CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES."

Transcription

1 CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires suivants dans K n (K=R ou C): y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n (S 1 ) Y (t) = AY(t), t R, = y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n où: (S 2 ) y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + b 1 (t) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + b 2 (t) y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + b n (t) Y (t) = AY(t)+B(t), t I, les inconnues sont y 1,y 2,,y n, fonctions de la variable réelle t, à valeurs dans K, dérivables par rapport à la variable réelle t sur R ou I, intervalle de R, y 1 (t) y 2 (t) Y : t I Y(t) = Kn est une fonction dérivable sur R ou un intervalle ouvert I de R, y n (t) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M nn(k), a n1 a n2 a nn b 1 (t) b 2 (t) B : t I B(t) = Kn est une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R b n (t) Remarque: Si dans (S 2 ), on fait B(t) = et I = R, on obtient alors (S 1 ) I Définitions Théorème de Cauchy Propriétés générales 1 Définitions: Le système (S 1 ) est appelé système différentiel linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants dans K, d inconnues y 1,y 2,,y n On appelle solution de (S 1 ) toute fonction Y définie dérivable sur R à valeurs dans K n vérifiant (S 1 ) Le système (S 2 ) est appelé système différentiel linéaire du premier ordre avec second membre (ou inhomogène) à coefficients constants dans K defini sur I, d inconnues y 1,y 2,,y n On appelle solution de (S 2 ) toute fonction Y définie dérivable sur l intervalle I à valeurs dans K n vérifiant (S 2 ) 2 Problème de Cauchy Théorème de Cauchy Résoudre un problème de Cauchy est la recherche de solution(s) d un système différentiel de type (S 1 ) ou (S 2 ) vérifiant une condition initiale donnée Y K n en un temps donné ( I) Autrement dit, on cherche à résoudre : { Y (t) = AY(t)+B(t) Y( ) = Y où B(t) est éventuellement nul et I, (ou R), Y K n 1

2 Théorème de Cauchy (admis): Pour tout R et Y K n, il existe une unique solution du système (S 1 ) vérifiant Y( ) = Y Pour tout I et Y K n, il existe une unique solution du système (S 2 ) vérifiant Y( ) = Y 3 Propriétés de l ensemble des solutions de (S 1 ) ou (S 2 ): L ensemble des solutions de (S 1 ) est un espace vectoriel sur K Soit U(t) une solution particulière de (S 2 ) Alors toute solution de (S 2 ) s écrit : Y(t) = U(t)+Z(t) où Z(t) est la solution générale du système linéaire différentiel (S 1 ) associé ( c est-à-dire sans second membre) II Méthodes de résolution explicite des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants (S 1 ) ou (S 2 ) 1 Exemples: (a) Cas n=1: Alors les systèmes (S 1 ) et (S 2 ) se réduisent aux deux équations différentielle suivantes: La solution générale de la première (E 1 ) est : (E 1 ) y = ay ; (E 2 ) y = ay+b(t) y(t) = λ e at Si on impose la condition initiale y() = y, on obtient λ = y Quant à la seconde (E 2 ), d après les propriétés 3 du paragraphe I, la solution générale s écrit: y(t) = u(t)+λ e at où u(t) est une solution particulière de (E 2 )Comment trouver une solution particulière de (E 2 )? On utilisera la méthode, dite, de la variation de la constante que l on verra plus tard, de façon générale, mais qui est la suivante: On cherche u(t) sous la forme u(t) = µ(t)e at En injectant dans l équation,on obtient: soit: µ (t)e at = b(t) µ(t) = e as b(s)ds d où u(t) = ( e as b(s)ds)e at Il suffit de prendre une solution particulière (d où l abscence de constante: ici on a u( ) = ) La solution générale de (E 2 ) s écrit: y(t) = ( e as b(s)ds)e at + λ e at Si on impose la condition initiale y( ) = y on obtient λ = y Remarque: On peut généraliser l équation E 2 en ne supposant plus le coefficient a constant mais en le prenant comme une fonction de t On obtient une équation différentielle linéaire, avec second membre, en dimension 1, qui n est plus à coefficient constant, de la forme: (E 2 bis) y = a(t)y+b(t) Les propriétés 3 du paragraphe I restent vraies et la méthode de résolution donnée ci-dessus aussi, soit la solution s écrit: y(t) = y (t)+u(t) avec : 2

