MODELES MATHEMATIQUES ET METAHEURISTIQUES POUR LA PLANIFICATION TACTIQUE D UNE CHAINE LOGISTIQUE DE TYPE FLOWSHOP HYBRIDE

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1 8 e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM au 12 mai Hammamet - Tunisie «Evaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services» MODELES MATHEMATIQUES ET METAHEURISTIQUES POUR LA PLANIFICATION TACTIQUE D UNE CHAINE LOGISTIQUE DE TYPE FLOWSHOP HYBRIDE Michel Gourgand, Sylvie Norre LIMOS, UMR 6158 Université Blaise Pascal Aubière cedex - France gourgand@isima.fr, norre@moniut.univ-bpclermont.fr David Lemoine IRCCyN, UMR CNRS 6597 Ecole des mines de Nantes 4 rue A. Kastler, Nantes - France david.lemoine@emn.fr RESUME : La planification tactique consiste à élaborer des plans de production c'est-à-dire à déterminer les quantités de produits à fabriquer par période afin de répondre au mieux à la demande, à un moindre coût. Les problématiques traitées diffèrent principalement selon deux critères : planification mono-niveau (produits finis) ou multi-niveau (produits finis et composants) et planification mono-site ou multi-site. En nous appuyant sur un cas d étude que nous généralisons, nous proposons un modèle mathématique de «lot sizing» multi-niveau pour la planification tactique d une chaîne logistique dont la topologie s apparente à un FlowShop Hybride. Devant la complexité algorithmique engendrée par l optimisation d un tel modèle, nous proposons une méthode d optimisation approchée s appuyant sur une décomposition du problème en deux sous-problèmes : en agrégeant les usines de chaque étage nous nous ramenons à un MLCLSP à nomenclature série, ensuite nous affectons la production déterminée sur l ensemble des usines de chaque étage. Ainsi, nous utilisons conjointement une métaheuristique de type recuit-simulé (pour le MLCLSP) et une heuristique (pour l affectation). Nous testons ce schéma sur des instances de taille industrielle. Enfin, devant la complexité des algorithmes mis en œuvre, nous proposons une évolution de celui-ci, intégrant la résolution de modèles mathématiques, afin d en accroître la rapidité. MOTS-CLES : planification, chaîne logistique, nomenclature série, modèle mathématique, métaheuristique. 1 INTRODUCTION Dans cet article, nous nous intéressons aux problèmes de planification tactique de la chaîne logistique. Les problématiques traitées diffèrent principalement selon deux critères : planification mono-niveau (plan directeur de production des produits finis) ou multi-niveau (planification des composants) et planification mono-site ou multi-site. Communément, les problèmes de planification sont formalisés par des modèles mathématiques dits de «lot sizing». Parmi ceux-ci, le «Capacitated Lot Sizing Problem» (CLSP) est considéré comme un modèle de référence permettant de traiter la problématique de génération de plan directeur de production dans un contexte mono-site. Concernant la planification multi-niveau, le «Multi Level Capacitated Lot Sizing Problem» (MLCLSP) est reconnu comme modèle de référence et traite des problématiques MRP et MRPII. Si les problématiques mono-site ont été largement étudiées dans la littérature, (Comelli et al.,2008) soulignent l absence de modèle de référence pour les problématiques multi-site. Ceci s explique notamment par la diversité des chaînes logistiques et des problématiques traitées. Néanmoins, de par la nature multi-niveau de la production multi-site, les modèles de la littérature ((Rizk et Martel, 2001), (Thierry et al., 1994) ) sont dérivés du modèle du MLCLSP. Partie intégrante de la problématique de planification multi-site, la synchronisation des plans de production des divers sites de production représente depuis plusieurs années un enjeu majeur de l optimisation des chaînes logistiques. Dans le cas d une chaîne logistique externe, comprenant donc plusieurs entités indépendantes, proposer une synchronisation des sites suppose une collaboration forte et un partage de l information entre les différents acteurs. Pour réaliser celle-ci, deux approches peuvent être adoptées : une approche centralisée ou décentralisée (Thierry et al., 1994). L adoption d une approche centralisée, supposant donc une très forte (mais hypothétique) collaboration des différents acteurs de la chaîne logistique, permet de concevoir des plans de production apportant une solution globalement meilleure que celle obtenue par une approche décentralisée. Mais il est évident qu une telle approche ne devient totalement pertinente que dans le cas d une chaîne logistique interne, où le partage de l information s il n est pas total est pour le moins très fort. Dans cet article, nous nous focalisons sur ce type d approche pour la planification tactique d une chaîne logistique. Une classification des problèmes de planification de chaînes logistiques peut être également établie en fonction de la typologie de la nomenclature des produits qu elle fournit. En se limitant aux nomenclatures convergentes, nous pouvons distinguer trois types : les nomenclatures séries, d assemblage et générales. Cet article s intéresse aux chaînes logistiques dites à nomenclature série : la gamme des produits est réalisée successivement sur plusieurs sites. Ces dernières sont typiques des indus-

