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1 5. Coade ar laceet des ôles Chaitre 5 Coade ar laceet des ôles coade odale 5.. Itroductio 5.. Pricies de la éthode 5.. Déteriatio de la atrice de trasforatio Preière éthode 5... Deuièe éthode 5.4. Déteriatio de la atrice des gais 5.5. Résué de la éthode 5.6. licatio de la éthode Cahier des charges Prograe atlab Résultats de la siulatio RE_cha5_dl E résué 5.7. Eele d ue coade oovariable odèle d état du disositif licatio uérique Prograe atlab Siulatio RE_cha5_dl 5.8. Isertio d u itégrateur Systèe o coléteet gouverable 5.. Cas des systèes ultivariables 5 Pricie de la éthode 5... Eele 5.. sects ratiques de la coade odale 5.. INTRODUCTION Lorsque les erforaces itrisèques d'u systèe S e sot as cofores au sécificatios du cahier des charges techiques, il est ossible de les aéliorer ar la réalisatio d'u uclage de la sortie sur l'etrée colétée ar l'isertio d'u correcteur. Le systèe S état décrit ar sa rerésetatio itere, il s'agit das ce chaitre d'étudier ue éthode de sythèse erettat de fier réciséet les odes de la foctio de trasfert e ucle ferée du systèe afi d'obteir le coorteet dyaique recherché. Ce tye de coade dite «odale» utilise le vecteur d'état our élarer le vecteur de retour r qui, cobié au vecteur des sigau d'etrée e, doe le vecteur de coade u. La coade odale 'est réalisable que si le vecteur d'état est totaleet accessible à la esure. C'est rareet le cas e ratique. ussi est-il écessaire de recostruire le vecteur d'état à artir d'u disositif aelé selo les auteurs observateur, estiateur ou recostructeur d'état. RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

2 5. Coade ar laceet des ôles L'observateur est lui-êe u systèe dyaique liéaire souis à la coade u et au sorties esurées de S. fi de silifier les otatios o cosidèrera que l'eseble des états esurables de S est iclus das le vecteur des sorties y. Il est clair que la dyaique rore de l'observateur se suerose à celle de S. Il coviedra doc que cette dyaique soit judicieuseet choisie afi de e as altérer la qualité de l'état observé. Etrée Coade Sortie e V r Coade odale u Systèe «S»,, C ˆ Observateur d'état y Etat recostruit 5.. PRINCIPES DE L ETHODE La théorie de la coade odale ou coade ar retour d'état, ou ecore coade ar laceet des ôles, eret d'ioser les odes du systèe S afi que so coorteet dyaique soit cofore au sécificatios eigées. O obtiet ce résultat ar «l'istallatio» d'ue ucle de retour qui réijecte l'état e etrée. Le oids de chaque coosate de iterveat das la ucle est dosé ar ue atrice des gais. Nous traiteros das u reier tes des systèes «oo etrée oo sortie» SISO. Soit le systèe liéaire ivariat S d ordre dot la rerésetatio itere est : y C Les ôles de ce systèe e ucle ouverte idice sot les racies du olyôe caractéristique de la atrice dyaique : u [ I ] b b b. b b det vec le retour d état la coade u est forée de la aière suivate : u Ve Ve Le systèe uclé est alors défii ar l équatio d état : bf Ve avec bf y C Noter bie le sige our le retour d état. Ce choi est as essetiel. RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

3 5. Coade ar laceet des ôles Les odes du systèe uclé sot racies du olyôe caractéristique de Soit : [ I ] det[ I ] det. bf bf doées ar : U choi coveable de eret de odifier d'aéliorer la stabilité et les roriétés dyaiques du systèe. La déteriatio de la atrice est facilitée dès lors que le systèe est décrit ar sa rerésetatio d'état eriée das la base coage our la coade fcc défiie au... ussi eaieros-ous les éthodes de calcul de la atrice de assage erettat d obteir la fcc avat de traiter du calcul de la atrice des gais. 5.. DETERINTION DE L TRICE DE TRNSFORTION. Soit u systèe S décrit ar la rerésetatio d état,, C. Il s agit das ce aragrahe de déterier la atrice de assage de la base orale à la base coage our la coade fcc défiie ar,, C 5... PREIERE ETHODE La fore coage our la coade fcc de la rerésetatio d'état est caractérisée ar : ; ; b b b b b C [ a a a a] Les relatios de chageet de base sot doées ar : C C Décoosos la atrice selo ses coloes [ ] [ ]. RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

