Chapitre : Fonctions convexes

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1 Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y Cette inégalité est appelée inégalité de convexité Elle signifie que toute corde de C f est situé au dessus de l arc de C f soutenant la corde On dit que f est une fonction concave si f est convexe, ie avec les mêmes notations, si λf(x + (1 λf(y f(λx + (1 λy Exemples La valeur absolue et la fonction carrée sont convexes La fonction racine carrée est concave Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves Par récurrence sur le nombre de points n N\{0, 1}, on montre une généralisation de l inégalité de convexité Théorème 1 (Formule de Jensen Soit f : I R convexe Pour (x i 1in I n et (λ i 1in R n + avec n λ i 1, on a ( f λ i x i λ i f(x i Démonstration Pour n 2, c est l inégalité de convexité Supposons que l inégalité est vraie pour n N\{0, 1} points Soient (x i 1in+1 I n+1 et (λ i 1in+1 R n+1 λ i 1 Si + avec n+1 λ i 0, alors λ i 0 pour 0 i n et l inégalité avec n + 1 points est immédiate Supposons maintenant que λ n λ i 0 et notons x λ i x i λ On remarque que x est un barycentre à poids positifs des x i Comme I est un intervalle, x I De plus λ + λ n+1 1 D après la définition des fonctions convexes, f ( n+1 λ i x i f(λx + λ n+1 x n+1 λf(x + λ n+1 f(x n+1 1

2 Fonctions convexes 2 Pour 0 i n, posons λ i λ i λ Alors n récurrence, f(x λ i 1 et x n λ ix i, d où d après l hypothèse de λ if(x i λ i f(x i λ En combinant les deux inégalités, le résultat est vrai avec n + 1 points Exemples 1 Si f est concave, alors avec les mêmes notations, ( n λ i f(x i f λ i x i 2 Pour tout (x 1,, x n R n, (x x n 2 n(x x 2 n 3 Pour tout (x 1,, x n R n, x x n x x n II Caractérisations a Croissance des pentes des cordes Théorème 2 Soit f : I R une fonction continue f est convexe si, et seulement si, pour tout x 0 dans I, la fonction x f(x f(x 0 est croissante sur I\{x 0 } On remarque que le nombre f(x f(x 0 est la pente de la corde de C f reliant les points d abscisse x 0, qui est fixe, et x, qui varie Démonstration Supposons que f est convexe Il faut démontrer que pour tout (a, b, c I 3 avec b c, b a et c a, f(b f(a f(c f(a b a Il y a trois situations : a < b c, b c < a et b < a < c 1 Si a < b c, alors il existe λ [0, 1[ tel que b λa+(1 λc D après l inégalité de convexité, Or b a (1 λ( avec 0, donc Comme b a > 0, f(b λf(a + (1 λf(c f(b f(a (1 λ(f(c f(a f(b f(a b a (f(c f(a f(b f(a b a f(c f(a 2 Si b c < a, alors il existe λ ]0, 1] tel que c λb + (1 λa De la même manière, f(c f(a λ(f(b f(c avec λ(b a Après avoir remplacer λ, on divise par qui est strictement négatif L inégalité change de sens et on obtient l inégalité attendue

3 Fonctions convexes 3 3 Si b < a < c, alors d après le 1 er cas, f(b f(a b a f(a f(b a b f(c f(b c b Puis d après le 2-ème cas, f(c f(b c b f(b f(c b c f(a f(c a c f(c f(a, d où l inégalité attendue Réciproquement supposons que les pentes d extrémité fixe forment une fonction croissante Soit (x, y I 2 Comme l inégalité de convexité est toujours vraie pour λ 0 et λ 1, prenons λ ]0, 1[ Posons x λx + (1 λy Supposons sans restriction que x < y Alors x < y et d après l hypothèse de croissance, f(x f(x x x f(y f(x y x f(x f(x + x x (f(y f(x y x or x x (1 λ(y x, d où f(x f(x + (1 λ(f(y f(x λf(x + (1 λf(y ie f est convexe Corollaire 21 Soit f : I R une fonction continue f est concave si, et seulement si, pour tout x 0 dans I, la fonction x f(x f(x 0 est décroissante sur I\{x 0 } Exemple Les fonctions à la fois convexe et concave sont exactement les fonctions affines b Fonctions convexes dérivables Théorème 3 Soit f : I R dérivable f est convexe si, et seulement si, f est croissante sur I Démonstration Si f est convexe, soit (x, y I 2 avec x < y et soit z ]x, y[ Alors d après la croissance des pentes, f(x f(z f(y f(z x z y z Les deux termes ont des limites lorsque z tend vers y, donc en passant à la limite, f(x f(y x y f (y De la même façon en faisant tendre z vers x, f (x f(y f(x y x f est croissante f(x f(y, d où f (x f (y et x y Réciproquement si f est croissante, soient M 1 (x 1, f(x 1 et M 2 (x 2, f(x 2 deux points distincts de C f avec x 1 < x 2 Montrons que la corde [M 1, M 2 ] est située au dessus de l arc de C f reliant les deux points Soit y mx + p une équation de cette corde Posons g(t f(t (mt + p Il faut montrer que g est négative sur [x 1, x 2 ] Comme la courbe et la corde se coupent en M 1 et M 2, on a g(x 1 g(x 2 0

4 Fonctions convexes 4 La pente de la corde est m f(x 2 f(x 1 x 2 x 1 f est continue et dérivable sur [x 1, x 2 ], donc d après le théorème des accroissements finis, il existe c ]x 1, x 2 [ tel que m f (c De plus g est dérivable sur I avec g (t f (t m f (t f (c Puisque f est croissante, t x 1 c x 2 g (t g Par conséquent, g est négative et f est convexe Corollaire 31 Soit f : I R dérivable f est concave si, et seulement si, f est décroissante sur I Théorème 4 Soit f : I R deux fois dérivable f est convexe si, et seulement si, f 0 Corollaire 41 Soit f : I R deux fois dérivable f est concave si, et seulement si, f 0 Exemples 1 exp et ch sont convexes sur R 2 sh est convexe sur R + et concave sur R 3 x x α est convexe sur R + si, et seulement si, α ], 0] [1, + [ et concave si, et seulement si, α [0, 1] 4 ln est concave sur R + 5 Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique : pour (x 1,, x n R n +, n x1 x n x x n n Démonstration On pose A x 1+ +x n et G n x n 1 x n ln est concave, donc d après l inégalité de Jensen appliquée à la famille ((x i, 1 n 1in, ( 1 ln G n ln x 1 i ln n x i ln A Comme la fonction ln est croissante, on en déduit que G A c Positionnement des tangentes Théorème 5 Soit f : I R convexe et dérivable Alors C f est au dessus de ses tangentes, ie (x, x 0 I 2, f(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0 L inégalité est stricte pour x x 0 si f est strictement croissante Démonstration Soient x 0 I et h(x f(x (f(x 0 + f (x 0 (x x 0 Par somme, h est dérivable sur I et h (x f (x f (x 0 Puisque f est croissante sur I, on déduit : x x 0 h (x 0 + d où h 0 et f est au dessus de la tangente en x 0 h 0

5 Fonctions convexes 5 Corollaire 51 Soit f : I R concave et dérivable Alors C f est en dessous de ses tangentes, ie (x, x 0 I 2, f(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0 L inégalité est stricte pour x x 0 si f est strictement décroissante Exemples 1 x R, e x 1 + x 2 x R +, ln x x 1 3 Soit f :]a, + [ R convexe et dérivable sur ]a, + [ On suppose qu il existe x 0 ]a, + [ tel que f (x 0 > 0 Nécessairement, f(x + lim x + Définition 2 Soit f : I R deux fois dérivable En un point x 0 I où f change de signe, la courbe change de concavité Dans ce cas, on dit que f admet un point d inflexion en x 0 De plus, la courbe traverse la tangente en ce point Exemples Les fonctions x 3, sh, arctan en 0

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