CHAPITRE 1 - SUITES. cours de Mathématiques 2 ème année Deug Sc. Eco. Faculté J. Monnet Université Paris XI L. JOSEPH I - GENERALITES

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1 cours de Mathématiques 2 ème année Deug Sc. Eco. Faculté J. Monnet Université Paris XI L. JOSEPH CHAPITRE 1 - SUITES I - GENERALITES II - LIMITES 1)Limites infinies et finies 2)Théorèmes liés à la convergence III - SUITES ARITHMETIQUES ET RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 1)Suites arithmétiques 2)Raisonnement par récurrence IV SUITES GEOMETRIQUES 1) Suites géométriques 2) Calcul financier : intérêts, actualisation, annuités constantes, tableaux d amortissement V - SUITES RECURRENTES REELLES 1)Généralités 2)Suites récurrentes linéaires à coefficients constants d ordre 1 3) Suites récurrentes linéaires à coefficients constants d ordre 2 Chapitre 1 1

2 SUITES I - GENERALITES Définition : Une suite réelle est une foncti on de N dans R. Notation u : n u n, u est aussi notée (u n ). Différentes façon de définir une suite : 1) u n = f(n). u est la restriction à N d'une fonction numérique connue. C'est le cas le plus simple. 2)u n est défini à partir des termes précédents, on dit alors que la suite u est définie par récurrence. u n+1 = f(u n ) ou f(u n, u n-1 ) etc. Exercice 1 : 1) Soit u définie part u n = n2 + 1 n, donnez l ensemble de définition de u et calculez u 1 et u 10. 2) Soit u définie par et u n = n3 2 n, donnez l ensemble de définition de u et calculez u 1 et u 10. 3) Soit (u n ) définie par u o = 1, montrez que u est bien définie sur N et u n+1 = 12+u n calculez u 1 et u 4 4) Soit (u n ) définie par u o =1, u 1 =1 u n+2 = u n + u, donnez l ensemble de définition de u et n+1 calculez u 2 et u 8. On constate que pour les suites définies par récurrence un terme ne peut être obtenu que si on connaît tous ses préc édents. L analyse de telles suites est beaucoup plus compliquée que celle des suites de la forme u n = f(n). Remarques : Chapitre 1 2

3 1) Avec du temps, on peut toujours étudier une suite en calculant les termes les uns après les autres, ce que l'on ne peut pas fa ire lorsque la variable est réelle (entre 2 réels distincts il y a toujours une infinité de réels). En général chaque terme a un précédent et un successeur. Pour faire ce genre d'étude la machine est un bon outil. 2) On s'intéresse surtout au comportemen t de la suite pour les grandes valeurs de n. Il faut donc faire attention aux irrégularités trompeuses que peuvent présenter les premiers termes, irrégularités qui n'ont pas d'intérêt. 3) Il faut prendre garde à la numérotation des suites ; si u 0 est le premier terme, u n est le (n+1) ième terme, si u 1 est le premier terme, u n est le n ième terme. Parfois, pour des problèmes d'ensemble de définition, ou autres, la suite commence au rang k, u k est le premier terme, u n est alors le terme de rang (n+1-k). Voici quelques définitions nécessaires à l étude des suites. Suite majorée : u est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que : n N u n M. Suite minorée : u est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que : n N u n m. Suite bornée : u est bornée si et seulement si u est à la fois majorée et minorée. Remarque utile : u est bornée si et seulement si u est majorée. Exercice 2 : 1) Montrez que si m u M (u bornée), u est majorée. 2) Montrez que si u M ( u majorée), alors u est bornée. Exercice 3 : 1) Soit u : n 2 n n. u est-elle minorée? majorée? bornée? u 0 = 2 2) Soit u la suite définie par : 2u n. Montrez que u est minorée. u n+1 = u 2 n + 4 Suite croissante : u est croissante à partir du rang n 0 si et seulement si : Chapitre 1 3

4 n n 0 u n+1 u n. Suite décroissante : u est décroissante à partir du rang n 0 ssi : n n 0 u n+1 u n. N.B. : Si f est croissante (respectivement décroissante) sur [n 0,+ [ et si u n = f(n), u est croissante (respectivement décroissant e) à partir du rang n 0 (attention la réciproque est fausse, dans ce cadre, par exemple u peut être croissante sans que f le soit ). Exercice 4 : 1) Soit u définie part u n = n2 + 1 n. Etudiez la monotonie de u (on demande si u est croissante ou décroissante à partir d un certain rang et si oui, lequel). 2) Soit u définie par et u n = n3 2 n. Etudiez la monotonie de u. 3) Soit u : n 2 n n. Etudiez la monotonie de u. u 0 = 2 4) Soit u la suite définie par : u n+1 = 2u n u n Etudiez la monotonie de u. Remarques : 1) Pour étudier la monotonie d'une suite définie par récurrence, le plus simple est d'étudier le signe de u n+1 u n. Si u n+1 - u n 0 u est croissante et si u n+1 - u n 0 u est décroissante. 2)Toute suite croissante est minorée par son premier terme. 3)Toute suite décroissante est majorée par son premier terme. II - LIMITES Quand on étudie une suite, on s intéresse essentiellement à son comportement pour les grandes valeurs de n. En effet les premiers termes sont calculables facilement et nous donne l allure de la suite pour n petit. Aussi, on s attache le plus souvent à savoir si lim u n existe et à calculer cette limite si elle existe. n + Chapitre 1 4

5 Si lim u n existe et est finie, on dit que u converge, ou est convergente, dans les n + autres cas (limite infinie ou pas de limite) on dit que u est divergente ou diverge. 1. Cas des suites définies par u n = f(n) Si u n = f(n) et si lim f(x) existe alors lim x + n + u n = lim f(x). x + Si u n est équivalent à a n quand n + et si lim a n existe alors lim u n = lim a n. n + n + n + Exercice 5: 1) Soit u définie part u n = n2 + 1 n convergente?. Etudiez lim u n. u est-elle n + 2) Soit u définie par et u n = n3 2 n. Etudiez lim u n. u est-elle convergente? n + 3) Soit u : n 2 n n. Etudiez lim u n. u est-elle convergente? n + 2. Théorèmes liés à la convergence : Théorème d'unicité : Si (u n ) a une limite, elle est unique. Théorème des «gendarmes» : Si, à partir d un certain rang v n u n w n avec lim v n = lim w n =, n + n + alors lim u n =. n + *Toute suite croissante majorée converge. *Toute suite décroissante minorée converge. 3. Cas des suites définies par u n+1 = f(u n ) Dans ce cas on se gardera bien de penser que u et f ont même limite à l infini mais on utilisera les théorème précédents. Chapitre 1 5

6 u 0 = 2 Exercice 6: Soit u la suite définie par : 2u n u n+1 = u 2 n + 4 précédents montrez que u converge.. En utilisant les résultats Remarque : Il faut faire attention aux rôles différents que joue f dans les 2 cas suivants: u n = f(n) et u n = f(u n ). Exercice 7: Soit f(x) = 4x + 5. On montrera dans le paragraphe suivant que si u 0 = 1 et u n+1 = f(u n ), alors u est bornée par 0 et 5. Qu en est -il de v n = f(n)? III SUITES ARTHMETIQUES ET RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 1. Suites arithmétiques Définition : (u n ) est une suite arithmétique, s'il existe un réel r tel que, pour tout n de N, u n+1 = u n + r. r est appelé raison de la suite arithmétique et est indépendant de n. De proche en proche on obtient : u n = u 0 + nr. Exercice 8 : 1) Soit u 0 = 3, u 1 = 1.5, u 2 = 0, u 3 = -1.5, u 4 = -3. Ces 5 premiers termes sont-ils ceux d une suite arithmétique. Si oui quelle est sa raison? 2) Soit (u n ) une suite arithmétique telle que u 0 = -1 et u 5 = 1. Calculez les 5 premiers termes de u et sa raison. Somme des n premiers entiers non nuls : n = n(n+1) 2 Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique :. n-1 Σ u i = u 0 + u u n-1 = n( u 0 + u n-1 2 i=o ). nombre de termes demi -somme des termes extrêmes Exercice 9:1) Calculez Chapitre 1 6

7 2)Soit u une suite arithmétique telle que u 0 + u u 11 = 12 et u 3 = 0. Calculez u 0 et la raison r de cette suite. Remarque : Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut s'intéresser à la différence u n+1 - u n, qui doit être indépendante de n. On remarquera aussi que plus généralement : u n = u k + (n - k)r (k N) 2. Raisonnement par récurrence On veut démontrer qu'une propriété, dépendant du rang n, est vraie à partir d'un certain rang n 0. Il faut montrer que : 1) La propriété est vraie au rang n 0. 2) Quel que soit n n 0, si la propriété est vraie jusqu au rang n, alors elle est vraie au rang suivant, le rang n+1. Cette méthode est celle du raisonnement par récurrence, elle met en forme rigoureusement le raisonnement qu'on fait de «proche en proche». Remarque : les 2 parties du raisonnement sont à exprimer, même si la première paraît «évidente». Le raisonnement peut tomber en défaut si elle n est pas réalisée. Exercice 10: 1) Soit u la suite définie par u n+1 = 4u n + 5 et u 0 = 1. Montrez par récurrence que (u n ) est bornée par 0 et 5. 2) Soit u la suite définie par u n+1 = 3u n + 4 u n + 3 et u 0 = 1. Montrez par récurrence que (u n ) est bornée par 0 et 2. IV SUITES GEOMETRIQUES ET CALCUL FINANCIER 1. Suites géométriques Définition :(u n ) est une suite géométrique s'il existe un réel q non nul, indépendant de n, tel que pour tout n de N : u n+1 = qu n. q est la raison de cette suite géométrique. De proche en proche, ou par récurrence, on obtient: u n = u 0 q n. Etude de n fi q n Chapitre 1 7

8 1 er cas : q > 0 Si q > 1 (q n ) est croissante et lim q n = +, n + si 0 < q < 1 (q n ) est décroissante et lim q n = 0, n + si q = 1 (q n ) est constante et égale à 1. 2 ème cas : q < 0 q n est positif si n est pair, négatif si n impair. Cette suite est dite alternée. Si q > 1 (q n ) n'est pas bornée et n'a pas de limite, si q < 1 (q n ) est bornée et lim n + q n = 0. On retiendra que (q n ) converge si et seulement si q < 1, alors lim q n = 0. n + 2 Exercice 11: 1) Soient 2, 1, 2, 2. Ces 4 termes sont-ils ceux d une suite géométrique? Si oui donnez la raison de cette suite. 2) Soit u une suite géométrique telle que u 2 = - 9 et u 5 = Calculez u 0 et sa raison. Remarque : Pour montrer qu'une suite est géométrique, on peut s'intéresser au quotient u n+1 u n (k N). (u n 0). On remarquera aussi que plus généralement : u n = u k q n-k Somme des n premiers termes de la suite géométrique (q n ). nombre de termes Si q 1 : n-1 Σ q i = 1 + q + q q n-1 = 1-qn i=o 1-q = qn -1 q - 1 si q = 1 : n-1 Σ q i = 1 + q + q q n-1 = n. i=0 Cas général : u n = u 0 q n n-1 1-q Σ u i = u 0 + u u n-1 = u n 0 1-q. i=0 Chapitre 1 8

9 D'où si q < 1 lim n + n-1 Σ u i = u 0 1-q. i=0 Exercice 12: 1) Calculez ) Calculez q -1 +q q -n. 2. Calcul financier a) Intérêts Un placement (resp. un emprunt) V 0 sur n années rapporte (resp. coûte) un intérêt calculé au taux annuel i. Au bout de n années, la somme V 0 devient V n : V n = V 0 + I Cas des intérêts simples Les intérêts sont alors retirés chaque année et seul le capital est replacé pour l année suivante. On a alors : I = nv 0 i V n = V 0 + nv 0 i Ici (V n ) est une suite arithmétique de raison V 0 i. Remarques : 1) Si i est un taux mensuel n est un nombre de mois, si i est un taux trimestriel, n est un nombre de trimestres etc 2) La formule précédente reste vraie si n est une fraction. Par exemple si on veut calculer V n au bout de 8 mois, la formule précédente s applique avec i annuel et n = Exercice 13: Le 1 er avril 2 002, on place à intérêts simples et au taux annuel de 10% une somme de 1 000, le 1 er Septembre de la même année, on place toujours à intérêts simples mais au taux annuel de 12%. Quelle est la somme S obtenue par ces deux placements au 1 er Janvier Cas des intérêts composés Dans ce cadre, les intérêts sont placés avec le capital et portent à leur tour intérêt pour la période suivante. Au bout de la n ième année (si i est annuel), les intérêts se Chapitre 1 9

10 portent à : I = V 0 i + V 1 i + V n-1 i. V n = V n-1 + V n-1 i Ainsi (V n ) est une suite géométrique de raison (1 + i) et V n = V 0 (1 + i) n Remarque : Les remarques précédentes restent valables. Par exemple, sur 40 mois, si i est annuel, n = = 10 3 et V n = V 0 (1 + i) 10/3. Exercice 14 : Un capital de est emprunté à intérêt composé pendant 3 ans, à i 1 = 10% pendant 18 mois, à i 2 = 12% pendant les 8 mois suivants et à i 3 = 13% pendant les 10 mois suivants. Il est remboursé avec les intérêts au bout des 3 ans. Quelle est la valeur acquise au bout de ces 3 ans. En général on utilise les intérêts simples pour des courtes durées (inférieures à un an). Ces intérêts interviennent essentiellement pour les effets de commerce. Il s agit, pour certaines entreprises de se faire payer à l avance par la banque certaines sommes (effets) que le client payera plus tard. A partir du paragraphe suivant et si ce n est pas précisé, on considérera que les intérêts sont simples. De même si ce n est pas précisé, on supposera le taux d intérêt, annuel. b) Actualisation Tout somme d argent peut être placée à un taux à peu près identique dans les banques. Ainsi une somme de placée à 5% l an vaut au bout de 2 ans 1 000(1.05) 2 soit Ainsi la somme de ne représente pas la même valeur si elle est reçue aujourd hui ou si elle l a été il y a deux ans. En effet si elle a été versée il y a deux ans, elle vaut aujourd hui Aussi pour comparer 2 sommes à 2 dates différentes, il faut tenir compte de ce phénomène. Et pour ce faire on calcule ces sommes à une même date. Un problème se pose alors : quel taux utiliser? Dans ce genre de calcul, on utilise un taux dit d actualisation qui est calculé par les instances financières de façon un peu compliquée. Il tient compte de plusieu rs phénomènes conjoncturels économiques. Il vous sera toujours donné. Chapitre 1 10