2 tries de métallurgie où les produits peuvent être transformés, puis usinés sur plusieurs sites. Cet article est articulé de la manière suivante : dans une première partie, nous présentons le cas d étude industriel sur lequel s appuie notre étude. Dans une seconde partie, un état de l art sur le modèle de référence de planification multi-niveau, le MLCLSP, sera proposé. Dans ce dernier, nous focaliserons sur les contributions portant sur des nomenclatures série, permettant ainsi de situer notre problématique. Dans une troisième partie, un modèle générique de planification tactique pour les chaînes logistiques de type flow shop hybride sera donné. La partie suivante sera consacrée à la présentation d une méthode de résolution, basée sur l utilisation conjointe d une métaheuristique et d une heuristique d affectation ainsi que des résultats obtenus. Enfin, devant la complexité des algorithmes mis en œuvre dans la méthode d optimisation, une évolution de celle-ci, utilisant conjointement une métaheuristique et un solveur, sera présentée. 2 CAS D ETUDE INDUSTRIEL L étude de cas concerne la planification centralisée d une chaîne logistique interne. Elle est constituée de six usines : U1, U2, U3, U4, U5 et U6. La nomenclature des produits est considérée comme série, bien que des composants soient adjoints à ceux-ci au fur et à mesure de leurs transformations : la problématique de planification se limite au produit principal. La Figure 1 présente le synoptique des flux suivis par les produits au travers de cette chaîne logistique. La chaîne logistique étudiée est constituée de quatre étages. Au second étage, chaque produit peut être transformé indépendamment par les trois usines le composant. A la sortie de chaque étage, des aires de stockages sont disponibles : les produits qui auront été transformés par une des usines de l étage y seront entreposés. Ainsi, à l instar des types d ateliers étudiés par la communauté d ordonnancement, nous appelons cette structure : chaîne logistique de type Flow Shop Hybride. U1 U2 I1 U3 I2 U5 I3 U6 I4 U4 Etage 1 Etage 2 Etage 3 Etage 4 Usine Stock Flux physique Figure 1 : Cas d étude industriel Etage L objectif de l étude est de proposer une planification tactique pour l ensemble de la chaîne logistique, consistant à générer pour chaque usine, un plan directeur de production sur un horizon de 24 mois à la maille semaine, ces différents plans devant être synchronisés sur l ensemble de la chaîne et devant respecter les capacités de production de chaque usine. Au niveau de l étage 2, la production peut s effectuer sur n importe quelle usine ce qui constitue un problème d allocation de production. Les contraintes de transport entre les différents sites de production ne sont pas prises en compte. Cependant, une contrainte dite de périodicité est considérée : un produit obtenu en période (donc stocké en ) n est disponible pour un autre site de production ou pour un client qu au début de la période +1. Le but de notre formalisation est de fournir un ensemble de plans de production synchronisés minimisant les coûts de mise en œuvre. Traditionnellement, dans les modèles de «lot sizing» deux coûts sont pris en compte : les coûts de stockage et de lancement de campagne. Dans cette étude, la contrainte de périodicité impose à chaque article de rester au moins une période en stock : le coût de stockage engendré est donc peu pertinent en termes d optimisation. Ainsi un coût de «surplus» est défini et correspond aux articles restant en stock plus d une période. Par ailleurs, la demande peut ne pas être satisfaite, engendrant ainsi un coût de «demande perdue». L objectif est donc de proposer des plans directeurs de production synchronisés minimisant la somme de ces trois coûts : les coûts de lancements, de surplus et de demande perdue. Dans la section suivante, un état de l art centré sur le MLCLSP, modèle de référence pour les problèmes multi-niveau est présenté. Un accent particulier est mis sur les contributions traitant de nomenclatures séries. 3 ETAT DE L ART La planification dans le cas d une coordination centralisée des activités d une chaîne logistique fait l objet d une littérature abondante. Au centre de cette préoccupation, la planification tactique, dont l un des buts majeurs est l élaboration de plans de production pour chaque site de fabrication, joue un rôle prépondérant. Dans le contexte d une chaîne logistique, l élaboration de tels plans suppose une synchronisation (dite horizontale) de la part de tous les acteurs intervenant dans le processus de fabrication. Dans un cas général, celle-ci vise à assurer la fabrication et la mise à disposition en temps utile des composants nécessaires à l obtention des produits finis afin de répondre au mieux à la demande client, avec un coût minimum pour la chaîne logistique. Des modèles mathématiques ont été développés pour tenter d optimiser ces deux critères souvent antagonistes. Ceux-ci sont généralement dérivés des modèles de Lot sizing multi-niveau.

3 Les figures 2 et 3 montrent une classification des différentes méthodes de résolution proposées dans la littérature pour le MLPP et le MLCLSP (Le MLLP, Multi- Level Lot Sizing Problem étant vu comme un MLCLSP à capacité infinie). Cette classification est une version étendue de celle proposée dans (Comelli et al.,2008). Figure 2 : Classification des méthodes de résolution pour le MLLP Référence Modèle Méthodes Instances Heuristiques (Blackburn 1 produit fini, séquentielles à et Millen, MLLP 5 niveaux, modification de 1985) 12 périodes coûts (Maes et al., 1991) MLCLSP Heuristique basé sur de la relaxation linéaire 3 produits finis, 3 niveaux, 10 périodes (Zangwill, Programmation MLLP X 1966) Dynamique Heuristique basé (Vörös, MLLP sur de la relaxation linéaire 2002) Tableau 1 : travaux pour les nomenclatures séries. 1 produit fini, 5 niveaux, 5 périodes Les modèles multi-niveau permettent de planifier la production des composants nécessaires à la fabrication des produits finis. Pour cela, ils utilisent une matrice appelée «gozinto» qui permet de lier la demande des produits entre eux. Dans le cas d une nomenclature série, cette matrice prend une forme particulièrement simple puisqu il s agit d un bloc de Jordan nilpotent. Parmi les auteurs cités dans le Tableau 1, la majorité modélise les problématiques séries grâce à une telle matrice. Néanmoins, la structure particulière de la matrice «gozinto» a permis à certains de proposer des modèles dédiés à ce type de nomenclature : (Vörös, 2002) propose un modèle de planification basée sur un MLLP et utilisant cette structure. 4 UN MODELE GENERIQUE DE PLANIFICATION Outre l adjonction de contraintes de capacité, le problème de planification étudié diffère du modèle de (Vörös, 2002) par l ajout des spécificités suivantes : Figure 3 : Classification des méthodes de résolution pour le MLCLSP Cette classification montre que les extensions des modèles multi-niveau sont nombreuses et que chacune d elles a été finalement étudiée par peu d auteurs, rendant difficile la comparaison des méthodes de résolution proposées pour l ensemble des instances. Le tableau 1 est extrait de la classification précédente et fait apparaître les auteurs proposant des résultats pour des nomenclatures séries. Il présente les extensions, méthodes et instances étudiées par ceux-ci. Aucune des formalisations proposées dans ce tableau ne traite des spécificités de notre problème. De plus, nous pouvons également remarquer la taille extrêmement réduite des instances traitées. - la présence de plusieurs sites pouvant effectuer la même opération de gamme pour un même niveau de la chaîne (chaîne logistique de type Flow Shop Hybride). - la contrainte de périodicité. Le but de cette dernière est d assurer qu une quantité produite à la période t n est disponible pour un autre site qu en La contrainte de perte de commandes dite de "shortage". Dans ce problème, le coût d une commande perdue est estimé, il est néanmoins possible de se ramener à un problème sans perte de commande en augmentant celui-ci. - La fonction objectif vise à minimiser la somme des coûts de lancement de campagne, de surplus et de demande perdue. Pour obtenir un produit fini, celui-ci doit passer successivement sur chaque étage de la chaîne logistique pour y être transformé. Ainsi, nous pouvons noter par la transformation du produit, ce qui correspond à «l état» du produit après être passé sur l étage. Par soucis d homogénéité, nous notons le produit fini.

4 Le fait qu un produit ne soit transformé que sur une des usines de l étage fait que cette chaîne logistique ne peut être modélisé par le biais d un MLCLSP. En effet, la différenciation des ressources et l exclusivité de leur utilisation ne permet pas cette modélisation. Nous proposons donc un modèle mathématique pour une chaîne logistique de type Flow Shop Hybride tenant compte de ces spécificités. Les paramètres de ce modèle sont les suivants: : Longueur (en périodes) de l horizon de planification, : Nombre de type de produits finis à planifier, : Nombre d étages (et de stocks) de la chaîne logistique, () : Nombre d usines composant l étage de la chaîne logistique, : Demande en produit fini à la fin de la période, : Quantité initiale en produit dans le stock de l étage, () : Capacité maximale disponible à l usine () de l étage durant la période, () : Capacité unitaire consommée pour la () fabrication du produit i sur l usine de l étage durant la période, : Coût d une unité de produit en surplus dans le stock de l étage à la période, () : Coût de configuration de l usine () de l étage pour fabriquer du produit à la période, : Coût d une unité de demande perdue en produit fini à la période. Les variables de décision du modèle sont : () : Quantité de produit fabriqué par l usine () de l étage durant la période, () : Variable binaire qui prend la valeur 1 s il y a un lancement de campagne pour le duit fabriqué par l usine () de l étage durant la période : Quantité de produit entreposée dans le stock de l étage à la fin de la période, : Quantité de produit en surplus dans le stock de l étage à la fin de la période, : Demande perdue en produit durant la période, : Demande servie en produit durant la période. L objectif (1) de notre modèle est donc de minimiser : + () + () () (1) La contrainte (2) est la contrainte de capacité : () () () (2) (,) 1, 1,, 1,() La contrainte (3) est la contrainte de lancement de campagne: () () () () (3) (,,) 1, 1, 1,, 1,() La contrainte (4) représente la contrainte d équilibre des stocks pour le dernier stock de la chaîne : = () () + () (4) (,) 1, 1, La contrainte (5) représente la contrainte d équilibre des stocks pour les autres stocks de la chaîne : = () () + () () () () (,,) 1, 1, 1 1, (5) La contrainte (6) détermine la quantité de demande perdue : = + (,) 1, 1, (6) Les contraintes (7) et (8) sont les contraintes de périodicité : () () () () (,,) 1, 2, 1, 1 () () (,) 1, 1, 1 (7) (8) Les égalités (9), (10) et (11) déterminent les quantités en surplus : () = () () (9) (,,) 1, 1, 1 1, 1 = () (10) (,,) 1, 1, 1 = (,) 1, 1, (11) Les dernières contraintes (12) et (13) sont les contraintes d intégrité et de positivité : () 0,1 (12) (),,,, N (13) Dans le cas où chaque étage n est composé que d une seule usine, la différenciation des usines n est plus nécessaire et nous retrouvons un MLCLSP à nomenclature série auquel sont adjointes les contraintes de périodicité et de shortage.

5 5 METHODE D OPTIMISATION Le MLCLSP à nomenclature série est un problème d optimisation NP-Difficile (Blackburn et Millen, 1985). Comme il est un cas particulier de notre problème, ce dernier est donc NP-difficile. principe de fonctionnement de notre méthode d optimisation. Dans cette section, nous proposons une méthode d optimisation pour planifier une chaine logistique de type Flow-Shop Hybride. L idée de base de cette méthode est de décomposer le problème en deux sousproblèmes : un problème de planification et un problème d affectation. Le problème de planification s obtient en agrégeant sur chaque étage l ensemble des usines le composant pour obtenir ce que nous appelons une «usine étage». La figure 4 illustre ce principe d agrégation. Figure 5 : notre schéma d optimisation 5.1 Le problème de planification Pour résoudre le problème de planification, nous utilisons une métaheuristique à base de recuit simulé. Ce type de méthode s appuie sur deux éléments (Michalewicz et Fogel, 2002) : - un codage générique permettant de représenter les solutions du problème, - un système de voisinage (une application permettant de passer d une solution à une autre -son voisin-), Figure 4 : Obtention du problème de planification Nous voyons que, par ce biais, nous nous ramenons à un MLCLSP à nomenclature série et, plus précisément, nous retrouvons le modèle de (Vörös, 2002) auquel on aurait adjoint des contraintes de capacité et de périodicité. Au regard de l état de l art présenté dans la section III, il est possible de souligner la faible utilisation des métaheuristiques pour la résolution de problèmes basés sur le MLCLSP. De façon analogue, (Brahimi, 2004) a dressé un tel constat pour les problèmes de lot sizing (notamment pour le problème mono-niveau à un produit avec capacité). D après lui, ces méthodes pourraient aboutir à des résultats très intéressants. En réponse à ce constat, nous proposons de résoudre le problème de planification grâce à une métaheuristique à base de recuit simulé. Une fois une planification déterminée pour chaque «usine étage», nous nous ramenons au problème initial en répartissant la production de chaque «usine étage» sur chaque usine la composant : c est le problème d affectation que nous avons évoqué précédemment. A chaque itération, une solution admissible du problème de planification est proposée. Ensuite l heuristique d affectation répartit les quantités planifiées sur chaque usine de chaque étage de la chaîne logistique et la solution obtenue est alors évaluée. La figure 5 illustre le Dans la littérature, deux codages sont proposés. Le premier (le plus courant) consiste à utiliser une matrice binaire dont les éléments représentent les lancements de campagne pour chaque produit à chaque période. Un élément de cette matrice prendra la valeur 1 si l article est produit durant la période, 0 sinon. Mais il n est pas possible d évaluer directement la solution engendrée par la matrice. En effet, cette dernière peut correspondre à plusieurs plans directeurs de production réalisables. C est pour cela qu à l instar de (Kuik et Salomon, 1990), les différents auteurs utilisant ce codage déterminent un plan directeur de production associé en utilisant un algorithme glouton répartissant la production sur les périodes retenues dans la matrice, permettant ainsi une évaluation de la solution en terme de coût. Mais, les algorithmes utilisés par les auteurs ne garantissent pas l optimalité du plan construit pour la matrice considérée. Le second type de codage consiste à utiliser une matrice dont les éléments sont les quantités de produit à fabriquer durant la période (en fait, est un plan de production). La combinatoire de cette représentation est évidemment beaucoup plus élevée, mais celle-ci permet de s affranchir des heuristiques de construction précédentes. Ainsi, nous proposons de représenter une solution de notre problème en nous basant sur le second type de codage que nous étendons à l ensemble de la chaîne logistique agrégée sous la forme suivante:

