, s log p p s (p s ) est holomorphe das Ω /2. Il s'agit de justier la covergece ormale de la série de foctios sur tous les esembles du type Ω /2+δ, δ >. Soit s tel que Re(s) /2 + δ xé. O sait qu'à partir d'u certai rag, log p k p δ k

22 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 2 (croissace comparée log-foctios puissace), et que pour tout k, p k k. Aisi : log p p δ p s (p s ) p Re(s) p s, p Re(s) δ p s p Re(s) δ p s p Re(s) δ p Re(s) p Re(s) δ (p Re(s) ) p 2Re(s) δ p Re(s) (e utilisat : a b a b ) (au mois à partir d'u certai rag) p 2Re(s) δ p /2+δ 2Re(s) δ p /2+δ (car Re(s) /2 + δ) (car p ) C (où C est ue costate,...commet le justifier?) 2Re(s) δ C car : Re(s) /2 + δ 2Re(s) δ + δ. +δ C Comme la série de terme gééral coverge (série de Riema), par comparaiso, il y a covergece ormale (l'iégalité état valable quel que soit s tel que Re(s) /2 + δ, elle est valable pour +δ le sup...) de la série déissat h, ce qui termie de prouver que l'o peut appliquer le théorème de Weierstrass. 2. O raisoe e supposat que ζ a u éro d'ordre m das l'esemble Ω \{}, e u poit oté s b + ib, b et l'o va motrer que m. O sait déjà que s b ib est ecore u éro d'ordre m, et de la même maière, o ote l'ordre du éro e s 2b + 2ib et s 2b 2ib. Par le lemme sur les éros et pôles des foctios holomorphes (rappelé au chapitre précédet), au voisiage de, pôle d'ordre, le quotiet ζ /ζ s'exprime de la maière suivate : Sachat par le premier poit que : ζ (s) ζ(s) + g(s) où g est holomorphe das ce voisiage. s o a immédiatemet au voisiage de : Φ(s) ζ (s) ζ(s) + h(s) avec h holomorphe das Ω /2, Φ(s) g(s) + h(s), s

23 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 22 ce que l'o peut écrire, pour ɛ proche de, o peut alors e déduire : Φ( + ɛ) g( + ɛ) + h( + ɛ); ɛ lim ɛφ( + ɛ). ɛ ɛ> Le même type de raisoemet au voisiage de chacu des poits s b, s b, s 2b et s 2b, ous coduit aux résultats suivats : lim ɛφ( ± ib + ɛ) m et lim ɛφ( ± 2ib + ɛ). ɛ ɛ> ɛ ɛ> D'autre part, calculos la quatité suivate, pour t ]; [ : Φ(t + 2ib) + Φ(t 2ib) + 4Φ(t + ib) + 4Φ(t ib) + 6Φ(t) ɛ ɛ> log(p ) p t ( p 2ib log(p ) p t (p ib/2 + 4 p ib p ib + p 2ib ) log(p ) p t ( p 2ib + p 2ib + 4 p ib (réorgaisatio des termes) + p ib/2 ) 4 e idetiat ue formule du biôme. ɛ ɛ> ) + 4p ib + 6 O pose t +ɛ ]; [, e multipliat par ɛ, et e passat à la limite, les calculs ci-dessus aboutisset à : log(p ) lim ɛ(φ(+2ib+ɛ)+φ( 2ib+ɛ)+4Φ(+ib+ɛ)+4Φ( ib+ɛ)+6φ(+ɛ)) lim ɛ p +ɛ c'est-à-dire : 4m 4m + 6 lim ɛ ɛ ɛ> log(p ) p +ɛ (p ib/2 + p ib/2 ) 4, (p ib/2 +p ib/2 ) 4, ie. 8m (car ), puis m 6/8 et m N, ce qui sigie m, ce qu'o cherchait à motrer. 3. O sait maiteat que ζ e s'aule pas das Ω et est méromorphe das Ω. Doc /ζ est holomorphe das u voisiage de Ω e particulier. De plus, par théorème de stabilité, ζ est aussi méromorphe das Ω. Doc ζ /ζ est holomorphe das u voisiage de Ω privé d'u voisiage de (poit e lequel ζ admet u pôle simple), que l'o cosidère sous la forme d'ue petite boule ouverte B o (, ɛ). De même, s ζ (s)/ζ(s) /(s ) est holomorphe das u voisiage de Ω \B o (, ɛ). Il s'agit de motrer que cette foctio est prologeable e ue foctio holomorphe das B o (, ɛ). O se souviet que ζ(s) s + v(s), où v est holomorphe das Ω, doc das Ω. O calcule alors : Puis, ζ (s) ζ(s) s ζ (s) (s ) 2 + v (s) v (s)(s ) 2 (s ) (s ) 2 + v(s)(s ) s v(s) (s )v (s) + v(s)(s ) (après simplicatio). Le membre de droite de l'égalité e fait plus apparaître de sigularité e, doc pour ɛ choisi susammet petit (suffisammet pour que B o (, ɛ) reste das Ω?, domaie d'holomorphie de v). Comme o a Φ(s) s (s) ζ ζ(s) s +h(s), -où h est holomorphe das Ω /2, la foctio étudiée est holomorphe das u voisiage de Ω puisque le prologemet est possible.

