MANUEL D EXERCICES. Enquêtes et sondages UE STA 108. Conservatoire National des Arts et Métiers. Sylvie Rousseau

Transcription

1 Coservatoire atioal des Arts et Métiers Pôle Scieces et Teciques de l'iformatio et de la Commuicatio, Spécialité Matématiques Equêtes et sodages UE STA 8 MAUEL D EXERCICES Slvie Rousseau Aée scolaire

2 Table des matières I. Rappels de probabilités et de statistique iféretielle...3 Rappels sur les lois de probabilités 5 Rappels sur les itervalles de cofiace 7 II. Sodage aléatoire simple... Rappels sur le sodage aléatoire simple 6 III. Plas à probabilités iégales...8 Rappels sur les plas à probabilités iégales IV. TP : Simulatios de tirage d écatillos... V. Plas stratifiés...4 Rappels sur les plas stratifiés 9 VI. Plas par grappes...3 Rappels sur les plas par grappes 35 VII. Plas à plusieurs degrés...37 Rappels sur les plas à plusieurs degrés 4 VIII. Redressemets...4 Rappels sur les redressemets 44 IX. TP : Calage sur marges...49 X. TP3 : Correctio de la o-répose...49 XI. Complémets et révisios...49

3 I. Rappels de probabilités et de statistique iféretielle Exercice otios d espérace et de variace U passager du métro mesure so temps de trajet domicile-travail pedat jours et relève successivemet (e miutes) : 3 ; 5 ; 8 ; 36 ; 3 ; 6 ; 37 ; 5 ; 33 ; 8. Quel est e moee la durée du trajet? Évaluer aussi la variabilité de cette durée. Comparer avec u autre itiéraire empruté par otre voageur pedat les jours suivats et qui lui pred : 46 ; ; 4 ; 38 ; 44 ; ; 37 ; ; 5 ; 3 miutes. Exercice Loi biomiale A caque balade qu il effectue, u cavalier a ue probabilité p d être désarçoé.. Quelle est la probabilité que le cavalier ait cuté fois au terme de balades? O suppose que les différetes promeades sot idépedates les ues des autres.. Quelle est la loi du ombre de cutes e balades? 3. Doer l espérace et la variace du ombre de cutes e balades. Exercice 3 Loi pergéométrique Le resposable qualité d ue usie cotrôle objets das caque lot de objets avat de le laisser partir vers le cliet. Il accepte seulemet les lots pour lesquels il e trouve aucu objet o coforme das l écatillo ; das le cas cotraire, le lot est trié uité par uité.. Si p% des pièces fabriquées sot défectueuses, quelle est la probabilité d e trouver das u lot doé de taille?. Quelle est la probabilité pour qu u lot coteat ue proportio p =,5 d objets o coformes soit accepté? 3. Même questio pour p =,. Exercice 4 La moee empirique Soiet X, X,, X variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées (i.i.d.) de moee m et de variace σ². La moee empirique est : X = X i. Calculer E ( X ) et V ( X ). i= Exercice 5 Itervalle de cofiace pour ue moee O a mesuré le redemet de parcelles de blé d ue variété doée. O a obteu xi = 86 et x i = 75 où x i exprime le redemet observé sur la i ème parcelle (e qx/a). i= i= O suppose que les redemets sot mutuellemet idépedats et qu ils sot issus d ue populatio ifiie distribuée selo ue loi ormale de moee m et de variace σ². Costruire u itervalle de cofiace pour le redemet moe au iveau de cofiace 95%. 3

4 Exercice 6 Protectio de l aomat das ue equête Pour préserver l aomat das certaies equêtes par sodage, le procédé suivat peut être suivi. Admettos que l o veuille estimer la proportio de persoes qui remplisset leur déclaratio fiscale de maière oête. O demade alors à caque persoe iterrogée de se retirer das ue pièce isolée, et de jouer à pile ou face. - si elle obtiet «pile» alors elle doit répodre oêtemet par «oui» ou «o» à la questio «Votre déclaratio fiscale est-elle oête?» - si elle obtiet «face», elle devra lacer la pièce ue ouvelle fois et répodre par «oui» ou «o» à la questio «Avez-vous obteu «face» au deuxième tirage?». Grâce à ce procédé, il est impossible à l equêteur de savoir à quelle questio se rapporte la répose de la persoe iterrogée, celle-ci peut doc fourir sas craite ue répose sicère.. O ote p la proportio icoue de déclaratios fiscales remplies oêtemet das la populatio et π la proportio de réposes «oui». Motrer que π = p/ + /4.. Soit X la variable aléatoire désigat le ombre de réposes «oui» das ue equête auprès de persoes. Quelle est la loi de X? Doer u estimateur de π et u estimateur de p. Calculer leur espérace et variace respectives. 3. E déduire u itervalle de cofiace de iveau - α pour p. O utilisera l approximatio ormale de la loi biomiale. 4. Applicatio umérique avec = et 6 réposes affirmatives. Doer ue estimatio de p et u itervalle de cofiace pour p au iveau 95%. Quel est le prix paé pour la cofidetialité? 4

5 Quelques rappels sur les lois de probabilité Variable aléatoire X C est ue gradeur qui peut predre différetes valeurs avec différetes probabilités. Elle est défiie sur l'esemble des résultats possibles (ou évéemets) d'ue expériece aléatoire (ex : résultat d u jeu de asard, durée d attete, ). Loi de probabilité La loi de probabilité, ou distributio, d'ue variable aléatoire X est défiie par l'esemble des valeurs prises par X aisi que par : - la probabilité de caque valeur possible de X quad X est ue v.a. discrète, - la probabilité que X se réalise das u itervalle doé quad X est ue v.a. cotiue. La foctio de desité de X, dérivée de la foctio de répartitio caractérise la loi de probabilité. Espérace E(X) C est la valeur que l'o peut espérer obteir, e moee, e réalisat ue v.a. X. O l assimile à la moee de X par abus de lagage. Pour ue variable aléatoire discrète, ( X ) = P X = E ( ). Pour ue variable aléatoire cotiue admettat ue desité f(x), ( ) + Propriétés : - Pour c costate réelle, E () c = c - E ( X Y ) = E( X ) + E( Y) - Si X et Y sot idépedates alors E ( XY ) = E( X ) E( Y ) E X = xf (x) + : o dit que l'espérace est u opérateur liéaire Variace Var(X) C est ue mesure de la variabilité des valeurs par rapport à la moee. Plus les valeurs de X sot «imprévisibles», plus elle est grade. Elle se défiit par Var( X ) = σ X = E[ X E( X )] ² = E( X ²) [ E( X )]² («moee des carrés des écarts à la moee») Propriétés : - La variace est toujours positive ou ulle Var X = X costate - ( ) - Var ( cx ) = c² Var( X ) où c est ue costate réelle - Var ( X + Y ) = Var( X ) + Var( Y) + Cov( X, Y ) o Cov( X, Y ) = σ XY = E[ X E( X )] E[ Y E( Y )] o Cov( X, Y ) = si X et Y sot idépedates Loi de Beroulli B(p) C est la loi de la variable X qui idique si le résultat d ue épreuve est u écec ou u succès (par exemple : jouer à pile ou face). Loi de probabilité : P( X = ) = p et P( X = ) = p Espérace : E ( X) = p Variace : Var( X) = p( p) Loi biomiale B(,p) C est la loi de la variable X qui compte le ombre de boules blaces obteues à l issue de tirages, idépedats et avec remise, das ue ure de taille coteat p % de boules blaces. Loi de probabilité : ( ) ( ) P X = = C p p avec {,,...,} Espérace : E ( X) = p Variace : Var( X) = p( p).b. : ue loi biomiale de paramètres et p est aussi la somme de lois de Beroulli idépedates et de même paramètre p. 5