6 = () () () "" Les problèmes de «lot sizing» ont la particularité d être plus ou moins complexes à résoudre en fonction de la nature et de la structure des instances (hiérarchie des coûts pris en compte et emplacement du goulot au sein de la chaîne logistique). En restreignant l étude aux trois coûts majeurs : coût de demande perdue ( ), coût de surplus ( ) et coût de lancement ( () ), il est possible de constater l antagonisme de ces trois critères. Par suite, élaborer une «bonne» solution consiste à trouver un compromis entre un niveau de demande perdue, un niveau de stockage et le nombre de lancement de campagne en déterminant des quantités produites à chaque période sur chaque usine. Ce compromis peut être obtenu de deux manières : - soit en augmentant ou en diminuant les quantités produites sur une ou plusieurs périodes, - soit en regroupant les quantités de périodes consécutives. Aussi, les voisinages que nous proposons sont les suivants : ils consistent à choisir aléatoirement une «usine étage», un produit et une période et à appliquer respectivement l une des quatre stratégies suivantes : - voisinage «augmentation» : la production d articles i pour la période t sur l usine étage est augmentée (resp. diminuée) d une quantité choisie aléatoirement. Ainsi, on modifie la demande satisfaite ainsi que les quantités en stock. La figure 6 illustre le fonctionnement du voisinage «augmentation». Augmentation Usine étage k Usine étage k Figure 6 : le voisinage «augmentation» - voisinage «diminution» : celui-ci est le dual du précédent puisqu il consiste à diminuer la quantité produite en produit i à la période t sur l «usine étage» k. - voisinage «regroupement à gauche» : nous regroupons la production du produit des périodes et +1 pour l usine, la quantité de la période +1 étant ajoutée à la période (resp. +1). La figure 7 montre le principe de fonctionnement du voisinage «regroupement à gauche». Usine étage k Usine étage k Regroupement à gauche Figure 7 : le voisinage «Regroupement à gauche» - voisinage «regroupement à droite» est le pendant du voisinage précédent mais en regroupant la production sur la «période de droite». Cependant, appliquer l un de ces 4 voisinages à partir d une solution admissible, peut fréquemment générer une solution non réalisable : agir sur une quantité pour un produit, une période et une «usine étage» impacte nécessairement les plans de production des autres «usines étage» risquant de générer du surplus négatif ou non consommé suivant le cas. En effet, ce qui est fabriqué par l une est consommé par la suivante (ou, pour la dernière, est servi au client). Dans les voisinages utilisés, nous avons également vu que modifier la fabrication pour un produit i pouvait avoir un impact sur la production d autres produits (en cas de dépassement de capacité par exemple). Pour rétablir l admissibilité de la solution (tous les surplus doivent être positifs ou nuls sur tout l horizon et nuls à la dernière période selon les contraintes (11) et (13)), il faut donc réparer la solution au niveau du produit mais également au niveau des autres produits, d où deux types de réparation : - un dédié au produit, - l autre non dédié (donc pouvant également agir sur les autres produits). Les procédures de réparation dédiées au produit vise à rétablir la synchronisation des stocks de produit entre chaque «usine étage». Cette synchronisation se traduit d une part grâce à l absence de surplus négatif pour ce produit et d autre part par l absence, pour chaque stock de ce produit, de surplus positif à la dernière période. Ainsi, la modification engagée par le système de voisinage doit être propagée à l ensemble de la chaîne logistique (afin de s assurer qu il n y ait pas de surplus négatif) ainsi que sur la gestion de la demande (augmentation ou diminution de la demande perdue). Si la production obtenue excède la demande (dans ce cas, la demande perdue sera nulle et il subsistera du surplus positif au moins sur le dernier maillon de la chaîne) une diminution de la production du produit au dernier étage sera effectuée et sera propagée aux étages inférieurs. Ainsi, 4 procédures de réparation ont été conçues afin de répondre, en les combinant, aux divers cas de figure rencontrés. Les procédures de réparation dédiées au produit ne se préoccupent pas de la production des autres produits de la chaîne logistique. Ainsi, même après l utilisation de tels algorithmes, il est possible d aboutir à une solution non réalisable car on aura pu ponctuellement excéder la capacité du système de production. Le rôle des procédures de réparation non dédiées est de rétablir cette admissibilité en abaissant la fabrication d autres produits afin de respecter la capacité du système de production. A l instar des procédures de réparation dédiées, une propagation des modifications faites sur les plans de production devra être effectuée. Ainsi, les procédures de réparation non dédiées sont au nombre de 6.

7 5.2 Le problème d affectation Supposons que nous ayons obtenu une solution admissible au problème de planification des «usines étages», le but est donc d affecter la production aux usines de chaque étage afin d obtenir une solution à notre problème initial tout en minimisant les coûts de lancement générés (en effet, l affectation aux usines n influera ni sur les quantités stockées - qui sont rattachées aux étages - ni sur la demande perdue). La technique que nous employons à cet effet s appuie sur l idée suivante : on doit affecter en priorité les produits dont le coût de lancement est le plus élevé aux usines possédant le plus de capacité restante afin d éviter de scinder la production de ceux-ci, et donc de multiplier leurs coûts de lancement. - la somme sur tout l horizon des capacités de production sur chaque étage est sensiblement égale à la somme de la capacité nécessaire pour fabriquer l intégralité de la demande (la capacité globale de la chaîne logistique permet de répondre globalement à la demande exprimée). Cependant, une certaine partie de la demande ne pourra pas être couverte pour des raisons liées aux contraintes de périodicité. - les coûts de lancement sont volontairement faibles au regard des autres coûts exprimés (surplus et demande perdue), - dans une première série d instances, nous supposons les coûts de demande perdue supérieurs aux coûts de surplus et dans la seconde, l inverse. Pour chacune des instances, nous devons planifier 10 produits finis. Pour dix d entre-elles, l horizon est de 30 périodes alors que les autres sont de 100 périodes. Pour ces tests, nous imposons un temps limité d une heure pour le solveur et itérations pour la méthode d optimisation (environ 40 à 60 mn de calcul). Le tableau 2 donne les résultats obtenus pour les instances testées. Le GAP est calculé de la manière suivante : Résultat Métaheuristique-Résultat Solveur = 100 Résultat Solveur [DS], [RS], [KG] et [IK] sont respectivement les métaheuristiques de la descente stochastique, du recuit simulé, du kangourou (Fleury 93) et d ISKA (Deroussi 2004). Elles ont été implémentées en Visual Basic.net et ont été testées sur un Pentium IV, 2.4 Ghz avec 3Go de Ram. Les résultats obtenus montrent l efficacité de notre métaheuristique sur les instances de très grande taille. En effet, sur celles-ci, notre méthode d optimisation supplante assez largement le solveur qui, pour chaque instance, ne fournit qu une borne supérieure. Figure 8 : l heuristique d affectation 5.3 Les résultats obtenus La chaîne logistique que nous considérons est celle définie dans notre cas d étude (Figure 1) et les 20 instances que nous avons générées suivent les règles suivantes : Taille (période) Solveur Metaheuristique [DS] [RS] [KG] [IK] N Résultat Gap Gap Gap Gap Coût de demande perdue supérieur au coût de surplus ,37-6,289-6,533-6, ,172 0,412 0,104 0, ,139 0,266 0,081 0, ,22 0,013 0,1 0, ,191 0,005 0,083 0, ,488-0,528-0,628-0, ,522-0,562-0,574-0, ,497-0,501-0,523-0, ,919 0,492 0,655 0, ,399-0,415-0,478-0,572 Coût de demande perdue inférieur au coût de surplus ,582 8,688 4,079 2, ,613 1,632-2,855-4, ,494 7,37 2,165 0, ,592 1,639 6,381 7, ,133 0,936 7,467 6, ,031-5,412-5,611-5, ,253-5,016-7,081-6, ,638-4,656-4,014-6, ,623-3,399 12,423 12, ,835-4,924-6,366-4,911 Tableau 2 : Résultats obtenus sur les instances générées

8 Bien que notre schéma d optimisation ait obtenu de bons résultats, la mise en œuvre des divers algorithmes de réparation s avère gourmande en temps de calcul : en effet, en prenant comme exemple le voisinage augmentation, une combinaison de pas moins de 8 algorithmes de réparation est utilisée afin de rétablir l admissibilité de la solution obtenue. De plus, l heuristique utilisée pour dispatcher la production de chaque «usine étage» sur chaque usine de l étage pourrait être sensiblement améliorée, en déléguant, par exemple, cette tâche à l utilisation d un solveur. Ainsi, devant la complexité des algorithmes mis en œuvre dans notre métaheuristique, une modification de notre approche pourrait sans doute la rendre plus efficace. C est ce que nous allons faire dans le paragraphe suivant. 6 VERS UNE NOUVELLE APPROCHE Dans cette section, nous présentons des travaux en cours de réalisation : aucun résultat ne sera donc donné. Cependant, nous décrivons le principe de la méthode que nous sommes en train d implémenter. Comme la méthode précédente, nous reprenons le principe de décomposition en deux sous-problèmes. 6.1 Résolution du problème «planification» L idée que nous allons mettre en œuvre est inspirée des travaux de (Kuik et Solomon 1990). Nous allons utiliser à nouveau une métaheuristique mais, pour coder une solution, nous nous appuyons pour chaque «usine étage» sur une matrice () binaire représentant les setups. () = () () () () () () () () () Nous coderons donc une solution de notre problème de planification pour la chaîne logistique sous la forme d un vecteur de matrices représentant chacune le planning des setups d une «usine étage» : = () () () "" Regardons maintenant comment adapter les voisinages proposés précédemment. - Le voisinage «augmentation» vise à augmenter la fabrication d un produit à la période sur l «usine étage» k. L adaptation est immédiate : nous fixons (), à 1. - Le voisinage «diminution» vise à diminuer la fabrication d un produit à la période sur l «usine étage», nous fixons (), à 0. - Le voisinage «regroupement à gauche» opérera de la façon suivante : ayant choisi un étage k, un () produit et une période, nous fixons, à 1 si () (), =1, sinon, n est pas modifié. Ensuite nous fixons (), à 0. - Le voisinage «regroupement à droite» agira ainsi : ayant choisi un étage, un produit et une période, nous fixons, () à 1 si (), =1, sinon () (), n est pas modifié. Ensuite nous fixons, à 0 Pour déduire le planning de production associé, nous utilisons le solveur en affectant aux variables de setup du modèle les valeurs données dans la solution fournie par le système de voisinage. Bien évidemment, les setups étant fixés, ils ne sont pas optimisables. C est pour cela que le solveur devra uniquement minimiser les coûts liés au surplus et à la demande perdue, simplifiant d autant la résolution du problème. Ecrivons donc le modèle que le solveur devra résoudre (la capacité de l «usine étage» à la période est la somme des capacités des usines composant l étage à cette même période) et qui s obtient facilement à partir de celui de la chaîne logistique de type «Flow Shop Hybride», dont nous reprenons les principales notations. Cependant, comme le problème «usines étages» a la particularité de n avoir qu une seule usine par étage, nous utilisons, dans un souci de simplification, les notations suivantes : : Capacité maximale disponible à l usine étage durant la période, : Capacité consommée pour la fabrication du produit sur l usine étage durant la période, : Le paramètre indiquant si un lancement de production pour le produit est prévu sur l usine étage durant la période, : Quantité de produit fabriqué par l usine étage durant la période. + (14) (15) (,) 1, 1, (16) (,,) 1, 1, 1, = () + (17) (,) 1, 1, = () + () (18) (,,) 1, 1, 1 1, = + (,) 1, 1, (19) () () (,,) 1, 2, 1, 1 (20)

9 () () (,) 1, 1, 1 (21) = () (22) (,,) 1, 1, 1 1, 1 = () (23) (,,) 1, 1, 1 = (,) 1, 1, (24),,,, N (25) On voit que c est sur la contrainte (16) que porte le paramétrage du modèle en fonction de la solution de la métaheuristique. La résolution du programme linéaire achevée, nous obtenons donc les plannings de production de chaque «usine étage» : nous pouvons donc en déduire une nouvelle solution en annulant tout setup où il n y pas de production correspondante. En quelque sorte, nous pouvons interpréter la résolution du programme linéaire comme une procédure de réparation. Nous avons donc mis en place tous les ingrédients pour la résolution du problème de planification «usines étages». Regardons comment résoudre maintenant le problème d affectation. () () () (28) (,) 1, 1,, 1,() La contrainte (29) permet de déterminer les lancements de production pour chaque usine de l étage : () () () () (29) (,,) 1, 1, 1,, 1,() Les contraintes (30) sont les contraintes de positivité et d intégrité : () N, () 0,1 (30) 6.3 Une nouvelle méthode d optimisation La méthode que nous proposons désormais s appuie sur le même type de schéma que celle présentée dans la partie 5. Cependant, en utilisant un codage de solution basée sur une matrice de setup et un système de voisinage influant directement sur la détermination des lancements de production, nous déléguons le problème d élaboration des plannings de production pour chaque «usine étage» et de répartition de la production sur chaque usine de l étage à la résolution de modèles mathématiques. C est ce qu illustre la figure 9. Métaheuristique «Flow Shop Hybride - setup» Solution initiale 6.2 Résolution du problème d affectation Système de voisinage Choix équiprobable Nous allons remplacer l heuristique d affectation par la résolution d un programme linéaire. Le problème d affectation s énonce de la façon suivante : pour chaque étage, nous devons répartir la production de l «usine étage» ( ) sur l ensemble des usines composant l étage, le tout en minimisant les coûts de lancement. En utilisant les notations du modèle de planification de type «Flow Shop Hybride» et du modèle précédent, nous voyons que ce problème s écrit sous la forme du programme linéaire suivant : La fonction objectif (26) consiste à minimiser les coûts de lancement pour chaque étage : () () () (26) La contrainte (27) est la contrainte d affectation de la production : toute la production de l étage doit être répartie sur les usines le composant : () () = (,,) 1, 1, 1, (27) Voisinage augmentation Voisinage diminution non Résolution du programme linéaire «usines étages» Iter<NbItermax Meilleure solution Voisinage Regroupement à gauche Mise à jour des matrices de setup pour le problème «usines étages» Résolution du programme linéaire «affectation» Evaluation de la solution pour le Flow Shop Hybride oui Voisinage Regroupement à droite Inc(iter) Figure 9 : Nouvelle approche d optimisation Les premiers tests que nous avons entrepris sont très encourageants et montrent clairement l intérêt de l utilisation d un solveur pour la résolution de ces sousproblèmes. En effet, la diminution drastique de la combinatoire du système de voisinage liée aux performances du solveur utilisée (Ilog Cplex 12) permet d obtenir de très bonnes solutions en un temps moindre. Cependant, pour confirmer cette tendance, de nombreux tests sont encore nécessaires. La contrainte (28) est une contrainte de capacité : à chaque période, la capacité utilisée par l usine pour fabriquer la production qui lui est dévolue ne doit pas excéder sa capacité :

