Cours. 1 ) Fonction affine Déf. Fonctions affines, polynômes. I FONCTIONS AFFINES Fonctions affines par morceaux. x x

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1 Cours FONCTIONS USUELLES Fonctions affines, polynômes F1 I FONCTIONS AFFINES Fonctions affines par morceaux 1 ) Fonction affine a et b sont deux réels donnés. La fonction f définie sur R par f (x) = ax + b est appelée La représentation graphique d une telle fonction est Le réel a est Le réel b est Cas particuliers : Si b = 0, la fonction est dite Si a = 0, la fonction est dite Droite passant par l origine Droite parallèle a l axe des abscisses Proportionnalité des accroissements : Une fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts x 1 et x 2, on a : f ( x2 ) f ( x1 ) x x 2 1 = a Ce qui revient à dire que l'accroissement y de l'image est proportionnel à l'accroissement x de la variable et que le coefficient de proportionnalité est a. Dérivabilité : Une fonction affine est dérivable sur R et f (x) = Cours BTS - F1 - Page 1 sur 10

2 Sens de variation d une fonction affine : Soit f une fonction affine définie par f ( x ) = a x + b Si a < 0 alors f est décroissante Si a > 0 alors f est croissante Si a = 0 alors f est constante Exemple : Représenter la fonction f définie par f (x) = 3 x + 2 Signe d une fonction affine : Cas où a > 0 : Cas où a < 0 : x b + a x b + a Signe de a x+b 0 + Signe de a x+b + 0 Exemple : Déterminer le signe des fonctions f et g définies par f (x) = 3 x + 2 et g(x) = 2 x 5. Cours BTS - F1 - Page 2 sur 10

3 2 ) Fonction en escalier Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles Exemple : Représenter la fonction f définie par = 1 si 3 x < 1 = 1 si 1< x < 2 f (2) = 1 = 2 si 2 < x 3 3 ) Fonction affine par morceaux Une fonction affine par morceaux est telle que, sur chaque intervalle, f (x) est de la forme f (x) = a x + b Exemple 1 : Représenter la fonction f définie par : = x + 1 sur [ 2;0[ = 2x + 1 sur [0;1[ = 1 sur [1;2] Exemple 2 : Impôt sur le revenu Cours BTS - F1 - Page 3 sur 10

4 3 ) Des fonctions puissances = x α Exemples : Ex 1 : 2 = x fonction carré Ex 2 Ex 2 : = x = fonction inverse x 1 1 Ex 3 : 3 = x fonction cube Ex 4 Ex 4 : 1 2 = x = x fonction racine carrée Cours BTS - F1 - Page 4 sur 10

5 II FONCTIONS POLYNOMES DE DEGRE 2 a, b et c sont trois réels donnés, avec a non nul. La fonction f définie sur R par f (x) = a x² + b x + c est appelée fonction polynôme du second degré. La représentation graphique d une telle fonction est : Vocabulaire : a x² + b x + c est appelé trinôme. Cas particulier : La fonction carrée = x 2 a = b = c = Exemples : - La fonction f définie par f (x) = 4 x² 3 x + 2. ( forme développée ) a = b = c = - La fonction g définie par g (x) = ( 3 x 1 ) ( 2 x + 3 ). ( forme factorisée ) a = b = c = - La fonction h définie par h (x) = 4 ( x + 1 ) ² 9. ( forme canonique ) a = b = c = Cours BTS - F1 - Page 5 sur 10

6 Dérivabilité : Une fonction polynôme du second degré est dérivable sur R et f (x) = Sens de variation Cas où a > 0 : Cas où a < 0 : x b + 2a x b + 2a f f Exemple : Dresser le tableau de variation de la fonction k définie par k (x) = 2 x² 12 x + 1. Cours BTS - F1 - Page 6 sur 10

7 III EQUATIONS 1 ) Equations du 1 er degré On appelle équation du premier degré une équation du type : a x + b = 0 où a et b sont deux réels donnés, avec a non nul. Exemple : Résoudre les équations : 3 x 1 = 0 2 x + 3 = 4 x ) Equations du 2e degré On appelle équation du second degré une équation du type : a x² + b x + c = 0 où a, b et c sont trois réels donnés, avec a non nul. Vocabulaire : Les solutions sont aussi appelées racines du trinôme a x² + b x + c. Résolution de Résolution de a x² + b x + c = 0 : On calcule le discriminant = b² - 4 a c. b 1 cas : > 0 il y a deux solutions x 1 = 2a 2 cas : = 0 il y a une solution x 0 = b 2a. et x 2 = b + 2a. 3 cas : < 0 il n' y a pas de solution. Cours BTS - F1 - Page 7 sur 10

8 Exemple 1 : Résoudre les équations : 4 x² + 3 x 1 = 0 x² 2 x + 3 = 0 Exemple 2 : Résoudre les équations : 4 x² 3 x + 2 = 0 ( 3 x 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0 4 ( x + 1 ) ² 9 = 0 Factorisation de de a x² + b x + c : 1 cas : > 0 : a x² + b x + c = a ( x x 1 ) ( x x 2 ) 2 cas : = 0 : a x² + b x + c = a ( x x 0 ) ² 3 cas : > 0 : pas de factorisation dans R. Exemple : Déterminer la factorisation de f (x) = 2 x² + 5 x 3. Cours BTS - F1 - Page 8 sur 10

9 Signe de igne de a x² + b x + c : 1 cas : > 0 - supposons x 1 < x 2 x - x 1 x 2 + a x ² + b x + c signe de a signe de a signe de a a > 0 a < 0 2 cas : = 0 x - x 0 + a x ² + b x + c signe de a signe de a a > 0 a < 0 3 cas : < 0 x - + a x ² + b x + c signe de a a > 0 a < 0 Exemple : Déterminer le signe de f (x) = 2 x² + 5 x 3. Cours BTS - F1 - Page 9 sur 10

10 IV CALCULATRICE Exemple : Déterminer un tableau de valeurs de f (x) = 4 x² 3 x + 2. x -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 f (x) TI CASIO 1. On définit la fonction dans le menu f(x) : Y1 = 4 X² 3X On définit les valeurs du tableau dans le menu déf table : DébTable = 2 (puisque le tableau débute à la valeur 2) PasTable = 0. 5 (puisque dans le tableau on augmente «de 0.5 en 0.5») 3. On va consulter le tableau de valeurs dans le menu table. 1. On définit la fonction dans le menu Table : Y1 = -4 X² - 3X On définit les valeurs du tableau en utilisant SET ( touche F5 ) : Start : 2 (puisque le tableau débute à la valeur 2) End : 1 Step : TABL ( touche F5 ) TI PROGRAM : DEGRE2 Casio PROGRAM : DEGRE2 Prompt A, B, C EffEcr A? A B 4A*C D B? B Disp "DELTA",D C? C If D>0 Then DELTA = Disp "2 SOLUTIONS:" B²-4AC D (-B (D))/(2A) U D (-B + (D))/(2A) V If D<0 Disp U Frac Disp V Frac Then PAS DE SOLUTION Else Else If D=0 If D=0 Then 1 SOLUTION Then X0= : -B (2A) Disp "1 SOLUTION:" Else 2 SOLUTIONS Disp -B/(2A) Frac Else X1= : (-B- D ) (2A) Disp "PAS DE SOLUTION" X2= : (-B+ D ) (2A) End Tests Tests : x² + x 2 = 0 on trouve 2 solutions : 1 et -2 2 x² 4 x +2 = 0 on trouve 1 solution : 1 3 x² + x + 2 = 0 pas de solution. Cours BTS - F1 - Page 10 sur 10