CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES."

Transcription

1 CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires suivants dans K n (K=R ou C): y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n (S 1 ) Y (t) = AY(t), t R, = y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n où: (S 2 ) y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + b 1 (t) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + b 2 (t) y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + b n (t) Y (t) = AY(t)+B(t), t I, les inconnues sont y 1,y 2,,y n, fonctions de la variable réelle t, à valeurs dans K, dérivables par rapport à la variable réelle t sur R ou I, intervalle de R, y 1 (t) y 2 (t) Y : t I Y(t) = Kn est une fonction dérivable sur R ou un intervalle ouvert I de R, y n (t) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M nn(k), a n1 a n2 a nn b 1 (t) b 2 (t) B : t I B(t) = Kn est une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R b n (t) Remarque: Si dans (S 2 ), on fait B(t) = et I = R, on obtient alors (S 1 ) I Définitions Théorème de Cauchy Propriétés générales 1 Définitions: Le système (S 1 ) est appelé système différentiel linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants dans K, d inconnues y 1,y 2,,y n On appelle solution de (S 1 ) toute fonction Y définie dérivable sur R à valeurs dans K n vérifiant (S 1 ) Le système (S 2 ) est appelé système différentiel linéaire du premier ordre avec second membre (ou inhomogène) à coefficients constants dans K defini sur I, d inconnues y 1,y 2,,y n On appelle solution de (S 2 ) toute fonction Y définie dérivable sur l intervalle I à valeurs dans K n vérifiant (S 2 ) 2 Problème de Cauchy Théorème de Cauchy Résoudre un problème de Cauchy est la recherche de solution(s) d un système différentiel de type (S 1 ) ou (S 2 ) vérifiant une condition initiale donnée Y K n en un temps donné ( I) Autrement dit, on cherche à résoudre : { Y (t) = AY(t)+B(t) Y( ) = Y où B(t) est éventuellement nul et I, (ou R), Y K n 1

2 Théorème de Cauchy (admis): Pour tout R et Y K n, il existe une unique solution du système (S 1 ) vérifiant Y( ) = Y Pour tout I et Y K n, il existe une unique solution du système (S 2 ) vérifiant Y( ) = Y 3 Propriétés de l ensemble des solutions de (S 1 ) ou (S 2 ): L ensemble des solutions de (S 1 ) est un espace vectoriel sur K Soit U(t) une solution particulière de (S 2 ) Alors toute solution de (S 2 ) s écrit : Y(t) = U(t)+Z(t) où Z(t) est la solution générale du système linéaire différentiel (S 1 ) associé ( c est-à-dire sans second membre) II Méthodes de résolution explicite des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants (S 1 ) ou (S 2 ) 1 Exemples: (a) Cas n=1: Alors les systèmes (S 1 ) et (S 2 ) se réduisent aux deux équations différentielle suivantes: La solution générale de la première (E 1 ) est : (E 1 ) y = ay ; (E 2 ) y = ay+b(t) y(t) = λ e at Si on impose la condition initiale y() = y, on obtient λ = y Quant à la seconde (E 2 ), d après les propriétés 3 du paragraphe I, la solution générale s écrit: y(t) = u(t)+λ e at où u(t) est une solution particulière de (E 2 )Comment trouver une solution particulière de (E 2 )? On utilisera la méthode, dite, de la variation de la constante que l on verra plus tard, de façon générale, mais qui est la suivante: On cherche u(t) sous la forme u(t) = µ(t)e at En injectant dans l équation,on obtient: soit: µ (t)e at = b(t) µ(t) = e as b(s)ds d où u(t) = ( e as b(s)ds)e at Il suffit de prendre une solution particulière (d où l abscence de constante: ici on a u( ) = ) La solution générale de (E 2 ) s écrit: y(t) = ( e as b(s)ds)e at + λ e at Si on impose la condition initiale y( ) = y on obtient λ = y Remarque: On peut généraliser l équation E 2 en ne supposant plus le coefficient a constant mais en le prenant comme une fonction de t On obtient une équation différentielle linéaire, avec second membre, en dimension 1, qui n est plus à coefficient constant, de la forme: (E 2 bis) y = a(t)y+b(t) Les propriétés 3 du paragraphe I restent vraies et la méthode de résolution donnée ci-dessus aussi, soit la solution s écrit: y(t) = y (t)+u(t) avec : 2

