Pilotage d'actionneurs Incrémentaux Couplés par Auto-Apprentissage

Transcription

1 SETIT th Internatonal Conference: Scences of Electronc, Technologes of Informaton and Telecommuncatons March 22-26, 2009 TUNISIA Plotage d'actonneurs Incrémentaux Couplés par Auto-Apprentssage Hatem TLIJANI * et Mohamed BENREJEB ** * Insttut Supéreur des Scences Applquées et Technologe de Gafsa, Gafsa Tunse tlha74@yahoo.fr **Unté de Recherche LARA Automatque Ecole Natonale d Ingéneurs de Tuns, BP.37, 1002 Tuns - Le Belvédère, Tunse mohamed.benrejeb@ent.rnu.tn Résumé: Dans les systèmes multaxe a coordnaton de mouvements, le postonnement avec précson pour décrre des trajectores et des profls géométrques smples et complexes est de plus en plus recherché dans pluseurs applcatons ndustrelles. Pour rédure l'erreur de suv de trajectore ou pour compenser les perturbatons au nveau de ces systèmes à fonctonnement répéttf, une approche de commande basée sur l ntégraton de contrôleur à auto, est proposée. L effcacté de cette approche a été observée sur un système cartésen de traçage dans le plan (X,) dont le modèle a été développé sur Smuln de Matlab. Les deux axes du système étudé sont plotés par deux moteurs pas à pas couplés dont la synchronsaton de fonctonnement est obtenue par nterpolaton lnéare, en applquant l algorthme de Bresenham. Les nterpolatons réalsées sur le traçage de formes géométrques smples le cas d un cercle par exemple, permettant d'obtenr une excellente qualté de profls. Mots clés: Multaxes, auto-, moteur pas à pas, algorthme de Bresenham. INTRODUCTION Les los et les approches de contrôle et de commande des systèmes multaxes sont ntmement lées à la complexté de ces systèmes et des actonneurs utlsés, qu peuvent varer lentement dans le temps et qu comportent ben souvent des non lnéartés. Pour ce type de système, l'utlsaton d'un contrôleur à auto- Iteratve Learnng Control (ILC) permet d'amélorer consdérablement leur nveau de performances. Il parvent à compenser effcacement l'erreur de poston, de suv de trajectore et les effets des perturbatons répéttves. Le traval présenté dans ce paper consste en une synthèse des concepts et des méthodes relatves à l'auto- applqué à un système à deux axes, motorsé par deux moteurs pas à pas bpolares à amant permanent. Une analyse comparatve approfonde permet de présenter l améloraton apportée par l auto- sur le suv de trajectore et l erreur de postonnement. L'effcacté de ce contrôleur est ensute confrmée par smulaton sur un système électromécanque à deux axes. Lorsque le fonctonnement d'un système nécesste d'être améloré, la soluton, généralement adoptée, passe par la mse en place d'une boucle de contre-réacton et du contrôleur assocé, garantssant la stablté du système en boucle fermée et satsfasant un ensemble de caractérstques concernant la réponse transtore. La méthode classque condut généralement au chox d'un correcteur de type PID. Une autre technque pouvant apporter des améloratons est basée sur l'auto. En effet, ce type de correcteur ne modfe pas la dynamque du système, et son acton se lmte à l'ajout d'une antcpaton au sgnal de commande applqué au processus. La concepton d'un contrôleur à auto- ne requert que peu de connassances sur le système. Par combnason en temps réel ou hors lgne des sgnaux ssus des cycles précédents, l njecte drectement la lo de commande optmale à l entrée du processus. Le contrôleur à auto explote les nformatons ssues des exécutons précédentes pour affner le profl de la future lo de commande. De plus, les algorthmes d un contrôleur à auto- nécesstent que peu d'nformatons sur le système ploté [AMA 02]. 1. Correcteur a auto- ILC L auto- est un antcpateur smple qu annule l'erreur systématque de poursute et qu amélore la réponse transtore. Son objectf est de fare en sorte que le système sut une trajectore avec une précson acceptable. Dans le même temps, l actualse l'antcpaton destnée au cycle suvant à partr de l'écart résduel constaté durant le cycle courant. Il apprend en temps réel la sorte optmale - 1 -

