Équations différentielles en physique

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1 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal Équations différentielles en physique On ne considère en physique en prépa (quasiment) que des équations différentielles sur une fonction g(t) de la forme a 0 g(t) + a 1 g (t) + a 2 g (t) g (n) (t) = b où n est l ordre de l équation différentielle et les coefficients {a 0, a 1, a 2,..., a n 1 } sont des coefficients constants. Remarquons que l on a rendu le coefficient devant la plus grande dérivée égal à un : on dit qu on a normalisé l équation. On considèrera toujours cette étape effectuée dans la suite. En physique en prépa, on se restreindra à n = 1 et n = 2, on verra toutefois en cours comment résoudre des équations de degrés supérieurs. De plus, on se situera dans le cas où le second membre b est également une constante, on verra là aussi plus tard comment traiter des cas différents (quelques idées sont données en annexe). Cette fiche n est qu un résumé des méthodes et résultats mais en aucun cas ne prétend se substituer à un cours de maths dont elle n a pas la rigueur. I - Méthode générale de résolution On note EDL l équation différentielle linéaire étudiée et (H) l équation homogène associée, c est-à-dire sans second membre a 0 g(t) + a 1 g (t) + a 2 g (t) g (n) (t) = 0 La méthode proposée est très générale et fonctionne pour un ordre quelconque et des coefficients {a 0, a 1, a 2,..., a n } non nécessairement constants pour peu que l équation reste linéaire. Enfin, on note CI pour Condition(s) Initiale(s). Méthode de résolution 1. On résout l équation homogène associée à l EDL. La solution homogène est notée g h (t), elle dépend d autant de paramètres (qu on déterminera au point 4) que le degré de l équation différentielle. On apprend par cœur les solutions des ordres un et deux! ; 2. On cherche UNE solution particulière g p (t) à l équation avec second membre. On cite en annexe quelques méthodes pour trouver une telle solution particulière ; 3. La solution générale est alors la somme de ces deux fonctions : g(t) = g h (t) + g p (t) ; 4. on utilise ALORS ET SEULEMENT ALORS les CI pour déterminer LA solution correspondant à notre problème. Dans le cas de la physique, c est un peu plus simple puisque les {a 0, a 1, a 2,..., a n } sont des constantes très souvent positives et que b est également une constante. Dans ce cas, g p (t) est en fait une constante : pour la déterminer, il suffit de remarquer que ses dérivées successives sont nulles et que par conséquent on a g p (t) = b a 0 Ce résultat étant vrai de façon évidente pour n importe quelle valeur de n. La vraie difficulté - si l on puit dire, car en fait il s agit d apprendre le résultat par cœur - réside dans la solution homogène de l équation. Pour cette question, on a les théorèmes des parties suivantes, dont les résultats peuvent être utilisés sans scrupules ni explications au concours et durant l année. 1

2 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique II - Cas d un premier ordre A. Solution homogène g (t) + a 0 g(t) = 0 a pour solution g h (t) = λ e a0t Le paramètre λ sera déterminé à la fin par UNE condition initiale. La forme plus générale pour a 0 dépendant du temps est vue en maths et s écrit g (t) + a 0 (t) g(t) = 0 a pour solution g h (t) = λ e a 0 (t) dt Il existe en fait une expression plus courante en physique car plus facilement interprétable, c est la mise de l équation sous la forme suivante, où τ = 1/a 0 : g (t) + 1 τ g(t) = 0 a pour solution g h(t) = λ e t/τ L intérêt de cette forme alternative réside dans le fait que τ possède alors une interprétation physique : c est un temps caractéristique de l évolution exponentielle, facile à évaluer graphiquement de surcroît. Cette dernière forme de l équation différentielle est parfois appelée forme canonique, car à partir de celle-ci on peut donner des résultats complètement formels sans cas numériques particuliers. La solution complète est finalement g(t) = λ e t/τ + b a 0 On détermine alors complètement la solution en trouvant λ grâce à une CI. B. Allures des solutions et interprétation physique des paramètres On a les deux allures possibles suivantes, selon que l exponentielle est croissante ou décroissante (ce qui dépend des CI). Ces dessins expliquent aussi comment trouver graphiquement τ, soit par la méthode de la tangente à l origine, soit en mesurant les temps à 63% (37%), 95% (5%) ou 99% (1%). L interprétation physique de τ est alors assez simple, puisque c est un bon ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, c est-à-dire de la «durée» de l exponentielle - puisqu en théorie, celle-ci n atteint l asymptote qu à l infini. On remarque aussi le résultat suivant qui s appliquera aussi au second ordre : La solution particulière fixe le régime permanent, la solution homogène le régime transitoire 3 2

