SESSION DE 2004 CA/PLP

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1 SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de la circulaire du 6 ovembre 999) Le sujet est composé de deu eercices et d'u problème Le premier eercice porte sur des calculs d aires de domaies délimités par ue parabole et différetes droites Le deuième eercice, de probabilités, met e œuvre le calcul matriciel et permet d'étudier l évolutio, à log terme, de l utilisatio de trois marques d u produit Le problème porte sur l'étude d ue foctio dot il faut motrer qu elle est l uique solutio d ue équatio différetielle doée La clarté et la précisio des raisoemets, la qualité de la rédactio iterviedrot pour ue part importate das l'appréciatio des copies

2 PREMIER EXERCICE Das le pla rapporté à u repère orthoormé direct (O ; i r, j r ), o cosidère la parabole P d équatio y = Soiet a et b deu ombres réels tels que a < b O désige par A et B les poits de la parabole P d abscisses respectives a et b Détermier ue équatio de la droite (AB) a) Eprimer e foctio de a et b l aire A du domaie limité par la parabole P, l ae des abscisses, la droite d équatio = a et la droite d équatio = b b) Eprimer e foctio de a et b l aire S du domaie limité par la droite (AB) et la parabole P 3 Les tagetes à P e A et B sot respectivemet otées A et B Elles se coupet e C Détermier les coordoées du poit C 4 Calculer l aire A du triagle ABC (o rappelle que das ue base orthoormée directe dét(u r, v r ) = u r v r si( u r, v r )) 5 Quelle est la valeur du rapport A S? DEUXIÈME EXERCICE L'objet de cet eercice est l'étude de l'évolutio, au cours du temps, de l'utilisatio de trois marques de detifrice pour ue populatio doée de cosommateurs L esemble des couples de réels est oté R Trois marques X, Y et Z d u detifrice occupet u secteur de cosommatio Chaque mois, les cosommateurs de la populatio étudiée utiliset ue et ue seule de ces marques Soit u etier aturel Pour u cosommateur pris au hasard, o désige par X (respectivemet Y et Z ) l évéemet : «La marque X (respectivemet Y et Z) est utilisée au cours du -ième mois» Les probabilités des évèemets X, Y et Z sot respectivemet otées, y et z Au cours du mois d essai ( = ), o a observé les valeurs iitiales : =,, y =, et z =,7 D autre part, o a pu détermier par sodage les itetios des cosommateurs que l o supposera costates : la probabilité, pour u cosommateur ayat utilisé la marque X au cours du mois, d adopter la marque X (respectivemet Y et Z) au cours du mois suivat est,4 (respectivemet,3 et,3) ;

3 la probabilité, pour u cosommateur ayat utilisé la marque Y au cours du mois, d adopter la marque X (respectivemet Y et Z) au cours du mois suivat est,3 (respectivemet,4 et,3) ; la probabilité, pour u cosommateur ayat utilisé la marque Z au cours du mois, d adopter la marque X (respectivemet Y et Z) au cours du mois suivat est, (respectivemet, et,7) Pour tout etier aturel : a) eprimer +, y + et z + e foctio de, y et z b) vérifier que + y + z = O cosidère les matrices : A =,,,,3, U = y, B = Motrer que, pour tout etier aturel, o a : U + = A U + B 3 O désige par I la matrice uité : I = a) Motrer que la matrice I A est iversible b) Détermier ue matrice C telle que C = A C + B 4 Pour tout etier aturel, o pose V = U C Démotrer que, pour tout etier aturel, V = A V,, 5 a) Détermier l esemble des valeurs propres de la matrice A, aisi que les sous-espaces propres associés respectivemet à chacue des valeurs propres b) Préciser pourquoi A est diagoalisable et détermier ue base C de R, costituée de vecteurs propres de A c) Détermier la matrice P de passage de la base caoique de R à la base C, aisi que so iverse P d) E déduire, pour tout etier aturel o ul, l epressio de la matrice A Eprimer, y et z e foctio de 6 Que coclure de l utilisatio, à log terme, des marques X, Y, Z?

