Interaction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n 2. Résonance magnétique : approche classique

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1 PGA & SDUEE Année Interaction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n. Résonance magnétique : approche classique Première interprétation classique d une expérience de résonance magnétique On considère un moment magnétique que l on plonge dans la superposition de champs magnétiques suivante. On superpose au champ magnétique permanent B 0 = B 0uz un champ magnétique d amplitude plus petite B uniforme, perpendiculaire à Oz et tournant à la vitesse angulaire ω r. On définit un référentiel R ) OXY z tournant avec la même vitesse angulaire que B autour de l axe Oz. On pose : B = B ux avec B constant et faible devant B 0. On suppose qu à l instant t = 0 Ox et OX sont confondus. On pose : ω 0 = γ B 0 ; ω = γ B ; ω = ω r ω 0 ) u z d ) d ). Donner l équation de. En déduire celle de. R 0 R. Que peut-on dire du vecteur ω ω) dans le référentiel R )? 3. A t = 0, on suppose que t=0 = u z. Comment doit-on choisir ω r pour que z = u z oscille entre les deux valeurs opposées et +? Pourquoi parle-t-on alors de résonance? On suppose que cette condition est réalisée dans toute la suite de la partie. 4. Que vaut alors la période des oscillations de z? 5. En déduire sans aucun calcul que, si l on tient compte des phénomènes de relaxation temps caractéristique noté ), la norme B du champ tournant ne doit pas être trop faible, pour que z oscille entre deux valeurs sensiblement égales et +, durant les premières pseudo-périodes. 6. Le champ B est remplacé par un champ B alternatif, de direction fixe dans R 0 ) : B = B cosω r t) u x ; expliquer pourquoi, à la résonance, l évolution de reste la même, sur une durée de l ordre de la période déterminée à la question 4. Prise en compte de la relaxation dans l étude de la résonance magnétique : cas de la résonance magnétique nucléaire du noyau de 99 Hg Le moment magnétique désigne à présent la moyenne des moments magnétiques d un ensemble d atomes de moment cinétique moyen σ ce moment magnétique moyen est donc proportionnel au vecteur aimantation, supposé uniforme, de l échantillon).

2 On a : = γ σ γ rapport gyromagnétique). On nomme 0 = 0uz la valeur de à l équilibre thermique en présence du seul champ B 0. d ) On suppose alors que la valeur de est la somme de deux contributions : R 0 l une, déjà étudiée, due aux champs magnétiques appliqués à partir de l instant t = 0. 0 l autre, égale à, due aux phénomènes de relaxation les temps de relaxation longitudinale et transversale sont ici égaux T = T = ).. On s intéresse désormais à l évolution de N moments magnétiques par unité de volume. L aimantation s écrit alors : = N. Etablir les équations de Bloch qui décrivent la vitesse d évolution de dans le repère tournant avec B, OXY z.. On désigne par u, v et w, les composantes cartésiennes de en régime permanent dans le repère OXY z. u est mesurée le long de B, v est perpendiculaire à B 0 et B, w est parallèle à B 0. On rappelle que : u = 0 ω r ω 0 ) ω ω r ω 0 ) + ) + ω v = 0 ω / ω r ω 0 ) + ) + ω a) Pour quelle valeur de ω r a-t-on u = v? b) Calculer la largeur ω r à mi-hauteur de la courbe vω r ) et l écart δω r entre les abscisses du minimum et du maximum de uω r ). c) Soient u m et les valeurs extrémales de u et de v. Calculer u m. d) Exprimer ω en fonction de ω r et de. 3. La figure jointe est une courbe de RN prise sur des noyaux de 99 Hg très protégés des perturbations extérieures. On ne s étonnera donc pas de la durée élevée de. Le principe de détection est le phénomène d induction électromagnétique qui engendre une fém induite dans une bobine. La quantité observée pour les composantes u et v voies X et Y) est donc exprimée en mv. Les valeurs écrites sur la courbe sont en Hertz unité de fréquence et non de pulsation, en particulier pour la valeur de ν 0 qui correspond à ω 0 ). Les échelles sont données, soit directement sur le graphe, soit exprimées dans le cartouche à côté du graphe. a) Identifier les deux courbes. b) esurer ω r, δω r, u m. En déduire. Entre ω r et δω r, quelle est la quantité déterminée avec la meilleure précision? c) Déduire des mesures la valeur ω. Est-on bien dans les conditions de résonance? d) On donne B 0 = 8, 708 G = 8, T. Calculer le rapport gyromagnétique du noyau 99 Hg et son facteur de Landé.

3 Première interprétation classique d une expérience de résonance magnétique. d ) = ω 0 + ω ) R 0 d ) d ) = ω r R R 0 d ) soit = ω ω) R. ω ω) est un vecteur constant dans le référentiel R ). 3. Dans R ), précesse autour de ω ω). Pour que z oscille entre - et +, il faut que le vecteur-rotation soit perpendiculaire à l axe Oz. Soit ω = 0 ou ω r = ω 0 = γ B 0. On parle de résonance car la présence du champ B, pourtant d amplitude négligeable, provoque une modification complète du moment magnétique. Cette situation est maximale pour une valeur donnée de ω r. 4. La période des oscillations de z est : T = π = π. ω γb 5. Pour que des oscillations aient lieu avant la relaxation, il faut avoir T <<, soit B >> π γ. 6. Le champ B est la somme du champ B et d un champ de même amplitude tournant en sens inverse. Le champ tournant en sens inverse a sa résonance pour ω r = ω 0 et donc a un effet négligeable pour la résonance correspondant au champ B. Prise en compte de la relaxation dans l étude de la résonance magnétique : cas de la résonance magnétique nucléaire du noyau de 99 Hg. Si 0 = N 0 alors : d X = ω r ω 0 ) Y X d Y = ω r ω 0 ) X ω Z Y d Z = ω Y Z 0. a) ω r = ω 0 +. b) v a une forme Lorentzienne. La largeur à mi-hauteur est donnée par les deux valeurs de ω telles que : vω) = / = vω 0 )/ ω r = + ω. 3

4 δω r est déterminée en cherchant les deux valeurs pour lesquelles la dérivée de uω r ) s annule. δω r = + ω = ω r. c) u m = uω 0 ± δω r ) et =vω 0 ) u m = + ω ) ) d) ω= ωr 3. a) u est antisymétrique et v est symétrique b) L échelle en Hz est donnée par un trait : ω r = π, 75 0, 06 = 0, 8 rad.s On vérifie aisément que, dans les barres d erreurs, on a bien ω r = δω r. Au vu des courbes, la largeur à mi-hauteur est mesurée de façon nettement plus précise que la distance entre les extrema de u. Le cartouche indique qu il y a un facteur entre les échelles de u =X) et de v =Y ). u m =,6 soit = 7, 7 s. ) c) ω= ωr = 0, 9 = ω = 0, 3 rad.s On a bien les conditions de résonance puisque ω << ω 0 = 6, π= 4, rad.s d après la valeur indiquée sur la courbe) et, de plus, π > ω d) γ = ω 0 B 0 = 4, C.kg g = m p γ il s agit ici d une résonance magnétique nucléaire) e 4

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