11 V 0 V n valeur actuelle valeur acquise Actualiser V n à l année 0, c est calculer V 0, connaissant V n. D après le paragraphe précédent V 0 = V n (1 + i) -n Exercice 15 : On acquiert un bien pour payable : soit comptant, dans un an et dans 2 ans, soit 0 comptant, dans 6 mois et dans 18 mois. On suppose que le taux d actualisation est de 9% et que l actualisation est basée sur les intérêts composés. Quel est le moyen de paiement le plus économique? c) Annuités constantes (versement en fin de période) On verse n annuités constantes a, le premier versement ayant lieu à la fin de la première année, la n ième annuité ayant lieu à la fin de l année n. 1) Calculons la valeur acquise V n des ces n annuités au taux annuel i, à la fin de la n ième année. On peut faire le schéma suivant : fin année 1 fin année 2 fin année n -1 fin année n a 1 an + a a(1+i) (n-2) ans + a a(1+i) n-2 (n-1) ans + a a(1+i) n-1 V n = a(1 + (1+i) + (1+i) n-2 + (1+i) n-1 ) et en utilisant la formule : 1 + q + q q n-1 = 1-qn 1-q = qn -1 q - 1 avec q = 1 + i V n Chapitre 1 11

12 V n = a (1+i)n - 1 i 2) Calculons la valeur actuelle V 0 au début de la première année. On peut faire le schéma suivant : début année 1 fin année 1 fin année 2 fin année n 1 an a(1+i) -1 a + 2 ans a(1 +i) -2 a + n ans a(1+i) -n a V 0 V 0 = a( (1+i) -1 + (1+i) (1+i) -n ) et d après la formule q -1 +q q -n = 1 - q-n q - 1 (c.f. exercice 12) V 0 = a 1 - (1+i)-n i Remarque : On peut vérifier que V n = V 0 (1 + i) n. Exercice 16: Une personne fait, en début d année 1, un achat de payable en 5 échéances à la fin de chacune des 5 années suivant l achat. Quel doit être le montant de chaque échéance pour que la somme des 5 versements soit équivalente, au jour de l achat à On prendra un taux d actualisation de 10%. V - SUITES RECURRENTES REELLES 1. Généralités On s'intéresse aux suites de la forme u 0 u n+1 = f(u n ). On peut représenter u graphiquement à l'aide de C(f) (représentation graphique de f) et de la droite d'équation y = x. Chapitre 1 12

13 Exemple : u 0 = 1 u n+1 = 12+u n (n N). La représentation graphique de (u n ) à partir de celle de f est donnée par : On peut ainsi prévoir que u est croissante et converge vers 4. Un tel dessin ne peut remplacer une démonstration, mais il permet de visualiser le comportement de (u n ) et de savoir ce qui est à démontrer. cas particuliers : 1)f(x) = x + b, alors u est arithmétique de raison b. 2)f(x) = ax, alors u est géométrique de raison a. Théorème : Si f est continue et si (u n ) tend vers λ, alors λ vérifie : f(λ) = λ. Démonstration : u n+1 = f(u n ) donc lim n + u n+1 = lim n + f(u n) (1) f est continue donc lim n + f(u n) = f( lim n + u n) et (1) devient λ = f(λ). Attention, ce théorème ne permet en aucun cas de montrer que (u n ) converge, par contre sous l hypothèse d existence de la limit e et de continuité de f, il permet de calculer cette limite. Exercice 17: 1) Reprenons l exemple des exercices 4 et 6 : u la suite définie par : u 0 = 2 2u n. On a montrer dans l exercice 6 la convergence de u, en déduire sa u n+1 = u 2 n + 4 limite. 2) Soit u la suite définie par u n+1 = 4u n + 5 et u 0 = 1. On a montré dans l exercice Chapitre 1 13

14 10 que (u n ) est bornée par 0 et 5. Montrer que (u n ) est croissante et convergente. Calculer sa limite. 3) Soit u la suite définie par u n+1 = 3u n + 4 u n + 3 et u 0 = 1. On a montré dans l exercice 10 que (u n ) est bornée par 0 et 2. Montrer que u est croissante et convergente. calculer sa limite. 2. Les suites récurrentes linéaires du 1 er ordre à coefficients constants. Ce sont les suites u définies par u 0 u n+1 = au n + g(n) (1) a R* L'équation homogène associée à (1) est : v n+1 = av n (2). Théorème : Si u * est une solution particulière de (1) et si v est la solution générale de (2) (équation homogène associée à (1)), la solution générale de (1) est u = u * + v. Démonstration : Soit u * une solution particulière de (1) : u * n+1 = au * n + g(n) u est une solution quelconque de (1) si et seulement si u n+1 = au n + g(n) Soit : u n+1 - u * n+1 = a(u n - u * n) et u - u * est solution de (2). Or les solutions de (2) sont de la forme : v n = v 0 a n Donc u n = u * n + v 0 a n v 0 R (remarque : u 0 = u * 0 + v 0 ) Recherche de la solution partic ulière de (1) *Cas où g(n) = P(n) avec P est un polynôme de degré k. Si a 1 alors une solution particulière est un polynôme Q(n) de degré k. Si a = 1, une solution particulière est de la forme n Q(n), où Q est un polynôme de degré k. N.B. : g(n) = b (cte) est un cas particulier de celui -ci, il correspond à k = 0. *Cas où g(n) = Ct n (C et t constantes réelles données) Si t a une solution particulière est sous la forme : u * n = Kt n (K constante à déterminer) Si t = a une solution particulière est sous la forme u * n = Kna n. Remarque : on peut remplacer C par un polynôme de degré k, K est alors remplacé par un polynôme de degré k. Chapitre 1 14

15 *Si u * n est solution particulière de u n+1 = au n + g 1 (n) et si w * n est une solution particulière de u n+1 = au n + g 2 (n) alors u * n + w * n est une solution particulière de u n+1 = au n + g 1 (n) + g 2 (n). 3. Suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants. Ces suites sont définies par u 0 et u 1 et une relation de la forme : u n+2 + bu n+1 + c u n = g(n) (1). L'équation homogène associée est : v n+2 + bv n+1 + cv n = 0 (2). Théorème : Si u * est une solution particulière de (1) et si v est la solution générale de (2), la solution générale de (1) est : u = u * + v. Même démonstration que pour les suites récurrentes linéaires du 1 er ordre. Solution générale de (2) (équation homogène associée) L'équation caractéristique de (2) est : r 2 + br + c = 0 (3). Si D > 0 (3) a deux solutions distinctes r 1 et r 2, et v n = λr 1 n + µr 2 n est la solution générale de (2). (λ et µ sont des réels dépendant des conditions initiales u 0 et u 1 ) Si D = 0 (3) a une solution double r 0, et v n = λr 0 n + µnr 0 n est la solution générale de (2). (λ et µ sont des réels dépendant des conditions initiales u 0 et u 1 ) Si D < 0 (donc nécessairement c > 0) (3) n'a pas de solution réelle mais on retiendra le résultat suivant qui sera justifié en licence avec les nombres complexes : ρ = c Si ρ et θ vérifient ρcosθ = - b 2 Chapitre 1 15

16 v n = ρ n (λcosnθ + µsinnθ) est la solution générale de (2). (λ et µ sont des réels dépendant des conditions initiales u 0 et u 1 ) Recherche de la solution particulière de (1) *Cas où g(n) = P(n) avec P est un polynôme de degré k. Si 1 n'est pas racine de (3), on cherche une solution particulière u * de (1) sous la forme d'un polynôme Q de degré k : u * n = Q(n). Si 1 est racine simple de (3), u * est de la forme : u * n = nq(n). Si 1 est racine double de (3), u * est de la forme : u * n = n 2 Q(n). *Cas où g(n) = Ct n (C et t sont des réels non nuls donnés). Si t n'est pas racine de (3), une solution particulière u * de (1) est de la forme u * n = kt n (k constante réelle à déterminer). Si t est racine simple de (3), une solution particulière u * de (1) est de la forme u * n = knt n (k constante réelle à déterminer). Si t est racine double de (3), une solution particulière u * de (1) est de la forme u * n = kn 2 t n (k constante réelle à déterminer). *Si u * n est solution particulière de u n+2 + bu n+1 + cu n = g 1 (n) et si w * n est une solution particulière de u n+2 + bu n+1 + cu n = g 2 (n) alors u * n + w * n est une solution particulière de u n+2 + bu n+1 + cu n = g 1 (n) + g 2 (n). Chapitre 1 16

17 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 1 Chapitre 2 - Fonctions numériques de plusieurs variables 1 - Introduction Un premier exemple : soit f(x, y) = 3x 2 y, pour tous les (x,y) tels que -5 < x < 5 et -20 < y < 20 ( cet ensemble est [-5,5] [-20,20]) Pour y fixé, par exemple y = - 2, f ne dépend plus que de x : f(x) = -6x 2, c est une fonction parabolique, Pour x fixé, par exemple x = 2, f ne dépend que de y : f(2,y) = 12 y, c est une fonction linéaire Pour une valeur fixée z 0 non nulle, on peut chercher s il existe des nombres x,y tels que f(x,y) = z 0. Il s agit de résoudre z 0 = 3x 2 y, ce qui est équivalent à x 0 et y = z 0 / 3x 2 : Sous cette contrainte, y devient une fonction de x. Remarquons que la fonction précédente n avait d extremum qu à ses bornes. Considérons la fonction suivante : f(x,y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 pour (x,y) (0,0) et f(0,0) =1, D après son graphe, elle pose 2 problèmes : elle semble atteindre un maximum au point (0,0) elle semble continue, c est-à-dire qu elle semble avoir pour limite 1 = f(0,0) lorsque le couple (x,y) tend vers (0,0). Mais pour l exprimer rigoureusement, il nous faudra définir ce qu est une limite dans le cas d une fonction à plusieurs variables Limites : Rappel : limite d une fonction à une variable : si f est définie sur un intervalle I, sauf éventuellement en x 0, on dit que f a pour limite λ en x 0 lorsque : quelle que soit la précision que l on se fixe (un nombre p > 0), f(x) s approche de λ avec la précision voulue dès que l on restreint x à un intervalle, ouvert et contenant x 0, suffisamment petit. ln(1+x) Par exemple, cf. chapitre 1, lim = 1. x->0 x On peut montrer que pour tout x de [-1/2; + [, x - x 2 < ln(1+x) < x

18 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 2 d où, pour tout x non nul de [-1/2; + [ 1 - x < ln(1+x) x < 1 + x donc, ln(1+x) approchera 1 avec une précision de 0,01 pour tout x de [- 0,01, + 0,01[ x ln(1+x) approchera 1 avec une précision de 0,000 1 pour tout x de ] 0, ,000 1[ x et pour toute précision, aussi fine soit elle, il existe un intervalle ouvert contenant 0 tel que pour tout x non nul de cet intervalle ln(1+x) approchera 1 avec la précision voulue x Pour les fonctions à plusieurs variables, on peut définir cette notion à l aide d ensembles suffisamment petit, mais il ne peut plus s agir d intervalles. On peut utiliser des pavés ouverts, de côté 2r: par exemple dans le cas de IR 2 : ]x 0 -r, x 0 +r[ ]y 0 - r, y 0 + r[, ou encore des disques, de rayon r,(dans le cas de 2 variables, d( x 0,y 0, r) ={ (x,y) / (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 < r 2 } ) ou des boules (dans le cas de plus de deux variables, d( x 0,y 0, z 0, r) ={ (x,y) / (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 < r 2 } Par exemple pour 2 variables on peut poser: Définition: f a pour limite λ en (x 0, y 0 ) si, pour toute précision p>0, on peut trouver un disque ouvert centré en x 0, y 0, tel que pour tout (x,y) de ce disque, f(x,y) approche λ avec la précision p, c est-à-dire f(x,y) - λ < p. On peut montrer qu il est équivalent de définir la notion de limite à l aide de pavés ou de disques. Pour plus de 2 variables : Définition : f a pour limite λ en (a 1, a 2,..., a n ) si, pour toute précision p>0, on peut trouver une boule ouverte centrée en (a 1, a 2,..., a n ) telle que pour tout (x 1, x 2,... x n ) de cette boule, f (x 1, x 2,... x n ) approche λ avec la précision p, c est-à-dire f (x 1, x 2,... x n ) - λ < p. Exemple: on peut montrer que pour tout s de IR + *, s - s3 6 s2 sin s s, d où 1-6 sin s s d où, pour toute précision p, dès que x 2 + y 2 < 6p, c est-à-dire dès que (x,y) se trouve dans un disque centré en (0,0), de rayon inférieur à 6p, f(x,y)= sin (x2 + y 2 ) x 2 + y 2 s approche de 1 avec une précision de p. sin (x On écrit : lim 2 + y 2 ) (x, y) (0,0) x 2 + y 2 =1 1 Plus encore que pour les fonctions à une variable, il est conseillé de se ramener à une limite en (0,0,...0) en utilisant la propriété : lim f(x,y,...) = λ <=> (x, y,...)->(x 0, y 0,...) (h, k,...)->(0, lim 0,...) f(x 0+h, y 0 +k,...)= λ Continuité : Comme pour les fonctions à une variable, une fonction à plusieurs variables est dite continue si sa valeur en un point est égale à sa limite en ce point. Par exemple, dans IR 3 : f, définie sur un domaine D, est continue en M 0 (x 0, y 0, z 0 ) si : lim f(x,y,z) = f(x 0, y 0, z 0 ) (x, y, z)->(x 0, y 0 ),z 0 Théorèmes : Une fonction composée de fonctions continues est continue partout où elle est définie Un polynôme à plusieurs variables est continu sur IR, Une fonction rationnelle à plusieurs variables est continue partout où elle est définie En pratique En utilisant le fait que les fonctions usuelles à une variable ( polynômes, fonctions rationnelles, ln, exp, puissances, valeur absolue, fonctions trigonométriques) sont continues partout où elles sont définies,

19 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 3 les fonctions que vous rencontrerez en DEUG, construites à partir de fonctions usuelles, ne poseront de problèmes de continuité que là où il y a une problème de défintion. Exemples : on pose, pour tout (x,y) (0,0), f(x,y) = x2 - y 2 x 2 + y 2 Etudier (existence, valeur) la limite en (0, 0). On pourra étudier d abord les limites éventuelles en 0 de f(x,x) et de f(x,2x) Etudier (existence, valeur) lim (x, y)->(0, 0) x2 ln(x 2 + y 2 ), en remarquant que x 2 ln(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) ln(x 2 +y 2 ) et que lim ln(t) = 0 t 0 +t Infiniment petits : de façon analogue au cas d une seule variable, on dit qu une fonction numérique de n variables est un infiniment petit en 0 si elle admet 0 pour limite en (0,0,...0) une fonction numérique de n variables f est dite négligeable devant une autre g, au voisinage de x 0, si le rapport f g a pour limite 0 en x 0. En particulier, si g = x 1 k + x 2 k x n k, c est le cas si Dans ce cas, on note, f = o (x 1 k,x 2 k,... x n k) f(x 1, x 2,...x n ) lim (x 1, x 2,...x n ) (0,0,... 0) x 1 k + x 2 k x n k =0 3. Différentielle Nous allons voir comment étendre à plusieurs variables les notions de dérivée et de différentielle. Les fonctions suivantes seront supposées définies sur des domaines ouverts. Dans IR, un ouvert est un ensemble dont tous les éléments appartiennent à un intervalle ouvert inclus dans l ensemble. Dans IR n, un ouvert est un ensemble dont tous les éléments appartiennent à une boule ouverte incluse dans l ensemble. 3.1 Dérivées partielles On considère la fonction définie sur IR 2 f : (x,y) α 3yx 2. Pour un x fixé à x 0, la fonction d y : y IR α 3yx 0 2 est une fonction linéaire d y : elle a pour dérivée :y IR α 3x 0 2. Pour y fixé à y 0, la fonction d x : x IR α 3y 0 x 2 a pour dérivée : x IR α 6y 0 x Définition : Pour une fonction de k variables (x 1, x 2,...x k ) α f(x 1, x 2,...x k ), et un élément de IR k (a 1, a 2,...a k ), on considère pour chaque entier p entre 1 et k, la fonction d 1 variable x α f(a 1, a 2,...a p-1, x, a p+1, a p+2,...a k ) (toutes les variables sont fixes sauf la p-ième) Si cette fonction est dérivable en x = a p, on appelle cette dérivée la dérivée partielle de f par rapport à la pième variable, au point (a 1, a 2,...a k ).. Elle est notée ( f x p ) (a1,a 2,...a n) f ' x p f = x p ( a1, a 2,... a k ) = d dx f ( a 1, a 2,..., a p 1, x, a p + 1,... a k ) Exemple : calculer les dérivées partielles en (1, 2, 3) de f: (x,y,z) IR 3 α x 2 z + 3yz ou f xp (a 1, a 2,...a n ) 3.2 Différentielle Soit la fonction f 1 : (x,y) IR 2 α (x+2y) 2. Observons comment elle se comporte au voisinage de (3,1) : pour tout (h,k) de IR 2, f 1 ( 3+h, 1 +k) = (5 +h +2k) 2 = h +20k + h 2 + 4k 2 Dans cette expression : 25 est f 1 (3,1) l application (h,k) IR 2 α 10h +20 k est une application linéaire. C est un infiniment petit en 0 : lim 10h + 20 k = 0 ( h,k) (0,0) (h,k) IR 2 αh 2 + k 2 est un infiniment petit d ordre supérieur à 10h + 20 k : h 2 +k 2 << (0,0) 10h + 20k l application (h,k) IR 2 α 10h + 20k, est appelée différentielle de f au point (3, 1).

20 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 4 Définition: une fonction f définie dans domaine D de IR k contenant un pavé ouvert, contenant luimême (a 1,a 2,... a k ) de IR k, est dite différentiable en (a 1,a 2,... a k ) s il existe une application linéaire g et une fonction ϕ de IR k dans IR telles que : pour tout (h 1, h 2,... h k ) de D, f(a 1 + h 1, a 2 + h 2,... a k + h k ) = f(a 1,a 2,... a k ) + g(h 1, h 2,... h k ) + h 1 2+ h h k 2 ϕ( h 1, h 2,... h k ) avec lim ( h 1, h 2,... h k )->(0,...,0) ϕ( h 1, h 2,... h k ) = 0 g est appelée différentielle de f en (a 1,a 2,... a k ) f 1 est donc différentiable en (3,1), de différentielle df 1 : (h,k) α 10h + 20k Notations : La différentielle d un fonction f est notée df. On note dx p l application linéaire de IR k dans IR : (h 1, h 2,... h k ) α h p (à un vecteur de IR k on associe sa p ième composante). Dans le cas de IR 2 les variables sont souvent notées x, y, et les applications linéaires précédentes dx, dy Dans le cas de IR 3 les variables sont souvent notées x,y,z, et les applications linéaires précédentes dx,dy,dz pour la fonction f 1 précédente, sa différentielle se note donc df 1 ) (3,1) = 10 dx + 20 dy De façon générale, au point (x,y), df = 2 ( x+ 2y)dx + 4 (x+2y) dy Le théorème suivant permet de calculer la différentielle Théorèmes : 1 ) Si f est différentiable au point (x 1, x 2,... x k ) alors f admet des dérivées partielles et : df = f dx x 1 + f dx 1 x f dx 2 x k k par exemple pour 3 variables : si f est différentiable en (x,y,z) alors f admet des dérivées partielles et df = f x dx + f y dy + f z dz 2 ) Si f, définie au voisinage de (x 1, x 2,... x k ) y admet k dérivées partielles continues, alors f est différentiable en (x 1, x 2,... x k ), et df = f dx x 1 + f dx 1 x f dx 2 x k. k 3 ) Si f est différentiable en (x 1, x 2,... x k ), alors f y est continue Exemple : f 1 x = 2(x+2y), f 1 = 4 (x + 2y) y On retrouve bien df = f x dx + f y dy Fonctions composées 1er cas : Fonction composée d une fonction numérique de plusieurs variables f(x, y, z...), ellesmêmes fonctions d une même variable. f(x, y, z,...) où x = x(t), y = y(t), z = z(t)... On considère la fonction d une seule variable : F : t α F(t) = f(x(t), y(t), z(t)...) Si f est différentiable sur un domaine D ouvert et que les fonctions t α x(t), t αy(t), t α z(t)... sont dérivables sur un domaine E tel que f(e) D, alors F est dérivable sur E, f et F t x t x x t y t z t y t f y x t y t z t z t f '( ) = '( ) ( ( ), ( ), ( )... ) + '( ) ( ( ), ( ), ( )... ) + '( ) ( z x ( t ), y ( t ), z ( t )... ) +... Exemple : f(x, y) = x 2 y+ 3xy, on pose x(t) = e t et y(t) = 4t Exprimer F(t) = f(e t, 4t), puis F (t) en faisant intervenir la formule précédente. 2ème cas : f (x,y,z...) = F( u (x,y,z...))

21 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 5 Exemple : F : t IR α F(t) = t e -t et u : (x,y) IR 2 α xy 2 alors f(x,y) = xy 2 e - xy 2 Si u est définie et différentiable sur un domaine D (de IR n ) ouvert et F définie et dérivable sur un domaine E (de IR) tel que u(d) E, alors f = Fo u est différentiable sur D,avec f u f u = F'( u( x1, x2,... xn )), = F'( u( x1, x2,... xn )),... f u = F'( u( x1, x2,... xn )) x1 x 1 x2 x 2 xn xn 3ème cas ; fonctions composées de fonctions de plusieurs variables : Pour 2 variables : f(x,y) = F( u(x,y), v(x,y)) par exemple : f(x,y) = (x+2y)(x- y 2 ) on peut remarquer que f(x,y) = g(u(x,y),v(x,y)) en posant g : (u,v) IR 2 α uv On peut calculer ses dérivées partielles deux façons: en développant et en dérivant directement par rapport à x et y : f(x,y) = -2y 3 +x 2 -xy 2 +2xy, f x = 2x - f y2 +2y y = -6y2-2xy + 2x Ou bien en posant u (x,y) = x+2y, v(x,y) = x-y 2. f(x,y) = u(x,y). v(x,y) = g(u(x,y), v(x,y)) en posant g : (u,v) IR 2 α uv Théorème : Si u 1, u 2,... u k sont k fonctions numériques de n variables, définies et différentiables sur un domaine D ouvert, et que g est une fonction numérique de k variables, définie et différentiable sur un ouvert E avec u 1 (D)x u 2 (D) x... x u k (D) E, alors : f : ( x 1, x 2,...x n ) IR n α g(u 1 ( x 1, x 2,...x n ), u 2 ( x 1, x 2,...x n ),..., u k ( x 1, x 2,...x n )) est différentiable sur D, avec f g u1 g u2 g uk f g u1 g u2 g uk = , = x u x u x u x x u x u x u x k f g u1 g u2 g u... = x u x u x u x n 1 n 2 n k k n k 2 Dans le cas de 2 variables, si f (x,y) = g(u(x,y), v(x,y)), f x g u g v = +, u x v x f y g u = + u y g v v y pour la fonction de l exemple, g v = u, g u = v, u x = 1 u y = 2 D où f = v. 1 + u.1 = 2x + 2y - y2 x v x = 1 v y = -2y f y = v.2 + u.(-2y)= 2x - 2y2-2y (x+2y) = -6y 2-2xy +2x 3.3 Dérivées partielles d ordre supérieur à 1 : Si les dérivées partielles d une fonction sur un domaine admettent elles-mêmes des dérivées partielles en un point, on obtient des dérivées partielles secondes, c est-à-dire d ordre 2, et on peut recommencer, tant que l on obtient des fonctions admettant des dérivées partielles, jusqu à un ordre n quelconque. Les dérivées d ordre 2 interviendront dans la recherche d extrema. par exemple sur IR 3 la fonction f : (x, y, z) IR 3 α x 2 ye 3z + y est définie sur IR et y admet 3 dérivées partielles d ordre 1: f x = f 2xye3z y = x2 e 3z f + 1 z = 3x2 ye 3z elle admet aussi des dérivées secondes : a priori il y en a 9 : x ( f x ), notée 2 f ( x) 2 ou 2 f x 2 ou encore f xx, vaut 2ye 3z encore f xy, vaut 2xe 3z y ( f x ), notée pour l instant 2 f y x ou

22 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 6 z ( f x ), notée pour l instant 2 f, vaut 6xye3z z x 2 f ( y) 2 = 0 2 f x y = 2xe3z 2 f ( z) 2 = 9 x2 ye 3z, 2 f x z = 6xye3z 2 f z y = 3x2 e 3z 2 f y z = 3x2 e 3z On remarque que certaines d entre elles sont égales, c est une propriété générale : Théorème de Schwarz : Si une fonction f admet, en un point A de IR n des dérivées partielles secondes par rapport aux variables x k et x p, 2 f et que ces dérivées partielles secondes sont continues en A, alors : x k x p 2 f = 2 f x k x p x p x k L ordre de dérivation n influe pas sur les dérivées partielles secondes. C est pourquoi dans l exemple précédent 2 f x z = 2 f z x, 2 f x y = 2 f y x, 2 f z y = 2 f y z Il n y a donc, si les dérivées partielles secondes sont continues pour 3 variables que 6 différentielles partielles secondes, et non 9 et pour 2 variables, 3 dérivées partielles secondes seulement : 2 f x 2, 2 f y 2 et 2 f x y = 2 f y x De la même façon, si une fonction f a des dérivées partielles d ordre n continues en un point A, alors l ordre des dérivations n importe pas. Ainsi 3 f x y z = 3 f x z y, 3 f x 2 y = 3 f x y x... Réciproque : forme différentielle totale : Plaçons nous dans IR 2. On peut poser l expression ω = P(x,y) dx + Q (x,y) dy Par exemple ω = (3x 2 +1)y dx + x dy. C est ce qu on appelle une forme différentielle. Elle définit, pour chaque (x,y) de IR 2, une application linéaire de IR 2 dans IR. (h,k) IR 2 α P(x,y) h + Q(x,y) k. Mais est ce la différentielle d une fonction? Dans l exemple, la réponse est non, car si ω était la différentielle d une fonction f, alors P(x,y) = f f et Q(x,y) = x y. Alors, on devrait avoir 3x2 +1= P y = 2 f y x et 0 = Q x = 2 f. Mais ces dérivées secondes étant continues, devraient être égales, d après le théorème x y précédent, ce qui n est pas réalisé. Le théorème suivant indique une réciproque au théorème de Schwarz : Théorème : si P et Q sont des fonctions de deux variables à dérivées continues, l expression ω = P(x,y)dx + Q(x,y) dy est la différentielle d une fonction f si et seulement si P y = Q x Formule de Taylor Young et développements limités : De la même façon que pour une fonction d une variable, un développement limité d ordre n d une fonction au voisinage de (0,0,...) est un polynôme de degré n permettant une approximation de cette fonction. Par exemple pour 2 variables : f(x,y) = P(x,y) + R(x,y), où P(x,y) est un polynôme de degré n à eux variables, et R(x,y) << (0,0) sup (x n, y n ) Au voisinage d un point (x 0, y 0 ) on se ramène en (0,0) en posant x = x 0 + h, y = y 0 +k. Il existe une formule de Taylor Young analogue à celle que vous avez rencontrée pour les fonctions d une variable, nous ne la verrons que pour un degré 2.

23 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 7 Les égalités suivantes sont vraies pour les fonctions admettant des dérivées partielles d ordre 3. avec 3 variables : f(x 0 +h, y 0+k z 0+ t ) = f(x 0, y 0, z 0) + h f f f (x0, y0, z0) + k (x0, y0, z0)+ t (x0, y0, z0) x y z (h2 2 f x 2 (x0, y0, z0) + k2 2 f y 2 (x0, y0, z0)+t2 2 f z 2 (x0, y0, z0) + 2hk 2 f x y (x0, y0, z0)+ 2 ht 2 f (x0, y0, z0) x z +2kt 2 f y z (x0, y0, z0) ) + o (h2, k 2, t 2 ) Avec 2 variables : f ( x + h, y + k ) = f f x y h x x y k f y x y 1 h 2 f 2 f f (, ) (, ) (, ) ( x, y ) k ( x, y ) hk ( x y x y x, y ) ( h, k ο Théorème des fonctions implicites : Considérons la fonction de 2 variables f : (x,y) IR 2 α f(x,y) = siny 2 + y + x 2. Pour x fixé, on peut montrer avec les méthodes de première année, qu il existe un, seul, y de IR tel que siny 2 + y = - x2, c est -à-dire tel siny que (E) + y + x 2 2=0.On ne peut pas définir y sous la forme y = g(x), où g serait une composition des fonctions usuelles. Pourtant, l équation (E) définit bien un x pour tout y de IR, c est-à-dire x comme fonction d y. On dit que cette égalité détermine x comme fonction implicite d y. Les théorèmes vus en première année ne nous permettent souvent pas de conclure, par exemple pour : (E ) sin(xy) 2 + x + 2y = 0 Le théorème suivant est plus général. Nous ne verrons que le cas de 2 et 3 variables Cas de 2 variables Théorème : Si une fonction f est définie, continue sur un ouvert contenant (x 0, y 0 ), vérifie f(x 0, y 0 ) = 0 Possède en (x 0, y 0 ) des dérivées partielles continues f x 0 et f y 0 avec f y 0 0 Alors, il existe un ouvert A contenant x 0 et une, seule, fonction ϕ : x A α ϕ(x) définie et continue sur A, telle que pour tout x de A, f( x, ϕ (x) ) = 0 De plus, la fonction ϕ est dérivable en x 0, avec : f x x 0, y 0 ϕ'( x0) = f y x, y 0 0 Exemple : Soit la fonction f (x,y) IR 2 α : sin(xy) 2 + 2x + y. On remarque que f(0,0 ) = 0, f est définie, continue, sur IR, elle possède des dérivées partielles continues sur IR et en particulier en (0,0), f x = y 2 cos(xy)+1, f y = x f cos(xy)+2, de plus 2 y ) (0,0) = 2 0 sin(xy) Donc l équation (E ) + x + 2y = 0 définit, sur un ouvert contenant (0,0), une fonction implicite 2 2 2

24 L2 Economie - Gestion Cours de mathématiques - chapitre 2 p 8 sin(x ϕ(x)) ϕ par : + x + 2ϕ(x) = 0 2 De plus, bien qu on ne puisse exprimer explicitement ϕ, on peut indiquer que ϕ est dérivable en 0, avec : ϕ (0) = Cas de 3 variables Théorème : Si une fonction f est définie, continue sur un ouvert contenant (x 0, y 0, y 0 ), vérifie f(x 0, y 0 ) = 0 Possède en (x 0, y 0, z 0 ) des dérivées partielles continues f et f, f x 0 y 0 z 0 avec f 0 z 0 Alors, il existe un ouvert A contenant (x 0, y 0 ) et une, seule, fonction ϕ : (x,y) A α ϕ(x,y) définie et continue sur A, telle que pour tout (x,y) de A, f( x,y, ϕ (x,y) ) = 0 De plus, la fonction ϕ est différentiable en x 0, avec : f f ϕ x x y z '( x x, y 0, 0, 0 ϕ y x 0 0 ) = f y x y 0, y 0, z 0 '( 0, 0 ) = f z x, y, z z x, y, z Exemple : Soit la fonction Soit la fonction f (x,y,z) IR 3 α e 2x+y-z - z 2 Montrer que l égalité f(x,y,z) = 0 permet de définir, au voisinage de (0, 1, 1) une fonction implicite z = ϕ (x,y) et déterminer les dérivées partielles de ϕ

25 Cours de Mathématiques L2 économie/gestion Université Paris XI Faculté Jean Monnet L. JOSEPH CHAPITRE 2 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES (COMPLEMENTS) I FORMULES D APPROXIMATION LOCALE PAR UN POLYNÔME 1. Théorème des accroissements finis 2. Formules de Taylor et développements limités II - FONCTIONS HOMOGENES ET DERIVEES PARTIELLES : LA RELATION D'EULER Chapitre 2 1

26 II FORMULES D APPROXIMATION LOCALE PAR UN POLYNÔME 1. Théorème des accroissements finis Soit f : (x,y) f(x,y) une fonction définie sur un voisinage V de A(x 0,y 0 ), tel que V contienne le segment [A,B] avec B(x 0 +h,y 0 +k). Nous nous proposons de donner une expression de f = f(x 0 +h,y 0 +k) - f(x 0,y 0 ). Pour cela posons : F(t) = f(x 0 +th,y 0 +tk) et f = F(1) - F(0). Supposons que F soit une fonction d'une seule variable, continue sur [0,1] et dérivable sur ] 0,1[. Alors d'après le théorème des accroissements finis : f = F '(θ) avec θ ] 0,1[. Ces hypothèses seront vérifiées si f est continue et admet des dérivées partielles continues sur V. Et d'après les formules de dérivation introduites en Deug1, en posant x(t) = x 0 + th et y(t) = y 0 + tk, on a : F ' t = f x x th, y f 0 0 tk h y x th, y 0 0 tk k d'où f = f x 0 h, y 0 k f x 0, y 0 =h f x x h, y f 0 0 k k y x h, y 0 0 k Remarquons que (x 0 +θh,y 0 +θk) est un point C de ]A,B[ (segment [A,B] privé de ses extrémités) puisque θ ] 0,1[. D'où le théorème : Si une fonction f des deux variables x et y, a des dérivées partielles continues sur un voisinage V de A(x 0,y 0 ) contenant le segment [A,B] avec B(x 0 +h,y 0 +k) alors, il existe un point C ] A, B[ (C = (x 0 +θh,y 0 +θk) avec θ ] 0,1[ ) tel que f B f A =h f f C k x y y C Remarques : 1) On remarquera l'analogie de la précédente formule avec celle des accroissements finis dans R. 2) En posant x = x 0 +h et y = y 0 +k, on obtient : Chapitre 2 2

27 f x, y f x 0, y 0 = x x 0 f x c, d y y f 0 c, d avec c, d [ A, B[. y Développements limités Pour établir des développements limités, on peut utiliser une formule de Taylor. A l'ordre 1, on a : Si une fonction f de deux variables x et y a des dérivées partielles continues au voisinage V de A =(x 0,y 0 ) : si on pose B = (x 0 + h,y 0 + k) B V : f B = f A h f x A k f A o h, k y o(h,k) est le reste, il est de la forme : h 2 k 2 h, k avec lim h,k =0 h, k 0,0 et est négligeable devant les termes qui le précède (sauf si f A sont nuls). y f A et x Remarques : 1)Cette formule n'a d'intérêt que pour (h,k) voisin de (0,0) puisque la seule information sur le reste concerne son comportement au voisinage de (0,0). 2)La formule précédente s'écrit aussi x, y V : f x, y = f x 0, y 0 x x 0 f x x 0, y 0 y y 0 f y x 0, y 0 o x x 0, y y 0 A l'ordre 2, on a : Si f a des dérivées partielles du second ordre continues sur un voisinage V de A = (x 0,y 0 ) : si on pose B = (x 0 +h,y 0 +k), B V, f B = f A h f x A k f y 1 [ A h2 2 f 2 x A 2hk 2 f 2 x y A k 2 2 f y A ] o 2 h2, k 2 o(h 2,k 2 ) est le reste, il est de la forme : Chapitre 2 3

28 (h 2 + k 2 )ε(h,k) avec lim h,k =0 h, k 0,0 et est négligeable devant les termes qui le précède (sauf s'ils sont nuls). Remarques: Ici encore cette formule n'a d'intérêt que pour (h,k) voisin de (0,0) puisque la seule information sur le reste concerne son comportement au voisinage de (0,0). On peut aussi, si c'est possible, utiliser les techniques mises en place pour les fonctions à une variable. Exercice 2 : 1)Trouver le D.L. à l'ordre 2 et au point (1,1) de f : (x,y) ln(1+xy). 2)Donner une développement limité d'ordre 2 de f(x,y) = (x+1)e (x+y) au voisinage de (-1,1). En déduire une valeur approchée de (x+1)e (x+y) pour x =-1.05 et y = III - FONCTIONS HOMOGENES Définition : Une fonction f : (x,y) f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = a k f(x,y) Cette définition se généralise naturellement à 3, 4, 5 n variables. Exemple : Donnons une application économique qui permettra d'illustrer la notion de fonction homogène : Fonctions homogènes et rendements d'échelle. Considérons une fonction de production Q = f(k,l). Si nous décidons de doubler les facteurs K et L, qu'en résulte-t-il pour la production Q? Tout dépend de la façon dont les nouveaux inputs peuvent participer au processus de production. La production peut doubler comme elle peut augmenter de 30% ou au contraire tripler. La notion qui traduit l'ampleur de la variation de la production s'appelle "rendements d'échelle". *Lorsque la fonction de production est à rendements constants, cela signifie qu'en multipliant les inputs K et L par a, l'output Q est multiplié aussi par a : f(ak,al) = af(k,l). f apparaît ainsi comme une fonction homogène de degré 1. *On définit de même les rendements croissants par le fait qu'une augmentation des inputs K et L entraîne une augmentation plus forte de la production Q telle que : a > 1 f(ak,al) = a k f(k,l) avec k > 1. Chapitre 2 4

29 *Enfin les rendements décroissants correspondent à une baisse de l'efficacité. On augmente les inputs et l'output augmente de façon moindre : a > 1 f(ak,al) = a k f(k,l) avec k < 1. Exercice 3 : Les fonctions suivantes sont-elles homogènes? Si oui, déterminer leur degré d'homogénéité : 1)Soit f : (x,y) x 2 - xy + y 2 ; 2) f : (x,y) ; 3)f :(x,y) ; 4)f :(x,y,z) xln ; 5)f :(x,y) R + * R + * 3x α y β (α R et β R). Propriété 1: Si une fonction homogène est de degré k, ses dérivées partielles si elles existent sont de degré k-1. Preuve : soit f : (x,y) f(x,y) homogène de degré k. a R : f(ax,ay) = a k f(x,y). Dérivons partiellement les deux membres de cette équation : a f x ax f,ay =ak x x, y d'où f x ax, ay =ak 1 f x x, y De même : a f y ax f,ay =ak y x, y d'où f y ax, ay =ak 1 f y x, y Et la propriété est démontrée. f Attention : x ax, ay f désigne la valeur de x en (ax,ay), ce n'est la dérivée partielle par rapport à x de (x,y) f(ax,ay) qui elle est a f ax,ay x (dérivée d'une fonction composée). Propriété 2 : Si f est une fonction homogène de degré k, les fonctions moyennes g : (x,y) f x, y f x, y et h : (x,y) x y sont homogènes de degré k-1. f ax,ay Preuve : en effet g ax,ay = = ak f x, y k 1 f x, y =a =a k 1 g x, y. ax ax x On ferait un raisonnement analogue pour h. Relation d'euler : Soit f : (x,y) f(x,y), homogène de degré k et admettant des Chapitre 2 5

30 dérivées partielles. Alors : x f x x, y y f x, y =k f x, y. y Preuve : Dérivons par rapport à a la relation f(ax,ay) = a k f(x,y). On obtient f f ax, ay. x x y ax, ay. y=kak 1 f x, y. f f 0r, d'après la propriété 1, et sont homogènes de degré k-1, la x x relation précédente devient, a k 1 f x x, y. x ak 1 f x, y. y. y Et en simplifiant par a k-1, on obtient bien x f x x, y y f x, y =k f x, y. y Chapitre 2 6

31 Chapitre 2 7

32 Cours de Mathématiques L2 Sc. Eco. Université Paris XI L.JOSEPH CHAPITRE 3 : OPTIMISATION I - EXTREMA D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE REELLE II - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - OPTIMISATION LIBRE 1)Extrema d'une fonction de deux variables. 2)Extrema d'une fonction de trois variables et plus. III - OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE IV - PROGRAMMATION LINEAIRE

33 OPTIMISATION Dans tout ce chapitre, ce qui est à savoir est encadré. Aucune démonstration n'est exigible, il s'agit de savoir faire les exercices. Les exercices de programmation linéaire (paragraphe IV) sont au programme de l'examen. I - EXTREMA D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE REELLE Définitions : *f admet un maximum en x 0 sur l'intervalle I si : x 0 I et x I : f(x) f(x 0 ) (1) *f admet un minimum en x 0 sur l'intervalle I si : x 0 I et x I : f(x) f(x 0 ) (2) *f admet un maximum local en x 0, s'il existe un intervalle ouvert I contenant x 0 et vérifiant (1). *f admet un minimum local en x 0, s'il existe un intervalle ouvert I contenant x 0 et vérifiant (2). Exercice 1 : Soit f la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. 1)Donner les extrema de f sur les intervalles suivants : ]1, 2.5[, [1, 2.5[ et [1, 5[. 2)Donner les extrema locaux de f. Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction admette un extremum local en x 0 Si f est dérivable en x 0 et admet un maximum local en x 0, f x f x 0 f ' x 0 =lim existe et est finie et il existe donc un intervalle x x 0 x x 0 ]a, b[ contenant x 0 sur lequel f(x) - f(x 0 ) 0.

34 Or lim x x 0 f x f x 0 x x 0 ]a, x 0 [, et lim x x 0 positif sur ]x 0, b[. f x f x 0 x x 0 0 car le numérateur et le dénominateur sont négatifs sur 0 car le numérateur est négatif alors que le dénominateur est Or cette limite, qui existe, est à la fois positive et négative, elle est donc nulle et nécessairement f '(x 0 ) = 0. Mais cette condition ne suffit pas, il suffit pour s'en convaincre de considérer x x 3 en 0. Théorème 1 : Soit f une fonction dérivable dans un intervalle ouvert contenant x 0. *Si f admet un extremum local en x 0 alors f '(x 0 ) = 0. *Si f ' s'annule en x 0 en changeant de signe alors f admet un extremum local en x 0. C'est un maximum (resp. minimum) si f'(x) est positif puis négatif (resp. négatif puis positif) lorsque x croît dans un voisinage de x 0. Théorème 2 : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x 0. *Si f '(x 0 ) = 0 et f"(x 0 ) < 0 alors f admet un maximum local en x 0. *Si f '(x 0 ) = 0 et f"(x 0 ) > 0 alors f admet un minimum local en x 0. Exercice 2 : Soit f : x x 4 + ax 3 + bx Déterminer a et b pour que A(1,2) corresponde à un extremum local. Préciser la nature de cet extremum. Une application économique : Si f est la fonction totale, on sait que la fonction moyenne associée est x et f' est la fonction marginale. Supposons f deux fois dérivable et x non nul. Propriété : La fonction moyenne M : x et la fonction marginale f' ont des représentations graphiques qui se coupent en un extremum local de la fonction moyenne M si f" est non nulle. Démonstration : Cherchons l'abscisse de l'extremum local de la fonction moyenne. Sa dérivée est x f ' x f x M' : x = 1 f ' x f x / x x 2 x f x 0 On constate donc que : M'(x 0 ) = 0 f'(x 0 ) = =M x x 0. 0 Or si f'(x 0 ) = M(x 0 ) = y 0, le point de coordonnées (x 0,y 0 ) appartient à la fois à la représentation graphique de f et à celle de M. Vérifions la condition du second ordre pour vérifier que (x 0,y 0 ) correspond bien à un extremum de M et calculons M"(x 0 ) : M ' ' x = 1 x f ' x M x 1 2 x f ' ' x M ' x. Or M'(x 0 ) = 0 : f ' x 0 =M x 0 d'où Cet extremum sera un maximum si M ' ' x 0 = f ' ' x 0 x 0. f ' ' x 0 x 0 < 0. Ce sera un minimum si