6 Loi pergéométrique H(,,p) C est la loi de la variable X qui compte le ombre de boules blaces sélectioées à l issue de tirages sas remise das ue ure de taille coteat des boules blaces e proportio p. Loi de probabilité : ( ) p _ C C P X = = p C avec max(, ( p) ) mi(, p) Espérace : E ( X) = p Variace : Var ( X) = p( p) Covergece de la loi pergéométrique vers la loi biomiale Si ted vers l'ifii, la loi H(,,p) ted vers la loi B(, p), c'est-à-dire que lorsqu'o effectue u tirage das ue grade populatio, il importe peu que ce tirage se fasse avec ou sas remise (e pratique, o cosidèrera que la populatio est «grade» lorsque l'écatillo représete mois de % de cette populatio : / <,). Loi ormale ou loi de Laplace-Gauss (m,σ²) C est la loi d ue variable X cotiue, variat de - à +, dot la desité de probabilité vaut : f ( x) = exp ( x m) σ π σ Espérace : E ( X) = m Variace : Var ( X) = σ² Covergece de la loi biomiale vers la loi ormale X p Si X suit ue B(,p) et que ted vers l ifii alors (,) p( p) E pratique, o cosidère que l'approximatio est correcte dès que p(-p) > 8, d'autat plus que est grad et p proce de,5. Loi uiforme U(,) Ue variable X suit ue loi uiforme U(,) si sa desité de probabilité vaut : f ( x) = ], [ ( x) Espérace : E ( X) = / Variace : Var ( X) = / F ( x) = P X x = x sur, ( ) [ ] Loi faible des grads ombres Si (X,X,,X ) sot des variables idépedates et idetiquemet distribuées (i.i.d.) selo ue loi p quelcoque de même moee m, alors: X = Xi m i= Autremet dit, la moee d'ue variable sur u écatillo aléatoire simple ted vers la moee das la populatio, quad la taille de l écatillo ted vers l'ifii. Par exemple, si l'o pouvait jouer idéfiimet à "pile ou face" avec ue pièce bie équilibrée, le pourcetage de "pile" obteu tedrait vers 5 %. Téorème cetral limite Si (X,X,,X ) sot des variables i.i.d. selo ue loi quelcoque de moee m et de variace σ², Loi alors: X m (,) σ 6

7 Quelques rappels sur les itervalles de cofiace I/ Gééralités Soiet X ue variable aléatoire de loi paramétrée par θ et X,...,X variables i.i.d. selo la loi de X. ) Pricipe d u itervalle de cofiace Plutôt que d estimer poctuellemet la vraie valeur icoue du paramètre θ, o recerce u itervalle recouvrat «très vraisemblablemet» cette vraie valeur. Défiitio : O appelle itervalle de cofiace de iveau de cofiace α du paramètre θ tout PIC θ = α α, fixé. itervalle IC tel que : ( ) pour [ ] Les bores de l itervalle de cofiace IC dépedet de l écatillo, elles sot doc aléatoires. Par abus de lagage, o ote souvet P( θ IC) = α. Remarquos que si α augmete (ou que si augmete), l amplitude de l itervalle de cofiace dimiue. ) Vocabulaire La probabilité α pour que l itervalle de cofiace e cotiee pas la vraie valeur peut être répartie différemmet de part et d autre des bores de l itervalle de cofiace. Écrivos doc α = α +α où α et α mesuret respectivemet les risques à gauce et à droite de dépasser u seuil placer ou plafod. α L itervalle de cofiace est dit bilatéral quad α et α. Si α = α =, l itervalle est dit smétrique. Il est dissmétrique sio. L itervalle de cofiace est dit uilatéral siα α = : - quad o veut assurer ue valeur miimale au paramètre à estimer, o cosidère α = α et α =, l itervalle de cofiace est alors de la forme : IC = [ a, + [. - quad o e veut pas dépasser u seuil maximal, o pred α = et α = α et o IC =, b. obtiet alors u itervalle de cofiace de la forme : ] ] 3) Costructio Pour costruire u itervalle de cofiace, o utilise ue variable aléatoire dot o coaît la distributio de probabilité. Défiitio : ue foctio pivotale pour le paramètre θ est ue foctio des observatios ( X,..., X) et du paramètre θ dot la loi e déped pas du paramètre θ. O recerce das la suite des foctios pivotales particulières adaptées aux cas étudiés. II/ Itervalles de cofiace pour l espérace O evisage deux cas : la variable aléatoire mesurée est ormale et le ombre de réalisatios est quelcoque, la variable aléatoire mesurée 'est pas ormale et le ombre de réalisatios est importat. Das ce cas, la distributio de la moee empirique ted vers ue loi ormale d'après le téorème cetral limite. O parlera d itervalle de cofiace asmptotique. 7

8 Das la suite o cosidère X ~ (m, σ ) et X,...,X variables i.i.d. selo la loi de X. O défiit la moee empirique X ( Xi X) i= ' S =. = i= X i et la variace empirique modifiée ) Cas où la variace est coue Après cetrage et réductio de la moee empirique, o obtiet : X m σ (, ) O a : P u X m u = α où u est le fractile d ordre σ σ σ Ce qui reviet à : P X u m X + u = α. α de la loi ( ) Quad la variace est coue, l itervalle de cofiace bilatéral smétrique pour l espérace d ue loi ormale s écrit doc au iveau α sous la forme suivate :,. σ σ IC ( m ) = x u, x + u x est la réalisatio de X sur l écatillo. Remarque : si α = 5%, le fractile d ordre,975 de la loi ormale cetrée réduite correspod à,96. si α = %, le fractile d ordre,95 de la loi ormale cetrée réduite vaut eviro,64. ) Cas où la variace est icoue O a : X m ' S St( ) (loi de Studet à - degrés de libertés). d'où P t X m t = α où t est le fractile d ordre α ' S de la loi St( ) et doc P X t S ' m X t S ' + = α. Quad la variace est icoue, l itervalle de cofiace bilatéral smétrique pour l espérace d ue loi ormale s écrit doc au iveau α sous la forme suivate : IC ( m ) = x t s ' x t s ', + ' ' x et s sot les réalisatios respectives de X et S sur l écatillo. Remarque : quad, o approxime la loi de Studet par la loi ormale cetrée réduite. O retrouve alors le cas précédet. 8

9 3) Cas particulier : itervalle de cofiace pour ue proportio Soiet X,...,X loi (, ). i.i.d. selo B ( p) et X X ~ B( p) X = i,. otos F = estimateur sas biais de p. i= - Das le cas de grads écatillos : F p p( p) loi E approcat ue loi biomiale vers ue loi ormale, o a : (, ) Ce qui permet d écrire : F p P u u = α p( p) où u est le fractile d ordre α Et doc l itervalle de cofiace bilatéral smétrique pour ue proportio p au iveau α s obtiet e résolvat l iéquatio : F p p( p) u Ce qui doe e otat f la réalisatio de F sur l écatillo:. de la f IC(p) = u² + u u² + f 4 u² + u² u u² 4 u² + ( f ) f f ( f ), Pour ue taille d écatillo importate, o cosidère l approximatio suivate : IC( p) = f u f ( f ) f ( f ), f + u Cette approximatio est parfaitemet justifiée sur le pla téorique. p E effet, d après le téorème de Sluts, o a : F( F) p( p) F p loi O e déduit doc que : (, ). D où : P u F p F F ( ) F ( F ). u = α où u est le fractile d ordre α de la loi ( ) Quad est grad, l itervalle de cofiace bilatéral smétrique pour ue proportio s écrit doc au iveau α sous la forme :,. IC (p) = f u f f ( ) ( ), f u f f + f est la réalisatio de F sur l écatillo. - Sio, costructio d itervalles de cofiace «exacts» : O costruit ces itervalles e cosidérat la foctio de répartitio de la loi biomiale. Si la probabilité de recouvremet de l itervalle e vaut pas exactemet α, o pred l itervalle aat la plus petite probabilité de recouvremet parmi ceux aat ue probabilité de recouvremet supérieure à α. 9

10 III/ Itervalles de cofiace pour la variace d'ue loi ormale Soiet X ~ (m, σ ) et X,...,X variables i.i.d. selo la loi de X. ) Cas où l espérace est coue * Soit S = ( Xi m). O a S * D où P χ α i= S * σ χ α = α χ ( ) σ où χ α est le fractile d ordre α de la loi χ ( ), et χ α est le fractile d ordre χ. α de la loi ( ) Quad l espérace est coue, l itervalle de cofiace bilatéral pour la variace d ue loi ormale s écrit doc au iveau α sous la forme suivate : IC (σ ) = s * s *, χ α χ α s * est la réalisatio de S * sur l écatillo. Remarque : cet itervalle 'est pas cetré car la loi du i-deux 'est pas smétrique. ) Cas où l espérace est icoue i i= ' O cosidère la variace empirique modifiée S = ( X X ) pour σ². O sait que ( ) S σ ² ' χ ( ). ' S O a doc P ( ) χ α χ α α σ = où χ α et χ α le fractile d ordre comme foctio pivotale est le fractile d ordre α de la loi χ ( ) α de la loi χ ( ). Quad l espérace est icoue, l itervalle de cofiace bilatéral pour la variace d ue loi ormale s écrit doc au iveau α sous la forme suivate : ' ' IC (σ s s ) = ( ) ( ), χ α χ α s ' est la réalisatio de S ' sur l écatillo.

11 II. Sodage aléatoire simple Exercice U petit exemple L exercice propose de retrouver sur u exemple les résultats de la téorie pour u sodage aléatoire simple sas remise de taille fixe. O cosidère pour cela tous les écatillos possibles de taille pris das ue populatio de taille = 5. O coaît par ailleurs les valeurs de la variable d itérêt Y pour caque uité de la populatio, à savoir respectivemet : 8, 3,, 4 et 7.. Calculer la moee Y et la dispersio S Y du caractère d itérêt sur la populatio.. Lister tous les écatillos possibles de taille. 3. Pour cacu de ces écatillos, calculer l estimateur Yˆ de la moee de la variable ˆ. d itérêt aisi que l estimateur de sa variace V ( Y ˆ ) 4. Vérifier que Yˆ estime sas biais la vraie moee. 5. Calculer la variace V ( Y ˆ ). 6. Vérifier que V ( Y ˆ ) 7. Vérifier que V ˆ ( Y ˆ ) ( ) estime sas biais la vraie variace Y coïcide avec la formule de la variace doée par la téorie. V ˆ. Exercice Rappels de cours L exercice propose de démotrer des résultats présetés das le cours et d isister sur des teciques de raisoemet usuelles e sodage. Cosidéros qu o veuille estimer le total et la moee d ue gradeur Y das ue populatio U de taille. Pour cela, o procède à u sodage aléatoire simple sas remise de taille et o ote S l écatillo aléatoire obteu.. Combie a-t-il d écatillos possibles? Quelle est la probabilité de tirer cacu d etre eux?. O cosidère u idividu quelcoque das U. Combie a-t-il d écatillos coteat cet idividu? E déduire la probabilité de tirage de. 3. O ote I la variable aléatoire valat si appartiet à l écatillo et sio. a. Que vaut E ( I )? b. Commet peut-o réécrire S Y à partir des I? 4. E déduire que : a. tˆ = Y estime sas biais le vrai total t = S b. et que Y ˆ = Y S Y U estime sas biais la vraie moee Y = Y U. 5. Combie a-t-il d écatillos compreat les idividus idetifiés et l? E déduire la E? E déduire probabilité de tirer ces deux idividus cojoitemet. Que vaut alors ( I I l ) Cov ( I, I l ).

12 6. O ote S = ( Y Y ) Var tˆ U = a. ( ) ( ) Var Y ˆ = f S b. ( ) ( ) S et f =. Motrer que : 7. Quel est l itérêt du sodage sas remise par rapport au sodage avec remise? 8. Motrer que s = ( Y Y ˆ ) S estime sas biais 9. E déduire des estimateurs sas biais de ( ) t S. Var ˆ et de ( Y ) Var ˆ. Exercice 3 Estimatio de la surface agricole utile d u cato (d après P.Ardill et Y.Tillé, Exercices corrigés de métode de sodage, Ellipses, 3 ) O veut estimer la surface moee cultivée das les fermes d u cato rural. Sur fermes que compred ce cato, o e tire par sodage aléatoire simple. O mesure Y la surface cultivée par la ferme e ectares et o trouve : Y = 97 a et S Y = a S. Doer la valeur de l estimateur sas biais classique de la moee Y =. Doer u itervalle de cofiace à 95% pour Y. Y U. Exercice 4 Estimatio d ue retombée touristique (d après A-M. Dussaix et J-M. Grosbras, Exercices de sodage, Ecoomica, 99 ) 45 méages de touristes séjourat e Frace das ue régio doée ot dépesé 83 e moee par jour. L écart tpe estimé de leurs dépeses s élève à. Sacat que 5 méages de touristes ot visité la régio où a été effectuée l equête, que peut-o dire de la dépese totale jouralière de l esemble de ces méages? O supposera pour cela que l écatillo est issu d u pla aléatoire simple à probabilités égales. Exercice 5 Taille d écatillo pour u sodage d opiio (d après A-M. Dussaix et J-M. Grosbras, Exercices de sodage, Ecoomica, 99 ) U sodage sur la popularité d ue persoalité politique lui accorde u pourcetage p ˆ = 3% d opiios favorables. E admettat qu il s agisse d u sodage aléatoire simple sas remise et que la taille de l écatillo est égligeable au regard de celle de la populatio, combie de persoes otelles été iterrogées pour que l o puisse dire avec u degré de cofiace de 95% que la vraie proportio d opiios favorables das la populatio e s écarte pas de pˆ de plus de deux poits?

13 Exercice 6 Taille d écatillo pour ue proportio (d après P.Ardill et Y.Tillé, Exercices corrigés de métode de sodage, Ellipses, 3 ) O s itéresse à l estimatio de la proportio P d idividus atteits par ue maladie professioelle das ue etreprise de 5 salariés. O sait par ailleurs que trois persoes sur dix sot ordiairemet toucées par cette maladie das des etreprises du même tpe. O se propose de sélectioer u écatillo au moe d u sodage aléatoire simple.. Quelle taille d écatillo faut-il sélectioer pour que la logueur totale d u itervalle de cofiace avec u iveau de cofiace,95 soit iférieure à, pour u pla simple : a. avec remise? b. sas remise?. Que faire das le cas du pla sas remise si o e coaît pas la proportio d idividus abituellemet toucés par la maladie? Exercice 7 ombre d espaces de statioemet à prévoir (d après A-M. Dussaix et J-M. Grosbras, Exercices de sodage, Ecoomica, 99 ) Ue etreprise de promotio immobilière désire estimer le ombre d espaces de statioemet requis pour ue ouvelle tour devat abriter des bureaux. Elle décide de procéder à u sodage aléatoire simple sas remise. Elle sait que le ouveau bâtimet abritera 5 persoes et que, das des etreprises de même tpe que celles devat emméager das les futurs locaux, la proportio de persoes se redat à leur bureau e utilisat les moes de trasport e commu est toujours supérieure à 75%. Quelle doit être la taille de l écatillo pris au sei des futurs occupats des bureaux pour pourvoir estimer le ombre d espaces de statioemet à prévoir avec ue marge d erreur smétrique d au plus 5 places au iveau de cofiace 9%? Exercice 8 Applicatio au maretig direct (d après A-M. Dussaix et J-M. Grosbras, Exercices de sodage, Ecoomica, 99 ) Les sodages sot très largemet utilisés das le maretig direct : il arrive souvet que l o estime par sodage le redemet d u ficier doé, ou que l o souaite comparer les redemets de plusieurs ficiers, ou ecore, que disposat de plusieurs ficiers, o souaite estimer par sodage le redemet global de l esemble de ces ficiers. Das cet exercice, o suppose l existece d'u ficier de = adresses. O ote p le redemet icou du ficier à ue offre d aboemet à prix réduit avec calculette offerte e prime ; c est doc la proportio d idividus qui s aboeraiet si l offre était offerte à tous les idividus du ficier. Selo l usage pˆ est l estimatio de p obteue à partir d u test fait sur u écatillo de adresses coisies à probabilités égales et sas remise sur le ficier.. O sait par expériece que les redemets à ce tpe d offre sur ce ficier e dépasset pas gééralemet 3%. Quelle taille d écatillo doit-o predre pour estimer p avec ue précisio absolue de,5 poit et u degré de cofiace de 95%?. Mêmes questios pour ue précisio de,3 poit et, poit. 3. Le test a porté sur adresses et o a oté 3 aboemets. E déduire l itervalle de cofiace bilatéral à 95% pour le redemet p aisi que le pour le ombre total d aboemets si la même offre était faite sur l esemble du ficier. Rappel : o appelle précisio absolue au iveau de cofiace -α- la quatité t V ( pˆ ) est le fractile d ordre α de la loi ormale cetrée réduite. α où t α 3

14 Exercice 9 U cas d equête répétée (d après P.Ardill et Y.Tillé, Exercices corrigés de métode de sodage, Ellipses, 3 ) O cosidère ue populatio de statios-services et o s itéresse au prix du litre de supercarburat que cacue d etre elles affice. Plus exactemet, sur deux mois cosécutifs, mai et jui, les doées de prix figuret das le tableau ci-dessous : Prix du litre de supercarburat Statio Mai 5,8 5,33 5,76 5,98 6, 5,89 5,68 5,55 5,69 5,8 Jui 5,89 5,34 5,9 6,5 6, 6, 5,79 5,63 5,78 5,84 O veut estimer l évolutio du prix moe du litre etre mai et jui. O coisit, comme idicateur de cette évolutio la différece des prix moes O propose deux métodes cocurretes: - Métode : o écatilloe statios ( < ) e mai et statios e jui, les deux écatillos état totalemet idépedats ; - Métode : o écatilloe statios e mai, et o iterroge de ouveau ces statios e jui (tecique de pael).. Comparer l efficacité des deux métodes.. Même questio si o souaite cette fois estimer u prix moe sur la période globale mai-jui. 3. Si o s itéresse au prix moe de la questio, e vaut-il pas mieux tirer, o pas fois relevés avec la métode ( caque mois) mais directemet relevés sas se soucier des mois (métode 3)? Aucu calcul est écessaire. Exercice Écatilloages successifs E cours de collecte, la taille d u écatillo s avère parfois isuffisate pour assurer la précisio attedue. Ue solutio aturelle est d equêter u écatillo complémetaire. Itéressos-ous au pla de sodage fial obteu après : U premier écatilloage simple sas remise de uités parmi à probabilités égales, Suivi d u secod tirage simple sas remise de uités parmi - à probabilités égales La sélectio des = + uités aisi reteues obéit-elle à u pla simple sas remise et à probabilités égales das la populatio de taille? Exercice Estimatio das u domaie O souaite estimer la moee et le total d'ue variable sur u domaie U d ue populatio fiie U de taille. Ces quatités sot otées : t t = Y et Y o = = Y U U où D est la taille du domaie. O sélectioe u écatillo s au sei de la populatio etière par u sodage aléatoire simple sas remise de taille. O observe u sous-écatillo s de taille dot les idividus sot das le domaie U. 4

15 O dispose des deux estimateurs suivats de la moee et du total de sur le domaie U :. ˆ t = Y ˆ tˆ et Y = = Y s s. Y ˆ = Y et ˆ = ˆ t Y = s Y s a) La taille du sous-écatillo s est aléatoire. Calculer sa valeur moee. b) Motrer que les deux estimateurs du total (ou de la moee) sot tous deux sas biais pour le vrai total (ou la vraie moee) du domaie. Est-ce que l u est préférable à l autre? c) Doer les expressios de variace des deux estimateurs de la moee. Comparer ces deux variaces. d) Doer les estimateurs sas biais pour les variace de ces deux estimateurs. e) Exemple : cosidéros ue populatio de = etreprises. Supposos coues les quatités suivates : = 984, Y = 5484, Y = 4489 où désige le ciffre d affaires. U Calculer les vraies variace pour les deux estimateurs de la moee pour u écatillo de taille = 579. f) O a observé sur u écatillo particulier de taille = 579 U = 89, i = 378, i = i s Doer les valeurs des deux estimateurs de la moee et calculer les valeurs de leur variace estimée. i s 5

16 Rappels sur le sodage aléatoire simple I/ Défiitio Tirage d u écatillo de uités sas remise et à probabilités égales das ue populatio fiie composée de uités idetifiables. U s II/ otatios. Das la populatio (ou uivers) U = {,,...,,..., } Variable d itérêt : Y de caractéristique idividuelle Y Total : T = Y Y U T Moee: Y = = Y Y U Variace : σ = ( Y Y ) U = Dispersio (variace modifiée) : S ( Y Y ) = σ U. Das l écatillo s : sous-esemble de U de taille (s) Esemble des écatillos possibles : S Pla de sodage probabiliste : loi de probabilité sur S Moee : ˆ = Y S s S p ( s), s S, et p( s) =. Dispersio empirique : s ˆ = ( ˆ Y ) Probabilité d iclusio d ordre u de : π = P( s) = p( s) S s S / s Probabilité d iclusio ou double de et l : π = P( s, l s) = p( s) =π π π l l l l s S /, l s 6

17 III/ Formulaire du sodage aléatoire simple Probabilité de sélectioer l écatillo s : p ( s) =/ Probabilité de sélectioer l idividu : U π = P( s) = = f C, (taux de sodage) Paramètre d itérêt Statistique Estimateur du paramètre d itérêt Vraie variace d écatilloage de cet estimateur Estimateur de la variace d écatilloage Moee Proportio p = / ˆ = Y ˆ( s) S = pˆ = Var Var ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) = = S s ˆ s Total = tˆ = = ( p) p Var p ˆ) = ( Var( tˆ ) ( pˆ ) ˆ pˆ ar( pˆ) = V Var ˆ ( tˆ ) ˆ = ² = ² Y S S s ˆ Itervalle au iveau de cofiace 95% pour la moee : IC 95 % ˆ Y sous potèse que est grad (, ) Var( ˆ) ( Y ) = ( ) ( ) ˆ,96 Var ˆ ˆ, ˆ +,96 Var ˆ ˆ 7

18 III. PLAS À PROBABILITÉS IÉGALES Exercice Rappels de cours sur l estimateur d Horvitz-Tompso O cosidère ue populatio U et o s itéresse à l estimatio du total d ue variable d itérêt Y oté t =. Pour cela, o prélève u écatillo s avec des probabilités idividuelles de sélectio Y U otées ( ) U π.. Rappeler l expressio de l estimateur d Horvitz-Tompso (ou «π-estimateur» ou ecore «estimateur des valeurs dilatées»).. Étudier so espérace et sa variace. Exercice O cosidère ue populatio = {,,3 } Applicatio directe du cours U,sur laquelle o défiit le pla de sodage suivat : p ({,}) =, p( {,3} ) =, p( {,3} ) = 4 4 Y est ue variable défiie sur U, telle que : Y = Y = 3, Y 3 = 6 dot o veut estimer le total t.. Calculer les probabilités d'iclusio simple π et double. Doer la distributio de probabilité de l'estimateur de Horvitz-Tompso tˆ Yπ du total. Calculer la variace de cet estimateur. 3. Doer la distributio de probabilité d'u estimateur de variace de tˆ Yπ (il est coseillé de coisir l'estimateur le plus simple à calculer). O pourra vérifier que cet estimateur est sas biais. Exercice 3 Volume d arcives O désire estimer à l écelle d u cato le ombre de ilomètres liéaires d arcives stocées das les mairies. Pour cela, o procède à u tirage de 4 commues parmi les 9 du cato, proportioellemet à leur populatio. π l.. Calculer les probabilités d iclusio de caque commues, à partir des doées suivates : de commue om de la commue Populatio Val le Grad Les Gries 65 3 Les Combres 5 4 Flis 3 5 Villers le Lac 4 6 Forti 55 7 Motlebo 9 8 Sazeau 9 Aumot 5. Estimer le métrage total des arcives du cato à partir des résultats suivats : de commue om de la commue Mètres d arcives Les Gries 7 4 Flis 38 5 Villers le Lac 55 6 Forti 7 8

19 Exercice 4 Tirage sstématique d etreprises O veut sélectioer u écatillo de taille 4 das ue populatio de 8 etreprises dot o coaît la taille, mesurée e termes d effectif salarié. L écatillo est tiré à probabilités proportioelles à la taille. Etreprise Taille Doer les probabilités d'iclusio d ordre des etreprises.. Sélectioer l écatillo selo u tirage sstématique e utilisat,7 comme ombre aléatoire ; 3. Lister les écatillos possibles que l'o peut obteir avec u tirage sstématique, et idiquer les probabilités de tirage de cacu d'eux. 4. A partir des écatillos obteus, doer ue estimatio du total de l effectif salarié des etreprises. Le résultat était-il prévisible? 5. Calculer la matrice des probabilités d iclusio d ordre? Commeter. Exercice 5 Tirage de Poisso (d après P.Ardill et Y.Tillé, Exercices corrigés de métode de sodage, Ellipses, 3) Lorsqu o effectue des tirages à probabilités iégales, o utilise e gééral des métodes d écatilloage de taille fixe. Il existe cepedat des algoritmes très simples permettat des tirages à probabilités iégales mais coférat à l écatillo ue taille variable. O s itéresse ici au tirage de Poisso dot le pricipe cosiste à effectuer ue loterie sur caque idividu de la populatio idépedammet d u idividu à l autre. Aisi, pour ue populatio de taille où les probabilités d iclusio idividuelles π sot coues pour tout, o simule aléas idépedats das la loi uiforme sur [,] et o retiet l idividu si et seulemet si. Vérifier que l algoritme de tirage respecte les probabilités d iclusio d ordre e calculat la probabilité pour que l idividu soit sélectioé.. La taille de l écatillo est ue variable aléatoire otée S. a. Écrire S e foctio des variables idicatrices de Corfield. b. Que vaut l espérace et la variace de S? c. Quelle est la probabilité pour que l écatillo ait ue taille au mois égale à? O supposera das la suite que l écatillo a ue taille au mois égale à. Y 3. O utilise l estimateur du total Yˆ = où S désige l écatillo aléatoire obteu à l issue S π des loteries. a. Vérifier que Ŷ estime le vrai total sas biais. b. Quelle est la variace de Ŷ? Commet peut-o l estimer sas biais? c. Que valet les probabilités d iclusio d ordre? 4. Comparer à u pla gééral de taille fixe de mêmes probabilités d iclusio. Quelles sot les icovéiets d u pla de taille o-fixe? u π 9

20 Rappels sur les plas à probabilités iégales I/ Itérêt Reteir de préférece les uités les plus porteuses d iformatio afi d accroître la précisio. III/ Formulaire Probabilité de sélectioer l idividu : - Pour u pla à probabilités proportioelles à ue variable X de taille (corrélée positivemet à Y) U, π= P( S ) = X X U - Pour u pla de taille fixe, π = U Statistique Paramètre d itérêt Estimateur d Horvitz-Tompso du paramètre d itérêt (π-estimateur) Moee Si la taille est coue : Y tˆ ˆ µ π= = π s Sio, estimateur de Háje : Y π µ Y s tˆ ˆ H= ˆ = = π sπ ˆ π π s π π t ˆ Y π= s π E particulier : Total = ˆπ s π Vraie variace d écatilloage de cet estimateur Estimateur de la variace d écatilloage Cas gééral V ar ( ˆ l µ ) Y Y π l = ² U l Uπ πl Si la taille de l écatillo est fixe Var ( ˆ l µ ) ( Y Y π ) l Cas gééral ( ˆ ) = ² U l U s l s π πl l l Vˆ ar µ Y Y π π π ² l πl = Si la taille de l écatillo est fixe Vˆ ar ( ) ( ) µ ˆ Y Yl l π = l l ² s l s π π π Cas gééral : ˆ π V ar l ( t ) Y Y = l U l Uπ πl Si la taille de l écatillo est fixe Var l ( tˆ ) ( Y Y π ) l Cas gééral Vˆ ar = U l U π πl l l ( tˆ ) Y Y π = l l s l s π π π Si la taille de l écatillo est fixe Vˆ ar l l ( tˆ ) ( Y Y π = ) l l s l s π π π Si est grad, l itervalle de cofiace pour la moee au iveau de cofiace - α est : IC α ( µ ) = ˆ µ π u ˆ ( ˆ ); ˆ + ˆ α Var µ π µ π u α Var( ˆ µ π) oùu α désige le fractile d ordre - α/ de la loi (,)

21 IV. TP : SIMULATIOS DE TIRAGE D ÉCHATILLOS Objectifs de la séace Utiliser différets algoritmes de tirages d écatillos pour des plas simples sas remise et des plas à probabilités iégales ; Évaluer le paramètre d itérêt et la précisio de cette estimatio ; Valider de maière empirique certaies propriétés de la téorie des sodages ; Comparer les métodes d écatilloage. Doées utilisées La populatio étudiée est celle des 77 commues rurales d Île-de-Frace recesées e 999. O cerce à estimer le ombre total d abitats résidat das ces commues aisi que le ombre moe d abitats par commue. Les doées datet des recesemets de 999 et de 99. Partie I : Tirage d u écatillo O cerce à écatilloer commues e raisoat successivemet à probabilités égales puis à probabilités iégales, proportioellemet à la populatio recesée e 99. Sélectioer u tel écatillo e utilisat les différets algoritmes suivats : ) Tirage de Beroulli ; ) Métode du tri aléatoire ; 3) Métode de sélectio-rejet ; 4) Tirage de Poisso ; 5) Tirage sstématique ; 6) Algoritme de Suter. Partie II : Simulatios ) O coisit d abord d écatilloer les commues selo u pla simple sas remise. a. Sélectioer écatillos de taille 5. Pour caque écatillo, estimer le paramètre d itérêt aisi que la variace d écatilloage. b. Vérifier empiriquemet l absece de biais de l estimateur de la moee. c. Tracer la distributio de l estimateur de la moee et commeter. d. Vérifier empiriquemet l absece de biais de l estimateur de la variace d écatilloage. ) O coisit maiteat de sélectioer les commues proportioellemet à leur taille, mesurée e ombre d abitats recesés e 99. a. Sélectioer écatillos de taille 5. Pour caque écatillo, estimer le paramètre d itérêt. b. Vérifier empiriquemet l absece de biais de l estimateur de la moee. c. Tracer la distributio de l estimateur de la moee. 3) Comparer les deux plas de sodage. Le coix du logiciel est libre. A toutes fis utiles, la suite de l éocé propose deux modes d emploi : - l u sous Excel (des macros pré-programmées sot mises à dispositio), - l autre sous SAS qui appelle aux procédures SURVEYSELECT et SURVEYMEAS.

22 Mode d'emploi sous Excel La base de sodage et le catalogue de macros TP.xls Etrée La base de sodage est décrite das l'oglet «BS». Par commodité, le coteu de cette base se limite à l'idetifiat, la variable d'itérêt, voire la variable auxiliaire utile au calcul de probabilités iégales proportioelles. Paramètres L'utilisateur spécifié le ombre d'écatillos à tirer aisi que leur taille das l'oglet «Paramètres» prévu à cet effet. Das le cas de simulatios, u paramètre supplémetaire permet égalemet de spécifier si les tirages sstématiques sot à probabilités égales ou iégales. Algoritmes pré-programmés Les macros mises à dispositio permettet de sélectioer u ou plusieurs écatillo(s) selo différets algoritmes de tirage. Elles fourisset égalemet les estimatios de total et de moee de la variable d'itérêt sur l'(les) écatillo(s) obteu(s). Das le cas de simulatios, elles dresset aussi le bila de l'esemble des tirages. Les algoritmes pré-programmés sot ceux-ci : Métode du tri aléatoire pour u pla simple sas remise (macro Tri_aléatoire) ; Métode de sélectio-rejet pour u ou plusieurs pla(s) simple(s) sas remise (macros Sélectio_rejet et Simulatios_SAS_SR) ; Tirage de Berouilli pour u pla à probabilités égales et sas remise (macro Beroulli) ; Algoritme de Suter pour u pla à probabilités iégales, de taille fixe et sas remise (macro Suter) ; Tirage sstématique pour u ou plusieurs pla(s) à probabilités iégales, de taille fixe et sas remise (macros Tirage_sstématique et Simulatios_sstématique) ; Tirage de Poisso pour u pla à probabilités iégales, sas remise (macro Poisso). Sorties Les résultats de caque macro alimetet u oglet précis. Avat lacemet de caque macro, il coviet doc de vérifier la présece de la feuille vierge ad-oc aisi que l absece d u oglet portat le om réservé aux sorties. Plus précisémet, les oglets réservés par caque métode sot : Algoritme om de l oglet om de l oglet e etrée e sortie Tri aléatoire Feuil Ec.Tri_Aléatoire Sstématique Feuil Ec.Sstématique Sélectio-Rejet Feuil3 Ec. Sélectio-Rejet Suter Feuil4 Ec.Suter Beroulli Feuil5 Ec.Beroulli Poisso Feuil6 Ec. Poisso Simulatio de plas simples sas remise Feuil7 Simul_SAS_SR Simulatio de plas à probabilités iégales Feuil8 Simul_Sstématique

23 Mise e œuvre. A l'ouverture du ficier Excel, cliquer sur Activer les macros ;. Reseiger la feuille «BS» e idiquat l'idetifiat de caque uité de la base de sodage e ère coloe, la variable d'itérêt e ème coloe, voire la variable auxiliaire e 3ème coloe si le pla est à probabilités iégales proportioelles à cette doée ; 3. Reseiger les paramètres souaités das la feuille «Paramètres» ; 4. Vérifier la dispoibilité des oglets requis das le classeur ; 5. Cliquer sur Outils, puis Macro suivi de Macros ; 6. Sélectioer la métode voulue, puis cliquer sur Exécuter pour lacer la macro reteue ; 7. Cosulter les résultats das la feuille correspodate à la métode coisie. Remarques. Au er lacemet, il est coseillé de limiter le ombre de simulatios afi de cotrôler le temps d'exécutio des macros.. Pour modifier le coteu des macros, a. Cliquer sur Modifier après Outils > Macro > Macros b. Saisir le ouveau code. B : des commetaires permettet de compredre le rôle de caque actio. 3. Pour tracer u istogramme, ue possibilité est d'utiliser l'utilitaire d'aalse d'excel. Pour cela, cliquer sur Outils, puis Macro Complémetaire. Cocer Utilitaire d'aalse et valider par OK. Esuite, cliquer sur Outils, puis Utilitaire d'aalse. Coisir istogramme das le meu déroulat qui s'affice et suivre les idicatios. Mode d'emploi sous SAS La base de sodage tp.sas7bdat Les procédures SURVEYSELECT et SURVEYMEAS Procédures SAS d'écatilloage.pdf 3

24 V. PLAS STRATIFIES Exercice Rappels de cours Das ue populatio de taille partitioée e H strates, o sélectioe u écatillo de taille suivat u pla stratifié. Das caque strate, o tire idividus parmi selo u sodage aléatoire simple sas remise de taille fixe. Préalable : motrer la formule de décompositio de la variace : σ H H ( Y Y ) = σ + ( Y Y ) = U = =. Pour ue variable d itérêt Y, doer les estimateurs du total t Y et de la moee.. Motrer que ces deux estimateurs sot sas biais et calculer leur variace. 3. O cosidère l allocatio proportioelle de l écatillo : o décide de tirer das caque strate u ombre d idividus tel que : = (e supposat que soit etier). a. Commet s écrivet alors les estimateurs du total et de la moee? b. Que vaut leur variace? c. Motrer alors, que si o suppose : σ S et σ S pour tout, l allocatio proportioelle est toujours meilleure qu u sodage aléatoire simple. 4. Le poit de vue evisagé maiteat est celui d ue allocatio optimale afi de satisfaire u souci de précisio. Sous la cotraite que =, = a. Quelle est l allocatio des qui miimise la variace de l estimateur du total? b. Que vaut alors la variace? c. Commet peut-o iterpréter le coix des allocatios optimales? H Exercice Estimatio du poids des élépats d u cirque (d après P.Ardill et Y.Tillé, Exercices corrigés de métode de sodage, Ellipses, 3 ) U directeur de cirque possède élépats classés e deux catégories : "mâles" et "femelles". Le directeur veut estimer le poids total de so troupeau, car il veut traverser u fleuve e bateau. Il a la possibilité de faire peser seulemet élépats de so troupeau. Cepedat, e 998, ce même directeur a pu faire peser tous les élépats de so troupeau, et il a obteu les résultats suivats (e toes) : Effectif Moee Variace Mâles 6 6 4, Femelles 4 4,5 4

25 . Calculer la variace das la populatio de la variable "poids de l'élépat" e Si, e 998, le directeur avait procédé à u sodage aléatoire simple sas remise de élépats, quelle aurait été la variace de l'estimateur du poids total du troupeau? 3. Si le directeur avait procédé à u sodage stratifié, avec SAS das caque strate, avec allocatio proportioelle de élépats, quelle aurait été la variace de l'estimateur du poids total du troupeau? 4. Si le directeur avait procédé à u sodage stratifié optimal, avec SAS das caque strate, de élépats, quels auraiet été les effectifs de l'écatillo das les strates, et quelle aurait été la variace de l'estimateur du poids total du troupeau? Exercice 3 L âge du persoel Ue grade etreprise veut réaliser ue equête auprès de so persoel qui compred persoes. Des études prélimiaires ot motré : - que les variables que l o cerce à aalser das l equête sot très cotrastées selo les catégories de persoel et qu il a doc itérêt à stratifier selo ces catégories. Pour simplifier, o cosidérera qu il a 3 grades catégories qui formerot les strates, - que ces variables sot égalemet très fortemet liées à l âge des idividus. O va doc proposer des plas d écatilloage comme si o voulait étudier l âge des idividus : si ue stratégie est meilleure que d autres pour estimer l âge moe, alors o a de boes raisos de peser qu elle le sera aussi pour les variables d itérêt. Comme o coaît l âge des membres du persoel, o peut raisoer e faisat les comparaisos exactes. O dispose des reseigemets suivats : Catégorie de persoel Poids das l esemble du persoel Écart tpe des âges % 8, 3%, 3 5% 3,6 Esemble % 6,. Soit Y l âge moe et Yˆ l estimateur issu d u écatillo aléatoire simple sas remise à probabilités égales de = idividus. Quelle est l erreur tpe de Yˆ?. O décide que l écatillo de idividus doit être stratifié selo les catégories de persoel. Quelle est la répartitio «représetative»? Quelle est l erreur tpe de l estimateur de Y qui e découle? Comparer avec les résultats de la questio. 3. Quelle serait la répartitio optimale de l écatillo? Quelle est l erreur tpe de l estimateur de Y qui e découle? Comparer avec les résultats de la questio. Exercice 4 proportio Estimatio d ue Sur les 75 emploés d ue etreprise, o souaite coaître la proportio p d etre eux qui possèdet au mois u véicule. Pour caque idividu de la base de sodage, o dispose de la valeur de so reveu. O décide alors de costituer trois strates das la populatio : idividus de faibles reveus (strate ), de reveus moes (strate ) et de reveus élevés (strate 3). 5

26 O ote : - la taille de la strate, - la taille de l écatillo das la strate, - pˆ l estimateur de la proportio d idividus possédat au mois u véicule das la strate. O obtiet le résultat suivat : = = = pˆ,3,45,5. Quel estimateur pˆ de p proposez-vous? Que peut-o dire de so biais?. Calculez la précisio de pˆ, et doez u itervalle de cofiace à 95% pour p. 3. Estimez-vous que le critère de stratificatio est adéquat? Exercice 5 ptimalité pour ue différece (d après J-M. Grosbras, Métodes statistiques des sodages, Ecoomica, 987) Le but de l exercice est de motrer que si ue stratégie est optimale pour estimer précisémet ue quatité das l esemble d ue populatio stratifiée, elle peut e plus l être tout à fait si l objectif du sodage est justemet de comparer les strates etre elles. La boe défiitio des objectifs à atteidre est doc essetielle au coix de la tecique à emploer. Cosidéros ue populatio de taille formée de deux strates, de taille et et itéressos-ous à la moee X d ue variable X. Les moees de X das les strates et sot otées X et X et leurs estimateurs X ˆ et X ˆ. O dispose d u budget C et o suppose que : - le tirage effectué est u sodage aléatoire simple sas remise de uités parmi das la strate ( = ou ), - la foctio de coût s écrit C + C où C désige le coût uitaire das la strate.. Si o cerce à estimer précisémet la moee X, a. Doer l expressio de Xˆ, estimateur sas biais de X e foctio de X ˆ et X ˆ. b. Calculer sa variace. V X ˆ miimale? Que c. Quelle répartitio (, ) de l écatillo doe ue variace ( ) vaut alors V ( X ˆ )? d. Applicatio umérique : calculer,, et V ( X ˆ ) avec : = = S = S = C = 4 C = 9 C =. Si o avait appliqué ue allocatio proportioelle, c est-à-dire : / = /, a. Qu aurait-o trouvé pour, et? b. Que vaudrait alors V ( X ˆ )? c. Avec les mêmes doées umériques, évaluer la perte relative de précisio par rapport à l écatillo optimal. 6

