Introduction à la Mécanique Quantique

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1 Introduction à la Mécanique Quantique Notes de cours de L3 - Ecole Normale Supérieure de Cachan Jérémy Neveu Etudiant au département de physique de l'ens de Cachan 3 avril 008

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3 Table des matières Introduction 7 1 Le monde quantique 9 Particule matérielle à une dimension, fonction d'onde 11.1 Introduction Le monde classique Le monde quantique Fonction d'onde Origine de l'équation de Schrödinger Principe Conséquences Etats d'énergie/fréquence dénie Quantité de mouvement Etats de p/k déni Paquet d'onde Formulaire "Représentation p" Courant de probabilité Moyennes statistiques Mesures sur le système Moyennes statistiques Inégalité de Heisenberg Particule libre V (x) = Evolution temporelle Particule "localisée" Particule avec saut de potentiel Solution stationnaire Conditions aux limites de φ(x) Marche de potentiel Barrière de potentiel Puits de potentiel

4 4 TABLE DES MATIÈRES.7.1 Cas classique Conditions aux limites Résolution pour le puits inni Etat fondamental Puits de potentiel ni Approche matricielle : systèmes à deux niveaux Approche matricielle Puits inni Notations de Dirac Valeur moyenne Etats de polarisation de la lumière Rappels classiques Etats de polarisation du photon Polariseur Spin d'une particule, dispositif de Stern-Gerlach Mesure d'une composante du moment magnétique Etats d'un spin 1/ Principes généraux de la mécanique quantique Etats d'un système physique Premier principe Bra et ket Grandeurs physiques Principe P Mesure d'une grandeur physique Conséquences Quelques relations utiles Valeur moyenne Commutation des observables Ensemble complet d'observables qui commutent (ECOC) (chapitre tiré du Cohen-Tannoudji) Inégalité de Heisenberg Evolution temporelle L'opérateur hamiltonien Equation de Schrödinger Eléments propres de Ĥ Théorème d'ehrenfest La mesure dans le monde quantique Exemples Mesures successives Mesure conditionnelle Etat conditionnel du système Exemple d'eet physique de l'appareil de mesure

5 TABLE DES MATIÈRES 5 5 Oscillateur harmonique à une dimension Rappel classique Approche fonction d'onde Approche matricielle Hamiltonien Opérateurs â, â, ˆN Eléments propres de ˆN Le moment cinétique Rappel classique Opérateur moment cinétique Dénition Relations de commutation Denition Eléments propres de ˆ J et Ĵz Valeurs de j et m Moment cinétique intrinsèque : spin Expériences Spin 1/ Résonance magnétique Dispositif expérimental Evolution de ˆ S Moment cinétique orbital Valeurs propres de ˆL z, ˆ L Harmoniques sphériques Moment cinétique et rotations Résolution approchée de l'équation de Schrödinger Méthode générale des perturbations stationnaires Niveau non perturbé non dégénéré Energie à l'ordre Vecteur propre à l'ordre Energie à l'ordre Niveau non perturbé dégénéré Méthode des variations Propriétés de l'état fondamental Principe de la méthode Exemple Systèmes à deux particules Produit tensoriel d'espaces de Hilbert Exemple simple Notion générale de produit tensoriel Etat factorisé, état intriqué Fonction de corrélation C AB

6 6 TABLE DES MATIÈRES Théorème de non-clonage Autre exemple de produit tensoriel Deux particules de spin 1/ Position du problème Moment cinétique total Relation entre les bases Etat singulet Vous avez dit corrélations quantiques? Corrélation quantique Corrélation classique Paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen (1935) et inégalités de Bell (1964) 73

7 Introduction Ces notes de cours sont inspirées du cours de L3 "Introduction à la Mécanique Quantique" dispensé par M. Claude Fabre aux élèves de l'ens de Cachan. Le but de ce cours est de fournir les bases de la mécanique quantique aux élèves ne l'ayant encore jamais abordée auparavant. On utilisera les notations suivantes : h = 6, J s : constante de Planck = h = 1, 1 π J s p : quantité de mouvement k : vecteur d'onde m : masse de la particule E : énergie de la particule V : énergie potentielle d'où dérivent les forces s'exerçant sur la particule ω : pulsation de l'onde t : variable de temps x,y,z : variables de position ψ : fonction d'onde quantique de la particule ψ : transformée de Fourier de ψ TF : opérateur transformée de Fourier Ô : opérateur adjoint assosié à Ô i : nombre complexe i = 1 Attention : ce document n'est constitué que de notes de cours, un certain nombre de schémas et de commentaires pouvant aider à la compréhension des phénomènes quantiques n'ont pas été retranscrits ici. 7

8 8 TABLE DES MATIÈRES

9 Chapitre 1 Le monde quantique Ce chapitre d'introduction correspond à la diusion d'un Powerpoint disponible en format pdf à l'adresse suivante : http :// 9

10 10 CHAPITRE 1. LE MONDE QUANTIQUE

11 Chapitre Particule matérielle à une dimension, fonction d'onde.1 Introduction On s'intéresse à une particule dans un champ d'énergie potentielle à une dimension V(x)..1.1 Le monde classique Fig..1 Zone accesible à une particule d'énergie E en mécanique classique dans un potentiel V(x) Pour une particule classique, l'énergie mécanique est une constante du mouvement 11

12 1CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE dans un champ de forces conservatif : E = p + V (x) = constante m Les régions telles que V (x) > E ne sont alors pas accessibles à une particule classique..1. Le monde quantique Fig.. Potentiel quantique Pour une particule quantique, dans un champ de potentiel nanoscopique, il en est diéremment : il n'y a plus de régions interdites comme nous le verrons plus tard.. Fonction d'onde A une particule, on associe une onde : E = ω et p = k..1 Origine de l'équation de Schrödinger Connaissant la correspondance onde/particule par les formules de De Broglie, comment décrire le mouvement d'une particule avec le formalisme des ondes? Pour la lumière, Fresnel avait eu l'idée de travailler (avec succès) avec u( r, t) une quantité ondulatoire qui s'avérait entre E. De même, Erwin Schrödinger tenta d'établir une équation régissant le comportement d'une "onde quantique" avec une fonction d'onde ψ( r, t). Pour une onde

13 .. FONCTION D'ONDE 13 plane : ψ(x, t) = ψ 0 e i(kx ωt) ψ x = ikψ = ip ψ ψ t = ikω = ie ψ D'où : Or pour une particule :.. Principe ψ i x = pψ i ψ t = Eψ E = p p + V (x) Eψ = m m ψ + V (x)ψ i ψ t = m ψ + V (x)ψ x Le mouvement d'une particule dans un espace à une dimension est décrit par une fonction complexe continue ψ(x, t) qui obéit à l'équation de Schrödinger : i ψ t = ψ m x + V (x)ψ Fresnel a remarqué que u correspondait à l'intensité lumineuse. Par analogie, Born a donné la bonne interprétation de ψ : la probabilité de trouver la particule entre x et x+dx est : dp = ψ(x, t) dx ψ(x, t) est appelé amplitude de probabilité...3 Conséquences La seule chose dont on est sûr est que la particule existe et est quelque-part : + dp = + ψ(x, t) dx = 1

14 14CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE ψ est donc une fonction de carré sommable. Ceci est une diérence avec l'optique : aucune contrainte n'est imposé sur u. Ainsi, ψ(x, t) est borné par la normalisation mais pas u(x, t). L'équation de Schrödinger est linéaire : si ψ 1 (exemple : chat vivant) et ψ (exemple : chat mort) sont deux états solutions de l'équation de Schrödinger, alors toute combinaison linéaire aψ 1 + bψ (chat mort et vivant!) est solution. On a donc le principe de superposition pour l'équation de Schrödinger, même si on parle de particules! De plus, ψ(x, t) et ψ(x, t)e iφ décrivent la même situation physique car ces deux fonctions d'onde donnent la même probabilité de présence pour la particule. Pour la lumière, u x 1 u c t = 0 admet des solutions u(x,t) réelles. En revanche, ψ(x, t) est toujours complexe car l'équation de Schrödinger est à coecients complexes...4 Etats d'énergie/fréquence dénie On cherche une solution de la forme : D'après l'équation de Schrödinger : ψ(x, t) = φ(x)e iωt = φ(x)e i E t [ m x On pose Ĥ = m x i ψ t = m Eφ(x)e i E t = m ] + V (x) φ(x) = Eφ(x) ψ + V (x)ψ x φ e i E t + V (x)φ(x)e i E t x + V (x) l'opérateur diérentiel hamiltonien. Alors φ vérie : Ĥφ = Eφ E est donc une valeur propre associée au vecteur propre φ pour l'opérateur Ĥ dans l'espace vectoriel des fonctions. φ est alors un état stationnaire du système : dp = φ(x) = dp (x).3 Quantité de mouvement.3.1 Etats de p/k déni On cherche une solution de la forme : ψ(x, t) = χ(t)e ikx = χ(t)e p x Alors ψ(x, t) = χ(t) + ne dépend plus que du temps et dp = + χ(t)dx diverge... On ne peut donc pas dénir de tels états...

15 .3. QUANTITÉ DE MOUVEMENT Paquet d'onde Soit un paquet d'onde : ψ(x, t) = 1 π + ψ(p, t)e i p x dp ψ(x, t) est donc la transformée de Fourier de ψ(p, t) : ψ(x, t) = 1 + ψ(x, t)e i p x dx π Pour des fonctions ψ(x, t) vériant de bonnes propriétés mathématiques, on peut donc trouver des propriétés sur la quantité de mouvement de la particule grâce à la fonction ψ(p, t)..3.3 Formulaire Formule de Parceval-Plancherel : + ψ 1 (p, t) ψ (p, t)dp = + ψ 1 (x, t) ψ (x, t)dp En particulier : + ψ(p, t) dp = + ψ(x, t) dx = 1 On a donc une condition de normalisation sur ψ(p, t) aussi..3.4 "Représentation p" ψ(p, t) est l'amplitude de probabilité de mesurer la quantité de mouvement de la particule entre p et p+dp..3.5 Courant de probabilité Le courant de probabilité renseigne sur l'évolution de ψ par analogie avec les uides : div j + ρ t = 0

16 16CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE Avec l'équation de Schrödinger, ρ étant l'analogue de ψ : j x = ρ t = ψ ψ ψ ψ t t [ ( ) ( = 1 ψ + V (x) ψ + ψ i m x ( ) = ψ ψ ψ ψ im x x m x + V (x) ) ψ ] D'où j = ψ (ψ im x ) ψ ψ x Pour une OPPH ψ(x, t) = ψ 0 e i(kx ωt), on trouve j = k ψ m 0 = ρ k = ρ p m m en mécanique classique. = ρv comme.4 Moyennes statistiques.4.1 Mesures sur le système Si la mesure est individuelle, on ne sait "rien" sauf si ψ = 0 ou si ψ = 1. Il faut faire une suite de mesures : Fig..3 C'est la répétition de mesures 0/1 qui donne accès à ψ(x) Si on répère N fois la mesure, avec N +, aux uctuations près : i(x) = N ψ(x)

17 .4. MOYENNES STATISTIQUES Moyennes statistiques Position A t donné, la valeur moyenne de la position est : x = + x ψ(x) dx Fig..4 Densité de probabilité gaussienne A t donné, l'écart type est : x = x x = x x Quantité de mouvement A t donné, la valeur moyenne de p est : p = + A t donné, l'écart type est : p ψ(p) dp = p = p p = + p ψ (p) ψ(p)dp p p

18 18CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE Or T F (p ψ(p)) = 1 + p ψ(p, t)e i p x dp π = 1 π i x = i ψ(x) x ( + ) ψ(p, t)e i p x dp D'où p = = = ψ (p)p ψ(p)dp ψ(x) i ψ(x) x dx ψ(x) ˆPx ψ(x)dx avec ˆP x = i De même x l'opérateur "quantité de mouvement selon x". x = + ψ(x) ˆXψ(x)dx avec ˆX = x l'opérateur "position selon x". Généralisation Pour f quelconque : f(x) = g(p) = + + ψ(x) f(x)ψ(x)dx ψ(x) f( i x )ψ(x)dx avec f( i x ) = a n ( ) n n i x n

19 .4. MOYENNES STATISTIQUES Inégalité de Heisenberg Démonstration : + I(λ) = xψ(x) + λ ψ x = + xψ(x) dx + λ + + λ ψ ψ x x dx = x λ + = x λ + λ p 0 Or λ IR, I(λ) 0 dx + λ IR ψ(x) ψ(x) x ψ(x) dx λ + Donc le polynôme I(λ) n'a pas de racines dx + λ ψ ψ x dx + = 4 x p 0 x p 4 ( ψ(x) ψ(x) ) dx x De même avec x = x x et ˆP = ˆP p. On obtient alors l'inégalité d'heisenberg : x p Cette relation est valable pour toutes les fonctions d'ondes ψ(x, t). Si ψ(x) est gaussien, alors on a égalité x p = Si ψ(x) a un unique maximum (ou ou 3), alors on a Si ψ(x) est "compliquée", alors x p = quelques x p "grand" Si on a ψ(x) tel que x est petit, alors p est grand. De même si p petit pour ψ(p), alors x est grand. Cette relation est valable pour les ondes en générale car issue des propriétés de la transformée de Fourier. Il n'y a donc aucun état quantique pour lequel x = 0 et p = 0, donc pas de trajectoire au sens classique du terme. Une particule localisée au repos n'existe pas! Les variables x et p sont appelées variables conjuguées. L'inégalité de Heisenberg n'est cependant pas liée à la perturbation du système par la mesure de x et de p!

20 0CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE.5 Particule libre V (x) = Evolution temporelle D'après l'équation de Schrödinger, comme V (x) = 0, i ψ t = m ψ x On cherche une solution de la forme ψ(x, t) = χ p (t)e i px. Alors : i χ p t = p m χ p(t) χ p (t) = χ p (0)e i χ p est de la forme e iωt d'où la relation de dispersion : p t m ω = p m ω = k m On en déduit la vitesse de phase et la vitesse de groupe : v φ = k m = v g = k m = v p m = v.5. Particule "localisée" La particule part d'une position "connue" : ψ(p, 0) = ψ 0 e (p p 0 ) 4 p e i p 0 x On a alors : ψ(x, t) = 1 e (x π x(t) p 0 t m ) x(t) avec en particulier : x = p 0t m x(t) = 4 p + 4 p m t x(t) est croissant avec t, on a donc étalement du paquet d'onde.

21 .6. PARTICULE AVEC SAUT DE POTENTIEL 1.6 Particule avec saut de potentiel.6.1 Solution stationnaire On recherche une solution stationnaire de la forme ψ(x, t) = φ(x)e i E t. Alors d'après l'équation de Schrödinger : φ (x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) m.6. Conditions aux limites de φ(x) ψ(x, t) est continue donc φ(x) est continue. φ (x) = m (V E)φ(x) Si V-E est borné, alors φ (x) est continue. Si V-E est inni, alors φ (x) n'est pas continue..6.3 Marche de potentiel Fig..5 Marche de potentiel Pour x<0, φ (x) = m Eφ(x) = k φ(x) avec k = D'où φ(x) = αe ikx + βe ikx me Pour x>0, φ (x) = m (V 0 E)φ(x) = K φ(x) avec K = D'où φ(x) = γe Kx + δe Kx m(v 0 E)

22 CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE Or ψ(x) est ni en + donc γ = 0. Avec les conditions aux limites : { α + β = δ car φ continue ik(α β) = δk car φ continue { α + β = δ i k (α β) = α + β K { α + β = δ β(1 i k ) = α( 1 i k ) K K { δ = ik α K ik β = K+ikα K ik Donc on obtient une solution stationnaire : { φ(x) = e ikx K+ik K ik e ikx x 0 φ(x) = ik K ik e Kx x 0 Fig..6 Solution stationnaire pour la marche de potentiel On remarque que contrairement à la mécanique classique, la probabilité de présence en x>0 n'est pas nulle : la particule peut pénétrer dans la zone interdite classiquement.

23 .6. PARTICULE AVEC SAUT DE POTENTIEL Barrière de potentiel Fig..7 Barrière de potentiel Les solutions de la marche de potentiel sont transposables ici, sauf qu'on a 6 inconnues pour 4 équations de continuité... Pour une particule venant de : φ(x) = e ikx + re ikx x < a φ(x) = βe Kx + β e Kx a < x < a φ(x) = te ikx x > a Fig..8 Solution stationnaire pour la barrière de potentiel

24 4CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE Après calcul, on trouve que la probabilité de transmission est : T = t = V 0 4E(V 0 E) sinh (Ka) Il y a donc une certaine probabilité non nulle dépendant de l'énergie de la particule et de la taille de la barrière que la particule franchisse cette barrière..7 Puits de potentiel.7.1 Cas classique Pour une particule classique dans un puits de potentiel, on peut avoir un état lié ou un état de diusion. Pour une onde, dans le puits on peut avoir une onde stationnaire..7. Conditions aux limites Fig..9 Puits de potentiel On cherche une solution stationnaire ψ(x, t) = φ(x)e i E t avec φ et φ continues. Ici on ne s'intéresse qu'au cas où V 0 + (puits inni). Dans ce cas, on montre que φ(x) = 0 en dehors du puits, que φ reste continue mais pas φ..7.3 Résolution pour le puits inni Pour x<0 et x>a, φ(x) = 0 Pour x [0, a], φ (x) = me φ(x)

25 .7. PUITS DE POTENTIEL 5 Posons k = me, alors { φ(a) = 0 = A sin ka + B cos ka φ(x) = A sin kx + B cos kx φ(0) = 0 = B Donc ka = nπ avec n Z : l'énergie est quantiée : E n = π n ma La particule ne peut occuper que des niveaux d'énergie quantiés. Il se forme alors une onde stationnaire dans le puits car avec les formules de De Broglie, on obtient :.7.4 Etat fondamental a = n λ C'est l'état de plus basse énergie pour n=1 : E 1 = π. En mécanique classique, l'état ma de plus basse énergie pour une particule est E=0, de même pour une onde stationnaire. En mécanique quantique, E=0 est interdit : il existe une énergie minimale dite énergie de point zéro. a D'après l'inégalité d'heisenberg, dans le puits inni x a donc p x donc p=0 est interdit. Ainsi, même si p = 0, p = p donc l'énergie cinétique moyenne n'est pas nulle..7.5 Puits de potentiel ni p m 8ma Si V 0 est ni, alors il y a un nombre ni de niveaux d'énergie pour E n < V 0. Si E > V 0, alors E n'est plus quantiée (continuum de niveaux).

26 6CHAPITRE. PARTICULE MATÉRIELLE À UNE DIMENSION, FONCTION D'ONDE

27 Chapitre 3 Approche matricielle : systèmes à deux niveaux 3.1 Approche matricielle Puits inni nπx Les états φ n (x) = sin forment la base de la série de Fourier. Ainsi pour toute a a fonction d'onde ψ(x) entre 0 et a : ψ(x) = n c n φ n (x) On dénit le produit saclaire par : f g f f a 0 a 0 f (x)g(x)dx f(x) dx φ n φ n δ n n ainsi φ n est orthonormée ψ φ n c n Un état quantique est donc une liste de coecients complexes : ψ(x) = c 0. c N avec N niveaux 7

28 8 CHAPITRE 3. APPROCHE MATRICIELLE : SYSTÈMES À DEUX NIVEAUX 3.1. Notations de Dirac φ n (x) s'écrit φ n ("ket") : 0. φ n = 1 n-ième ligne. 0 ψ = c 0. c N = n c n φ n On pose aussi les "bra" ψ = (c 0 c N ) la matrice ligne transconjuguée du ket. Le produit scalaire s'écrit alors : + ψ (x)ψ (x)dx = c nc n = (c 0 c N) c 0. c N = ψ ψ Valeur moyenne x = = + + = c nc n n,n = ψ ˆX ψ x ψ(x) dx xψ (x)ψ(x)dx + φ n(x)xφ n (x)dx avec ˆX la matrice carrée opérateur de coecients X nn = + φ n(x)xφ n (x)dx. On remarque que X nn = X n n donc ˆX est un opérateur autoadjoint ou hermitien : t ˆX = ˆX

29 3.. ETATS DE POLARISATION DE LA LUMIÈRE 9 3. Etats de polarisation de la lumière 3..1 Rappels classiques Soit une onde électromagnétique plane et harmonique se propageant vers les z croissants : E = (λ e x + µ e y )e i(kz ωt) Polarisation rectiligne : (λ, µ) IR : λ = E 0 cos θ, µ = E 0 sin θ Polarisation circulaire gauche : λ = E 0, µ = i E Etats de polarisation du photon A un photon polarisé suivant e x on associe le vecteur d'état e x. De même suivant e y : e y. e x et e y sont des éléments de l'espace vectoriel des états de la lumière. L'état du photon est décrit par : ψ = λ e x + µ e y avec { (λ, µ) C λ + µ = 1 e x et e y forment une base orthonormée (BON). Un photon polarisé à θ = 45 est décrit par : ψ 45 = ( e x + e y ) 3..3 Polariseur Soit un photon polarisé à 45. Ce photon, qui ne peut pas être coupé en deux, a alors "intuitivement" 50% de chances de traverser le polariseur et 50% de chance d'être rééchi. Si le polariseur laisse passer les photons polarisés suivant e y et rééchit ceux polarisés suivant e x, cette distribution de probabilité se retrouve par la mécanique quantique : la probabilité de transmission est e y ψ = 1 la probabilité de réexion est e x ψ = 1 Après être passé par le polariseur, alors à coup sûr : le photon transmis a pour vecteur d'état ψ apres = e x le photon rééchi a pour vecteur d'état ψ apres = e y La mesure transforme l'incertitude quantique en certitude pour l'état "conditionnel", c'est-à-dire une fois le résultat d'une première mesure connu. Si on tourne le polariseur de 45, alors : le photon est transmis à coup sûr si ψ = ψ 45 = ( e x + e y ) le photon est transmis à coup sûr si ψ = ψ 45 = ( e x e y ) Si le photon incident a un vecteur d'état ψ = λ e x + µ e y, alors la probabilité de transmission est : ( ) ( ) ψ 45 ψ = 1 1 λ = 1 µ (λ + µ) = 1 λ + µ

30 30 CHAPITRE 3. APPROCHE MATRICIELLE : SYSTÈMES À DEUX NIVEAUX Ainsi : si ψ = e x, alors ψ 45 ψ = 1 si ψ = e y, alors ψ 45 ψ = 1 si ψ = ψ 45, alors ψ 45 ψ = 1 si ψ = ψ 45, alors ψ 45 ψ = Spin d'une particule, dispositif de Stern-Gerlach Mesure d'une composante du moment magnétique Fig. 3.1 Dispositif de Stern et Gerlach Dans une enceinte à vide, un lament chaue une poudre d'argent. Ainsi, quelques atomes d'argent vont pouvoir s'échapper de leur boîte et passer le diaphragme. Le dispo-

31 3.3. SPIN D'UNE PARTICULE, DISPOSITIF DE STERN-GERLACH 31 sitif est tel que les atomes sortant du diaphragme ont une trajectoire quasi-horizontale. Ensuite, si l'atome possède un moment magnétique, alors l'aimant va dévier sa trajectoire vers le haut ou vers le bas suivant son orientation. L'énergie d'un atome dans ce champ B est : D'où la force résultante selon z : E = M B = M z (B 0 + az) F z = am z En physique classique, on obtiendrait une répartition gaussienne de M z z=0 : centrée en Fig. 3. Résultat attendu en physique classique Mais Stern et Gerlach ont obtenu : Fig. 3.3 Résultat obtenu...

32 3 CHAPITRE 3. APPROCHE MATRICIELLE : SYSTÈMES À DEUX NIVEAUX On a donc une quantication spatiale : on n'obtient pas une distribution continue de valeur de M z mais deux valeurs seulement ±µ B appelé "magnéton de Bohr" Etats d'un spin 1/ ±µ B est caractéristique du "spin 1/". On pose deux états : + z : vecteur d'état d'un électron donnant +µ B z : vecteur d'état d'un électron donnant µ B Alors pour tout électron, le vecteur d'état s'écrit : ψ = λ + z + µ z La probabilité d'aller sur la tache +µ B est donc : + z ψ = λ

33 Chapitre 4 Principes généraux de la mécanique quantique 4.1 Etats d'un système physique Premier principe Théorème 1. Un système physique "parfaitement préparé" est décrit par un vecteur d'état ψ appartenant à un espace de Hilbert E. L'espace de Hilbert considéré est un espace vectoriel à coecients complexes muni d'un produit scalaire hermitien. Le produit scalaire entre les ket ψ 1 et ψ est noté ψ 1 ψ Le ket ψ décrivant un système physique est normé : ψ ψ = 1 Grâce à la propriété de linéarité, on a le "principe de superposition" : si ψ 1 et ψ sont deux états solutions, alors toute combinaison linéaire de ces vecteurs est solution (paradoxe du chat de Schrödinger). Pour deux fonctions d'onde : ψ 1 ψ = + ψ 1(x)ψ (x)dx E peut être muni d'une base orthonormée f n avec n N, ou α avec α IR : Ainsi, pour tout vecteur d'état ψ : f n f n = δ n n notation de Kronecker α α = δ(α α ) notation de Dirac ψ = λ n f n ψ = + λ(α) α dα 33

34 34 CHAPITRE 4. PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 4.1. Bra et ket ψ 1 est un ket de E ψ est un bra de E* l'espace dual des formes linéaires ψ E x C Alors si on applique la forme linéaire ψ au vecteur ψ 1 de E : ψ ( ψ 1 ) = ψ ψ 1 4. Grandeurs physiques 4..1 Principe P Théorème. A toute grandeur physique mesurable A est associé un opérateur linéaire hermitien (ou autoadjoint)  appelé observable dont les vecteurs propres u n associés aux valeurs propres a n forment une base orthonormée de l'espace des observables E. Soit ψ une fonction d'onde alors : la position est donnée par : l'impulsion est donnée par : ψ(x) ψ(x) ˆX xψ(x) ˆP ψ i x Posons ˆP n le projecteur sur le sous-espace propre associé à a n : ˆP n = ˆP n, ˆPn ˆPn = 0 si n n Si la valeur propre est non dégénérée (dime n =1) : ˆP n = u n u n, ˆPn ψ = u n ψ u n Si la valeur propre est dégénérée (dime n >1), avec { u i n } base de E n : ˆP n = i u i n u i n 4.. Mesure d'une grandeur physique Théorème 3. La mesure de A ne peut donner comme résultat qu'une valeur propre de  (a n réels car  est autoadjoint). Le résultat d'une mesure unique est aléatoire. Si on répète les mesures sur des systèmes préparés dans l'état ψ, la probabilité de mesurer a n vaut : P ψ (a n ) = ˆP n ψ

35 4.. GRANDEURS PHYSIQUES Conséquences Si ψ est un état propre de  avec pour valeur propre a n 0 : Le résultat est donc certain. Si la valeur propre est non dégénérée : P ψ (a n ) = ˆP { n u n0 1 si n = n0 = 0 si n n 0 P ψ (a n ) = u n u n ψ = u n ψ Si la valeur propre est dégénérée : P ψ (a n ) = u i n u i n ψ = i i u i n ψ Lorsqu'on eectue la mesure de M z (moment magnétique d'une particule suivant Oz), on a deux valeurs possibles ±µ B. Comme { + z, z } forme une BON de E, alors ˆM z est diagonale dans cette base avec les valeurs propres (mesures possibles) sur sa diagonale : ˆM z = ( µb 0 0 µ B ) Lorsqu'on mesure la position x 0 d'une particule associée à l'opérateur x 0 on associe la fonction δ(x x 0 ). Ainsi : ˆX, au vecteur ˆX x 0 = x 0 x 0 P ψ (x 0 ) = x 0 ψ + = δ(x x 0 )ψ(x)dx = ψ(x 0 ) De même pour l'impulsion p Quelques relations utiles Passage à l'espace dual : ψ ψ Ô ψ ψ Ô λ ψ λ ψ λô1ô ψ + µô3 ψ λ ψ Ô Ô 1 + µ ψ Ô 3

36 36 CHAPITRE 4. PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE Pour toute fonction d'onde ψ : ψ = n ψ = u n u n ψ α α ψ dα On en déduit les relations de fermeture : u n u n = 1 n dα α α = Valeur moyenne La valeur moyenne de A est : A = n = n a n P ψ (a n ) a n ˆPn ψ = n a n ψ ˆP n ˆPn ψ = n a n ψ ˆP n ψ = n ψ a n (hatp n ψ ) = n ψ Â ˆP n ψ = ψ Â n ˆP n ψ = ψ Â ψ A = ψ Â ψ Puis A = A A = A A On pose δa = A A l'opérateur uctuation.

37 4.. GRANDEURS PHYSIQUES Commutation des observables Même si on a AB = BA, on n'a pas forcément opérateurs : commutateur : [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ anticommutateur : {Â, ˆB} = Â ˆB + ˆBÂ Â ˆB = ˆBÂ. On introduit donc les Exemple fondamental : Dans l'espace des fonctions d'onde ψ(x) : ˆX : ψ(x) xψ(x) ˆP : ψ(x) ψ i x Alors : ˆP ˆX : ψ(x) xψ i x ˆX ˆP : ψ(x) x ψ i x Donc ˆP ˆX ˆX ˆP [ ] ˆX, ˆP (ψ(x)) = ψ(x) = i ψ(x) i [ ] ˆX, ˆP = i 1 0 Autre exemple : ( m z ˆM µb 0 z = ( 0 µ B m x ˆM µb 0 x = 0 µ B ) ) sur la base { + z, z } sur la base { + x, x } Or ± x = ( + z ± z ) ( ) Donc ˆM 0 µb x = sur la base { + µ B 0 z, z } [ ] ˆMx, ˆMz = µ B ( ) 0 Propriété : Si [Â, ˆB] = 0, il existe une base de vecteurs propres communs à Â et ˆB dans l'espace des observable.

38 38 CHAPITRE 4. PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 4..7 Ensemble complet d'observables qui commutent (ECOC) (chapitre tiré du Cohen-Tannoudji) Considérons une observable A, et une base de E constituée de vecteurs propres u i n de A. Si aucune valeur propre de A n'est dégénérée, les divers vecteurs de base de E peuvent être repérés par la valeur propre a n (l'indice i dans u i n est dans cas inutile). Tous les sousespaces propres E n étant alors de dimension 1, la donnée de la valeur propre détermine de manière unique le vecteur propre correspondant (à un facteur multiplicatif près). En d'autres termes, il existe une seule base de E formée des vecteurs propres de A (nous ne considérons pas comme distinctes deux bases dont les vecteurs sont proportionnels) ; on dit alors que l'observable A constitue un ECOC. Si au contraire certaines valeurs propres de A sont dégénérées (il sut que l'une d'elles le soit), la situation est diérente : la donnée de a n ne sut plus toujours à caractériser un vecteur de base, puisqu'aux valeurs propres dégénérées correspondent plusieurs vecteurs indépendants. Dans ce cas, la base des vecteurs propres de A n'est évidemment plus unique : on peut en eet prendre n'importe quelle base à l'intérieur de chacun des sousespaces propres E n de dimension supérieure à 1. Prenons alors une autre observable B qui commute avec A, et construisons une base orthonormée de vecteurs propres communs à A et B. Par dénition, A et B forment un ECOC si cette base est unique (à un facteur multiplicatif près pour chacun des vecteurs qui la constitue), c'est-à-dire si, à chacun des couples possibles de valeurs propres {a n, b p } il correspond un seul vecteur de base. Ainsi pour que A et B constitue un ECOC, il sut que à l'intérieur de chacun des sous-espaces dégénérés E n, les valeurs propres b n de B soient toutes distinctes pour chacun des vecteurs propres dégénérés de A. Si pour au moins un des couples possibles {a n, b p }, il existe plusieurs vecteurs indépendants qui soient vecteurs propres de A et B avec ces valeurs propres, l'ensemble {A, B} n'est pas complet. Ajoutons-lui alors un troisième observable C qui commute à la fois avec A et avec B. On peut reprendre le même raisonnement que précédemment en le généralisant : lorsqu'au couple {a n, b p } correspond un seul vecteur, celui-ci est forcément un vecteur propre de C ; s'il en existe plusieurs, ils forment un sous-espace propre E n,p dans lequel il est possible de choisir une base constituée de vecteurs qui soient aussi vecteurs propres de C. On construit ainsi dans l'espace des états, une base orthonormée formée de vecteurs propres communs à A,B et C. A,B et C forment un ECOC si cette base est unique c'est-à-dire si la donnée d'un ensemble de valeurs propres {a n, b p, c r } de A,B,C caractérise un seul vecteur propre de cette base. Si ce n'est pas le cas, il faut ajouter une observable D qui commute avec chacun des trois opérateurs et ainsi de suite. Un ensemble d'observables A,B,C... est un ensemble complet d'observables qui commutent s'il existe une base orthonormée de vecteurs prorpes communs et si cette base est unique aux facteurs de phase près. Pour un système donné, il existe une innité d'ecoc. Le choix de l'ecoc se fait pour chaque problème suivant des critères de simplicité pour classer les états de base du système. Ni la nature, ni le nombre des observables constituant un ECOC ne sont a priori xés.

39 4.. GRANDEURS PHYSIQUES Inégalité de Heisenberg Inégalité de Cauchy-Schwartz : α β α β Soit ψ quelconque : ψ  ˆB ψ ψ  ψ ψ ˆB ψ Or  ˆB = 1 ( ˆB ˆB +  ˆB + ˆBÂ) = 1 ] ([Â, ˆB [Â, ˆB] ] = [Â, ˆB {Â, ˆB} = {Â, ˆB} }) + {Â, ˆB Donc [Â, ˆB] iir et {Â, ˆB} IR Ainsi 1 4 ] 1 [Â, ˆB + 4 } {Â, ˆB  ˆB Maintenant, si on remplace  par δâ et ˆB par δ ˆB., on retrouve 1 δâδ ˆB + δ ˆBδ est appelé fonction de corrélation C AB. ] Ainsi A B 1 4 [Â, ˆB + C AB [ ] ˆ δâ, ˆ δ ˆB = [Â, ˆB] et A B 1 [Â, ˆB] Par exemple, x p 1 i = Si [Â, ˆB] = 0, alors seulement dans ce cas on peut avoir A = 0 et B = 0. De plus, si ψ est un état propre u n de Â, alors :  u n = a n u n  = a n  u n = a n u n  = a n =  A = 0 B +

40 40 CHAPITRE 4. PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 4.3 Evolution temporelle L'opérateur hamiltonien Soit un système isolé ou soumis à des contraintes extérieures xes, il existe une énergie classique E cl dépendant des paramètres du système x,p, M,... et des contraintes B,V(x)... à laquelle est associé l'opérateur énergie ou hamiltonien : Ĥ = E cl ( ˆX, ˆP, ˆM,..., B, V (x),...) Quand on ne sait pas si deux opérateurs commutent, on utilise la règle : xp = px 1 ( ˆX ˆP + ˆP ˆX) 4.3. Equation de Schrödinger Théorème 4. Si à t=0 le système est dans l'état ψ, à tout instant t il est alors dans l'état ψ(t) tel que : ψ(0) = ψ i d ψ(t) = Ĥ ψ(t) dt Ĥ peut dépendre du temps Eléments propres de Ĥ On se place dans le cas où Ĥ est indépendant du temps. Ĥ est un observable donc il existe φ n et E n (ici indépendants du temps) tels que : Ĥ φ n = E n φ n Si on eectue une mesure de l'énergie du système, on ne peut trouver qu'une valeur propre E n de Ĥ d'où une discrétisation de l'énergie. { φn Ĥ = E n φ n φ n Ĥ = E n φ n Ainsi comme φ n est indépendant du temps : i φ n ddt ψ(t) = φ n Ĥ ψ(t) i d dt φ n ψ(t) t = E n φ n ψ(t) Ent i φ n ψ(t) = φ n ψ(0) e

41 4.4. LA MESURE DANS LE MONDE QUANTIQUE 41 On pose ω n = En Or ψ = n φ n φ n ψ donc : ψ = n Ent i φ n ψ(0) e φ n On pose Ent Û(t, 0) ψ(0) l'opérateur d'évolution. Comme e i Ĥt i φ n = e φ n, ψ = n Ĥt Ĥt i i φ n ψ(0) e φn = e ψ(0) Donc Ĥt Û(t, 0) = e i si Ĥ est indépendant du temps Théorème d'ehrenfest Pour A une grandeur physique, classiquement  A dépend du temps. Or si  est indépendant du temps, on a quand même = ψ   ψ = (t) d  ( ) d (t) = dt dt ψ  ψ + ψ  ( ) d ψ + ψ  t dt ψ Or i d ψ(t) = ψ(t) dt Ĥ = ψ(t) Ĥ. Alors après calcul, on obtient le théorème d'ehrenfest : d  (t) = 1  [Â, Ĥ] + dt i t 4.4 La mesure dans le monde quantique Exemples Energie On peut mesurer le niveau d'énergie d'un système par spectroscopie soit en étudiant la transmission optique du système soit l'absorption pour diérentes longueurs d'onde. Position On peut mesurer la position par des méthodes optiques (microscope bien que "l'éclairage" perturbe le système), ou par des diaphragmes suivi de détecteurs de particules. Impulsion On peut mesurer l'impulsion par une double mesure de position, une mesure ltrante ou par une méthode optique (mesure de l'eet Doppler).

42 4 CHAPITRE 4. PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 4.4. Mesures successives Théorème 5. La probabilité de trouver un couple ordonné (a m, b n ) de résultats pour les mesures des grandeurs successives A et B sur un système décrit par sa fonction d'onde ψ vaut : P ψ (a m, b n ) = ˆQ n ˆPm ψ = ψ ˆP m ˆQn ˆPm ψ Mesures succesives de A P ψ (a n, a n ) = ψ ˆP n ˆPn ˆPn ψ = δ n n ˆP n ψ On ne peut jamais mesurer deux valeurs propres diérentes à la suite pour un même objet (rassurant...). Mesure de A puis B P ψ (a n ) = m P ψ (a n, b m ) = m ψ ˆP n ˆQm ˆPn = ψ ˆP n m ˆQ m ˆPn = ψ ˆP n ψ car = ˆP n ψ m ˆQ m = 1 comme prévu P ψ (b m ) = n P ψ (a n, b m ) = n ψ ˆP n ˆQm ˆPn Si [Â, ˆB] = 0, il existe une base de vecteurs propres communs donc [ ˆPn, ˆ Qm ] = 0 et P ψ (b m ) = ˆQ m ψ. La mesure de A ne perturbe pas la mesure B qui suit.

43 4.4. LA MESURE DANS LE MONDE QUANTIQUE 43 [ ] Si [Â, ˆB] ˆPn, Qm ˆ 0 a priori et : 0, alors P ψ (b m après mesure de a n ) P ψ (b m seul) P ψ (a n, b m ) P ψ (b m, a n ) Le résultat des mesures dépend alors de l'ordre dans lequel elle sont opérées Mesure conditionnelle Après avoir fait une mesure de A et obtenu a n0, la probabilité de trouver ensuite b n connaissant a n0 est : P ψ (b n a n0 ) = P ψ (a n0, b m ) P ψ (a n0 ) Etat conditionnel du système Théorème 6. Après une mesure de A donnant comme résultat a n0, le système est dans l'état : ψa cond n0 = ˆP n0 ψ ˆP n0 ψ Ensuite, les probabilités de mesures de nouvelles grandeurs physiques sur cet état conditionnel sont égales aux probabilités conditionnelles. Par exemple, pour ˆX, après avoir mesuré la position x 0 du système, celui-ci est dans l'état ψ x0 = δ(x x 0 ). On dit qu'on a eondrement du paquet d'onde Exemple d'eet physique de l'appareil de mesure En ce qui concerne la mesure de la position ou de l'impulsion (par des diaphragmes par exemple), plus la précision sur la mesure de la position sera grande (fente étroite), plus la précision de la mesure l'impulsion sera faible (inégalité d'heisenberg) et inversement. Par exemple, dans l'expérience des trous d'young, on sait qu'on obtient une gure d'interférences si et seulement si on ne cherche pas à savoir dans quel trou est passé la particule. Lorsqu'on cherche cela, alors bizarrement la gure d'interférences disparaît et on retrouve ce qui serait attendu classiquement.

44 44 CHAPITRE 4. PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE Fig. 4.1 Expérience des trous d'young avec des particules En eet, on a : { kα si A p x = k sin α kα si B Or pour savoir dans quel trou est passé la particule, on mesure l'impulsion à l'écran. Il faut donc p x << kα x >> 1 d'après l'inégalité d'heisenberg kα x >> λ D π a x >> i l'interfrange La précision demandée pour savoir dans quel trou est passée la particule provoque une très grande incertitude sur la mesure de la position d'arrivée sur l'écran de celle-ci, bien supérieure à la taille de l'interfrange, ce qui brouille la gure d'interférences observée par l'écran.

45 Chapitre 5 Oscillateur harmonique à une dimension 5.1 Rappel classique Fig. 5.1 Potentiel harmonique Les équations du mouvement d'une particule de masse m dans un potentiel harmonique de la forme V (x) = 1 mω 0x sont : { x = x0 cos(ω 0 t + φ) p = mω 0 x 0 sin(ω 0 t + φ) L'énergie minimale pour un tel système est atteinte pour E=0 avec x 0 = 0. 45

46 46 CHAPITRE 5. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION 5. Approche fonction d'onde On recherche des solutions stationnaires à l'équation de Schrödinger de la forme ψ(x, t) = φ(x)e i E t dans un potentiel harmonique V (x) = 1 mω 0x : φ (x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) m φ est de carré sommable. Or les solutions de carré sommable pour cette équation n'existe que si : D'où les solutions : avec a = E = E n = (n + 1 ) ω 0 φ n (x) = π n n!a H n( x x )e a a mω 0 et H n le polynôme de Hermite de degré n. A l'état fondamental (n=0), on a : E 0 = 1 ω 0 0 φ 0 (x) = π a e x a x = a ψ 0 (p) = π 1 4 a e a p p = a On a donc x p =. Mais pourquoi E 0 0? On a x = 0 et p = 0 donc x = x et p = p par l'inégalité d'heisenberg. Donc : x p E = + 1 m mω 0 x m x + 1 mω 0 x Fig. 5. Existence d'un minimum non nul pour l'énergie moyenne d'une particule dans un potentiel harmonique

47 5.3. APPROCHE MATRICIELLE Approche matricielle Hamiltonien On pose a = 5.3. Opérateurs â, â, ˆN Ĥ = 1 m ˆp + 1 mω 0 ˆx mω 0 et p 0 = a. Avec ˆX = ˆx a et ˆP = ˆp p 0, on obtient : Ĥ = ω 0 ( ˆP + ˆX ), [ ] ˆX, ˆP = i On pose â l'opérateur annihilation et â l'opérateur de création : â = 1 ( ˆX + i ˆP ) â = 1 ( ˆX i ˆP ) ] [â, â = 1 ˆN = â â On a â â donc leurs valeurs propres ne sont pas réels a priori. Mais ˆN = ˆN donc les valeurs propres de ˆN sont réelles. De plus, comme ˆN = 1( ˆP + ˆX 1), on a : Ĥ = ω 0 ( ˆN + 1 ) = ω 0(ââ + 1 ) Eléments propres de ˆN Valeurs propres : démonstration tirée de Mécanique quantique, p.497 de Claude Cohen-Tannoudji Lemme 1. Propriété des valeurs propres de ˆN : Les valeurs propres ν de l'opérateur ˆN sont positives ou nulles. Considérons en eet un vecteur propre φ ν quelconque de ˆN, et écrivons que le carré de la norme du vecteur a φ ν est positif ou nul : a φ ν = φ ν â â φ ν 0 = φ ν ˆN φ ν = ν φ ν φ ν = ν 0

48 48 CHAPITRE 5. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION Lemme. Propriétés du vecteur â φ ν Soit φ ν un vecteur propre (non nul) de ˆN, de valeur propre ν : 1. Si ν = 0, le ket â φ ν est nul. Si ν > 0, le ket â φ ν est un vecteur propre non-nul de ˆN, de valeur propre ν 1 1. â φ ν = 0 si ν = 0 d'après le lemme précédent donc â φ ν=0 = 0. Supposons maintenant ν > 0. D'après le lemme précédent, alors â φ ν est alors non nul puisque sa norme est strictement positive. [ ] Or on a ˆN, â = â donc : [ ˆN, â ] φ ν = â φ ν ˆNâ φ ν = â ˆN φ ν â φ ν ˆNâ φ ν = âν φ ν â φ ν ˆNâ φ ν = (ν 1)â φ ν ce qui démontre que â φ ν est vecteur propre de ˆN de valeur propre associée ν 1 Lemme 3. Propriétés du vecteur â φ ν : Soit φ ν un vecteur propre (non nul) de ˆN, de valeur propre ν : 1. â φ ν est toujours non nul.. â φ ν est un vecteur propre non-nul de ˆN, de valeur propre ν De la même manière que précédemment : â φ ν = φ ν ââ φ ν = φ ν ˆN + 1 φ ν = (ν + 1) D'après le lemme 1, comme ν 0, le ket â φ ν a toujours une norme strictement positive donc n'est jamais nul. [ ]. De la même manière que précédemment, comme on a ˆN, â = â : [ ˆN, â ] φ ν = â φ ν ˆNâ φ ν = â ˆN φν + â φ ν ˆNâ φ ν = â ν φ ν + â φ ν ˆNâ φ ν = (ν + 1)â φ ν

49 5.3. APPROCHE MATRICIELLE 49 Maintenant, utilisons ces lemmes pour montrer que les valeurs propres de ˆN sont les entiers naturels. D'après le lemme A, ν 0. Supposons tout d'abord que ν n'est pas entier. Nous allons montrer qu'une telle hypothèse est contradictoire avec le lemme 1 grâce aux lemmes et 3, et doît par suite être exclue. Si ν n'est pas entier, on peut trouver un entier n 0 tel que : n < ν < n + 1 D'après le lemme, chacun des vecteurs â p φ ν pour 0 p n est non-nul et vecteur propre de ˆN avec la valeur propre ν p. Fig. 5.3 En faisant agir l'opérateur â plusieurs fois sur φ ν, on construit des vecteurs propres de ˆN de valeurs propres ν 1, ν, etc... La démonstration se fait de proche en proche : φ ν est non nul par hypothèse ; â p φ ν est non nul (car ν > 0) et correspond à la valeur propre ν 1 de ˆN... ; â p φ ν s'obtient par action de â sur â p 1 φ ν, vecteur propre de ˆN avec la valeur propre ν p + 1 strictement positive, puisque p n et que ν > n. Faisons maintenant agir â sur le ket â n φ ν. Comme ν n > 0, l'action de â sur â n φ ν donne un vecteur non nul (lemme ) ; de plus, toujours d'après le lemme, â n+1 φ ν est alors vecteur propre de ˆN de valeur propre associée ν n 1, stricement négative. Si ν est non entier, nous pouvons donc construire un vecteur propre non nul de ˆN avec une valeur propre strictement négative. Comme ceci est impossible d'après le lemme 1, l'hypothèse que ν est non-entier est à rejeter. Que se passe-t-il maintenant si ν = n avec n N? â n φ n est non-nul et vecteur propre de ˆN avec la valeur propre 0 (ce qui est autorisé par le lemme 1). D'après le lemme, on a donc que â n+1 φ ν = 0. La suite de vecteurs obtenue par action répétée de l'opérateur â sur φ n est donc limitée lorsque n est entier ; on ne peut alors jamais obtenir un vecteur propre non nul associé à une valeur propre strictement négative. En conclusion, ν ne peut être qu'un entier n non-négatif. On peut alors utiliser le lemme 3 pour montrer que le spectre de ˆN comprend eectivement tous les entiers positifs ou nuls. Nous avons en eet construit plus haut un vecteur propre de de ˆN de valeur propre 0 (â n φ ( n ) ; il sut alors de faire agir â ) k sur un tel vecteur pour obtenir un vecteur propre de ˆN avec la valeur propre k où k est un entier positif quelconque.

50 50 CHAPITRE 5. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION Vecteurs propres Comme ˆN φ 0 = â â φ 0 = 0, on a â φ 0 = 0 â φ 0 = 0. â φ 0 = 0 1 ( ˆX + i ˆP ) φ 0 = 0 Xφ 0 (X) + i 1 i φ 0(X) = Xφ 0 (X) φ 0 (X) = π 1/4 e X d dx φ 0(X) = 0 Le sous-espace propre E 0 associé à la valeur propre n=0 est donc de dimension 1. De plus, ˆNâ φ1 = (1 1)â φ 1 = 0 donc â φ 1 est un vecteur propre de ˆN de valeur propre 0 donc â φ 1 E 0 â φ 1 = λ φ 0. Ainsi φ 1 = â â φ 1 = λâ φ 0. Le sousespace propre E 1 associé à la valeur propre n=1 est donc de dimension 1. Cherchons maintenant la valeur de λ : φ 1 φ 1 = 1 λ φ 0 ââ φ 0 = 1 λ = 1 avec ââ = â â + 1 = ˆN + 1 On a donc λ = ±1, or les solutions stationnaires sont valables à une phase près donc on choisit λ = 1 et φ 1 = â φ 0. Par récurrence, avec â φ n = λ n φ n+1, on obtient : φ n ââ φ n = λ n φ n+1 φ n+1 n + 1 = λ n λ n = n + 1 Donc φ n+1 = 1 n + 1 â φ n De même, avec â φ n = µ n φ n 1, on obtient : φ n â â φ n = µ n φ n 1 φ n 1 n = µ n µ n = n Donc â φ n = n φ n 1, avec â φ 0 = 0

51 5.3. APPROCHE MATRICIELLE 51 Niveaux d'énergie Ĥ φ n = ω 0 ( ˆN + 1 ) φ n = ω 0 (n + 1 ) φ n On a donc, pour l'oscillateur harmonique : E n = ω 0 (n + 1 ) Fonctions propres φ n φ n+1 = On en déduit les fonctions propres : φ n (X) = 1 [ ( 1 X i 1 n! i 1 n + 1 â φ n φ n = 1 n â φ n 1 = 1 n! (â ) n φ 0 )] n d φ 0 (X) = 1 [ ( 1 X dx n! d )] n π 1 4 e X dx