24 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION Ue deuxième foctio ϕ O pose, pour x 2, ϕ(x) log(p ). p x O cosidérera aussi que ϕ est défiie sur l'itervalle [; 2] par ϕ(x)... Propositio 3.4 Il existe ue costate C >, telle que pour tout x 2, ϕ(x) C x. Preuve Ue première iégalité D'abord quelques petits calculs : o utilise la formule du biôme de Newto pour écrire que 2 2 ( + ) 2 2 k ( ) 2 k ( ) 2 (2)!!!, ( ) 2 l'iégalité est justiée puisque tous les termes de la somme sot positifs, et est u terme de la ( ) 2 somme. De plus est u etier que l'o ote k, ce qui permet d'écrire, (2)! k!!. Soit p P, p ]; 2]. Alors, p divise (2)! et p!! (car p P et p e divise pas!). Doc, par le lemme de Gauss, p divise k. Ce raisoemet état valable quel que soit p choisi comme ci-dessus, p divise k. Aisi, il existe u etier aturel m, tel que : ( ) k m Esuite, 2 2 <p 2 p P <p 2 p P p <p 2 p P p log(2 2 ) p <p 2 p P 2 log(2) <p 2 p P p log(p) 2 log(2) ϕ(2) ϕ(). <p 2 p P Ue deuxième iégalité Soit x. O peut toujours ecadrer x etre 2 etiers : x [; +[. Au vu de la déitio de ϕ, il est clair que ϕ(x) ϕ() (il 'y a pas de ombres premiers etre x et...). Et o a aussi, 2x [2; 2+2[. O a alors 2 cas : Si 2x [2; 2 + [, ϕ(2x) ϕ(2) ϕ(2) + log x. Sio, 2x [2 + ; 2 + 2[, ϕ(2x) ϕ(2 + ) ϕ(2) + log(2 + ) (avec égalité si 2 + P), puis ϕ(2x) ϕ(2) + log x (par croissace du log). Das tous les cas, o a l'iégalité, ϕ(2x) ϕ(2) + log x. Doc, ϕ(2x) ϕ(x) ϕ(2) + log x ϕ(x) ϕ(2) + log x ϕ(). Puis, de la première iégalité, o déduit ϕ(2x) ϕ(x) 2 log 2 + log x 2x log 2 + log x 2x log 2 + x (2 log 2 + )x L'iégalité cherchée O xe toujours x. O peut toujours ecadrer x par deux puissaces de 2 : soit r N tel que x [2 r ; 2 r+ [. Das ce cas, les ombres x/2, x/2 2,..., x/2 r sot toujours supérieurs ou égaux à.

25 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 24 La deuxième iégalité que l'o viet de démotrer s'applique doc à chacu d'etre eux, et l'o peut additioer membre à membre ces iégalités : ϕ(2x) ϕ(x) (2 log 2 + )x ϕ(x) ϕ(x/2) (2 log 2 + )x/2 ϕ(x/2) ϕ(x/2 2 ) (2 log 2 + )x/2 2 ϕ(x/2 r ) ϕ(x/2 r ) (2 log 2 + )x/2 r ϕ(2x) ϕ(x/2 r ) (2 log 2 + ) O calcule esuite le membre de droite de cette derière iégalité : k r k 2 k x. r 2 k x (/2)r+ x 2( (/2) r+ )x 2x. /2 O remarque aussi que x/2 r [; 2[, doc ϕ(x/2 r ), ce qui implique alemet pour x, ϕ(2x) 2(2 log 2 + )x, et e, pour x 2, ϕ(x) (2 log 2 + )x Lie etre les foctios Φ et ϕ et coséqueces Liaiso etre les 2 foctios Propositio 3.5 ϕ(x) s Ω, Φ(s) s dx. xs+ Preuve Covergece de l'itégrale : ϕ est costate par morceaux doc x ϕ(x) est localemet itégrable. Puis, pour x, e utilisat xs+ la propositio précédete, o a la majoratio : ϕ(x) x s+ ϕ(x) x C x Re(s)+ x C Re(s)+ x. Re(s) C De là, dx est ue itégrale de Riema covergete (Re(s) ), doc par théorème de xre(s) ϕ(x) comparaiso pour les itégrales, dx coverge. xs+ Preuve de l'égalité : O commece par établir ue partitio de l'itervalle [; [ de la faço suivate : [; [ [; 2[ [p j ; p j+ [, j

26 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 25 ce qui est valable état doé qu'il existe ue iité de ombres premiers. O calcule esuite : s ϕ(x) 2 ϕ(x) dx s xs+ x s+ dx + s pj+ j p j s j pj+ p j ϕ(x) dx xs+ ϕ(x) dx(car ϕ(x) pour x [; 2[) xs+ pj+ dx s ϕ(p j ) j p j x s+ (car ϕ est costate égale à ϕ(p j ) sur tous les itervalles [p j ; p j+ [) s j [ ϕ(p j ) ] pj+ sx s p j ( ϕ(p j ) j p s j ) p s j+ ϕ(p j ) ϕ(p j ) p s j p s j j+ (les 2 séries coverget, doc o peut bie les séparer) j ϕ(2) ϕ(p j ) ϕ(p k ) 2 s + p s + j2 j p s k2 k (e posat le chagemet d'idice k j + das la 2ème série) ϕ(2) 2 s + j2 ϕ(p j ) ϕ(p j ) p s. j O costate esuite que ϕ(p j ) ϕ(p j ) log p j, et ϕ(2) ϕ(p ) log(p ), ce qui doe, e simpliat : ϕ(x) s x s+ dx log(p j ) p s Φ(s). j j Coséqueces : autres propriétés de ϕ Propositio 3.6 L'itégrale gééralisée ϕ(x) x x 2 dx est covergete. Preuve U chagemet de variable e chage pas la ature d'ue itégrale gééralisée, o pose doc t log(x) das l'itégrale, x log x état bie u C diéomorphisme de ]; [ sur ]; [ d'applicatio réciproque t e t, (qui a pour jacobie e t ) : ϕ(x) x x 2 dx ϕ(e t ) e t e 2t e t dt ϕ(e t ) e t dt. Il sut doc de motrer l'existece de cette derière itégrale. Motros déjà que f : t ϕ(et ) e t e est borée : o commece par écrire, pour tout t, t f(t) ϕ(e t ) e t e t ϕ(et ) + e t e t ϕ(et ) e t +, e t

27 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 26 puis o utilise cette iégalité e distiguat 2 itervalles : Tout d'abord sur [; log 2[ : ϕ état costate sur exp([; log 2[) [; 2[ égale à et la foctio étudiée est borée sur [; log 2[ par. Esuite sur [log 2; [ : si t est das cet itervalle, e t 2, et l'o peut appliquer u résultat précédet pour obteir : f(t) ϕ(e t ) e t e t C e t e t + C +, alemet, pour tout t, f(t) C +. Doc f L ([; [, dx). O pose alors : F () e t f(t)dt, foctio déie et holomorphe das Ω, d'après la preuve du lemme de Newma. O va alors essayer d'appliquer ce lemme : pour cela, vérios l'hypothèse c'est à dire motros que F se prologe e ue foctio holomorphe sur u voisiage de Ω. ère étape : écriture diérete de F. Soit Ω. F () e t ϕ(et ) e t e t dt ϕ(x) x x x ϕ(x) x x +2 dx, dx x e posat le chagemet de variable réciproque au précédet : x et, ϕ(x) x x s+ dx e posat s avec s Ω, ϕ(x) dx dx (séparatio valide car les 2 itégrales coverget), xs+ xs ϕ(x) dx xs+ s par calcul de la 2ème itégrale, Φ(s) s s. 2ème étape : véricatio de l'hypothèse. O part de l'égalité Φ(s) Ψ(s) + vue avat pour calculer : s Φ(s) s s s(s ) + Ψ(s) s s s + Ψ(s) s ; o sait par étude de Φ, que la foctio Ψ : s Φ(s) est holomorphe das u voisiage de s {s C : Re(s) } { C : Re() }. Le membre de droite de la derière égalité ci-dessus est par coséquet holomorphe sur u voisiage de {s C : Re(s) } { C : Re() }, ce qui termie de prouver que F se prologe e ue foctio holomorphe sur { C : Re() }. Le lemme de Newma s'applique alors, et l'itégrale étudiée est bie covergete.

28 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 27 Propositio 3.7 ϕ(x) x. x Preuve ère étape : étude de 2 esembles. Soit ɛ > xé quelcoque. O déit les 2 esembles : { A+ {x [; [, ϕ(x) ( + ɛ)x}, A {x [; [, ϕ(x) ( ɛ)x}. Motros par l'absurde que ces esembles sot borés. Si A + 'est pas boré : pour tout N, il existe x tel que ϕ(x ) ( + ɛ)x. E particulier, lim x. E utilisat le caractère croissat de la foctio ϕ, o peut écrire, pour tout t x, N, ϕ(t) ϕ(x ) ( + ɛ)x. O se ramèe alors à l'itégrale étudiée précédemmet : (+ɛ)x x ϕ(t) t t 2 dt (+ɛ)x x +ɛ +ɛ ( + ɛ)x t t 2 dt, ( + ɛ)x x y x 2 y 2 x dy e posat le chagemet de variable ae y t x, ( + ɛ) y y 2 dy, ( + ɛ) [ ] +ɛ [log(y)] +ɛ, y + ɛ log( + ɛ), ɛ log( + ɛ); Cette derière quatité est strictemet positive : c'est ue iégalité classique de covexité (ou plutôt cocavité) ; la foctio x log( + x) est cocave (dérivée secode égative) doc la courbe représetative est située sous les tagetes, e particulier sous la tagete e qui a pour équatio y x. t 2 ϕ(t) t Or o sait par la propositio précédete que l'itégrale t 2 dt coverge. Par coséquet, ϕ(t) t [x;(+ɛ)x ](t)dt ted vers quad (pour le justier, o peut par exemple appliquer le théorème de covergece domiée, mais il y a peut-être plus simple..). E particulier, il existe u rag tel que pour tout, ϕ(t) t t 2 [x;(+ɛ)x ](t)dt ɛ log( + ɛ) L'iégalité précédete cotredit ceci : e eet o viet de voir : N, (+ɛ)x x ϕ(t) t t 2 dt ɛ log( + ɛ), Absurde! Si A 'est pas boré : pour tout N, il existe x tel que ϕ(x ) ( ɛ)x.e particulier,

29 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 28 lim x. O eectue le même raisoemet : x ( ɛ)x ϕ(t) t t 2 dt x ( ɛ)x ( ɛ) ( ɛ)x t t 2 dt (croissace de ϕ), ( ɛ) y y 2 dy (chagemet de variable comme ci-dessus), ɛ + log( ɛ) < (iégalité de covexité); et la même cotradictio apparaît... 2ème étape : coclusio de la preuve. Les 2 esembles A + et A état borés, o peut écrire : { x+, x x +, ϕ(x) ( + ɛ)x x, x x, ϕ(x) ( ɛ)x Pour x x max{x +, x }, o a alors : ɛ ϕ(x) x + ɛ ϕ(x) x ɛ; ce qui implique le résultat voulu, puisque l'o a alemet : ɛ >, x, x x, ϕ(x) x ɛ, ϕ(x) ce qui est exactemet la déitio de lim x x. 3.3 Preuve du théorème et du corollaire 3.3. Preuve du théorème O veut doc motrer que lim x Π(x) x/ log x. Prouvos le e ecadrat la quatité dot o cherche la limite. ère iégalité : O a, pour x, ϕ(x) log(p) log(x) Π(x) log(x). p x p x p P p P O retiet doc : ϕ(x) Π(x) log(x).

30 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 29 2ème iégalité : Soit ɛ > xé. Pour x, o a ϕ(x) p x p P log(p), x ɛ <p x p P log(p), log(x ɛ ) (croissace de la foctio log) p x p P ( ɛ) log(x) x ɛ <p x p P ( ɛ) log(x) Π(x), p x ɛ p P, ( ɛ) log(x) ( Π(x) x ɛ) car card{p P, p x ɛ } x ɛ (il y a mois de ombres premiers que d'etiers...) O a doc : ϕ(x) ( ɛ) log(x) ( Π(x) x ɛ) Coclusio : E divisat la ère iégalité par x (positif), e isolat Π(x) log(x) et e divisat aussi par x das la 2ème iégalité, o obtiet : ϕ(x) x Π(x) x/ log(x) ɛ.ϕ(x) x + log(x) x ɛ. log(x) O sait que lim ϕ(x)/x par u résultat précédemmet démotré, et, comme ɛ >, lim x x x ɛ (croissace comparée log-foctios puissaces). O passe doc à la limite das l'iégalité précédete, mais, e sachat pas si la limite de la quatité ecadrée existe, o commece par passer à la limite sup et à la limite if qui elles existet toujours : o obtiet alors, lim if x Π(x) lim sup x/ log(x) x Π(x) x/ log(x) ɛ ; e faisat tedre ɛ vers, o obtiet le résultat (existece et valeur de la limite) par théorème des "gedarmes" Preuve du corollaire O veut maiteat prouver que p log(). Applicatio du théorème : La suite des ombres premiers état iie, o sait que lim p. Doc, o a : lim Π(p ) p / log p lim p / log p.

31 CHAPITRE 3. DÉMONSTRATION 3 Ceci peut ecore s'écrire, N, Calcul d'ue ère limite : O a doc, pour tout N, p / log p + ɛ, où (ɛ ) R N ted vers. ( + ɛ )p log p (ère égalité), log( + ɛ ) + log p log + log(log p ), log p log + log(log p ) log( + ɛ ), (2ème égalité), log + log(log p ) log p log p } {{ } log( + ɛ ). log p } {{ } O retiet doc, lim log log p. Calcul d'ue 2ème limite, Coclusio de la preuve : O remplace log p das la ère égalité par l'expressio obteue das la secode égalité. O obtiet, quel que soit N : ( + ɛ )p log + log(log p ) log( + ɛ ) O a alors par passage à la limite : p ( + ɛ ) log + log(log p ) log p } {{ } lim p log.. log p log } {{ } log( + ɛ ). log } {{ }