ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES

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1 ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES SOMMAIRE. Normes sur u espace vectorel E 2.. Défto d'ue orme. Cter l'égalté tragulare reversée Normes usuelles 3.3. Défto des ormes équvaletes. 4 Cotre-exemple das C([0, ], ) : focto "tragle" de base / et de hauteur pour. et Cas de la dmeso fe Théorème d'équvalece des ormes 5 Cotre-exemple : [ 2 ] = {a + b 2, a, b }avec N (a + b 2 ) = a + b et N 2(a + b 2 ) = a + b Coséqueces : cotuté des applcatos léares, caractérsato des compacts etc... 9 Cotre-exemple : l'applcato léare P P' est o cotue sur [X] pour Théorème de Resz. E est de dmeso fe ss la boule fermée uté est compacte 0 Exemple das C([0, ], ), ƒ (x) = e x pour.. 2 Das toute la leço, E désge u espace vectorel sur u corps = ou. (Sauf cotre-exemple partculer) Prérequs Etre autres prérequs élémetares, o supposera acqus les résultats suvats : Tout espace vectorel E de dmeso fe (sur ou ) est somorphe à. Défto d'ue applcato lpschtzee d'u espace vectorel ormé das u autre. Défto d'ue applcato cotue d'u espace vectorel ormé das u autre. L'mage récproque d'u fermé par ue applcato cotue est u fermé. Ue parte F de E est fermée das E s et seulemet s toute sute d'élémets de F covergeat das E coverge das F. Défto d'ue parte compacte X : toute sute d'élémets de X admet ue valeur d'adhérece das X. U tervalle fermé boré est u compact de. U produt f de compacts est u compact. Das les partes compactes sot les partes fermées borées. S X est ue parte fermée d'u compact A, alors X est compacte. Toute applcato cotue sur u compact est borée et attet ses bores. Espaces vectorels ormés Page G. COSTANTINI

2 . Normes sur u espace vectorel E.. Défto d'ue orme Défto O appelle orme sur E toute applcato N de E das telle que : ) x E, N(x) = 0 x = 0 (séparato) ) (x, λ) E, N(λx) = λ N(x) (homogéété) ) (x, y) E E, N(x + y) N(x) + N(y) (égalté tragulare) Notato et vocabulare : o ote N(x) = x E ou N(x) = x lorsqu'l 'y a pas d'ambguïté. O appelle espace vectorel ormé, tout couple (E,. ) où. est ue orme sur E. Remarques : D'après ) avec λ = 0, l vet N(0) = 0. La codto x E, N(x) 0 serat superflue das la défto : d'après ) et ce qu précède o a : x E : 0 N(0) N(x x) N(x) + N( x) N(x) + N(x) 2N(x), d'où N(x) 0 S la proprété ) (séparato), 'est pas vérfée, o dt que N est ue sem-orme. Cotraremet aux espaces eucldes, deux vecteurs o lés peuvet réalser "l'égalté" tragulare. Cosdérer, das, x = (,, 0,..., 0) et y = (, 0,..., 0) avec la orme x = sup x { ;...; }. O a alors x = y =, x + y = 2, doc x + y = x + y et pourtat x et y e sot pas (postvemet) lés. Ue proprété utle : égalté tragulare reversée (x, y) E E x y x y Cette proprété est mportate, elle permettra d'affrmer que toute orme N est cotue sur E. (Pour démotrer la proprété, o écrt x = (x y) + y et y = (y x) + x pus o utlse l'égalté tragulare) Norme sur u sous-espace vectorel : s F est u sous-espace vectorel de E, la restrcto de N à F est évdemmet ue orme sur F appelée orme dute. Dstace assocée à ue orme : À partr de toute orme N sur E, o peut costrure ue dstace d par : d : E E (x, y) N(x y) As tout espace vectorel ormé est u espace métrque et la orme N egedre ue topologe sur E. Noter qu'l exste des dstaces e découlat pas d'ue orme, comme par exemple, la dstace dscrète : d(x, y) = 0 s x= y s x y E effet, l'applcato N obteue e posat N(x) = d(x, 0) e vérfe pas l'axome d'homogéété. L'applcato d as défe vérfe alors les 3 proprétés : ) (x, y) E E, d(x, y) = d(y, x) 2) d(x, y) = 0 x = y 3) (x, y, z) E 3, d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Ce qu e fat be ue dstace. Espaces vectorels ormés Page 2 G. COSTANTINI

