CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES. par. Stéphane Bijakowski, Vincent Pilloni et Benoît Stroh

Transcription

1 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES par Stéphane Bjaows, Vncent Pllon et Benoît Stroh Résumé. Nous généralsons le crtère de classcté de formes modulares surconvergentes sur les courbes modulares dû à Coleman à certanes varétés de Shmura PEL de type (A) et (C) assocées à des groupes réductfs non ramfés sur Q p. Notre démonstraton s nspre de la méthode de prolongement analytque de Buzzard et Kassae. Abstract. We generalze Coleman classcty crteron for overconvergent modular forms on modular curves to the case of some PEL Shmura varety of type (A) or (C) assocated to a reductve group unramfed over Q p. Our demonstraton s nspred by the analytc contnuaton method of Buzzard and Kassae. Table des matères 1. Formes surconvergentes sur les varétés de Shmura Acton de l algèbre de Hece Dynamque d un opérateur de Hece Prolongement analytque Prncpe de Köcher rgde et classcté Références Hda dans le cas cas ordnare et Coleman dans le cas général [Co] ont prouvé que toute forme modulare surconvergente f de pods, propre pour un certan opérateur de Hece U en p (), de valeur propre α satsfasant > 1 + v(α) est un forme classque sur la courbe modulare de nveau ahorque en p. Kassae [Ka] a trouvé une autre démonstraton du théorème de Coleman basée sur des travaux antéreurs de Buzzard [Bu]. Ces travaux de Buzzard élucdent la dynamque de l opérateur U agssant sur la courbe modulare rgde analytque de nveau wahorque en p. Plus précsément, Buzzard a démontré que les tératons successves de l opérateur U tendaent à accumuler le tube supersnguler vers des vosnages strcts arbtrarement petts du tube multplcatf. Comme les formes surconvergentes sont défnes sur de tels vosnages strcts, l équaton fonctonnelle f = U(f)/α permet de prolonger. souvent noté U p

2 2 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH analytquement f au tube supersnguler dès que α est non nul. Restat à étendre f sur le tube ordnare étale en utlsant l hypothèse > 1 + v(α). La théore du sous-groupe canonque de Lubn et Katz permet de décomposer l opérateur U au vosnage du tube ordnare étale en une somme de deux opérateurs U good et U bad. Dans cette décomposton, U good paramètre les supplémentares du sous-groupe unversel qu ne rencontrent pas le sous-groupe canonque et U bad l unque supplémentare égal au sous-groupe canonque. Les supplémentares paramétrés par U good ont un degré au sens de Fargues [Fa] strctement nféreur à 1 alors que le sous-groupe canonque paramétré par U bad a un degré supéreur à 1 ε où ε peut être chos arbtrarement pett s l on s autorse à rétrécr le vosnage strct. Grâce à cela, l est facle de prouver que l mage par U good de tout vosnage strct du tube ordnare étale est un vosnage strct du tube ordnare multplcatf et qu en revanche, U bad stablse le tube ordnare étale. Kassae a alors ntrodut d ngéneuses séres défnes sur des vosnages strcts du tube ordnare étale grâce aux opérateurs U good et U bad. Sous l hypothèse > 1 + v(α), ces séres convergent sur le tube ordnare étale et Kassae a de plus démontré un lemme de géométre rgde permettant de recoller ses séres avec le prolongement analytque sur le tube supersnguler obtenu par Buzzard. Il en a conclu que la forme surconvergente f est défne sur toute la courbe modulare rgde lorsque > 1 + v(α). La classcté de f est alors une conséquence smple du prncpe «GAGA» en géométre rgde. Des travaux récents comme [AIP] construsent des varétés de Hece en utlsant les formes surconvergentes. Pour reconnaître les ponts classques de ces varétés de Hece, l est mportant de prouver des varantes du théorème de Coleman pour des varétés de Shmura plus complexes que les courbes modulares. Pluseurs travaux ont été effectués récemment concernant les varétés de Hlbert. On peut ans cter [Sa] lorsque p est totalement décomposé dans le corps totalement réel assocé, [T], [TX] et [PS] lorsque p est non ramfé, et [Jo] dans le cas général. Ctons également le cas des varétés de Segel de genre deux [P], qu content en germe certanes dées de ce traval. Dans cet artcle, nous démontrons un théorème de classcté pour des varétés de Shmura PEL de type (A) et (C) assocées à des groupes réductfs non ramfés sur Q p. Nous obtenons le théorème suvant (vor le théorème et la remarque c-dessous pour des énoncés plus précs). Théorème. Sot p un nombre premer et X une varété de Shmura PEL de type (A) ou (C) de nveau wahorque en p assocée à un groupe réductf non ramfé sur Q p. On suppose les proprétés satsfates. Sot f une forme modulare surconvergente de pods κ sur X. Supposons f propre pour une famlle (U ) d opérateurs de Hece de nveau wahorque en p décrts dans le paragraphe 2.3. Supposons que les valeurs propres correspondantes (α ) sont non nulles et que κ est grand devant la famlle (v(α )) de leurs valuatons au sens de l hypothèse La forme modulare f est classque. Le nombre d opérateurs U consdérés est égal au nombre de facteurs smples du groupe sur Q p assocé à X. L hypothèse de comparason entre pods et pente est très explcte et fat ntervenr la dmenson de X. Remarque. Précsons l hypothèse pods-pente dans deux cas partculers. Supposons que X est la varété de Segel assocée au groupe GSp 2g sur un corps totalement réel F dans lequel p est nerte, avec g 1. Le pods de f est un vecteur ( σ,1 σ,g ) de (Z g ) Σ, où Σ est l ensemble des plongements de F dans R. Pusque GSp 2g est smple, nous ne consdérons qu un opérateur de Hece U en p. Sot α la valeur propre de U agssant sur f. La condton pods-pente est alors nf σ Σ σ,g > v(α) + dg(g + 1)/2, où d est le degré de F.

3 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 3 Sot F 0 un corps totalement réel de degré d, et F une extenson CM de F 0. On suppose que p est nerte dans F 0, et se décompose dans F. Soent a, b des enters. Supposons que X est une varété de Shmura assocée à un groupe untare sur F de sgnature ((a, b),..., (a, b)) à l nfn. Le pods de f est un vecteur ( σ,1 σ,a ; l σ,1 l σ,b ) de (Z a+b ) Σ, où Σ est l ensemble des plongements de F 0 dans R. Là auss, un seul opérateur de Hece U entre en jeu. Sot α la valeur propre de U agssant sur f. La condton pods-pente est nf σ Σ ( σ,a +l σ,b ) > v(α)+dab. Nous démontrons le théorème grâce à une généralsaton naturelle de la méthode de Buzzard et Kassae. Nous commençons par étuder la dynamque des opérateurs de Hece U et prouver qu ls accumulent une certane zone X (1 ) de la varété rgde analytque assocée à X vers des vosnages strcts du tube ordnare multplcatf (proposton 3.2.2). Cela permet ausstôt de prolonger f à X (1 ) en n utlsant que l hypothèse de pente fne (proposton 4.2.1). La prncpale dfférence entre le cas des varétés de Shmura générales et celu des courbes modulares est que le complémentare de X (1 ) ne se rédut pas à une unon de tubes ordnares. On peut néanmons découper le complémentare de telle manère que sur chaque parte S on peut décomposer l opérateur de Hece U en deux opérateurs : U = U good + U bad où U good correspond aux supplémentares du sous-groupe unversel de degré < 1 et U bad à ceux de degré 1. Comme dans le cas des courbes modulares, l opérateur U good envoe S dans X (1 ). S S est stable par U bad, la norme des térés successfs de l opérateur U bad tend vers zéro lorsque l hypothèse est satsfate. Il est alors facle de défnr des séres de Kassae et de construre une forme modulare sur S qu approche le prolongement voulu de f. Néanmons, l ne semble malheureusement pas possble de recouvrr le complémentare de X (1 ) par de telles zones stables par U bad. La sére de Kassae à l ordre 1 est défne faclement à l ade de l opérateur U good. Pour pourvor défnr la sére de Kassae à l ordre 2, l est nécessare de dsposer d une décomposton de U sur U bad (S). Pour tout enter N, nous recouvrons donc le leu où f n est pas défn par des ensembles S, avec une décomposton explcte de l opérateur U N sur chaque S. Cela nous permet de défnr la sére de Kassae à l ordre N. Il faut ensute recoller les fonctons obtenues, ce qu permettra d étendre f à toute la varété rgde (une dffculté étant que le recouvrement construt n est pas admssble). Il nous faut enfn algébrser la forme modulare obtenue sur la varété rgde analytque. S l on exclut le cas des courbes modulares, nous démontrons un prncpe de Köcher (corollare 5.2.3) qu mplque que toute forme modulare rgde s étend aux compactfcatons toroïdales. Ce prncpe résulte de l exstence de compactfcatons toroïdales de varétés de Shmura PEL en leurs places de mauvase réducton de nveau wahorque. Il est alors asé de conclure en applquant un théorème «GAGA» en géométre rgde. Nous remercons Laurent Fargues, Coln Gullarmou, Tom Hanes, Robert Kottwtz, Bao Châu Ngô et Lang Xao pour d ntéressantes dscussons, Alan Genester et Jacques Tloune pour avor organsé un groupe de traval sur le prolongement analytque en 2009 et le rapporteur pour sa relecture attentve et ses nombreux commentares qu nous ont perms d évter pluseurs erreurs. Les auteurs ont été subventonnés par les programmes ANR-BLAN-0114 et ANR-14-CE Remarque. Une premère verson de cet artcle a été soumse par Pllon et Stroh sous le ttre «Surconvergence et classcté : le cas déployé». Durant le temps où cet artcle état

4 4 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH référé, Bjaows a effectué sa thèse de doctorat sous la drecton de Stroh, son sujet étant de trouver une généralsaton conjonte des artcles «Surconvergence et classcté : le cas déployé» et «Surconvergence et classcté : le cas Hlbert» de Pllon-Stroh. Ses travaux ont notamment donné nassance à l artcle «Classcté de formes modulares surconvergentes» prépublé sur Arxv. Bjaows a à la fos smplfé et généralsé les méthodes des deux artcles de Pllon- Stroh. Les édteurs ont alors demandé aux auteurs de réécrre l artcle orgnel selon la méthode de Bjaows, en l ncluant dans les auteurs. L artcle présenté c est le résultat de cette réécrture. Il reprend essentellement la prépublcaton Arxv de Bjaows. P. et S. ameraent donc nsster sur le fat que la plupart des dées et méthodes présentées dans cet artcle sont dues à B. 1. Formes surconvergentes sur les varétés de Shmura 1.1. Données PEL de type (A) et (C). Introdusons le plus brèvement possble les données d algèbre lnéare consdérées dans cet artcle. La référence standard est [Ko]. Les notatons ntrodutes dans cette parte seront lbrement réutlsées dans la sute. Sot B une Q-algèbre smple mune d une nvoluton postve. On note F le centre de B et F 0 le souscorps de F fxe par l nvoluton. L extenson F 0 de Q est totalement réelle. Notons d son degré. Le corps F est sot égal à F 0 sot une extenson quadratque magnare de F 0. On dt que (B, ) est de type (A) s l une des condtons équvalentes suvantes est vérfée.. [F : F 0 ] = 2.. Pour tout plongement de F 0 dans R, on a B F0 R M n (C) et ndut l nvoluton A Āt.. Pour tout plongement de F 0 dans C, on a B F0 C M n (C) M n (C) et ndut l nvoluton (A, B) (B t, A t ). On dt que (B, ) est de type (C) s l une des condtons équvalentes suvantes est vérfée.. F = F 0 et pour tout plongement de F dans R, B F R M n (R) et ndut l nvoluton A A t.. F = F 0 et pour tout plongement de F dans C, B F C M n (C) et ndut l nvoluton A A t. On supposera dans la sute de l artcle que (B, ) est de type (A) ou (C). On se donne un B-module ant-hermten non dégénéré (U Q, <, >). En partculer, la dmenson du Q-espace vectorel U Q est pare. On note G = Aut B (U Q, <, >) le groupe réductf sur Q des smltudes symplectques B-lnéares de U Q. C est un sous-groupe de Aut(U Q ) G m. Soent τ 1,..., τ d les plongements réels de F 0. S F F 0, on note σ 1, σ 1,..., σ d, σ d les plongements de F dans C ndexés de telle sorte que σ et σ soent conjugués sous Aut R (C) et que σ F0 = τ pour tout d. Supposons que B sot de type (A). Sot 1 d. Au chox de σ correspond un somorphsme F F0 R C. Posons B = B F0,τ R M n (C) et U = U Q F0,τ R. D après l équvalence de Morta, on a U C n C W où B agt sur le premer facteur et où W est un C-espace vectorel. La structure ant-hermtenne sur U en ndut une sur W. On note (a τ, b τ ) sa sgnature (s on avat prs l somorphsme F F0 R C correspondant au chox de

5 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 5 σ, on aurat obtenu la sgnature (b τ, a τ )). Le groupe réel G R est donc somorphe au groupe ( d ) G U(a τ, b τ ) =1 où U(a τ, b τ ) est le groupe des somorphsmes untare relatves à la forme hermtenne de sgnature (a τ, b τ ). On remarquera d alleurs que a τ +b τ ne dépend pas de et vaut 1 2nd dm Q U Q. Supposons que B est de type (C). Posons B = B F0,τ R M n (R). Alors G R est somorphe au groupe ( d G =1 Sp 2a ) où a = 1 2nd dm Q U Q est ndépendant de et par conventon, le groupe symplectque est assocé à la matrce antdagonale et antsymétrque usuelle. Notons S = Res C/R G m le tore de Delgne et donnons-nous un morphsme h : S G R comme dans [Ko, par. 4]. Ce morphsme défnt une structure complexe sur U R. Notons U 1,0 le sous-espace de U C où h() agt par multplcaton par. L espace U 1,0 est un B Q R- module. Supposons que B est de type (A). On a un somorphsme B Q R d =1 M n(c) relatf à l somorphsme F F0,τ R C correspondant au chox de σ. Le B Q R-module U 1,0 est somorphe à d (C n ) aτ (C n ) bτ =1 où B Q R agt à travers B M n (C) sur (C n ) aτ (C n ) bτ avec l acton standard sur le premer facteur et l acton conjuguée sur le second facteur. Supposons que B est de type (C). On a un somorphsme B Q C d =1 M n(c) et le module U 1,0 est somorphe à d =1 (Cn ) a. Sot det U 1,0 le détermnant du O B -module U 1,0 dans le sens de [Ko, par. 5]. C est un polynôme à coeffcent dans un corps de nombres mnmal pour cette proprété E appelé corps réflexe. On se donne un ordre O B de B stable par l nvoluton et un réseau U de U Q qu est stable sous l acton de O B. On suppose que l accouplement <, > ndut un accouplement U U Z. Sot p un nombre premer. Hypothèse On suppose dans la sute que p vérfe les propretés suvantes.. p est non ramfé dans F 0, et dans le cas (A) chaque place de F 0 au-dessus de p se décompose dans F.. B Q Q p est somorphe à un produt d algèbres de matrces à coeffcents dans une extenson fne non ramfée de Q p.. O B est un ordre de B maxmal en p. v. L accouplement <, > : U U Z est parfat en p. v. p est totalement décomposé dans E. Sous les hypothèses précédentes, le nombre premer p est non ramfé dans F. On note π 1,..., π h les déaux premers de F 0 au-dessus de p, et d le degré résduel de π. Lorsque [F : F 0 ] = 2, on note π + et π les déaux premers de F au-dessus de π. Fxons un plongement Q Q p. Lorsque B est de type (A), on a O B Z Z p h =1 M n(z p d ) M n (Z p d ), où Z p d

6 6 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH est l anneau des enters de Q p d, l unque extenson non ramfée de Q p de degré d. Lorsque B est de type (C), on a h O B Z Z p M n (Z p d ). =1 Remarque On a chos l ndexaton des déaux π et des somorphsmes entre O B Z p et des produts d algèbres de matrces de telle sorte que dans le cas (A), l déal à gauche engendré par π + dans O B Z p corresponde à l déal à gauche engendré par le 2huplet de matrces scalares avec la matrce scalare p en poston 2 1 et la matrce scalare 1 partout alleurs. De même dans le cas (C). Remarque Fxons un somorphsme entre C et C p, la compléton p-adque de Q p. S τ est un plongement de F 0 dans R, l ndut un plongement de F 0 dans C p, et l envoe un unque déal π dans l déal maxmal de C p. On dra que τ est un plongement au-dessus de π. De même, dans le cas (A), un plongement de F dans C ndut un plongement de F dans C p, et envoe un unque déal π + où π dans l déal maxmal de C p. S τ est un plongement de F 0 au-dessus de π, on ordonne σ et σ les plongements de F au-dessus de τ de manère à ce que σ sot au-dessus de π + et σ au-dessus de π. On dspose alors du couple (a τ, b τ ), qu est ben défn. Le lemme qu sut montre que l hypothèse mplque que ce couple ne dépend pas du plongement au-dessus de π. On notera donc (a, b ) le couple (a τ, b τ ), où τ est un plongement de F 0 au-dessus de π. Lemme On a (a τ, b τ ) = (a τ, b τ ) s τ et τ sont au dessus d un même déal premer π de F 0. Démonstraton. On a fxé un somorphsme C C p et O B Z Z p M n (O F Z Z p ). On a O F Z Z p = h =1 O F,π + O F,π. Pour tout 1 h, notons Σ l ensemble des plongements τ : F 0 C p au dessus de π. On a U 1,0 d j=1 (Cn p ) aτ j (C n p ) bτ j et O B Z Z p agt sur (C n p ) aτ j (C n p ) bτ j a travers M n (O F,π + O F,π ) va les plongements σ j et σ j (avec τ j Σ ). Le détermnant de la matrce dagonale, dentque en toutes les places π π, et qu vaut dag(x, 1,, 1) + Id au dessus de π pour x O F,π + est τ j Σ σ aτ j j (x). Comme Σ est le groupe de Galos de O F,π + seulement s a τj est ndépendant de τ j Σ. On rasonne de même avec les b τj., l est clar que τ j Σ σ aτ j j (x) Z p pour tout x O F,π + s et Remarque Sot f un enter, et notons E 1,1 l dempotent de M n (Z p f ) donné par la matrce dont tous les coeffcents sont nuls sauf le premer coeffcent dagonal qu vaut 1. Le foncteur qu à tout M n (Z p f )-module M assoce le Z p f -module E 1,1 M réalse une équvalence de catégore de Morta. Dans le cas (A), on consdère l dempotent F = (F + F ) 1 h de h =1 M n(z p d ) M n (Z p d ), où chaque F ± désgne la matrce E 1,1. Dans le cas (C), on consdère l dempotent F = (F ) 1 h

7 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 7 de h =1 M n(z p d ) où chaque F désgne la matrce E 1,1. Le foncteur M F M réalse une équvalence de la catégore des O B Z Z p -modules vers la catégore des modules sur h dans le cas (A) et celle des modules sur =1 Z p d Z p d h =1 dans le cas (C). Nous utlserons systématquement ce dctonnare lorsque nous rencontrerons des O B Z Z p modules. Z p d 1.2. Varétés de Shmura sans nveau en p. Fxons un déal premer π dans le corps réflexe E au dessus de p et un enter N 3 non dvsble par p. On note O E la compléton de l anneau d enters de E en l déal π et K E = Frac(O E ) qu est somorphe à Q p. Le polynôme det U 1,0 est à coeffcents dans O E. Sot K une extenson fne de Q p contenant les clôtures normales des complétons de F 0 en chacune des places π, et O son anneau des enters. Il exste un schéma quas-projectf X sur Spec(O) dont les S-ponts sont les classes d somorphsmes de quadruplets (A, λ, ι, η) où. A S est un schéma abélen.. λ : A A t est une polarsaton de degré premer à p.. ι : O B End(A) est compatble avec les nvolutons et de Rosat, et les polynômes det Le(A) et det U 1,0 à coeffcents dans O S sont égaux. v. η : A[N] U/NU est une smltude symplectque, O B -lnéare qu se relève localement pour la topologe étale en une smltude symplectque O B -lnéare H 1 (A, A p f ) U Z A p f. Le schéma X sur Spec(O) est le modèle enter canonque d une varété de Shmura PEL de type (A) ou (C) assocée au groupe réductf G sur Q. Il est lsse sur Spec(O). Remarque Le schéma X est en réalté défn sur O E, mas nous aurons beson de nous placer sur O pour défnr les fasceaux de formes modulares. Remarque La condton det Le(A) = det U 1,0 se reformule smplement de la manère suvante. Notons St le O B Z Z p -module h (Z n p d )a (Z n p d )b lorsque l algèbre B est de type (A) et =1 h =1 (Z n p d )a lorsque B est de type (C), avec dans les deux cas acton de O B facteur par facteur selon les somorphsmes de O B Z Z p avec des produts d algèbres de matrces. Il est équvalent de demander que det Le(A) = det U 1,0 et de demander que Le(A) sot localement somorphe pour la topologe de Zars au fasceau St Zp O S comme O B O S -module.

8 8 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH Remarque Tous les résultats de cet artcle se généralsent mmédatement au cas de n mporte quelle structure de nveau hors de p Structure de nveau wahorque. Soent l m et f tros enters. On note BT f m le champ des groupes de Barsott-Tate de hauteur mf avec une acton de Z p f sur Spec(O). On note BT f,pol l le champ des groupes de Barsott-Tate prncpalement polarsés de hauteur 2lf avec une acton de Z p f qu respecte la polarsaton sur Spec(O). On note ˆ BT f l,m le champ des groupes de Barsott-Tate de dmenson lf et hauteur mf avec une acton de Z p f sur Spf(O) et BT ˆ f,pol l le champ des groupes de Barsott-Tate prncpalement polarsés de dmenson lf avec une acton de Z p f qu respecte la polarsaton sur Spf(O). Par restrcton on obtent des mmersons ouvertes et fermées BT ˆ f l,m BT f m Spf(O) et BT ˆ f,pol l BT f,pol l Spf(O). Dans le cas (A), l exste un morphsme P : X h =1 BT d a +b défn de la manère suvante. On a A[p ] = d =1 A[(π+ ) ] A[(π ) ]. Remarquons que A[(π + ) ] s dentfe au dual de A[(π ) ]. Le groupe de Barsott-Tate A[(π + ) ] est naturellement un module sous M n (Z p d ) et s écrt donc Z n p d Z p d G où G est un groupe de Barsott-Tate de hauteur d (a + b ) mun d une acton de Z p d et dont la fbre spécale sur O/π est de dmenson d a. Le morphsme P envoe le schéma abélen A sur le groupe de Barsott-Tate G. Dans le cas (C), l exste de même un morphsme h P : X BT d,pol a. En effet, on a A[p ] = d =1 A[π ], où les groupes de Barsott-Tate A[π ] sont prncpalement polarsés et sont des modules sous M n (Z p d ). Ils sont donc égaux à Z n p d Z p d G =1 où G est un groupe de Barsott-Tate prncpalement polarsé de hauteur 2a mun d une acton de Z p d. Le morphsme P envoe le schéma abélen A sur le groupe de Barsott-Tate prncpalement polarsé G. Dans le cas (A) comme dans le cas (C), le théorème de déformaton de Serre-Tate mplque que le morphsme P est formellement étale. Dans tous les cas, on note P

9 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 9 la -ème coordonnée de P. Dans le cas non polarsé on note P D le composé de la dualté de Carter avec P. Passer de P à P D revent à échanger π + et π. Les foncteurs P sont smplement les projectons par l dempotent F + défn dans la remarque dans le cas (A) et par l dempotent F dans le cas (C). Par défnton, une structure de nveau wahorque sur un groupe de Barsott-Tate G de hauteur mf et mun d une acton de Z p f est la donnée d un drapeau complet H = (H 0 = 0 H 1 H m = G[p]) de sous-groupe fns et plats de G[p], où H j est stable par Z p f de rang p fj pour tout j m. De même, une structure de nveau wahorque sur un groupe de Barsott-Tate G prncpalement polarsé de hauteur 2lf et mun d une acton de Z p f est la donnée d un drapeau complet H = (H 0 = 0 H 1 H l G[p]) de sous-groupe fns et plats de G[p], où H j est stable par Z p f de rang p fj pour tout j l et H l est totalement sotrope. On note BT f m, le champ des groupes de Barsott-Tate de hauteur mf muns d une acton de Z p f et d une structure de nveau wahorque et BT f,pol l, le champ des groupes de Barsott-Tate prncpalement polarsés de hauteur 2lf muns d une acton de Z p f et d une structure wahorque. Le morphsme d oubl de la structure de nveau wahorque est représentable et propre d après la théore du schéma de Hlbert. Dans le cas (A), on pose h X = X h =1 BTd BT d a +b, a +b Dans le cas (C), on pose X = X h =1 BTd,pol a =1 h =1 BT d,pol a, Ans, X est un schéma propre sur X. Les S-ponts du schéma X correspondent à des quadruplets (A, ι, λ, η, H ) où (A, ι, λ, η) est un S-pont de X et H un drapeau de sous-o B - modules fns et plats de A[p] vérfant des condtons addtonnelles. Ans, dans le cas (A), on a pour tout un drapeau 0 H,1 H,a +b = A[π + ], chaque sous-groupe H,j étant stable par O B et de hauteur nd j. Dans le cas (C), on a pour tout un drapeau 0 H,1 H,a de A[π ], chaque H,j étant totalement sotrope, stable par O B et de hauteur nd j Formes modulares classques. Notons A le schéma abélen unversel sur X. Sot e Ω 1 A/X le fasceau conormal de A le long de la secton neutre. Il est localement pour la topologe de Zars somorphe à St O X comme O B O X -module. Par l équvalence de Morta (vor la remarque 1.1.5), ce fasceau est détermné par le sous-fasceau F e Ω 1 A/X, qu est localement somorphe à h (O X Zp Z p d ) a (O X Zp Z p d ) b =1

10 10 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH comme ( h =1 Z p d Z p d ) O X -module dans le cas (A) et à h =1 (O X Zp Z p d ) a comme ( h =1 Z p d ) O X -module dans le cas (C). Sot T = Isom OB O X (St O X, e Ω 1 A/X ). Dans le cas (A), c est un torseur sur X sous le groupe h M = Res Zp d /Z p (GL a GL b ). Dans le cas (C), c est un torseur sous le groupe h M = Res Zp d /Z p GL a. =1 =1 Ces groupes sont décomposés sur K. Notons dans les deux cas T M le tore dagonal de M, notons B M le sous-groupe de Borel supéreur de M, notons N M son radcal unpotent, X(T M ) le groupe des caractères de T M défns sur K et X(T M ) + le cône des pods domnants pour B M. Défnton Pour tout κ X(T M ) +, le fasceau des formes modulares de pods κ est ω κ = φ O T [κ ] où l on a posé κ = w 0 κ avec w 0 l élément le plus long du groupe de Weyl de M relatvement au tore dagonal T M, on a noté φ : T X la projecton canonque et φ O T [κ ] désgne le sous-fasceau de φ O T où B M = T M N M agt par le caractère κ sur T M et le caractère trval sur N M. Donnons une descrpton plus concrète des formes modulares. Dans le cas (A), on a par l équvalence de Morta h T = Isom Zp d O X ((O X Zp Z p d ) a, F + e Ω 1 A/X ) Isom Z p d O X ((O X Zp Z p d ) b, F e Ω 1 A/X ). =1 On notera (ω +, ω ) 1 h un pont du torseur. Une secton du fasceau ω κ sur un ouvert V est une foncton g sur les quntuplets ( A, λ, ι, η, (ω + + ω ) 1 h) T (V ) vérfant l équaton fonctonnelle (A, ( g( λ, ι, η, (ω + (A, + ω ) b)) = κ (b) g λ, ι, η, (ω + + ω ))) pour tout b dans B. Dans le cas (C), on a une nterprétaton smlare. On note (ω ) 1 h un pont de T qu est somorphe à h Isom Zp d O X ((O X Zp Z p d ) a, F e Ω 1 A/X ) =1 d après l équvalence de Morta. Une secton g du fasceau ω κ sur un ouvert V est donc une foncton sur les quntuplets ( A, λ, ι, η, (ω ) 1 h ) T (V ) vérfant pour tout b B l équaton fonctonnelle g( (A, λ, ι, η, (ω ) b )) = κ (b) g( (A, λ, ι, η, (ω ) )). On désgne encore par ω κ l mage nverse du fasceau ω κ sur X par le morphsme d oubl du nveau wahorque en p. On suppose l hypothèse suvante vérfée. Hypothèse La dmenson complexe de l espace symétrque de G est > 1.