10 7 CONCLUSION ET PERSPECTIVES Les problèmes de planification tactique de la chaîne logistique sont des problèmes complexes et d actualité. Ils constituent une problématique de recherche très importante. Dans cet article, nous avons proposé un modèle générique pour la planification tactique d une chaîne logistique de type Flow Shop Hybride à nomenclature série, dans le cadre d une approche centralisée et qui intègre de nouvelles contraintes dues à la structure particulière de la chaîne considérée. La difficulté algorithmique de cette formalisation nous a amenés à développer une méthode d optimisation basée sur une métaheuristique à base de recuit simulé et une heuristique d affectation, exploitant ainsi la décomposition de notre problème en deux sous problèmes : l un de planification pour un MLCLSP à nomenclature série, et l autre d affectation. Cependant, nos tests ont montré que les procédures utilisées (notamment, celles dédiées à la réparation des solutions) pouvaient s avérer gourmandes en temps de calcul. Nous expérimentons donc actuellement le remplacement de ces algorithmes par un solveur et un système de voisinage permettant d exploiter au mieux l utilisation d un tel outil. Bien que les premiers résultats obtenus en utilisant le solveur soient très prometteurs, l efficacité de l approche pourrait être encore augmentée en utilisant les propriétés mathématiques des modèles utilisés, en tentant de dégager les propriétés structurelles des solutions obtenues par le solveur, notamment en ce qui concerne le problème d affectation. L utilisation de telles propriétés pourrait permettre l élaboration de stratégies (l utilisation de coupes par exemple) accélérant la résolution des modèles par le solveur. Comme nous l avons précisé précédemment, le but de notre formalisation est de minimiser les coûts afférents à la production d articles pour une demande connue. Or, (Comelli et al., 2007) ont montré la pertinence d une optimisation des flux financiers dans le cadre de la chaîne logistique. Une perspective intéressante serait donc de les intégrer dans notre formalisation afin de généraliser leur approche dans le cadre d une chaîne logistique à nomenclature série de type Flow Shop Hybride. REFERENCES Blackburn, J. et R. Millen, An evaluation of heuristic performance in multi stage lot sizing systems, International Journal of Production Research, Vol. 23, N 5, pp Brahimi, N., Planification de la production : modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots. Thèse de doctorat, Université de Nantes, France. Comelli, M., P. Fenies, M. Gourgand et D. Lemoine, 2006.Optimisation des flux physiques versus optimisation des flux financiers pour la planification d'une Supply Chain. 7ème congrès de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d'aide à la Décision - ROADEF 2006, Lille, France. Comelli, M., M. Gourgand et D. Lemoine, A review of tactical planning models, Journal of Systems Science and Systems Engineering, Vol. 17(2), pp Deroussi, L., Heuristiques, métaheuristiques et systèmes de voisinage. Application à des problèmes théoriques et industriels de type TSP et ordonnancement. Thèse de doctorat de l université Blaise Pascal, Clermont Ferrand, France. Fleury, G., Méthodes stochastiques et déterministes pour les problèmes NP-difficiles. Thèse de doctorat de l université Blaise Pascal, Clermont Ferrand, France. Kuik, R. et M. Salomon, Multi-level lot-sizing problem: Evaluation of a simulated annealing heuristic, European Journal of Operational Research, Vol.45, N 1, pp Lemoine, D., Modèles Génériques et Méthodes de Résolution pour la Planification Tactique Mono-site et Multi-site. Thèse de doctorat de l université Blaise Pascal, Clermont Ferrand, France. Maes, J., J.O. McClain et L.N. Van Wassenhove, Multilevel capacitated lotsizing complexity and LPbased heuristics, European Journal of Operations Research, Vol.53, pp Michalewicz, Z. et D. Fogel, How to solve it : Modern heuristics, 3eme édition, Springer-Verlag, Berlin. Rizk, N. et A. Martel, Supply chain flow planning methods: a review of the lot-sizing literature, Working paper DT-2001-AM-1, Université Laval, Canada. Thierry, C., N. Chapeaublanc, P. Lepage et G. Bel, Multi site Planning: A centralized or a distributed approach?, Conference INRIA, Sophia Antipolis, France, 1994 Vörös, J., On the relaxation of multi-level dynamic lot-sizing models, International Journal of Production Economics, Vol.77, N 1, pp Zangwill, W., A deterministic multiproduct, multifacility production and inventory model, Operations Research, pp