3 .2. Normes usuelles O motre que les applcatos c-dessous sot des ormes : ) E = ou : x x ) E = ou, x = (x,..., x ), p ]0 ; + [ : x x p = p p x (surtout pour p = ou 2) ) E = ou, x = (x,..., x ) : x x = sup x { ;...; }. v) Norme d'ue applcato léare cotue u C(E, F) où (E,. E ) et (F,. F ) sot deux espaces vectorels ormés de dmeso fe : u u = sup x B(0,) ux ( ) F où B( 0, ) désge la boule fermée uté : B( 0=, ) {x E tels que x E } Note : ue applcato léare u (E, F) est cotue sur E s et seulemet s : v) E = [X], P = ax 0 M tel que x E : u(x) F M x E [X] : P P = sup a { 0;...; }. Preuve : ) Évdet ) Toutes les codtos de la défto se démotret asémet sauf l'égalté tragulare, qu est l'égalté de Mkowsk qu se démotre de faço techque à l'ade de la covexté (o trvale) de la focto p p homogèe suvate : x x (vor leço sur la covexté) )Iégalté tragulare pour.. Sot (x, y) de coordoées x = (x,..., x ) et y = (y,..., y ). O a (égalté tragulare classque sur ) :,, x + y x + y E partculer, pour l'dce tel que x + y sot maxmal : sup x { ;...; } + sup y { ;...; } sup x + y { ;...; } sup x { ;...; } + sup y { ;...; } D'où : x + y x + y v) Iégalté tragulare pour. sur (E, F). Soet u, v (E, F). Comme. F est ue orme sur F, o a : x E, (u + v)(x) F u(x) F + v(x) F E partculer : x B( 0,), (u + v)(x) F u(x) F + v(x) F sup x B(0,) ux ( ) F + sup x B(0,) vx ( ) F Et e passat à la bore supéreure pour x B( 0,), l vet : sup ( u+ v)( x) F x B(0,) sup x B(0,) ux ( ) F + sup x B(0,) vx ( ) F Espaces vectorels ormés Page 3 G. COSTANTINI

4 D'où : u + v u + v v) Iégalté tragulare pour. sur [X]. Soet P, Q [X], P = 0 ax et Q = 0 bx O a (égalté tragulare classque sur ) : 0,, a + b a + b E partculer, pour l'dce tel que a + b sot maxmal : sup a { 0;...; } + sup b { 0;...; } sup a + b { 0;...; } sup a { 0;...; } + sup b { 0;...; } D'où : P + Q P + Q.3. Normes équvaletes Défto Deux ormes N et N 2 sur E sot dtes équvaletes s : (λ, µ) ( + ) 2 tels que : x E, λn (x) N 2 (x) µn (x) O ote alors N ~ N 2 sur E. La relato as défe est be ue relato d'équvalece : O a N ~ N e chosssat λ = µ = d'où la réflexvté. S λn (x) N 2 (x) µn (x) alors µ N 2(x) N (x) λ N 2(x) d'où la symétre. S λn (x) N 2 (x) µn (x) et λ'n 2 (x) N 3 (x) µ'n 2 (x) alors λλ'n (x) N 3 (x) µµ'n (x) D'où la trastvté. Remarques : deux ormes N et N 2 sur E sot équvaletes s et seulemet s l'applcato Id : (E, N ) (E, N 2 ) est bcotue (ou ecore "s l'detté est u homéomorphsme"). deux ormes N et N 2 sot o équvaletes s et seulemet s l exste ue sute (x ) d'élémets de E telle N2 ( x) que la sute N ( x ) e sot pas borée. Exemple : sur, les ormes.,. 2 et. sot équvaletes. E effet o motre sas dffcultés que : x, x x x et x x 2 x Espaces vectorels ormés Page 4 G. COSTANTINI

5 Cotre-exemple : sur E = C([0 ; ], ), o cosdère les ormes. et. défes par : ƒ = ƒ ( t ) dt et ƒ = sup ƒ( t) 0 t [0 ; ] O cosdère la sute (ƒ ) d'élémets de E défe par : ƒ (x) = 2 x+ s x 0 ;. 0 s x ; O a : ƒ = sup ƒ ( t) D'où : t [0 ;] ƒ ƒ = et ƒ = ƒ 0 = 2 + ( t) dt = 2 0 Doc l 'exste pas de réel M tel que :, ƒ M ƒ Doc les ormes. et. e sot pas équvaletes. 2. Cas de la dmeso fe. Das tout ce paragraphe, E désge u espace vectorel ormé sur ( = ou ). 2.. Équvalece des ormes L'térêt du théorème suvat est que, e dmeso fe, o 'aura plus à précser quelle est la orme utlsée das les dverses proprétés topologques (telles que la cotuté ou la compacté). Théorème Sot E u e.v.. sur ou. S E est dmeso fe, alors toutes les ormes sur E sot équvaletes. Atteto! Ce théorème est faux s le corps de base 'est pas complet! Sot (e,..., e ) ue base de E et N ue orme quelcoque sur E. Mussos E de la orme. : Rappelos que pour x = xe, o a : x = sup x { ;...; } Lemme S E est de dmeso fe, alors toute orme N est ue applcato cotue de (E,. ) das (,. ). Preuve du lemme : Nous allos motrer que l'applcato N est lpschtzee. Sot x E, o a : N(x) = N xe D'après l'égalté tragulare et l'homogéété de la orme N, o a : Posos M = N xe x Ne ( ) Ne ( ) x Ne ( ). (M > 0 car, les e état o uls, o a N(e ) 0). Espaces vectorels ormés Page 5 G. COSTANTINI

6 D'où : O peut doc écrre : N(x) M x M > 0 tel que : (x, y) E 2, N(x y) M x y Or, d'après l'égalté tragulare reversée : N(x) N(y) N(x y) O peut doc écrre : M > 0 tel que : (x, y) E 2, N(x) N(y) M x y Ce qu sgfe que l'applcato N : (E,. ) (,. ) est M-lpschtzee doc cotue (sur E). Démostrato du théorème : Premer cas : E est u e.v.. sur. Comme, E est de dmeso fe, l est somorphe à. Il sufft doc de démotrer le théorème das le cas où E =. O va motrer que N est équvalete à.. Cosdéros la sphère uté S pour. : S = {x tels que x = } = {x tels que sup x { ;...; } = } [ ; ] L'esemble P = [ ; ] est u compact de : e effet, l'tervalle [ ; ] est u compact de. De plus, u produt f d'espaces compacts est compact doc P = [ ; ] est u compact. S est borée das (pusque coteue das la boule fermée uté pour. ) S est fermée das : e effet, l'applcato ƒ :, x x est cotue (d'après le lemme) doc l'mage récproque d'u fermé est u fermé. Or, S = ƒ ({}) et le sgleto {} est u fermé de (,. ), doc S est fermée das. Bla : S est fermée et coteue das le compact P doc S est compacte das. O sat que N est cotue sur doc N est cotue sur le compact S. Doc l'applcato N est borée et attet ses bores sur S : 2 (m, M) ( + ) tels que x S : m N(x) M Mas N attet ses bores, doc pour u certa x 0 S : N(x 0 ) = m Or, x 0 0 (car x 0 S) doc N(x 0 ) 0 et m > 0. Doc : (m, M) ( + ) 2 tels que x S : m N(x) M Il e reste plus qu'à étedre le résultat c-dessus à : Sot x x \ {0}. Posos x' =. x Il est clar qu'as x' S doc o a : m N(x') M x Or, N(x') = N = N(x) x x D'où : m x N(x) M x Espaces vectorels ormés Page 6 G. COSTANTINI