11 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 11 Le prncpe de Köcher énoncé dans la proposton est alors valable et nous pouvons défnr les formes modulares sans nous occuper des pontes de la varété de Shmura. Défnton Une forme modulare de pods κ X(T M ) + sur X Spec(K) est une secton globale du fasceau ω κ. Remarque Pour défnr le fasceau ω κ, nous avons eu beson de nous placer sur O (et pas smplement sur O E ) Foncton degré et formes surconvergentes. Sot l m et f des enters. Sot K une clôture algébrque de K et v : K R sa valuaton normalsée par v(p) = 1. Rappelons que Fargues a défn dans [Fa] le degré deg(g) d un groupe fn et plat G sur Spec(O K). On défnt une foncton On défnt de même une foncton δ : BT f m, (Spec(O K )) [0, fl] (G, H ) deg(h l ) δ : BT f,pol l, (Spec(O K )) [0, fl] (G, H ) deg(h l ) Dans les deux cas, la foncton δ se factorse par l ensemble des classes d somorphsme de groupes de Barsott-Tate muns de structures de nveau wahorques. Supposons m = 2l dans le cas polarsé. Supposons que le groupe de Barsott-Tate G provenne d un élément f de BT ˆ l,m(spf(o K)) f,pol dans le cas (A), et de BT ˆ l (Spf(O K)) dans le cas (C). On dt que (G, H ) est ordnare-multplcatf s δ(g, H ) = fl. Dans ce cas, G est un groupe de Barsott- Tate extenson d un Barsott-Tate étale de hauteur f(m l) par un Barsott-Tate multplcatf de hauteur fl et le sous-groupe H l est de type multplcatf. On note X rg l espace rgde obtenu comme fbre générque au sens de Raynaud de la compléton formelle de X le long de sa fbre spécale. En composant le morphsme P avec les fonctons δ qu vennent d être défnes, on obtent une applcaton encore notée δ h δ : X rg [0, d a ]. On note δ la -ème coordonnée de l applcaton δ. Pour tout ε = (ε ) 1 h R h, on défnt l ouvert rgde X (ε) = {x X rg tq δ (x) d a ε pour 1 h}. Le leu ordnare-multplcatf est X (0). C est le tube d un ouvert de la fbre spécale X Spec(F p ). Il est non vde d après [We, 1.6.3] car on a supposé que p est totalement décomposé dans le corps réflexe E. Remarque Le théorème de Wedhorn montre en fat que p est totalement décomposé dans E s et seulement s le leu ordnare est dense dans X Spec(O/π). Dans ce cas, le leu ordnare est non vde dans X Spec(O/π) et l en est de même du leu ordnaremultplcatf. On peut montrer que le leu ordnare est dense dans X Spec(O/π) s p est totalement décomposé dans F, donc s le groupe G est déployé sur Q p. L énoncé récproque est également vra sous l hypothèse que p est non ramfé dans F. Ans, s p est totalement décomposé dans E mas pas dans F, le leu ordnare n est pas dense dans X Spec(O/π). =1

12 12 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH Cela résulte smplement d une énumératon des strates de Kottwtz Rapoport de codmenson zéro de X Spec(O/π). Défnton Sot κ X(T M ) + un pods domnant. Le Q p -espace vectorel des formes modulares surconvergentes de pods κ est M(X, κ) = colm ε>0 H 0 (X (ε), ω κ ). 2. Acton de l algèbre de Hece 2.1. Acton géométrque sur les champs de BT. Soent l m et f tros enters postfs. Nous allons construre des correspondances géométrques, c est à dre des morphsmes représentables, fns et étales p BT 1, pbt 2 : C BT BT f m, Spec(K) dans le cas non polarsé p BT 1, pbt 2 : C BT BT f,pol l, Spec(K) dans le cas polarsé. Dans le cas non polarsé, C BT est par défnton le champ sur Spec(K) qu paramètre les trplets (G, H, L) où G est un groupe de Barsott-Tate de hauteur mf avec une acton de Z p f, où H est une structure de nveau wahorque sur G et où L est un sous-groupe de G[p] stable par Z p f vérfant L H l = G[p]. La projecton p BT 1 est l oubl du sous-groupe L. La projecton p BT 2 envoe le trplet (G, H, L) sur le couple (G, H ) vérfant que G = G/L et que H est l mage de H dans G pour tout 1 l et l mage de p 1 (H L) dans G pour tout l + 1 m. Dans le cas polarsé, C BT est le champ sur Spec(K) qu paramètre les trplets (G, H, L) où G est un groupe Barsott-Tate prncpalement polarsé de hauteur 2lf avec une acton de Z p f, où H est une structure de nveau wahorque sur G et où L est un sous-groupe lagrangen stable par Z p f de G[p] vérfant L H l = G[p]. La projecton p BT 1 est l oubl du groupe L. La projecton p BT 2 envoe le trplet (G, H, L) sur le couple (G, H ) vérfant que G = G/L et que H est l mage de H dans G pour tout 1 l. Notons P(X) l ensemble des partes d un ensemble X et P(X ) l ensemble des partes de l ensemble des classes d somorphsmes d un groupoïde X. On obtent, dans le cas non-polarsé, une applcaton p BT 2 (p BT 1 ) 1 : ) ) U : P (BT f m, (O K ) P (BT f m, (O K ) et de même, dans le cas polarsé, une applcaton : ( ) U : P BT f,pol l, (O K ) P L applcaton U respecte les ensembles fns. ( BT f,pol l, (O K ) )

13 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES Acton géométrque sur les varétés de Shmura. Nous allons assocer à tout enter 1 h des correspondances géométrques p 1, p 2 : C X Spec(K) p rg 1, prg 2 : C rg X rg. Pour défnr C dans le cas non polarsé l sufft de réalser le produt fbré C C BT X K p BT 1 BT d a +b, K Cette défnton fournt la projecton p 1 : C X Spec(K). On vérfe grâce à la remarque que C est somorphe au produt fbré C C BT X K p BT 2 BT d a +b, K Cela fournt la seconde projecton p 2. Les projectons p 1 et p 2 sont fnes étales. On a une constructon analogue dans le cas polarsé. Remarque Le schéma C sur X Spec(K) paramètre des sous-groupes d un type partculer du schéma abélen unversel. Dans le cas (A), l paramètre les sextuplets (A, λ, ι, η, H, L) où (A, λ, ι, η, H ) est un pont de X Spec(K) et L est un sous-groupe de A[p] stable par O B vérfant L[π + ] = L[π ] tels que F + (A, H, L) détermne un pont du champ C BT. On a une nterprétaton smlare dans le cas (C). On dra dans les deux cas que L est un groupe de type U et que l sogéne A A/L est de type U. Il y a tout de même une ambguïté dans l somorphsme entre C et l espace obtenu grâce au produt fbré par la projecton p BT 2. En effet, s (A, λ, ι, η, H, L) est un sextuplet comme précédemment, la projecton p 2 correspond au schéma abélen A/L avec des structures addtonnelles. Ces structures sont défnes canonquement, sauf la polarsaton. S l n y a qu une seule place au-dessus de p dans F 0, alors on défnt l opérateur U p qu est canonque. Dans ce cas, L est un sous-groupe totalement sotrope de A[p], et on prend comme polarsaton pour A/L la polarsaton descendue p λ. Dans le cas général, L est un sous-groupe totalement sotrope de A[π ]. Fxons un élément totalement postf x de O F0 tel que la valuaton π j -adque de x sot 0 s j, et 1 s j =. On défnt la polarsaton sur A/L comme la polarsaton descendue x λ. C est ben une polarsaton de degré premer à p. Néanmons, le chox de l élément x fat que la défnton de la projecton p 2 (donc de l opérateur de Hece géométrque) n est pas canonque. Cela ne sera pas mportant dans la sute.