3 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal En effet, le régime permanent est obtenu après quelques temps caractéristiques, classiquement trois ou cinq, lorsque la solution homogène est «devenue nulle». Il ne reste donc que la solution particulière. Celle-ci joue un rôle partiel dans le régime transitoire mais les caractéristiques de celui-ci, notamment son étendue temporelle, sont fixés par la solution homogène. Remarque : attention à la méthode de la tangente à l origine. Celle-ci correspond à l intersection de la tangente avec l asymptote et non l axe des abscisses. De plus, il faut prendre un compte un éventuel «retard» au démarrage comme le montre le dessin ci-contre. C. Identification d un premier ordre Le problème général consiste à déterminer les coefficients d une équation différentielle à partir d un relevé temporel de réponse indiciel (voir les exercices I et II du TD Régime transitoire par exemple). Ici, il s agit de trouver le seul paramètre τ et les allures précédentes montrent comment trouver celui-ci. La valeur asymptotique donne accès au second membre. On a donc accès complètement à l équation différentielle. III - Cas du second ordre A. Différentes formes canoniques Rappelons qu en général, les coefficients sont tous positifs en physique (et en SI encore plus). Entre la physique et la SI, il existe trois formes canoniques différentes de l équation homogène qui sont les suivantes : En physique g + 2γ g + 2 g = 0 ou bien g + Q g + 2 g = 0 avec immédiatement par identification Q = /(2γ) Les paramètres γ, Q et sont tous positifs et appelés respectivement coefficient de frottement γ, facteur de qualité Q et pulsation propre. Ces noms doivent être connus afin de savoir de quoi l on parle. Le facteur de qualité est sans dimension, le coefficient de frottement et la pulsation propre sont eux homogènes à des pulsations (ie d unité usuelle le radian par seconde rad.s 1 ). En SI g 2 + 2m g + g = 0 Les SIstes ont tendance à normaliser le coefficient devant g et non devant la plus grande dérivée. Le paramètre est le même mais le paramètre m, aussi noté ξ parfois selon les profs et les livres, est lui adimensionné, toujours positif et est appelé coefficient d amortissement. On peut définir également Q grâce à Q=1/(2m). Les deux formes canoniques ont leurs avantages et leurs inconvénients. Les interprétations physiques sont plus simples avec les formes des physiciens, l exploitation numérique est plus simple en forme SI. 3