2 pour une trajectore de sorte partculère. Ce type de contrôleur d' nécesste que la trajectore sot répéttve avec un fonctonnement cyclque du système. Les los d' les plus smples ne font ntervenr que la lo de commande et l'erreur de trajectore ssue de l'tératon précédente sous la forme d'une combnason lnéare. Un schéma de prncpe de ce type de correcteur est donné par la fgure (1), ILC étant le correcteur, et U respectvement le vecteur de sorte et de commande à l nstant T, d la sorte désrée, T étant la pérode d échantllonnage. Fgure 1. Prncpe du contrôleur à auto Archtecture nterne du correcteur à auto. Un correcteur à auto- peut comporter essentellement quatre blocs comme l est ndqué dans la fgure (2) ; ces blocs sont : -le gan d' λ qu agt sur la nervosté de la réponse et sur l'ampltude de l'erreur fnale, -le fltre de robustesse Q (z) qu est un fltre passe bas, nécessare à la convergence de l'auto- et nflue sur la vtesse de convergence, -les lgnes à retard T1 et T2 (ou mémore crculante), qu retardent la sorte de la composante apprse pour la rénjecter comme antcpaton dans la lo de commande du processus au cycle suvant et qu agssent sur les ampltudes fnales de l'erreur et de la sorte [NOR 98]. λ U d Fgure 2. Archtecture nterne du correcteur à auto La composante apprse évolue vers V ( ) 1 t à chaque nouvelle tératon T, à partr des sgnaux avor d'antcpaton ( ) Système V t et d erreur E ( t ).Après transté dans la lgne à retard, elle devent dsponble au cycle suvant pour synthétser la lo de commande du processusu ( ) 1 t. L' est donc permanent et défn par les équatons récurrentes (1) et (2). Apprentssage : V = 1 Q( V λge ) (1) Commande : U = GE V (2) ILC U 1 Q(s) e -T 1 S U -1 e -T 2 S c E Correcteur Fgure 3. Structure d un système doté d un correcteur à auto Approche théorque de l auto L ntégraton du module d avec ses dfférents blocs dans le processus en boucle fermé de la fgure (3) permet d'établr les relatons développées c dessous, lesquels mènent fnalement à la relaton de récurrence recherchée (6) [GER 04]. U = GE V (3) E = PU (4) c E = P( GE V ) c (1 PG) E = c PV V = Q( GE V ) λ 1 1 PG E c PQ λge 1 V 1 (1 ) = ( ) (5) U = GE V E = PU 1 c 1 V = P ( P G) E c 1 (1 PG) E = G(s) Auto ILC 1 1 (1 ) c [ (1 λ)] PQP PQ P G E 1 L'erreur s'annule lorsque le nombre d'tératons devent grand, pour peu que les condtons de convergence soent respectées. Mas dans un premer temps, l'opérateur Q(s) sera consttué par un fltre basque de type passe-bas premer ordre Intérêt d'un correcteur PI L'auto se comporte en ntégrateur dans le domane de répétton. La prncpale rason est que l'acton ntégrale de l'auto- n'ntervent qu'un court nstant à chaque pérode de répétton. La constante de temps d'ntégraton est démultplée et l'auto- est ncapable d'annuler le décalage statque entre la trajectore désrée et la trajectore obtenue. En concluson, un correcteur PI est tout à fat justfé pour mantenr la stablté du système ; Il compense les dérves statques en plus les perturbatons. 2. Génératon de los de mouvement Le prncpe de la génératon des los de mouvement applquées aux axes, pour obtenr le tracé de fgures géométrques et smples, nécesste Système P(s) (6) - 2 -

3 d ntrodure des gans de sortes permettant d adapter les sgnaux aux spécfcatons des axes et à l'aspect géométrque souhaté. Les los de mouvement dovent être adouces au maxmum pour évter la saturaton des amplfcateurs et la sollctaton excessve des actonneurs, pour rédure les à-coups nflgés à la mécanque et les vbratons qu en résultent. Ces problèmes sont quasment évtés s les accélératons restent contnues. Cela mplque de générer des consgnes de vtesse du second degré ou des consgnes de poston du trosème degré [HTL 06], [KEN 83]. 3. Applcaton au plotage d actonneurs Incrémentaux La coordnaton de mouvements au nveau d un système multaxes permet à un organe termnal de se postonner et de suvre déférents profls de trajectores smples ou complexes applqués en consgne. Au nveau de ces systèmes, le postonnement avec précson est ntmement lé aux los de commande développées et a la nature des actonneurs utlsés. L étude présentée, dans cette parte, porte sur le développement d un approche de commande utlsant la technque d auto- pour la commande d un système a deux axes (axe longtudnale X et axe transversal ). La motorsaton de deux axes est assuré par deux moteurs pas à pas bpolares a amant permanent dont le modèle dynamque est défn par les équatons (7),(8) et(9), [HTL 05], [SIL 90]. dα Uα = Rα L0 ωkϕ sn( pθ m) (7) dt dβ U β = Rβ L0 ωkϕ cos( pθ m) (8) dt C = K [ sn( pθ ) cos( pθ )] (9) r ϕ α m β m 2 dθm d θm Dr J C ( ) 2 f sgn ω dt dt Le module d'auto ntégré dans la parte de commande en boucle, fermée de l axe longtudnal X ploté par l actonneur ncrémental dont le modèle est défn par les tros équatons précédentes, est présenté dans la fgure (4). λ U 1 Q(s) e -T 1 S c E Correcteur G(s) e -T 2 S Moteur pas à pas P(s) Fgure 4. Structure de l axe X avec ploté par moteur pas à pas 4. Algorthme de commande et son applcaton au traçage d un cercle Le traçage de prmtves 2D (segments,carrée, cercle,..) est une des fonctonnaltés de base du graphsme 2D qu est utlsée par la plupart des applcatons des représentatons géométrques drotes et rrégulères. Le problème qu se pose est la représentaton dscrète des prmtves 2D. Les solutons pour résoudre le problème du tracé de prmtves utlsent les méthodes brutes, les méthodes de l analyseur dfférentel numérque et les méthodes ncrémentales. L'algorthme de Bresenham est un grand classque pour résoudre ce problème. Il peut être utlsé à la génératon physque des pas des deux moteurs [JOS 94]. Dans l'exemple c-dessous, l'axe X reçot la fréquence de base correspondant à la vtesse de tracé souhatée selon X. A chaque mpulson en X qu correspond a une avance de pas sur l'axe correspondant, l'algorthme décde s on dot ou non envoyer une mpulson (un pas) sur l'axe. L'algorthme de Bresenham est asément utlsable pour générer la fréquence nterpolée, représentée sur l'axe comme l est montré dans la fgure (5). Pas sur l axe X Fgure 5. Prncpe d nterpolaton lnéare d algorthme de Bresenham pour moteurs pas à pas Les transformatons de coordonnées, éventuellement nécessares, se tradusent par des opératons smples. Un nombre de pas négatfs revent à ploter l'axe correspondant en sens nverse. La fgure c-dessus montre l enchaînement des séquences quadratques d exctaton des deux actonneurs. La génératon de ces exctatons est cadencée par l algorthme de Bresenham pour avor une nterpolaton lnéare permettant ans le traçage d un segment de drote. Pour montrer son effcacté dans cette parte l algorthme de Bresenham, est applqué pour le traçage d un cercle. Les dfférentes combnasons des cordonnées (x,y) pour les 8 octant du cercle sont llustrés dans la fgure (6).Les procédures nécessares pour ce traçage peuvent être résumées en quatre étapes, [BRE 77], [BRE 65]. X Pas sur l axe - 3 -

4 (-y,x) (-x,y) (x,y) (y,x) proportonnel ntégral à ant-saturaton, et un compensateur à auto- avec le bloc comportant le code de l algorthme de Bresenham. L archtecture nterne de l approche du plotage proposé pour la synchronsaton des deux actonneurs ncrémentaux couplés a été développée avec Matlab est Smuln. (-y,-x) (y,-x) X Auto longtudnal Fgure 6. Traçage de cercle par l algorthme de Bresenham Etape 1. Chosr le pont de départ du traçage. Etape 2. Calcul du paramètre 1 ( x, y ) = (0, R) d avec d1 = 3 2R S d 1 < 0, le moteur suvant l axe X est en marche et le déplacement se fat suvant l axe longtudnal X, et le deuxème moteur étant au repos. Dans le cas ou d 1 > 0, les deux moteurs sont en marche et le déplacement s effectue suvant l axe longtudnal X et transversal. Etape 3. Le moteur suvant l axe X étant toujours en marche, l reste a détermner le fonctonnement du moteur suvant l axe. Pour se fare, l sufft de calculer a chaque pas du moteur X la nouvelle valeur du paramètre d, ensute, on fat un test sur son sgne comme l ndque les relatons (10) et (11) suvantes. d < alors d 1 = d 4x 1 6 (10) d = d 4( x y ) 10 (11) S 0 (-x,-y) (x,-y) Snon Par la sute, s, 1 0 d > alors seulement le moteur suvant X en marche et le déplacement se fat suvant l axe longtudnal ; et dans le cas contrare, les deux moteurs étant en marche, le déplacement se fat suvant l axe longtudnal et transversal. Etape 4. On répète les procédures de l étape 3 jusqu a l égalté entre les coordonnées X et. L algorthme cdessus permet le traçage d un seul octant du cercle. Pour le reste des octants, l sufft de changer X et par les coordonnées ndquées sur la fgure (5). 5. Applcaton au traçage d un cercle Le modèle global est présenté dans la fgure (7). Il met en évdence le générateur de consgnes ou los des mouvements, le processus contrôlé et les deux boucles de régulaton comportant chacune un correcteur Générateur de mouvement Fgure 7. Schéma blocs de smulaton du système a deux axes, ploté par moteurs pas à pas Les résultats de la smulaton sont donnés dans les tros fgures (8), (9) et (10). La premère fgure donne la forme du cercle obtenue sans. La deuxème présente l effet de l antcpaton du module d qu a perms d annuler l erreur dès les premers cycles de fonctonnement. La trosème montre clarement l améloraton apportée par l sur le lssage de la forme crculare. Reste à sgnaler que la qualté du traçage et des profls développés est ntmement lée au réglage du correcteur d et la non lnéarté des actonneurs utlsés. 6. Smulaton PI avec ant-saturaton PI avec ant-saturaton Algorthme de Bresenham Auto transversal Moteur pas à pas axe X Traçage Moteur pas à pas axe Au-delà de cette preuve mathématque, une smulaton devrat amener un éclarage supplémentare sur l effet de l approche d auto pour le plotage de système multaxes motorsé par deux moteurs pas a pas bpolare a amant permanent. Le correcteur à auto utlsé est celu de la fgure (4) ses paramètres sont choss de sorte que la vtesse de convergence sot maxmale (λ = 2). Le modèle classque non représenté utlse un correcteur PI dans la chaîne drecte dont la foncton de transfert est : C(s) = 11/(T.s).Les chronogrammes de la fgure (9) correspondent aux ondes relevées sur le système utlsant l auto. La lo de consgne applquée est une onde snusoïdale de pérode T = 5s et d'ampltude 14V. En plus du sgnal d'erreur e (t) et - 4 -