4 5. Coade ar laceet des ôles 4 [ ] [ ] b b b b b E déveloat et e idetifiat les coloes o obtiet : [ ] [ b b b ]. b b b b b b b b I b b b b b I I b b b I b I La derière relatio est bie vérifiée car est racie de so olyôe caractéristique d arès le théorèe de Caley-Hailto. Ces équatios otret que la trasforatio liéaire eiste o sigularité de à coditio que les vecteurs,,,., soiet idéedats. Cette coditio est vérifiée dès lors que le systèe est gouverable, c'est à dire si : rag [ ] rag [ ] rag [ G] 5... DEUXIEE ETHODE Les atrices de gouverabilité des deu rerésetatios sot doées ar : G G G [ ] [ ] i i i i [ ] [ ] G GG RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

5 5. Coade ar laceet des ôles 5 RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL 5.4. DETERINTION DE L TRICE DES GINS Les ôles du systèe e ucle ferée sot des valeurs iosées ar le cahier des charges. Ces ôles sot solutios du olyôe caractéristique :. Ce olyôe est idéedat de la base choisie our défiir la rerésetatio d état du systèe. isi, si l o adote la fore coage our la coade fcc, les racies du olyôe caractéristique, ôles du systèe e ucle ferée, corresodet au valeurs rores de la atrice dyaique du systèe uclé, bf dot la «fcc» est doée ar l eressio suivate : bf isi : bf b b b b b D où le gai : [ ] [ ] [ ] b b b La atrice de assage de la base «orale» à la fore coage our la coade ayat été calculée, o déterie la atrice de la aière suivate : Ve Ve Ve u isi : [ ]

6 5. Coade ar laceet des ôles RESUE DE L ETHODE y C Calcul de GG u C C y C u Fore coage our la coade fcc Dyaique Recherchée bf Calcul De bf 5.6. PPLICTION DE L ETHODE CHIER DES CHRGES Créer ue coade odale our stabiliser le rocessus S caractérisé ar : C [ ] e laçat ses ôles à -, - et -. Le gai statique de la FTF doit être égal à l uité PROGRE TL Fichier «.» % RE_cha5_ % % REPRESENTTION D'ETT % Calcul d'ue coade odale % Réalisé ar. JL Cougo % clear all;clc % Défiitio du systèe à coader S % ucle ouverte [- ; ; ]; [;-;-]; C[ ]; % Calcul du olyôe caractéristique de % Les ôles de S sot les VP de olcar_oly olesrootsolcar_ % utre ode de calcul labdaeig; Résultats olcar_ oles RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

7 5. Coade ar laceet des ôles 7 O vérifie que ce systèe est itrisèqueet istable ôles égau à,,56 et,56. O cherche à le stabiliser ar ue ucle de coade. % Calcul de la atrice de gouverabilité Gctrb,; rgrag rg O vérifie que le systèe S est colèteet gouverable. La coade odale est ossible si l o à accès, ar la esure, au coosates du vecteur d état. % Défiitio de S das la fore fcc fcc_[ ; ; -olcar_4 olcar_ olcar_] ; fcc_[ ; ;] ; O costruit la fcc à artir des coefficiets du olyôe caractéristique. % Calcul de la atrice G das la base fcc Gfccctrbfcc_,fcc_; % Calcul de la atrice G*ivGfcc % Polyôe caractéristique de Sbf % Les oles de Sbf sot -, - et - oles_bf[- - -]; olcar_bfolyoles_bf fcc_bf[ ; ; -olcar_bf4 -olcar_bf -olcar_bf]; fcc_bf[;;]; olcar_bf 6 6 % Calcul de fcc fccfccfcc_bf-fcc_; fccfccfcc,:; % Calcul de fcc*iv % justeet du gai statique à ss_sys_bfss*,,c,; V/dcgaiss_sys_bf V -. % Vérificatio des erforaces ss_sys_bfss*,v*,c,; z_sys_bfzss_sys_bf figure;stetf_sys_bf,6;grid title'réose idicielle du systèe coesé' Zero/ole/gai: - s.566 s s s s RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

8 5. Coade ar laceet des ôles 8.4 Réose idicielle du systèe coesé..8 litude Tie sec O ote que : le systèe est stable e ucle ferée so gai statique est de so tes de réose à 5% est de 4 secodes. so déasseet D% est de %. Le systèe est à déhasage o iial zéros à artie réelle ositive. % Siulatio tsi6;d[;;];ieye; si're_cha5_dl' figure;lott,,t,,t,;grid o title'vecteur d''état du rocessus coesé' RESULTTS DE L SIULTION RE_cha5_dl O rocède à ue siulatio sous Siuli. RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

9 5. Coade ar laceet des ôles 9 RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL La coade «lot» eret de tracer les coosates du vecteur d état Vecteur d'état du rocessus coesé EN RESUE 4 Les ôles de la FTO sot racies de [ ] 4 det I

10 5. Coade ar laceet des ôles O désire que les ôles de la FTF soiet égau à, et. det[ I ] det[ I bf ] 6 6 [ ] [ 6 5 7] aisi : [ 4 5] Si le gai statique de la FTF doit être égal à, ar eele, o choisira V 5.7. EXEPLE D UNE CONDE ONOVRILE Soit le ot roulat reréseté ci-dessous. Galets de rouleet Rail de rouleet Chariot u t F c θ z z ODELE D ETT DU DISPOSITIF. Equatio du chariot Equatios de la charge utres équatios c u T siθ z T siθ g T cosθ θl cosθ c θ l siθ F cosθ l θ g siθ c c ; c 4 θ z c l cosθ l siθ θ c θl F Cosidéros de etites valeurs de l agle θ cosθ l θ gθ siθ θ c La sortie est la ositio de la charge : y c lθ Choisissos les variables détat : ; θ ; RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

11 5. Coade ar laceet des ôles RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL La rerésetatio d état est la suivate : [ ] et / / l y F l l g g dettos que la force F soit obteue à artie d u oteur électrique tel que : T U F Pour itégrer la dyaique du oteur o ajoute ue ouvelle variable d état F t u T T l l g g et [ ] 5 4 l y PPLICTION NUERIQUE g g 4 / s g l s T V N / O vérifiera les erforaces de la ucle ouverte et o déteriera la atrice des gais de retour d état telle que la FTF adette les ôles,, P et que P 4,5 soit u ode doiat tel que % 5 D et % r t s. Nous savos Cf. le cours u 4 que le reier déasseet d u systèe du secod ordre est doé ar : % ζ ζπ E D % l % l D D π ζ et que so tes de réose à %, oté % r t, est aroiativeet égal à : t r ζω 4 % E coséquece o choisira u ode du secod ordre qui sera calculé selo ces équatios.

12 5. Coade ar laceet des ôles PROGRE TL Fichier «.» % RE_cha5_ % % REPRESENTTION D'ETT % Coade odale our ot roulat % Réalisé ar. JL Cougo % clear all;clc; % DEFINITION DE S % Paraètres ;L;;4;g;T; % Rerésetatio d'état e O [ ; *g/ /; ; -*g/*l -/*L; -/T] [;;;;/T] C[ L ] Résultats C % PERFORNCES DE S % Calcul des valeurs rores de. oleseig ss_sys_ss,,c,; tf_sys_tfss_sys_ % Calcul de la atrice de gouverabilité Gctrb,; % Calcul du rag de G. rgrag % Calcul du olyoe caractéristique de_oly oles.6i -.6i -. Trasfer fuctio: s^5 s^4 5 s^ 5 s^ rg 5 de_ Le systèe est juste oscillat e ucle ouverte. % CLCUL DE L CONDE ODLE % "fcc" de la ucle ouverte fcc_[ ; ; ; ; -de_6 -de_5 -de_4 -de_ - de_]; fcc_[;;;;]; RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

13 5. Coade ar laceet des ôles % Calcul des oles de la FTF Diut'Déasseet D% '; Tsiut'Tes de réose à % '; zeta-logd//sqrti^logd/^; w4/zeta*ts; % Poles deadés au CdC ole trile à - % ode colee our D% 5% et tr% s [do,ddo]ordw,zeta; rrootsddo; ol_bf[-;-;-;r;r]; de_bfolyol_bf Déasseet D% Tes de réose à % de_bf % "fcc" de la ucle ferée fcc_bf[ ; ; ; ; -de_bf6 -de_bf5 -de_bf4 -de_bf -de_bf]; % Calcul de Gfccctrbfcc_,fcc_; G*ivGfcc % Calcul de la atrice des gais. % atrice des gais das la base fcc fccfcc_bf5,:-fcc_5,:; % atrice des gais das la base orale fcc*iv % Vérificatio oles_bfeig* % Vérificatio oles_bfeig* oles_bf -..i -. -.i i i % EVLUTION DES PERFORNCES EN F ss_sys_bfss*,,c,; tf_sys_bftfss_sys_bf ; % justage du gai statique V/dcgaitf_sys_bf; ltiview'ste',v*tf_sys_bf,4 V.899 RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

14 5. Coade ar laceet des ôles 4 L utilisatio du «ltiviewer» eret d accéder à des iforatios coe : le tes de ic le déasseet le tes de réose à %..4 Réose idicielle obteue avec le LTIview er. Syste: utitled Pea alitude:.4 Overshoot %: 4.4 t tie sec: 8.8 Syste: utitled Settlig Tie sec:.8 litude Tie sec Les erforaces obteues sot très roches de celles deadées ar le cahier des charges SIULTION RE_cha5_dl % Siulatio tsi4;ieye5;[;;;;];d[;;;;]; si're_cha5_dl' lott,y title'réose idicielle du systèe e ucle ferée';grid RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

15 5. Coade ar laceet des ôles 5 a. Schéa Siuli b. Réose obteue ar la coade «lot».4 Réose icicielle du systèe e ucle ferée RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

16 5. Coade ar laceet des ôles INSERTION D UN INTEGRTEUR. Le retour d état corresod à ue coade de tye «roortioel-dérivé». Pour des raisos de récisio statique o eut être aeé à isérer u itégrateur das la chaîe directe. Pour cela o rajoute au odèle ue variable d état suléetaire. Et o raisoe sur u systèe coortat variables d état. ε u u y t y C y [ C ] ε 5.9. SYSTEE NON COPLETEENT GOUVERNLE Cosidéros u systèe S coortat ue artie gouverable Sg et ue artie Sg qui e l'est as. g g g g g u g g g g y [ C g Cg ] g Les odes du systèe e ucle ouverte sot les racies de l'équatio caractéristique : [ I ].det[ I ] det q g q g O distigue les odes gouverables et ceu qui e le sot as. Vérifios qu'ue ucle ferée 'arrage as la situatio. g Soit la coade u Ve [ g g ]. Il viet : g g g g g g g g [ g g ] Ve g g g g g g y g g g g g [ C C ] g g g g g g g g L'équatio caractéristique doat les odes du systèe e ucle ferée est : g Ve [ I ].det[ I ] det q g g g q g RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

17 5. Coade ar laceet des ôles 7 isi les odes affectés ar la ucle de retour sot les seuls odes gouverables. Les odes igouverables de la ucle ouverte aaraisset sas odificatio das la ucle ferée. 5.. CS DES SYSTEES ULTIVRILES 5 PRINCIPE DE L ETHODE Raelos les équatios qui itervieet das ce roblèe. Il s agit d u systèe liéaire ivariat S d ordre dot la rerésetatio itere est : u y C Le vecteur des coades u est u vecteur adettat r coosates. Il est foré de la aière suivate : u Ve Ve avec [ b b b.. ] qui est ue r-atrice b r est ue r-atrice. O disose de r araètres our fier les odes du systèe uclé qui sot les racies du olyôe caractéristique doées ar : La solutio est doc as uique. [ ] det I Pour trouver ue solutio à ce roblèe o utilise ue éthode ettat e œuvre les ricies évoqués our le cas oovariable. Soit la r-atrice F et le r-vecteur H et cosidéros le systèe oo etrée décrit ar : F Hu y C y C u avec F H Si ce systèe oovariable est coadable, il eiste u -vecteur lige gai erettat d obteir u régie dyaique doé caractérisé ar la atrice : bf F H bf bf F H F H RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

18 5. Coade ar laceet des ôles 8 O rocède coe suit : Etae Tâche Choisir arbitraireet la r-atrice F et le r-vecteur H. Calculer F et H Vérifier que la aire, est gouverable. 4 Calculer le gai afi d obteir les ôles iosés e ucle ferée. 5 Calculer la atrice des gais F H 5... EXEPLE Soit le systèe caractérisé ar Cf. fichier RE_cha5_ et 5 O vérifie qu il est istable. >> [ ; ; 5];[ ;- ; ]; >> oles_eig oles_ 5 E effet, les valeurs rores de, racies du olyôe caractéristique, sot réelles >. ais le systèe est gouverable uisque : >> Gctrb,; rgrag rg Déterios la atrice des gais telle que le systèe e ucle ferée adette u ôle trile. Choisissos la atrice r F et le vecteur coloe r H : F et H Calculos les atrices F et H >> F[ ; ];H[;]; >> *F >> *H - RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL

19 5. Coade ar laceet des ôles 9 Vérifios que la aire, est gouverable. >> Gctrb,;rGraG rg Calculos le vecteur des gais : >> olcar_oly olcar_ >> _fcc[ ; ;5 - ];_fcc[;;]; >> G_fccctrb_fcc,_fcc; >> G_fcc*ivG; >> oles_bf[- - -]; >> olcar bfolyoles_bf olcar bf >> fcc_bf[ ; ;- - -]; >> fccfcc_bf,:-_fcc,: fcc >> fcc* Calculos la atrice >> H*F Vérifios que cette atrice doe bie la dyaique recherchée. >> _bf* ; >> eig_bf as i -. -.i Le systèe adet bie u ôle trile à. 5.. SPECTS PRTIQUES DE L CONDE ODLE Si le systèe S 'est as colèteet gouverable il 'est as ossible d'ioser toutes les racies de l'équatio caractéristique du systèe uclé. Pour réaliser la coade odale il est écessaire de disoser de toutes les coosates du vecteur d'état. Or elles e sot as toutes forcéet esurables et accessibles. La solutio cosiste à recostruire les états o esurables, ais observables, directeet ar u systèe dyaique. Tel est l objet de l étude roosée au chaitre suivat. RE_cha5_coade_odale is à jour le 7/4/6 Cours de. Cougo JL