4 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique B. Solution homogène On commence par associer à l équation homogène une équation dite caractéristique valant selon la forme canonique choisie X 2 + 2γ X + 2 = 0 ou X 2 + Q X + 2 = 0 ou X m X + 1 = 0 Le principe est alors de déterminer les deux racines du polynôme qui seront les exposants de deux exponentielles dont la combinaison linéaire constituera la solution homogène. Pour cela, on calcule le discriminant du polynôme qui vaut donc respectivement = 4 ( γ 2 2 ) ou = 2 ( ) 1 Q 2 4 ou = 4 ( ω 2 m 2 1 ) 0 La nature des racines et donc des solutions dépend du signe de ce discriminant. Si > 0 ie si γ > ou si Q < 1/2 ou si m > 1 (on retient faible qualité - Q petit - ou fort amortissement - m grand), on a deux racines réelles négatives 1 que l on note X 1 et X 2 2. La solution homogène est alors g(t) = λ e X 1 t + µ e X 2 t Ces deux exponentielles tendent vers zéro à l infini puisque X 1 et X 2 sont négatives : on parle de solutions amorties ou évanescentes. Ce régime particulier de fonctionnement s appelle le Régime Apériodique. Si = 0 ie si γ = ou si Q = 1/2 ou si on m = 1, on a une racine double réelle négative X valant X = γ = /(2Q) = m et conduisant à la forme g(t) = (λt + µ) e Xt C est en fait un cas particulier du cas précédent car seule la forme de la solution change, mais celle-ci est toujours évanescente. On parle de solution amortie critique car elle va faire la frontière avec le régime suivant. Ce régime particulier de fonctionnement s appelle le Régime Apériodique Critique. Si le terme central est nul ie si γ = 0 ou si Q = ou si m = 0, on a < 0 et deux racines imaginaires pures opposées. Ce régime particulier de fonctionnement s appelle le Régime Harmonique, il n existe pas en réalité car il y a toujours des pertes d énergie (et donc un terme central) mais correspond au cas idéal d un système sans pertes. L équation différentielle s écrit alors g + 2 g = 0 et les racines sont donc + j. La solution de cette équation s écrit alors g(t) = λe jt + µe jt mais on n utilisera jamais cette forme! En effet, quelques lignes de calculs montrent que cela revient à avoir une solution de la forme (au choix) C cos ( t + φ C ) ou S sin ( t + φ S ) ou A cos ( t) + B sin ( t) où les couples (C, φ C ), (S, φ S ) et (A, B) sont déterminés par les CI. Mon conseil est de préférer cette troisième et dernière forme, encadrée - cinq cœurs. On verra pourquoi en cours et en TD surtout : celle-ci se révèle en effet très pratique à l usage pour faire des calculs simples. Les quantités φ C et φ S sont appelées phases à l origine car ce sont les valeurs de la phase des cosinus et sinus pour t = En effet, on sait en maths que le produit des racines vaut le coefficient constant du polynôme. Comme celui-ci est positif, alors les racines sont de même signe. De plus, on sait que le coefficient central vaut l opposée de la somme des racines, donc cette somme est négative, ce qui impose deux racines négatives. Ceci est un «truc» classique à connaître. 2. Selon la forme canonique considérée, ces racines sont γ + γ 2 ω 2 0, /(2Q) + (1/Q 2 4) /2 ou m + ω0 m 2 1. Calculez les pour vous entraîner, c est très formateur! 4

5 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal La solution est purement sinusoïdale sans amortissement (c est ce qu est censé représenter mon dessin magnifique ci-contre). C est la raison du terme «harmonique» donnant son nom au régime. De plus, on note que la pulsation de ce sinus est, donc sa fréquence (propre) est f 0 = 2π et sa période (propre) T 0 = 1 f 0 = 2π Cela conduit à l interprétation physique de la pulsation propre : La pulsation propre est la pulsation qu aurait un système idéal sans perte. Si < 0 ie si γ < ou si Q > 1/2 ou si on m < 1 (on retient bonne qualité - Q élevé - ou faible amortissement - m petit), on a deux racines complexes conjuguées de partie réelle négative. Notons ces racines X = A + j ω p, avec A < 0 donc et ω p choisie comme la solution de partie imaginaire positive. La grandeur ω p est appelée pseudo pulsation du système. Il y a plusieurs façons d exprimer la solution, tout comme pour le cas harmonique. On retiendra la suivante qui est de loin la plus pratique g(t) = [ ] C cos (ω p t) + S sin (ω p t) e At Les constantes C et S sont déterminées avec les CI après ajout de la solution particulière. Finalement, la partie oscillante ne dépend que de la partie imaginaire de la racine et la partie amortie que de la partie réelle! Le système est progressivement amorti puisque l exponentielle tend vers zéro à l infini, A étant une quantité négative. Le calcul (que vous pouvez et devez faire, pour vérifier que vous savez calculer des racines de polynômes de degré deux!) montre pour chacune des trois formes canoniques les résultats suivants : A = γ et ω p = ( ) ( ) 2 γ 2 soit g(t) = C cos ω02 γ 2 t + S sin ω02 γ 2 t e γt A = ω 0 2Q et ω p = 1 1 soit g(t) = C cos 4Q2 ( 1 1 ) 4Q 2 t + S sin ( 1 1 ) 4Q 2 t e t/2q A = m et ω p = 1 m2 soit g(t) = C cos ( 1 m2 t ) + S sin ( 1 m2 t ) e mω0 t Ces résultats ne sont pas à connaître! Vous aurez en général des valeurs numériques donc vous ferez le calcul directement sur les coefficients proposées. Si vous deviez malgré tout traiter un cas général, vous verrez que cela revient à faire ce que l on vient de calculer en choisissant un cas particulier de régime pour mener les calculs.je vous donne les expressions pour que vous puissiez les rechercher pour vous entraîner. Si vous savez traiter ceux-là, vous savez tout faire. Remarquons également en regardant les différentes expressions de ω p que cette pulsation est forcément inférieure à, la fréquence propre f 0 est donc elle-même supérieure la pseudo fréquence f p et la période propre est inférieure à la pseudo-période T p. Ce régime particulier de fonctionnement s appelle le régime pseudo-périodique ou pseudo-oscillant. Remarque : on rencontrera parfois des systèmes avec des coefficients non positifs et par conséquent d autres types de solutions, comme les solutions explosives pour lesquelles on trouve au moins une exponentielle croissante et donc tendant vers l infini pour un temps infini. La solution générale est alors comme d habitude la somme de la solution homogène déterminée et de la solution particulière. Notons qu il faut alors DEUX CI pour définir la solution unique et que ces deux CI correspondent en la donnée pour une même valeur de t de la valeur de la fonction et de sa dérivée. On donne ainsi souvent g (0) et g(0) mais donner g(0) et g(1) peut ne servir à rien. Attention donc. 5

