Codes détecteurs et correcteurs d erreurs

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1 Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Lorsque des doées umériques sot stockées ou trasmises, des perturbatios (par exemple électromagétiques) peuvet les edommager. Les codes détecteurs et correcteurs d erreurs permettet, das ue certaie mesure, de détecter si les doées ot été altérées et si c est le cas, de recostituer les doées d origie par u mécaisme de correctio. Ces codes sot par exemple utilisés das les supports de stockage umériques que sot les CD, DVD et disques Blu-ray. Das cette fiche, ous e présetos les pricipes gééraux de foctioemet et quelques exemples simples. 1 Trasmissio et stockage de l iformatio umérique Iformatio umérique Les ordiateurs e coaisset que les chiffres 0 et 1. Cela suffit pour toutes les tâches qu ils effectuet : stocker, traiter et trasmettre ombres, textes, images, sos, vidéos, etc. O dit que les ordiateurs travaillet e biaire, et les chiffres 0 et 1 s appellet des bits (cotractio de «biary digits», c est-à-dire «chiffres biaires» e Aglais). L iformatio est découpée e blocs de 0 et de 1 de logueur fixe, appelés des mots biaires. La raiso pour laquelle les ordiateurs travaillet e biaire est liée au foctioemet de leurs composats physiques : u trasistor ou u codesateur possèdet deux états stables (activé/désactivé ou chargé/déchargé), respectivemet représetés par 1 et par 0. Les caaux de trasmissio et supports de stockage sot forcémet imparfaits! Lors du trasfert et/ou du stockage d iformatio, des erreurs peuvet surveir : de temps e temps, u 1 deviet u 0 ou vice-versa (pour simplifier, o e s occupera pas des bits évetuellemet perdus ou ajoutés). Le rôle des codes détecteurs et correcteurs d erreurs est de détecter les erreurs de trasmissio et/ou de stockage et de les corriger. Ils utiliset pour cela ue stratégie de cosolidatio, qui cosiste à ajouter de l iformatio redodate. O parlera seulemet das la suite de trasmissio d iformatio, mais tout s applique égalemet au cas du stockage. Codage et décodage Avat émissio : le codage cosiste à cosolider l iformatio par ajout de bits de cotrôle. Ces bits de cotrôle sot calculés à partir des bits d iformatio : o cosidère qu ils e cotieet pas ue iformatio ouvelle, puisqu ils sot etièremet costruits à partir de l iformatio iitiale. C est pourquoi o parle de bits «redodats». Le mot biaire obteu costitue le message émis. mot d iformatio m bits codage message émis bits = m bits d iformatio + r bits de cotrôle Après réceptio : le décodage cosiste, à partir du message reçu et e utilisat les bits de cotrôle, à détecter les erreurs puis corriger le message reçu pour retrouver l iformatio iitiale. Iformatio Iformatio codage émissio réceptio décodage... I Message émis M Message reçu M Efficacité des codes O mesure l efficacité des codes à l aide de deux paramètres : Le ombre de bits ajoutés r = m, qu o appelle la redodace du code Le ratio etre le ombre de bits utiles (les bits d iformatio) et le ombre de bits total m redemet du code, et qui est u ombre toujours < 1 I, qu o appelle le

2 Pour le choix d u code : o commece par fixer la logueur m des mots d iformatio. O veut u code qui détecte/corrige bie les erreurs, pour cela, il faut ajouter beaucoup de bits de cotrôle, doc o a besoi d ue redodace élevée (r grad). Mais o veut aussi u code le plus écoomique possible, e vue d ue trasmissio rapide et/ou courte, doc o a besoi d u redemet élevé, ce qui se traduit par u r petit. Par coséquet, o doit faire u compromis etre l efficacité de la détectio/correctio et l efficacité de la trasmissio, c est-à-dire etre la redodace et le redemet. L utilisatio de méthodes mathématiques sophistiquées (par exemple l algèbre sur des corps fiis de polyômes) permet de fabriquer des codes efficaces sur ces deux poits. 2 Exemples 2.1 Code de parité Descriptio du code Lors de la trasmissio de caractères de texte, si o utilise le code ASCII, chaque caractère occupe 8 bits. Par exemple, le mot «HELLO» est représeté par Chaque caractère est codé sur 7 bits plus 1 bit de parité (bit de cotrôle) e gééral placé avat les bits d iformatio Le bit de parité est calculé de telle sorte que le ombre total de 1 soit toujours pair (par exemple). Mot d iformatio : Mot de code : Mot d iformatio : Mot de code : Paramètres du code Logueur des mots d iformatio : m = 7 Logueur des messages émis : = 8 Redodace : r = m = 1 (c est à dire 1 bit de cotrôle) Redemet : 7 8 = 0, 875 Détectio et correctio N importe quel mot de 8 bits comportat u ombre pair de 1 est susceptible d être le message émis, et importe quel mot de 8 bits est susceptible d être le message reçu, selo les perturbatios subies pedat la trasmissio. O suppose par exemple que le message émis est , et o doe quelques exemples de messages reçus possibles. Message evoyé Message reçu Cotrôle Correctio proposée (a) OK (b) aomalie? (c) aomalie? (d) OK O voit sur ce tableau que le code de parité permet de détecter ue aomalie lorsqu il y a u ombre impair de bits erroés. E effet, das ce cas, le message reçu e peut pas être celui qui a été evoyé, puisqu il comporte u ombre impair de 1 (cas (b) et (c)). Lorsqu il y a u ombre pair de bits erroés (cas (d)), le message reçu est bie u message émis potetiel : o e peut pas s apercevoir qu il y a eu ue aomalie. Le code de parité e permet pas de corriger les erreurs : lorsqu ue aomalie est détectée, o sait qu il faut modifier u bit (ou peut-être trois, ciq ou même sept bits) pour retrouver le message émis et rétablir la parité du ombre de 1, mais o a aucu moye de savoir le(s)quel(s). 2.2 Code par répétitio Descriptio du code O répète 3 fois chaque bit d iformatio. Les mots d iformatio ot seulemet 1 bit, et les messages émis 3 bits : mot d ifo message émis Paramètres du code Logueur des mots d iformatio : m = 1 Logueur des messages émis : = 3 Redodace : r = m = 2 (c est à dire 2 bits de cotrôle) Redemet : 1 3 0, 333.

3 Détectio et correctio Les seuls messages émis possibles sot 000 et 111, et importe quel mot de 3 bits est susceptible d être le message reçu, selo les perturbatios subies pedat la trasmissio. O traite le cas où le message émis est 000, le cas 111 est évidemmet symétrique. O cosidère cette fois tous les messages reçus possibles (il y e a que 8). Message émis Message reçu Cotrôle Correctio proposée (a) OK (b) aomalie 000 (c) aomalie 000 (d) aomalie 000 (e) aomalie 111 (f) aomalie 111 (g) aomalie 111 (h) OK O voit sur ce tableau que le code par répétitio permet de détecter ue aomalie lorsqu il y a u ou deux bits erroés (le message reçu e peut pas être le message émis - cas (b) à (g)), mais pas lorsqu il y e a trois (cas (h)). E effet, das ce derier cas, le message reçu est bie u message émis potetiel. O corrige e remplaçat u message reçu recou erroé par le message émis potetiel le plus proche (c est-àdire avec le mois de bits différets), car c est la correctio qui a la plus grade probabilité d être correcte (voir Sectio 4). Par coséquet, le codage par répétitio permet de corriger correctemet ue erreur portat sur u seul bit (cas (b), (c) et (d)), mais e permet pas de corriger correctemet ue erreur portat sur deux bits (cas (e), (f) et (g) - e fait o peut costater que das ce cas, la correctio proposée est systématiquemet icorrecte). 3 Pricipe gééral de la détectio et la correctio des erreurs Messages possibles et mots de code Les messages potetiellemet émis, qu o appelle les mots de code, costituet seulemet ue petite partie de tous les messages potetiellemet reçus (avec ou sas erreurs), qu o appelle les messages possibles. E effet, tous les mots de bits sot des messages possibles, tadis que le ombre de mots de code parmi eux est seulemet égal au ombre de mots d iformatio. Plus précisémet, u mot d iformatio comporte m bits, et o lui ajoute r bits de cotrôle pour obteir le mot de code correspodat. Or les mots biaires de m + 1 bits sot deux fois plus ombreux que ceux de m bits, ceux de m + 2 bits sot ecore deux fois plus ombreux que ceux de m + 1 bits, etc. Par coséquet, les messages possibles ayat = m + r bits, sot fois plus ombreux que les mots } {{ } d iformatio, qui ot que m bits. C est ce qui va redre possible la détectio et la correctio d erreurs. r fois mots d ifo mots de code codage messages possibles Détectio des erreurs Les mots de code, dispersés das l esemble de tous les messages possibles, sot représetés par les poits oirs. L u d eux est le message effectivemet émis. Le message erroé reçu est représeté par le poit blac.

4 message reçu mot de code message émis messages possibles S il y a des erreurs alors le message reçu est pas u mot de code. Coséquece : Détectio des erreurs Ceci est valable que jusqu à u certai poit car l esemble des erreurs pourrait avoir trasformé le message émis e u autre mot de code. Coséquece : Détectio... imparfaite Remarque : O voit ici qu u code qui détecte parfaitemet toutes les erreurs e peut pas exister! Les bos codes sot faits de telle sorte que les imperfectios apparaisset que très raremet (voir Sectio 4). Correctios des erreurs message reçu mot de code message émis Le message erroé reçu a été détecté, c est-à-dire que ce est pas u mot de code. messages possibles Le pricipe de la correctio cosiste à remplacer le message reçu erroé (et détecté comme tel) par le mot de code le plus proche, c est-à-dire celui écessitat de modifier le mois de bits possible. Coséquece : Correctio des erreurs Ceci est valable que jusqu à u certai poit, car l esemble des erreurs pourrait avoir doé u message reçu plus proche d u autre mot de code que du message émis. Coséquece : Correctio... imparfaite Remarque : O voit ici qu u code qui corrige parfaitemet toutes les erreurs détectées e peut pas exister! Les bos codes sot faits de telle sorte que les imperfectios apparaisset que très raremet (voir Sectio 4). 4 Quatifier les imperfectios O doe das cette sectio des valeurs umériques issues du calcul des probabilités. Le lecteur désirat e coaître le détail peut se reporter à l Appedice. 4.1 Risque d erreurs lors de la trasmissio Exemple Supposos qu o utilise u code par répétitio avec u caal de trasmissio das lequel u bit sur cet est modifié (das la réalité, ce serait u caal de très mauvaise qualité). Le calcul des probabilités permet d affirmer : Eviro 97, 030% des messages reçus e comportet pas d erreur ; Eviro 2, 940% des messages reçus comportet ue erreur ; Eviro 0, 030% des messages reçus comportet deux erreurs ; Eviro 0, 0001% des messages reçus comportet trois erreurs. Coclusio Das la vie courate, il est beaucoup plus probable de recevoir u message avec pas ou peu d erreurs qu avec beaucoup d erreurs. 4.2 Le pari de la détectio des erreurs Message reçu sas erreur détectée Il est possible qu il soit quad même erroé : «sas erreur détectée» sigifie simplemet que le message reçu est bie u mot de code. Le message evoyé était aussi u mot de code, mais o e peut pas savoir si c est le même. Peut-être que les erreurs qui se sot produites ot trasformé le message evoyé e u autre mot de code. Lors de la détectio, o fait le pari qu il y a effectivemet pas eu d erreurs, autremet dit que le message reçu est idetique au message evoyé : Est-ce u pari risqué? Pour répodre à cette questio, o calcule le taux de messages erroés détectés

5 Exemple O repred l exemple du code par répétitio avec u caal de trasmissio das lequel u bit sur cet est modifié. Le calcul des probabilités permet d affirmer : Taux des messages erroés détectés 99, 997% Coclusio Das la vie courate, quad o e détecte aucue erreur das le message reçu, il est très probable qu il e cotiee effectivemet aucue erreur 4.3 Le pari de la correctio des erreurs Message reçu recou erroé puis corrigé Il est possible qu il soit e fait mal corrigé : «corrigé» sigifie que le message reçu erroé est remplacé par le mot de code le plus proche. Le message evoyé était aussi u mot de code, mais o e peut pas savoir si c est le même. Peut-être que les erreurs puis la correctio ot trasformé le message evoyé e u autre mot de code. O fait le pari que la correctio a atteit so but, autremet dit que le message corrigé est idetique au message evoyé. Est-ce u pari risqué? Pour le savoir, o calcule le taux de messages recous erroés bie corrigés Exemple O repred l exemple du code par répétitio avec u caal de trasmissio das lequel u bit sur cet est modifié. Le calcul des probabilités permet d affirmer : Taux de messages recous erroés bie corrigés 99% Coclusio Das la vie courate, quad o corrige u message erroé par le mot de code le plus proche, il est très probable qu il soit corrigé correctemet 5 Le tour de magie De quel code s agit-il? Le code utilisé s appelle le code de double parité. Les mots d iformatio sot costitués des 25 bits du carré iitial. Le magicie ajoute 11 bits de cotrôle, la redodace est doc égale à 11. Les mots de code sot costitués des 36 bits du carré obteu. Le redemet est de , 69. O costate avec le tour de magie que ce code permet de corriger correctemet tous les messages reçus comportat ue erreur. O peut motrer que tous les messages erroés comportat deux ou trois erreurs sot détectés, mais que certais sot mal corrigés ou impossibles à corriger (si o hésite etre deux correctios de même probabilité), tadis que certais des messages comportat 4 erreurs ou plus e sot pas détectés. Le code de double parité a u redemet plus faible que le code de parité simple, mais il est plus efficace, puisqu il permet de corriger certais messages erroés. Le code de double parité a u meilleur redemet que le code par répétitio, il est plus efficace car il permet de détecter plus de messages erroés, et de corriger au mois aussi bie, mais il est (relativemet) plus compliqué sur le pla mathématique. Commet ce code foctioe-t-il? Bob veut trasmettre u bloc de doées à Alice Tout est écrit e biaire Bob ajoute des doées redodates Il crée ue lige et ue coloe supplémetaires Règle de calcul des valeurs supplémetaires : Le ombre de 1 sur chaque lige doit être pair Le ombre de 1 sur chaque coloe doit être pair

6 Pedat la trasmissio Ue perturbatio se produit : ue valeur est modifiée Ue lige et ue coloe e respectet plus la règle À la réceptio Alice e sait pas si les doées ot été altérées Elle e sait pas o plus ce que Bob lui a evoyé Mais Alice costate Certaies liges et coloes e respectet pas la règle C est ue preuve qu ue perturbatio s est produite Elle détecte l altératio das les doées trasmises Alice peut faire mieux Il lui suffit de chager la valeur à l itersectio pour que la règle soit de ouveau respectée Elle corrige l altératio das les doées trasmises Et maiteat Toutes les altératios peuvet-elles être décelées? La correctio effectuée est-elle toujours la boe? Toutes les altératios peuvet-elles être décelées? Supposos que Bob evoie ceci Et supposos qu Alice reçoive ceci

7 Toutes les liges et les coloes respectet la règle Alice pese que la trasmissio a été correcte Ce est pas le cas Mais elle a aucu moye de s e apercevoir L altératio passe iaperçue O a vu que ce phéomèe est statistiquemet très rare Et o a vu aussi qu il e peut exister aucue méthode permettat de déceler absolumet toutes les altératios La correctio proposée est-elle toujours la boe? Supposos que Bob evoie ceci Et supposos qu Alice reçoive ceci Ue lige et ue coloe e respectet pas la règle Alice s aperçoit que les doées ot été altérées Alice corrige l itersectio de la lige et de la coloe L erreur est pas à cet edroit Mais elle a aucu moye de s e apercevoir La correctio est pas la boe O a vu que ce phéomèe est statistiquemet très rare Et o a vu aussi qu il e peut exister aucue méthode permettat de toujours corriger correctemet 6 Coclusio Nous avos vu das cette fiche, à travers quelques exemples simples, les pricipes gééraux sur lesquels reposet les codes détecteurs et correcteurs d erreurs utilisés e iformatique : cosolidatio des mots d iformatio iitiaux par ajout d iformatio redodate, détectio des messages reçus qui e peuvet pas être des messages émis, et correctio d u message erroé e le remplaçat par le message émis potetiel le plus proche. Les iformaticies spécialistes de ce domaie utiliset et mettet au poit des codes de plus e plus performats pour les échages d iformatio et le stockage sur de ouveaux supports. Ils utiliset pour cela des méthodes sophistiqués issus de différets domaies des mathématiques. Pour les lecteurs souhaitat aller plus loi, il existe de ombreux ouvrages destiés aux étudiats des premières aées d uiversité traitat de ce sujet, et o trouve aussi facilemet des cours e accès libre sur iteret. Comme ouvrages e fraçais sur ce thème, o peut par exemple citer [1] (iveau licece) et [2] (iveau master). Référeces [1] J. Badrikia. Codes correcteurs. Ellipses, [2] É. Taier et S. Varrette J.-G. Dumas, J.-L. Roch. Théorie des codes. Duod, 2013.

8 Appedice : Calculs de probabilités Modéle mathématique La situatio à modéliser est la suivate : o trasmet u message composé de bits. Pedat la trasmissio, chaque bit est modifié avec la probabilité p < 0, 5 (c est le taux d erreur du caal de trasmissio : o a p ombre de bits erroés/ombre de bits trasmis). O fait les hypothèses simplificatrices que les erreurs ot autat de chace de se produire sur les 1 que sur les 0, d ue part, et que les erreurs sot idépedates pour chaque bit, d autre part. Il s agit d u schéma de Berouilli, et la loi de probabilité correspodate est ue loi biomiale de paramètres et p : Variable aléatoire X = ombre de bits erroés Les valeurs possibles pour X sot 0... Probabilité de recevoir u message avec k bits erroés (pour k compris etre 0 et ) : P(X = k) = ( ) k p k (1 p) k où ( ) k =! k!( k)! sot les coefficiets biomiaux Calcul des coefficiets biomiaux la factorielle :! = ( 1) ( 2) et 0! = 1 par covetio ( ) k =! k!( k)! ( ) 0 =! 0!( 0)! = 1 ( ) 1 =! 1!( 1)! = ( ) 2 =! 2!( 2)! = ( 1) 2 etc. Exemple Supposos qu o utilise u code par répétitio avec u caal de trasmissio das lequel u bit sur cet est modifié (das la réalité, ce serait u caal de très mauvaise qualité). Probabilité de chaque situatio Probabilité de recevoir u message avec k bits erroés P(X = k) = ( 3) k 0, 01 k (0, 99) 3 k Probabilité que le message reçu e comporte pas d erreur P(X = 0) = 0, , 030% Probabilité que le message reçu comporte ue erreur P(X = 1) = 3 0, 01 0, , 940% Probabilité que le message reçu comporte deux erreurs P(X = 2) = , , 99 0, 030% Probabilité que le message reçu comporte trois erreurs P(X = 3) 0, 0001% Message sas erreur détectée O calcule le taux de messages erroés détectés Probabilité que le message reçu comporte ue ou des erreurs 1 P(X = 0) 2, 97010% Probabilité qu u message erroé soit détecté P(X = 1) + P(X = 2) 2, 97000% Taux des messages erroés détectés Proba erreurs détectées Proba erreurs 99, 997% Message reçu recou erroé puis corrigé O calcule le taux de messages recous erroés bie corrigés Probabilité qu u message soit erroé et détecté P(X = 1) + P(X = 2) 2, 97% Probabilité qu u message soit erroé et bie corrigé P(X = 1) 2, 94% Taux de messages recous erroés bie corrigés Proba erreurs bie corrigées Proba erreurs détectées 99%

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