3 i y (t) solution générale de y = a(t)y soit y (t) = λ e t a(s)ds = λ g(t) ii u(t) est obtenue par la variation de la constante comme précédemment ce qui donne, avec les mêmes notations: µ (t)g(t) = b(t) b(s) t µ(t) = g(s) ds d où u(t) = ( b(s) g(s) ds)g(t) (b) Cas n=2: ( a1 i A = a 2 ) Alors les systèmes (S 1 ) ou (S 2 ) se ramènent respectivement à deux équations de type(e 1 ) ou (E 2 ) que l on sait résoudre Exemple: Soit à résoudre le système (S 1 ) suivant: { x (t) = 2x(t) y (t) = 3y(t) ( x ) (t) y = (t) 2 = 3 x(t) y(t) Alors on a deux équations de type (E 1 )que l on résoud séparément La solution est donnée par: ( x(t) x e Y(t) = = 2t ) y(t) y e 3t x où la colonne Y = correspond à la valeur initiale pour t = y a11 a ii A = 12 Considérons seulement le système (S a 1 ) Alors (S 1 ) est équivalent à: 22 { x (t) = a 11 x(t)+a 12 y(t) y (t) = a 22 y(t) La deuxième équation est de type (E 1 ) que l on sait résoudre On reporte sa solution générale dans la premiére équation du système qui devient alors du type (E 2 ) où la fonction inconnue est x(t) On sait résoudre mias dans ce cas le paragraphe suivant va nous fournir une méthode plus rapide iii Le cas A général sera vu plus tard, pour n importe quelle dimension d espace 2 Résolution explicite du système (S 1 ): Théorème: (a) L unique solution Y(t) du système (S 1 ) dans K, de condition initiale Y() = Y s écrit: Y(t) = R A (t)y où R A (t) est une matrice carrée de M n (K), indépendante de la condition initiale R A (t) s appelle la matrice résolvante de (S 1 ) et est unique (b) R A (t) est donnée en fonction de A et t comme suit: a 11 e a 11t a 22 i Si A =, alors R e a 22t A(t) = a nn e a nnt a a 12 a 1n a a 2n ii Si A = =ai n + N avec N triangulaire supérieure stricte donc N n =, alors : a R A (t) = e at (I n + tn t2 N (n 1)! tn 1 N n 1 ) 3

4 T 1 T 2 iii Si A =, où T i(i = 1p) est une matrice d ordre n i de la forme donnée dans ii), soit T p T i = λ I ni + N i avec N i triangulaire supérieure stricte, et n 1 + n 2 ++n p = n alors: R T1 (t) R T2 (t) R A (t) = R Tp (t) où R Ti (t)est donnée par ii) iv Si A est quelconque dansm n (K), A est nécessairement trigonalisable dansm n (C) donc il existe une matrice complexe de changement de bases P telle que P 1 AP = A est de la forme précédente (donnée dans iii) Alors R A (t) = PR A (t)p 1 De plus si A est réelle, R A (t) est aussi réelle (c) Dans tous les cas R A (t) vérifie les propriétés suivantes: i R A () = I, ii d dt (R A(t)) = AR A (t) = R A (t)a, iii R A (t + s) = R A (t)r A (s), iv R A (t) est inversible et (R A (t)) 1 = R A ( t) Preuve: (voir cours) Pour chaque cas de A donné dans (b), on vérifie succesivement à la main que Y(t) = R A (t)y pour les différents R A (t) proposés dans (b) est solution de (S 1 ) et vérifie la condition initialele Théorème de Cauchy permet de déduire que c est la solution unique Elle se présente donc bien sous la forme énoncée dans (a) L unicité de R A (t) résulte du même théorème de Cauchy Exemple: Prenons pour A la matrice suivante: A = soit le système: 1 Y (t) = Y(t), 1 où Y(t) = x(t) y(t) z(t) On relève du cas ( b) iii du théorème ci-dessus Alors on a T 1 = 2 et T 2 = avec N2 2 = ( e Alors R T1 = e 2t et R T2 = e t t te (I 2 + tn 2 ) = t ) e t d où: On peut facilement déduire la proposition suivante: 1 1 = 1 R A (t) = e2 e t te t et Y(t) = e2 e t te t Y() e t e t = I 2 + N 2 Proposition: L ensemble S des solutions de (S 1 ) est un espace vectoriel de dimension n sur K et de base (E 1,E 2,,E n ) où E i (t) = R A (t)e i, i = 1,2,,n et (e 1,e 2,e n ) est la base canonique de K n Les solutions (E 1,E 2,,E n ) sont appelées solutions fondamentales 3 Résolution explicite du système (S 2 ): Théorème: L unique solution de (S 2 ) définie sur l intervalle I contenan avec condition initiale Y() = Y est donnée par: Y(t) = Z(t)+U(t) 4