14 14 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH On défnt C rg comme le produt fbré C rg C an X rg p 1 X an où on aurat pu remplacer p 1 par p 2 et «an» désgne l analytfé d un schéma de type fn sur Spec(K). Dans toute la sute, s le contexte est clar, on supprme des notatons les exposants «rg» et «BT». Notons Ouv(X rg ) la catégore des ouverts admssbles de Xrg. Les correspondances C rg défnssent des foncteurs U : Ouv(X rg ) Ouv(Xrg ( ) V p 2 p 1 1 (V )) 2.3. Acton sur les formes modulares. Notons π : A A l sogéne unverselle au dessus de C où A et A désgnent l mage nverse par p 1 et p 2 du schéma abélen unversel A. Elle ndut une applcaton O B -lnéare et donc auss une applcaton π : e Ω 1 A /X e Ω 1 A /X π : F e Ω 1 A /X F e Ω 1 A /X Au dessus de X Spec(K) le nombre premer p est nversble et les applcatons π sont des somorphsmes. Il en résulte qu on dspose d un somorphsme nverse (π ) 1 : p 1 T p 2 T et donc d applcatons (π ) 1 : p 2 ωκ p 1 ωκ pour tout κ X(T M ) +. Sot V un ouvert de X rg. Posons V = U (V ). On note Ũ l applcaton composée H 0 (V, ω κ ) H 0 (p 1 1 (V ), p 2 ω κ ) (π ) 1 H 0 (p 1 1 (V ), p 1 ω κ ) Trp 1 H 0 (V, ω κ ). On a une défnton analogue en prenant pour source et but X Spec(K). Sot n l enter égal à d a b dans le cas (A) et à d a (a + 1)/2 dans le cas (C). On note U = qu est un opérateur de Hece agssant sur l espace des formes classques H 0 (X Spec(K), ω κ ) ans que sur l espace des formes surconvergentes M(X, κ). La normalsaton par le facteur p n vse à optmser l ntégralté du morphsme Tr p1 au dessus du tube ordnare-multplcatf X (0). Remarque Explctons l opérateur U dans le cas (A). Sot f une secton du fasceau ω κ vue comme foncton sur les sextuplets ( A, λ, ι, η, H, (ω + ω ) 1 h). Localement pour la topologe étale, la trace du morphsme p 1 est une somme et on a ( (A, U (f) λ, ι, η, H, (ω + ω ))) = 1 Ũ p n p n f L A[p] de type U ( (A/L, λ, ι, η, H, (ω + ω )))

15 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 15 où (ω + ω ) est donné par la règle π ω = ω pour π : A A/L la projecton et où λ, ι et H désgne les structures ndutes par λ, ι et H sur A/L. Remarque Comme détallé dans la remarque 2.2.1, l opérateur de Hece U n est a pror pas défn canonquement. Il est cependant canonque s on se restrent aux formes nvarantes par l acton d un certan groupe (vor [PS] dans le cas Hlbert par exemple). Remarquons enfn que, même avec cette défnton non canonque, les opérateurs de Hece (U ) commutent entre eux. En effet, on a la formule 1 p n +n j (U U j )(f)( (A, λ, ι, η, H, (ω + ω ))) = L 1 A[p] de type U L 2 A[p] de type U j ( (A/(L1 f + L 2 ), λ, ι, η, H, (ω + ω ))) où la polarsaton λ est la polarsaton descendue (x x j ) λ. 3. Dynamque d un opérateur de Hece Nous montrons que les tératons successves d un opérateur de Hece tendent à accumuler les ponts de X rg sur X (0). Pour smplfer les notatons, on préfère décrre d abord la dynamque au nveau des champs de groupes de Barsott-Tate Sur les champs de BT. Commençons par trater le cas non polarsé. Soent l m et f tros enters postfs. Rappelons qu on dspose pour toute extenson fne K de K contenue dans K de l opérateur de Hece U qu agt sur P(BT f m, (O K )) et d une applcaton degré δ : BT f m, (O K ) [0, fl] qu ne dépend que de la classe d somorphsme d un objet de BT f m, (O K ). Il est clar que l opérateur U stablse le sous-ensemble P( BT ˆ f l,m,(o K)) P(BT f m, (O K )). Les résultats qu suvent sont drectement nsprés de [P]. Proposton Sot x un pont de ˆ BT f l,m,(o K) et y U({x}). On a δ(y) δ(x). Démonstraton. Soent H l,x et H l,y les deux sous-groupes fns et plats de rang p fl sur Spec(O K) correspondants à x et y. L sogéne canonque entre G x et G y ndut un morphsme de H l,x vers H l,y qu est un somorphsme en fbre générque. D après [Fa, coro. 3], on a deg(h l,y ) deg(h l,x ). Proposton Sot x BT ˆ f l,m,(o K) qu correspond à (G, H ). Supposons qu l exste un pont y U(x) tel que δ(x) = δ(y). Alors H l est un groupe de Barsott-Tate tronqué d échelon un et G[p] est somme drecte de H l et d un autre groupe de Barsott-Tate tronqué d échelon un stable par Z p f. En partculer, δ(x) est enter.