4 PROBLÈME Notatios et rappels L esemble des ombres réels est oté R La foctio tagete réalise ue bijectio cotiue de ]- π ; π [ sur R La bijectio réciproque de cette foctio est otée arcta La foctio arcta est dérivable sur R Sa dérivée est la foctio a + Pour tout etier aturel, le développemet limité e à l ordre de la foctio arcta est: arcta() = ( ) o(+ ) PARTIE A Soit f l applicatio de R das R défiie par : Motrer que la foctio f est paire arcta( ) f( ) = pour f () = Étudier la limite de f e +o 3 a) Motrer que f est dérivable e et détermier f () b) Justifier que f est dérivable sur R] et calculer f () pour tout réel o ul 4 a) Pour tout réel positif, o pose N ( ) = ( + ) arcta() Étudier les variatios de la foctio N et préciser so sige sur l itervalle [ ; +o[ b) E déduire le ses de variatio de la foctio f sur R 5 Tracer la représetatio graphique de la foctio f das le pla rapporté à u repère orthogoal d uités graphiques cm sur l ae des abscisses et cm sur l ae des ordoées PARTIE B F( ) = f( t) dt pour O cosidère la foctio F défiie sur R par : F() = Motrer que la foctio F est cotiue sur R et qu elle est paire

5 Motrer que, pour tout réel, f ( ) ; F ( ) ; (O pourra utiliser la questio 4-b) de la partie A) 3 a) Établir que F est dérivable e et préciser la valeur de F () b) Justifier que F est dérivable sur R] et motrer que, pour tout réel o ul, F () = ( f ( ) F ( )) c) E déduire le ses de variatio de la foctio F sur R d) Motrer que lim f( tdt ) = E déduire la limite de la foctio F e +o 4 Tracer la représetatio graphique de la foctio F das le pla rapporté au même repère que celui utilisé pour tracer la représetatio graphique de la foctio f PARTIE C Das cette partie, o s itéresse à l équatio différetielle (E) : O ote (E ) l équatio différetielle associée : y + y = y + y = arcta() a) O appelle g la foctio défiie sur R] par 4 g( ) = si > g( ) = si < La foctio g est-elle solutio de (E ) sur R]? b) Résoudre l équatio différetielle (E ) sur chacu des itervalles ] o; [ et ] ; +o[ À toute foctio y de classe C sur R], o associe la foctio u défiie pour par u() = y() Doer ue coditio écessaire et suffisate sur la foctio u pour que la foctio y soit solutio de l équatio différetielle (E) 3 E déduire, sur chacu des itervalles ] o ; [ et ] ; +o[, les solutios de l équatio différetielle (E) 4 Motrer que la foctio F défiie das la partie B est l uique solutio sur R de l équatio différetielle (E)

6 Élémets de correctio de l épreuve de mathématiques PREMIER EXERCICE Puisque A et B sot deu poits de la parabole P, leur coordoées sot A( aa, ) B( bb, ) uuuur uuur a b a M appartiet à (AB) si et seulemet si : det( AM, AB ) = ; ce qui reviet ici à : = y a b a Après simplificatio o obtiet l équatio de (AB) : y a b a a = ( )( + ) b a) P état située au-dessus de l ae ( ), A = d b a = a 3 b) Le domaie délimité par la droite (AB) et la parabole P est l itérieur du trapèze défii par A, B, et leurs projectios sur l ae ( ), privé du domaie décrit au a) Doc so aire est égale à: ( a + b )( b a ) ( b a ) ( ) qui aprés simplificatios doe: b S = a 3 6 L équatio géérale de la tagete e u poit A est : y = f '( a)( a) + f( a) Ici f( ) = d où l équatio de A : y = a( a) + a qui reviet à : y = a a ; de même o obtiet l équatio de B : y = b b La résolutio du système coduit au coordoées de a+ b l itersectio C de A et B : C(, ab) 3 La formule rappelée das l éocé, si ous la preos e valeur absolue, ous permet de calculer uur r l aire d u parallélogramme défii par deu vecteurs u et v ; e preat ici les vecteurs uuur uuur ABet AC, et e divisat par deu (puisque c est l aire du triagle ABC que ous cherchos) 3 ( b a) ous obteos : A = 4 A 3 4 Compte teu des résultats des b et 4 Il viet : = S DEUXIEME EXERCICE Nous utiliseros la otatio P( A/ B ) pour désiger la probabilité de A sachat B a) L éocé ous idique que : =, y =, z =, P( X+ / X) =,4 P( Y+ / X) =,3 P( Z+ / X) =,3 et P( X+ / Y) =,3 P( Y+ / Y) =,4 P( Z+ / Y) =,3 P( X+ / Z) =, P( Y+ / Z) =, P( Z+ / Z) =,7 X, Y, Z costituée d évéemets La formule des probabilités totales, utilisée ici avec la partitio { } de probabilité o ulles, ous doe :

7 = P( X ) = P( X / X ) P( X ) + P( X / Y ) P( Y ) + P( X / Z ) P( Z ) ; idem pour y et z + + Ce que ous pouvos résumer matriciellemet par : +,4,3, y =,3,4, y et + z +,4,3,7 z, y =, z,7 E teat compte du fait que {,, } ue partitio de l esemble des possibilités ous avos bie + y + z = Repreos les résultats du e utilisat que ; il viet X Y Z est +, +,y +, = ; y, +,3y +, + Les matrices itroduites das l éocé ous permettet d écrire: U = AU + + B 3a),8, det( I A) = =,54,,7 ; doc la matrice I A est iversible b) C = AC+ B ( I A) C = B C = ( I A) B (cette derière équivalece est justifiée par le fait que (I-A) est iversible) Calculos ( I ) A à l aide de la formule : M = trasposée de la matrice des cofacteurs de M ; il viet : det( M ) 5,7,, 8 C =,54,,8 =, Doc la matrice coviet comme matrice C 9 4 Pour tout das : V = U C = ( AU + B) ( AC+ B) = AU ( C) = AV ; + + d où : V = A V (o peut si o le veut détailler ce passage e utilisat ue démostratio par récurrece), λ, 5a) Calculos les valeurs propres de A : det(,,3 λ ) = λ,5 λ+,4; les racies de ce triômes, doc les valeurs propres sot :, et,4 Pour trouver le sous-espace propre associé à, ous devos résoudre le système (,,) +,y = ; doc le sous-espace propre associé à la valeur propre, est la droite, + (,3,) y = vectorielle egedrée par le vecteur V (, ) E procédat de même o obtiet que le sous-espace propre associé à la valeur propre,4 est la droite vectorielle egedrée par le vecteur V (,) b) Rappel d u théorème: ue matrice est diagoalisable si et seulemet si chaque sous-espace propre est de dimesio égale à l ordre de multiplicité de la valeur propres correspodate, e tat que racie du polyôme caractéristique Ici c est bie le cas Doc A est diagoalisable Remarque : ous aurios pu utiliser ici u théorème mois gééral disat que si ue matrice a ses valeurs propres toutes distictes alors elle est diagoalisable

8 c) Les deu vecteurs V (, ) et V (,) formet ue base C de vecteurs propres ; la matrice de passage P cherchée est alors Afi de calculer so iverse utilisos la même formule qu au 3b ; ous obteos : P = 3 d),, +,4, +,4 A = ( PDP ) = PD P = P P =,4 3, +,4, +,4 E teat compte de U = V + C = A V + C = A ( U C) + C, ous e déduisos que : 5 = ( 6, 3,6,4) + et y = (6, 7,,4) + et z = y Puisque, et,4 sot e valeur absolue strictemet iférieur à : 5 lim =, lim y =, et lim z = 8 9 Remarquos que les coefficiets de A ot pour limite lorsque ted vers l ifii ; e repreat l epressio de U du 5d), o retrouve bie ces résultats Coclusio : les proportios des utilisateurs des trois marques tedet à se stabiliser PROBLEME PARTIE A arcta( ) f( ) = si f () = La foctio f est paire, car arcta e tat que foctio réciproque d ue foctio impaire est ue foctio impaire Π arcta( ) ; d où f( ) + + 3a) Rappelos que pour qu ue foctio soit dérivable e u poit, il faut et il suffit qu elle admette u développemet limité à l ordre au voisiage de ce poit Ici : arcta( ) si f( ) = = + o( ) = + o( ) ; égalité qui se prologe e D où f est 3 bie dérivable e, et so ombre dérivé est (coefficiet de das le développemet limité) 3 3 f( ) f() arcta( ) + o( ) Plus directemet : si : = = = + o( ) e est D où f () eiste et vaut dot la limite Nous retrouvos d ailleurs u résultat plus gééral : ue foctio paire dérivable e a sa dérivée e qui est ulle b) Pour f fest quotiet de deu foctios dérivables dot le déomiateur e s aule pas ; arcta( ) ( + ) doc f est dérivable et : f '( ) = ( + ) 4a) N'( ) = arcta( ) sur [, + [ ; d où le tableau de variatio de N :

9 + N'( ) N( ) doc N( ) est égatif sur [, + [ N( ) b) Puisque f '( ) =, f '( ) reste égatif sur [, + [ Et f décroît de f () = à (car ( + ) Π lim f( ) = lim = ) + + c) Représetatio graphique de f : PARTIE B F( ) = f( t) dt si F() = F est cotiue sur R* comme quotiet de deu foctios cotiues (le umérateur est cotiu comme itégrale etre et d ue foctio cotiue) Reste à étudier la cotiuité e : Nous obteos le développemet limité de f () tdt e «itégrat» le développemet limité de f( ) obteu au 3 (e oubliat pas de rajouter la valeur de cette itégrale e ; qui vaut ici!!) 3 3 f( t) dt = + + o( ) ; d où : F( ) = + o( ) (cette égalité a été démotrée sur 9 9 R*, et est vraie aussi e ); doc F est cotiue e Pour motrer que F est paire motros que f() t dt est ue foctio impaire :

10 aidos ous du chagemet de variable t t : est bie l égalité qu il ous fallait Doc F est ue foctio paire f( t) dt = f( u)( ) du f( u) du = qui 3a) Soit positif: puisque f est décroissate sur [, ] f( ) f( t) ; d où et f( ) F( ) f( ) f( t) dt f et F état paires cette égalité s éted à R Le développemet limité de F e à l ordre, (il aurait suffit de l ordre ) obteu au ous assure que F est dérivable e et que sa dérivée e est ulle (voir le coefficiet de ) b) Sur R* : f état cotiue, f() t dt est dérivable ; et F est dérivable comme quotiet de deu foctios dérivables dot le déomiateur e s aule pas De plus F'( ) = f( t) dt f( ); doc F'() ( f( ) F( )) + = c) Nous avos vu au 3a) que sur R f( ) F( ) ; doc F est croissate sur R -, et décroissate sur R + Π π d) soit > : f( t) dt dt d après l étude de f ; D où : f ( t ) dt l( ) t Il e π l( ) l( ) résulte que : f( tdt ) Et puisque lim =, le théorème des gedarmes ous assure que lim f( tdt ) = 4Représetatio graphique de F :

11 PARTIE C 4 a) Si > : g'( ) = ; d où : g'( ) + g( ) = 4+ 4= Nous obteos le même résultat si < Doc g est solutio de ( E ) sur R* b) Sur R + * : ous savos que la résolutio suivate, que ous employos comme moye mémotechique, est etachée d erreurs logiques, mais le cours ous assure que le résultat trouvé est y ' κ correct : y' + y = = l y = l( ) + λ y = ; doc la solutio géérale y sur R + * k est : ou k est u réel quelcoque Sur R * le calcul et le résultat sot idetiques u ( ) Sur R* : y ( ) = ; doc u'( ) u( ) u( ) arcta( ) y' + y = arcta( ) ( ) + = arcta( ) u'( ) = u'( ) = f( ) ; pour que y soit solutio de (E) sur R* il faut et il suffit que u soit ue primitive de f 3 Sur R + * : les solutios sot doées par u( ) = f( t) dt+ α ou α est u réel quelcoque ; doc les solutios de ( E ) sur R + * α sot doées par y( ) = F( ) + De même sur R * 4 Les solutios sur R* sot ecore de la même forme, mais les costates arbitraires α et sot pas écessairemet les mêmes sur R + * et R * β e Pour qu ue foctio y soit solutio sur R, elle doit e plus être cotiue e ; ce qui l oblige à avoir ue limite e à droite et à gauche Sachat que lim F() =, α et β doivet être uls Doc F est la seule solutio possible Vérifios qu elle l est : Nous savos qu elle l est sur R* (cf 3) ; de plus F est dérivable e et F '() = et F()=, doc : F'() F() arcta() + = Et F est bie solutio de (E) sur R ; et c est la seule!

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