6 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique Quelques propriétés importantes à connaître : On montre en maths que de tous les régimes apériodiques, celui qui dure la moins longtemps et donc arrive le plus vite en régime permanent est le régime critique. Ceci est illustré sur la figure de la partie identification, la courbe apériodique critique étant celle de régime transitoire court. Dans le cas du régime pseudo-périodique, on a vu que les caractéristiques oscillatoires de la solution ne dépendent que de la partie imaginaire des racines. De même, les caractéristiques de l amortissement ne dépendent que de la partie réelle des racines. Ce résultat hors programme est très pratique à connaître : on montre que le nombre d oscillations visibles pour un régime pseudo oscillant est de l ordre de Q. Si vous voyez 8 oscillations et que vous calculez Q = 8, c est donc que vous ne vous êtes probablement pas trompé! C. Identification d un second ordre Tout d abord, et on le montrera en TP expérimentalement, un second ordre en régime apériodique est très difficile à distinguer d un premier ordre. Cela peut se voir autour de t = 0, en zoomant, car la pente d un premier ordre est très sèche ce qui est rarement le cas d un second ordre. Mais même ce critère ne permet pas de conclure en réalité. On sait juste que si la pente n est pas sèche, c est forcément un second ordre (voir figure ci-dessous). Dans ce cas, on assimile en général le système à un premier ordre et on utilise les méthodes précédentes pour le premier ordre (tangente à l origine ou temps de réponse à x%). On montre que si le discriminant de l équation caractéristique est assez grand, on a alors deux racines très écartées donc l une rend l exponentielle très négligeable devant l autre ce qui explique cette allure d ordre un. On montre aussi que plus le discriminant est grand et plus cette racine s approche de Q, plus précisément Si 1, on a g(t) g 0 e Qt g 0 e t/2m g 0 e 2 t/2γ Ainsi, on peut trouver en mesurant un τ de premier ordre une valeur approchée Q par exemple. Cela ne sert pas à grand chose... 6