16 16 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH Démonstraton. Par défnton de l opérateur U, l exste un sous-groupe L G[p] fn et plat de rang p f(m l) stable par Z p f sur Spec(O K ) tel que G K [p] = H l,k L K et que y corresponde au couple (G/L, π(h )) où π désgne la projecton canonque de G sur G/L et l mage est prse au sens schématque. Comme δ(x) = δ(y), le morphsme H l π(h l ) qu est un somorphsme générque est un somorphsme sur Spec(O K) [Fa, coro. 3]. Le morphsme H l L G[p] qu est un somorphsme en fbre générque ndut une égalté générque entre les sous-groupes π(h l ) et G[p]/L de G/L. Par adhérence schématque dans G/L, on en dédut l égalté de π(h l ) et G[p]/L sur Spec(O K). On obtent donc deg(h l ) = fl deg(l). Cette égalté de degrés mplque que H l L G[p] est un somorphsme sur Spec(O K). En partculer, H l et L sont des groupes de Barsott-Tate tronqués d échelon un. Le degré de H l est enter d après [P, lem. 2.1]. Le cas polarsé se trate exactement de la même manère ; les détals sont d alleurs explqués dans [P, th. 3.1]. Contentons-nous d exposer les résultats. Soent l et f deux enters et correspondant à (G, H ). x BT ˆ f,pol l, (O K) Proposton Pour tout y U({x}) on a δ(y) δ(x). En cas d égalté, H l est un groupe de Barsott-Tate tronqué d échelon un et G[p] est somme drecte de H l et d un groupe de Barsott-Tate tronqué d échelon un ; les deux facteurs de cette somme drecte sont totalement sotropes et stables par Z p f, et δ(x) est enter Sur les varétés de Shmura. On trate ndfféremment le type (A) ou (C). On dspose pour 1 h de l opérateur de Hece U qu agt sur les ouverts rgdes de X rg en stablsant le tube ordnare-multplcatf X (0). Nous avons défn l applcaton degré h δ : X rg [0, d a ] et noté δ : X rg [0, d a ] sa -ème composante. La proposton suvante généralse [P, prop. 2.5]. Proposton Soent 1 h et 0 n d a 1 des enters et 0 < η ν < 1 des réels. Il exste un enter N tel que l téré U N de U vérfe U N ( δ 1 ([d a n ν, d a ]) ) δ 1 ([d a n η, d a ]). Démonstraton. On peut toujours supposer η et ν dans Q. L ouvert =1 V = δ 1 ([d a n ν, d a n η ]) de X rg est quas-compact donc p 1 1 (V ) Crg,a auss. La foncton sur p 1 1 (V ) qu a un pont u assoce δ (p 2 (u)) δ (p 1 (u)) est la valuaton d une foncton analytque donc attent son mnmum ε d après le prncpe du maxmum. Les propostons et mplquent ε > 0. Ans, pour tout x V et y U ({x}) on a δ (y) δ (x)+ε. On en dédut asément le résultat.

17 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 17 Rappelons que les dfférents opérateurs U avec varable commutent deux à deux et que U préserve la foncton δ j s j. Corollare Pour tout, sot n [0, d a ] un enter et 0 < η ν < 1 des réels. Notons n = (n ), η = (η ) et ν = (ν ). Il exste un enter N tel que ( h ) N U (X (n + ν))) X (n + η). =1 4. Prolongement analytque Dans toute cette parte, f M(X, κ) désgne une forme modulare surconvergente de pods fxé κ X + (T M ). Rappelons que dans le cas (A), κ = h d (,j,1,j,a, l,j,1 l,j,b ) =1 j=1 est un pods domnant défn sur K du tore maxmal T M de M = h =1 Res Z p d /Z p (GL a GL b ). Dans le cas (C), h d κ = (,j,1,j,a ) =1 j=1 est un pods domnant défn sur K du tore maxmal T M de M = h Res Zp d /Z p GL a. =1 On suppose f propre et de pente fne pour U pour tout 1 d. Cela sgnfe que pour tout 1 d l exste α K tel que U f = α f. D après la normalsaton des opérateurs de Hece, on a v(α ) 0 pour tout où l on rappelle que v désgne la valuaton de K normalsée par v(p) = 1. Posons dans la sute α = α et U = U où le produt désgne la composton. Nous allons montrer que s κ est suffsamment grand devant les valuatons p-adques des α en un sens que nous précserons en 4.5.1, la forme f s étend en une secton du fasceau ω κ sur toute la varété rgde X rg. Remarquons qu un tel prolongement est nécessarement unque en vertu du prncpe de prolongement analytque [Be, prop ] Prélmnares de géométre rgde. Regroupons dans ce paragraphe les résultats généraux de géométre rgde et formelle utlsés dans la sute de l artcle Normes et recollement. Sot Z un schéma formel admssble sur Spf(O) de fbre générque rgde Z rg rédute. Le fasceau structural O Z rg est mun d une norme canonque. Sot F un fasceau localement lbre de type fn sur Z. Notons F rg le fasceau ndut par F sur Z rg. D après [Ka, par. 2], F rg est canonquement mun d une norme en fasant un O Z rg-module de Banach. Sot T une correspondance fne étale sur Z rg qu ndut une applcaton T : P(Z rg ) P(Z rg ). Supposons que T nduse une correspondance cohomologque T : H 0 (T (V ), F rg ) H 0 (V, F rg ) pour V un ouvert de Z rg. On pose alors T V = nf { c R + tq T (f) V c f V f H 0 (T (V ), F rg ) }.

18 18 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH Notons F rg le sous-fasceau de F rg des sectons de norme 1. La proposton suvante est prouvée dans [Ka, lem. 2.3] et résulte d un théorème de Bartenwerfer. Vor auss [P, cor.5.1]. Proposton Supposons Z rg lsse. Pour tout ouvert quas-compact V de Z rg, on a H 0 ( V, F rg) ( K O lm H 0 V, F rg /p n) Morphsmes fns étales. Nous rappelons c quelques proprétés des morphsmes fns étales d espaces analytques rgdes. Pour les défntons, on pourra se reporter par exemple à [Be]. Tous les espaces rgdes consdérés c seront supposés quas-séparés. Nous abrègerons l expresson «ouvert admssble» en «ouvert». Proposton Sot f : X Y un morphsme fn étale d espaces analytques rgdes. Alors l mage d un ouvert par f est un ouvert, et l mage d un ouvert quas-compact est un ouvert quas-compact. Démonstraton. D après [Bo], un morphsme plat quas-compact d espace analytques rgdes est ouvert. Le morphsme f étant fn étale, donc plat quas-compact, l envoe un ouvert sur un ouvert. Supposons que U est un ouvert quas-compact de X et sot (V ) I un recouvrement admssble par des affnoïdes de f(u). Alors (f 1 (V ) U) I est un recouvrement admssble de U et on peut donc en extrare un sous-recouvrement admssble fn. Il exste donc un ensemble fn I 0 tel que (V ) I0 recouvre f(u). Comme cet espace est quas-séparé, ce recouvrement est admssble, et cela prouve que l mage de U par f est quas-compacte. n 0 Rappelons mantenant la noton usuelle de vosnage strct. Défnton Sot X un espace rgde quas-compact sur K et U un ouvert quascompact. Un vosnage strct de U est un ouvert quas-compact V contenant U tel que le recouvrement (V, X\U) de X sot admssble. Proposton Sot X un espace rgde sur K, U 1, U 2 des ouverts quas-compacts de X et sot V un vosnage strct de U pour = 1, 2. Alors V 1 V 2 est un vosnage strct de U 1 U 2, et V 1 V 2 un vosnage strct de U 1 U 2. Démonstraton. Tratons par exemple le cas de l unon. Nous devons montrer que le recouvrement B = (V 1 V 2, X\(U 1 U 2 )) de X est admssble. Pusque le recouvrement (V 1, X\U 1 ) de X est admssble, l sufft de vérfer que l ntersecton du recouvrement B avec V 1 et X\U 1 est admssble. L ntersecton de B avec V 1 donne le recouvrement (V 1, V 1 \(V 1 (U 1 U 2 ))) de V 1, qu est admssble. L ntersecton avec X\U 1 donne le recouvrement B = ((V 1 V 2 )\U 1, X\(U 1 U 2 ) de X\U 1. Or le recouvrement B = (V 2 \(V 2 U 1 ), (X\U 1 ) (X\U 2 )) est un recouvrement admssble de X\U 1 car V 2 est un vosnage strct de U 2. Comme B est un recouvrement plus fn que B, on en dédut que B est un recouvrement admssble de X\U 1. Les vosnages strcts sont également préservés par les morphsmes fns étales. Proposton Sot f : X Y un morphsme fn étale d espaces analytques rgdes quas-compacts sur K. Soent U un ouvert quas-compact de X et V un vosnage strct de U dans X. Alors f(v) est un vosnage strct de f(u) dans Y.

19 CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES 19 Démonstraton. La proprété à démontrer étant locale, on peut supposer Y affnoïde. Le fat que le recouvrement (V, X\U) sot admssble mplque qu l exste un ouvert quascompact U nclus dans le complémentare de U tel que (V, U ) est un recouvrement admssble de X. Chosssons des modèles formels X, Y et f : X Y de X, Y et f respectvement. D après [BL] lemme 5.7, qutte à effectuer un éclatement admssble de X, on peut supposer que U, V et U sont les tubes de sous-schémas ouverts U, V et U de X. D après [BL] théorème 5.2, qutte à effectuer un éclatement admssble de Y et remplacer X par son transformé strct relatvement à l éclatement de Y, on peut supposer que le morphsme f est plat. D après [BL] corollare 5.3, qutte à effectuer un autre éclatement admssble de Y et prendre pour X le transformé strct, on peut supposer que f est quas-fn. Le fat d être plat étant stable par changement de base, on s est donc ramené au cas où le morphsme f est quas-fn et plat. En rasonnant comme dans [AM] lemme A.1.1., on en dédut que f est fn et plat. Sot X 0 la fbre spécale de X, et de même pour Y 0, U 0, V 0 et U 0. Alors U, V et U sont égaux à l mage nverse de leur fbre spécale par le morphsme de spécalsaton. De plus, V 0 et U 0 sont deux ouverts recouvrant X 0, et on a U 0 X 0 \U 0 V 0 Le morphsme f ndut sur les fbres spécales étant fn et plat, les mages de U 0 et V 0 par f sont des ouverts de Y 0, et l mage de X 0 \U 0 est un fermé W 0 de Y 0 (le morphsme f est propre, donc fermé). On a alors f(u 0 ) W 0 f(v 0 ) Les ouverts f(u) et f(v) sont égaux aux mages nverses de f(u 0 ) et f(v 0 ) par le morphsme de spécalsaton. Or s W 0 désgne le complémentare de W 0, et W l mage nverse de W 0 par le morphsme de spécalsaton, alors W est un ouvert quas-compact contenant le complémentare de f(v) et contenu dans le complémentare de f(u). Cela mplque que les recouvrements (f(v), W ) et (f(v), Y \f(u)) sont admssbles, donc que f(v) est un vosnage strct de f(u). Énonçons mantenant un crtère de fntude, qu sera très mportant pour décomposer les opérateurs de Hece. Proposton Soent X, Y deux espaces rgdes séparés, et f : X Y un morphsme fn étale. Sot également U un ouvert de X telle que l mmerson ouverte U X sot quascompacte. Supposons que le cardnal des fbres géométrques de f U : U Y sot constant. Alors les morphsmes f U : U Y et f X\U : X\U Y sont fns et étales. Démonstraton. La proprété étant locale sur Y, on peut supposer Y affnoïde. Alors X = f 1 (Y ) est également affnoïde, U est quas-compact. D après le lemme A.1.1. de [AM], le morphsme U Y est fn étale. Par [SGA1], V, coro. 3.5, le morphsme U Y est ouvert et fermé. Il en résulte que X \ U Y est auss fn étale Prolongement en grand degré. Conformément aux notatons de la parte 1.5, posons X (1 ) = {x X rg tq δ (x) > d a 1 pour 1 h}. Proposton La forme modulare surconvergente f s étend canonquement en une secton de ω κ sur X (1 ).

20 20 STÉPHANE BIJAKOWSKI, VINCENT PILLONI ET BENOÎT STROH Démonstraton. On utlse l équaton fonctonnelle f = α N U N (f) valable pour n mporte quel enter N 0 et on conclut en applquant le corollare Remarque Nous avons unquement utlsé l hypothèse de pente fne. La proposton est valable pour tout pods κ X(T M ) Décomposton des opérateurs de Hece. Nous avons vu que l opérateur de Hece U augmente la foncton δ et lasse les fonctons δ j nchangées pour j. De plus, l augmente strctement la foncton δ sur le leu où celle-c n est pas à valeurs entères. Sot r un enter ; s x est un pont de X rg avec δ (x) = r, l peut exster des ponts dans U (x) de même degré que x. Nous drons que ces ponts sont «mauvas» parce qu ls ne se rapprochent pas strctement du leu multplcatf. Notaton Fxons un ratonnel ε > 0. Fxons également un ndce entre 1 et h, et un ntervalle I j de [0, d j a j ] pour j. Pour tout γ < ε, nous allons effectuer un recouvrement de l ouvert U γ = δ 1 (I 1 I 1 [0, d a 1 + γ] I +1 I h ) qu permettra de décomposer l opérateur de Hece. Pour smplfer les notatons, on note smplement U pour l ouvert U γ. Défnton Sot V un ouvert quas-compact de X rg. Une bonne sute d ouverts de V est une sute décrossante (V ) 0 d ouverts quas-compacts, avec V 0 = V et V = s est suffsamment grand. La longueur de la sute est le plus pett enter R tel que V R =. S (V ) 0 est une bonne sute d ouverts de V, alors celu-c est l unon dsjonte des (V \V +1 ) 0, mas ben sûr en général ce recouvrement ne sera pas admssble. A présent, nous allons construre une bonne sute d ouverts de l ouvert U suvant le nombre de «mauvas» ponts de l ensemble U ({x}) pour x U, Défnton Sot β un ratonnel avec 0 < β < ε. Pour tout x = (A, ι, λ, η, H ) U, sot N(x, β) le nombre de ponts y de U ({x}) avec δ (y) d a 1 + β. Ben sûr la foncton N ne peut prendre qu un nombre fn de valeurs. Sot N max le nombre de ponts de U ({x}) pour tout x ; alors N(x, β) N max. Remarque Sot x = (A, ι, λ, η, H ) U et L 0 un sous-groupe de type U dans A[p]. On note y le pont de U ({x}) correpondant à L 0, et (G, H, L) le pont de C BT assocé. Alors δ (y) = deg (G[p]/L) = d a deg L La condton δ (y) d a 1 + β est donc équvalente à deg L 1 β. De plus, par défnton, on a L = F + L 0 dans le cas (A) et L = F L 0 dans le cas (C). Le degré de L 0 est donc égal à celu de L multplé par n, et la condton précédente se réécrt deg L 0 n(1 β). Défnton Sot U l ouvert de U défn par U := {x U, N(x, β) } Le fat que cet espace est effectvement un ouvert de U est justfé dans le lemme suvant. Lemme Les (U ) 0 forment une bonne sute d ouverts de U.