Classe : TES1 Le 11/03/2003 MATHEMATIQUES Devoir N 6 Calculatrice et formulaire autorisés. Durée : 3h

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1 Classe : TES1 Le 11/03/003 MATHEMATIQUES Devoir N 6 Calculatrice et ormulaire autorisés Durée : 3h Exercice 1 : (5 points) (correction) Un magasin de distribution vend deux types de téléphones portables : des téléphones standards ; des téléphones miniatures. Il propose aussi deux types d abonnements mensuels : l abonnement 1 heure ; l abonnement h 30. Le service marketing eectue une enquête sur un échantillon de 000 clients ayant acheté dans ce magasin, pendant l année en cours, un téléphone et un seul de l un des types vendus et ayant opté pour un seul des abonnements proposés. Sur les 000 clients interrogés, 100 ont acheté le modèle standard. Sur ces 000 clients, 960 ont choisi «l abonnement 1 heure». Un client est pris au hasard dans l échantillon. On note les événements : S : «le client a acheté le modèle standard» ; M : «le client a acheté le modèle miniature» ; A1 : «le client a choisi l abonnement 1 heure» ; A : «le client a choisi l abonnement h 30». On note p(e) la probabilité d un événement E. Les résultats seront donnés sous orme décimale avec trois chires après la virgule. 1. Déterminer p(s), p(m), p(a1).. a) Parmi les clients qui on acquis le modèle standard, 3% ont pris l abonnement A1. Traduire cette donnée en terme de probabilité. b) En déduire la probabilité d avoir acquis le modèle standard et d avoir opté pour l abonnement A1. c) Justiier que la probabilité d avoir choisi le modèle miniature et l abonnement A1 est égale à 0, Le coût d un téléphone standard est de 100 et celui d un miniature est de 300. L abonnement A1 revient à 17 par mois. L abonnement A revient à 40 par mois. On s intéresse au coût total X sur un an occasionné par l achat d un téléphone et l abonnement choisi, pour un client pris au hasard dans l échantillon. a) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X, en expliquant le raisonnement. x i p(x = x i ) 0,19 0,88 b) Calculer l espérance mathématique de X et l interpréter. Exercice : (5 points) (correction) Soit la onction de variable réelle x, déinie sur par : (x) = e x (e x + a) + b où a et b sont deux constantes réelles. Les renseignements connus sur sont donnés dans le tableau de variations ci-dessous : x (x) 0-3

2 1. Calculer (x) en onction de a.. a) Donner, en utilisant le tableau de variation, (0) et lim x (x). b) En s aidant de la question. a), déterminer a et b. c) Calculer (0) et calculer la limite de en +. d) Compléter, après l avoir reproduit, le tableau de variation de. 3. Résoudre dans l équation e x (e x ) 3 = 0 (on pourra poser X = e x ). 4. Résoudre dans les inéquations : e x (e x ) 3-4 ; e x (e x ) 3 0. (On utilisera le tableau de variation de ci-dessus et en particulier les inormations obtenues en. b).) Problème : (10 points) Une entreprise abrique un produit, en quantité x, exprimée en milliers de tonnes. Le coût total de abrication est donné par C T (x) = x² ln() pour x [0 ; 5]. Les coûts sont exprimés en millions d euros. Partie A : Etude d une onction auxiliaire déinie sur [0 ; 5]. (correction) On considère la onction déinie sur [0 ; 5] par : (x) = x² + 9x 9 ln(). 1. Calculer (x). x(x )(x + 4) Vériier que l on peut écrire (x) =. ()². Etablir le tableau de variation de sur [0 ; 5]. 3. En déduire que s annule sur ]0 ; 5] pour une valeur unique a. 4. Déterminer un encadrement à 10-3 près de a. 5. Déduire des résultats précédents le signe de sur [0 ; 5]. Partie B : Etude d un coût moyen C m (correction) La onction coût moyen C m est déinie sur ]0 ; 5] par : C m (x) = C T(x) = x x ln() x 1. Calculer C ' m(x). Vériier que l on peut écrire C ' m(x) = (x) où est la onction auxiliaire de la partie A. x². Etudier le sens de variation de C m sur ]0 ; 5]. (On ne demande pas les valeurs ou les limites de C m aux bornes du domaine de déinition.) 3. Pour quelle production l entreprise a-t-elle un coût moyen minimal? Quel est ce coût?