7 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal L identification trouve vraiment son utilité dans le cas d un système pseudopériodique. On cherche alors à déterminer trois paramètres. Le plus facile à déterminer utilise la valeur asymptotique de la représentation temporelle qui donne accès au second membre de l équation différentielle puisque g = g p = b/a 0. Ensuite, on cherche qui intervient dans toutes les formes canoniques, et enfin un paramètres parmi Q, m ou γ selon la forme canonique retenue. De toutes façons, déterminer l un de ses trois paramètres permet de trouver les deux autres. On va montrer comment déterminer et γ, donc notre première forme canonique. On déduit alors les autres formes canoniques en utilisant le fait que Q = /(2γ) et m = γ/. Première étape : on mesure la pseudo-période T p 3 du signal. Celle-ci s évalue soit entre deux passages de la fonction par l asymptote OU entre deux extrema de même nature (deux max ou deux min). Toutefois, il faut préférer les passages par l asymptote car ceux-ci ont une dérivée plus grande et il est donc plus facile d évaluer la valeur de leurs positions, alors que l écart entre les max ou les mins, sont, par définition, les lieux où les dérivées sont nulles et donc où il est le plus difficile d évaluer la position car ce sont des zones quasi plates (d autant plus avec un amortissement faible). Sur le dessin ci-dessous, l évaluation entre les max et min n est pas représentée. On a mesuré T p donc la pseudo-fréquence f p = 1/T p et la pseudo-pulsation ω = 2πf p. Seconde étape : on relève les valeurs de deux points de la courbe espacés d une pseudo période T p (que l on vient de mesurer). On calcule alors la quantité suivante, appelée décrément logarithmique [ ] g(t) g δ = ln g(t + T p ) g La forme des solutions vues plus haut montre 4 alors que l on a δ = γt p Puisqu on a mesuré T p et δ, on a γ. Enfin, puisque ω p vaut par définition 2 γ 2, on obtient également et c est fini! 3. Celle-ci est appelée pseudo période car le signal n est pas périodique! Parler de période n a donc pas de sens. 4. En effet, la partie oscillante prend la même valeur entre deux instants espacés de T p par définition. Le rapport ne laisse donc apparaître que celui des parties amorties, c est-à-dire e γ t par e γ (t+tp) qui conduit à e γ Tp et enfin à l expression proposée en prenant le logarithme. 7

8 Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique IV - Remarques complémentaires A. Autres méthodes de recherches d une solution particulière Vous les verrez en maths, mais retenez les trois essentielles : On cherche une solution évidente : ça paraît idiot, mais parfois il y en a alors que les méthodes suivantes ne sont pas très efficaces! On cherche une solution particulière «sous la forme du second membre». C est la méthode utilisée précédemment, puisque si le second membre est constant, on a vu qu il existait une solution particulière constante. Par exemple, si le second membre est un polynôme, on cherchera une solution sous la forme d un polynôme. Si c est un sinus, on cherchera une solution sous la forme d un sinus, etc... On utilise la méthode de séparation de variables. Je vous renvoie à votre cours de maths pour le principe mais celle-ci est rarement utilisé en prépa en physique. B. Méthode de la séparation de variables Cette méthode, très utile en physique et assez souvent utilisée, permet de résoudre un certain nombre d équation du premier ordre non linéaire. Je précise bien du premier ordre : on ne parviendra pas à l utiliser pour un ordre différent. On part d une équation dans laquelle la dérivée première est écrite dg/dt. Le principe est de réunir d un côté de l égalité «tout ce qui dépend de g» et de l autre «tout ce qui dépend de t», en manipulant les dt et dg comme s il s agissaient de nombres. Le plus simple pour comprendre la méthode est de l observer sur un exemple. Soit à résoudre g 2g 2 = 0. On ne précise pas les CI car le problème des CI pour une équation non linéaire est un point compliqué. On récrit l équation sous la forme dg dt 2g2 = 0 soit dg dt = 2g2 puis dg g 2 = 2dt Ainsi, à une constante additive K près, 1/g = 2t + K et enfin en prenant l inverse g(t) = 1 2t + K Bref, ça marche même si cela ressemble à du bidouillage et permet parfois de résoudre des équations pas évidentes du tout! C est une méthode à retenir. V - Quelques équations différentielles avec CI à résoudre - avec solutions! 1. (1 + x 2 ) y + 4xy = 0 avec y(0) = 1 ; 2. y + xy = x avec y(0) = 0 ; 3. yy = x : cette équation étant non linéaire, les règles sur les CI sont plus compliquées et il n y a pas unicité forcément. Trouver deux solutions vérifiant y(0) = 0 par exemple ici. 4. xy y = x 3 avec y(1) = 0 ; 5. y + 2y 3y = 0 avec y(0) = 1, y (0) = 1 ; 6. 2y + 12y + 10y = 5 avec y(0) = 0, y (0) = 0 ; 7. y + y + y = x 2 avec y(0) = 2, y (0) = 0. Les solutions sont 1 1. (1 + x 2 ) 2 ; 2. 1 e x2 /2 ; 3. y = + x ; 4. x3 x 2 ( ) 3 7. t 2 2t + e [2 t/2 cos 2 t + 2 ( )] 3 3 sin 2 t. ; 5. e x + e 3x 2 ; 6. 5e x + e 5x ; 8

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