3 i y (t) solution générale de y = a(t)y soit y (t) = λ e t a(s)ds = λ g(t) ii u(t) est obtenue par la variation de la constante comme précédemment ce qui donne, avec les mêmes notations: µ (t)g(t) = b(t) b(s) t µ(t) = g(s) ds d où u(t) = ( b(s) g(s) ds)g(t) (b) Cas n=2: ( a1 i A = a 2 ) Alors les systèmes (S 1 ) ou (S 2 ) se ramènent respectivement à deux équations de type(e 1 ) ou (E 2 ) que l on sait résoudre Exemple: Soit à résoudre le système (S 1 ) suivant: { x (t) = 2x(t) y (t) = 3y(t) ( x ) (t) y = (t) 2 = 3 x(t) y(t) Alors on a deux équations de type (E 1 )que l on résoud séparément La solution est donnée par: ( x(t) x e Y(t) = = 2t ) y(t) y e 3t x où la colonne Y = correspond à la valeur initiale pour t = y a11 a ii A = 12 Considérons seulement le système (S a 1 ) Alors (S 1 ) est équivalent à: 22 { x (t) = a 11 x(t)+a 12 y(t) y (t) = a 22 y(t) La deuxième équation est de type (E 1 ) que l on sait résoudre On reporte sa solution générale dans la premiére équation du système qui devient alors du type (E 2 ) où la fonction inconnue est x(t) On sait résoudre mias dans ce cas le paragraphe suivant va nous fournir une méthode plus rapide iii Le cas A général sera vu plus tard, pour n importe quelle dimension d espace 2 Résolution explicite du système (S 1 ): Théorème: (a) L unique solution Y(t) du système (S 1 ) dans K, de condition initiale Y() = Y s écrit: Y(t) = R A (t)y où R A (t) est une matrice carrée de M n (K), indépendante de la condition initiale R A (t) s appelle la matrice résolvante de (S 1 ) et est unique (b) R A (t) est donnée en fonction de A et t comme suit: a 11 e a 11t a 22 i Si A =, alors R e a 22t A(t) = a nn e a nnt a a 12 a 1n a a 2n ii Si A = =ai n + N avec N triangulaire supérieure stricte donc N n =, alors : a R A (t) = e at (I n + tn t2 N (n 1)! tn 1 N n 1 ) 3

4 T 1 T 2 iii Si A =, où T i(i = 1p) est une matrice d ordre n i de la forme donnée dans ii), soit T p T i = λ I ni + N i avec N i triangulaire supérieure stricte, et n 1 + n 2 ++n p = n alors: R T1 (t) R T2 (t) R A (t) = R Tp (t) où R Ti (t)est donnée par ii) iv Si A est quelconque dansm n (K), A est nécessairement trigonalisable dansm n (C) donc il existe une matrice complexe de changement de bases P telle que P 1 AP = A est de la forme précédente (donnée dans iii) Alors R A (t) = PR A (t)p 1 De plus si A est réelle, R A (t) est aussi réelle (c) Dans tous les cas R A (t) vérifie les propriétés suivantes: i R A () = I, ii d dt (R A(t)) = AR A (t) = R A (t)a, iii R A (t + s) = R A (t)r A (s), iv R A (t) est inversible et (R A (t)) 1 = R A ( t) Preuve: (voir cours) Pour chaque cas de A donné dans (b), on vérifie succesivement à la main que Y(t) = R A (t)y pour les différents R A (t) proposés dans (b) est solution de (S 1 ) et vérifie la condition initialele Théorème de Cauchy permet de déduire que c est la solution unique Elle se présente donc bien sous la forme énoncée dans (a) L unicité de R A (t) résulte du même théorème de Cauchy Exemple: Prenons pour A la matrice suivante: A = soit le système: 1 Y (t) = Y(t), 1 où Y(t) = x(t) y(t) z(t) On relève du cas ( b) iii du théorème ci-dessus Alors on a T 1 = 2 et T 2 = avec N2 2 = ( e Alors R T1 = e 2t et R T2 = e t t te (I 2 + tn 2 ) = t ) e t d où: On peut facilement déduire la proposition suivante: 1 1 = 1 R A (t) = e2 e t te t et Y(t) = e2 e t te t Y() e t e t = I 2 + N 2 Proposition: L ensemble S des solutions de (S 1 ) est un espace vectoriel de dimension n sur K et de base (E 1,E 2,,E n ) où E i (t) = R A (t)e i, i = 1,2,,n et (e 1,e 2,e n ) est la base canonique de K n Les solutions (E 1,E 2,,E n ) sont appelées solutions fondamentales 3 Résolution explicite du système (S 2 ): Théorème: L unique solution de (S 2 ) définie sur l intervalle I contenan avec condition initiale Y() = Y est donnée par: Y(t) = Z(t)+U(t) 4

5 où Z(t) = R A (t)y est l unique solution du système (S 1 ) associé (sans second membre) avec condition initiale Z() = Y (déterminée par le théorème du paragraphe 2) et U(t) une solution particulière de (S 2 ),obtenue par la méthode de la variation de la constante soit: Alors la solution Y(t) est donnée par: U(t) = R A (t u)b(u)du Y(t) = R A (t)y + R A (t u)b(u)du Preuve: Elle consiste à vérifier directement, en utilisant les propriétés de R A (t), que U(t) est solution de (S 2 ) 4 Conclusion Pour résoudre le système (S 2 ) avec condition initiale Y() = Y, on procède comme suit: (a) On résout le système associé (S 1 ) de la façon suivante : i On diagonalise si possible la matrice A dans C, sinon on trigonalise dans C Par changement de bases, de matrice P, si on pose Z(t) = P 1 Z(t), A = P 1 AP, on se ramène donc au cas (b)i, (b)ii ou (b)iii du paragraphe 2 On résout le système (Z(t) ) = A Z(t) avec la condition initiale Z() = P 1 Y soit Z(t) = R A (t)p 1 Y ii La solution est donnée par Z(t) = PZ(t) = PR A (t)p 1 Y = R A (t)y On a donc R A (t) = PR A (t)p 1 (b) On calcule la solution particulière U(t) de (S 2 ) donnée dans le paragraphe 3 précédent (c) La solution cherchée est Y(t) = Z(t)+U(t) III Application: Résolution des équations différentielles linéaires à une inconnue, à coefficients constants, de tout ordre Ce sont des équations de l un ou l autre des deux types suivants: où: (E 1 ) y (n) + a n 1 y (n 1) ++a 1 y + a y = (E 2 ) y (n) + a n 1 y (n 1) ++a 1 y + a y = b(t) a o,a 1,,a n 1 sont des éléments de K y est une fonction de la variable réelle t R dans le cas (E 1 ), ou t I dans le cas (E 2 ), ( I intervalle ouvert de R), à valeurs dans K et de plus dérivable jusqu à l ordre n b est une fonction continue sur I à valeurs dans K 1 Propriétés générales: A toute fonction y dérivable jusqu à l ordre n sur R ou I, on associe la colonne y(t) y (t) Y(t) = Kn y n 1 (t) A la fonction b continue sur I, on associe la colonne Soit dans M n (K): B(t) = b(t) Kn 1 1 A = 1 a a 1 a 2 a n 1 5

6 Alors: y est solution de (E 1 ) Y (t) = AY(t), y est solution de (E 2 ) Y (t) = AY(t)+B(t) De cette propriété et des résultats sur les systèmes différentiels linéaires, nous allons déduire les deux théorèmes suivants 2 Théorème de Cauchy pour (E 1 ): (a) L équation (E 1 ) admet une solution unique vérifiant les conditions initiales suivantes: y() = c 1, y () = c 2,,y (n 1) () = c n (b) L ensemble des solutions de (E 1 ) est un espace vectoriel de dimension n sur K Pour résoudre (E 1 ), il suffit de trouver n solutions indépendantes 3 Théorème pour (E 2 ): Toute solution y de (E 2 ) est de la forme: y = z+u où z est la solution générale de (E 1 ) associée à (E 2 ) (sans second membre), fournie précédemment et u est une solution particulière de (E 2 ) 4 Exemples de résolution explicite dans le cas n = 2: On ne fera que le cas n = 2 L équation (E 1 ) s écrit alors: ay + by + cy = où y est la solution définie sur R L espace des solutions est de dimension 2 Il suffit de chercher une base On cherche s il existe des solutions de la forme y(t) = e λt Une telle solution existe si et seulement si: aλ 2 + bλ + c = (EC) Cette équation s appelle l équation caractéristique de (E 1 ) (a) b 2 4ac : (EC) a deux solutionsλ 1,λ 2 d où deux solutions de (E 1 ): y 1 (t) = e λ 1t, y 2 (t) = e λ 2t, qui sont libres et constituent une base de l espace des solutions de (E 1 ) Remarque: Supposons a, b, c réels i Si b 2 4ac > alors y 1 et y 2 sont réelles donc constituent une base de l espace des solutions réelles de (E 1 ) ii Si b 2 4ac< alors y 1 et y 2 sont deux solutions complexes conjuguées car λ 2 = λ 1 Alors y 1+y 2 2 = e αt cosβt et y 1 y 2 2i = e αt sinβt (avec λ 1 = α + iβ ) sont deux solutions réelles indépendantes donc une base de l espace des solutions réelles de (E 1 ) (b) b 2 4ac = : (EC) a une solution λ = b 2a Alors y 1 tel que y 1 (t) = e λ t est solution mais il manque un élément dans la base Dans ce cas un calcul montre que y 2 tel que y 2 (t) = te λ t est solution L espace des solutions de (E 1 ) a pour base y 1,y 2 La recherche d une solution particulière dans le cas d une équation (E 2 ) avec second membre sera vue en Td sur des exemples 6

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité)

ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité) ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité) Le mathématicien américain Lester Hill (1891-1961) a inventé une méthode de chiffrement à clé symétrique (secrète) par substitution polygraphique

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Réseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Réseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles IFIPS S4 Université Paris XI Equations Différentielles Cours et Exercices Jean-Luc Raimbault raimbault@lptp.polytechnique.fr 2007 2 Dans ce petit cours sur les équations différentielles, on vous propose

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Les équations différentielles

Les équations différentielles Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Analyse et Commande des systèmes linéaires

Analyse et Commande des systèmes linéaires Analyse et Commande des systèmes linéaires Frédéric Gouaisbaut LAAS-CNRS Tel : 05 61 33 63 07 email : fgouaisb@laas.fr webpage: www.laas.fr/ fgouaisb September 24, 2009 Présentation du Cours Volume Horaire:

Plus en détail

Théorie analytique des équations différentielles ordinaires (MM0049)

Théorie analytique des équations différentielles ordinaires (MM0049) Théorie analytique des équations différentielles ordinaires (MM0049) Liste des exercices pouvant être donnés en question de cours pour le partiel : 1, 2, 7, 10, 11, 12, 15, 17, 20, 23, 25, 29, 30, 34.

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique?

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique? Objectifs Calcul scientifique Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech) Le Calcul scientifique permet par la simulation numérique de prédire, optimiser, contrôler... le comportement

Plus en détail

Séquence 1. Matrices - Applications

Séquence 1. Matrices - Applications Séquence 1 Matrices - Applications Sommaire 1. Pré-requis 2. Notion de matrice Addition-Multiplication par un réel 3. Multiplication de matrices 4. Applications 5. Synthèse de la séquence 6. Exercices

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

L équilibre macroéconomique keynésien : le modèle IS/LM

L équilibre macroéconomique keynésien : le modèle IS/LM L équilibre macroéconomique keynésien : le modèle IS/LM Lionel Artige Introduction à la Macroéconomie HEC Université de Liège Modèle IS/LM Le modèle IS/LM, conçu par John Hicks en 1937, est généralement

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Taux d évolution moyen.

Taux d évolution moyen. Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état

Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état Marc BACHELIER - PPS5 October 30, 2013 Abstract Ce cours a pour objectif de faire découvrir des méthodes de conception de commande

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail