03/2005 : Séminaire de Topologie Algébrique, Université de Nantes, Nantes.

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1 Curriculum Vitæ Jérôme Dubois Grade: Maître de Conférences, classe normale, 4ème échelon Etablissement d affectation: Université Paris Diderot (Paris 7) Date de Naissance : 20 juillet 1976 à Beaumont (63) Section CNU: 25 Courriel: Informations relatives à la carrière Parcours professionel. Depuis 09/2007 : Maître de Conférences à l Université Paris Diderot (Paris 7), Institut Mathématiques de Jussieu, Membre du projet Topologie et Géométrie Algébrique de l IMJ. 09/ /2007 : Boursier Marie Curie au Centre de Recherche en Mathématiques, Université Autonome de Barcelone (Espagne). 02/ /2006 : ATER (à temps complet) à l Université Blaise Pascal (Clermont II). 10/ /2006 : Assistant-Docteur à l Université de Genève (Suisse). Parcours Universitaire : Allocataire-Moniteur à l Université Blaise Pascal (Clermont II) sous la direction de Michael Heusener : DEA de Mathématiques, Université Blaise Pascal (Clermont II) (mention très bien) : Obtention de l Agrégation de Mathématiques : Maîtrise de Mathématiques, Université Blaise Pascal (Clermont II) (mention très bien avec félicitations). Thématiques Scientifiques Topologie et Géométrie des variétés de petite dimension : (1) Théorie des nœuds et variétés des caractères. (2) Théorie des torsions : torsion de Reidemeister et torsion L 2. (3) Topologie Quantique : développement des invariants quantiques en relation avec la conjecture du volume. Activités scientifiques pour la période Publications Scientifiques ( ). J. Dubois, «Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups», Ann. Institut Fourier 55 (2005) J. Dubois, «Non abelian twisted Reidemeister torsion for fibered knots», Canadian Math. Bull. 49 (2006) J. Dubois, «A volume form on the SU(2)-representation space of knot groups», Algebraic & Geometric Topology 6 (2006) J. Dubois & R. Kashaev, «On the asymptotic expansion of the colored Jones polynomial for torus knots», Math. Ann. 339 (2007), J. Dubois, V. Quang and Y. Yamaguchi, «Non abelian Reidemeister torsion for twist knots», J. Knot Theory Ramifications 18 (2009),

2 2 Articles soumis. J. Dubois, I. Korepanov and E. Martyushev, «A finite-dimensional TQFT : invariant of framed knots in manifolds», prépublication soumise CRM Barcelone, arxiv : math.gt/ J. Dubois and Y. Yamaguchi, «Multivariable Twisted Alexander Polynomial for hyperbolic three manifolds with boundary», soumis, arxiv : math.gt/ J. Dubois and S. Garoufalidis, «Rationality of the SL 2 (C)-torsion in dimension 3», soumis, arxiv : math.gt/ Articles en préparation. J. Dubois and Y. Yamaguchi, «Behavior of the Sign-refined Reidemeister torsion by Mutation». J. Dubois and C. Wegner, «On the L 2 -Alexander invariant for knots». Exposés sur invitation ( ). 10/2008 : Séminaire de Topologie Algébrique, Université de Nantes, Nantes. 03/2007 : Séminaire de Topologie, Institut technologique de Tokyo, Tokyo. 02/2007 : 2 exposés Séminaire de Topologie, Institut Fourier, Grenoble. 12/2006 : Séminaire Géométrie Topologie Dynamique, Université Paris Sud, Orsay. 12/2006 : Séminaire de Topologie, Université Paris 7, Paris. 04/2006 : Séminaire de Géométrie, Université Lyon 1, Lyon. 03/2006 : Séminaire de Topologie, Université Paris 7, Paris. 04/2005 : Séminaire de Topologie, Université Paris 7, Paris. 03/2005 : Séminaire du LMAM, Université de Bretagne-Sud, Vannes. 03/2005 : Séminaire de Topologie Algébrique, Université de Nantes, Nantes. 02/2005 : Séminaire de Topologie, Institut Fourier, Grenoble. Exposés dans des Congrés internationaux ( ). 09/2007 : Exposé aux Journées de l ANR Géométrie et Analyse des conjectures du volume, IRMA, Université Louis Pasteur, Strasbourg. 06/2006 : Exposés aux Journées de l ANR Géométrie et Analyse des conjectures du volume, Institut Fourier, Grenoble. 06/2006 : Exposé au Colloque Knots, groups and 3-manifolds in Marseille 2006, Marseille. Ecoles, Colloques ( ). 09/2008 : Rencontres Tresses à Paris, rencontres parisiennes du GdR Tresses, IMJ, Paris. 06/2008 : Rencontres Tresses, nœuds et applications, Montpellier. 09/2007 : Journées de l ANR Géométrie et Analyse des conjectures du volume, IRMA, Université Louis Pasteur, Strasbourg. 06/2006 : Journées de l ANR Géométrie et Analyse des conjectures du volume, Institut Fourier, Grenoble. 06/2006 : Colloque Knots, groups and 3-manifolds in Marseille 2006, Marseille. Visites de recherches sur invitations ( ). 03/2007 : Séjour au Département de Mathématiques de l Institut technologique de Tokyo, Japon (sur invitation de H. Murakami). 02/2007 : Séjour à l Institut Fourier dans le cadre de l ANR Géométrie et Analyse des conjectures du volume, Grenoble (sur invitation de S. Baseilhac). 10/2006 : Séjour à la Section de Mathématiques de l Université de Genève, Suisse (sur invitation de R. Kashaev). 01/2005 : Séjour d une semaine à l Université Autonòma de Barcelona, Espagne (sur invitation de J. Porti).

3 3 Résumé de l activité scientifique Durant les quatre dernières années mes recherches se sont articulées pour l essentiel autour de l étude (interprétation, calculs explicites), des applications (notamment vers la conjecture du volume) et des liens avec d autres domaines des mathématiques (invariants quantiques, torsion d origine géométrique) de deux invariants : la torsion de Reidemeister et l invariant de Chern- Simons pour les variétés tridimensionnelles à bord torique. Mes séjours à l Université de Genève ( ) puis au CRM de Barcelone ( ) m ont permis de tisser des liens scientifiques forts et ont été l occasion de débuter des collaborations, notamment avec R. Kashaev, I. Korepanov et S. Garoufalidis. En rejoignant en sept. 2007, le projet Topologie et Géométrie Algébrique de l IMJ, en tant que Maître de Conférences à l Université Paris Diderot Paris 7, j ai pu consolider ces liens et faire naître de nouvelles collaborations, notamment avec C. Wegner. (1) Variété des caractères du groupe d un nœud dans SU(2). Dans [3], j ai montré que génériquement la variété des caractères du groupe d un nœud est munie d une forme volume invariante. La construction de cette forme volume s inspire de la construction originale de l invariant de Casson. (2) Torsion de Reidemeister non abélienne pour les variétés de dimension 3 à bord torique. (a) Dans [1], j ai construit une forme torsion de Reidemeister sur la variété des caractères du groupe d un nœud et j ai montré que cette forme torsion est égale à la forme volume considérée dans [3]. Cette égalité fournie en particulier une interprétation nouvelle de la torsion de Reidemeister non abélienne. (b) En collaboration avec S. Garoufalidis (School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, USA), nous étudions les propriétés de rationnalité de la torsion de Reidemeister dans la représentation adjointe associée à la représentation discrète fidèle de la structure hyperbolique d une variété hyperbolique de dimension 3 à cusp. (3) Calculs explicites de la torsion non abélienne. (a) Dans [2], j ai établi une formule donnant la torsion de Reidemeister non abélienne d un nœud fibré en fonction de sa monodromie. (b) Dans [6], en collaboration avec V. H. Quang (College of Natural Sciences Vietnam National University, Vietnam) et Y. Yamaguchi (Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo, Japon), nous avons calculé explicitement la torsion de Reidemeister non abélienne pour une famille de nœuds tous hyperboliques et non fibrés (exceptés le nœud de trèfle et le nœud de huit) : les nœuds twists. (4) Invariants quantiques, conjecture du volume et torsion de Reidemeister. Dans [5], en collaboration avec R. Kashaev (Université de Genève, Suisse), nous avons identifié les différentes contributions géométriques apparaissant dans le développement asymptotique du polynôme de Jones colorié dans le cas des nœuds toriques. Ces contributions font intervenir la torsion de Reidemeister non abélienne (en particulier les résultats obtenus dans [2]) et l invariant de Chern Simons. (5) Torsion de Reidemeister d origine géométrique. Dans [4], en collaboration avec I. Korepanov et E. Martyushev (Université de Chelyabinsk, Russie), nous avons étudié une torsion de Reidemeister d origine géométrique pour une paire constituée par une variété tridimensionnelle triangulée et un nœud à l intérieur. Nous donnons en particulier

4 4 un calcul explicite de cet invariant relatif dans le cas des espaces lenticulaires et du nœud trivial. (6) Polynôme d Alexander tordu pour les variétés hyperboliques de dimension 3. Dans [7] en collaboration avec Y. Yamaguchi, nous nous interessons à un invariant d Alexander tordu particulier d une variété tridimensionelle M 3 : la torsion de Reidemeister (avec signe) tordue dans la représentation ϕ Ad ρ. Ici ϕ est une représentation surjective de π 1 (M) à valeurs dans Z, Ad désigne la représentation adjointe de l algèbre de Lie SL 2 (C) et ρ : π 1 (M) SL 2 (C) est une représentation voisine de la représentation discrète fidèle de la structure hyperbolique. Nous montrons que génériquement cet invariant est polynomial (au même sens que le polynôme d Alexander en est un). Puis nous étudions certaines propriétés : symétrie, formule de type Fox etc... Thématiques actuelles de recherche Ma thématique de recherche actuelle se développe dans trois grandes directions : étude de la théorie des torsions (torsions de Reidemeister non abélienne et plus récemment torsion L 2, voir les points (1) à (4) ci dessous), lien entre invariant de Chern Simons, torsion de Reidemeister et invariants quantiques dans la perspective de la conjecture du volume (voir (5)), enfin développement d une nouvelle notion de torsion : la torsion d origine géométrique (voir (6)). (1) Comportement par mutation du polynôme d Alexander tordu. Ce projet, en collaboration avec Y. Yamaguchi, fait suite à la prépublication [7]. Nous nous proposons d étudier le comportement par mutation de la torsion de Reidemeister (avec signe) tordue dans la représentation ϕ Ad ρ. Nos premières investigations nous font penser que cette torsion est invariante par mutation au signe près et nous tentons de comprendre ce signe plus en détails. (2) Calculs explicites de la torsion L 2. En collaboration avec C. Wegner (Université de Münster, Allemagne), nous nous proposons de calculer explicitement une version polynomiale de la torsion L 2, en fait une sorte de polynôme d Alexander tordu au sens L 2 défini dans [10] et [11] et notée (2) K (t), pour les nœuds toriques, le nœud de huit et plus généralement les nœuds fibrés. Le but principal est de comprendre le comportement global de cet invariant qui vaut exp( ρ (2) (K)) pour t = 1, où ρ (2) (K) est la L 2 -torsion de K. Lorsque le nœud K est hyperbolique, W. Lück a montré (voir [12]) que ρ (2) (K) est égal au volume hyperbolique du complémentaire de K. (3) Torsion de Reidemeister et fonction potentielle. Ce projet est une collaboration avec S. Garoufalidis (School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, USA) et R. Kashaev (Université de Genève, Suisse). Le but est d établir une nouvelle interprétation de la torsion non abélienne pour les nœuds hyperboliques en la représentation discrète fidèle associée à la structure complète à l aide d un invariant apparaissant dans la conjecture du volume : la fonction potentielle. (4) Torsion non abélienne et fonction zêta dynamique. Ce projet est une collaboration avec A. Pajitnov (Université de Nantes). Le but est d établir une relation entre torsion de Reidemeister non abélienne et fonction zêta dynamique des flots de gradients pour les complémentaires de nœuds. Ceci offrirait de nouvelles interactions entre la topologie, la dynamique, la géométrie spectrale et l analyse. (5) Invariants quantiques, conjecture du volume et torsion de Reidemeister. Ce projet comprend deux volets et fait suite aux résultats obtenus dans [1], [3] et [5]. (a) Aspect classique avec l étude de l invariant de Chern Simons, en collaboration avec R. Kashaev ;

5 5 (b) Aspect semi classique dont le but est une réalisation de la torsion de Reidemeister dans le contexte TQFT, en collaboration avec R. Kashaev ; (6) Torsion Reidemeister d origine géométrique et rapport avec la Relativité Générale. Ce projet, en collaboration avec I. Korepanov, a pour but de montrer que les torsions non abéliennes (considérées dans [1] et [2]) et les torsions d origine géométrique (considérées par I. Korepanov dans [8] et [9]) sont les mêmes. Il fait suite à la prépublication [4] dans laquelle nous avons débuté l étude des torsions géométriques pour les variétés à bord des tores. L originalité de la méthode choisie est de combiner techniques combinatoires et idées provenant de la Physique. Références [1] J. Dubois, Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups, Ann. Institut Fourier 55 (2005) [2] J. Dubois, Non abelian twisted Reidemeister torsion for fibered knots, Canad. Math. Bull. 49 (2006) [3] J. Dubois, A volume form on the SU(2)-representation space of knot groups, Algebraic & Geometric Topology 6 (2006) [4] J. Dubois, I. Korepanov and E. Martyushev, Euclidean geometric invariant of framed knots in manifolds, preprint CRM Barcelone, arxiv :math.gt/ (2006). [5] J. Dubois and R. Kashaev, On the asymptotic expansion of the colored Jones polynomial for torus knots, Math. Ann.339 (2007) [6] J. Dubois, V. H. Quang and Y. Yamaguchi, Twisted Reidemeister torsion for twist knots, J. Knot Theory and its Ramifications 18 (2009) [7] J. Dubois and Y. Yamaguchi, Multivariable Twisted Alexander Polynomial for hyperbolic three manifolds with boundary, soumis, arxiv : math.gt/ [8] I.G. Korepanov, Invariants of PL manifolds from metrized simplicial complexes. Three-dimensional case, J. Nonlin. Math. Phys. 8 (2001) [9] I.G. Korepanov, Geometry of euclidian tetrahedra and knot invariants, J. of fund. and applied Math. 11 (2005) [10] W. Li and W. Zhang, An L 2 -Alexander invariant for knots, preprint. [11] W. Li and W. Zhang, An L 2 -Alexander-Conway invariant for knots and the volume conjecture, preprint. [12] W. Lück, L 2 -Invariants : Theory and Applications to Geometry and K-Theory, Springer (2002) Réseaux Membre du GDR 2105 du CNRS Tresses et topologie de basse dimension. Membre du projet ANR Géométrie et Analyse des conjectures du volume (Responsable : Stéphane Baseilhac, Institut Fourier, Grenoble). Membre du projet ANR Topologie et Géométrie des Invariants quantiques (Responsable : François Costantino, Universite de Strasbourg). Prix et Autres activités Lauréat du Prix du Jeune Chercheur de la ville de Clermont-Ferrand, 23/01/ : Co-organisateur du Séminaire de Géométrie de l Université de Genève, Suisse : Co-organisateur du Groupe de Travail Autour des Torsions à l IMJ. Rapporteur pour les revues internationales Topology, Algebraic & Geometric Topology, Annales de l Institut Fourier, Pacific Journal of Mathematics.

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