27 3. E fait, o cerce à évaluer l écart etre les moees des deux groupes : X X. a. Motrer que X ˆ ˆ X est u estimateur sas biais de X X. b. Calculer sa variace. c. Détermier la répartitio (, ) de l écatillo pour que ( X ˆ ˆ X ) V soit miimale, toujours avec la même cotraite de budget. (o pourra évetuellemet utiliser, e les adaptat, certais résultats de la questio ). d. Calculer das ces coditios V ( X ˆ ). Comparer ce résultat avec celui de la ère questio e écrivat la différece des variaces de ces deux estimateurs. e. Repredre l applicatio umérique pour trouver les ouvelles valeurs de,,, V ( X ˆ ) et la perte relative de précisio par rapport à l écatillo optimal. Exercice 6 Coix des allocatios (d après A-M. Dussaix et J-M. Grosbras, Exercices de sodage, Ecoomica, 99 ) Cet exercice est ue applicatio du pricipe : "à caque objectif so écatillo". Ue etreprise comporte 4 exécutats et cadres. La directio de l'etreprise désire évaluer u idice de satisfactio, assimilable à ue variable umérique positive Y, mesurable pour caque idividu à partir d'u esemble de questios : elle décide pour cela de faire réaliser ue equête auprès de persoes emploées das l'etreprise, à l'aide d'u pla de sodage stratifié, avec u sodage aléatoire simple das caque strate. Le coût d'ue iterview est le même das les deux strates. O pese a priori que la dispersio de la variable Y doit être la même au sei de cacu des deux groupes. Commet répartir l'écatillo etre les deux groupes, selo que l'o vise l'u des objectifs suivats : a. obteir la meilleure précisio possible sur la valeur moee de l'idice de satisfactio das l'etreprise ; b. obteir la même précisio sur la valeur moee de l'idice de satisfactio das cacue des deux catégories ; c. obteir la meilleure précisio possible sur la différece etre les valeurs moees de l'idice de satisfactio das les deux catégories. Exercice 7 Estimatio d ue différece O cosidère ue populatio U de taille partitioée e H strates otées U KU KU H, de tailles respectives K K H.O ote Y KY KYH les moees d'ue variable d'itérêt Y au sei de caque strate, et S K S KS les dispersios. H H H La moee de Y das la populatio vaut bie sûr : Y = Y = wy. = = O réalise u sodage stratifié, avec sodage aléatoire simple sas remise das caque strate, de taux de sodage H =. La taille de l'écatillo total est = = f /. 7

28 L'objectif est de comparer ue strate particulière D i = Y Y i U i à la populatio totale : o veut estimer. Doer l'expressio de l'estimateur de Horvitz-Tompso de D i, oté l'expressio de sa variace. Dˆ i, aisi que. Pour ue taille d'écatillo fixée, trouver l'allocatio optimale K KH, qui miimise la variace de D $ i. Comparer avec l'allocatio optimale de ema. 8

29 Rappels sur les plas stratifiés I/ Défiitio Partitio de la populatio e sous-groupes appelés strates selo u critère lié au paramètre d itérêt puis tirage d autat d écatillos idépedats qu il a de strates. U U U H S S S H Costituer des strates omogèes e itra au regard de la variable d itérêt permet de gager e précisio. II/ otatios. Das la populatio U H U = = et = H = t = Total : = = H t = H H Moee: = = = t avec = U σ = H H ² ² it ra it er S = σ + = + = U σ σ = = Variace : ( ) ( ) avec σ = ( )² U. Das l écatillo S H S = = et = H = Moee das S : ˆ = S Dispersio das S : S ˆ ( ˆ = )² S 9

30 III/ Formulaire du sodage stratifié Paramètre d itérêt Statistique Estimateur du paramètre d itérêt Vraie variace d écatilloage de cet estimateur Estimateur de la variace d écatilloage ˆ Moee Proportio Total H H H H = ˆ pˆ = pˆ = = tˆ = ˆ = tˆ = ˆ = = Var H H [] ˆ = Var ˆ = Var[ ˆ ] = = Si pla simple das caque strate : [] = H S ( )( ) Var ˆ = Si pla simple das caque strate S [] ( )( ) ˆ Var ˆ ˆ = H = Si pla simple das caque strate p p Var pˆ [] ( )( ) ( ) = H = Si pla simple das caque strate p [] ( )( ) ( p) Var ˆ = ˆ ˆ pˆ = H Var [ t ˆ ] = Var[ ˆ ] = ² Var[ ˆ ] Si pla simple das caque strate : Var t [ ˆ ] ( ) S = H = Si pla simple das caque strate Vart ˆ [] ˆ ( ) = H = Sˆ Itervalle au iveau de cofiace 95% pour la moee : IC 95 % ˆ Y sous potèse que est grad (, ) Var( ˆ) ( Y ) = ( ) ( ) ˆ,96 Var ˆ ˆ, ˆ +,96 Var ˆ ˆ Coix des allocatios - Allocatios proportioelles : = {,... H} - Allocatios optimales de ema (sas cotraite de budget) : S = H lsl = l - Allocatios optimales sous cotraite budgétaires : S = C H C lsl = l Cl 3

31 VI. PLAS PAR GRAPPES Exercice Problématique d u pla par grappes L objet de cet exercice est de rappeler le formulaire établi e cours et de reveir sur les otios d effet de sodage et d effet de grappe. U sodage e grappes se pratique sur ue populatio partitioée e groupes d idividus appelés «grappes» : il cosiste à sélectioer certaies grappes, selo u pla quelcoque, et à reteir tous les idividus des grappes désigées das l écatillo fial. Procéder de la sorte permet de réduire les coûts d equête. O s itéresse ici au cas particulier où m grappes sot coisies par sodage aléatoire simple sas remise parmi les M grappes de taille i d ue populatio de taille. O cerce à estimer le total t et la moee sur la populatio d u caractère d itérêt Y.. Partie : gééralités.. Quelle est la probabilité pour qu u idividu appartiee à l écatillo?.. Que pouvez-vous dire de la taille fiale de l écatillo? Même questio si toutes les grappes sot de même taille..3. Quels estimateurs sas biais tˆ et ŷ proposez-vous?.3.. Quelle est la précisio de ces estimateurs?.3.. Motrez que das le cas où les grappes sot de même taille alors o obtiet M M m σ Var iter (ˆ) =. m.3.3. E déduire commet costituer les grappes pour obteir des résultats précis..4. Commet estimez-vous sas biais la précisio des estimateurs du total et de la moee?.5. Das le cas où est icoue, quel estimateur de proposez-vous? Cet estimateur est-il sas biais? Approcer so espérace et so erreur quadratique moee.. Partie : effet de sodage O souaite caractériser la précisio de l écatilloage par grappes par rapport au sodage aléatoire simple de même taille das le cas où les grappes sot d effectifs égaux. Var(ˆ).. Motrez que l effet de sodage défii par Deff = vaut η² où η² désige le Varsas(ˆ) rapport de corrélatio «iter-grappes : M ( Y Y ) i i= η = = M ( Y Y ) i= = σ iter.. E déduire quad le pla par grappes est plus précis que le sodage aléatoire simple. σ 3. Partie 3 : effet de grappe O défiit le coefficiet de corrélatio «itra-grappes» par : ρ = M i= = l=, l ( ( Y Y )( Y )( ) S l Y Y ) Ce coefficiet mesure l effet de grappe. Il se rapproce de si à l itérieur de caque grappe, il a pas de différece etre les idividus ; au cotraire, il est égatif si les idividus sot très disparates à l itérieur de leurs grappes.. 3