5 du sgnal de sorte y (t), la composante d'antcpaton v (t) ssue du module d'auto fgure parm les courbes. La durée d'observaton s'étend sur dx cycles de fonctonnement: de 0 a 9. La dfférence apparaît mmédatement au nveau des sgnaux d'erreur e (t), amplfées dx fos pour faclter l'observaton. Au premer cycle de fonctonnement (0 t 5s) du système à auto, la composante apprse v (t) est nulle. Cela mplque que l'ampltude e (t) est dentque à celle qu pourrat être relevée sur un système corrgé par un smple correcteur proportonnel,l'ampltude relevée est 8 (80 %). Au deuxème cycle de fonctonnement ( = 1, (5 t 10s), la composante v 1 (t) contrbue à la lo de commande et joue le rôle d'une antcpaton. Son effet s'observe mmédatement sur le sgnal de sorte y 1 (t) et sur le sgnal d'erreur e 1 (t) dont l'ampltude passe de 70% à 45%. Aux tératons suvantes (t > 10s), l'ampltude tombe successvement à 30 %, 10 %, pour passer à un nveau nféreur à 5 % ( = 4). La fgure (10) montre ben l effet de l antcpaton de l auto sur l améloraton du traçage et sur le lssage du profle du cercle par rapport a celle donner par la fgure (8). Fgure 9. Effet d antcpaton de l Sans auto 7. Concluson Les smulatons réalsées pour la valdaton de l approche de commande d un système à deux axes, motorsé par deux moteurs pas à pas asservs en poston, ont perms, d une part, de percevor les améloratons apportées par l'auto. De manère générale, celu-c apporte un fonctonnement très stable pour peu que certans réglages ne soent pas exagérés. D autre part, l effcacté de l algorthme de Bresenham pour le plotage des moteurs pas à pas par nterpolaton lnéare pour la coordnaton de mouvement a été explotée avec succès. Il en résulte que le pont le plus mportant est le réglage précs de la pérode d. Avec auto Fgure 10. Cercle obtenu avec auto- REFERENCES [AMA 02] N.Amann, D.H.Owens, and E.Rogers. 2D systems theory appled to learnng control system, In Proc. of the 33rd Conf. On Decson and Control, (Lae Bruena, Florda), 1994, pp [BEN 02] Benrejeb M, A. El Abed-Abdelrm, Neurofuzzy model of handwrtng process, ICSDS, Pén, pp , [BRE 65] Bresenham J, Algorthm for Computer Control of a Dgtal Plotter, IBM Systems Journal, Vol. 4, N 1, 1965, pp [BRE 77] Jac Bresenham, A Lnear Algorthm for Incremental Dsplay of Crcular Arcs, Communcatons of the ACM, Vol. 20, N 2, pp February Fgure 8. Cercle obtenu sans auto- [GER 04] Gerardn F. thèse de doctorat Formalsaton et développement de méthodes d pour la commande des machnes et des robots, Jun

6 [HTL 05] H Tljan, B. Ben Salah, M. Benrejeb, On coordnaton of multaxs system movements usng steppng actuators, Thrd IEEE Internatonal Conference on Systems, Sgnals and Devces, Sousse, [HTL 06] H.Tljan, M. Benrejeb, B.Ben Salah, Approches de commande pour le contournage des prmtves et des trajectores complexes utlsant deux moteurs pas à pas couplés,quatrème Conférence Internatonale IEEE, JTEA,Hammamet [JOS 94] Josserand M.R, Commande de moteur pas à pas par nterpolaton lnéare, Maatel Electronque-N 38, Ma [KEN 83] Kenneth and Melvn Goldberg, X- Interpolaton Algorthms, Robotcs Age, 5(3), May [MAH 00] B.Mahawan and ZH. Luo, Repettve control of tracng systems wth tme varyng perodc references, Internatonal Journal of Control, vol. 73, n 1, pp. 1-10, [NOR 98] M.Norrlöf, On analyss and mplementaton of Iteratve Learnng Control, Lnöpng Studes n Scence and Technology, Lcentate Thess n 727, [SIL 90] De Slva C.W, Desgn equaton for tooth dstrbuton of steppng motor, IEEE Transacton on Industral Electroncs, Vol. 37, N 2, pp , Indexe Les paramètres du moteur étudé sont les suvants : Référence : G -2A Nombre de pas par tour: 16 Résstance du stator: 32 ohm Self nductance: 12.2 mh Nombre de pare de pole p: 4 Flux magnétque : 0.03 Vrad/s Moment d`nerte J0: Kg m 2-6 -