5 où Z(t) = R A (t)y est l unique solution du système (S 1 ) associé (sans second membre) avec condition initiale Z() = Y (déterminée par le théorème du paragraphe 2) et U(t) une solution particulière de (S 2 ),obtenue par la méthode de la variation de la constante soit: Alors la solution Y(t) est donnée par: U(t) = R A (t u)b(u)du Y(t) = R A (t)y + R A (t u)b(u)du Preuve: Elle consiste à vérifier directement, en utilisant les propriétés de R A (t), que U(t) est solution de (S 2 ) 4 Conclusion Pour résoudre le système (S 2 ) avec condition initiale Y() = Y, on procède comme suit: (a) On résout le système associé (S 1 ) de la façon suivante : i On diagonalise si possible la matrice A dans C, sinon on trigonalise dans C Par changement de bases, de matrice P, si on pose Z(t) = P 1 Z(t), A = P 1 AP, on se ramène donc au cas (b)i, (b)ii ou (b)iii du paragraphe 2 On résout le système (Z(t) ) = A Z(t) avec la condition initiale Z() = P 1 Y soit Z(t) = R A (t)p 1 Y ii La solution est donnée par Z(t) = PZ(t) = PR A (t)p 1 Y = R A (t)y On a donc R A (t) = PR A (t)p 1 (b) On calcule la solution particulière U(t) de (S 2 ) donnée dans le paragraphe 3 précédent (c) La solution cherchée est Y(t) = Z(t)+U(t) III Application: Résolution des équations différentielles linéaires à une inconnue, à coefficients constants, de tout ordre Ce sont des équations de l un ou l autre des deux types suivants: où: (E 1 ) y (n) + a n 1 y (n 1) ++a 1 y + a y = (E 2 ) y (n) + a n 1 y (n 1) ++a 1 y + a y = b(t) a o,a 1,,a n 1 sont des éléments de K y est une fonction de la variable réelle t R dans le cas (E 1 ), ou t I dans le cas (E 2 ), ( I intervalle ouvert de R), à valeurs dans K et de plus dérivable jusqu à l ordre n b est une fonction continue sur I à valeurs dans K 1 Propriétés générales: A toute fonction y dérivable jusqu à l ordre n sur R ou I, on associe la colonne y(t) y (t) Y(t) = Kn y n 1 (t) A la fonction b continue sur I, on associe la colonne Soit dans M n (K): B(t) = b(t) Kn 1 1 A = 1 a a 1 a 2 a n 1 5

6 Alors: y est solution de (E 1 ) Y (t) = AY(t), y est solution de (E 2 ) Y (t) = AY(t)+B(t) De cette propriété et des résultats sur les systèmes différentiels linéaires, nous allons déduire les deux théorèmes suivants 2 Théorème de Cauchy pour (E 1 ): (a) L équation (E 1 ) admet une solution unique vérifiant les conditions initiales suivantes: y() = c 1, y () = c 2,,y (n 1) () = c n (b) L ensemble des solutions de (E 1 ) est un espace vectoriel de dimension n sur K Pour résoudre (E 1 ), il suffit de trouver n solutions indépendantes 3 Théorème pour (E 2 ): Toute solution y de (E 2 ) est de la forme: y = z+u où z est la solution générale de (E 1 ) associée à (E 2 ) (sans second membre), fournie précédemment et u est une solution particulière de (E 2 ) 4 Exemples de résolution explicite dans le cas n = 2: On ne fera que le cas n = 2 L équation (E 1 ) s écrit alors: ay + by + cy = où y est la solution définie sur R L espace des solutions est de dimension 2 Il suffit de chercher une base On cherche s il existe des solutions de la forme y(t) = e λt Une telle solution existe si et seulement si: aλ 2 + bλ + c = (EC) Cette équation s appelle l équation caractéristique de (E 1 ) (a) b 2 4ac : (EC) a deux solutionsλ 1,λ 2 d où deux solutions de (E 1 ): y 1 (t) = e λ 1t, y 2 (t) = e λ 2t, qui sont libres et constituent une base de l espace des solutions de (E 1 ) Remarque: Supposons a, b, c réels i Si b 2 4ac > alors y 1 et y 2 sont réelles donc constituent une base de l espace des solutions réelles de (E 1 ) ii Si b 2 4ac< alors y 1 et y 2 sont deux solutions complexes conjuguées car λ 2 = λ 1 Alors y 1+y 2 2 = e αt cosβt et y 1 y 2 2i = e αt sinβt (avec λ 1 = α + iβ ) sont deux solutions réelles indépendantes donc une base de l espace des solutions réelles de (E 1 ) (b) b 2 4ac = : (EC) a une solution λ = b 2a Alors y 1 tel que y 1 (t) = e λ t est solution mais il manque un élément dans la base Dans ce cas un calcul montre que y 2 tel que y 2 (t) = te λ t est solution L espace des solutions de (E 1 ) a pour base y 1,y 2 La recherche d une solution particulière dans le cas d une équation (E 2 ) avec second membre sera vue en Td sur des exemples 6

Equations Différentielles

Equations Différentielles Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 1 Equations Différentielles I- Définitions élémentaires. On appelle Equation Différentielle Ordinaire (EDO) toute équation (E) du type (E) : y (n) (t) = F (t; y(t);

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Cours de mathématiques.

Cours de mathématiques. Orsay 008-009 IFIPS S Mathématiques (M160). Cours de mathématiques. 1. Equations différentielles linéaires du second ordre. La fonction C : x cos x est indéfiniment dérivable sur R, et C (x) = S(x), avec

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Maths PCSI Cours Table des matières Equations différentielles 1 Généralités 2 1.1 Solution d une équation différentielle................................ 2 1.2 Problème de Cauchy.........................................

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Chapitre 9 Les équations différentielles

Chapitre 9 Les équations différentielles Chapitre 9 Les équations différentielles A) Généralités Une équation différentielle est une équation dont l inconnue est une fonction et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs dérivées de cette fonction.

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS N désigne l effectif d une population isolée. dn(t) dt MODÈLE DE MALTHUS (1766-1834) dn(t)

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Méthodes numériques pour le pricing d options

Méthodes numériques pour le pricing d options Méthodes numériques pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 6 février 013 Nous allons tester les différentes méthodes de différence finies vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Les équations différentielles

Les équations différentielles Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Bases mathématiques pour l économie et la gestion

Bases mathématiques pour l économie et la gestion Bases mathématiques pour l économie et la gestion Bases mathématiques Pour l économie et la gestion - Table des matières PREMIERE PARTIE : QUELQUES OUTILS Chapitre : Traitement de systèmes d'équations..

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Université Paris Diderot Langage Mathématique (LM1) Département Sciences Exactes 2011-2012 Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Durée : 3 heures Exercice 1 Dans les expressions suivantes, les

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité)

ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité) ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité) Le mathématicien américain Lester Hill (1891-1961) a inventé une méthode de chiffrement à clé symétrique (secrète) par substitution polygraphique

Plus en détail

Matrices et déterminants

Matrices et déterminants Matrices et déterminants Matrices Définition.. Une matrice réelle (ou complexe) M = (m i,j ) (m, n) à m lignes et n colonnes est un tableau à m lignes et n colonnes de réels (ou de complexes). Le coefficient

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Equations dierentielles

Equations dierentielles Equations dierentielles Université Mohammed I Faculté des Sciences Département de Mathématiques Oujda. Plan 1 Introduction 2 3 Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI. 1 Introduction 2 3 Introduction Une

Plus en détail

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R.

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R. CHAPITRE I Fonctions d une variable réelle. Limites Soit f une fonction définie sur R : et soit R. f W R! R 7! f./ Définition. Limite finie en un point) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers

Plus en détail

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011 COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011 2 PC Premier semestre Version 2011 Cours Exercice Auteur de la Ressource Pédagogique PICQ Martine MATHEMATIQUES Cours et exercices de Mathématiques

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION CHAPITRE 2 FONCTIONS I. INTRODUCTION Une fonction est «une machine à transformer des nombres». Par eemple, la fonction «carré» désigne la «machine» qui transforme les nombres en leurs carrés. Ainsi elle

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2 DEUG MIAS 1 e année, 2 e semestre. Maximilian F. Hasler Département Scientifique Interfacultaire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fax : 0596 72 73

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail