Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

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1 Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est une constnte Conclusion : ϕt = Ot s lorsque t I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt ϕt = t C est le produit d une fonction bornée u voisinge de pr une tk t k ϕt fonction tendnt vers, et pr conséquent : lim = t tk I- Pr hypothèse, pour t, on At = + t + + k t k + t k+ ϕt vec ϕ une fonction bornée u voisinge de Pr suite, il vient lim t t k+ ϕt =, et donc lim t At = I- Soit t u voisinge de Alors : A t = ra t A rt r = + r r r t + Ot k+ cr d près I-, O rt k+ = Ot k+ = r + t + t + + Ot k+ + rt + r t + + Ort k+ r On en déduit : A t = r t + + Ot k+ En posnt, = r, on donc le résultt souhité I-3 Soit Pn l propriété pour n {,, k} : pour t, A n t = + n,n+ t n+ + n,n+ t n+ + + Ot k+ P est vrie d près l question précédente Supposons Pn vrie pour n {,, k } fixé Alors pour t, A n+ t = rn+ A n t A n rt r n+ = rn+ + n,n+t n+ + n,n+t n+ + +Ot k+ + n,n+ r n+ t n+ + n,n+r n+ t n+ + +Ort k+ r n+ On observe que le terme en t n+ s élimine, et qu il rester une expression de l forme + n+,n+ t n+ + + Ot k+, donc Pn + est vrie Conclusion : I-4 On : le développement limité de A n à l ordre k u voisinge de est de l forme A n t = + n,n+ t n+ + + Ot k lim m + rm t = cr r > Vu que lim t At =, pr composition de limites on donc lim m + Arm t = I-3 Soit p N Alors A p, = Ar p t Or, pour t u voisinge de, le développement limité de A à l ordre est At = + Ot Pr suite, vu que lim p + rp t =, on Ar p t = + Or p t D près I-, t étnt une constnte, on bien A p, = + Or p Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs

2 I-3 Soit q N Alors d près I-3, pour t, A q t = + Ot q+ Pr suite, pour p + et q {,, p}, A p,q = A q r p t = + Or pq+ t q+, d où A p,q = + Or pq+ On obtient donc αp, q = pq + I-33 Soit p N Alors A p, = A r p t = rarp t Ar r p t r = rarp t Ar p t r On donc bien A p, = ra p, A p, r I-34 Soit p N, soit q {,, p} Alors A p,q = A q r p t = rq A q r p t A q r r p t r q De plus, rq A p,q A p,q r q = rq + A p,q A p,q r q On obtient donc bien A p,q = rq A p,q A p,q r q = rq A p,q A p,q r q = A p,q + r q A p,q A p,q = A p,q + r q A p,q A p,q I-4 Pour q p m, on vu que αp, q = pq +, donc αp, q est mximum pour q = p = m et minimum pour p = q = L plus grnde vleur de αp, q est mm +, l plus petite vleur est D près I-, plus l puissnce de t est grnde dns Ot k, plus ce terme est petit qund t On peut donc ttendre à priori l meilleure pproximtion de pr A p,q lorsque A p,q = + Or αp,q ser tel que αp, q soit le plus grnd possible, donc il s git de l vleur A m,m, vec A m,m = + Or σm, et σm = mm + I-5 D près l formule de Tylor-Young, et pr unicité des coefficients d un développement limité, on : p {,, k}, c p = gp α I-5 Soit h R Alors Gh = G est donc pire gα h gα + h h = gα + h gα h h = Gh D près Tylor-Young, on pour h : gα + h = gα + hg α + oh gα + hg α + oh ] gα hg α + oh ] On en déduit, pour h : Gh = h = g α + o Pr suite, lim h Gh = g α, donc G est prolongeble pr continuité en pr l vleur g α I-53 Soit h u voisinge de Alors : gα + h gα h Gh = h = c +c h+c h + +c kh k +c kh k +Oh k+ ] c c h+c h + c kh k +c kh k +Oh k+ h On obtient donc : Gh = c + c 3 h + c 5 h c k h k + Oh k I-6 Posons r = 4 et t = h Alors on r >, et pour p {,, m}, Ar p t = A4 p h = G h 4 p h = G p Le choix r = 4 et t = h répond donc à l question I-6 Pour t u voisinge de +, on At = G t = c + c 3 t + c 5 t + + c k t k + Ot k d près I-53 D près I-3, on lim A p, = c p + Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs ]

3 D près I-5, on finlement lim A p, = l = g α p + I-7 Pour t >, on ici At = ln3 + t ln3 t t On trouve lors : A, , A, , A, , A 3, On obtient ensuite le tbleu : A, A, A, A, A, A, A 3, A 3, A 3, A 3, Remrque : le progrmme Mple utilisé pour obtenir ce résultt est le suivnt : # Initilistions G:=t->ln3+t-ln3-t//t; h:=8; for p from to 3 do Ap,]:=Gh/^p; # Clcul des termes for p from to 3 do for q from to p do Ap,q]:=r^q*Ap,q-]-Ap-,q-]/r^q-; # Affichge for p from to 3 do for q from to p do printf 5%f printf \n ;,Ap,q]; I-7 On l = g α, donc dns l exemple étudié on trouve l = 3 On voit clirement dns le tbleu que l meilleure pproximtion est obtenue pour A 3,3, ce qui correspond bien à l vleur trouvée u I-4 DEUXIÈME PARTIE II- B est tel que B = B, d où B = X + c c R, et On donc B = X B t dt = t ] t + c dt = + ct = + c, d où c = De même, B = B = X, d où B = X X + c c R, et On donc B = X X + 6 t 3 ] B t dt = 3 t + ct = 6 + c, d où c = 6 Enfin, B 3 = 3B = 3X 3X +, d où B 3 = X 3 3 X + X +c c R, et d où c = On donc B 3 = X 3 3 X + X B 3 t dt = t 4 4 t3 + ] 4 t +ct = c, Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs 3

4 II- On trouve à prtir des expressions précédentes : b =, b =, b = 6 et b 3 = De même, B =, B =, B = 6 et B 3 = On observe donc que b p = B p pour p {,, 3} II-3 Soit p N, p Alors B p t dt =, donc B pt p dt =, d où Bp t p ] = B p B p p =, et donc b p = B p II- Soit t R, lors B t = B = donc B p vérifie i p N Soit p N, soit t R Alors B pt = p B p t = p pb p t = p B p t De plus, On en déduit B p t dt = p B p t dt = p B p u du en effectunt le chngement de vrible u = t B p t dt =, et donc B p vérifie ii p N Les reltions i et ii définissnt clirement de mnière unique l suite B p p N, on donc : p N, Bp = B p II- Soit p N Alors b p+ = B p+ = B p+ D près I-3, on de plus b p+ = B p+ d où d près I- : b p+ = B p+ On obtient donc clirement : p N, b p+ = II-3 On ft dt = B tft dt = En intégrnt pr prties, on obtient donc : B tft dt pr définition de B et B Vu que B = X, on obtient : ft dt = ft dt = ] B tft II-3 L démonstrtion précédente prouve que l formule est vrie pour n = B tf t dt B tft dt = f + f B tf t dt Supposons l formule étblie pour n N fixé Alors : n f + f = ft dt + p b p f p f p + n+ = ft dt + p= p= B n t f n t dt n! n p b p f p f p + n+ B n+t n + n! f n t dt On intègre pr prtie l intégrle située à droite de l formule : B n+t ] n + n! f n Bn+ t t dt = n +! f n B n+ t t n +! f n+ t dt = b n+ f n f n B n+ t n +! n +! f n+ t dt cr b n+ = B n+ = B n+ d près I- En reportnt cette expression dns l formule précédente, on obtient l formule demndée u rng n +, d où : n, f + f = ft dt + II-33 Soit n, de l forme n = k, k N n p b p f p f p + n+ p= B n t f n t dt n! Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs 4

5 D près II-, tous les termes de l somme correspondnt à un indice p impir sont nuls, il reste donc en réindexnt l somme : f + f = ft dt + b p f p f p B k t k! f k t dt II-4 Soit t R, notons n = Et Alors n t < n +, d où n + t < n + et donc Et + = n + Pr suite, D p t + = B p t + n = B p t n = D p t et donc D p est périodique de période Soit, b R tel que < b Considérons l subdivision x i i n de, b] telle que, b] N = {x,, x n } x x x n x n b Alors pour i {,, n }, t ]x i, x i+, f ]xi,x i+ t = B pt x i pr définition L ppliction f ]xi,x i+ est donc clirement prolongeble à x i, x i+ ] en une fonction de clsse C sur x i, x i+ ], qui n est utre que t B p t x i, et pr suite D p est de clsse C pr morceux sur R II-4 Soit q {,, N} Alors f q est de clsse C sur, ] comme composée de telles pplictions Soit m N On clirement t, ], f t = ft, d où f m = f m Soit m N, soit q {,, N} Alors clirement t, ], f m q f q m = f m q De même, pour m N, f m N t = f m t + q, d où f q m = f m q = f m + q + et donc = f m + N et donc f m N = f m N II-43 Soit q {,, N} Alors l formule ppliquée à f q fournit : fq + f q b p = f q t dt + f p q f q p Compte tenu de l définition de f q et de II-4, on obtient donc : q fq + fq = fu du + q B k t k! f q k t dt b p f p q f p q q q on effectué le chngement de vrible u = t + q dns chcune des deux intégrles Pour tout t q, q, on de plus Et = q, d où t q, q, B k t q + = D k t Écrivons lors chcune de ces formules pour q N : b p f + f = ft dt + f p f p D k t k! f k t dt f + f = ft dt + b p f p f p D k t k! f k t dt B k u q + f k u du k! N fn + fn = N ft dt + b p f p N f p N N D k t N k! f k t dt En dditionnnt toutes ces reltions, et en utilisnt l reltion de Chsles, on obtient bien : N f + fq + N fn = ft dt + q= b p f p N f p N D k t k! f k t dt Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs 5

6 TROISIÈME PARTIE III- g est clirement de clsse C sur, N] comme composée de telles fonctions De plus, pr récurrence immédite, on : m N, t, N], g m t = h m f m + th Appliquons lors l formule à g : N g + gq + N gn = gt dt + q= b p g p N g p N D k t k! gk t dt On exploite lors l formule donnnt les dérivées successives de g, et on multiplie le tout pr h : ] N h f + f + qh + N fb =h f + th dt + h h p b p f p b f p q= N D k t h k! hk f k + ht dt On reconnît dns le membre de guche le terme T f h, et on effectue dns chque intégrle du membre de droite le chngement de vrible u = + th, du = h dt, on obtient bien insi : T f h = fu du + h p b p f p b f p h k D u k h f k u du k! III- L ppliction B k est continue sur, ] qui est compct, donc est bornée sur, ] Pr suite, M R + tel que t, ], Bk t M Or, pour tout t R, t Et, ], donc t R, D k t M D u k h On en déduit f k u du k! D u k h f k u du k! On donc h k D u k h f k u du = Oh k k! En posnt, pour p {,, k}, d p = T f h = k ft dt + d p h p + Oh k M f k u du k! } {{ } constnte indépendnte de h b p f p b f p, on obtient donc bien : III-3 D près III- et I-, on clirement lim t At = ft dt III-3 On est dns un cs similire à celui étudié u I-6, l fonction T f jount le rôle de G On obtient donc de l même fçon r = 4 et t = h h III-4 Pour p N, on d près ce qui précède : A p, = Ar p t = T f et donc A p p, = T f h p On obtient donc, pour p N, A p, = T f h p = T f h p III-4 Soit p N p Alors A p, = T f h p = h p f + f + qh p + ] fb q= On décompose l somme en deux : d un côté les indices q pirs q = r vec r p, de l utre les indices q impirs q = r + vec r p : Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs 6

7 A p, = h p p f + p f + rh p + f + r + h p + fb r= r= On remrque que, dns l première somme, chque terme f + rh p est égl à f + rh p, et de plus l deuxième somme est égle à A p, h p On donc finlement : A p, = A p, + A p, L intérêt de cette formule est de permettre le clcul de A p, en réutilisnt l vleur de A p,, donc en économisnt une prtie des clculs Plus précisément, l ppliction directe de l formule initile donnnt A p, oblige à clculer p termes de l forme f + qh p, lors que A p, ne fournit que p tels termes Le nombre de termes à clculer est donc divisé pr deux III-5 Soit t R L formule de Tylor, reste intégrl fournit pour l fonction x sin x sur l intervlle, t] : sin t = t costx dx Pr suite, on t R, ft = L ppliction, ] R R costx dx, et on remrque que cette formule reste vlble pour t = étnt clirement de clsse C sur, ] R, d près le théorème reltif à l x, t cosxt dérivtion des intégrles dépendnt d un prmètre, on en déduit que f C, ], R III-5 On clcule les sept vleurs dns l ordre suivnt : A,, A,, A,, A,, A,, A 3, et A 3, En effet, l formule du III-4 A p, = A p, + A p, permet d ccélérer les clculs On obtient insi : A, 57 ; A,, 785 ; A,, 835 ; A 3,, 847 et A, = ; A,, 94 ; A 3, 93 III-53 On obtient les vleurs suivntes : A,, A,, A,, A,, A,, A,, A 3,, A 3,, A 3,, A 3,3, De même qu u I-7, l meilleure pproximtion est à priori A 3,3 3 III-6 Si l fonction f est périodique de période b, lors il en est de même de chcune de ses dérivées successives, et donc l formule 4 s écrit : T f h = ft dt + Oh k Le procédé d extrpoltion de Richrdson ynt pour but de supprimer les termes de l forme p h p pprissnt dns le développement limité, il est donc inutile de l ppliquer ici Plus précisément, on obtiendr, pour q p : A p,q = A p, En bref, l méthode est dns ce cs un moyen ssez sophistiqué de consommer de l mémoire et du temps de clcul informtique 4 FIN Meuh!! Cette formule ser donc prticulièrement intéressnte dns un contexte informtique 3 Mple trouve l pproximtion :, Nous vons donc 6 décimles justes, ce qui n est ps ml 4 Mis dns le style, Windows NT fit beucoup mieux! Microsoft free Powered by Linux, TEX, Gnu-Emcs 7

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