7 Ef, cette double égalté est toujours vrae s x = 0. O a doc démotré que N et. sot équvaletes sur. Doc, par trastvté, toutes les ormes sot équvaletes sur. Deuxème cas : E est u e.v.. sur. O se ramèe au cas précédet e detfat à Déjà, o mu 2. Cette detfcato est explquée c-dessous. 2 de la orme. et de la orme.. O déft l'applcato ƒ par : ƒ : 2 (x, y, x 2, y 2,..., x, y ) (x + y, x 2 + y 2,..., x + y ) Motros que ƒ est u somorphsme d'e.v.. (.e. ƒ est léare, bjectve et bcotue) La léarté est évdete (découle de celle des applcatos Re et Im) La bjectvté auss (car z,!(x, y) Cotuté de ƒ. O motre que ƒ est cotue e 0 : Sot ε +. Pour tout (x, y, x 2, y 2,..., x, y ) 2 tel que z = x + y) 2, o a : ƒ(x, y, x 2, y 2,..., x, y ) = (x + y, x 2 + y 2,..., x + y ) max { x k + y k } Or, pour tout k, : x k + y k x k + y k 2 j k max { x j ; y j } 2 (x, y, x 2, y 2,..., x, y ) Doc : ƒ(x, y, x 2, y 2,..., x, y ) 2 (x, y, x 2, y 2,..., x, y ) Il sufft doc de chosr η 2 ε pour assurer : (x, y, x 2, y 2,..., x, y ) η ƒ(x, y, x 2, y 2,..., x, y ) ε Doc ƒ est cotue e 0, et par léarté, cotue sur Cotuté de ƒ. 2. Même type de rasoemet que c-dessus. Cela découle des égaltés : ƒ (x + y, x 2 + y 2,..., x + y ) = (x, y, x 2, y 2,..., x, y ) = max { x j ; y j } Or, pour tout j, : x j x j + y j et y j x j + y j j Doc : C'est-à-dre : ƒ (x + y, x 2 + y 2,..., x + y ) max { x k + y k } k ƒ (x + y, x 2 + y 2,..., x + y ) (x + y, x 2 + y 2,..., x + y ) O e dédut que ƒ est cotue e 0, et par léarté, cotue sur. Cette detfcato etre les e.v.. et réel. 2 état fate, o peut légtmemet rameer le cas complexe au cas Espaces vectorels ormés Page 7 G. COSTANTINI

8 Cotre-exemple : ormes o équvaletes e dmeso fe. O cosdère : E = [ 2 ] = {a + b 2 où a, b } O vérfe faclemet que E est u -espace vectorel de dmeso 2. (E est sous-esemble o vde de 2, ses élémets sot "stables" par addto et par multplcato par u ratoel, ce qu justfe que E u e.v. (e tat que s.e.v. de 2 ). Ef, o motre que E est somorphe à 2 (cosdérer l'applcato ϕ : 2 E, (a, b) a + b 2. ϕ est claremet surjectve. De plus, ϕ est jectve car 2 est rratoel). O a doc dm E = 2) O cosdère, sur E, les deux applcatos suvates : N : E et N 2 : E a + b 2 a + b a + b 2 a + b 2 Vérfos que ce sot des ormes : Séparato : N (a + b 2 ) = 0 a + b = 0 a = b = 0 Homogéété : N 2 (a + b 2 ) = 0 a + b 2 = 0 2rratoel a = b = 0 λ, N (λ(a + b 2 )) = N (λa + λb 2 ) = λa + λb = λ N (a + b 2 ) Iégalté tragulare : N 2 (λ(a + b 2 )) = λ( a + b 2 ) = λ N 2 (a + b 2 ) N (a + b 2 + a' + b' 2 ) a + a' + b + b' a + a' + b + b' N (a + b 2 ) + N (a' + b' 2 ) N 2 (a + b 2 + a' + b' 2 ) a + a' + b 2 + b' 2 a + b 2 + a' + b' 2 N 2 (a + b 2 ) + N 2 (a' + b' 2 ) Doc N et N 2 sot be des ormes sur E. Motros que N et N 2 e sot pas équvaletes : Il sufft de cosdérer la sute (u ) défe par : u = ( 2) La formule du bôme fat apparaître deux sutes (a ) et (b ) d'eters telles que : u = a b 2 O motre faclemet que la sute (v ) défe par v = ( + 2) vérfe : v = a + b 2 E coséquece la sute (a ) vérfe : a = u + v 2 Et pusque lm u = 0 (car + 2 ], [) et lm v = + ( > ), la sute (a ) dverge vers +. Or, o a N (u ) = a + b doc : la sute (N (u )) dverge vers + Et N 2 (u ) = 2 doc : la sute (N 2 (u )) coverge vers 0 N( u) La sute N ( u ) 'est doc pas borée. Doc les ormes N et N 2 e sot pas équvaletes. 2 Espaces vectorels ormés Page 8 G. COSTANTINI

9 2.2. Quelques coséqueces du théorème : Proposto Sot E u espace vectorel de dmeso fe sur u corps. ) Sot F u espace vectorel ormé (de dmeso quelcoque) sur le même corps que E. Alors : toute applcato léare ƒ de E das F est cotue. 2) Ue parte X de E est compacte s et seulemet s X est fermée borée. 3) E est complet (toute sute de Cauchy d'élémets de E coverge das E) 4) Tout sous-espace vectorel F de E est fermé. Preuve : ) Sot (e ) ue base de E. Mussos E et F de leur. respectve. O a : ƒ état léare : x E : ƒ(x) = ƒ xe = x ƒ( e ) D'après l'égalté tragulare : x ƒ( e ) x ƒ( e) Et e posat M = { ;...; } ƒ, l vet : x ƒ( e) { e } sup ( ) M x D'où falemet : x E, ƒ(x) M x. D'où : (x, y) E 2 : ƒ(x y) M x y Et comme ƒ est léare : (x, y) E 2 : ƒ(x) ƒ(y) M x y Doc ƒ est M-lpschtzee sur E doc cotue sur E relatvemet à. doc relatvemet à toute orme d'après le théorème. 2) Supposos X compacte das E. Motros que X est fermée : Sot (x ) ue sute d'élémets de E covergeat vers y E. Comme X est compacte, la sute (x ) admet ue valeur d'adhérece l X. Mas comme (x ) coverge, l = y, doc y X. D'où X est fermée. Motros que X est borée. S X 'état pas borée, o aurat : (quelque sot la orme chose) A, x X tel que x A E partculer, o peut costrure ue sute (x ) d'élémets de X telle que : N, x U telle sute 'admet pas de valeur d'adhérece, ce qu cotredrat le fat que X est compacte. Doc X est borée. Récproquemet, supposos X fermée borée das E. Sot φ ue applcato léare bjectve de E das. Comme φ est ue applcato léare etre espaces vectorels de dmeso fe, elle est cotue (d'après )) doc φ(x) est fermée borée das doc compact de. Comme φ est égalemet cotue, o e dédut que X est compact das E. Espaces vectorels ormés Page 9 G. COSTANTINI

10 3) Sot (u ) ue sute de Cauchy das E. Comme (u ) est borée, l exste u réel r > 0 tel que la boule fermée B (0, r) cotee {u, }. Or, B (0, r) est compacte (pusque fermée borée). Doc toute sute de B (0, r) admet ue valeur d'adhérece. Or, toute sute de Cauchy qu admet ue valeur d'adhérece coverge. Doc (u ) coverge, et comme B (0, r) est fermée, (u ) coverge das B (0, r) doc das E. Doc E est complet. Remarque : u espace vectorel ormé de dmeso fe (doc complet) s'appelle u espace de Baach. 4) Comme F est dmeso fe, l est complet (d'après3)). Motros qu'alors F est fermé : Sot (x ) ue sute d'élémets de F covergeat vers u élémet l de E. Pusque (x ) coverge, elle est de Cauchy et comme F est complet, (x ) coverge das F, doc l F et par sute F est fermé. Cotre-exemple : l exste, e dmeso fe, des applcatos léares o cotues. Cosdéros l'espace vectorel E = [X] (qu est de dmeso fe) mu de la orme. et l'applcato léare de dérvato ϕ : Cosdéros la sute (P ) défe sur *, par : ϕ : [X] [X] P P' P = X O a, d'ue part : P = 0 Et d'autre part : ϕ(p ) = X = Itutvemet, que motre ce cotre-exemple? O sat que la dérvée du polyôme ul, c'est le polyôme ul. Or, l exste des polyômes très "proches" du polyôme ul (pour la orme. ) dot la dérvée 'est pas "proche" du polyôme ul. L'opérato de dérvato 'est doc pas cotue pour la orme.. As, la sute (P ) coverge vers 0 pour la orme. tads que la sute (ϕ(p )) e coverge pas vers 0. O e dédut que ϕ 'est pas cotue e 0. (Et comme ϕ est léare, ϕ 'est cotue e aucu pot de E) 2.3. Caractérsato de la dmeso fe par ue proprété topologque Théorème de Resz Sot (E, N) u espace vectorel ormé. Alors : Démostrato : Preuve de " " : Supposos E de dmeso fe. E est de dmeso fe La boule fermée uté B (0, ) est compacte Comme la boule fermée B (0, ) est fermée (mage récproque du fermé [0, ] par l'applcato orme qu est cotue, pusque E est de dmeso fe) et borée (clar) doc elle est compacte. Preuve de " " : Lemme Sot (E, N) u espace ormé. Sot F u sous-espace vectorel de E, de dmeso fe. O ote d la dstace dute par N. Alors : a E, b F, N(a b) = d(a, F) O rappelle que : d(a, F) = f{ N ( a x )} x F (Cette bore féreure exste be car l'applcato ƒ a : F, x N(a x) est cotue car F est de dmeso fe) Espaces vectorels ormés Page 0 G. COSTANTINI