52 5 CHAPITRE 5. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION

53 Chapitre 6 Le moment cinétique 6.1 Rappel classique Dans un espace classique à 3 dimensions, pour une particule ponctuelle, le moment cinétique est : L = r p d L dt = M forces particule Pour un système isolé à force centrale, M = 0 donc L est constant. Pour un mouvement circulaire, L = IΩ avec I le moment d'inertie mr. Le moment magnétique est : m = q L m 6. Opérateur moment cinétique On se place dans l'espace des fonctions d'onde à 3D ψ(x, y, z, t). On dénit alors les opérateurs : ˆx = x ŷ = y ẑ = z ˆp x = i ˆp y = i ˆp z = i x y z On a alors les relations de commutation : [ˆx, ˆp x ] = [ŷ, ˆp y ] = [ẑ, ˆp z ] = i [ˆx, ˆp y ] = [ˆx, ˆp z ] = 0 [ŷ, ˆp x ] = [ŷ, ˆp z ] = 0 [ẑ, ˆp y ] = [ˆx, ˆp x ] = 0 53

54 54 CHAPITRE 6. LE MOMENT CINÉTIQUE 6..1 Dénition 1 ˆ L = ˆ r ˆ p ˆL x ˆL y ˆL z = ˆx ŷ ẑ ˆp x ˆp y ˆp z 6.. Relations de commutation Après calculs, on obtient : [ ˆLx, ˆL y ] = i ˆL z et permutations circulaires [ ˆ L, ˆLi ] = 0, i {x, y, z} 6..3 Denition Soit ˆ J un opérateur vectoriel hermitien. Alors ˆ J est un moment cinétique si et seulement si [Ĵx Ĵy], = i Ĵz (et permutations circulaires). Soit ˆ J1 et ˆ J deux moments cinétiques tels que (i, l) {x, y, z}, [ ˆ J1i, ˆ J l ] = 0, alors ˆ J1 + ˆ J est un moment cinétique Eléments propres de ˆ J et Ĵz Soit τ, j, m un vecteur propre de ˆ J tel que : ˆ J τ, j, m = j(j + 1) τ, j, m avec j 0 Ĵ z τ, j, m = m τ, j, m avec m IR τ, j, m τ, j, m = δ j jδ m mδ τ τ (BON) On introduit : { Ĵ+ = Ĵx + iĵy Ĵ = Ĵx iĵy Grâce aux relations de commutation avec ces nouveaux opérateurs, on montre que : Ĵ± τ, j, m est un vecteur propre de ˆ J associé à la valeur propre j(j + 1) Ĵ+ τ, j, m est un vecteur propre de Ĵz associé à la valeur propre (m + 1) (Ĵ+ est l'opérateur qui permet de monter dans les valeurs propres) Ĵ τ, j, m est un vecteur propre de Ĵz associé à la valeur propre (m 1) (Ĵ est l'opérateur qui permet dedescendre dans les valeurs propres)

55 6.3. MOMENT CINÉTIQUE INTRINSÈQUE : SPIN 55 Avec Ĵ Ĵ+ = ˆ J Ĵ z Ĵz, on obtient : Donc m [ j 1, j] τ, j, m Ĵ Ĵ+ τ, j, m = Ĵ+ τ, j, m 0 Avec Ĵ+Ĵ = ˆ J Ĵ z + Ĵz, on obtient : = (j(j + 1) m m) = (j m)(j + m + 1) τ, j, m Ĵ+Ĵ τ, j, m = Ĵ τ, j, m 0 = (j(j + 1) m + m) = (j + m)(j m + 1) Donc m [ j, j + 1] Conclusion : m [ j, j] 6..5 Valeurs de j et m Grâce aux opérateurs Ĵ+ et Ĵ, on montre qu'il existe des états τ, j, m orthonormés avec j demi-entier positif et m { j, j + 1,, j 1, j}. On a donc m [[ j, j]] à un facteur 1 près, soit j+1 valeurs de m. ˆ J τ, j, m = j(j + 1) τ, j, m Ĵ z τ, j, m = m τ, j, m Ĵ + τ, j, m = j(j + 1) m(m + 1) τ, j, m + 1 Ĵ τ, j, m = j(j + 1) m(m 1) τ, j, m Moment cinétique intrinsèque : spin Expériences Pour expliquer les observations, les particules élémentaires sont caractérisées par : leur position r leur impulsion p l'opérateur ˆ S moment cinétique avec ˆ S de valeur xe s(s + 1) (s xe) tel que le moment cinétique de la particule soit : ˆ J = ˆ L + ˆ S = ˆ r ˆ p + ˆ S

56 56 CHAPITRE 6. LE MOMENT CINÉTIQUE et son moment magnétique : ˆ m = γ ˆ S avec γ le rapport gyromagnétique Spin 1/ Pour une particule de spin 1 tel que le proton, le neutron ou l'électron, les états possibles sont : τ, j = 1, m = 1 = τ, j = 1, m = 1 = + On obtient alors : ˆ J ± = 3 4 ± Ĵ z ± = ± ± Ĵ + + = 0 Ĵ + = + Ĵ = 0 Ĵ + = On a deux états possibles : l'espace de Hilbert est donc de dimension de base { +, }, bien que le spin représente un moment cinétique intrinsèque d'une particule donc un vecteur dans un espace à 3 dimensions. Avec les relations ± x = 1 ( + z ± z ) et ± y = 1 ( + z ± i z ) Ĵ z = ( ) ( ) 0 1 Ĵ x = 1 0 ( 0 i ) Ĵ y = i 0 ( ) 0 1 Ĵ + = 0 0 ( ) 0 0 Ĵ = 1 0

57 6.4. RÉSONANCE MAGNÉTIQUE Résonance magnétique Dispositif expérimental On excite une particule avec un champ magnétique de la forme (dans la base { e x, e y, e z }) : B 1 cos ωt B = B 1 sin ωt B 0 Le moment magnétique de la particule est alors : ˆ m = γ ˆ S L'hamiltonien d'une particule dans un champ magnétique est : Ĥ = ˆ m B ) = ω 0 Ŝ z + ω 1 (Ŝx cos ωt + Ŝy sin ωt avec ω 0 = γb 0 et ω 1 = γb Evolution de ˆ S D'après le théorème de Ehrenfest : i d ] Ŝ = [Ŝx, dt Ĥ x d dt d dt d dt Ŝx Ŝy Ŝz = ω 0 ( i Ŝy ) + ω 1 sin(ωt)i Ŝz = ω 0 Ŝy + ω 1 sin(ωt) Ŝz = ω 0 Ŝx ω 1 cos(ωt) Ŝz = ω 1 sin(ωt) Ŝx + ω 1 cos(ωt) Ŝy Dans le référentiel tournant avec B 1 : Ŝ x = S x cos ωt + S y sin ωt Ŝ y = S x sin ωt + S y cos ωt Ŝ z = Ŝ z On en déduit après calculs : d Ŝ dt x d Ŝ dt y Ŝ z d dt = (ω ω 0 ) Ŝ y = (ω ω 0 ) Ŝ x ω 1 Ŝ z = ω 1 Ŝ y Supposons que à t=0, Ŝ z Ŝ y = S 0 = Ŝ x = 0