3 Correction du DST N 6 Exercice 1 : (retour à l énoncé) 1. Sur les 000 clients, 100 ont acheté le modèle standard, donc p(s) = = 0,6. p(m) = 1 p(s) = 1 0,6 = 0,4. Sur les 000 clients, 960 ont choisi l abonnement 1 heure, donc p(a1) = = 0,48.. a) p S (A1) = = 0,3. b) On cherche p(s A1) p(s A1) = p S (A1) p(s) = 0,3 0,6 = 0,19. c) On cherche p(m A1) et p(a1) = p(m A1) + p(s A1) d après la ormule des probabilités totales p(m A1) = p(a1) p(s A1) = 0,48 0,19 = 0, a) Un téléphone standard et un abonnement A1 coûtent 304. Un téléphone standard et un abonnement A coûtent 580. Un téléphone miniature et un abonnement A1 coûtent 504. Un téléphone miniature et un abonnement A coûtent 780. p(x = 304) = p(s A1) = 0,19 p(x = 504) = p(m A1) = 0,88. On cherche p(x = 580) = p(s A) p S (A) = = 0,68 d où p(s A) = p S(A) p(s) = 0,68 0,6 = 0,408. et p(x = 780) = 1 p(x = 304) p(x = 580) p(x = 504) = 1 0,19 0,408 0,88 = 0,11 Loi de X : x i p(x = x i ) 0,19 0,88 0,408 0,11 b) E(X) = 304 0, , , ,11 = 57,5. En moyenne, le coût sur un an de l achat d un téléphone portable et l abonnement choisi est de 57,5. Exercice : (retour à l énoncé) est déinie sur par : (x) = e x (e x + a) + b. 1. est dérivable sur. (x) = u(x) v(x) + b = u v + u v (x) = e x (e x + a) + e x e x = e x ( e x + a) où u(x) = e x ; u (x) = e x v(x) = e x + a ; v (x) = e x. a) D après le tableau de variation de, (0) = 0 et lim (x) = -3. x - b) (0) = 0 et (0) = e 0 ( e 0 + a) = 1( + a) = + a d où 0 = + a et a = -. lim (x) = -3 et lim x - x - ex = 0 d où lim x - ex (e x + a) = 0 et lim (x) = b x - d où b = -3 On obtient donc (x) = e x (e x ) 3. c) (0) = e 0 (e 0 ) 3 = 1(1 ) 3 = = -4. lim x + ex = + alors lim x + ex (e x ) = + et lim (x) = +. x + d) tableau de variation de : x (x)

4 3. e x (e x ) 3 = 0 On pose X = e x et on obtient : X(X ) 3 = 0 c est à dire : X² X 3 = 0 = (-)² 4 1 (-3) = = 16 et = 4 Les racines du polynôme sont : X 1 = -(-) 4 = -1 et X = -(-) + 4 = 3 On résout alors e x = 3 et e x = -1 or comme une exponentielle est toujours positive, x = 3 cette équation n a pas de solution La seule solution de l équation est donc ln D après le tableau de variation de, -4 est le minimum de la onction, donc l ensemble des solutions de l inéquation e x (e x ) 3-4 est. D après le tableau de variation de, l ensemble des solutions de l inéquation e x (e x ) 3 0 est ]- ; ln 3]. Problème : PARTIE A (retour à l énoncé) est déinie sur [0 ; 5] par : (x) = x² + 9x 9 ln() 1. est dérivable sur [0 ; 5] où u(x) = x² ; u (x) = x (x) = u(x) + v(x) w(x) 9 ln(z(x)) v(x) = 9x ; v (x) = 9 v w w v w(x) = ; w (x) = 1 = u + 9 z w² z z(x) = ; z (x) = 1 9() 1 9x 1 On a alors : (x) = x + 9 ()² x()² 9x + 9 9x 9() = + ()² ()² ()² x(x² + ) + 9 9x 9 = = x3 + x 8x ()² ()² De plus x(x )(x + 4) = x(x² x + 4x 8) = x 3 + x 8x. x(x )(x + 4) Donc (x) =. ()². sur [0 ; 5], x 0 ; x + 4 > 0 et ()² > 0 x > 0 sur ] ; 5]. On obtient le tableau de variation de : x 0 5 (x) (0) = 0² 0 (5) ln(0 + 1) = () () = ² ln( + 1) = ln 3 = 8 9 ln (5) = 5² ln(5 + 1) = ln 6 = 0 9 ln est continue sur ]0 ; 5] est strictement décroissante sur ]0 ; ] et (0) = 0 donc l équation (x) = 0 n admet pas de solution sur ]0 ; ]. est strictement croissante sur ] ; 5] () = 8 9 ln 3 < 0 et (5) = 0 9 ln 6 > 0 ; 0 ]() ; (5)[ L équation (x) = 0 admet donc une unique solution a sur ] ; 5[.

5 4. (3,69) -0,0198 et (3,7) 0,0004 donc 3,69 < a < 3,7. 5. On a alors (x) > 0 sur ]a ; 5] (x) < 0 sur ]0 ; a[ (x) = 0 pour x = 0 et x = a. PARTIE B (retour à l énoncé) C m est déinie sur ]0 ; 5] par : C m (x) = C T(x) = x x ln() x 1. C m est dérivable sur ]0 ; 5] C m (x) = w(x) + 9 u(x) v(x) où w(x) = x C ' m = w u v v u v² 1 C ' m(x) = x 1 ln() = x² 4x² + x² 9x 9 ln() = x² x² + 9x 9 ln() x² = (x) x² ; w (x) = 1 4 u(x) = ln() ; u (x) = v(x) = x ; v (x) = 1 1. sur ]0 ; 5], x² > 0 Donc C ' m(x) est du signe de (x) sur ]0 ; 5]. Tableau de variation de C m : x 0 a 5 (x) 0 + C m (a) 3. C m admet un minimum pour x = a. Le coût moyen de l entreprise est donc minimal pour une production d environ 3700 tonnes. C m (3,7),807 Le coût moyen minimal est d environ euros.