11 Démostrato du lemme : Comme F est de dmeso fe, F est fermé das E. Sot a E. S a F, o chost b = a. S a F, alors F état fermé, a F. Doc : d(a, F) > 0 a d(a, F) F E D'après les proprétés de la bore féreure, l exste ue sute (b ) d'élémets de F telle que N(a b ) d(a, F) : ε +, 0,, ( 0 N(a b ) d(a, F) ε) E partculer avec ε = : 0,, ( 0 N(a b ) + d(a, F)) Mas d'après l'égalté tragulare reversée : N(a) N(b ) N(a b ) D'où : 0,, ( 0 N(b ) N(a) + d(a, F) 0 N(b ) N(a) + + d(a, F)) La sute (b ) est doc borée das u espace de dmeso fe. D'après le théorème de Bolzao-Weerstrass, o peut e extrare ue sous-sute (b σ() ) covergeat vers u certa élémet b. Et comme F est fermé, b F. O a vu que : Doc, o a égalemet : N(a b ) d(a, F) N(a b σ() ) d(a, F) Et par cotuté de N : N(a b) = d(a, F) Lemme 2 Sot (E, N) u espace ormé de dmeso fe Sot F u sous-espace vectorel de E, de dmeso fe. O ote d la dstace dute par N. Alors : x B (0, ), d(x, F) = Démostrato : Sot a E \ F. D'après le lemme : b F, N(a b) = d(a, F) Comme a E \ F, d(a, F) est o ul. Posos : x = Il est clar que x B (0, ). D'ue part, comme 0 F, o a : a b Na ( b) d(x, F) d(x, 0) N(x) () D'autre part, pour tout y F, o peut écrre : x y = a v Na ( b) où v = b + N(a b)y F As : N(x y) = Na ( v) = Na ( b) dav (, ) daf (, ) car v F Espaces vectorels ormés Page G. COSTANTINI

12 Par passage à la bore féreure, o obtet : d(x, F) (2) D'après () et (2), o dédut : d(x, F) = Ce qu prouve le lemme 2. Veos-e mateat à la démostrato de l'mplcato " ". Rasoos par cotraposto. Supposos E de dmeso fe. Sot e B (0, ). O pose F = Vect(e ). Alors, l exste e 2 B (0, ) tel que d(e 2, F ) =. Pus, o pose F 2 = Vect(e, e 2 ). Alors, l exste e 3 B (0, ) tel que d(e 3, F 2 ) =. Pus, o pose F 3 = Vect(e, e 2, e 2 ). Et as de sute. Comme E est de dmeso fe, o costrut as ue sute fe (e ) telle que : (, j), ( j N(e e j ) ) Il sera doc mpossble d'e extrare ue sous-sute covergete. Doc B (0, ) 'est pas compacte. O coclut par cotraposto. O dspose doc d'u "crtère" pour savor s u espace vectorel ormé est de dmeso fe : Exemple : E = C([0, 2π], ) mu de la orme de la covergece uforme : ƒ E, ƒ = sup ƒ( x) x [0,2 π] O cosdère la sute (ƒ ) de foctos de E défes par ƒ (x) = e x. O a ƒ =, doc les ƒ sot élémets de B (0, ). Or ƒ ƒ p = sup x [0,2 π] x px e e = 2 car : e x + px e = e e e p p p x x x p = 2 cos x 2 e + p x 2 x px p Doc e e = 2 cos x et,(partcularser x = 0), 2 sup x [0,2 π] x px e e = 2. Comme o a ƒ ƒ p = 2, l est mpossble d'extrare ue sous-sute de (ƒ ) qu coverge pour., doc B (0, ) 'est pas compacte et E est de dmeso fe. Espaces vectorels ormés Page 2 G. COSTANTINI

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

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